第7讲平行线分线段成比例定理

初二（下）数学

第7讲 比例线段及平行线分线段成比例定理应用(1)

§Ⅰ 知识点清单

★一、概念：

1．两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、

n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成

n

m

CD AB =． 2．成比例线段:是指在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段成比例．

★★★二、比例的性质：

（1）比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。 这条性质是今后比例式与等积式互化的理论依据．

（2）合比性质：若d c b a =，则d d

c b b a +=+。

（3）等比性质：若d c b a =，则d

d

c b b a -=-。

这里设k n m

d c b a ＝＝＝＝ ，得a =kb ，

c ＝k

d ，…，m ＝kn ，是今后学习中常用方法．

★★★三、黄金分割点

如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），若AC BC

AB AC =，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即 ．

★★★四、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

基本图形：

1、平行线分线段成比例定理的基本图形：（A 型、X 型）

A B C

D

E

F

E

D C

B A

一招制胜：基本图形分离法，分离出基本图形，或者通过辅助线，构造基本图形！

§Ⅳ 典例精析

◎基本考点一：考查两条线段的比及成比例线段的概念 【例1】 1、已知 a=1.2 ，b=2，c=3，d=5，问这四段成比例吗？

2、把c

ab

x =

写成比例式，且使x 为第四比例项。 3、用不同的比例式表示m 是a 、b 的比例中项。

A B C

⇒

CF 平移至过点D

◎基本考点二：比例的性质的灵活运用

【例1】 已知：2===f

e

d c b a )0(≠++f d b 求下列各式的值：（1）f d b

e c a ++++；（2）

f d b e c a +-+-；（3）f d b e

c a 3232+-+-；

（4）f b e a 55--

变式议练：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 上的点，

2

3

===AE AC DE BC AD AB ，并且△ABC 的周长为6.9cm ，求△ADE 的周长．

【例2】 已知2:3:4::=c

b a ，且1433=-+

c b a ．

（1） 求a ，b ，c ； （2）求c b a +-34的值．

变式议练：（2008年巴中市）若

0234x y z ==≠，则23x y

z

+= ．

【例3】 已知：

c b a +=a c b +=b a

c +=x ，求x 的值．

变式议练：

1、已知：

c b a +=a c b +=b a

c +=k ，那么直线y=kx-k 一定经过哪些象限

◎基本考点三：黄金分割的运用

【例1】 如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，2

1

5-=BC

AB

≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．

变式议练：

如图，在矩形ABCD 中，AB ＝

15-，AD ＝2，且四边形ABE F 是一个正方形．试

问点E 是B C 的黄金分割点吗？请说明理由．

A

B

C

D

E

F

A

C

D

B

E

F

◎基本考点四：平行线分线段成比例定理应用 题型一、三角形中直接观察寻找基本图形解决问题

例1、 已知：如图，BC DE //，7:3:=OC EO ，求BC ED ,AB AE ,DC

AD

例2、 已知：在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，与AC 相交于点D ;BC DE //，交AB 于点E ，

9=AE ，12=BC ，求BE 的长。

例3、 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB

于D 、E ，求证：

1=+EB

AE

DC AD

证明：过A 点作直线BC l ，分别延长CE ，BD 交F G l ,于

()

定值又的中点为所以的中点为又又11,,,,,,=+∴=∴=∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠=∴∴=+=+=+∴∠=∠∠=∠==∴

BE

AE

CD AD BC FG BC FG CPB

FPG FCB AFC GBC AGB PG

BP BG P AB M FG MN BC MN BC FG BC AF AG BC AF BC AG BE AE CD AD FCB AFC GBC AGB BC

AF

BE AE BC AG CD AD l

A

B

例4、 （上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，a AD =，b BC =，E ,F

分别是AD

,BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

A

E

D B

C

O A E A

B

E D

C P

N

M

E D C

B

A Q

P

F

E

D C

B

A