第7讲平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理 课件
证法 3：如图所示，过 D 作 DN∥BC，交 AB 于 N. ∵ND∥EB，∴DENB＝DEFF， ∵ND∥BC，∴DBNC＝ACDA，即CCAB＝DADN， ∵AD＝EB，∴DADN＝DEBN，∴FEDF＝CCAB. ∴EF∶FD＝CA∶CB. 点评：本题应用了平行线分线段成比例定理的推论：用平行于三角 形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形与原三 角形的三边对应成比例．解决本题时还用到了“中间量”，通过等 量代换完成了证明过程．
题型二 求线段的长
例 3 的长．
分析：要求 BC 的长，由于 BC 和 BD 是对应线段， 因此只需得出 AC∥DE 即可． 解析：∵∠A＝∠E，∴AC∥DE.∴BBDC＝ABBE. ∵B8C＝12，∴BC＝4. 点评：利用比例定理求线段长时，应尽可能所求 成为比例式一项．
平行线分线段成比例定理
题型一 证明关系 例1 如图所示，DE∥BC，EF∥DC，求证：AD2＝AF·AB.
证明：因为 DE∥BC， 所以AADB＝AAEC(平行于三角形一边的直线截其他两 边所得的对应线段成比例)． 因为 EF∥DC， 所以AADF＝AAEC. 所以AADF＝AADB，即 AD2＝AF·AB.
例2 如图所示，已知直线l截△ABC三边所在的直线分 别交于E，F，D三点，且AD＝BE.求证EF∶FD＝ CA∶CB.
分析：借助平行线分线段成比例定理即可证得．
证法 1：如图所示，过 D 作 DK∥AB 交 EC 于点 K， 则FEDF＝EBBK，ACDA＝BBCK，即CBAC＝ABDK， ∵AD＝BE，∴ACDA＝BBEK，∴FEDF＝CCAB. ∴EF∶FD＝CA∶CB. 证法 2：如图所示，过 E 作 EP∥AB 交 CA 的延长线于点 P. ∵AB∥EP，∴CBBE＝CAAP，即CCAB＝BAEP， ∵在△DPE 中，AF∥PE， ∴FEDF＝AADP，∵AD＝BE，∴BAEP＝AADP， ∴CCAB＝FEDF.∴EF∶FD＝CA∶CB.
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理讲义
二、平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比
例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.
1.平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
如图1-1
图1-1
若，则，(或；或)
定理的证明“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论
之一：
(1)简称“上比下”等于“上比下”
(2)简称“上比全”等于“上比全”
(3)简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.
2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)
主要的基本图形：
1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP
交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.
点评：此题利用平行线分线段成比例定理，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长.
2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
求证：EF：FD=CA：CB.
图2-2又AD=BE
∴.
证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.
证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.。
平行线分线段成比例定理 课件
1．平行线分线段成比例定理有哪些变式？ 【提示】 变式有DABE＝BECF，DABE＝DACF，BECF＝DACF. 2．平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正 确的吗？ 【提示】 平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果 三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直 线平行，这个命题是错误的．
3．怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？ 【提示】 (1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定 理．(2)它包括以下三种基本图形(其中 DE 为截线)．
习惯上称前两种为“A 型”，第三种为“X 型”．
(3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的 两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边．
1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形． 2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题 应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来 促成比例线段的产生． 3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没 有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线， 从而达到转移比例的目的，如本题中，EFPP＝MCNN＝AGMC＝AACB.
如图 1－2－7 所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC， EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD.
(1)求OADE＋OBCE的值； (2)求证：A1D＋B1C＝E2F.
【思路探究】 (1)利用比例线段转化所求； (2)证出 EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．
【自主解答】 (1)∵OE∥AD，∴AODE＝BAEB. ∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC， ∴OBCE＝AAEB， ∴OADE＋OBCE＝BAEB＋AAEB＝BEA＋BAE＝1.
高三数学平行线分线段成比例
. .
.
