向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量在中学数学解题中的巧用
例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
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－ ｌ｝Ｉ 已 ∞ ６， ｌ ： ａ 知 ＝。 丽又 ０
Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
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在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ
中学数学认识向量与平面的位置关系
中学数学认识向量与平面的位置关系中学数学认识：向量与平面的位置关系一、向量的基本概念与性质在数学中，向量是用来表示大小和方向的量。
它由起点和终点两个点确定，在平面上可表示为有向线段。
向量的性质包括加法、数量乘法、共线性和平行等特征。
二、平面的基本概念与性质平面是二维几何空间中的一个基本概念，由无数个点构成。
平面上的点可通过坐标系表示。
平面的性质包括平行、垂直、共面等关系。
三、向量与平面的关系——共面性当三个或三个以上的向量共面时，它们所在的平面称为“共面向量组”。
共面向量组的特点是，其中某一个向量可被其他向量线性表示。
此时，向量组中的向量之间存在一定的关系，可以通过线性组合得到同一个平面上的任意点。
四、向量与平面的关系——垂直性若一个向量与其所在平面上的所有向量都垂直，则该向量垂直于平面。
垂直向量与平面的关系可以通过向量的数量积来判断：若一个向量与平面上的某个向量的数量积为零，则两向量垂直。
五、向量与平面的关系——平行性若一个向量与平面上的所有向量都平行，则该向量平行于平面。
平行向量与平面的关系可以通过向量的叉积来判断：若一个向量与平面上的两个非共线向量的叉积为零，则向量平行于该平面。
六、平面方程的表示使用数学表达式来表示平面的一种常见方式是平面方程。
一般情况下，平面方程可表示为Ax+By+Cz+D=0的形式，其中A、B和C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。
七、向量在平面内的投影向量在平面内的投影是指将该向量投影到该平面上的一条线段。
投影的计算可通过向量的数量积和法向量来实现，得到的投影线段与法向量垂直。
八、定点到平面的距离定点到平面的距离是指从给定点到平面上的点的最短距离。
根据向量的点乘和模运算可得到定点到平面的距离公式。
九、应用实例向量与平面的关系在实际问题中有许多应用，如力的合成、几何图形的相似性判定、立体图形的投影等。
了解向量与平面的关系有助于解决这些实际问题。
结论：中学数学中，向量与平面的位置关系是一种重要的数学概念，通过向量与平面的共面性、垂直性和平行性的关系，可以解决许多与平面相关的问题。
初中数学向量的运算与应用知识点
初中数学向量的运算与应用知识点提起初中数学的向量，那可真是一段让我又爱又恨的回忆。
还记得当初刚接触向量的时候，我整个人都是懵的。
看着那些带着箭头的线段，脑袋里就像一团乱麻。
老师在讲台上讲得口沫横飞，我在下面听得云里雾里。
向量的运算，什么加法、减法，还有数乘，一开始对我来说简直就是天书。
就拿向量的加法来说吧，两个向量相加，居然不是简单地把它们的长度相加，而是要遵循平行四边形法则或者三角形法则。
当时我就想，这数学怎么这么爱“刁难”人呐！比如说，有两个向量 a 和 b ，a 的坐标是（3，4），b 的坐标是（1，2），要计算它们的和。
按照三角形法则，得把 b 的起点平移到 a 的终点，然后连接 a 的起点和 b 的终点，得到的新向量就是 a ＋ b 。
这过程中，得仔细算坐标，可不能马虎。
就这一个简单的例子，我当时做练习的时候，那是算了一遍又一遍，草稿纸都用了好几张。
向量的减法也不简单。
它可不是直接把长度相减，而是要把减的那个向量取反，然后再做加法。
有一次做作业，遇到一个向量减法的题目，我想当然地就把长度一减，结果答案错得一塌糊涂。
被老师批改后，那一个个大红叉，真让我面红耳赤。
不过，向量的数乘倒是相对简单一些。
