抛物线焦点弦性质总结30条.doc
抛物线的焦点弦的几何特征
抛物线的焦点弦的几何特征（18条）过抛物线的焦点的弦——抛物线的焦点弦：1．抛物线的焦点弦两端点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也为定值；2．过抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直；3．过抛物线焦点弦两端点的切线的交点在准线上；过抛物线准线上的一点做抛物线的两条切线交抛物线于两点，两交点的连线的线段是焦点弦；4．连接抛物线焦点弦两端点的切线的交点和焦点弦中点的线段平行与抛物线的对称轴且被抛物线平分；5．连接抛物线焦点弦两端点的切线的交点和焦点的线段垂直于焦点弦。
------------------------------------------------------------------------------与抛物线相交与两点a a A x y (,)、b b B x y (,)，AB 中点坐标为d d D x y (,)即a b a b x x y y D ,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过两交点做抛物线的切线a a x x p x x 2()=+、b b x x p x x 2()=+，两切线的交于点c c C x y (,)，连接则CD 交抛物线与点(,)k k K x y ，分别过A B 、两点准线做垂线分别交于G H 、两点，则会得到下列9①a b x x p 2=，a b y y p 24=-；111FA FB FA FB p FA FB ++==，1p =，FA FB FA FB +=； ②AC BC 0=即AC BC ⊥；③c x p =-即点c c C x y (,)在抛物线的准线上；④c d y y =即cd k 0=亦CD 平行于抛物轴y 0=；⑤,2c d c x x K y +⎛⎫ ⎪⎝⎭即点E 为CD 的中点； ⑥CF AB 0=即CF AB ⊥； ⑦以D 为圆心，DA 为半径作圆，则点C 在D 上；AB CD 2=；AD BD CD ==； ⑧以K 为圆心，DK 为半径作圆，则点F 在E 上；2CD KF =；CK DK FK ==； ⑨以C 为圆心，CG 为半径作圆，则点F 在C 上；GH CF 2=。
抛物线焦点弦性质
焦点弦的角平分线性质
总结词
通过抛物线焦点的弦也是该弦所夹角的角平分线。
详细描述
对于给定的抛物线和通过该抛物线焦点的弦，该弦将把与之相交的两个射线平分，也就是说，它是一 个角平分线。这一性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与角平分线相关的问题时。
04 焦点弦的应用
在几何作图中的应用
抛物线的性质
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看的性质和定理将被发现和证明。
未来研究可以进一步探索抛物线焦点弦与其他几何图形之间的关系，以 及在各个领域的应用前景。
同时，随着计算机技术的发展，数值模拟和可视化技术可以为抛物线焦 点弦性质的研究提供更多的手段和方法，有助于更深入地理解这一概念。
物体的运动规律。
05 结论
对抛物线焦点弦性质的总结
抛物线焦点弦性质是几何学中的重要概念，它涉及到抛物线、焦点和弦的一系列特 性。
焦点弦是指通过抛物线焦点的弦，它具有一些特殊的性质，如长度、倾斜角等。
这些性质在几何学、光学、天文学等领域有着广泛的应用，对于解决实际问题具有 重要的意义。
对未来研究的展望
焦点弦的面积性质
总结词
抛物线焦点弦将抛物线划分为两个面 积相等的部分。
详细描述
对于给定的抛物线，通过焦点的弦将 该抛物线分为两个面积相等的区域。 这一性质在几何和解析几何中都有所 应用，是抛物线的一个重要特性。
焦点弦的切线性质
总结词
焦点弦在抛物线上的切点与焦点的连线垂直于该弦。
详细描述
对于抛物线上的任意一点，该点处的切线与通过该点和焦点的连线垂直。这一 性质在解决几何问题时非常有用，因为它揭示了切线、弦和焦点之间的特殊关 系。
焦点弦的性质是抛物线几何性质的一 个重要部分，它在解决一些数学问题 中有着广泛的应用。
抛物线的焦点弦的性质全
1 cos
1 cos
FA FB p
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
思考：若直线AB与x轴的夹角为，焦点∆AOB的面积如何用表示
结论（4）
SAOB
p2
2sin
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：以线段AB为直径的圆与准线有怎样的位置关系？ 思考：以线段AF为直径的圆与y轴有怎样的位置关系？
抛物线焦点弦有关的结论
y
B
F
O
x
A
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：A,B两点的横坐标之间有怎样的关系？纵坐标呢？
结论：(1)x1x2=p2/4; y1y2= -p2;
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2), 思考：如何求弦长|AB|，其最小值是多少？
2.已知抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于P,Q两个 不同的点，P,Q两点在抛物线的准线上的射影分别为M，N，若|MF|=4, |NF|=4, 则p=（ ）
3.过抛物线C: y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，若 |AF|=2 |BF|,则|AB|等于 ( )
结论：(2)|AB|=x1+x2+p 通径长为2 p 过焦点的所有弦中，通径最短
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交 点为A(x1,y1)、B(x2,y2),
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抛物线的焦点弦性质所谓焦点弦，即是过圆锥曲线的焦点的弦。
抛物线的焦点弦，具有许多性质，因其结论简洁，思想深刻，内涵丰富而倍受命题者的青睐。
在高考中，与抛物线的焦点弦相关的性质，无论是选择填空题，还是解答题，均有涉及，难度一般中档及以上。
抛物线的焦点弦问题，本质上属于直线与抛物线的位置关系问题，因此完全可以转化为这种套路解答。
值得说明的是，焦点弦作为特殊的弦，当然有许多特殊的解法，尤其是在选择填空题当中，选择特殊的技巧，不但节约时间，而且提升正确率。
一·套路二·脑洞本题考查抛物线的焦点弦性质，涉及直线的方程、直线与抛物线的位置关系，平面向量的数量积等知识点，考查数形结合的思想和设而不求的思想，属于中档题。
法1，韦达定理。
