陕西省宝鸡中学2020届高三第一次模拟考试数学(理科)及答案解析
陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三数学上学期第一次联考试题文(含解析)
精品文档，欢迎下载！陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三数学上学期第一次联考试题 文（含解析）一、选择题1.已知集合{}|2xP y y ==，{|Q x y ==，则P Q =I （ ）A. []1,1-B. [)0,+∞C. (][),11,-∞⋃+∞D. (]0,1【答案】D 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】∵{}|0P y y =>，10x -≥，解得：1x ≤∴{}|1Q x x =≤，∴(]0,1P Q =I . 故选：D.【点睛】本题考查简单函数的定义域和值域，和集合的交集，属于基础题型. 2.复数21ii-等于（ ） A. 1i -+ B. 1i -C. 1i +D. 1i --【答案】A 【解析】 【详解】()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ 3.已知一组数据点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，()77,x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为$24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，…7x 的平均数为1，则71ii y==∑（ ）A. 2B. 11C. 12D. 14【解析】 【分析】根据(),x y 在回归直线上，代入求y ，再求71ii y=∑.【详解】∵1x =，且(),x y 在线性回归直线$24y x =-+上， ∴242142y x =-+=-⨯+=，则7177214ii yy ===⨯=∑.故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点(),x y .4.经过原点并且与直线20x y +-=相切于点()2,0的圆的标准方程是（ ） A. ()()22112x y -++= B. ()()22112x y ++-= C. ()()22114x y -++= D. ()()22114x y ++-=【答案】A 【解析】 【分析】设圆心为(),a b ，根据条件列关于,a b 的方程，求圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为(),a b ， 则222a b r +=①，()2222a b r -+=②，12ba =-③； 由①②③组成方程组，解得 1a =，1b =-，22r =；故所求圆的标准方程是()()22112x y -++=.【点睛】本题考查求圆的标准方程，意在考查计算能力，属于基础题型.5.已知向量()1,3a =r ，()3,b m =r .若向量a b ⊥r r，则实数m 等于（ ）A. 33B. 33-C. 3D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解.【详解】向量()1,3a =r ，()3,b m =r ，若向量a b ⊥r r，则330a b m ⋅=+=r r，则实数3m =-， 故选：D【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示，意在考查基本计算，属于基础题型. 6.．阅读如图的程序框图. 若输入6n =, 则输出k 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1； 第二圈，n=13,n=27,否k=2；第三圈，n=27,n=55,否k=3；第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B ． 考点：本题主要考查程序框图．点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果． 7.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A. 1CC 与1B E 是异面直线B. AC ⊥平面11ABB AC. AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D. 11//A C 平面1AB E【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析选项，得到正确答案，A.根据是否共面分析； B.根据AC 与AB 的夹角判断； C.利用面面垂直的性质定理证明； D.利用11//AC A C ，判断线面是否平行.【详解】A. 1CC 与1B E 都在平面11B BCC 内，所以是共面直线，不是异面直线，故不正确； B.若AC ⊥平面11ABB A ，则AC 应垂直于平面内的任一条直线，但AC 与AB 的夹角是60o ，不垂直，故不正确；C. AE 与11B C 是异面直线，Q 平面ABC ⊥平面11BB C C ，且平面ABC I 平面11BB C C BC =，又ABC ∆Q 是正三角形，且E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥,AE ∴⊥平面11BB C C ，11AE B C ∴⊥故C 正确；D. 11//AC A C , 又AC 与平面1AB E 相交，那么11A C 与平面1AB E 相交，故不正确. 故选：C【点睛】本题考查线线和线面关系的判断，意在考查空间想象能力和推理与证明，属于中档题型.8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A.413B.1313C.926313【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒所以13DF AB =.所以所求概率为24=13DEF ABC S S ∆∆=. 故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．9.等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3711a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ） A. 7S B. 8SC. 13SD. 15S【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可知371173a a a a ++=，可知7a 是定值，再利用等差数列的前n 项和公式计算.【详解】371173a a a a ++=是一个定值， 只有：()11313713132a a S a +==是一个定值.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的性质和等差数列的前n 项和，意在考查基本计算，属于基础题型.10.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当02x ≤<时，()3f x x x =-，则在区间[]0,6上函数()y f x =的图象与x 轴的交点的个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】首先由题意判断函数的周期2T =，再根据02x ≤<时的零点个数，判断在[]0,6上的零点个数.【详解】因为()f x 是R 上偶函数，且满足()()11f x f x +=-，∴满足()()()111f x f x f x +=-=-， 令1x t +=，则1x t =-，∴()()2f t f t =-； ∴()f x 是最小正周期为2的周期函数，当02x ≤<时，()30f x x x =-=解得0x =或1x =，故()0f x =在区间[)0,6上解的个数为6，又因为()()600f f ==，故()0f x =在区间[]0,6上解的个数为7， 即函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为7. 故选：B.【点睛】本题考查利用函数的性质求函数的零点个数，属于基础综合问题，本题的关键是根据函数性质判断函数的周期，当函数有两个对称轴时，可判断函数是周期函数.11.已知点P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ）C. 2【答案】D 【解析】 【分析】设渐近线与1PF 交于点M ，,O M 分别是12F F 和1PF 的中点，则2//OM PF ，由题意可知，12PF F ∆是直角三角形，设1PF m =，2PF n =，12PF F ∆内建立边长的等量关系，求双曲线的离心率.【详解】设渐近线与1PF 交于点M ，,O M 分别是12F F 和1PF 的中点，则2//OM PF ， 由题意，12PF F ∆是直角三角形， 2PF 的斜率为ba-， 设1PF m =，2PF n =，则m bn a=①, ∵2m n a -=②，2224m n c +=③，由①②可知，222ab m b a a n b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，()2422244ab a c b a b a ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭- 解得：2b a =， ∴5c a =， ∴5ce a==.故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：222111c b e a ab c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 12.函数()223,0,0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩，若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是（ ） A. (],0-∞B. [)1,-+∞C. []1,0-D.(],1-∞-【答案】B 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，根据()()f a f b t ==可知0t ≥，并解出a 和b ，表示313222t a b t t t --+=+=-+-()21112t =---，根据+a b 的范围，再代入分段函数求值域.【详解】设()()f a f b t ==， 作出()f x 的图象， 由图象知，0t ≥，由()2f a a t ==，得a t =，由()23f b b t =--=，得32tb --=， 则313222t a b t t t --+==-+()21112t =--，∵0t ≥0t ≥， 则)211112m t =--≤-，即1m a b =+≤-，此时()()23231f a b f m m +==--≥-=-， 即()f a b +的取值范围是[)1,-+∞， 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域，本题的难点是+a b 用t 表示，并求其范围.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()3log ,041,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩，则()()2f f -=_____.【答案】2 【解析】 【分析】 先求()2f -，再求()()2f f -的值.【详解】∵函数()3log ,041,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩，∴()()24219f -=-⨯-+=，()()()329log 92f f f -===.故答案为：2.【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单计算题型.14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_____. 【答案】13【解析】 【分析】根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率. 【详解】∵甲和乙都不可能是第一名， ∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，∴这三个人获得第一名是等概率事件， ∴丙是第一名的概率是13. 故答案为：13. 【点睛】本题考查推理和概率的求法，意在考查推理，抽象概括能力，属于简单题型.15.若变量x ，y 满足约束条件28{0403x y x y +≤≤≤≤≤，则2z x y =+的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 11【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组28{0403x yxy+≤≤≤≤≤所表示的可行域如下图所示，直线4x=交直线28x y+=于点()4,2A，作直线:2l z x y=+，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max24210z=⨯+=，故选C.考点：本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题. 【此处有视频，请去附件查看】16.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为________．【答案】144π【解析】【分析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可.【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时V O－ABC＝V C－AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.故答案为144π.【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题. 三.解答题（本题共5小题，共70分） 17.已知函数()22cossin 2x f x a x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0a >，且[]0,x π∈时，()f x 的值域是[]3,4，求a ，b 的值. 【答案】（1）()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）21,3a b == 【解析】 【分析】（1）当1a =时，利用降幂公式22cos1cos 2xx =+，和辅助角公式化简函数()214f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间；（2）类似于（1）的化简()2sin 4f x a x b a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，先求4x π+的范围，再求sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，再用,a b 表示函数的最值，列方程组求解.【详解】（1）当1a =时，()22cos sin 1cos sin 2x x b x x b f x =++=+++214x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.由()22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：()32244k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为()22cos sin 2x f x a x b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()1cos sin 2sin 4a x x b a x b a π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭，[]50,,sin 4444x x x πππππ⎡⎤⎛⎫∈⇒+∈⇒+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭2,12sin ,224a x a a π⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以，()(),21f x b a b ⎡⎤∈++⎣⎦，又()f x 的值域是[]3,4，所以3b =，2121a ==-+. 【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用，属于基础题型，本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式.18.