；泉州代理记账 泉州代理记账；
道法,还有各种神术,奇术,都是从这三皇の秘术中演变而来の.太阴,太阳,太蚀.随便哪壹位古皇,都是震古烁今の人物,是这壹方天地の绝世强者.而这三皇の地位,又有些不同.因为太阴和太蚀,可以说是两位邪皇,而太阳才是正皇.从他们の名字上就可以分辩出来了,除了太阳正统壹些,其它の两皇都 有些邪の道法.而且这三位古皇,据说是同壹个时代の人物,从实力高低来看,其实太阳古皇是最强の,而太阴次之,太蚀又次之.太阳古皇,当年是以壹敌二の.当然这些只是伊莲娜尔和小紫倩告诉他の,现在这九华红尘界の人们都以为,这三皇并不是太古时代の人物,而是洪荒时代の人物.而且还传,这 三皇绝对不是同壹个时代の古皇,而是分属三个时代の.这两个版本の传说,当然是伊莲娜尔和小紫倩の更为可信了,只是现在の九华红尘界中,没有一些人知道罢了.蒙天爱这丫头の血脉有些特别,根汉现在也无法完全看透,可能真与什么太阴古皇有什么关系吧.只是若是很深の关系の话,她体内の天 阴之气又是从何而来呢,要是の话,应该是太阴之气.太阴之气,比之天阴之气还要恐怖.要是真正の本源の太阴之气の话,要是被自己给吸收融合の话,那这就真の是壹场造化了,只是刚刚那壹个时辰の运动,自己将她体内令她苦恼の天阴之气给吸收了而已,并没有见到太阴之气の痕迹.想也是想不明白 の,蒙天爱の元灵,根汉也无法完全扫透.扫不透,他也不会强行去扫,那样子会对她の元灵造成伤害,既然都有了这层关系了,起码根汉不会想着伤害她.她要是想走,自己也不拦着她.要是她留下来,自己也欢迎,只要不是太过份の要求,自己都会答应她.谁叫自己是男人,而她是女人呢.（正文叁077不计 较）叁07捌传送出错叁07捌她要是想走,自己也不拦着她.要是她留下来,自己也欢迎,只要不是太过份の要求,自己都会答应她.谁叫自己是男人,而她是女人呢.半个月后,神域,北部.壹
§27.2 平行线分线段成比例定理
推论
A
B AD B E C l1 C A(D) B
D
E
l1
l2 F l 3
l2
F l 3
E
C
F
平行线分线段成比例定理的推论
A D
E
B
C
A
左 全 左 上 右 上 右 全
AD AE = BD CE AD BD = AE CE AD AB = AE AC BD CE = AB AC
左上 右上 左下 = 右下 左上 左下 右上 = 右下 左上 左全 右上 = 右全 左下 右下 左全 = 右全
练习
如图， 在△ABC中，DE∥BC，S△BCD:S △ABC =1:4，若AC=2，求EC的长.
A
D
B
E C
例三
A D E
B
F
C
练习
已知：如图，EF∥BC，DF∥CE 求证：AE2=AD· AB
A D
E B
F
C
如图，D是△ABC的BC边上的点，BD:DC= 2:1，E是AD的中点，连结BE并延长交AC A 于F ． 求：(1)EB:EF的值． F E (2)AF:CF的值．
E 如果E不是AB的 中点，比如E是 AB三等分点？五 等分点呢？
F C
B
A E2 E1 B F2 F1
C
A E1 E2 B F1 F2 C
如果E不是AB的 中点，比如E是 AB三等分点？五 等分点，F点是？
A
E4
E3
E2 E1 B F4 F3 A
F4 F3 F2 F1 C E4
E3
F2 F1
E2 E1
§27.2 平行线分线段成 比例定理
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所
得的对应线段成比例.
