电网络分析理论线性时变因果无源总结和例题

例试判别下列零状态系统是否为线性系统是，是否为时不变系统。
(1) dy(t) ty(t) f (t) dt
(2) dy(t) 3 df (t)
dt
dt
(3) y(t) 8sin f (t)
解：（1） 给 f1(t), f2 (t) 和任意常数 a,b
设 f1(t) y1(t), f2 (t) y2 (t)
0
r1 0 ，r1r2 4 2r22 0 ，
2 r1 ，无源 ，
r2
2 r1 ，有源，可能为负 有源
r2
dy1(t) 3 df1(t) dy1(t t0 ) 3 df1(t t0 ) dy2 (t)
dt
dt
dt
dt
dt
比较两式可知 f1(t) y1(t), f1(t t0 ) f2 (t) y2 (t) y1(t t0 )
∴ 该系统为时不变系统。
解：（3） 给 f1(t), f2 (t) 和任意常数 a,b 设f1(t) y1(t), f2 (t) y2 (t) 则: y1(t) 8sin[ f1(t)], y2 (t) 8sin[ f2 (t)]
设 f3(t) af1(t) bf2(t) y3(t) 则：y3(t) 8sin[ f3(t)] 8sin[af1(t) bf2(t)]
y3(t) 8sin[af1(t) bf2 (t)] a{8sin[ f1(t)]} b{8sin[ f2 (t)]} y3(t) 8sin[ f3(t)] ay1(t) by2(t)
6.连续时间系统与离散时间系统
如果系统的输入和输出都是时间的连续函数， 这个系统就称为连续时间系统；如果系统的 输入和输出都是时间离散函数，这个系统就 称为离散时间系统。
连续系统中传输和处理的是连续信号。
离散系统中传输和处理的是离散信号。 在实际工作中系统中长将两系统组合使用， 这种情况称为混合系统
任意时刻t，能量W（t） p（t）dt 0 ;
规定：i（ ） 0，u（ ） 0
例试判断图示电路β取值对网i1络有无源性的影响。i2
解：列出相应的电路方程
+
+
u1 r1i1
i2
i1
1 r2
u2
u1
r1
i1 r2 u2
H
r1
0
1
/
r2
Z
r1
r2Baidu Nhomakorabea
0
r2
2
p（t） ukik u1i1 u2i2 i1r1i1 （i2 i1）r2i2
∴ 该系统为时变系统。
解：（2） 给 f1(t), f2 (t) 和任意常数 a,b
设 f1(t) y1(t), f2 (t) y2 (t)
则: dy1(t) 3 df1(t) , dy2 (t) 3 df2 (t)
dt
dt dt
dt
设 f3(t) af1(t) bf2 (t) y3(t)
（1）分解特性： y(t) yzi (t) yzs (t)
（2）零输入线性： 若 : f1(0) yzi1(t) f2 (0) yzi2 (t) 则：af1(0) bf2 (0) ayzi1(t) byzi2 (t) a,b为任意常数。
（3）零状态线性： 若 : f1(t) yzs1(t) f2 (t) yzs2 (t) 则：af1(t) bf2 (t) ayzs1(t) byzs2 (t) a,b为任意常数。
则为线性系统，否则为非线性系统
一般由线性元件组成的系统均为线性系统， 但并不是含有非线性元件的系统就一定是 非线性系统，有些含有非线性元件的系统 在一定的条件下也具有线性特征。判别的 标准是上述定义。奇次性和可加性有一个 不满足，系统就是非线性的。
当系统的初始状态不为零时，该系统的 线性条件具体反映在以下三方面
关于线性、时变、因果的说明
1. 线性系统与非线性系统
如果系统的输入与输出满足线性关系，则 称为线性系统，否则称为非线性系统。
线性也就是叠加性。它包括两方面的内容：
齐次性（比例性）和可加性。设系统的输入
为 f (t) 输出为 y(t ) 。
若 : f (t) y(t)
（1）奇次性 则：kf (t) ky(t) k为任意常数。
则 设
:dfyd3d1(ytd(t1t)t()t)atyft11y((1tt())t)bff12f((1tt())t,),dyddy2y3td(2(tt(t)t))ty则t2y(2：t()dt)yd3t(ft2f)(2t()tt)y3
(t
)
f3 (t )
d
[ay1 dt
(t
)]
t[ay1
(t
)]
af1
af1(t) bf2 (t) f3(t) y3(t) ay1(t) by2 (t)
∴ 该系统为非线性系统。
解：（3） 设 f2 (t) f1(t t0 ) y2 (t), 则：y2 (t) 8sin[ f2 (t)] y1(t) 8sin[ f1(t)] y1(t t0 ) 8sin[ f1(t t0 )]
(t
)
,
d[by2 dt
(t
)]
t[by2
(t
)]
bf
2
(t
)
二式相加得：
d[ay1
(t
) dt
by2
(t
)]
t[ay1
(t
)
by2
(t
)]
af1
(t
)
bf
2
(t
)
