多元函数极值的充分条件演示课件
多元函数极值与最值课件
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值
定义1 设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻
域内有定义，
对于该邻域内的任何点 x, y x0, y0 ，若总有
f x, y f x0, y0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
构造拉格朗日函数
31
F x, y, 100x4 y4 50000 150x 250y
由方程组
1 1
Fx 75x 4 y 4 150 0
Fy
3
25x 4
3
y4
250
0
F 50 000 150x 250 y 0
中的第一个方程解得
1
1
x4
1
y4
2
，将其代入第二
个方程中，得
3 3
1 1
其中 x ，y 就是函数在条件 x, y=0 下的可能
极值点的坐标.
（3）如何确定所求点是否为极值点，在实际问题中往 往可根据问题本身的性质来判定. 拉格朗日乘数法也可能推广到自变量多于两个而条件 多于一个的情形.
例如，求函数 u f x, y, z,t 在条件 x, y, z,t 0 ，
多元函数极值的充分条件10ppt课件
(D
:
0
x
12,
0
2
)
x
24
.
x
24 2x
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内容小结
令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin 2 ) 0
sin 0 , x 0
.
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
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二元函数取得极值的充分条件 求二元函数极值的一般步骤
.
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L( x, y) R( x, y) x y
即
L( x, y) 15 14x 32 y 8xy 2x2 10 y2
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令 Lx 14 8 y 4x 0
Ly 32 8x 20 y 0
求得驻点（1.5,1），在该点处
fy (x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 )
求出二阶偏导数的值A、B、C.
同时要考虑偏导 数不存在的点
第三步 根据 AC B 2 的符号，判断是否为极值点.
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例1 求函数 f ( x，y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值.
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第六章-多元函数微积分多元函数的极值及其求法-PPT课件
p1632,p214时，利润可到达最大，而此时的产量为
q1 9,q2 6
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事实上，Lp1p2 8
Lp1p1 4
Lp2p2 20
，
.又因 ( L p 1 p 2 ) 2 L p 1 p 1 L p 2 p 2 8 2 ( 4 ) ( 2 0 ) 0 .
(x,y,z)0下的极值.
设L ( x , y , z ,1 ,2 ) f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
F x f x 1x 2x 0
F y fy 1y2y 0
解方程组 F z fz 1z 2z 0
F1 0 F1 0
1 1 1 1 xyza
下的极值.
x 0 , y 0 ,z 0 ,a 0
解 作拉格朗日函数
L(x, y,z,) xyz1x1y1za1.
由
L
x
yz
x2
0
xyz
. x
L
y
xz
y2
0
xyz
. y
L z
xy
z2
0
xyz
. z
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那么有3xyz1x1y1za. xyx3a
Ay 2(xy82)0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 2
高为 2 时, 水箱所用材料最省.
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设 为商品q 1A的需求量, 为商q品2 B的需求量, 其
需求函数分别为 q 1 1 2 p 6 1 4 p 2 ,q 2 2 4 p 0 1 1 p 2 ,0 总本钱函数为 C3q12q，2 其中 p1, p2为商品A和B的价格, 试问价格 p1, p2 取何值时可使利润最大?
16-8.多元函数有极值的充分条件PPT
函数有极值的充分条件定理（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有二阶连续偏导数， 一、函数有极值的充分条件又 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ， 令 A y x f xx =),(00， B y x f xy =),(00， C y x f yy =),(00， 则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，当0<A 时有极大值， 当0>A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值； （3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例题 求由方程y x z y x 22222+-++0104=--z 确定的函数),(y x f z =的极值 将方程两边分别对y x ,求偏导⎩⎨⎧='-+'⋅+='--'⋅+0422204222y y x x z z z y z z z x 由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(-P ,将上方程组再分别对y x ,求偏导数,解,21|,0|,21|zz C z B z z A P yy P xy P xx -=''==''=-=''= 故 )2(0)2(122≠<--=-z z AC B ,函数在P 有极值.将)1,1(-P 代入原方程,有6,221=-=z z ,当21-=z 时，041>=A ,所以2)1,1(-=-=f z 为极小值；当62=z 时，041<-=A ,所以6)1,1(=-=f z 为极大值.第一步 解方程组,0),(=y x f x 0),(=y x f y 求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A 、B 、C .第三步 定出2B AC -的符号，再判定是否是极值.二、求极值的步骤三、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）求函数的极值的步骤。
12-6.多元函数的极大值与极小值PPT
多元函数的极值
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？
x y y x 4570+-y x 7680-+每天的收益为=
),(y x f )7680)(2.1()4570)(1(y x y y x x -+-++--求最大收益即为求二元函数的最大值.