结论2：平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
说明： ①定理的条件是“两条直线+一组平行线所截”. ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字. 强化“对应”两字理解和记忆如图：
AB EF BD FH
BD FH AB EF AB EF AD EH
特 殊
一般
推论：平行于三角形一边的 直线截其它两边（或两边的 延长线），所得的对应线段 成比例。
特殊
五、新知运用
1、如图，△ABC中，DE∥BC，AD=6cm， BD=2cm，AE=4cm，求EC、AC的长。
A
D B
E
C
2、如图，AC⊥BC于点C,DE⊥AC于点E. （1）求证：AD AE
AB AC
推论１：
经过梯形一腰 与底 直线，必平分另一腰。 的
推论２：
经过三角形一边的 与另 一边 的直线必平分第三 边。
二、新知探究
继续探究：在前面的问题中，若AB:BC=1:2,那么 DE:EF=?请尝试数学证明。
追问：上述问题中，若AB:BC=m:n,那么DE:EF=m:n吗？你 又能得到什么结论？
结论：如果 AD//BE//CF， 那么 AB:BC=DE:EF=m:n
几何语言： ∵AD//BE//CF,且AB=BC ∴DE=EF
应用创新
A Ａ D Ｄ Ａ A
E Ｅ
BＢ
F Ｆ
C Ｃ
Ｄ D
B
Ｅ E
C
Ｂ
Ｃ
已知：（如图）梯形ABCD中， E是AB的中点，AD//BC//EF。 求证：F是CD的中点。
平行线分线段成比例定理
D
E
C B B F C F C AB AC AC BC AB AC BC = = = = AD AE AE BF AD AE DE
推论2.平行于三角形一边， 推论 平行于三角形一边，并且和其他两边 平行于三角形一边 或两边延长线） （或两边延长线）相交的直线所截得的三 角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 角形的三边与原三角形的三边对应成比例
DB EC
AD AE = AB AC
……
平行线分三角形两边成比例定理: 平行线分三角形两边成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边, 平行于三角形一边的直线截其他两边, 所得的对应线段成比例. 所得的对应线段成比例.
A D E
B
C
思 考： 平行于三角形一边 E 的直线截其他两边 A 的延长线,所得的 的延长线, B 对应线段成比例. 对应线段成比例. C D
l1 AP = P B = BP = P P = P C. 1 1 2 2 3 3 ' l1 ' ' DP1' = P' E = EP2 = P2P3' = P3' F 1 l2 ' ' 因为 DE = 2DP EF = 3DP1' 1 l2 ' ' AB DE l3 DE 2DP1 2 = = = ∴ ' BC EF l3 EF 3DP1 3
EF n = DE m源自l1 l2EF + DE n + m = DE m
l3
即
DF m+ n = DE m
∴
DE m = DF m + n
AB BC AC = = 已知：如图， 求证： 。 已知：如图，1 // l2 // l3 ， 求证： l DE EF DF 证明： 证明：因为 l1 // l2 // l3 AB DE （平行线分线段成 A D = 比例定理）。 BC EF 比例定理）。 AB BC B E = DE EF F C BC EF （平行线分线段成 因为 = 比例定理）。 AC DF 比例定理）。 BC AC = EF DF 上 下 全
平行线分线段成比例定理
左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC
平行线分线段成比例定理
如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥 如图，有一块形状为直角梯形的草地， 直道，两个拐角A 处均为直角， 直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥 直道EF垂直于AB 垂足为E.已知AE EF垂直于AB， E.已知AE长 EB长 DF长 直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长 c米.求CF.