反设直线方程，这样可以避免斜率不存在时的套路，也使得计算更为简洁；然后联立方程并化简，得到韦达定理；接下来将直角性质转化为向量的数量积运算，代入韦达定理，从而求出结果。
法2，点差法。
设出焦点弦两端点的坐标，代入抛物线，作差得到直线的斜率与中点坐标的关系；然后利用直角性质和抛物线的定义，得出中点坐标，进而得出直线的斜率。
值得说明的是，本题具有深刻的数学背景，它是阿基米德三角形的特殊情况，利用阿基米德三角形的性质可以直接得出结论，堪称完美秒杀。
三·迁移对于2018年高考全国卷，已经是无力吐槽了，无处不透露着一股浓浓的抄袭味道，可见“天下文章一大抄”不是空穴来风。
当然，高考毕竟考了那么多年了，出现这样的情况也不意外。
那么奇怪的是什么呢？这样的情况没有在地方卷里出现，也没有在往年的全国卷里大面积出现。
仔细对比下面变式1，这是2013年全国卷理科的第11题，看到了吧，除了数据上的不同之外，没有什么差异。
更可气的是，同样的题，当年放在第11题，而今年却放在了填空题压轴的位置，这说明了什么呢？自己去体会吧。
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质（1）过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 且A 与B 在准线上的射影分别为A 1与B 1 结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)若2πθ=时, AB 为抛物线的通径,2,AB p =结论得证(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1pp y y AB =+=-+=结论3： 过焦点的弦中通径长最小，最小值为p 2.结论4：抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数42p 和2p -。
(证明见结论9)结论5： 焦点弦AB 被焦点F 分成m ，n 两部分，112m n p+= 即p FB FA 211=+ 证法1：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为E,θ的倾斜角为因为直线L 则θθcos 1cos -=∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER PAF θcos 11-=∴同理可得P BF θcos 11+= ∴pFB FA 211=+证法2：12p m x =+ ， 22pm x =+ 代入整理即可。
结论6：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则1112AB CD p+=结论7：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，切点即为11B A 的中点。
证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知222111AB BFAF BB AA MM =+=+=结论得证。
(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程
有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。
抛物线的焦点弦性质
法二：由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ，（m R） 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p (my ) 2 x my 2 y
即：y 2 pmy p 0
2 2
A
y1 y2 p （定值）
2
O
F B
1 当AB x轴时，
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k，（k 0）
2
y p 2 py 2 消元得y 2 （ p ）即y p2 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 y1 y2 - p ；x1 x2 2 p 2 p 4
p 则直线AB方程为y=k（x- ） 代入抛物线方程y2 2 px 2
1 同理， k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 2 x p ( k ) 0 k2 y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2，
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p2 y y1 y2 y1 y2
2 p | y1 y2 | 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一：设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x
抛物线经典性质总结30条
抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。
AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。
证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。
2.证明：|BF|=x^2/(2p)。
3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明：∠A’FB’=90°。
6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。
7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。
9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。
方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。
(y1+y2)/2)，证毕。
3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。
t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。
y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。
抛物线的几何性质抛物线焦点弦的性质
复习回忆
1.抛物线y2＝2px（p＞0）旳范围、 对称性、顶点、离心率、焦半径分别是 什么？
范围：x≥0，y∈R； 对称性：有关x轴对称；
顶点：原点；
离心率：e＝1；
焦半径：| MF | x0
p
2.
