复旦大学高等代数2000答案

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高等代数习题答案

《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。

【最新试题库含答案】高等代数习题及答案(1)

高等代数习题及答案(1)篇一：高等代数习题解答(第一章)高等代数习题解答第一章多项式补充题1．当a,b,c取何值时，多项式f(x)?x?5与g(x)?a(x?2)2?b(x?1) ?c(x2?x?2)相等？6136提示：比较系数得a??,b??,c?. 555补充题2．设f(x),g(x),h(x)??[x]，f2(x)?xg2(x)?x3h2(x)，证明：f(x)?g(x)?h(x)?0．证明假设f(x)?g(x)?h(x)?0不成立．若f(x)?0，则?(f2(x))为偶数，又g2(x),h2(x)等于0或次数为偶数，由于g2(x),h2(x)??[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg2(x)?x3h2(x)等于0或次数为奇数，矛盾．若g(x)?0或h(x)?0则?(xg2(x)?x3h2(x))为奇数，而f2(x)?0或?(f2(x))为偶数，矛盾．综上所证，f(x)?g(x)?h(x)?0．1．用g (x) 除 f (x)，求商q (x)与余式r (x)：1）f (x) = x3- 3x2 -x-1，g (x) =3x2 -2x+1；2）f (x) = x4 -2x+5，g (x) = x2 -x+2．1）解法一待定系数法．由于f (x)是首项系数为1的3次多项式，而g (x)是首项系数为3的2次多项式，1所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 31 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 3根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即1 x3-3x2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 3右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得21 ?3?3a?, ?1??2a??b, ?1?a?c 337262解得 a?? , b?? , c?? ，故得 99917262q(x)?x?, r(x)??x?.3999解法二带余除法．3-21 1 -3-1 -11 ???21 3374 ?-1 337147 ? 399262 ? 9917 ? 39?得17262q(x)?x?, r(x)??x?. 39992） q(x)?x2?x?1,r(x)??5x?7. r(x)??2．m,p,q适合什么条件时，有1）x2?mx?1x3?px?q;2）x2?mx?1x4?px2?q.?1除x3?px1）解 x2?mx得余式为： ?q262x?. 99 r(x)?(p?m2?1)x?(q?m)，?p?m2?1?0;令r(x)?0，即 ? ?q?m?0.故x2?mx?1x3?px?q的充要条件是?m?q; ? 2p?m?1?0.??1除x4?px2?q得余式为： 2）解 x2?mxr(x)??m(p?m2?2)x?(q?p?m2?1)，2???m(p?m?2)?0;令r(x)?0，即 ? 2??q?p?m?1?0. 解得x2?mx?1x4?px2?q的充要条件是?m?0; ? 或 p?q?1??q?1; ?2p?2?m.?3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式r(x)：。

考研数学-复旦大学2001年高等代数解答

复旦大学高等代数20011．（１０分）设.000310002001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 求三阶可逆阵P ，四阶可逆阵Q 使Q P A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000100001．解：利用行列式的行列变换法：（行变换）100100212010000100001010000100130003610000-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⇒ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而120010361P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（列变换）10001000000101000000000010001000010000010010001000010100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而1000000100100100Q ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭２．（１０分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16551A ．求非零整数y x ,使()0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x A y x ．解：不妨令xt y=，则解210160t t ++=得2,8t =-- 从而21x k y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭或者81x k y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中的\{0}k Z ∈ ３．（２０分）记()R M n 为由所有的n 阶实方阵在通常的运算下形成的向量空间．记S 为所有的n 阶实对称方阵所构成的集合，T 为所有的n 阶实反对称方阵所构成的集合．（１）求证T S ,都是()R M n 的子空间；（２）将()R M n 中两个元素)(ij a 和)(ij b 的内积定义为∑∑==n i nj ijijba 11，这样()R M n 就成为内积空间．求证在这个内积空间中S 和T 互为正交补．证明：（1）显然是成立的，利用子空间的判别法显然就成立了，免证（２）找出T S ,的基，0,(,)(,)(),1,(,)(,),(,)(,)ij kr kr k r i j E e e k r i j k r j i ≠⎧==⎨==⎩或者，像这样的构成S 的基，0,(,)(,)(),1,(,)(,)1,(,)(,)ij kr kr k r i j D v v k r i j k r j i ≠⎧⎪===⎨⎪-=⎩像这样的构成T 的基而显然容易知道(,)0ij pr E D =，从而就知道了S 与T 互为正交的，又结合我在00年高代中的解答显然知道S T V ⊕=，进而就知道是正交互补了。