一、问题的提出
的图形
观察二元函数22+=y x e xy
z -播放
设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内
有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点
),(y x ：若满足不等式),(),(00y x f y x f <，则称函数在),(00y x 有极大值；若满足不等式),(),(00y x f y x f >，则称函数在),(00y x 有极小值；
极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.
二、二元函数极值的定义
(1)(2)(3)
例1处有极小值．在函数)0,0(4322y x z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22y x z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xy z =
三、小结
多元函数的极值。
高数多元函数的极值和条件极值教师教材.ppt
,
得
x
y
z
2
3
x y z 2 0
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为
Smax
R2 2
3sin
2
3
3 3 R2 4 青苗辅导
.
xyz
24
2. 求平面上以 a ,b , c , d 为边的面积最大的四边形 ,
试列出其目标函数和约束条件 ?
a b
提示:
d
目标函数 : S 1 ab sin 1 cd sin
2
2
(0 ,0 )
c
约束条件 : a2 b2 2ab cos c2 d 2 2cd cos
答案: , 即四边形内接于圆时面积最大 .
青苗辅导
25
f (P) 为最小(大) 值
青苗辅导
10
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
S3
1 2
R2
sin
z
设拉氏函数 F sin x sin y sin z (x y z 2 )
cos x 0 解方程组 cos y 0
课件8-8多元函数的极值资料
（1）当AC B2 0时具有极值
当A 0时,有极大值, 当A 0时,有极小值; （2）当AC B2 0时没有极值；
（3）当AC B2 0 时，可能有极值,也可能
没有极值，还需另作讨论．
例4 求函数 的极值.
0，
解得 x 4.85, y 4.46
根据题意可知,最大值一定存在, 并在开区域
D ( x, y) x 2, y 3 内取得，又函数在D内
只有唯一驻点(4.85,4.46), 因此可断定本地的
饮料价格约定为4.85元,外地的约为4.46元时，
收益最大.
三、条件极值及拉格朗日乘数法
与一元函数相类似,我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及 在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
例5 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y)
在直线 x y 6，x轴和y轴所围成的闭区
在D内驻点处 f (2,1) 4，
在边界 x 0和 y 0上, f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，f (4,2) 64,
y
比较函数值后可知：
x y6
D (4,2)
f (2,1) 4为最大值,
(2,1)
o
x
f (4,2) 64为最小值.
例6 某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶
在边界x y 6上，即 y 6 x y
于是 f ( x, y) x2(6 x)(2), 由 fx 4x( x 6) 2x2 0,
学习_课件98多元函数的极值及其求法
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求 最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
G
x0
x02 a2
0,
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点， 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） ：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )
14-7.多元函数有极值的必要条件PPT
多元函数有极值的必要条件(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yx z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22yx z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xyz =定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值,则对于),(00y x 的某邻域内任意≠),(y x ),(00y x 都有<),(y x f ),(00y x f ,证二、多元函数取得极值的条件故当0y y =，0x x ≠时，有<),(0y x f ),(00y x f ,说明一元函数),(0y x f 在0x x =处有极大值,必有 0),(00=y x f x ;类似地可证 0),(00=y x f y .推广 如果三元函数),,(z y x f u =在点),,(000z y x P 具有偏导数，则它在),,(000z y x P 有极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z .例如, 点)0,0(是函数xy z 的驻点，但不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点思考：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：三、小结定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .驻点极值点注意：。
10多元函数的极值 78页PPT
取极值.
该定理的常用写法是下面的形式.
定理 (可微的二元函数极值判别法)
设 z f ( x , y ) C 2 (x 0 U , y 0 )g ) ( f ( , r x 0 , y 0 a ) 0 ,d
记
2 f A x2
, (x0,y0 )
B 2 f xy
, ( x0 , y0 )
x
y
该结论还 graf可 (d x0,y写 0)0为 , 或 f(x0,y0)0, J(fx0,y0)0.
下面看看函数极值的几何意义
设函数 f(x,y)在点 (x0, y0 ) 处可微且取 极值, 则相应的曲面 zf(x,y)在点 (x0, y0)
处的切平面方程为
f x ( x 0 ,y 0 ) x ( x 0 ) f y ( x 0 ,y 0 ) y ( y 0 ) ( z z 0 ) 0
函数 z x2 y2 在点 (0, 0) 处偏导数不存在.