问题提出
过抛物线旳焦点F作直线交抛 物线于A、B两点，线段AB叫做抛物 线旳焦点弦，请你探究焦点弦具有 哪些性质. y A
三角形，那么∠CFD旳大小怎样？
yA C
90°
OF
x
D
B
形成结论
过抛物线y2=2px旳焦点F作直线交抛物线于A、 B两点，焦点弦AB具有如下性质.
1
AB
x1
x2
p
2p
sin2
;
2 AB 有最小值,为通径长2p;
yA D
3 y1 y2
p2 , x1x2
p2 4
;
4 1 1 2 ;
O
M
F
x
AF BF p
课堂小结
1.抛物线有许多几何性质，探究抛物线 旳几何性质，可作为一种研究性学习 课题，其中焦点弦性质中旳有些结论 会对解题有一定旳帮助.
2.焦点弦性质y1y2＝－p2是对焦点在 x轴上旳抛物线而言旳，对焦点在y轴 上旳抛物线，类似地有x1x2＝－p2.
O
F
x
B
探求新知
设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，
y12、) 焦点弦AB旳长怎样计算？
yA
|AB|＝x1＋x2＋p
O Fx B
探求新知
y 2、抛物线旳焦点弦AB旳长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
过抛物线的焦点的弦的一般性质
过抛物线的焦点的弦的一般性质
不妨设抛物线方程为)0(22>=p px y ，则焦点)0,2(p F ，准线l 的方程：2p x -=. 过焦点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，又作AA 1⊥l ,BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1. 基本概念:
1.若AB 垂直于抛物线的对称轴，则称线段AB 为抛物线的通径。
|AB|=.
2.设P(x 0,y 0)是抛物线y 2=2px(p>0)上的一点，则P 到抛物线焦点F 的距离|PF|称为P 点的焦半径。
|PF|=；直线AB 经过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)（AB 则为抛物线的焦点弦）. 结论1：4221p x x =⋅(定值)，22212k
p p k x x +=+. 结论2：221p y y -=⋅(定值)，k p y y 221=
+.
结论3：(1)弦长p x x p x p x BB AA BF AF AB ++=+++=+=+=2121112
2||||||||||. (2)若AB 所在的直线的倾斜角为α，则α
2sin 2||p AB =.
结论4：若此焦点弦AB 被焦点F 分成n m ,两部分，则p
n m 211=+． 结论5：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦中通径最小．
结论6：以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切．
结论7：以抛物线焦半径||AF 为直径的圆与y 轴相切．
结论8：F B F A 11⊥.
结论9：若M 为11B A 的中点，则AB MF ⊥.