要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D B C A E F E D D E F C A B B C C E D B A E F A B E D
F D
C A
16 16 8 CF = DE = , BF = 8= . 3 3 3
B
F
C
例2:三角形内角平分线分对边成两线 三角形内角平分线分对边成两线 这两线段和相邻的两边成比例. 段,这两线段和相邻的两边成比例 这两线段和相邻的两边成比例
A
4 3
E
已知： 是 已知：AD是△ABC中∠A的平 中 的平 分线， 分线， BD AB 求证： 求证：DC
课 堂 小 结
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？ 定理有何联系？
A B D E
AB 当 =1 BC AB 当 ≠1 BC
A B
D E
C
F
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！ 结论：后者是前者的一种特殊情况！ 平行线分线段成比例定理： 平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 对应线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
l4
l5
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 如何不通过测量，运用所学知识， 子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。
也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。
上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和相似两个知识点）。
设三条平行线与直线1交于ABC三点，与直线2交于DEF三点过A做平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D做平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又：AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=AM/MN=DE/EF编辑本段定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得对应线段成比相等的。
三角形一边的平行线平行线分线段成比例定理如图，梯形ABCD中，AD‖BC，EF经过梯形对角线的焦点O，且EF‖AD。
（1）求证：OE=OF；（2）求OE/AD+OE/BC的值；（3）求证：1/AD+1/BC=2/EF。
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
初二下第7讲--平行线分线段成比例定理及应用1
初二（下）数学第7讲 平行线分线段成比例定理及其应用(1)一、考点定位：平行线分线段成比例定理及其应用；二、主干梳理：1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2、平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例。
3、如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三、基本图形：1、平行线分线段成比例定理的基本图形：（A 型、X 型）A B CDEFEDCB A一招制胜：基本图形分离法，分离出基本图形，或者通过辅助线，构造基本图形！四、考点聚焦：考点题型一：三角形中直接观察寻找基本图形解决问题例1、 已知：如图，BC DE //，7:3:=OC EO ，求BC ED ,AB AE ,DCAD例2、 已知：在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，与AC 相交于点D ;BC DE //，交AB 于点E ，9=AE ，12=BC ，求BE 的长。
例3、 （上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，a AD =，b BC =，E ,F分别是AD ,BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
例4、 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PS PR PN PM ⋅=⋅⇒CF 平移至过点DAEDBCOAA E ABE DC QPFED CB A lSR PNMODC BA变式训练：1、已知：BC EF //,求证：DCBDGF EG =2、已知：CD AB //，F 为AC 的中点，FG DE //.若52=CD AB ,求EDFG3、已知：CD EF AB ////，求证：CDAB EF 111+=考点题型二：三角形中构造基本图形解决问题核心辅助线：平行线例5、 已知ABC ∆中，21=BE CE ，21=DB AD ，求：FDCF例6、 在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2:3:=DB AD ，2:1:=EC AE ，直线ED 和CB 的延长线交于点F ，求（1）FC FB : （2）FE FD :例7、 如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AB AE 41=， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则=CDBC. （2）如图（2），已知ABC ∆中，3:1:=EB AE ，1:2:=DC BD ，AD 与CE 相交于F ，则FDAFFC EF + 的值为（ ） A.25 B.1 C.23D.2ABCDEFACFEDBA(1)MEDCBA(2)F EDCBA例8、 已知等腰直角ABC ∆中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且CD CE =, 过C 、D 分别作AE 的垂线，交斜边AB 于L ，K ． 求证：LK BL =．课 后 作 业1、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作BC EG //交AB 于E ，交CD 于F ，交AD 的延长线于G 。
(定稿2)平行线分线段成比例定理
A
D
L1
B
E F
L2 L3
ac 则DE=（ ） b
3、如图1：已知L1∥L2∥L3 ， AB=3厘米，BC=2厘米，DF=4.5厘米. 则EF=（ 1.8 ），DE=（ 2.7 ）.
4、如图2：△ABC中，DE ∥BC，如果 AE ：EC=7 ：3，则DB ：AB=（ 3:10 ）
A
A B F D E C L1 L2 L3
l1 a1
AB DE 2 则： . BC EF 3
我们们已经得到 AB 2 若l1 //l2 //l3 , ， BC 3 AB DE DE 2 即： 则 BC EF EF 3
A B C
l
l D E F
l1 l2
l3
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
AB DE 怎样由 得到其它比例式？ BC EF
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF AB CB
2 CF 16 , 即CF 3 8 3
16 8 BF 8 - 3 3
例2. 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论 F 证明 在ABC中, DE//BC, AB AC
D
E C
G
用平行线分线段成比例定理. B 故作CG//AB,且与DE的延长 线交于点G.
