高中数学知识要点及典型例题--三角函数

第四讲 复习三角函数

一、

本讲进度

《三角函数》复习

二、

本讲主要内容

1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；

2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；

3、三角函数的图象及性质。 三、 学习指导

1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600

的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式 =|α|R ，扇形面积公式||R

21R 21S 2

α=

=

，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r

y sin =

α，r

x cos =

α，

x

y tan =

α，y

x cot =

α。

利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即α

+πt 2k 与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇

变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α，变形后得2

2cos 1sin

,2

2cos 1cos 2

2α

-=

αα

-=α，

可以作为降幂公式使用。

三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。

4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T 为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x ，均有f(x+T)=f(x)，则称T 为f(x)的周期。当T 为f(x)周期时，kT （k ∈Z ，k ≠0）也为f(x)周期。

三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。

5、本章思想方法

（2）数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题； （3）分类讨论。 三、

典型例题

例1、 已知函数f(x)=)x cos x (sin log 2

1-

（1）求它的定义域和值域； （2）求它的单调区间； （3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性。 解题思路分析：

（1）x 必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及π

+

π<<π+

π45k 2x 4

k 2，k ∈Z

∴ 函数定义域为)4

5k 2,4

k 2(π+ππ+

π，k ∈Z

∵ )

4x sin(2x cos x sin π-=-

∴ 当x ∈)4

5k 2,4

k 2(π+

ππ+

π时，1)4x sin(0≤π-

<

∴ 2cos x sin 0≤-< ∴ 2

12log

y 2

1-

=≥

∴ 函数值域为[+∞

-

,2

1）

（3）∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称

∴ f(x)不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π)=f(x)

∴ 函数f(x)最小正周期为2π

注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx 的符号； 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx 的符号，如图。 例2、 化简)

cos 1(2sin 12α++α+，α∈（π，2π）

解题思路分析：

凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 ∵ 2

2

2

)

2

cos

2

(sin

2

cos

2

sin

22

cos

2

sin

sin 1α+α=αα+α+α=α+

2

cos 4)12

cos 21(2)cos 1(22

2

α=-α+=α+

∴ 原式=|2

cos

|2|2

cos

2sin

|2α+α+α

∵ α∈（π，2π）

∴

)

,2(2ππ∈α

∴ 02cos <α

当

π

≤α<ππ≤

α<

π23,4

922时，02

cos

2

sin

>α+α

∴ 原式=2

sin 2α

当

π

<α<ππ<α<

π22

3,

243时，02

cos 2

sin

<α+α

∴ 原式=)2arctan 2

sin(

522

cos 42

sin

2+α-=α-α-

∴ 原式=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧π

<α<π+α-π≤α<πα22

3)2arctan 2sin(522

32sin 2

注：

1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为2

cos

2

sin

2

2

α+α，是欲擒故纵原则。一般地有

|c o s s i n |2s i n 1α±α=α+，|cos |22cos 1α=

α+，|

sin |22cos 1α=

α-。

2、三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)x sin(b a 22φ++（取

a

b arctan

=φ）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±3cosx ，要熟练掌握变形

结论。

例3、 求0

2

2

10

sin 21)140

cos

1140

sin

3(

⋅

-

。

解题思路分析： 原式=

2

2

2

0210

sin 21140

cos

140

sin

140

sin 140cos 3⋅

-

16

160

sin 200sin 16

80

cos 80

sin 200sin 8

10

sin 21

80

sin

41200sin 80

sin 410

sin 21)40cos 40

sin ()

140

sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0

00

2

00

2

=-=-=⋅

⋅-=

⋅

-+-=

注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。 例4、已知00<α<β<900，且sin α，sin β是方程-+-020240cos x )40cos 2(x 2

1=0的两个实数根，

求sin(β-5α)的值。