一个向量乘以一个实数，就是把向量的长度放大或者缩小，方向相同或者相反。
但这里也有容易出错的地方，比如符号问题，一不小心就会搞错方向。
在学习向量运算的过程中，我还闹过不少笑话。
有一次课堂小测验，有道题是计算两个向量相加的结果。
我信心满满地做完交了上去，结果老师发下来的时候，我发现自己居然把方向搞反了。
当时我那个懊恼啊，恨不得找个地缝钻进去。
随着不断地学习和练习，我渐渐摸到了向量运算的门道。
我发现，只要认真画图，按照法则一步一步来，其实也没有那么难。
向量的应用那也是相当广泛。
在物理学中，力、速度、位移这些都可以用向量来表示和计算。
就拿扔铅球来说吧。
铅球出手时的速度就是一个向量，它有大小和方向。
要计算铅球能扔多远，就得分析这个速度向量。
向量法在中学数学解题中
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。
高考数学中的线性代数及应用
高考数学中的线性代数及应用在高考数学中，线性代数是一个重要的考点，它是数学中的一个分支，讲究向量、矩阵、行列式等内容，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、向量向量是线性代数中的基础概念之一，是指同时具有大小和方向的量。
在高中数学课程中，我们已经学过向量的基本概念和运算。
在高考中，必须掌握向量的点乘、叉乘、平面方程以及向量组的线性相关、线性无关等重要概念。
这些知识点在高考数学中都有考查，同时也具有一定的应用意义。
在实际应用中，向量的应用广泛，如在工程测量中用于计算物体的位移、速度、加速度等，同时还可用于计算力的大小和方向。
在计算机图形学中，向量可用于表示三维空间中的点和对象，是计算机图形学中最重要的数据类型之一。
二、矩阵矩阵是一个方阵或非方阵，其中的元素可以是实数或复数。
在高考数学中，我们学过矩阵的基本概念、常见矩阵运算、矩阵的秩等知识点。
同时还要具备求解矩阵方程、解线性方程组、矩阵的转置、逆矩阵等重要概念。
在实际应用中，矩阵的应用非常广泛，如在物理学中用于解决运动问题、在经济学中用于计算供给和需求、在计算机科学中用于解决线性方程组或图像处理等。
可以说，矩阵在各个领域都发挥着重要作用。
三、行列式行列式是矩阵的一个重要概念，我们已经在高中数学中学过，它是用于计算面积、体积、求解未知量等方面的重要工具。
在高考数学中，行列式的基本概念和应用是必考内容之一，同时还需掌握行列式的基本性质和简化计算的技巧。
在实际应用中，行列式的应用也非常广泛，如在计算机编程中用于判断一个矩阵是否满足某些条件、在经济学中用于计算系统的可行性、在物理学中用于计算角动量和自旋等指标。
可以说，行列式在各个领域都有不同的应用。
总结高考数学中的线性代数及应用是一个非常重要的考点，它涵盖了向量、矩阵、行列式等重要概念，在实际应用中也发挥着重要的作用。
因此，我们必须掌握这些知识点，并注意学习它们的应用技巧和实际应用场景。
只有这样，我们才能在高考中取得优异的成绩，并将所学知识投入到实践中，为社会发展做出贡献。
人教版高中数学必修一 空间向量在立体几何中的应用小结-课件牛老师
原上，闪着寒冷的银光。
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠 叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶 上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
则
m m
BC CF
0, 0.
即 －x2＝0， －y2＋2z2＝0，
不妨令 z2＝1，可得 m＝(0,2,1)．
因此有
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝3 1010，于是
sin〈m，n〉＝
10 10 .
所以，平面 EBC 与平面 FBC 所成角的正弦值为 1100.
(2)设线段 DP 的长为 h(h∈[0,2])，则点 P 的坐标为(0,0,h)， 可得B→P＝(－1,－2,h)． 易知，D→C＝(0,2,0)为平面 ADGE 的一个法向量，故
所以平面 PAD⊥平面 PCD．
应用 二：解决空间中的有关角的问题
= v,n或 = v,n .