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，其范围为[]0,10，分别有五个级别：[)0,2T ∈畅通；[)2,4T ∈基本畅通；[)4,6T ∈轻度拥堵；[)6,8T ∈中度拥堵；[]8,10T ∈严重拥堵.晚高峰时段（2T ≥），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在[)4,6，[)6,8，[]8,10的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率. 【答案】（Ⅰ）2,3,1；（Ⅱ）35P = 【解析】 【分析】（Ⅰ）分别求[)4,6，[)6,8，[]8,10这三个级别的路段，然后求抽样比，再求三个级别抽取的路段的个数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，分别设2个轻度拥堵路段为1A ，2A ，选取的3个中度拥堵路段为1B ，2B ，3B ，选取的1个严重拥堵路段为C ，然后按照列举法求概率. 【详解】（Ⅰ）由直方图可知：()0.10.21206+⨯⨯=，()0.250.21209+⨯⨯=，()0.10.051203+⨯⨯=.所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个. 拥堵路段共有69318++=个，按分层抽样从18个路段中选出6个， 每种情况分别为：66218⨯=，69318⨯=，63118⨯=， 即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1.（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的2个轻度拥堵路段为1A ，2A ，选取的3个中度拥堵路段为1B ，2B ，3B ，选取的1个严重拥堵路段为C ，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()1,B C ，()23,B B ，()2,B C ，()3,B C ，共15种可能，其中至少有1个轻度拥堵的有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()1,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()2,A C ，共9种可能，所以所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为：93155P ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用和古典概型，意在考查分析数据，解决问题的能力，属于基础题型.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）623+. 【解析】试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且22,2AD a PO a ==，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥． 由于AB CD P ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则由已知可得2AD x =，2PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =． 从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD-侧面积为111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅ 21sin606232BC +︒=+． 20.已知函数()2xe xf x a =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y bx =+.（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[]0,1上的最大值.【答案】（Ⅰ）1a =，2b e =-；（Ⅱ）()max 1f x e =-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义可知()11f b =+，和()1f b '=，求a ，b 的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()2xf x e x =-，先求()2x fx e x '=-，再求()2x f x e ''=- ，利用()f x ''的正负，分析()f x '的单调性，并求()f x '的最小值，并判断()y f x =的单调性，求函数的最大值.【详解】（Ⅰ）()'2xf x e ax =-，由题设得()'12f e a b =-=，()11f e a b =-=+， 解得1a =，2b e =-（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2xf x e x =-，所以()'2x f x e x =-，()''2xf x e =-，所以()'f x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 所以()()''ln 222ln 20f x f ≥=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()max 11f x f e ==-.【点睛】本题考查函数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，重点考查了推理和计算能力，属于中档题型，本题的难点是第二问，需求函数的二阶导数，从二阶导数()f x ''的正负，分析()f x '的单调性，21.如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率3e =.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）是定值，52 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程组2222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，求解椭圆方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得点C 的坐标，并求直线OC 的方程20x y -=，设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，根据三点共线求1y 和2y，并表示2125OM ON y y y ==.【详解】（Ⅰ）由题意可知：2222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆Γ的方程：2214x y +=；（Ⅱ）由已知，点C 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，得直线OC 的方程为20x y -=， 设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，因P ，A ，M 三点共线，故0110222y y y x =--，整理得0100222y y x y -=--，因P ，B ，N 三点共线，故0220112y y y x --=，整理得020022x y x y =-+， 因点P 在椭圆Γ上，故220044x y +=，从而()000012200000022222224y x x y y y x y x y x y --=⋅=---+--00220000214442x y x y x y -==+--，所以212552OM ON y y ===为定值.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点,M N 的纵坐标并用点P 的纵坐标表示，并将OM ON 表示2125y y y =，这样问题迎刃而解.22.已知直线l ：1cos {sin x t y t αα=-+=（t 为参数，a 为l 的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：26cos 50ρρθ-+=. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为(,)x y ，求x y +的取值范围. 【答案】（1）566ππ或；（2）3⎡-+⎣ 【解析】【详解】（1）曲线C 的直角坐标方程为22650x y x +-+= 即22(3)4x y -+=曲线C 为圆心为（3，0），半径为2的圆. 直线l 的方程为:sin cos sin 0x y ααα-+=∵直线l 与曲线C 相切2=即1sin 2α=∴a=566ππ或（2）设32cos ,2sin x y θθ=+=则x y +=32cos 2sin θθ++3)4πθ=++∴x y +的取值范围是3⎡-+⎣..23.若实数x ，y ，m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （Ⅰ）若2x 比1接近3，求x 的取值范围；（Ⅱ）已知,a b ∈R ，0m >且a b ¹，求证：1a mb m ++接近0.【答案】（Ⅰ）15,22⎛⎫⎪⎝⎭；（Ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可知23132x -<-=，转化为解含绝对值不等式；（Ⅱ）利用分析法转化为证明001a mbm +-<+，然后两边平方，逐步转化为使命题成立的充分条件.【详解】（Ⅰ）由已知得23132x -<-=， 则2232x -<-<，∴1522x <<， ∴x 的取值范围为15,22⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅱ） 要证1a mb m ++接近0，只需证001a mbm +-<+，只需证21a mbm +<+，只需证()()()2221a mb a mbm +<++，即证()222amb a bm <+.∵,a b ∈R ，0m >且a b ¹，∴()222amb a bm <+显然成立，∴1a mb m ++接近0.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，以及分析法证明不等式，意在考查推理能力和计算能力，属于中档题型.。
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年陕西省高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设(1−i)x=1+yi，其中x,y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={x|x+1≤3}，B={x|4−x2≤0}，则A∩B=()A. (−∞,−2]B. (−∞,−4]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪{2}3.函数f(x)=|x|+1是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数4.等差数列{a n}中，已知a7=9，S5=5，则S8的值是()A. 23B. 30C. 32D. 345.执行如图所示的程序框图，则当输入的x分别为3和6时，输出的值的和为()A. 45B. 35C. 147D. 756.为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=()A. 26B. 24C. 20D. 137.设a=log0.60.5，b=log2(log38)，则()A. a<1<bB. a<b<1C. b<1<aD. 1<b<a8.(x2−3x+2)5的展开式中含x3的项的系数为()A. −1560B. −600C. 600D. 15609.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M,N两点，且|MF|=2|NF|，则直线l的斜率为()A. ±√2B. ±2√2C. ±√22D. ±√2410.若函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移π3个单位后关于y轴对称，则f(x)的单调增区间为()A. B.C. D.11.如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为，则它的外接球表面积为()A. B. C. D.12.函数f(x)=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则点(a,b)坐标为()A. (3,−3)B. (−4,11)C. (3,−3)或(−4,11)D. 不存在二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=______．14.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．15.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点A，B在双曲线C的左支上，o为坐标点，直线BO与双曲线C的右支交于点M.若直线AB的斜率为3，直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为____．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.若数列{a n}满足a1⋅a2⋅a3…a n=n2+3n+2，则a4=(1)，a n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，D 是BC 的边上的点，cos∠BAD =35,cos∠ADC =−√55． (1)求sin B 的值；(2)若BD =2DC =2，求AC 的长．18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(Ⅰ)求甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率；(Ⅱ)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB =2AD =2，∠DAB =60°，PA =PC =2，且平面ACP ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)求证：CB ⊥PD ；(Ⅱ)求二面角C −PB −A 的余弦值．20.已知函数f(x)=lnxx−1(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为12，P是C上的一个动点．当P为C的上顶点时，▵F1PF2的面积为√3．(1)求C的方程；(2)设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了复数的概念，运算及几何意义，考查了学生的运算求解能力，属基础题． 由题意解得x ，y ，从而得出x +yi 在复平面内所对应的点所在象限．解：∵x ，y 是实数，∴(1−i)x =x −xi =1+yi ，∴{x =1−x =y ,解得x =1，y =−1，∴x +yi 在复平面内所对应的点为(1,−1)，位于第四象限，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了交集的运算，是基础题.先求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={x|x ≤2}，B ={x|x ≤−2或x ≥2}；∴A ∩B =(−∞,−2]∪{2}．故选：D ．3.答案：B解析：函数定义域为R ，f(−x)=|−x |+1=|x |+1=f(x)，∴f(x)是偶函数．4.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 7=9，S 5=5，∴a 1+6d =9，5a 1+ 5×4 2d =5，解得：a 1=−3，d =2，则S 8=8×(−3)+ 8×7 2×2=32．故选：C ．5.答案：D解析：本题主要考查了程序框图的应用，考查了函数解析式，属于基础题；根据题意得到f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44，f(6)=62−5=31，即可得解．解：因为y =f(x)={x 2−5,x ⩾6f(x +2),x <6, 则f(3)=f(5)=f(7)=72−5=44；f(6)=62−5=31，所以f(3)+f(6)=75．故选D ．6.答案：D解析：解：由分层抽样得n 120+80+60=360，解得n =13，故选：D ．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 7.答案：C解析：解：∵a =log 0.60.5>log 0.60.6=1，b =log 2(log 38)<log 2(log 39)=log 22=1， ∴a >1>b ．故选：C ．