结论10：在梯形AA 1B 1B 中，两对角线AB 1与BA 1相交于点抛物线顶点O .。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论1. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线的焦点重合。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以，焦点到直线的距离与直线到焦点的距离相等，因此两个焦点与焦点弦重合。
2. 抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
证明：由于抛物线的准线与直线平行，所以准线到焦点的距离与焦点到直线的距离相等。
因此，抛物线焦点弦的两个端点与抛物线的准线的焦点重合。
3. 抛物线焦点弦与抛物线的法线平行。
证明：由于抛物线的定义，法线通过焦点并垂直于准线。
而抛物线焦点弦是抛物线的切线，与法线平行。
4. 抛物线焦点弦的中点位于抛物线的准线上。
证明：由于抛物线的准线与抛物线的焦点重合，所以抛物线焦点弦的中点与抛物线准线的焦点重合。
5. 抛物线焦点弦的两个焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
证明：根据抛物线的定义，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以焦点与抛物线焦点弦的中点共线。
6. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行。
证明：抛物线焦点弦是抛物线的切线，而抛物线的切线与准线平行。
7. 抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
证明：由于抛物线的对称轴与准线重合，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦在抛物线的对称轴上。
8. 抛物线焦点弦是抛物线的一个特殊弦，它经过焦点，并且与抛物线的对称轴垂直。
证明：由抛物线的定义可知，焦点到定点和定点到直线的距离相等。
所以抛物线焦点弦经过焦点。
另外，抛物线的对称轴与准线垂直，而抛物线焦点弦与准线重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的对称轴垂直。
9. 抛物线焦点弦是抛物线的一条切线，且与抛物线的直径垂直。
证明：由抛物线的定义可知，抛物线的焦点到直线和焦点到定点的距离相等，所以抛物线焦点弦是抛物线的切线。
另外，根据抛物线的性质可知，直径与对称轴垂直，而抛物线焦点弦与对称轴重合，所以抛物线焦点弦与抛物线的直径垂直。
10. 抛物线焦点弦与抛物线的切线平行，并且经过抛物线的焦点。
抛物线焦点弦的性质
p ( 设抛物线 y = 2px p > 0) 的焦点为F 2 , 0 ,直线 L过焦点F且与抛物线交于A,B两点,过A,B分别向 准线作垂线,垂足为D,C.
2
p2 1. x1x2 = , y1y2 = −p2 4
2.弦长 AB = x1 + x2 + p ,且以通径最短.
.
C H D
y
B O E F A
x
3.
1 1 2 + = AF BF p
4. ∠ AOB为钝角
0 0 5. ∠CFD = 90 , ∠AHB = 90 , HF ⊥ AB
p ( 设抛物线 y = 2px p > 0) 的焦点为F 2 , 0 ,直线 L过焦点F且与抛物线交于A,B两点,过A,B分别向 准线作垂线,垂足为D,C.
2
例4 以抛物线 y = 2px (p>0)的焦半径为直 径的圆与y轴的位置关系是 (B) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2
• • • •
作业 课本P123.6 P133.2 案例学习法P273.19(2)
2
变形:若直线AB过定点(2p,0)呢? 猜测:欲使原点对A,B的张角为锐角,则直线 AB过抛物线对称轴上的定点的横坐标有何 范围?
例2 抛物线 y
2
= 2x 与过焦点的直线交于
A,B两点,求 OA ⋅ OB 的值.
例3 若抛物线 y = 2px (p>0)上三点的纵坐 标的平方成等差数列,则相应三个点的焦半径 A.成等差数列 B.成等比数列 C.既成等差又成等比数列 D.既不成等差也不成等比数列
2
6.以AB为直径的圆和准线相切. 思考:椭圆和双曲线中有无类似结论? 7.A,O,C及B,O,D各三点共线 8.抛物线上不存在两点关于直线AB对称.
抛物线焦点弦性质总结30条
1. 以AB 90(AC 2. 3. '90A FB ∠('A F 4.C F '⊥5.BC '垂直平分B F ' 6.AC '垂直平分A F ' 7.抛物线的准线与x 轴相交于点P ，则.BPF APF ∠=∠ 8.B 、O 、A '三点共线 9. A 、O 、B '三点共线10. 2124p x x = 11. 212y y p =-12. 123222()22sin p p AB x x p x d α=++=+==弦中点到准线 11'('')22CC AB AA BB ==+ 13. 123222()22cos p p AB y y p y d α=++=+==弦中点到准线14. 焦点弦弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，叫通径，焦点弦弦长最短为2p. 有2AB p ≥15. 112AF BF P +=； 1cos P AF α=-； 1cos P BF α=+16. 243p OB OA -=⋅17. 22sin AOB P S α=18. ⇔⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆AF BF BF AF p S AOB 42弦AB 过焦点 19. 23()2AOB S P AB = 20. ||||||2FB FA F C ⋅='; 2A'B'4AF BF =⋅; 1C'F A'B'2=21. AB 3P K =y ； 2p 22y tan =x -α 22. 切点在抛物线上的切线方程 ()x x p y y +=0023. 点)0,(p D 处的结论：点)0,(p 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点： )0,(a A 在点)0,(p 左边时顶点O 到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为a ;)0,(a A 在点)0,(p 右边时横坐标为p a -的两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近，最近距离为22p ap -.24. 设过点()0,p D 的直线交抛物线px y 22=于A 、B ,则=+2211DB DA 21p 25. 点)0,2(p E 处的结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p .（2）2214p x x =，2214p y y -=. 26. 准线上的有关结论：过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。
抛物线焦点弦性质经典30条
4t 2
2p2 4
t2
0,
PQ1 PQ2.