上海大学高等代数历年考研真题

2000 上海大学高等代数a b b bc a b b(一 ) 计算行列式 : c c a bc c c a(二 )把二次型 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2x2 x3x3 x4x1 x4用非退化线性替换化成平方和 .(三 )A, B 分别为n m 和 m n 矩阵,I n表示 n n 单位矩阵.证明: m n阶矩阵 X A In可逆当且仅当 BA 可逆，可逆时求出 X 的逆.0B(四 )设 e1 , e2e n是 n 维线性空间 V n的一组基，对任意 n 个向量a1, a2a n V n，证明：存在唯一的线性变换A，使得A(e i )a i i , 1 ,n2(五 )设 A 是n维线性空间 V 的线性变换，求证：V AV A 1(0)当且仅当若 a1 , a2 a r为AV的一组基则 Aa1 , Aa2Aa r是 A2 (V ) 的一组基.(六 )设 A为2级实方阵，适合A210，求证： A 相似于1 .0110 (七 )已知 f , g 均为线性空间 V 上线性变换，满足f2 f , g2g 试证：（ 1）f与g有相同的值域fg g, gf f .（ 2）f与g有相同的核fg f , gf g.2001 上海大学高等代数x a2a3a na1x a2a n（一）计算行列式： a1a2x a na1a2a3x（二）设 A 为 3阶非零方阵，且 A20 .a1（1）求证：存在a1, a2,a3，b1,b2,b3， A a2b1 b2 b3a3（2）求方程组AX0 的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行f (x1, x2 , x3 )x123x222x324x1x3 4x2 x3为标准形（四）设 A 为n m 阶实矩阵，且r ( A)m(n m) .若( AA')2aAA'，求证AA'aE m.（五）设A是（为奇数）维线性空间V n 1n上线性变换，若 A0,A 0 n n求证：存在 a V ，使a Aa Aa, Aa 2,A , an 2n 1n1为V 的一组A a A a, a基，并求 A 在此组基下的矩阵.（六）设 A 是欧式空间 V 上的对称变换.求证：对任意 a0 ，都有a0 Aa, a0 A 的所有特征值都小于0.（七）设 B A a，其中 A 为n阶负定矩阵，a为n维列实向量，a为实数 .求证B正定的充分必要条件为a' A 1a0 .（八）若 A 是正交阵，且 A 特征值为1的重数是 S ，求证：A ( 1)s（ A 为A的行列式）.2002 上海大学高等代数x 1 a a aax 2 a aA B . （一）计算行列式：若 A 2B aa x 3a ，求 AB Aa a ax n（二）设 A 是 n 阶可逆方阵， BA A .0 A（ 1）计算 B k （ K 是整数），（ 2）假设（三）设1 0 0A 1 1 0 ， C 为 6 阶方阵，而且 BC2C E ，求C .1 1 1p p p( n 1) pp p( n 1) ppA， A 是 n 阶矩阵p( n 1) pp p ( n 1) pppp（ p 0 ），求 AX 0 的基础解系 .（四）构造一个 3 阶实对称方阵 A ，使其特征值为 1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量， (2, 2,1).(1,1,1)（五）设向量组 A ： a 1, a 2 ,a 3 a n 的秩为 r （ r n ），则 A 中任意 r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量 a i, a i , a i ，若12r1k 1 a ik 2a i kr 1a i 0 ，则 k 1 , k 2k r 1 或全为 0 或全不为 0.12r1（六）设 A 为 n 阶正定矩阵， B nm为秩为 m 的实矩阵，求证 B ' AB tE（ t 0 ， E 为单位矩阵）为正定矩阵 .（七）设 A 为欧式空间 V 上的线性变换，且 A 2E .（ 1）求证： A 是 V 上的正交变换的充分必要条件为 A 是 V 上的对称变换 .（ 2）设V1 a a V , Aa a ，求证：V V1 V2是直和.（八）设 A 为n阶实正交矩阵， a1 , a2 , a3a n为 n 维列向量，且线性无关，若 A Ea1, A Ea2 A Ea n线性无关，则 A 1 .2003 上海大学高等代数x a a aa x a a（一）计算行列式： A（ A 为n阶矩阵），a a x aa a a xA 2ABA A（1）求A（2）求B（二）设 A 为 n 2k 1 阶反对称矩阵，求 A .（三）设 A, B 为n阶整数方阵（A, B 中元素为整数），若 AB E A （ 1）求证：A1，2 00（ 2）若B1 2 0，求 A .232（四）设A(a1 , a2a n )为 n 阶方阵，r ( A)n 1 ，且a n a1a2a n 1的解 .a1a2a n 1an，求AX（五）设 A 是n阶可逆方阵，且 A 每行元素之和为 a ，求证： A k的每行元素之和为 a k（ k 为正整数）（六）设 A 为n阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵 G 使E r.G 1AGE s（七）设 A2 A ，且 A 为n阶方阵， R( A)r .（ 1）求证：E A 2r（）求证： R( A)R( A E) n （）若 r1，23求 AX 0的解.（八）构造一个 3 阶实对称方阵 A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量 (1,1,1).（九）设二次型f ( X ) x12x22x32x422x1 x22x1 x32x1 x42x2 x32x2 x42x3 x4（ 1）求f ( X )对应的实对称矩阵A.（ 2）求正交变换X PY ，将 f ( X ) 化为标准型.（十）设 A 是n维线性空间 V 上的线性变换，a1, a2a k是对应的不同特征值 1 ,2k 的特征向量.若a1a2a k W ，而W是A的不变子空间，则有维（ W ）k（十一）设 B 为欧式空间 V 上的变换， A 为欧式空间 V 上的线性变换且有：( Aa, ) (a, B ), a,V .证明：（ 1）B为欧式空间V上的线性变换 .（ 2）A1(0)B(V)2004上海大学高等代数（一）设 n 阶可逆方阵 A(a ij ) 中每一行元素之和为a(a0) ，证明：n（ 1）A ij a 1 A (i1,2n) ，其中 A ij为 a ij的代数余子式.j1（ 2）如果a ij都是整数(i1,2n) ，则a整除A.（二）设 A2 n a1a2an 1an为实矩阵，且 r ( A) 2 .b1b2bn 1b n（ 1）求行列式E A'A .（ 2）求A'AX0 的解（ X 是n维列向量）.（三）设 A, B 为n阶整数方阵，若B2E AB .21.（ 1）求证：A B100（2）若B 110，求 (A 2B) 1.231（四）若 A 为非零的半正定矩阵， B 为正定矩阵，求证：（1）求证：存在实矩阵T，使T'T B .（2）A E 1.（3）A B B.（五）设为A的特征值的最小者.求证 : 对任意的n维列向量a ,有a' Aa a' a .(六)设1, 2 ,3为3阶方阵A的特征值, 且1 11,0 1 1,00 1 分别为其对应的特征向量,求A n.(七 ) a1, a 2, a 3V 是n维欧氏空间,是n维空间V上的线性变换a n 1是V中n 1 个线性无关的向量,且(),,如果分别与a1, a2 , a3a n 1正交(不为0).求证 :为的特征向量.3 0 3(八)设 A 3 2B 2 3 0 6 0 ，求证：3 0 3（1） r ( A) r (B) 2（2）题型与钱吉林书习题类示。