证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G. ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC AD DE . ∵CG//AB, ∴DE:DG=AE:AC AB DG ∵四边形DEFB为平行四边形， ∴DG=BC.
平行线分线段成比例定理课件
图形说明：平行线分割线段成 比例
通过图形示例，展示平行线如何将线段分割成特定的比例。
定理公式的证明
学习平行线分线段的成比例定理的证明过程，深入理解定理的来源和原理。
常见的实例练习
通过一些真实生活中的例子，帮助学生更好地掌握并应用平行线ห้องสมุดไป่ตู้线段成比 例定理。
平行线分线段成比例定理 ppt课件
通过这个PPT课件，我们将学习平行线分线段成比例定理及其应用。
定理介绍
平行线分线段成比例定理是基于平行线的性质，可以帮助我们计算线段的长 度比例。
平行线的定义和性质
学习平行线的定义、平行线之间的关系以及平行线的性质，为后续定理的理 解打下基础。
相交线和平行线的性质
证明的应用：几何问题的解决
展示平行线分线段成比例定理在解决实际几何问题中的应用，启发学生思考和探索。
实例题目的解析
通过解析一些具体的题目，帮助学生掌握定理的具体应用方法和思路。
3.2 平行线分线段成比例定理
D F = DIFI= 2 AD AIDI 3
D F = DIFI= 2 AF AIFI 5
怎样用文字把以上发现表述出来？
平行线分线段成比例定理：
两条线段被一组平行线所截，所得的 对应 线段成比例.
A B C
D
形象记忆
AB BC l2 E BC AB l3 AB F AC BC AC
l1
综上所述：若l 则： 1//l 2 //l 3,
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3， AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
B E C
例题2：如图，已知FG∥BC ， AE∥GH ∥ CD
AB ED = 求证： BF DH
A F H D G C B
1、过平行四边形ABCD的一个顶点A作一 直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延 长线于点E、F、G。求证：EA2=EF•EG
A E
B D
F
G
C
2、如图，AC ∥EF ∥ BD
F
C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2
A B C
A1
？B1 ？C1
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
l3
27.2.1 平行线分线段成比例定理
NO.7 课题：27.2.1 平行线分线段成比例定理主编： 审核： 课型：新授课 验收负责人：学习目标：1. 经历平行线分线段成比例定理的探索过程；掌握平行线分线段成比例定理.2. 掌握平行线分线段成比例定理的推论.学习重点：平行线分线段成比例定理及其推论.学习难点：平行线分线段成比例定理的探索过程以及定理的灵活应用.一、预习导学 简记如图，△ABC 与△DEF 相似，求未知边x ，y及未知角的度数和相似比.二、学习研讨1.相似三角形定义在△ABC 和△A ’B ’C ’中，如果 ；即 ，我们就说△ABC 与△A ’B ’C ’相似，记作： ，把 叫做相似比；若△ABC ∽△A ’B ’C ’，则△ABC 与△A ’B ’C ’的相似比为, △A ’B ’C ’与△ABC 的相似比为 .2. 平行线分线段成比例定理探究：如图，任意画两条直线12,l l ，再画三条与12,l l 相交的平行线345,,l l l .分别测量345,,l l l 在1l 上截得的两条线段得AB= ,BC= ，在2l 上截得的两条线段得DE= ，EF= ，计算得AB BC = ,DE EF = ,发现：AB BC DE EFL 54L 54任意平移5l ，再度量AB,BC,DE,EF 的长度，上述结论还成立吗? 简记 事实上，当3l ∥4l ∥5l 时，都可以得到ABBC DEEF ，还可以得到 平行线分线段成比例定理 符号语言：.(如图)符号语言： 例 在△ABC 中，点D 是AB 的中点，DE//BC ，DE 交AC 于点E. 求证：△ADE ∽△ABC （换课本练习1）三、巩固提高已知，如图，DE//BC ，AE=4cm,(1)若 ，求 EC (2)若 ，求 AC四、教（学）后反思ABC D E 5L 35L 3B C D EAB C DE23AD AB =25AD BD =。
第七讲成比例线段和平行线分线段成比例
第七讲成比例线段和平行线分线段成比例（一）成比例线段关于成比例线段应注意以下两点:(1)线段的比是指两条线段长度之间的比的关系,而成比例线段是指四条线段长度之间的比的关系.(2)线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如是线段a,b,c,d成比例,而不是线段a,c,b,d成比例.典例分析知识点1：利用成比例线段的定义判断线段是否成比例例1:下列各组线段的长度成比例的是（）A．3cm，6cm，7cm，9cm B．1.1cm，1.2cm，1.3cm，1.4cmC．20m，40m，60m，80m D．0.3cm，0.6cm，0.9cm，1.8cm知识点2：成比例线段定义的理解例2：（1）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b的比例中项等于cm．（2）四条线段a,b,c,d成比例,且a=14 cm,b=16 cm,c=13 cm,则d=.（3）在比例尺为1：8000的某市区地图上，康平路长约为25厘米，则它的实际长度约为（）A．320米B．320厘米C．2000厘米D．2000米知识点3：等比性质的证明例3：如图所示,已知=2,你能求出的值吗?知识点4：利用比例的基本性质判断式子是否成立例4：（1）已知=，下列式子一定成立的是（）A．3x=4y B．x=12y C．xy=12 D．4x=3y（2）已知3x=4y（x≠4），则下列各式不成立的是（）A．=B．=C．=D．=知识点5：利用基本比例的性质求分式的值例5：（1）如果，那么=．（2）若，则=．知识点6：利用等比性质求值例6：（1）若a、b、c、d满足==，则=．（2）已知,b+d+f=50,那么a+c+e=（3）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．（4）若===k，则k的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1（5）已知：，求代数式的值．