15.A、O、 B 三点共线；B、O、 A 三点共线； 证 明 ： A 、 O 、 B 三 点 共 线
kOA
kOB x1y2
p 2
y1
y12 2p
y2
p 2
y1
y1y2 p 2.
同理可证：B、O、 A 三点共线.
16. y1 y2
得证.
20． SABC
p2 sin2
证明：
S ABC
1 2
|
AB
| | PF
|
1 2
2p
1
1 k2
p2(
y1 2
y2 ) 2
p
1
1 k2
p2 (
p k
)
2
p 2(1
1 k2
)
p2 sin2
21. AB 2 p ；
证明：由
AB
2p sin2
得证.
22. kAB 2 p ； 证明：由点差法得证. y1 y2
Q1
(
y12 2p
,
y1
),
Q2
(
y22 2p
, y2 ), 则y1
y2
2t, y1 y2
p 2,
kFQ1 kFQ2
y1 y12 p
y2 2py1 2py2 y22 p y12 p2 y22 p2
2p 2 2p 2
2 py1 2 py2 y12 y1 y2 y22 y1 y2
1. | AF | x1
p 2
,|
BF
|
x2
p 2
,
2. CC 1 AB 1 ( AA BB ) ；
抛物线焦点弦经典性质
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点的线段叫做 抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3： 过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的 定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2
抛物线30条经典性质及其证明
抛物线的30条经典性质及证明已知抛物线22(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点.AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K.求证：1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+2.11()22CC AB AA BB '''==+；3.以AB 为直径的圆与准线L 相切；证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r'''=+=+==4.90AC B '∠=；(由1可证)5.90A FB ''∠= ；,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠ 证明：同理：1,2B FK BFK '∠=∠得证.6.1C F A B 2'''=.证明：由90A FB ''∠=得证.7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '；证明：由1C F A B 2'''=可知，1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴ 又得证同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B’F 平分BFK ∠.证明：由AC '垂直平分A F '可证.9.C F 'AB ⊥；证明：122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅-- 22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；证明：作AH 垂直x 轴于点H，则||||||||||cos ,||1cos pAF AA KF FH p AF AF αα'==+=+∴=-.同理可证另一个.11.112AF BF P+=;证明：由1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；得证.12.点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明：（方法一）设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-，与22y px =联立，得21122()0,ky py p y kx -+-=由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：111,2y pk x y ==得证.证法二：（求导）22y px =两边对x 求导得1122,,|x x p pyy p y y y y ='''==∴=得证.13.AC’是切线，切点为A；BC’是切线，切点为B；证明：易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+，点B 处的切线为22()y y p x x =+，解得两切线的交点为12(,22y y p C +'-,得证.14.过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线，则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明：设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点，过点P 作抛物线的切线，切点为2(,)2y Q y p ,22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+显然22440,t p ∆=+>切点有两个，设为2221211221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p+==-则1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++所以Q 1Q 2过焦点.22222222121212*********(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y tp p p +⋅=+-⋅+-=++-++ 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线；B 、O 、A '三点共线；证明：A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证：B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-；1224p x x ⋅=证明：设AB 的方程为(2py k x =-，与22y px =联立，得2220,ky py kp --=212122,,py y y y p k∴+==-224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅==17.1222sin p AB x x p α=++=证明：1212,22p pAB AF FB x x x x p =+=+++=++||2AB p =222sin pα==得证.18.22sin AOBp S α∆=；证明：122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅⋅22sin p α==.19.322AOBS pAB∆⎛⎫= ⎪⎝⎭（定值）；证明：由22sinpABα=、22sinAOBpSα∆=得证.20．