固定 y0(x0),发现相应的一元函数 z | x | (z| y|)在 x0(y0)处取极值.
将以上对两例的分析与极值的定义 综合起来, 你能得出什么样的结论？
得出结论没有？
如果点X0 是函数的极值点,则在过X0 的任何 一条曲线上,点X0 将仍是函数的极值点.
先以二元函数为例, 叙述结果, 然后将它 推广到一般的 n 元函数.
若 X0(x0, y0)是函数 f (x, y) 的极值点, 则
x 0 是一元函数 f (x, y0) 的极值点; y 0 是一元函数 f (x0 , y) 的极值点,
但函数 f (x, y) 在极值点 X0(x0, y0) 处偏导数可 能存在, 也可能不存在, 故可得到结论:
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知识点名称：091303 多元函数极值的充分条件
1
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多元函数极值的充分条件
❖ 复习引入 ❖ 定理学习 ❖ 例题解析 ❖ 内容小结
2
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
函数的极值 函数可疑点
例题解析
内容小结
用料 最省
实际应用
成本 最低
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
例2 某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R（万元）与 电视广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下关系：
R (x ,y ) 1 5 1 5 x 3 3 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
在广告费用不限的条件下，求利润最大时 广告策略； 解：由题意可知，利润函数：
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
练习2 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm,倾角为 , 则断面面积为
A
1( 2
24 2x 2x cos
24 2x ) x sin
24x sin 2x2 sin x2 cos sin
（优化问题）
利润
最大
驻点
. .
.
不可 导点
3
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
二元函数取极值的 充分条件
例题解析
内容小结
定理2
设函数 z f(x, y)在点( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续，
并有一阶和二阶连续偏导数，且
fx (x0 , y0 ) 0
f
y
(
x0
,
y0
)
0
记 Afxx(x0， y0)，B fxy(x0，y0)，C fyy(x0，y0)
4
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复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下：
ACB2 0 取得极值 ACB2 0 没有极值
A 0
A
0
极大值 极小值
ACB2 0 情况不定
Afxx(x0， y0) ，B fxy(x0，y0) ，C fyy(x0，y0)
该点是函数的极大值点，也是最大值点，
故最佳广告策略为，电视广告投入1.5万元，报纸广告投入1万元.
L (x ,y ) 1 5 1 4 x 3 2 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
Afxx(x0， y0) B fxy(x0，y0) C fyy(x0，y0)
11
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L (x ,y)R (x ,y)xy
即
L (x ,y ) 1 5 1 4 x 3 2 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
10
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复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
令 Lx148y4x0
Ly328x20y0
求得驻点（1.5,1），在该点处
A 4, B8,C20, A C B 2806416 0
5
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复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
求函数极值的一般步骤：zf(x,y)
第一步 解方程组
fx(x, y) 0
fy(x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点 (x0, y0)
求出二阶偏导数的值A、B、C.
同时要考虑偏导 数不存在的点
第三步 根据 AC B2 的符号，判断是否为极值点.
A6x6, B0,C6y6, A CB 236(x1)(1y)
f(x ， y)x 3y33x23设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
练习1 求函数f(x ， y)y3x26x12y5的极值.
解得驻点为(3，2)，(3，–2). 极大值 f(3， 2)30
9
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6
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
例1 求函数 f(x ， y)x3y33x23y29x的极值.
解 由方程组
fx
fy
3x2 6x9 3y2 6y0
0
解得驻点为(1，0)，(1，2)，(–3，0)， (–3，2).
A fxx(x， y)6x6，Bfxy(x，y)0 ，
12 2 x x cos 0
24 cos 2x cos x(cos2 sin 2 ) 0
解得: 60 , x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点,
故此点即为所求.
A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
13
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复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
二元函数取得极值的充分条件 求二元函数极值的一般步骤
14
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Cfyy(x， y)6y6，A CB 236(x1)(1y)
7
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
A B C AC-B2 结论
定理学习
例题解析
内容小结
（1,0）
（1,2）
（-3,0） （-3,2）
12
12
-12
-12
0
0
0
0
6
-6
6
-6
72 极小，-5
-72 无极值
-72 无极值
72 极大，31
(D
:
0
x
12,
0
2
)
x 24
x
24 2x
12
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复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin 2 ) 0
sin 0 , x 0