利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性，属于基础题．解析：解：∵(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5=(C50x5−C51x4+C52x3−C53x2+C54x−1)(C50x5−2C51x4+4C52x3−8C53x2+16C54x−32).∴展开式中含x3的项的系数为：−36C53−24C53C54=−1560．故选：A．(x2−3x+2)5=(x−1)5(x−2)5，分别展开两个二项式，即可得到含x3的项的系数．本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是基础题．9.答案：B解析：【试题解析】本题考查直线斜率的求法，抛物线的简单性质的应用，属于中档题．依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2−4my−4=0，由此能够求出直线AB的斜率．解：依题意F(1,0)，设直线AB的方程为x=my+1，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2−4my−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，①因为|MF|=2|NF|，所以y1=−2y2，②，联立①和②，消去y1，y2，得m=±√24所以直线AB的斜率是±2√2.故选：B．10.答案：C解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．先根据三角函数图象的平移规律及平移后的图象关于y轴对称，求出φ，得到f(x)的解析式，再求单解：函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数的图象，因为平移后的图象关于y轴对称，所以−2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k=−1，φ=π6，所以，令−π2+2kπ⩽2x+π6⩽π2+2kπ，k∈Z，得−π3+kπ⩽x⩽π6+kπ，k∈Z，因而函数f(x)的单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z．故选C．11.答案：B解析：本题考查三视图及多面体外接球的表面积，具有综合性，考查空间想象能力.正确找到直观图是解题关键．由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，然后根据三棱锥的体积公式求得．解：由三视图可知，该几何体是一条棱垂直底面的三棱锥，可以看成长2宽1高1的长方体切除后剩下的，其外接球与长方体外接球相同．若该三棱锥的体积为，可得x=2．故外接球直径为√12+12+22=√6，半径为√62．故外接球表面积为．故选B．12.答案：B解析：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是熟练掌握极值的充要条件，属于中档题． 首先对函数进行求导，然后根据极值条件进行求解，要注意进行检验． 解：求导可得，f′(x)=3x 2−2ax −b ， 由已知得{f ′(1)=0f (1)=10，即{3−2a −b =01−a −b +a 2=10解得a =−4，b =11或a =3,b =−3当a =3,b =−3时，f ′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2⩾0， 此时f(x)递增，函数f(x)不存在极值 故a =−4，b =11，即点(a,b)坐标为(−4,11) 故选B ．13.答案：−1解析：解：a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,2)，则2a ⃗ +b ⃗ =(1,0) (2a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =−1+0=−1． 故答案为：−1．直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可． 本题考查向量的数量积的运算，基本知识的考查．14.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d =r ，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x −1x 的导数为f′(x)=2+1x 2， 可得切线的斜率为k =3，切点为(1,1)， 即有在x =1处的切线方程为y −1=3(x −1)， 即为3x −y −2=0，由切线与圆x 2+y 2=R 2相切， 可得d =√10=R ，解得：R =√105．故答案为√105．15.答案：2解析：本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题． 解：设B(m,n)，则直线BO 与双曲线的右支交于点 M(−m,−n)， 设A(x 0,y 0)，可得直线 AB 的斜率为y 0−nx 0−m ， 直线 AM 的斜率为y 0+nx 0+m；∴y 02−n 2x 02−m 2=b 2a 2x 02−b 2a 2n 2x 02−n 2=b 2a 2=3×1=3，∴e =√1+b2a 2=2，故答案为：216.答案：32{6,n =1n +2n,n >1解析：解：数列{a n }满足a 1⋅a 2⋅a 3…a n =n 2+3n +2， 当n =1时，a 1=1+3+2=6；当n >1时，a 1⋅a 2⋅a 3…a n−1=(n −1)2+3(n −1)+2=n 2+n −2； 所以a n =n 2+3n+2n 2+n =n+2n；所以a 4=4+24=32，a n ={6,n =1n+2n,n >1．故答案为：32，{6,n =1n+2n,n >1．在原数列递推式中，取n 为n −1得另一递推式，作商后求得数列的通项公式和a 4的值． 本题考查了数列递推式以及由数列递推式求数列通项公式的问题，属中档题．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵cos∠ADB =cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC =√55，∠ADB ∈(0,π)，∴sin∠ADB =2√55，……………………2′ ∵cos∠BAD =35,∠BAD ∈(0,π)，∴sin∠BAD =45.……………………4′ ∴sinB =sin[π−(∠BAD +∠ADB)]=sin(∠BAD +∠ADB) =sin∠BADcos∠ADB +cos∠BADsin∠ADB =45×√55+35×2√55=2√55.………………………6′ (2)在△ABD 中，由正弦定理得：ADsinB =BDsin∠BAD ，即2√55=245，∴AD =√5.……………9′在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cos∠ADC =5+1+2×√5×1×√55=8，∴AC =2√2.………12′解析：(1)利用三角形的内角和以及两角和与差的三角函数化简求解即可． (2)利用正弦定理以及余弦定理转化求解AC 的长．本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ)用事件A i 表示第i 局比赛甲获胜，则A i 两两相互独立．P =P(A 1A 2+A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1)P(A 2)P(A 3)=23⋅23+13⋅23⋅23=1627． (Ⅱ)X 的取值分别为2，3，4，5， P(x =2)=23⋅23+13⋅13=59，P(x =3)=13⋅23⋅23+23⋅13⋅13=29， P(x =4)=23⋅13⋅23⋅23+13⋅23⋅13⋅13=1081， P(x =5)=23⋅13⋅23⋅13+13⋅23⋅13⋅23=881， 所以X 的分布列为X2345P 59291081881EX=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481．解析：(Ⅰ)用事件A i表示第i局比赛甲获胜，则A i两两相互独立，由此能求出甲在3局以内(含3局)赢得比赛的概率．(Ⅱ)X的取值分别为2，3，4，5分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．19.答案：(I)证明：连接AC，BD，设交点为O，连接OP，则O是BD的中点，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO．∵AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴BD=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又BC//AD，∴BC⊥BD，又PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，PO∩BD=O，∴BC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD．(II)解：OA=√AD2+OD2=√72，∴PO=√PA2−OA2=32．以D为原点，以DA，DB，及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，C(−1,√3,0)，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√32,32)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{−x =0−√32y +32z =0，取z =1得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 同理可得平面PAB 的法向量为n ⃗ =(3,√3,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2×√13=2√1313． 由图形可知二面角C −PB −A 为钝二面角， ∴二面角C −PB −A 的余弦值为−2√1313．解析：(I)证明PO ⊥平面ABCD 得出PO ⊥BC ，利用勾股定理证明BC//BD ，从而BC ⊥平面PBD ，于是BC ⊥PD ；(II)建立空间坐标系，求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是：(0,+∞)由已知f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)=0得，1−lnx =0，∴x =e ∵当0<x <e 时，f ′(x)=1−lnx x 2>0，当x >e 时，f ′(x)=1−lnx x <0∴函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，(2)由(1)知函数f(x)在(0,e]上单调递增，在[e,+∞)上单调递减 故①当0<2m ≤e 即0<m ≤e2时，f(x)在[m,2m]上单调递增 ∴f(x)max =f(2m)=ln(2m)2m−1，②当m ≥e 时，f(x)在[m,2m]上单调递减 ∴f(x)max =f(m)=lnm m−1，③当m<e<2m，即e2<m<e时∴f(x)max=f(e)=1e−1．(3)由(1)知，当x∈(0,+∞)时，f(x)max=f(e)=1e−1，∴在(0,+∞)上恒有f(x)=lnxx −1≤1e−1，即lnxx ≤1e且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈(0,+∞)恒有lnx≤1ex，∵1+nn >0,1+nn≠e，∴ln1+nn <1e⋅1+nn⇒ln(1+nn)e<1+nn即对∀n∈N∗，不等式ln(1+nn )e<1+nn恒成立．解析：(1)利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；(2)利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；(3)利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，注意问题的等价转化性．21.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c．因为S▵F1PF2=12⋅2c⋅b=√3，所以bc=√3，又e=ca =12，a2=b2+c2，所以a=2，b=√3，c=1，所以C的方程为x24+y23=1．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ的中点N(x0,y0)．当k=0时，t=0符合题意．当k ≠0时，由{y =k (x −1),x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以x 0=x 1+x 22=4k 24k 2+3，y 0=k (x 0−1)=−3k4k 2+3，即N (4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)．因为|TP |=|TQ |， 所以TN ⊥PQ ， 则k TN ⋅k =−1， 所以3k 4k 2+3t−4k 24k 2+3⋅k =−1， 故t =k 24k 2+3=14+3k 2，因为4+3k 2>4， 所以t ∈(0,14)．综上，t 的取值范围为[0,14)．解析：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，联立直线方程与椭圆方程是解题的关键．(1)由离心率可得a ，c 的关系，由面积可得bc 的关系，由求得a ，b ，故可得答案，(2)设直线PQ 的方程为y =k (x −1)，当k =0时，t =0符合题意．当k ≠0时，联立方程组可得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0，结合韦达定理和k TN⋅k=−1，故可得t的取值范围．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x <1}； (2)当x ∈[−a2,1)时，f(x)=|x −2a|+2x +a ， f(x)<g(x)即为|x −2a|<3−a 恒成立， ∵0<a <3，∴3−a >0， ∴a −3<x −2a <3−a ，即3a −3<x <3+a 在x ∈[−a2,1)上恒成立， ∴{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解得0<a <67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。
陕西省宝鸡市宝鸡中学2020届高三数学上学期模拟考试试题(一)理(B卷)