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高等代数真题答案

⎜⎝ 5 ⎟⎠
⎛1 5 8 1⎞
⎛0 2 3 4⎞
15.
设 AP = PB,
其中
P
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
2 0
6 3
9 7
⎟ ⎟ ⎟
,
B
=
⎜ ⎜ ⎜
0 0
0 0
2 0
3 2
⎟
⎟ ⎟
,
求 A10
⎜⎜⎝ 0 0 0 4⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎟⎠
16. 若 A 可逆, 证明 AB 与 BA 相似.
姓名
15. R4 中, 求由基 (α1, α2, α3, α4 ) 到基 (β1,β2,β3,β4 ) 的过渡矩阵, 并求向量 ξ 在指定基 (α1, α2, α3, α4 ) 下的坐标 . 其中 α1 = (1,1,1,1), α2 = (1,1, −1, −1), α3 = (1, −1,1, −1), α4 = (1, −1, −1,1); β1 = (1,1, 0,1), β2 = (2,1,3,1), β3 = (1,1, 0, 0), β4 = (0,1, −1, −1). ξ = (1, 0, 0, −1) .
(b) V = { f ( A) | f (x) ∈ R[x]}, 这里 A∈ M n (R) 是一个固定方阵.
4. 叙述并证明线性空间V 的子空间W1 与W2 的并W1 ∪W2 仍为V 的子空间的充分必要条件.
5. 设 S1 与 S2 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当 S1 ⊆ S2 时, Span(S1) ⊆ Span(S2 ) .
证明V1 ≅ V2
14. 设 g1 = 2x3 − 2x + 2, g2 = x3 − 3x2 − x + 3, g3 = 2x3 + 2x2 − 2x, 是 F[x] 的子空间 V 一个基 , f1 = x3 + 2x +1, f2 = x3 − x + 2, f3 = 2x2 + x . 请问 f1, f2, f3 中哪些是属于V , 哪些是不属于V , 如果属于请给出它在基 (g1, g2, g3) 下的坐标.

高等代数学答案02

n n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 ¯ ( |ai | )( |bi | ) ≥ ( |ai ||bi |) = ( |ai bi |) ≥ | ai¯ bi |2 . i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
2. 例 2.65. 3. 例 2.66. 4. 例 2.69.
复习题二
3. 由 A 非异, 则 AA−1 = A−1 A = In , 故直接计算可得 Ak (A−1 )k = (A−1 )k Ak = In . 4. 两边左乘 A−1 ; 两边右乘 A−1 . 5. 沿着这一行 (列) 展开求方阵的行列式显然值为 0, 故为奇异阵. 6. 由 Am = O , 得 (In − A)(In + A + A2 + · · · + Am−1 ) = (In + A + A2 + · · · + Am−1 )(In − A) = In . 7. 由于 B (A + B )−1 A(A−1 + B −1 ) = In , 故 A−1 + B −1 奇异. 8. 由 A2 = In 可得 (A + In )(A − In ) = O . 又 In + A 非异, 故 A − In = O , 即 A = In . 9. 由 A2 = A 可得 A2 − A − 2In = −2In , 即 (A + In )(A − 2In ) = −2In , 故 A + In 非异. 10. 由 A2 − A − 3In = O 可得 (A + In )(A − 2In ) = In , 故 A − 2In 非异.
7 30. 例 2.24. 31. 例 2.25 (3). 32. 例 2.26. 33. 例 2.10 (1). 34. (1) 例 2.36; (2) 例 2.37. 35. 例 2.3. 36. 例 2.32. 37. 例 2.33. 38. 例 2.34. 39. 例 2.35. 40. 例 1.39. 41. 例 2.70 的直接推论. 42. 例 2.71. 43. (1) 例 2.57; (2)2.3.2 训练题解答题 9. 44. 2.3.2 训练题解答题 10. 45. 例 2.48. 46. 例 2.63. 47. 例 2.61. 48. 类似例 2.52, 作多项式 f (x) = a1 + a2 x + a3 x2 + · · · + an xn−1 , 令 ϵ1 , ϵ2 , · · · , ϵn 是 −1 的所有 n 次方根. 又令 V = ··· ··· ···

同济大学高等代数2000

同济大学高等代数2000一、是非题，正确的在()内打√，错误的打⨯。

（6分）1．设T 是实数域上n 维空间V 上的线性变换，则在V 上不一定存在T 的特征向量。

（）2．设V 是n 级实矩阵全体，对V 中任意矩阵A ，定义2)(A A A T t +=。

则T 是V 上线性变换。

（） 3．任意一个实方阵必相似于一个实上三角阵。

（）二、填充：（12分）1．设A 是5阶方阵，1=A ，则=A 2 32 。

2．设()βααα,,,321=A ，()γααα,,,321=B 都是4阶方阵，2=A ，1=B 。

则()=+B A 2 。

3．设()2,3,2,1=α，ααtA =，其中tα是α的转置。

则=A 18 ，秩=A 1 。

4．设A A 22=。

则()=--1A E A-E ，其中E 是与A 同阶的单位方阵。

5．设αα3=A ，其中α是非零列向量，()422+-=x x x f 。

则()=αA f 7α6．设3121232221222x x x tx x x x f -+++=。

则当 1 >>t -1 时f 正定。

三、（1）设0212311236254312222=--+-----x x ，求x 。

（6分）解：由于1312)9)(1(21231123625431222222-----=--+-----x x x x ，则有3,1±=±=x x 或；（2）设yy x x D -+-+=1111111111111111，求D 。

