数学建模课程设计

数学建模课程设计报告
题目:宾馆预定策略问题
院系：数学学院
专业：数学与应用数学
班级：08（2）班
姓名：
学号：
指导老师：黄有度
摘要
本题为宾馆的预定策略问题，涉及价格制定和经营策略问题。通过对题目中提供的数据，以及对所要求解的问题的分析，本小组认为符合时序预测问题的基本条件。
对于第一问，要求估计第九周和第十周参考标准间房价，属于短期预测。将对未来价格的预测问题分解为两个问题：对一周内各天价格所占一周内总价的比例，和各周价格变化趋势适。采用多段的、三次多项式趋势外推法解决第一个问题，模型的误差最大为0.39%，可见模型是十分精准的；同时采用三次多项式外推和一次移动平均法求解第二个问题，通过对比，一次移动平均法比趋势外推得到的数据，与已知数据更为符合。同时，其预测值比较符合经济规律，因而，其预测结果具有可靠性。
50.52
46.75
118.70
125.74
95.19
54.34
第十周
53.28
53.28
49.30
125.18
132.61
100.39
57.31
5.2求解第二问
5.2.1仅考虑赔偿现金的情况下：
宾馆标准客房、豪华套间、总统套房的实有数量分别为n1,n2,n3;
设宾馆接受预定的标准客房、豪华套间、总统套房的数量分别为m1,m2,m3;
设未来第k周的周均价值为 ,则
其对九、十周的预测结果为77.3929元，与81.6205元，比较符合均价整体走势。
5.1.3.综上，可得未来第k周，星期i的标准间价格的预测值yk,i得表达式：
根据以上公式计算出来的第九第十周标准间价格如下表：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
第九周
50.52
一．问题重述
某著名的旅游城市的A级宾馆主要提供举办会议和游客使用的。客房通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此，宾馆采用一些措施。首先，要求客户提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说周末价格比较高。
对于问题二，宾馆采用升级客房档次或赔款来解决超额接受客房预订的纠纷。采用独立重复试验概型可以得到k个客人取消订单的概率；在计算出宾馆利润的期望值，通过在赔偿和客房数量上的限制条件，和保证宾馆最大利润的目的，可以确定出宾馆超额提供预定的最大数。
对于问题三，要求为宾馆制定一个长期的经营策略，通过一二问的分析，可以得出合理的方案。
30.80%
7
76.14285714
78.3352
2.88%
8
67.57142857
60.9784
9.76%
拟合曲线见下图。可见，其误差以十分明显。其中，前6周误差都超过10%，最大的第三周甚至达到69.73%。而且根据它预测的第九、十周均价分别为42.2653，24.4082元。根据日常经验可知，均价随时间的推移是逐步上涨的，这与之不符。故，此时采用三次趋势外推是不合理的；若采用更高次的多项式外推法，可使前八周内误差减小，但其预测将变得更加不合常规。
通过matlab求解方程组（代码见附录代码一），得到趋势外推法的解如下
其模拟的效果如下：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
均价
50.5
50.5
46.75
119
125.25
95.5
54.25
总价
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
比例
0.093216
设宾馆相应与每种gk的利润为LR，那么
那么宾馆的利润期望为
根据假设，除去客房开支以外，宾馆总的运营成本，等于至少六成的客房有人入住时所得的利润；即C=0.6nA。
显然，宾馆的n,D,A,p短期内都是已知常数。过可以通过数值模拟的方法取定m，使得Y(LR)最大。对Y(LR)进行等价变形得：
对标准间而言
假设取1-P=0.95。此时，宾馆为了取得最大期望利润率，根据前述计算结果可知，标准客房的预订水平因该取530、豪华套房的预订水平取100、总统套房的预订水平取20时，宾馆利润最大。
而其中，豪华套房、总统套房的最大利润分别在101和21处取得，m的数量太少，不适合超额预订，况且赔率较大，宾馆从经济的角度考虑，豪华套房、总统套房不应该接受超额预订。根据求出的数据可知，对于标准客房来说，当标准客房的超额预订水平为530时，最大可能超额入住5人，且概率为0.0796，即说明，最大可能赔偿5个人。
第二问:显然，预定了客房的客人取消预定的概率是相互独立的，则，m个预定中，有k个客人取消订单的事件符合独立重复试验概型；同时，由于k的不同导致宾馆利润的不同，