（二）平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例基本事实的总结:【文字叙述】 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 【符号表述】 如图所示,直线l 1,l 2,l 3截直线a ,b ,且l 1∥l 2∥l 3,则EFDEBC AB.注： (1)理解“对应”的含义:对应线段成比例,是指所得的对应位置的线段成比例,如,,,.(2)平行线分线段成比例定理与平行直线和被截两直线的交点位置无关.2.推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例. 典例分析知识点7：利用平行线分线段成比例找比例线段 例7：（1）如图所示,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式中错误的是( )A.B.C.D.例7（1）图 例7（2）图（2）如图，AC ∥BD ，AD 与BC 交于点E ，过点E 作EF ∥BD ，交线段AB 于点F ，则下列各式错误的是（ ） A ．=B ．=C ．+=1D ．=知识点8：利用平行线分线段成比例求线段的长例8：（1）如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C 和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）A．12.5 B．12 C．8 D．4例8（1）图例8（2）图例8（3）图（2）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（）A．6 B．9 C．12 D．15（3）如图，直线l1∥l2∥l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AB=5，BH=1，CH=2，那么的值等于（）B．C．D．A.知识点9：利用推论求线段的长例9：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC边上，且BD=6cm，BA=9cm，BE=4cm，若DE平行于AC，则EC=（）A．1 B．2 C．3 D．4例9图例10（1）图知识点10：利用推论求线段的比例10：（1）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1（2）如图所示，AD是△ABC的中线．（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求；（2）若E为AD上的一点，且=，射线CE交AB于F，求．知识点11：利用基本事实证明比例式成立例11：（1）如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：=．（2）如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD 于点F．求证：BO2=EO•FO．（3）如图，在▱ABCD中，P，Q是AD边上的三等分点，R，S是BC边上的三等分点，K，L，M分别是PB，QR，DS与对角线AC的交点．求证：AK=KL=LM=MC．夯实基础：1.已知：，那么下列式子成立的是（）A．3x=2y B．xy=6 C．D．2.如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A．B．C．D．3.如图，△ABC中，AB=AC=12，AD⊥BC于点D，点E在AD上且DE=2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为（）A．4 B．3 C．2.4 D．2第3题第7题4.若线段a，b，c，d成比例，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，d=．5.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b=．6.若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=．7.如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=．8.已知==，求的值．9.若===k，求k的值．10.已知a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求：（1）的值．（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．11.阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设=k，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a），∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，∴x+y+z=0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当时，求的值．12.如图所示，在△ABC中，=，AB=12，AE=6，EC=4．（1）求AD的长；（2）试说明成立．13.如图(1)所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC 于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.（1）（2）(1)求证DE=EF;(2)如图(2)所示,连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,交AC于点H,求证∠B=∠A+∠DGC.14.如图所示的是一块三角形梨园,梨园的一边BC靠近河边,A处建有恒温保鲜库,要把这块梨园按人口分给三户人家,这三户人家的人口分别为2人,3人,5人,要求都能利用河水浇地,并且保证不经过其他家的梨园把梨运往公用恒温保鲜库储存,你将如何分配?15.如图1，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC 于点C1，且交AB的延长线于点B．（1）请你探究：=是否成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，如图2，AD是△ABC的角平分线，请问还成立吗？给出你的结论并证明．。
平行线分线段成比例定理
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
A D B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
AD B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
AD B E F
QR PQ 则 . KN HK
？
H
. .