（8分）解：2200000000000000011111001000100010001111111111111111111111y x yy x x y y x x yy x xD =--=------=-+-+=四、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00B C A ，D XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4231B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211221111C ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1121010211D 。

姚慕生,谢启鸿-高等代数学(第3版)答案(复旦绿皮书)

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复旦大学高等代数教材第二章答案
部分习题答案引用自白皮书的例题或训练题．
2.1
(
)(
1. (1) 3 0 ; (2) 3
−3 1
0
() (
2. (1) 1 5 ; (2) −2
21
−2
2.2
√) (
3 2 ; (3) 1
−12
8
1 1
)
6 √
;
52
(4)
00
0 0
3
−
5 2
1 3 −3
)(
1.6
1.
(−1)N(n,n−1,n−2,··· ,1)
=
(−1)
n(n−1) 2
.
2. 请读者自行验证.
3. 由行列式的性质 8 及定理 1.6.1, |A| = |A′| =
∑
a1k1 a2k2 · · · ankn .
(k1,k2,··· ,kn)∈Sn
4. 例 1.10.
5. 例 1.9.
6. 例 1.11.
(In − A)(In + A + A2 + · · · + Am−1) = (In + A + A2 + · · · + Am−1)(In − A) = In.
7. 由于 B(A + B)−1A(A−1 + B−1) = In, 故 A−1 + B−1 奇异. 8. 由 A2 = In 可得 (A + In)(A − In) = O. 又 In + A 非异, 故 A − In = O, 即 A = In. 9. 由 A2 = A 可得 A2 − A − 2In = −2In, 即 (A + In)(A − 2In) = −2In, 故 A + In 非异. 10. 由 A2 − A − 3In = O 可得 (A + In)(A − 2In) = In, 故 A − 2In 非异.

《高等代数》习题与参考答案

《高等代数》习题与参考答案数学系第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

一些专业数学考研绝好网

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高等代数课后答案高等教育出版社

高等代数习题答案（一至四章）第一章多项式习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ，（2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。