22sinABCp Sα'∆=证明：11||||222 ABCS AB PF'∆=⋅=⋅22221(1)sinppkα==+=21.2AB p≥；证明：由22sinpABα=得证.22.122ABpky y=+；证明：由点差法得证.23.121222tanP Py yx xα==--;证明：作AA2垂直x轴于点A2,在2AA F∆中，2121tan,2AA yFA pxα==-同理可证另一个.24.2A B4AF BF''=⋅;证明：2212124||4()()22p pA B AF BF y y x x''=⋅⇔-=++2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p⇔+-=+++⇔-=+，由122y y p⋅=-，1224px x⋅=得证.25.设CC’交抛物线于点M，则点M是CC’的中点；证明：12121212 (,),(),CC, 22224x x y y y y x x ppC C++++-''-∴中点横坐标为把122y yy+=代入22y px=，得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x+++-+-=∴==所以点M的横坐标为12.4x x px+-=点M是CC’的中点.当弦AB 不过焦点时，设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ，求证：26.点P 在直线x m =-上证明：设:,AB x ty m =+与22y px =联立，得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-，又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y y y y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩，相减得代入11()y y p x x =+得，22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27.设PC 交抛物线于点M ，则点M 是PC 的中点；证明：121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为把122y y y +=代入22y px =，得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴== 所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1，B 1，则PA 垂直平分A 1F ，PB 垂直平分B 1F ，从而PA 平分1A AF ∠，PB 平分1B BF∠证明：1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥--又1||||AF AA =，所以PA 垂直平分A 1F.同理可证另一个.证法二：1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====--111tan tan 11AP AA AF APAF AP AP AA k k k k FAP PAA k k k k --∴∠-∠=-+⋅+⋅12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-==--=-+++⋅+⋅-11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠同理可证另一个29.PFA PFB∠=∠证明：11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理：只需证易证：111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30．2||||||FA FB PF ⋅= 证明：22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++1212(,),22y y y y P p + 22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭得证.例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C（0，c）（c>0）作直线与抛物线y=x 2相交于A、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线y+c=0交于P、Q。
抛物线的焦点弦性质
(1)AO交准线于C,则直线CB平行于抛线的对称轴.
证明: 设直线AB的方程:
y
x my p ,代入y2 2px,得
A
2
y2 2pmy p2 0.
OF
设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1y2 p2. C
B
y=y x1 1x， x=-p 2联 立 得 C （ -p 2， -2 px y1 1）
y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=2ps. 证明：设AB 的方程为ｘ=mｙ＋s （m∈Ｒ）
代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，
y1•y22ps x1x2
y12 2p
•
y22 2p
（
2 ps）2 4p2
s2
(2). 若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
证明：如图，
1=2 3，4=5 6， 又1345 1800，
y A1 2
A
14 900，即AFB 900
13
O
5
4 6
F
X
B1
B
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(3)x1x2=p2/4;
2
消 元 得 y 2 2 （ py p ） 即 y 2 2 p y p 2 0
k2
k
y1y2
-p2；x1x2
y21 • y21 2p 2p
p2 4
法二：由题知AB不与x轴平行
设AB方程为xmyp，（mR）
[很全]抛物线焦点弦的有关结论
![[很全]抛物线焦点弦的有关结论](https://img.taocdn.com/s3/m/79486e4ddcccda38376baf1ffc4ffe473368fdc9.png)
[很全]抛物线焦点弦的有关结论
抛物线焦点弦，又称抛物线弦或抛物线，是经典代数几何中最常见的曲线之一，其关
于抛物线的有关结论有如下：
1. 抛物线的方程为y²=2px，或x²=2py，其中p为抛物线的焦距，“焦点”F(p，0)
和“直径”2p定义如下：
2. 抛物线呈对称性，它的轴对称轴是一条直线，被称为“抛物线弦”。
3. 给定两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，抛物线的焦距p及对称轴的方程为：
p=(x1x2+y1y2)/2，
y=kx+(x1x2+y1y2)/2，
其中k=(y2-y1)/(x2-x1)；
4. 关于抛物线的离心率，抛物线的离心率是1/2的抛物线的离心率；
5. 关于抛物线的焦点，抛物线的焦点是抛物线围绕其中心旋转的法线，焦点的距离
是抛物线弦的长；
6. 抛物线弦所得到的线段，其投影与原点构成的线段n、n1相等。
7. 抛物线弦的位置关系，抛物线弦若与坐标轴垂直，则与坐标轴的切点的距离的平
方等于抛物线的焦距的两倍；若抛物线弦与坐标轴平行，则抛物线弦与坐标轴的切点的距
离相等；
8. 抛物线弦上的点对抛物线有特殊意义，“拱点”是抛物线可能拱起的点，“切点”是抛物线可能与其他直线相交的点，“焦点”是抛物线的中心，而“弦定点”则是抛物线
弦中心和焦点的中点。
总之，抛物线焦点弦是经典代数几何中最常见的曲线之一，其关于抛物线的诸多结论
都可以从对称轴的方程、焦点弦的长度及相关点的位置关系中得出。
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抛物线焦点弦性质总结 30 条
基础回顾
1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切；
p 2
2.
