基本不等式一轮复习导学案含答案

《基本不等式》一轮复习导学案2107.12

【教学目标】Ⅰ.了解基本不等式的证明过程． Ⅱ.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【知识梳理】一、基本不等式：

a ＋b

2

≤ab 1．基本不等式成立的条件：___________.

2．等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 3．其中a ＋b

2

称为正数a ，b 的算术平均数，

ab 称为正数a ，b 的____________.

二、基本不等式的变形

1．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤________ (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．a ＋1

a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时取等号； a ＋1

a ≤______ (a <0)，当且仅当a ＝－1时取等号． 4.

b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 三、利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则

1．如果积xy (积为定值)是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最_____值是2p .(简记：积定和最小)

2．如果和x ＋y (和为定值)是定值s ，那么当且仅当______时，积xy 有最____值是s 2

4.(简记：和定积最大) 一．基础练习

1．函数y ＝x ＋1

x (x ＞0)的值域为( )

A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②

a ＋

b ab

≤2；③x 2＋1

x 2＋1≥1，

其中正确的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1

2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋

1

x －2

(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t

的最小值为________．

考向一 利用基本不等式求最值

【例1】(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝

2x

x 2＋1

的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1

x －1的最小值为________．

(2)已知0＜x ＜2

5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．

(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． （4）若x>0,y>0且x+2y+2xy=8,则x+2y 最小值为

（5）设x>0,y>0,z>0，且x-2y+3z=0,则2

y xz

的最小值为

（6）若x,y 满足2241x y xy ++=，则2x+y 最小值为 （7）已知：a>b>c>0,则221121025(a b)

a ac c a

b a +

+-+-最小值为 考向二 利用基本不等式证明不等式

【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab

c ≥a ＋b ＋c .

【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：1

a＋

1

b＋

1

c≥9.

考向三利用基本不等式解决恒成立问题

【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，x

x2＋3x＋1

≤a恒成立，则a的取值范围是________．

【训练3】（1）已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

（2）若正数x,y满足x+y=1,且

1

4

a

x y

+≥恒成立，则正数a的最小值为

（3）若正数x,y满足x+y=a, 且11

4

x y

+≥恒成立，则正数a的最大值为

考向四利用基本不等式解实际问题

【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

课后巩固练习

1.(2016·四川资阳诊断)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为()

A.5＋22

B.82

C.5

D.9

2.(2016·辽宁师大附中模拟)函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A

在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1

m＋2

n的最小值为()

A.2

B.4

C.8

D.16

3.(2015·北京海淀二模)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()

A.(-∞，-1)

B.(-∞，22-1)

C.(-1，22-1)

D.(-22-1，22-1)

4.(2016·山东泰安模拟)若直线l：x

a＋y

b＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l

在x轴和y

轴上的截距之和的最小值是________.