陕西省宝鸡市宝鸡中学2020届高三数学上学期模拟考试试题（一）理（B卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）,总分150分,考试时间120分钟．第I卷（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的（本大题共12小题,每小题5分,共60分）．1.已知实数集R，集合，集合，则( )A. B. C.D.2.下列说法正确的是（）A. 命题“，”的否定是：“使得”B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件C. ，“”是“”的必要不充分条件D. 命题p：“，”，则是真命题3.若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.4.设向量，，如果与共线且方向相反，则t的值为（）A.1B.C.D. 25. 函数在区间的图像大致为（）A. B.C. D.6.在内使的x的取值范围是（）A. B. ， C. D.7.已知函数,若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.8.已知，则的值为A. B. C. D.9.函数的最小正周期为，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 关于点对称D. 关于直线对称10.在中，，则是A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形11.若平面向量，，两两所成的角相等，且，，，则等于A. 2B. 5C. 2或5D. 或12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则对任意的，方程的根的个数至多有A. 9个B.6个C.4个D. 3个第II卷（共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 某人吃完饭后散步，在0到3小时内速度与时间的关系为x x v 2212+-=（km/h ），这3小时内他走过的路程为 km.14.在点处与相切的直线方程为 .15.非零向量，满足：，，则与夹角的大小为 .16.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于 .三、解答题：（本大题共6小题,共70分）17.（10分）已知，p ：，q ：． 若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； 若，“”为假命题,”为真命题，求实数x 的取值范围．18.（12分）已知函数(1) 求函数的单调递增区间；(2) 若将的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x 值．19.（12分）已知在中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，(cos cos ,2cos )+a B b A C ， (1,c)- ，且．(1) 求角C ； (2) 若c =3，求周长的最大值．20.（12分）某中学高二年级组织外出参加学业水平考试，出行方式为：乘坐学校定制公交或自行打车前往，大数据分析显示，当%(0100%)<<x x 的学生选择自行打车，自行打车的平均时间为30,030,()1800290,30100<≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩x f x x x x (单位:分钟) ,而乘坐定制公交的平均时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:（1）当x 在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间? （2）求该校学生参加考试平均时间()g x 的表达式:讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义.21.（12分）在平行四边形ABCD 中，边AB =2，AD =1，，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足(1) 当时，若，求;(2) 试求取值范围．22. （12分）已知函数．(1) 当时，求的最小值； (2) 若，讨论的单调性；(3) 若，为在上的最小值，求证：.宝鸡中学2020级高三模拟考试（一）参考答案数学（理）B 卷 BCDBD CDAAA CD 1314. 15.16.17.解：由得，即p ：，记p 的解集为，q 的解集为，------------2q 是p 的必要不充分条件，，，------------3 解得：．--------5 “”为真命题，“”为假命题，p与q一真一假，------------------------------6若p真q假，则，无解，若p假q真，则，解得：或．综上得：或．--------------518.解：Ⅰ函数----------------2令，求得，可得函数的增区间为，．-------------------6Ⅱ若将的图像向左平移个单位，得到函数的图像，-------------------8在区间上，，故当时，即时，函数取得最小值为---------------10当时，即时，函数取得最大值为．--------------1219.解：Ⅰ，，且，．------------------------------2由正弦定理得．即，，-----------------4在中，，．，得；---------------6 Ⅱ，由余弦定理可得：．即，-----------------3 ．，即，当且仅当时取等号，周长的最大值为．----------------------------------1220.解(1) ---------------------4(2).-------------------8在上单调递减,在上单调递增,说明当以上的人自驾时,人均通勤时间开始增加---------------------------------1221.解:（1）,,,则, ---------------------5（2）（2）解法一：设由，，则，，由则，设，在上是减函数，的取值范围是解法二：如图所求，建立直角坐标系则，，，，，，设，，则，，，，设，在上是减函数，的取值范围是22.解：时，，.,.则取最小值-------------3解：．，若，即时，则由得，当时，；当时， 0'/>；在单调递减，在单调递增．若，则由得或，-----------------5构造函数，则．由，得，在单调递减，在单调递增．，当且仅当时等号成立．若，，在单调递增．若或，当时，；当时，；在单调递减，在，单调递增；-------------7 证明：若，在单调递减，在单调递增．．令．则，令，，在上单调递减，，．存在唯一的，使得，-------------10在单调递增，在单调递减，故当时，，又．，当时，．-----------------12。
陕西省宝鸡市2020届高考模拟检测理科数学试题(含答案解析)
陕西省2020年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）试题第I 卷(选择题共60分)一、 选择题:本大题共12小题每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.复数1Z 在复平面内对应的点为(2 ,32),2,Z i =−+则12Z Z = 18.55A i −+ 18.55B i −− 8.15C i −+ 8.15D i −− 2. 设全集U=R,集合2{|340}A x x x =−−>,则U C A =A. {x|-1 <x<4}B. {x|-4<x<1}C. {x| -1≤x≤4}D. {x|-4≤x≤1}3.总体由编号为01,02，...，39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如右表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.23B.21C.35D.324.已知α，β是两平面，l,m,n 是三条不同的直线，则不正确命题是A.若m ⊥α,n//α，则m ⊥nB.若m//α,n//α，则m//nC.若l ⊥α,l//B ，则α⊥βD.若α//β，l ⊄β，且 l//α，则1//β 5.函数()2sin(2)3f x x π=−的图象为C ,以下结论中正确的是 ①图象C 关于直线512x π=对称; ②图象C 关于点(,0)3π−)对称;③由y = 2sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. A.① B.①②C.②③D.①②③ 6.设f(x)是定义在R 上的偶函数,且在(0, +∞)单调递减,则A.0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f −−>> 0.40.33.(log 0.3)(2)(2)B f f f −−>>C.0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f −−>>D.0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f −−>> 7.执行如下的程序框图，则输出的S 是 A.36 B.45 C. -36D.-458.已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为22.1155x y A −= 22.1515x y B −= 22.1312y x C −= 22.1217y x D −= 9.我国古代有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是(结果采取“只人不舍”的原则取整数,相关数据:lg3≈0.4771 ,lg2≈0.3010)A.2B.3C.4D.510.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为A.4πB.8π .6C + 8.3D π 11.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C 2:4y x =相交于A,B 两点,F 为C 的焦点,若|FA| =2|FB|,则|FA| =A.1B.2C.3D.4 12.已知函数()(1)x f x x a e =−−,若22log ,a b c ==,则 A.f(a) <f(b) <f(c)B.f(b) <f(c) <f(a)C.f(a) <f(c) <f(b)D.f(c) <f(b) <f(a)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题， 每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.若5(n x−的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x 的系数为_____ 14.函数20.5log (5)yx ax −+在区间( -∞,1)上递增，则实数a 的取值范围是____15.点P 是△ABC 所在平面内一点且,PB PC AP += 在△ABC 内任取一点,则此点取自△PBC 内的概率是____16.数列{}n a 满足*1232321()n n a a na N a n ++++=−∈ ,则,n a =_____.若存在n ∈N *使得1n n a nλ+≤⋅成立,则实数λ的最小值为______ 三、解答题:共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 -21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题:共60分17.已知函数2()2sin cos 1,.f x x x x x R =+−∈(I)求f(x)的单调递增区间;(II)△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若()12A f =且A 为锐角,a=3,sinC = 2sinB ,求△ABC 的面积.18.某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z 的影响,对近五年该产品的年产量和价格统计如下表:( I )求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (II)若每吨该产品的成本为12千元,假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w 取到最大值?参考公式: ()()()1122211ˆˆˆ,n n i i ii i i n n ii i i x y n x y x x y y b a y bx x nx x x ====−⋅⋅−−===−−−∑∑∑∑19.在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB =2BC ，点Q 为AE 的中点。
2020年陕西省宝鸡市高三一模数学试题
数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{lg(32)}A x y x ==-,2{4}B x x =≤, 则AB =（ ）A. 3{2}2x x -≤<B. {2}<x xC. 3{2}2x x -<< D. {2}≤x x2．若ii 12ia t +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t a +等于（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2==+∈αααππα2tan ,35cos 12sin 12),2,4(.3则（ ）724.A 724.-B 724.±C 247.-D4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程13.1-=x y ， 则m= A.2.9 B.3.0 C.3.1 D.2.85．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是()A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是9D ．从4日到9日，空气质量越来越好 6．已知数列{}n a 为等差数列, 7825a a -= , 其前n 项和为n S ，，则11S 为（ ）A. 110B. 55C. 50D. 不能确定7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A ．8πB ．πC ．12πD ．π8.若圆A ：(x －1)2＋(y －4)2＝a 上至少存在一点P 落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －1≥0，3x －y －1≥0，x ＋y －7≤0表示的平面区域内，则实数a 的取值范围是（ ）]2,552.[A ]2,1.(B )4,1.[C ]4,52.[Dxyoπ2xyoπ2xyoπ29．已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（ ）A.83 B. 833 C. 163 D. 163310．函数22sin 33([,0)(0,])1441x y x xππ=∈-+的图像大致是（ ） x yoπ2A. B. C. D. 11．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|34||349|x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4a ≤-B. 46a -≤≤C. 4a ≤-或6a ≥D. 6a ≥ 12．已知关于x 的不等式x （x －m x e ）＞m x e 有且仅有三个正整数解（其中e ＝2．71828…为自然对数的底数），则实数m 的取值范围是 A ．（4165e ，394e ] B ．（394e ，243e ] C ．[4165e ，394e ） D ．[394e ，243e ） 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．13、已知向量 =（3，﹣1）， =（2，1），则 在 方向上的投影为________．14．设2521001210(32)x x a a x a x a x -+=++++，则含x 的项为 ．15．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（ ）16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，且（bc ﹣2）cos A +ac cos B ＝1﹣b 2，则△ABC 面积的最大值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且122-+=n n n a na S , （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列的前n 项和为T n ，证明：T n ＜4．18．（本小题满分12分）已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5,7SA SD SB ===点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SC λ=，SA //平面BEF ．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求二面角S BE F --的余弦值．19．（本小题满分12分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：（Ⅰ）根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x ；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y ，求x y <的概率．参考数据：（参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点1F （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于,M N 两点 （||||PM PN >），若:PAM PBN S S λ∆∆=，求实数λ的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）=ln （x+1）+ax 2 ， a ＞0． (1)讨论函数f （x ）的单调性；(2)若函数f （x ）在区间（﹣1，0）有唯一零点x 0 ， 证明：11102-<<---e x e请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋rcos φ，y ＝1＋rsin φ(r>0, φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为)3sin(πθρ-=1，若直线l 与曲线C 相切． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|23||21|f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()|32|f x a >-成立，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、D 【解析】因为3{lg(32)}{320}{}2A x y x x x x x ==-=->=<，{22}B x x =-≤≤． 所以{2}AB x x =≤，故答案选D ．2．B.【解析】因为ii i i (12i)=i -2t 12i a t a t t +=⇒+=⋅++，则122t a a t =⎧⇒=-⎨=-⎩．所以 1t a +=-3. B4.C1.3,25.2448.11.0,25.2,5.2=∴⨯=+++∴==m m y x 代入回归直线方程得5.解析：选C.这12天中，空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92，故A 正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 指数值为67，故B 正确；这12天的AQI 指数值的中位数是95＋1042＝99.5，故C 不正确；从4日到9日，空气质量越来越好，故D 正确，故选C. 6．B【解析】78111622(6)(7)5a a a d a d a d a -=+-+=+=，1111161111552a a S a +=⨯==．故答案选B ． 7．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ﹣ABCD ，正方体的棱长为2，A ，D 为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A ，D 的平行于底面的中截面上， 设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为：2﹣x ， ∴R 2=x 2+（）2，R 2=12+（2﹣x ）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR 2=π，故选：D ．8.【解析】圆D 与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －1≥0，3x －y －1≥0，x ＋y －7≤0表示的平面区域有交点，作出图象后易求得a的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，4.9．B 【解析】由题意可得直线:3(1)PQ y x =-与抛物线24y x =联解得：231030x x -+=，所以点(3,P，1(,3Q，则MN ==MNF ∆中，MN 边上的高2h =，则122MNF S ∆=⨯=，故答案选B ． 方法二:不防设交点P 在x 轴上方,由抛物线焦点弦性质得||||PF PM =,||||QF QN =且1121||||PF QF p +==, ||||||||1||||||||2PM QN PF QF PM QN PF QF --==++，故||4PF =，4||3QF =，所以114||(4)2223MNF S MN p ∆=⨯⨯=⨯+=，故答案选B ． 10．A 【解析】因为函数22sin ()11xy f x x==+可化简为222sin ()1x xf x x =+可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C ；同时有42224sin 2cos 2cos ''()(1)x x x x x xy f x x ++==+3222(2sin cos cos )(1)x x x x x x x ++=+，则当(0,)2x π∈ '()0f x >,可知函数在2x π=处附近单调递增，排除答案B 和D ，故答案选A ．11．D 【解析】要使符合题意，则圆上所有点在直线12:340,:3490l x y a l x y -+=--=之间，因为圆心到直线2l的距离21d ==>且314190⨯-⨯-<，则所有圆心到直线1l的距离11d =≥，且31410a ⨯-⨯+≥，解得6a ≥，故答案选D ．12．答案C【解析】依题意，2e e xxx mx m ->，故()21e xx m x >+，即()21ex x m x >+，令()2e x x f x =，故()()222'e ex x x xx x f x --==，故当(),0x ∈-∞时，()'0f x <，当()0,2x ∈时，()'0f x >，当()2,x ∈+∞时，()'0f x <，作出函数()f x 的图象如下所示，可知三个正整数解为1,2,3；令()2e e xxg x x mx m =--，则()33393e e 0g m m =-->，()444164e e 0g m m =--≤，解得431695e 4e m ≤<，故选C.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13．【答案】【解析】【解答】解： =6﹣1=5，| |= ， ∴ 在 方向上的投影为| |cos＜cos＞=| |===．故答案为：．14．240-x 【解析】250514255(32)(23)(23)x x C x C x x -+=-+-+，所以01411552(3)a C C =-=-240x ，故答案为-240x ． 15． 5立方丈将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥， 即113122131523V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=， 16.【解答】解：∵a ＝1，且（bc ﹣2）cos A +ac cos B ＝1﹣b 2， ∴（bc ﹣2）•+ac •＝1﹣b 2， 即﹣+＝1﹣b 2，即﹣+c 2＝1﹣b 2， 即﹣+c 2+b 2﹣1＝0，﹣+c2+b2﹣a2＝0，即（c2+b2﹣a2）（1﹣）＝0，∵△ABC是锐角三角形形，∴cos A＝＞0，即c2+b2﹣a2＞0，则1﹣＝0，即bc＝1，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A≥2bc﹣2bc cos A，即1≥2﹣2cos A，得2cos A≥1，得cos A≥，即0°＜A≤60°，则三角形的面积S＝bc sin A≤×＝，即三角形面积的最大值为，故答案为：三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝a1+2a1﹣1，即a1＝1，……（1分）当n≥2时，2S n＝na n+2a n﹣1①，2S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1+2a n﹣1﹣1②……（2分）①﹣②，得2a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1+2a n﹣2a n﹣1，即na n＝（n+1）a n﹣1，…（3分）所以，且，……………………………………………………………………（4分）所以数列为常数列，…………………………………………………………………（5分），即．………………………………………………………（6分）（2）由（1）得，所以，………………（8分）所以，………………………………………………………zyx FE D CB ASG（9分），…………（没写也不扣分）………………………（10分） ＝………………………………………（11分） ＝．………………………………………………………………………（12分）18．【解析】（Ⅰ）连接AC ，设ACBE G =，则平面SAC平面EFB FG =，//SA 平面EFB ，//SA FG ∴，GEAGBC ∆∆，12AG AE GC BC ∴==， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=； （Ⅱ）5,,2SA SD SE AD SE ==∴⊥=，又2,60AB AD BAD ==∠=︒，3BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，SE ∴⊥平面ABCD ，以,,EA EB ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),3,0),(0,0,2)A B S ，平面SEB 的法向量(1,0,0)m EA ==，设平面EFB 的法向量(,,)n x y z =，则(,,)3,0)00n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=，(,,)(1,0,2)02n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1z =，得(2,0,1)n =，25cos ,5||||m n m n m n ⋅∴<>==⋅，即所求二面角的余弦值25． ………………（12分）19．【解析】（Ⅰ）222()100(20204020)()()()()60406040n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯4004001002.778 2.7065760000⨯⨯=≈>所以有90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”……………………………（5分）（Ⅱ）“x y <”包含：“0,1x y ==”、 “0,2x y ==”、 “0,3x y ==”、 “1,2x y ==”、 “1,3x y ==”、 “2,3x y ==”六个互斥事件且0312334233664(0,1)400C C C C P x y C C ===⨯=，03213342336612(0,2)400C C C C P x y C C ===⨯= 0330334233664(0,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，122133423366108(1,2)400C C C C P x y C C ===⨯= 12303342336636(1,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，21303342336636(2,3)400C C C C P x y C C ===⨯= 所以：412410836362001()4004002P x y +++++<=== ．………………（12分）20．【解析】（Ⅰ）因为1BF x ⊥轴，得到点2(,)b B c a--，所以2222221()21a ab b a ac c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩，所以椭圆C 的方程是22143x y +=．………………（4分）（Ⅱ）因为1sin 22(2)112sin 2PAMPBNPA PM APMS PM PM S PN PN PB PN BPN λλλ∆∆⋅⋅∠⋅===⇒=>⋅⋅⋅∠， 所以2PM PN λ=-．由（Ⅰ）可知(0,1)P -，设MN 方程:1y kx =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程221143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)880k x kx +--=．即得122122843843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩（*） 又1122(,1),(,1)PM x y PN x y =+=+，有122x x λ=-，将122x x λ=-代入（*）可得：222(2)1643k k λλ-=+． 因为12k >，有2221616(1,4)3434k k k =∈++， 则2(2)14λλ-<<且2λ>4423λ⇒<<+．综上所述，实数λ的取值范围为(4,423)+．………………（12分）21、【答案】（1）解： ，x ＞﹣1， 令g （x ）=2ax 2+2ax+1，△=4a 2﹣8a=4a （a ﹣2），若△＜0，即0＜a ＜2，则g （x ）＞0，当x ∈（﹣1，+∞）时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若△=0，即a=2，则g （x ）≥0，仅当时，等号成立，当x ∈（﹣1，+∞）时，f'（x ）≥0，f （x ）单调递增． 若△＞0，即a ＞2，则g （x ）有两个零点，，由g （﹣1）=g （0）=1＞0， 得 ，当x ∈（﹣1，x 1）时，g （x ）＞0，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（x 1 ， x 2）时，g （x ）＜0，f'（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ∈（x 2 ， +∞）时，g （x ）＞0，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增．综上所述，当0＜a ≤2时，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增； 当a ＞2时，f （x ）在和上单调递增，在 上单调递减（2）解：由（1）及f （0）=0可知：仅当极大值等于零，即f （x 1）=0时，符合要求． 此时，x 1就是函数f （x ）在区间（﹣1，0）的唯一零点x 0 ． 所以，从而有，又因为 ，所以 ，令x 0+1=t ，则 ，设 ，则 ，再由（1）知： ，h'（t ）＜0，h （t ）单调递减，又因为 ， ，所以e ﹣2＜t ＜e ﹣1 ， 即22．【解析】(Ⅰ)由题意可知直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋2,曲线C 是圆心为()3，1，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：r ＝||3·3－1＋22＝2；可知曲线C 的方程为()x －32＋()y －12＝4, 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π6，(ρ1>0，ρ2>0)，S △MON ＝12||OM →||ON →sin π6，＝14ρ1·ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝2sin θcos θ＋23cos 2 θ ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＋3，当θ＝π12时， S △MON ＝2＋3，所以△MON 面积的最大值为2＋ 3.(10分)23．【解析】（Ⅰ）不等式()2f x <等价于32(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或3122(23)(21)2x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩，解得32x <-或302x -≤<，所以不等式()2f x <的解集是(,0)-∞； （Ⅱ）()|(23)(21)|4f x x x ≤+--=，max ()4f x ∴=，|32|4a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2(,2)3-．。
2020届陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三上学期第一次联考数学(理)试题
西安市第三中学宝鸡中学汉中市龙岗学校渭南高级中学延安市新区高级中学2020届高三第一次五校联考理科数学试题（卷）命题：宝鸡中学校题：宝鸡中学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码或二维码准确粘贴在条形码或二维码者粘贴处。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带或刮纸刀。