2
2
应用 二：解决空间中的有关角的问题
解：依题意，以 D 为原点，分别以D→A，D→C，D→G的方向为 x 轴，y 轴，z 轴
的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)， C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)．
向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用向量是中学数学的重要概念之一，它兼有数和形的特征，因而它是数形结合的桥梁之一，是实现数形转换的一个重要工具。
许多数学问题用向量知识来解决显得格外简练。
一、证明两直线平行或垂直根据∥?圳=λ（λ≠0）将证两线平行转化为证两向量共线（平行）。
根据⊥?圳·=0，将垂直问题转化为证两向量的数量积等于0.例1.已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1，ab1=1，aa1=2点e为cc1的中点，点f为bd1的中点.求证：ef是bd1与cc1的公垂线。
证明：建立空间直角坐标系，则b（1，1，0），c（0，1，0），c1=（0，1，1），d1（0，0，1），e=（0，1，），f=（，，），=（，，0），=（0，0，1），=（-1，-1，1），所以·=0，·=0，即⊥，⊥.故ef是cc1与bd1的公垂线。
若用立体几何中的理论来证明这道题目则可以通过证明三角形ed1b和三角形fc1c为等腰三角形来达到目的。
证明过程中需利用已知边长，垂直等条件求出其他边长。
而用向量的性质来解则只需将各点坐标表示出来，再利用两向量的数量积是否等于0便可以得出结论。
相较而言，利用向量更为简便，计算量也相对较少。
二、证明线面平行或垂直证明线面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明线面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行，从而得出结论，达到解决问题的目的。
例2.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2，e，f，g分别是bc，cd，cc1的中心，求证：（1）ad1∥平面efg.（2）a1c⊥平面efg.证明：以d为坐标原点建立空间直角坐标系d-xyz，则d（0，0，0），a（2，0，0），a1（1，1，0），d1（0，0，2），c（0，2，0），c1（0，2，2），e（1，2，0），g（0，2，1）所以=（-2，0，2），=（2，-2，2），=（-1，-1，0），=（-1，0，1）。
高一数学下第5章《向量的应用》解析及答案
高一数学下第5章《向量的应用》解析及答案巩固基础 一、自主梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前的问题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力.二、点击双基1.(理)(2005全国高考卷Ⅲ,理)已知双曲线x 2-22y =1的焦点F 1、F 2，点M 在双曲线上且1MF ·2MF =0，则点M 到x 轴的距离为( )A.34B.35C.332 D.3解析：如图，不妨设M 在右支上，则MF 1⊥MF 2.设|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2,由定义r 1-r 2=2a=2. ① Rt △MF 1F 2中，r 12+r 22=(2c)2=12. ② ①式平方代入②后得r 1r 2=4,∴S △MF1F2=21r 1r 2=2=21|F 1F 2|·h=21×23h.∴h=332.答案：C(文)若O 是△ABC 内一点,++=0,则O 是△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC,则=+. 又OA +OB +OC =0, ∴+=-. ∴-=.∴O 为AD 的中点,且A 、O 、D 共线.又E 为OD 的中点,∴O 是中线AE 的三等分点,且OA=32AE.∴O 是△ABC 的重心. 答案：D2.(2006山东潍坊检测)已知点A(3,1)、B(0,0)、C(3,0),设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E,若=λ,则λ等于 …( )A.-23B.23C.-3D.-31解析：由=λ,得λ=BE BE =-1-=-1-21=-23.故选择A.答案：A3.(2006湖北八校联考)(理)已知向量a=(2cosα,2cosβ),b=(3cosβ,3sinβ),若a 与b 的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+21=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=21的位置关系是( )A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离解析：由题意得32)sin sin cos (cos 6⨯+βαβα=21,∴cosαcosβ+sinαsinβ=21.圆心为(cosβ,-sinβ). 设圆心到直线的距离为d,则d=1|21sin sin cos cos |++βαβα=1>22,∴直线和圆相离.故选D. 答案：D(文)已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|+|=|-|,其中O 为原点,则实数a 的值为( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6解析：由|OA +OB |=|OA -OB |,得OA ·OB =0,∴OA ⊥OB. 联立方程组⎩⎨⎧=+=+,4,22y x a y x 整理得2x 2-2ax+(a 2-4)=0, 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),∴x 1+x 2=a,x 1·x 2=242-a .