(完整word版)2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读

2019年高考全国卷Ⅰ数学试题解读

蚌埠市教育教学创新研究会 杨培明 杨 熙

每年高考后,一些“有才”的数学老师会说:“今年高考数学容易,所有的题目我都讲过了”.今年高考后依然如此,这些职业吹牛的“有才”老师,是不可能有进步的.

2019年高考已落下帷幕,2019年的高考数学势必会给高中数学教学,尤其是高三数学迎考带来很大的冲击,也给许多希望进步的老师和学生,提出了一些值得深思的问题.

一.小题真的大题化吗？

[例1]:(2019年全国Ⅰ卷(理科)第10题,(文科)第12题)已知椭圆C 的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直

线与C 交于A 、B 两点,若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( ) (A)

2

2x +y 2

=1 (B)

3

2x +

2

2y =1 (C)4

2

x +

3

2y =1 (D)5

2

x +

4

2y =1

本题(客观题,小题)与如下高考解答题(大题),不仅同构,而且难度相当. (2010年辽宁高考理科第20题)设椭圆C:

2

2a x +

2

2b y =1(a>b>0)的左焦点为F,

过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为600

,AF =2FB . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;

(Ⅱ)如果|AB|=4

15,求椭圆C 的方程.

[官方解析]:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2<0; (Ⅰ)直线l 的方程为y=

3

(x+c),其中c=2

2b a -;联立⎪⎩⎪⎨

⎧

=++=2

22222)

(3b

a y a x

b

c x y 得(3a 2+b 2)y 2

-2

3

b 2cy-3b 4

=0(不易

想到消x 得关于y 的方程),解得y 1=

2

223)2(3b a a c b ++,y 2=

2223)2(3b a a c b +-(易想到利用韦达定理,不联系下一步,不知为何要解出y 1,y 2),因为AF =2FB ,所以-y 1=2y 2,即-2

2

23)2(3b

a a c

b ++=2⋅

2

2

23)2(3b

a a c

b +-,得离心率e=a

c =3

2;

(Ⅱ)因为|AB|=2

11k

+

|y 1-y 2|,所以

3

2⋅

2

2

2334b

a a

b +=4

15,由a

c =3

2得b=

3

5a,所以4

5a=4

15,得a=3,b=

5

,椭圆

C 的方程为:

9

2

x +

5

2y =1.

难道小题真的大题化吗？如果按照官方解析求解例1,则真的就是“小题大做”,即使得到正确结果,由于用时过长,也造成潜在失分.我们知道客观题只要结果,无需过程.因此,小题快解是应对高考的首要问题.多年的实践证明:利用高考数学母题,可达到小题快解之目的.

我们在《2019年高考数学押题密卷(六套卷)》(见母题网、百度文库和豆丁网等网站,以下简称《六套卷》)的第三卷(理科)中,我们给出: (《六套卷》第三卷(理科)第10题)过双曲线C:4

362

2y x -=1的右焦点F 的直线与其右支交于A,B 两点.若

|AF|=m,|BF|=n,则

n

m 11+=( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [母题]:设圆锥曲线(双曲线需同支)中,共线焦半径分别为r,R,通径为L,则r

1+

R

1=L

4.

[解析]:由母题:

n

m 11+=2

2b

a =3.故选(C). 利用上述母题,可给例1的绝妙解答. [解析]:由|AF 2|=2|F 2B|和

|

|1

2AF +

|

|12BF =2

2b

a ⇒

|F 2B|=a

b 432,|AF 2|=a

b 232

;又由|AB|=|BF 1|

⇒

a

b 232

+2⋅

a

b 432=2a ⇒

2

2a b =3

2.故选(B).

根据上述母题,可妙解所有焦点分焦点弦比的问题,如:

1.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .

2.(2010年全国Ⅱ高考试题)已知椭圆C:2

2a x +

2

2b y =1(a>b>0)的离心率为

2

3

,过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线与C 相交于A 、B 两点.若AF =3FB ,则k=( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)2

高考数学母题不是解决某道试题的特殊技巧、方法和结论,而是解决一类试题的核心结论和本质方法.举例如下:

[例2]:(《六套卷》第二卷(理科)第15题)如图,已知双曲线C:22

a

x -2

2b y =1的右焦点为F,

以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆O 与双曲线C 的一条渐近线相交于点B,若BF 的中点A 在双曲线C 的另一条渐近线上,则双曲线C 的两条渐近线夹角是 . [母题]:若双曲线C:

2

2a x -

2

2b y =1的右焦点为F,则以原点O 为圆心,|OF|为半径的圆O 与双曲线C 的渐近线

相交于点的横坐标=±a.

[解析]:由母题知,B(-a,b),又F(c,0)⇒BF 的中点A(2

a c -,2

b );由点A(2

a c -,2

b )在y=a

b x 上⇒

2

b =a

b ⋅

2a c -⇒a

c

=2⇒

a

b

=

3⇒

∠AOF=3

π

⇒

双曲线C 的两条渐近线夹角=3

π.

利用上述母题,可快解:

(2019年全国Ⅰ卷(理科)第16题)已知双曲线C:

2

2a x -

2

2b y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2,

过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点.若A F 1=AB ,B F 1⋅B F 2=0,则双曲线

C

的离心率为 .

[解析]:由母题知,B(a,b),又F 1(-c,0)⇒BF 1的中点A(

2

c a -,2

b );由点A(2

c a -,2

b )在y=-a

b x ⇒

2

b =a

b

⋅

2

a c -

⇒

e=a

c =2.

对比以上两题:①由同一个母题生成;②所有条件相同;③解题程序同构,两题的契合度之高,令人称奇.利用高考数学母题预测高考试