第I卷一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）....2.设复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（）....3.已知，命题，，则（）.是假命题，，；五校联考.是假命题，，；.是真命题，，；.是真命题，，；4.公元年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值，这就是著名的徽率，右图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为( )（参考数据：）....5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）....6.已知函数，（为自然对数的底数）的图象与直线，轴围成的区域为，直线与围成的区域为，在区域内任取一点，则该点落在区域内的概率为（）....7.已知动点满足，且代数式的最小值为，则实数的取值为（）....8.已知函数（）的部分图象如图所示，点，是其上两点，若将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）....9.已知腰长为的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为（）....10.已知、分别是具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，是的中点，且，则=（）....11.若数列的前项和满足：对都有（为常数）成立，则称数列为“和敛数列”，则数列，，，中是“和敛数列”的有（）.个.个.个.个12.定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有三个零点，则正实数的取值范围为（）. .. .第II卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_ _______________14.设，若，则负实数______________15.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与圆交于、两点，若，则直线的斜率为__________16.在四面体中，，，，二面角的大小为，则四面体外接球的半径为________________三．解答题：（本题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且⑴求角的大小；⑵若，求周长的最大值.18.（12分）如图所示四边形与均为菱形，且⑴求证：平面；⑵求直线与平面所成角的正弦值.19.（12分）2019年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年8月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取办法。
2020届陕西省宝鸡市宝鸡中学、西安三中等五校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届陕西省宝鸡市宝鸡中学、西安三中等五校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x N y =∈=，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B =( )A ．(],4-∞B ．{}1,3C ．{}1,3,5D ．[]1,3【答案】B【解析】由题意可得：{}{}|4,0,1,2,3,4A x x x N =≤∈=，{},5,3,1,1,3,5B =---，则：{}1,3A B ⋂=. 本题选择B 选项.2．设复数z 满足()12z i i -=（i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则11zz +-（ ） A ．1255i + B ．1255i -+C ．1255i - D ．1255i --【答案】C【解析】先由复数除法计算出z ，再计算11zz+-。
【详解】 由题意()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z +===-+--+， ∴11z z +-1(1)(2)121(1)2(2)(2)55i i i i i i i i i +----+====---+--+。
故选：C 。
【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题基础。
3．已知()sin tan f x x x =-，命题P:00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0()0f x ＜，则（ ）A ．P 是假命题，P ⌝:00,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥ B ．P 是假命题，P ⌝:00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥C ．P 是真命题，P ⌝:00,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥ D ．P 是真命题，P ⌝:00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥ 【答案】C【解析】先根据三角函数性质判断命题P 的真假，然后再写出P 的否定。
【详解】 当(,)42x ππ∈时，sin 1,tan 1x x <>，sin tan 0x x -<，命题P 是真命题， P ⌝是：00,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥，故选：C. 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定。
【解析】陕西省宝鸡市宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题
西安市第三中学 宝鸡中学 汉中市龙岗学校渭南高级中学 延安市新区高级中学 2020届 高三第一次五校联考理科数学试题一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{A x N y =∈=，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B =I ( )A. (],4-∞B. {}1,3C. {}1,3,5D. []1,3【答案】B由题意可得：{}{}|4,0,1,2,3,4A x x x N =≤∈=，{},5,3,1,1,3,5B =---L L ， 则：{}1,3A B ⋂=. 本题选择B 选项.2.设复数z 满足()12z i i -=（i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则11zz+-（ ） A.1255i + B. 1255i -+C.1255i - D.1255i -- 【答案】C 【分析】先由复数除法计算出z ，再计算11zz+-。
【详解】由题意()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z +===-+--+， ∴11z z +-1(1)(2)121(1)2(2)(2)55i i i i i i i i i +----+====---+--+。
故选：C 。
【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题基础。
3.已知()sin tan f x x x =-，命题P:00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0()0f x ＜，则（ ）A. P 是假命题，P ⌝:00,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥ B. P 是假命题，P ⌝:00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥ C. P 是真命题，P ⌝:00,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥ D. P 是真命题，P ⌝:00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，00f x ()≥ 【答案】C 【分析】先根据三角函数性质判断命题P 的真假，然后再写出P 的否定。
2020年陕西高三一模数学试卷(理科)
2020年陕西高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.设，则在复平面内 对应的点位于（ ）．A. B. C. D.2.已知集合，，则（ ）．3.已知函数，则（ ）．A.是奇函数，在区间上单调递减B.是非奇非偶函数，在区间上单调递减C.是偶函数，在区间上单调递增D.是偶函数，在区间上单调递减4.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四两，甲得十两四钱，戊得五两六钱，问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有人分两银子，甲得两钱，戊得两钱，且甲、乙、丙、丁、戊相邻两人分得银子的差额相等，则乙、丙、丁各分几两几钱？（注：两等于钱）（ ）．A.乙得两，丙得两，丁得两B.乙得两钱，丙得两，丁得两钱C.乙得两钱，丙得两，丁得两钱D.乙得两，丙得两，丁得两开始输入输出结束是否5.执行如图所示的程序框图，则（ ）．A.B.C.D.6.某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为，，，若用分层抽样方法抽取名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了名学生，则的值为（ ）．A.B.C.D.7.设，，，则，，的大小关系是（ ）．A.B.C.D.8.在的展开式中，令的系数为，则含项的系数为（ ）．A.B.C.D.9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线与，的延长线交于，两点，则（ ）．A.B.C.D.10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列四种说法正确的有（ ）．①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③函数的图象在区间上单调递减；④函数的图象在区间上单调递增．A.①④B.②③C.①③D.②④11.正视图侧视图俯视图某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则棱长为的正方体的外接球的表面积为（）．A.B.C.D.12.已知函数在处有极值，设函数，且在区间内不单调，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，若，则．14.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为 ．15.已知双曲线：上存在两点，关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为 ．16.已知数列满足，，当时，，且点是直线上的点，则数列的通项公式为 ；令，则当在区间内时，使的值为正整数的所有值之和为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，在中，，，，，在边上，连接．求角的大小．求的面积．（1）（2）18.年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手，，，，依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是，，，，，并且比赛胜负相互独立．赛会采用局胜制，先赢局者获得胜利．在决赛中，中国队以获胜的概率是多少？求比赛局数的分布列及数学期望．（1）（2）19.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，为直角， 平面，，且．BCD AP求证：．若，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知函数，．证明：当时，．存在，使得当时恒有成立，试确定的取值范围．（1）12（2）21.设椭圆的方程为，为坐标原点，为椭圆的上顶点，为其右焦点，是线段的中点，且．求椭圆的方程．过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆于，两点，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，并延长交椭圆于点，两点．判断的形状．求四边形面积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的普通方程和曲线的直角坐标方程．求上点到距离的最大值及该点坐标．【答案】解析:本题考查复数的运算，由题可知，所以，则在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．故选．解析:本题考查集合及不等式的运算．因为，所以集合．又集合，所以．故选．解析:因为，定义域为，，所以，所以为偶函数，当时，，单调递减，故在上单调递增．故选．（1）（2）23.设函数．当时，求不等式的解集．若的最大值为，求的值．D1.C2.C3.解析:本题考查等差数列的通项公式．根据题意，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，其公差为，则，，所以，即，解得．可得，；，所以乙得两钱，丙得两，丁得两钱．故选．解析:本题考查程序框图．根据程序框图得其程序功能为分段函数的函数值计算，输出，所以，，所以，故选．解析:由分层抽样的定义可得，解得．故选．解析:∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故选．C 4.D 5.D 6.B 7.解析:本题考查二项式定理．由题意可知，即，解得，所以含项的系数为，故选．解析:当直线垂直于轴时，与相似，所以，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，设，，，，联立得，，所以，所以，综上，．故选．解析:由题意得，所以函数的对称轴为直线，，对称中心为点，．在，上单调递减，，上单调递增，B 8.D 9.C 10.所以①③正确，故选．解析:由题意可知该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积，解得，则正方体的棱长为，则其外接球的直径，所以棱长为的正方体外接球的表面积．故选．解析:∵，且在处有极值，∴，即，解得，∴，，∴，∵在内不单调，∴有①或②或③，解①得，解②得无解，解③得无解，∴的取值范围为，故选．A 11.B 12.或解析:由得，解得，所以，，所以．解析:由题可知切线的斜率．又，所以切点坐标为，所以函数的图象在处的切线方程为．又因为圆的圆心坐标为，半径为，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆截得弦长为，则，解得实数的值是或．解析:设，，线段的中点的坐标为，则有，由②①得，∵，∴，∴，∵，∴，13.或14.15.①②③④（1）又，∴又点在直线上，∴，∴，，∴，．即双曲线的离心率为．故答案为：．解析:因为当时，，且点是直线上的点，所以当时，有，所以，所以 ，令得，所以，所以当在内时，即，得，，所以使的值为正整数的所有值之和为 ，故答案为：；．解析:∵，，;16.（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，∴，由题图可知，∴．在中，由余弦定理得：，，解得，∴．解析:若中国队以获胜，则前三局中赢两局输一局，第四局比赛胜利．设中国队以获胜为事件，则：．设比赛局数为，则的取值分别为，，，则，，，则的分布列为：（1）．（2）的的分布列为：．18.（1）（2）．解析:∵平面，平面，∴，∵，且，∴，，∴，，∴，即．又，∵平面，又平面，∴．如图，过点作垂直于点，BCD A PF由知，，又，，∴，，两两垂直，∴以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，设平面的法向量，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）由，得，∴取，设平面的法向量，由，得，∴取，设二面角的平面角为，则，由图可知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．故答案为：．解析:证明：由题意知的定义域为，的定义域为，令，所以，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，成立．由知，当时，，所以当时，不存在满足题意；当时，令，所以，令得，（1）证明见解析．（2）．20.（1）1（2）所以（舍去），，因为，所以，所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即成立．综上，的取值范围为．解析:设椭圆的半焦距为，由题意可得，为的中点，∴，，∴，∴，∴椭圆的方程为．设直线的方程为，且点在第一象限，联立，消去得，显然，∴，，又∵轴，∴，∴，∴直线的方程为，（1）．12（2）直角三角形．．21.2联立，消去得，，∴，∵，∴，，∴，∴，即为直角三角形．根据图形的对称性可知，四边形面积是面积的倍，由（）知为直角三角形，且，∴，又，，∴（1）（2）令，∵，∴，∴，即当时，最大，此时的面积也达到最大，由对称性可知，故当时，最大，．解析:由（为参数），可得，消去参数，得的普通方程为．将去分母得，将，代入，得，所以曲线的直角坐标方程为．由可设的参数方程为（为参数），上点到的距离，当，即，时，，此时，所以上点到距离的最大值为，该点坐标为．（1），．（2），．22.（1）23.（1）（2）解析:当时，，解得；解得，解得，所以原不等式的解集为或．当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，所以的值为或．或．（2）或．。
陕西省宝鸡中学2020年高三年级第一次模拟数学(理科)试题参考答案