x 1gx 2 ;
4
3.
y 1gy 2
p 2 ;
4. AC ' B 90o ;
5.
A' FB ' 90o ;
6. AB x 1 x 2 p 2( x 3
p 2 p ;
)
sin 2
2
1 1 2
7.
BF
;
AF
P
8. A 、 O 、 B '
三点共线；
9. B 、 O 、 A ' 三点共线；
10. S V AOB
P 2 ；
2sin
11.
S V
2
AOB
P 3
（定值）；
AB
( )
2
12. AF
P
；
BF
P ；
cos
cos
1
1
13. BC ' 垂直平分 B '
F ；
14. AC ' 垂直平分 A 'F ；
15. C 'F AB ；
16. AB 2P ；
17. CC'
1
AB
1
( AA' BB')
；
2
2
18.
K AB =
P
；
y 3
19. tan = y
2
p
;
x 2 - 2
2
20.
A'B'
4 AF BF ;
21. C'F
1
A'B' .
2
切线方程 y 0 y m x 0 x 性质深究
一 ) 焦点弦与切线
1、
过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？
结论 1：交点在准线上
先猜后证：当弦
AB x 轴时，则点 P 的坐标为
证明: 从略
结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
p
,0 在准线上．
2
结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点
P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．
2、上述命题的逆命题是否成立？
结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
先猜后证：过准线与
x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点．
结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
3、 AB 是抛物线 y 2
2 px （p ＞ 0）焦点弦， Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， AA 1 l ， BB 1 l ，过 A ， B 的
切线相交于 P ， PQ 与抛物线交于点 M ．则有
结论 6PA ⊥ PB ．
结论 7PF ⊥ AB ．
结论 8
平分 ．
M PQ
结论 9
PA 平分∠ 1
， 平分∠1．
AAB PB B BA
结论 10 FA FB
2
PF
结论 11 S PAB
min
p 2
二 ) 非焦点弦与切线
思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时，
也有与上述结论类似结果：
结论 12
① x p
y 1
y
2 ，
y p
y 1 y 2
2 p
2
结论 13
平分∠ 1，同理
平分∠ 1．
PA A AB PB
B BA
结论 14
PFA PFB
结论 15
点 M 平分 PQ
2
结论 16
FA FB PF
相关考题
1、已知抛物线 x
2
4y 的焦点为 F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且
AFFB （ ＞0），过 A ，B 两点分别作抛物
线的切线，设其交点为
，
M
（ 1）证明： FM AB 的值；
（ 2）设
ABM 的面积为 S ，写出 S f
的表达式，并求 S 的最小值．
2、已知抛物线 C 的方程为 x
2
4 y ，焦点为 F ，准线为 l ，直线 m 交抛物线于两点 A ， B ；
（ 1）过点
A 的抛物线 C 的切线与
y 轴交于点
，求证：
AF DF ；
D
（ 2）若直线 m 过焦点 F ，分别过点 A ，B 的两条切线相交于点 M ，求证： AM ⊥BM ，且点 M 在直线 l 上． 3、对每个正整数 n ，
A n x n , y n 是抛物线 x 2
4y 上的点，过焦点
n
F 的直线 FA 交抛物线于另一点 B n s n ,t n ， （ 1）
试证： x n s n 4 （ n ≥1）
（ 2 ） 取 x n
2n ， 并 C n
为抛物线上分别以 A n 与 B n 为 切 点 的 两 条 切 线 的 交 点 ， 求 证 ：
FC 1 FC 2
FC n 2n
2 n 1
1 （n ≥ 1）。