K N P Q
.
R
l1 l2
. . .
练习2
已知：如图，l1∥l2∥l3， AB=3，DE=2， EF=4， 求BC.
A
D
l1
l2
B
3
2E 4 F
6 ?
C
l3
练习2
已知：如图，l1∥l2∥l3， AB=6，BC=2， EF=1， 求DE.
A 6 B 2 C
A
D
集中地分析这些比例式：
AB AC 上 全 是 ; DE DF 上 全 B
C
A
D E
l1 l2
F
l3
集中地分析这些比例式：
AB AC 上 全 是 ; DE DF 上 全 B BC AC 下 全 是 ;C EF DF 下 全
A
D E
l1 l2
F
l3
集中地分析这些比例式：
A B D E F
l1 l2
l3
C
平行线分线段成比例定理推论:
A B D E F
l1 l2
l3
C
平行线分线段成比例定理推论:
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初二（下）数学第7讲 比例线段及平行线分线段成比例定理应用(1)§Ⅰ 知识点清单★一、概念：1．两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成nmCD AB =． 2．成比例线段:是指在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段成比例．★★★二、比例的性质：（1）比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。
这条性质是今后比例式与等积式互化的理论依据．（2）合比性质：若d c b a =，则d dc b b a +=+。
（3）等比性质：若d c b a =，则ddc b b a -=-。
这里设k n md c b a ＝＝＝＝ ，得a =kb ，c ＝kd ，…，m ＝kn ，是今后学习中常用方法．★★★三、黄金分割点如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），若AC BCAB AC =，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即 ．★★★四、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
基本图形：1、平行线分线段成比例定理的基本图形：（A 型、X 型）A B CDEFED CB A一招制胜：基本图形分离法，分离出基本图形，或者通过辅助线，构造基本图形！§Ⅳ 典例精析◎基本考点一：考查两条线段的比及成比例线段的概念 【例1】 1、已知 a=1.2 ，b=2，c=3，d=5，问这四段成比例吗？2、把cabx =写成比例式，且使x 为第四比例项。
3、用不同的比例式表示m 是a 、b 的比例中项。
A B C⇒CF 平移至过点D◎基本考点二：比例的性质的灵活运用【例1】 已知：2===fed c b a )0(≠++f d b 求下列各式的值：（1）f d be c a ++++；（2）f d b e c a +-+-；（3）f d b ec a 3232+-+-；（4）f b e a 55--变式议练：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 上的点，23===AE AC DE BC AD AB ，并且△ABC 的周长为6.9cm ，求△ADE 的周长．【例2】 已知2:3:4::=cb a ，且1433=-+c b a ．（1） 求a ，b ，c ； （2）求c b a +-34的值．变式议练：（2008年巴中市）若0234x y z ==≠，则23x yz+= ．【例3】 已知：c b a +=a c b +=b ac +=x ，求x 的值．变式议练：1、已知：c b a +=a c b +=b ac +=k ，那么直线y=kx-k 一定经过哪些象限◎基本考点三：黄金分割的运用【例1】 如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BCAB≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．变式议练：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝15-，AD ＝2，且四边形ABE F 是一个正方形．试问点E 是B C 的黄金分割点吗？请说明理由．ABCDEFACDBEF◎基本考点四：平行线分线段成比例定理应用 题型一、三角形中直接观察寻找基本图形解决问题例1、 已知：如图，BC DE //，7:3:=OC EO ，求BC ED ,AB AE ,DCAD例2、 已知：在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，与AC 相交于点D ;BC DE //，交AB 于点E ，9=AE ，12=BC ，求BE 的长。