2020 年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）参考答案1.【命题立意】本题考察用描述法表示集合时集合交集运算，综合考察集合的表示和绝对值不等式的解法，属于简单题。
体现了数学运算的核心素养。
【解析】解不等式x 1 5得A x 6 x 4易得A B {x 0 x 4}，故选C 2.【命题立意】本题考察了复数的除法运算和复数的模的计算，属于简单题。
体现了数学运算的核心素养。
【解析】(1 ) 2 2i 2i (1i) (1 ) 1 1212 2i Z i Z i i i Z1i (1i )(1i)，故选C3.【命题立意】本题考察向量数量积的坐标运算和向量垂直的充要条件，属于简单题。
体现了直观想象、数学运算的核心素养。
【解析】由题知2a+c=(7,-2),（2a+c）〃b=7m-14=0,m=2,故选A.4.【命题立意】本题考查归纳推理，体现了逻辑推理与数据分析等核心素养【解析】根据题意可得到，这个数列从第三项起，每一项等于其前相邻两项的和。
所以此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,.......，第八项为47，即a8b8 47 选A5【. 命题立意】本题考查样本估计总体，体现了数据分析、直观想象等核心素养。
【解析】由选项知甲乙的平均数相同（实际：甲得分分别为10,13,12,14,16，乙得分分别为13,14,12,12,14 经计算甲乙的平均数均为13），图中明显实线波动较大，方差大。
从折线图看甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．选C6.【命题立意】本题考查充分必要条件和直线和圆的位置关系问题的综合，体现了逻辑推理的核心素养。
【解析】q：由直线y=k푥+2与圆푥2+y2=1相切，所以2k211k3，又p：k=3，q: k 3 ，所以p 是q 的充分不必要条件，故选 C.7.【命题立意】本题考查了指数函数、对数函数的图像及分段函数、函数图像变换等知识点，体现了直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养．11 ( )x , (x 0)3 ( 0)x x13f (x ) log (x 1), (x 0) y f ( x )【解析1】由得，1 x xlog (1 ), ( 0)3131y x 的图像，然后向右平移1个单位，保留x 0 的部分；( )（１）作3y log x（２）作 1 的图像，向左平移1 个单位后再关于y 轴对称（或关于y 轴对称后再右移31 个单位），保留x 0 的部分．选D．【解析2】取x 0得y f (0) 3排A、C，取x 1得y f (1) 1，排B，选D．8.【命题立意】本题考察任意角三角函数的定义，诱导公式及二倍角公式，属于 中等难度。
陕西省宝鸡中学2020届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
陕西省宝鸡中学2020届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−1≤x≤23}，N={x|log2(2x−1)≤0}，则M∩(∁R N)=()A. [−1,1]B. (12,23] C. ⌀ D. [−1,12]【答案】D【解析】解：∵集合M={x|−1≤x≤23}，N={x|log2(2x−1)≤0}={x|12<x≤1}，∴∁R N={x|x≤12或x>1}，∴M∩(∁R N)={x|−1≤x≤12}=[−1,12].故选：D．先分别求出集合M，N，从而求出∁R N，由此能求出M∩(∁R N)．本题考查补集、交集、的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.3+2i2−3i=()A. 1+iB. 1−iC. iD. −i【答案】C【解析】解：3+2i2−3i =(3+2i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=13i13=i．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是()A. 23B. 2 C. 43D. 3【答案】C【解析】解：根据几何概型的概率公式，计算P=S阴影S正方形=13，∴S阴影=13×22=43．故选：C．根据几何概型的概率公式，求出阴影部分的面积．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．4.我国古代数学著作(算法统宗》中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.“那么，此人第4天和第5天共走路程是()A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里【答案】B【解析】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=12的等比数列，由S6=378，得S6=a1(1−126)1−12=378，解得：a1=192，∴a4+a5=192×(12)3+192×(12)4=24+12=36．此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：B．记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=12的等比数列，由S6=378，得S6=a 1(1−126)1−12=378，解得：a 1，利用通项公式可得a 4+a 5．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 若实数x ，y 满足{x +y ≤3x ≤y 2x +y ≥3，则z =yx 的取值范围为( ) A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (2,+∞) D. (0,1)【答案】B【解析】解：由约束条件{x +y ≤3x ≤y 2x +y ≥3画出可行域，如下图，z =yx 的几何意义为(0,0)与可行域内动点(x,y)连线的斜率，由图可知k OA =1，∴z ≥1， 则z =y x 的取值范围为[1,+∞)． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由z =yx 的几何意义，即(0,0)与可行域内动点(x,y)连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A. 求两个正数a，b的最小公倍数B. 判断两个正数a，b是否相等C. 判断其中一个正数是否能被另个正数整除D. 求两个正数a，b的最大公约数【答案】D【解析】解：根据题意执行如图所示的程序框图知，该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题．故选：D．根据程序框图知该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题．本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=√7，c=4，cosB=34，则△ABC的面积等于()A. 3√7B. 3√72C. 9 D. 92【答案】B【解析】解：∵b=√7，c=4，cosB=34，∴sinB=√1−cos2B=√74，∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得：7=a2+16−2×a×4×34，整理可得：a2−6a+9=0，解得：a=3，∴S△ABC=12a⋅c⋅sinB=12×3×4×√74=3√72．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据余弦定理可求a的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.平面直径坐标系xOy中，动点P到圆(x−2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=−1的距离相等，则P点的轨迹方程是()A. y2=8xB. x2=8yC. y2=4xD. x2=4y【答案】A【解析】解：设动点P(x,y)，∵动点P到直线x=−1的距离等于它到圆：(x−2)2+y2=1的点的最小距离，∴|x+1|=√(x−1)2+(y−0)2−1，化简得：6x−2+2|x+1|=y2，当x≥−1时，y2=8x，当x<−1时，y2=4x−4<−8，不合题意．∴点P的轨迹方程为：y2=8x．故选：A．设动点P(x,y)，由已知得|x+1|=√(x−1)2+(y−0)2−1，由此能求出点P的轨迹方程．本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．9.等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d>0，(S8−S5)(S9−S5)<0，则()A. |a7|>|a8|B. |a7|<|a8|C. |a7|=|a8|D. |a7|=0【答案】B【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，有(S8−S5)(S9−S5)<0，即(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0，又由{a n}为等差数列，则有(a6+a7+a8)=3a7，(a6+a7+a8+a9)=2(a7+a8)，(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0⇔a7×(a7+a8)<0，a7与(a7+a8)异号，又由公差d>0，必有a7<0，a8>0，且|a7|<|a8|；故选：B．根据题意，由(S8−S5)(S9−S5)<0分析可得(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0，结合等差数列的性质可得(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0⇔a7×(a7+a8)<0，又由{a n}的公差d>0，分析可得a7<0，a8>0，且|a7|<|a8|；即可得答案．本题考查等差数列的性质，关键是由(S8−S5)(S9−S5)<0，分析得到a7、a8之间的关系．10.已知正三棱柱ABC−A1B1C1，AB=AA1=2，则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为()A. 0B. −14C. 14D. 12【答案】C【解析】解：以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各条棱长为2，则A(0,0，0)，B 1(√3,1，2)，A 1(0,0，2)，C(0,2，0)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，2)，A1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)， 设异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值为θ，则cosθ=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√8×√8=14，故选：C ．以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小． 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.属于中档题．11. 已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b ，则E 的离心率为( ) A. √2 B. √3C. 2D. √5【答案】B【解析】解：由题意可知：双曲线的右焦点F 1，由P 关于原点的对称点为Q ， 则丨OP 丨=丨OQ 丨，∴四边形PFQF1为平行四边，则丨PF1丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF1丨，由|PF|=3|FQ|，根据椭圆的定义丨PF丨−丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，|OP|=b，丨OF1丨=c，∴∠OPF1=90∘，在△QPF1中，丨PQ丨=2b，丨QF1丨=3a，丨PF1丨=a，∴则(2b)2+a2=(3a)2，整理得：b2=2a2，则双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√3，故选：B．由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90∘，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．本题考查双曲线的简单几何性质简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．12.设函数f(x)=(x−a)2+(lnx2−2a)2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f(x0)≤45成立，则实数a值是()A. 15B. 25C. 12D. 1【答案】A【解析】解：函数f(x)可以看作是动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，，解得x=1，∴曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离最小，最小距离d=√5=2√55，则f(x)≥45，根据题意，要使f(x0)≤45，则f(x0)=45，此时N恰好为垂足，由k MN=2a−0a−1=2aa−1=−12，解得a=15．故选：A．把函数看作是动点M(x,lnx2)与动点N(a,2a)之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值．本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(2,1)，a⃗−2b⃗=(1,1)，则a⃗⋅b⃗=______．【答案】1【解析】解：根据题意，设b⃗=(x,y)，则a⃗−2b⃗=(2−2x,1−2y)=(1,1)，则有2−2x=1，1−2y=1，解可得x=12，y=0，则b⃗=(12,0)，则a⃗⋅b⃗=2×12+1×0=1；故答案为：1根据题意，设b⃗=(x,y)，由向量加减法的计算公式可得a⃗−2b⃗=(2−2x,1−2y)=(1,1)，解可得x、y的值，即可得b⃗=(12,0)，进而由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，注意求出b⃗的坐标．14.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a2+b2=c2(a,b，c∈N∗)，我们把a，b，c叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是______．【答案】11，60，61【解析】解：先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数(a)是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…，由以上特点我们可第⑤组勾股数：112=121=60+61，故答案为11，60，61．先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数(a)是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，即可得出结论．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC=BD=√5，则a=______．【答案】2√2【解析】解：由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示：设AF=x，BF=y，CF=z，则√x2+z2=√y2+z2=√5，又4π×(√x2+y2+z2)2=9π，2可得x=y=2，∴a=√x2+y2=2√2．故答案为：2√2．由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，设出过一个顶点的三条棱长，由已知求出三条棱长，则a可求．本题考查球的表面积与体积，考查数学补形思想方法，是中档题．16.已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4且f(x)导函数f′(x)<3，则不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为______．【答案】(0,e)【解析】解：设t=lnx，则不等式f(lnx)>3lnx+1等价为f(t)>3t+1，设g(x)=f(x)−3x−1，则g′(x)=f′(x)−3，∵f(x)的导函数f′(x)<3，∴g′(x)=f′(x)−3<0，此时函数单调递减，∵f(1)=4，∴g(1)=f(1)−3−1=0，则当x>1时，g(x)<g(1)=0，即g(x)<0，则此时g(x)=f(x)−3x−1<0，即不等式f(x)>3x+1的解为x<1，即f(t)>3t+1的解为t<1，由lnx<1，解得0<x<e，即不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为(0,e)，故答案为：(0,e)．