af1(t) bf2 (t) f3 (t) ay1(t) by2 (t) y3 (t)
∴ 该系统为线性系统。
解：（1） 设 f1(t)
满足（1）、（2）、（3）则系统为线性，
有一个不满足则系统为非线性。
2.时变系统与非时变系统
时不变特性是指系统的零输入状态输出波形 仅取决于输入波形与系统特性而与输入信号 接入系统的时间无关。设系统的输入 f (t) ，
输出为 y(t)
若 : f (t) y(t) f (t t0 ) y(t t0 ) t0为任意常数。
3.因果系统与非因果系统
系统的输出是由输入引起的，它的输出不能领先 于输入，这种性质称为因果性，这样的系统称为 因果系统。如果系统的输出出现在输入之前，则 为非因果系统。
因果系统的在任何时刻的输出仅取决于是现在与 过去的输入，而与将来的输入无关，因为系统的
输出无法预测将来的输入。
激励是产生响应的原因，响应是激励引起的结果。 所有实际物理系统在激励没有作用之前决不会有 输出响应，都属于因果系统。如果系统的响应出 现在输入之前，则为非因果系统。
如果系统的输出不仅决定于该时刻的输入，而且 与它过去的状态（历史）有关，称这种性质为记 忆性。具有记忆性的系统称为记忆系统。
如果系统的输出仅决定于该时刻的输入，而且与系 统过去的状态（历史）无关，称这种系统为无记忆 性系统。
系统是有记忆的还是无记忆的，完全取决于组成 该系统的元件的性质。如果系统的组成含有记忆 元件（如：电容器、电感器、奇存器和存储器等， 就是记忆系统。
k 1
[i1，i2
]
r1
1 2
r2
1 2
r2
r2
i1
i2
0
注意：由Z阵可知该网络为非互易双口网络，在 判断网络的有源性时要重排二次型！
2
p（t） ukik u1i1 u2i2 i1r1i1 （i2 i1）r2i2 k 1
[i1，i2
]
r1
1 2
r2
1 2
r2
r2
i1
i2
把线性电路的初始状态看成等效激励， 则为因果系统。
设系统的输入（激励）为 f (t)（含等效
激励），输出（响应）为 y(t)
则因果和非因果系统可分别表示为：
f (t) tt0 y(t) tt0 0 (因果系统)
f (t) tt0 y(t) tt0 0 (非因果系统)
4. 记忆系统与非记忆系统
（2）可加性
若 : f1(t) y1(t) f2 (t) y2 (t) 则：f1(t) f2 (t) y1(t) y2 (t)
统一处理方法
若 : f1(t) y1(t) f2 (t) y2 (t) 则：af1(t) bf2 (t) ay1(t) by2 (t) a,b为任意常数。
dt
dt
af1(t) bf2 (t) f3(t) ay1(t) by2 (t) y3(t)
∴ 该系统为线性系统。
解：（2）
设
f1(t)
y1(t),
则：dy1(t) dt
3 df1(t) dt
设
f2 (t)
f1(t t0 )
y2 (t),
则：dy2 (t) dt
3 df2 (t) dt
y1(t t0 ) 8sin[ f1(t t0 )] 8sin[ f2 (t)] y2 (t) f1(t t0 ) f2 (t) y2 (t) y1(t t0 )
∴ 该系统为时不变系统。
网络的有源性和无源性！
判断网络的有无源性
一端口，p（t） u（t）i（t）
n
n端口，p（t） u（T t）i（t） u（k t）i（k t） k 1 t
则为时不变系统(亦称为非时变系统），否 则为时变系统
所谓时不变系统，就是当输入信号有一 个时移，在输出信号中将产生同样的时移， 而输出波形的形状没有变化。
实际上，系统内的参数如果不随时间变化， 其微分方程的系数全是常数，该系统就具 有时不变的性质，所以，恒定参数系统 （也称定常系统）是时不变系统；反之， 参数随时间变化的系统不具备时不变的性 质时就是时变系统。
设 f2 (t) f1(t
dy1(t) dt
ty1(t)
f1(t)
t0y)1d(ty)1,(ydt2则t(tt)：0,)d则yd1(：tt(t)dty0d2)tt(yyt11)((tt)tty02)f(1t()t
) f1
f (t
2 (t) t0
)
比较两式可知 f1(t) y1(t), f1(t t0 ) f2 (t) y2 (t) y1(t t0 )
则：dy3(t) 3 df3(t)
dt
dt
dy1(t) 3 df1(t) , dy2 (t) 3 df2 (t)
dt
dt dt
dt
d[ay1(t)] 3 d[af1(t)] , d[by2 (t)] 3 d[bf2 (t)]
dt
dt
dt
dt
二式相加得： d[ay1(t) by2 (t)] 3 d[af1(t) bf2 (t)]
描述无记忆系统的方程为代数方程，描述有记忆 系统的方程为微分方程方程。
5.稳定系统与不稳定系统
对一个初始不储能的系统，如果输入有界
（有限值 f (t) ）输出也有界（有限 max
值 y(t) ）系统为稳定系统；反之，如 max
果输入有界（有限值 f (t) ），输出无 max
界（无限值），则该系统就是不稳定系统。