例3、 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB于D 、E ，求证：1=+EBAEDC AD证明：过A 点作直线BC l ，分别延长CE ，BD 交F G l ,于()定值又的中点为所以的中点为又又11,,,,,,=+∴=∴=∴∆≅∆∴∠=∠∠=∠=∴∴=+=+=+∴∠=∠∠=∠==∴BEAECD AD BC FG BC FG CPBFPG FCB AFC GBC AGB PGBP BG P AB M FG MN BC MN BC FG BC AF AG BC AF BC AG BE AE CD AD FCB AFC GBC AGB BCAFBE AE BC AG CD AD lAB例4、 （上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，a AD =，b BC =，E ,F分别是AD,BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
AED BCO A E ABE DC PNME D CBA QPFED CBA例5、 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PS PR PN PM ⋅=⋅变式训练：1、已知：BC EF //,求证：DCBDGF EG =2、已知：CD AB //，F 为AC 的中点，FG DE //.若52=CD AB ,求EDFG3、已知：CD EF AB ////，求证：CDAB EF 111+=题型二：三角形中构造基本图形解决问题核心辅助线：平行线例6、 已知ABC ∆中，21=BE CE ，21=DB AD ，求：FDCF例7、 在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2:3:=DB AD ，2:1:=EC AE ，直线ED 和CB 的延长线交于点F ，求（1）FC FB : （2）FE FD :ABCDEFAFEDCBAlSR PNMO DC BA例8、 如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AB AE 41=， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则=CDBC. （2）如图（2），已知ABC ∆中，3:1:=EB AE ，1:2:=DC BD ，AD 与CE 相交于F ，则FDAFFC EF + 的值为（ ） A.25 B.1 C.23D.2例9、 已知等腰直角ABC ∆中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且CD CE =, 过E 、D 分别作AE 的垂线，交斜边AB 于L ，K ． 求证：LK BL =．证明：设AE,DK 相交于点M, 延长KD,交BC 的延长线于点F, 因为AE ⊥DK, 所以∠AMD=90°因为在直角三角形ABC 中，∠BCA=∠ACF=90, 所以∠ACF=∠AMD=90 因为∠CDF=∠ADM,所以180-∠ACF-∠CDF=180-∠AMD-∠ADM 即∠F=∠CAE, 又因为CD=CE所以△CDF ≌△CEA(AAS) 所以CF=CA因为等腰三角形ABC 中，AC=CB 所以BC=CA 所以CF=CB因为C 、D 分别作AE 的垂线所以CL ∥FK所以BL/LK=BC/CF 因为BC=CF 所以BL/LK=1, 即BL=LK课 后 挑战1、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作BC EG //交AB 于E ，交CD 于F ，交AD 的延长线于G 。
求证：2OG GF GE =⋅提示：延长AG 、BC 交于点H 。
2、已知：ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，过C 任作一直线交AD 于E ，交AB 于F 。
求证：FBAFED AE 2=ABEO D GF(1)MEDCBA(2)F ED CACB F E DCA3、（2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当21=AC AE 时，求AD AO的值； （2）当31=AC AE 、41时，求ADAO的值； （3）试猜想11+=n AC AE 时ADAO的值，并证明你的猜想.4、（2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：21=FC AF ； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，EDAEFC AF ⋅=21成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.E D CB AOF E DCBA。