3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

复旦大学数学学院高等代数历届期中考试大题精选之三（18级--20级）

复旦⼤学数学学院⾼等代数历届期中考试⼤题精选之三（18级--20级）本⽂收集了复旦⼤学数学学院 18 级到 20 级⾼等代数期中考试的精选⼤题, 其中⼀部分⼤题由习题课⽼师或任课⽼师⾃编⽽来, ⼀部分⼤题从兄弟院校的⾼等代数教材或学习指导书中的习题或考研试题改编⽽来, 也有⼀部分⼤题已经融⼊到复旦⼤学⾼等代数学习指导书 (第三版) 中了. 由于篇幅所限, 这⾥我们不公布这些精选⼤题的解答, 但会根据情况附加⼀些注解, 以供读者参考.本科 18 级⾼代 I 期中考试⼆、(12分) 计算下列 n 阶⾏列式的值:|A |=1−a n 1b n11−a 1b 11−a n 1b n21−a 1b 2⋯1−a n 1b nn1−a 1b n1−a n 2b n11−a 2b 11−a n 2b n21−a 2b 2⋯1−a n 2b nn1−a 2b n⋮⋮⋮1−a n n b n11−a n b 11−a n n b n21−a n b 2⋯1−a n n b nn1−a n b n.五、(12分) 设函数 f (x )=m∑i =−k a ix i , 其中 k ,m 都是正整数. 设 n 阶⾮异阵 A 的每⾏元素之和都等于 c , 证明: f (A )=m∑i =−k a iA i 的每⾏元素之和都等于 f (c ).六、(10分) 设多项式 f (x )=a 0+a 1x +⋯+a n −1x n −1, ωk =cos 2k πn +i sin 2k πn (0≤k ≤n −1) 为全体 n 次单位根, 循环矩阵A =a 0a 1⋯a n −2a n −1a n −1a 0⋯a n −3a n −2⋮⋮⋮⋮a 2a 3⋯a 0a 1a 1a 2⋯a n −1a 0.证明: 恰有 n −r (A ) 个 n 次单位根是 f (x ) 的根 (不计重根数).七、(10分) 设 A ,B 为 n (n ≥3) 阶⽅阵, 满⾜ AB =0. 证明: |AB ∗+BA ∗|=0.注第⼆⼤题⽤ Vander Monde ⾏列式. 第五⼤题是⽩⽪书例 2.22 的推⼴. 第六⼤题参考博⽂《》. 第七⼤题转化成矩阵秩的问题, 并⽤秩的不等式进⾏证明.本科 18 级⾼代 II 期中考试四、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, p ,q 是互素的整数且 q >1, 证明: 线性⽅程组 Ax =pq x 只有零解.五、(10分) 设 A 1,⋯,A n 为两两乘法可交换的 2019 阶实⽅阵, f (x 1,⋯,x n ) 是 n 元实系数多项式. 令 B =f (A 1,⋯,A n ), 证明: 存在 B 的某个特征值 λ0, 使得⽅程 f (x 1,⋯,x n )−λ0=0 有⼀组实数解.六、(10分) 设 A 为 n 阶复⽅阵, 证明: A 不可对⾓化当且仅当存在⼀元多项式 f (x ), 使得 f (A ) ⾮零, I n +f (A ) 可逆, 并且 (I n +f (A ))−1 与 I n −f (A )相似.七、(10分) 设 A 是 n 阶复⽅阵, 证明: 存在复数 c 1,⋯,c n −1, 使得A −c 1e A −c 2e 2A −⋯−c n −1e (n −1)A是可对⾓化矩阵.||()注第四⼤题是⽩⽪书例 6.4 的推⼴. 第五⼤题需要⽤到如下结论"两个乘法可交换的奇数阶实矩阵必有公共的实特征向量", 其证明可参考教学论⽂ 12 的例 3. 第六⼤题利⽤ Jordan-Chevalley 分解定理来做. 第七⼤题利⽤ Jordan 标准型的应⽤或 Jordan-Chevalley 分解定理来做.本科 19 级⾼代 I 期中考试五、(10分) 设 n 阶⾮零复⽅阵 A 满⾜ A ∗=¯A ′, 求证: A 是⾮异阵.