多元函数极值的充分条件演示课件

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全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
求函数极值的一般步骤：zf(x,y)
第一步 解方程组
fx(x, y) 0
fy(x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点 (x0, y0)
求出二阶偏导数的值A、B、C.
同时要考虑偏导 数不存在的点
第三步 根据 AC B2 的符号，判断是否为极值点.
Cfyy(x， y)6y6，A CB 236(x1)(1y)
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A B C AC-B2 结论
定理学习
例题解析
内容小结
（1,0）
（1,2）
（-3,0） （-3,2）
12
12
-12
-12
0
0
0
0
6
-6
6
-6
72 极小，-5
-72 无极值
-72 无极值
72 极大，31
L (x ,y)R (x ,y)xy
即
L (x ,y ) 1 5 1 4 x 3 2 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
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复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
令 Lx148y4x0
Ly328x20y0
求得驻点（1.5,1），在该点处
A 4, B8,C20, A C B 2806416 0
第九章 多元函数微分法及其应用
知识点名称：091303 多元函数极值的充分条件
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多元函数极值的充分条件
❖ 复习引入 ❖ 定理学习 ❖ 例题解析 ❖ 内容小结
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定理学习
函数的极值 函数可疑点
例题解析
内容小结
用料 最省
实际应用
成本 最低
12 2 x x cos 0
24 cos 2x cos x(cos2 sin 2 ) 0
解得: 60 , x 8 (cm)
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由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点,
故此点即为所求.
A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
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例题解析
内容小结
例2 某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R（万元）与 电视广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下关系：
R (x ,y ) 1 5 1 5 x 3 3 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
在广告费用不限的条件下，求利润最大时 广告策略； 解：由题意可知，利润函数：
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例题解析
内容小结
练习2 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm,倾角为 , 则断面面积为
A
1( 2
24 2x 2x cos
24 2x ) x sin
24x sin 2x2 sin x2 cos sin
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例题解析
内容小结
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下：
ACB2 0 取得极值 ACB2 0 没有极值
A 0
A
0
极大值 极小值
ACB2 0 情况不定
Afxx(x0， y0) ，B fxy(x0，y0) ，C fyy(x0，y0)
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例题解析
内容小结
例1 求函数 f(x ， y)x3y33x23y29x的极值.
解 由方程组
fx
fy
3x2 6x9 3y2 6y0
0
解得驻点为(1，0)，(1，2)，(–3，0)， (–3，2).
A fxx(x， y)6x6，Bfxy(x，y)0 ，
A6x6, B0,C6y6, A CB 236(x1)(1y)
f(x ， y)x 3y33x23y29x
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复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
练习1 求函数f(x ， y)y3x26x12y5的极值.
解得驻点为(3，2)，(3，–2). 极大值 f(3， 2)30
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(
D
:
0
x
12,
0
2
)
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内容小结
二元函数取得极值的充分条件 求二元函数极值的一般步骤
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（优化问题）
利润
最大
驻点
. .
.
不可 导点
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二元函数取极值的 充分条件
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内容小结
定理2
设函数 z f(x, y)在点( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续，
并有一阶和二阶连续偏导数，且
fx (x0 , y0 ) 0
f
y
(
x0
,
y0
)
0
记 Afxx(x0， y0)，B fxy(x0，y0)，C fyy(x0，y0)
该点是函数的极大值点，也是最大值点，
故最佳广告策略为，电视广告投入1.5万元，报纸广告投入1万元.
L (x ,y ) 1 5 1 4 x 3 2 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
Afxx(x0， y0) B fxy(x0，y0) C fyy(x0，y0)
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(D
:
0
x
12,
0
2
)
x 24
x
24 2x
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定理学习
例题解析
内容小结
令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin 2 ) 0
sin 0 , x 0