构造函数g(x)=f(x)−3x−1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2sinxcosx+2√3cos2x−√3．(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在(−π12,π8)上的值域．【答案】解：(1)函数f(x)=2sinxcosx+2√3cos2x−√3=sin2x+√3cos2x= 2sin(2x+π3)，∴当2kπ+π2≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z时,解得：kπ+π12≤x≤7π12+kπ,k∈Z，因此，函数f(x)的单调减区间为[kπ+π12,7π12+kπ](k∈Z)．(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，可得y=2sin(2x+π3+π3)的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=2sin(4x+2π3)的图象，∵x∈(−π12,π8)，∴4x+2π3∈(π3,7π6)，∴sin(4x+2π3)∈(−12,1],∴y=g(x)的值域为(−1,2]．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调减区间．(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦定义域和值域，求得g(x)的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦定义域和值域，属于中档题．18. 如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC =90∘，AB =BC =PA =1，AD =3，E 是PB 的中点．(1)求证：AE ⊥平面PBC ； (2)求二面角B −PC −D 的余弦值．【答案】 (1)证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)， D(0,3，0)，P(0,0，1)，E(12,0，12)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0，12)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)， BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)． ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP ⊂平面PBC ，且BC ∩BP =B ， 所以AE ⊥平面PBC.(2)解：设平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−1)，所以{3y −z =0−x+2y=0． 令x =2，则y =1，z =3．所以n ⃗ =(2,1，3)是平面PCD 的一个法向量. …8分因为AE ⊥平面PBC ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 平面PBC 的法向量． 所以cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >=AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=5√714．根据图形可知，二面角B −PC −D 的余弦值为−5√714. …10分【解析】(1)建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证得结论；(2)确定平面PCD 、平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式可得结论．本题考查线面垂直，考查面面接哦，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确用坐标表示向量是关键．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点和短轴的两个端点都圆x 2+y 2=1上．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若斜率为k 的直线经过点M(2,0)，且与椭圆C 相交于A ，B 两点，试探讨k 为何值时，OA ⊥OB ．【答案】解：(I)依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆x 2+y 2=1上， 可得b =1，c =1所以a 2=2， 所以椭圆C 的方程；x 22+y 2=1；(II)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为：y =k(x −2)， 由{y =k(x −2)x 22+y 2=1消去y 得：(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2=0， 所以x 1+x 2=8k 21+2k ,x 1x 2=8k 2−21+2k ，因为OA ⊥OB ，所以y 1y 2x 1x 2=−1，即x 1x 2+y 1y 2=0，而y 1y 2=k 2(x 1−2)(x 2−2)，所以x 1x 2+k 2(x 1−2)(x 2−2)=0， 所以(1+k 2)(8k 2−2)1+2k 2−16k 41+2k 2+4k 2=0，解得：k 2=15，此时△>0，所以k =±√5．【解析】(Ⅰ)由题意可得焦点为(±1,0)，短轴的端点为(0,±1)，可得b =c =1，求得a ，进而得到椭圆方程；(II)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为：y =k(x −2)，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，化简计算即可得到所求k 的值．本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．20. 某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．(Ⅰ)若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n ∈N)的函数解析式f(n)；(Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共10周)空调器需求量n(单位：台)，整理得表：以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．【答案】解：(I)当n ≥20时，f(n)=500×20+200×(n −20)=200n +6000， 当n ≤19时，f(n)=500×n −100×(20−n)=600n −2000， ∴f(n)={600n −2000 (n ≤19)200n+6000(n≥20)(n ∈N)．(II)由(1)得f(18)=8800，f(19)=9400，f(20)=10000，f(21)=10200，f(22)=10400，∴P(X=8800)=0.1，P(X=9400)=0.2，P(X=10000)=0.3，P(X=10200)= 0.3，P(X=10400)=0.1，X的分布列为X8800 9400 10000 10200 10400P0.10.20.30.30.1∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1= 9860．【解析】(I)对n分类讨论，利用利润与周需求量的关系即可得出．(II)利用频率估计概率，利用随机变量的分布列即可得出．本题考查了利润与需求量的关系、频率估计概率、随机变量的分布列及其期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2，可得f′(x)=(x−1)e x+2a(x−1)=(x−1)(e x+2a)，①当a≥0时，由f′(x)>0，可得x>1；由f′(x)<0，可得x<1，即有f(x)在(−∞,1)递减；在(1,+∞)递增(如右上图)；②当a<0时，(如右下图)若a=−e，则f′(x)≥0恒成立，即有f(x)2在R上递增；若a<−e时，由f′(x)>0，可得x<1或x>ln(−2a)；2由f′(x)<0，可得1<x<ln(−2a)．即有f(x)在(−∞,1)，(ln(−2a),+∞)递增；在(1,ln(−2a))递减；<a<0，由f′(x)>0，可得x<ln(−2a)或x>1；若−e2由f′(x)<0，可得ln(−2a)<x<1．即有f(x)在(−∞,ln(−2a))，(1,+∞)递增；在(ln(−2a),1)递减；(Ⅱ)①由(Ⅰ)可得当a>0时，f(x)在(−∞,1)递减；在(1,+∞)递增，且f(1)=−e<0，x→+∞，f(x)→+∞；当x→−∞时f(x)>0或找到一个x<1使得f(x)>0对于a>0恒成立，f(x)有两个零点；②当a=0时，f(x)=(x−2)e x，所以f(x)只有一个零点x=2；③当a<0时，时，f(x)在(1,ln(−2a))递减，若a<−e2在(−∞,1)，(ln(−2a),+∞)递增，又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点；当a≥−e时，在(−∞,ln(−2a))单调增，在(1,+∞)单调增，2在(1n(−2a),1)单调减，只有f(ln(−2a))等于0才有两个零点，而当x≤1时，f(x)<0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f(x)有两个零点时，a的取值范围为(0,+∞)．【解析】(Ⅰ)求出f(x)的导数，讨论当a ≥0时，a <−e 2时，a =−e 2时，−e2<a <0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；(Ⅱ)由(Ⅰ)的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{y =sinαx=3cosα(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=√2． (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P(0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|． 【答案】解：(1)由{y =sinαx=3cosα消去参数α，得x 29+y 2=1即C 的普通方程为x 29+y 2=1由ρsin(θ−π4)=√2，得ρsinθ−ρcosθ① 将{y =ρsinθx=ρcosθ代入①得y =x +2 所以直线l 的斜率角为π4．(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为{x =tcosπ4y =2+tsinπ4(t 为参数)即{x =√22t y =2+√22t (t 为参数)，代入x 29+y 2=1并化简得5t 2+18√2t +27=0△=(18√2)2−4×5×27=108>0设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2． 则t 1+t 2=−18√25<0,t 1t 2=275>0，所以t 1<0，t 2<0所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=18√25．【解析】(1)直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，在求出直线的倾斜角．(2)利用定点把直线的直角坐标式转化为参数式，进一步建立一元二次方程根与系数的关系，最后求出结果．本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．23.已知函数f(x)=|x+1|．(1)求不等式f(x)<|2x+1|−1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)−f(−b)．【答案】(1)解：①当x≤−1时，原不等式化为−x−1<−2x−2解得：x<−1；②当−1<x≤−1时，原不等式化为x+1<−2x−2解得：x<−1，此时不等式无解；2③当x>−1时，原不等式化为x+1<2x，解得：x>1．2综上，M={x|x<−1或x>1}；(2)证明：设a，b∈M，∴|a+1|>0，|b|−1>0，则f(ab)=|ab+1|，f(a)−f(−b)=|a+1|−|−b+1|．∴f(ab)−[f(a)−f(−b)]=f(ab)+f(−b)−f(a)=|ab+1|+|1−b|−|a+1|=|ab+1|+|b−1|−|a+1|≥|ab+1+b−1|−|a+1|=|b(a+1)|−|a+1|=|b|⋅|a+1|−|a+1|=|a+1|⋅(|b|−1|)>0，故f(ab)>f(a)−f(−b)成立．【解析】(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(2)由题意可得|a+1|>0，|b|−1>0，化简f(ab)−[f(a)−f(−b)]为|a+1|⋅(|b|−1|)>0，从而证得不等式成立．本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．。
2020年陕西省宝鸡市高三一模(理)(试题+答案解析)
2020年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一，考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ） A . B. C. D.2.i 为虚数单位，设复数Z 满足，则（ ） A .BD.23.已知向量，向量，向量，若，则实数m 的值为（ ） A.2B.-2C.D. 4.观察下列各式：，则（ ）A.47B.76C.121D.1235.某篮球教练对甲乙两位运动员在近五场比赛中的得分情况统计如下图所示： 根据图表给出如下结论：（1）甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差小. （2）甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差大. （3）甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高. （4）甲的成绩较稳定，乙的成绩基本呈上升状态. 以上结论正确的是（ ） A.（1）（3） B.（1）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）{||1|5}A x x =+≤{|05|}B x x =<<A B ={|04}x x <<||45}x x ≤≤||04}x x <≤{|04}x x ≤≤(1)2i Z i +=Z =12(2,1)a =-(,7)b m =(3,0)c =(2)a c b +⊥492492-223344551,3,4,7,11,a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=88a b +=6.已知条件p :q ：直线与圆相切，则p 是q 的（ ） A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数，则函数的大致图象是（ ）A B CD8.已知角a 的终边在直线上，则（ ）B.C.D.9.已知椭圆的左右焦点分别为，，P 为椭圆上一点，且，则的面积为（ ）10.已知函数的图像过点，且两个相邻对称中心距离为，则在上的最大值为（ ） A.3D.1k =2y kx =+221x y +=1133,(0)()log (1),(0)x x f x x x +⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩()y f x =-y =cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭12±2221(20)4x y m m +=>>12F F ，13PF =12PF F ∆()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,38π⎛⎫⎪⎝⎭2π()y f x =,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线一条渐近线交于点P ，若，则该双曲线的离心率为（ ） A.3C.D.12.已知函数，若直线与的图像有且仅有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A . B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。