六、(10分) 设 A 为数域 K 上的 n 阶幂零阵, B 为 n 阶⽅阵, 满⾜ AB =BA 且 r (AB )=r (B ). 求证: B =0.七、(10分) 设 A 为 m 阶实反对称阵, C 为 n 阶实反对称阵, B 为 m ×n 阶实矩阵. 证明: A +I m 和 C −I n −B ′(A +I m )−1B 都是⾮异阵.注第五⼤题是⽩⽪书例 2.21 的复版本. 第六⼤题利⽤⽩⽪书的例 3.75 来证明. 第七⼤题的第 1 ⼩问是⽩⽪书的例 3.78 (利⽤线性⽅程组的求解理论), 第 2 ⼩问可通过降阶公式 (构造⼀个⼤矩阵) 转化为第 1 ⼩问.本科 19 级⾼代 II 期中考试四、(14分) 设 n (n >2) 阶复⽅阵 A 的秩等于 2, 试求 A 的 Jordan 标准型.五、(10分) 设 n 阶⽅阵 A 的所有元素都是整数, 其中阶数 n 为偶数, 并且对任意的 1≤r ≤n , A 的所有 r 主⼦式之和都是奇数. 证明: 不存在整数 k , 使得线性⽅程组 Ax =kx 有⾮零解.六、(10分) 设 A =(a ij ) 是 n 阶实⽅阵, 若对任意的 1≤i ≤n , 都有 |a ii |>∑j ≠i |aij |, 则称 A 是严格对⾓占优阵. 设 A ,B 均为主对⾓元都⼤于零的n 阶严格对⾓占优阵, 且满⾜ A 2(A +B )=(A +B )B 2, 证明: A =B .七、(10分) 设 a ,b 都是实数, 其中 b ≠0, 证明: 对任意的正整数 m , 存在 4 阶实⽅阵 A , 使得A m =a b 20−b a 2000a b 0−ba.注第四⼤题先将 A 的 Jordan 标准型 J 写出, 通过计算 J 的秩可得到 5 个分类结果. 第五⼤题利⽤⽩⽪书的例 6.15, 再由反证法即得结论. 第六⼤题先利⽤⼽⽒圆盘定理得到 A ,B 特征值的实部都⼤于零, 再利⽤两次⽩⽪书的例 6.63 即得结论. 第七⼤题利⽤⼴义 Jordan 块 (⽩⽪书第366 页第 2 ⾏和第 3 ⾏的矩阵) 作为测试矩阵进⾏讨论.本科 20 级⾼代 I 期中考试四、记数域 K 上所有 n 阶⽅阵全体构成的线性空间为 M n (K). 对 A ∈M n (K), 考虑 C (A )={B ∈M n (K)∣AB =BA }.(1) 若 n =3, A =01000111, 求 C (A ) 的⼀组基.(2) 若 n =2, 试确定 dim C (A ) 的所有可能值.五、设 n 阶复⽅阵 A 不可逆, 证明: ⾄多只有两个复数 λ, 使得 λI n +A ∗ 不可逆.六、设 A ,B 为 n 阶⽅阵, 证明: |r (AB )−r (BA )|≤n2.七、设 A ,B 为 n 阶实⽅阵, 其中 A 是主对⾓元全⼤于零的上三⾓阵, 并且满⾜ AB +BA ′=2AA ′. 证明:(1) B 必为对称阵;(2) A 为对⾓阵当且仅当 B 2=AA ′;(3) |B |>0.本科 20 级⾼代 II 期中考试四、设 n 阶⽅阵 A 的极⼩多项式为 λ3−λ2, 试求 A 可能的互不相似的 Jordan 标准型的总个数.五、设 V 为线性空间, φ1,⋯,φk 是 V 上的线性变换, 满⾜: φ2i =φi (1≤i ≤k ), φi φj =0(1≤i ≠j ≤k ), 证明:()()V =k⨁i =1Im φi ⨁k⋂j =1Ker φj .六、设 n 阶复矩阵 A 的全体特征值都是属于开区间 (−1,1) 的实数, 证明: 矩阵⽅程 sin X =A 必有解.七、设 A ,B 为 n (n ≥2) 阶⽅阵, 满⾜: r (A )=n −1, AB =BA =0. 证明: A +B 为⾮异阵的充要条件是 A 的特征值 0 的代数重数等于 1 且 B 的秩等于 1.()Processing math: 100%。