故先计算出宾馆利润对于某一个k值的函数，在通过概率加权的办法算出宾馆利润的期望，通过取定合适的m值，使得利润期望最大，从而得出合适的宾馆客房超额预定策略。
研究的问题是：
(1)试建立客房预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。表1给出了某宾馆8周标准房价格(单位: 美元)，用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计第9周和第10周的标准房参考价格。你还可以收集更多的数据来验证你模型的价值（要求注明出处）。
（2）在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数, 以减低客户取消预定时宾馆的损失。当然这样做可能会带来新的风险, 因为万一届时有超出客房数的客户出现, 宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷, 为此宾馆还会承担信誉风险. 某宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。试为该宾馆制定合理的预定策略, 并论证你的理由。
（3）请为该宾馆制定一个长期的经营策略；并给总经理写一篇短文有关管理经营的建议书。
二、问题假设以及符号说明
A：假设
1，在求解第一问中，假设第一周至第十周处在一个稳定的市场状态（淡季或旺季）；
2，假设标准间的价格总体走势仅由两方面分量合成，即，每一周内的7日价格变化走势，周均价走势；
2，假定所提供的数据与未来数据是连续的，不存在重大变故的干扰；
五、求解方法
5.1第一问的求解
5.1.1首先对标准间在每个周内的价格走势作分析，建立其周内变化模型。
对一周内各天的均价走势的研究，得到一周内的价格变动，可以反应标准间价格变动因素中的一个周期性因素。
通过对数据的分析得到前八周内，星期一至周日分别的标准间价格均值：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
对豪华间而言
对总统包间而言
显然，随着p的增大，即1-p的减小，利润是逐渐增大的。
根据m和p取不同的值，利润的期望变化如下：
A．根据下图，标准间的最大利润在1-p=0.95时，在m1=530时取得。
B．根据模拟计算图，豪华间在所有情况下，都在m2=100左右取得最大利润。
C，根据模拟计算图，总统包间在所有情况下，都在m3=20左右取得最大利润
3，假设宾馆的三类客房比例与市场需求比例相同，不存在巨大的入住率差异；
4，假设客人取消预定都是在前一天中午以前；
5，假设宾馆除开客房开支以外，总的运营成本，等于至少六成的客房有人入住时所得的利润；
6，假设宾馆对为得到房间的以预定客人的赔偿为：同类房间利润的一倍。
7，假设客人订房没有批量预定的情况。
B:符说明
5.2.2在同时考虑升级客房档次或赔款的情况下
对于标准房间，由于没有更低级的房间升级到标准房间，故在不同的概率值Ｐ下，期望利润率随订房水平ｍ的变化情况相似。
P一个已定客房的旅客在在前一天中午以前取消预定的概率
gkk人未按时入住的概率
LR(k)设宾馆相应与每种gk的利润
Y(LR)那么宾馆的利润期望为
三、问题分析
显然，从本题提供的数据和所要求解的问题来看，它是属于时间序列的预测问题，故考虑用多项式趋势外推和移动平均法等方法求解。
第一问：题目中给出了八周的标准间房价数据，要求预测第九、第十周的标准间房价，属于短期预测问题。显然，从所给数据来看，要建立单一时间变量的函数来确定房价是很难的，不过更具日常经验和经济学规律分析，可将影响标准间的房价变动的因素归纳到两方面：即，一周内房价的分布，和以周均价为代表的长期上涨规律。
那么，未来第k周，星期i的标准间的价格yk,i上述两种决定价格变动规律的因素共同决定的。由此可得yk,i的表达式：
4.2对于第二问，根据订房客人取消预定的变化，宾馆的利润也是变化的。为了确定一个最优的预定策略，将所有可能的情况根据其概率进行加权运算，最终得到具有代表性的总体利润的期望，从而确定一个合理的预定策略。k人未按时入住的概率为gk，宾馆相应与每种gk的利润为 ，那么宾馆利润的期望为：
于是，此处不能采用多项式趋势外推。接下了，本文将采用一次移动平均的方法对第九第十周预测。
采用一次移动平均法求解（代码见附录代码三）
为了使数据最终结果与原始数据比较符合，并减小统计数据中由于偶然因素较大的数据的影响，取移动平均的观测点数为8。其最终拟合结果如下（为了便于绘图，在原始数据中令第九十周均价为0，不过这不影响算法的准确度）
三次多项式外推
其拟合前后对比如下：
周次
每周价格走势
拟合函数值
偏差
1
43.57142857
30.1169
30.88%
2
49
67.3519
37.45%
3
53
89.9579
69.73%