(精选)光学谐振腔理论

仍能再现的稳态光场分布为自再现模）。
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• 本征模式在腔内往返一周所受到的作用，是自再 现变换
• 讨论的谐振腔是开腔。 • 几何理论：是以光学变换矩阵为基础，讨论谐振
腔的稳定性条件； • 衍射理论的主要内容则是从菲涅耳—基尔霍夫衍
射积分公式出发，建立起谐振腔自再现模所满足 的积分方程、通过求解积分方程讨论各类谐振腔 的模式特点。
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一、稳定性条件
• φ值为实数。cosφ的值随n的增大只能在+1与-1之间变
化，从而使An、Bn、Cn、Dn的数值以及rn+1与θn+1的
数值随n的增大也只能发生振荡式的变化. • 只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证近轴
光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。
• 反之，若φ值不是实数，由于有虚部，必然导致An、 Bn、Cn、Dn以及rn+1与θn+1的值都随n增大而增大。这
• (2.2.1)式给出的A、B、C、D表达式是光线由M1从 出发往返一周而计算出来的。如果令光线由M2出 发往返一周，则T矩阵的各元素具体表达形式将有 所不同。
• 但可以证明，对于一定几何结构的共轴球面腔来百度文库， (A十D)则是一个不变量，与光线的往返行进次序无 关。因此，上述讨论的共轴球面腔各稳定性条件都 是普遍适用的。
第2章谐振腔理论
2.1 光学谐振腔本征模式的概念 2.1.1 本征模式与自再现变换
•本征模式是所研究谐振腔中能够存在的、不随时间改 变的、具有特定的场振幅分布的电磁场。
•不同的谐振腔有不同的本征模式。
•相位条件：驻波条件（往返一周其相位的增加为2π的 整数倍）
•振幅条件：本征模式的场振幅分布不变（往返渡越后
样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可逸出腔外。
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• 由上述分析可知，φ值为实数且不等于0或π时， 谐振腔为稳定腔。φ值有虚部时，谐振腔为非稳 腔。φ等于0或π时，谐振腔是临界腔。由φ的计 算公式(2.2.4)不难得出上述结论的数学描述：
稳定腔
1 1 A D1
2
(2.2.5)
非稳定腔

B

2 L1
L R2


C

4L R1R2

2
1 R1

1 R2

(2.2.1)
D

1
2L R1
1
2L R2


2L R1
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• 如果光线在球面谐振腔内往返n次，则它的光学变 换短阵就应该是往返矩阵T的n次方，按照矩阵理 论
q

c
2L
（2.1.6)
相邻横模的频率 间隔为：
ml

c
2
L

arctan
z2 z0
arctan z1 z0

（2.1.8)4
2.2 谐振腔的特点
2.2.1 谐振腔往返一周的变换矩阵
• 球面反射镜的光学变换矩阵为：
1 0

2
1
R
对凸面镜．只要R取负即可。对平面反射 镜，R取∞。
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稳区图
• 1—平行平面腔； • 2—半共焦腔； • 3—半共心腔 • 4—对称共焦腔 • 5—对称共心腔


2kL 2m l
1 arctan
z2 z0

arctan
z1 z0


2q
k 2 2

c
（2.1.3)
3
mlq

q
c
2L

c
2 L
m l
1 arctan
z2 z0
arctan
z1 z0

（2.1.5)
• 与正整数q有关的模式称为谐振腔的纵模。 • 与正整数m、l有关的模式称为谐振腔的横模。 • 相邻纵模的频率间隔为：
(2.2.4) (2.2.2)
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2 .2.2 光学谐振腔的 稳定性条件
• 如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而 不横向逸出腔外，这样的谐振腔我们就称为稳定 谐振腔，简称稳定腔。否则就称为非稳腔。
• 只要n次往返矩阵Tn的元素An、Bn、Cn、Dn对于
任意大的n值均保持为有限大小．就可以认为这样 的谐振腔就是稳定腔。
• n次往返矩阵
T
n

An
Bn
(2.2.3)
Cn Dn

1
sin
Asin n

C
sinn
sin n
1
B sin n
D sin n sinn 1
n次往返后的光 线坐标有
arccos 1 A D
2
rn1 Anr1 Bn1 n1 Cnr1 Dn1
1 A D 1或 1 A D 1
2
2
临界腔
1 A D 1或 1 A D 1
2
2
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为了得到稳定性条件 的更为简明的形式， 引入谐振腔的下述几 何参数
g1 g2

1 1
L
R1 L
R2

凹面R取正， 凸面R取负
(2.2.8)
共轴球面谐振腔的稳定性条件可叙述如下，当
稳定腔 0 g1g2 1
非稳定腔 g1g2 1或g1g2 0
(2.2.7)
临界腔 g1g2 1或g1g2 0
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• 从上边的稳定性条件推导过程可以看出，往返矩阵 T和n次往返矩阵Tn均与光线的初始坐标参数无关， 但可能与光线的往返行进次序有关。
• 光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应是
1
T
T4T3T2T1


2
R1
10 10
L
1

1 2 R2
10 10
L
1
A B


C D
式中 Rl、R2分 别为M1与M2的 曲率半径。

A 1 2L R2
2
2.1.2 稳定谐振腔本征模式的 横模与纵模
E

E0
0 z
H
m


2x z

H
l

2y
z
i e
[
kz
kr2
2qz
m
l
1arctan
z z0
]
（2.1.1)
• 为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到 加强，即光波在腔内往返一周的总相移应等于2的 整数倍
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r1
•
设光线从M1反射镜出发，坐标为1

L T1
r2
2
r2 r1 T1
M2反射

r3


T2

r2


T2T1

r1

2 1 T2 3 2
1 6