《高等代数》习题与参考答案

《高等代数》习题与参考答案数学系第九章欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

复旦大学2000年高等代数解答

复旦大学高等数2000蓝戈解答1．求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011111101的逆阵。

解：利用行变换10110010011111 1....010010....110110*********--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⇒- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，从而 1101111111110110011---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2．设A 为一个n 阶方阵且A 的秩等于2A 的秩。

证明A 的秩等于3A 的秩。

解：利用Jordan 矩阵：1A PJP -=，221A PJ P -=，331A PJ P -= 22rankA rankJ rankA rankJ ===，从而3rankJ rankJ =，于是3rankA rankA =，命题获得了证明3．设A 为一个n 阶正交阵，121,,,-n x x x 为一组线性无关的列向量，对于11-≤≤n i 都有i i x Ax =。

如果A 的行列式等于1，证明A 是单位矩阵。

解：利用线性变换来处理1212,,...,n nx x x x x x 为一个正交基，则容易由||1A =可以知道 n n Ax x =，从而12121212,,...,,,...,n n n n x x x x x x A E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以命题就获得了证明4．设n 是一个自然数，V 是由所有n n ⨯实矩阵构成的2n 维实向量空间，U 和W 分别为由所有n n ⨯对称矩阵和反对称矩阵构成的空间。

证明W U V ⊕=，既V 是U 和W 的直和。

解：''22A A A A A +-=+，'2A A +对称，'2A A -反对称，从而V W U =+，又{0}V U =，从而有了W U V ⊕=，命题获得了证明 5．设K 为一个数域，][x K 为K 上以x 作为不定元的多项式全体所组成的集合。

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