双曲线标准方程及几何意义

yy
M
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数为2a
FF1 1 O o FF22 xx
3.列式．|MF1| - |MF2|=2a
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
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(x c)2 y 2 (x c)2 y 2 2a
2
2
x2 y2 1 45
1.满足什么条件的点的轨迹叫做双曲线？
动点 M 到两个定点 F1、F2 距离之差的 绝对值是常数 2a 且常数 2a 要小于焦距 2c 2. 双曲线的标准方程是怎样的？
3.给出双曲线标准方程，怎样判断焦点位置？ 焦点位置看正负---焦点在系数为正的
4.怎样求一个双曲线的标准方程？ 已知a、b、c三个中的两个即可。
0
x
双曲线的几何性质
x2 a2
y2 b2
1
3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.
x2 a2
y2 b2
1和x轴
y B1
交点A1(a,0),A2(a,0)
x2 a2
y2 b2
1和y轴
A1
0
x
B2
无交点 ,但仍然将点B1(0,b),B2(0,b)表出
双曲线的几何性质
x2 a2
y2 b2
1
3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.
y
x2 y2 1 (a 0，b 0) a2 b2
.
.
F1 O
F2 x
它表示：
[1]双曲线的焦点在x轴
[2]焦点是F1（-c，0）、F2（c，0） [3]c2= a2 + b2
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程怎样求？
y F2. F2
ox
焦点在y轴上的双曲线
.
F1
的标准方程
焦 点 位置确定：
椭圆看分母大小
A1A2叫实轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上) B1B2叫虚轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
注意（1）平面内的动点到
y
M
M
两定点的距离之差的绝对
值是一个常数2a；
F1 o
.
F2 x
(2)是这个常数要小于
|F1F2|=(2c） 即a<c
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
段如F1何F2求的这中优点美o为的原曲点线建的立方直程角？
坐标系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
焦点：F1(0,-c), F2(0,c)
c2 a2 b2
双曲线呢？
看x2、y2
的系数正负
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
双曲线的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0).
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
y2 x2 1(a 0,b 0). a2 b2
相同点：
1.焦点坐标相同 ,焦距相等 2.a,b, c大小满足勾股定理
不同点：
1.椭圆中a最大a2 b2 c2 ,在双曲线中 c最大, c2 a2 b2 2.椭圆方程中"", 双曲线中"" 3.判断焦点位置方法不同
例1 判定下列双曲线的焦点在哪个坐标轴，
指明a2、b2，写出焦点坐标和焦距
x 2 y 2 1 在 x 轴. a2=9，b2=16，c2=a2+b2=25
中职数学拓展课程
（一）双曲线定义及方程
数学 实验
如图，把一条拉开 一部分的拉链分成一长 一短两支，将拉开的两 头把分笔别尖固放定在在拉头F1和处F，2处随， 着拉链的开合，移动笔 尖M，可画出一支曲线， 再把拉链的长短两端互 换，用同样的方法可画 出另一支曲线，这两支 曲线构成的是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2
cx a 2 a ( x c) 2 y 2
(c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 )
b2 c2 a2 c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
双曲线的标准方程（1）
（二）双曲线的几何性质
以方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)为例
1.范围
y
椭圆的图像位于两条直线
x=±a,所围区域外.
0
x
双曲线的几何性质
x2 a2
y2 b2
1
2.对称性
将方程中,(x,y)分别用(-x,y)
y
,(x,-y),(-x,-y)代换,所得方 程不变,从而说明图形关于 y轴,x轴和原点对称.x轴和 y轴是对称轴.
例3 已知双曲线的焦点为（3，0）（-3，0）
且双曲线过点（ 2 2， 5） ，求这个双曲线
的标准方程。
解：设双曲线的标准方程为：
x2 a2
y2 b2
1
由题意：c=3. 又双曲线过点（ 2 2， 5） 有
a2 8
a2
b2 9 5 1
b2
b2
5或b2
9(舍）
a2= c2 -b2 = 9 - 5 =4.焦点在x轴，双曲线方程为：
y2 x2 1 9 16
练习2
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1. 焦距是6，双曲线上的点 到两焦点距离之差的绝
对值为4，焦点在y轴。
2. a=1，焦点坐标为 （3，0）和（-3，0） 3. b=3，焦点坐标是 （0，-4）和（0，4）
y2 x2 1 45
x2 y2 1 8
y2 x2 1 79
3x2 y2 3 0
y2 x2 1 31
y轴（0，-2），（0，2）
例2 双曲线的焦点为F1（0，-5）F2（0，5），
且双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝 对值为6，写出这个双曲线的标准方程。
解：由题意：c=5，2a=6，a=3
b2= c2 -a2 = 52 - 32 =16
由于焦点在y轴上，因此双曲线的标 准方程为：
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
由①②可得：
演示
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线的定义:
平面内与两定点F1，F2的距离的 差的绝对值等于常数2a (小于的F1F2 )
点的轨迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点 |F1F2| 焦距2c
9 16
焦点（-5，0）和（5，0）.焦距10
y 2 x2 1 在y 轴. a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4
3
焦点（0，-2）和（0，2）.焦距4
判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在系数为正的那个轴上。
练习1
判断下列双曲线焦点在哪个轴上， 并写出焦点坐标
x2 y 2 1 X轴（-3，0），（3，0） 45