∴y 1·y 2=(a-x 1)·(a-x 2)=a 2-a(x 1+x 2)+x 1x 2=21a 2-2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴242-a +22a -2=0.∴a 2=4.∴a=±2.又∵Δ=(-2a)2-8(a 2-4)>0,∴a 2<8.∴a ∈(-22,22),而±2∈(-22,22).故选C. 答案：C4.在四边形ABCD 中，·=0,=，则四边形ABCD 是______________________.解析：由·=0知⊥.由=知BC AD.∴四边形ABCD 是矩形. 答案：矩形5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb 成立的实数x 、y 取值是_____________.解析：依题意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),⎩⎨⎧=+-=-,53,3y x y x 解得⎩⎨⎧==.4,7y x答案：7、4训练思维【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t ，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不埽 胨得骼碛? 解：(1)OP =+t =(1+3t,2+3t).若P 在x 轴上，则2+3t=0,∴t=-32; 若P 在y 轴上，只需1+3t=0,∴t=-31;若P 在第二象限，则⎩⎨⎧>+<+.032,031t t ∴-32<t<-31.(2)∵=(1,2)，=(3-3t,3-3t).若OABP 为平行四边形，则=.⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解,∴四边形OABP 不能成为平行四边形.链接·聚焦本题第(2)问还可以利用共线的充要条件： ∵=+t AB ,∴-=t AB . ∴=t AB .∴A 、B 、P 共线. ∴四边形OABP 不能成为平行四边形.【例2】 已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示. (1)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立； (2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标； (3)求使f(c)=(p 、q)(p 、q 为常数)的向量c 的坐标. 解：(1)设a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),则ma+nb=(ma 1+nb 1,ma 2+nb 2). ∴f(ma+nb)=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1),mf(a)+nf(b)=m(a 2,2a 2-a 1)+n(b 2,2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1). ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. (2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1), f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q. ∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q,p).讲评：要利用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题，这也是向量运算中比较常用的方法.【例3】 已知m 、n 、p 、q ∈R,求证：mp+nq≤22n m +·22q p +.剖析：本题若采用平方法，则需对mp+nq 的符号进行讨论，然后再平方，若能把握其结构特点，联想到平面向量的数量积性质，则问题容易解决. 证明：设a=(m,n),b=(p,q), 度 ∵|a·b|≤|a||b|,∴|mp+nq|≤22n m +·22q p +. ∴mp+nq ≤22n m +·22q p +.状元训练复习篇1.(2004辽宁高考)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PA ·PB =x 2,则点P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析：=(-2-x,-y),=(3-x,-y),·=(-2-x)(3-x)+(-y)2=x 2,整理得y 2=x+6.∴P 点的轨迹为抛物线. 答案：D2.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h 解析：台风中心移动t h,城市B 处在危险区,则(20t)2+402-2×20t×40×cos45°≤900.∴2-21≤t≤2+21.∴B 城市处在危险区的时间为1 h.答案：B3.已知向量集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N 等于( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.∅解析：⎩⎨⎧+-=++-=+21215242,4231λλλλ∴⎩⎨⎧=-=0,121λλ(注意λ不一定相等).∴M∩N={(-2,2)}. 答案：C4.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°,塔底俯角为45°,那么这座塔的高为_______________________. 解析：如图,AD=DC=20. ∴BD=ADtan60°=203. ∴塔高为20(1+3) m.答案：20(1+3) m5.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_____方向行驶. 解析：如右图,为使小船所走路程最短,v 水+v 船应与岸垂直.又v 水==1,v 船==2,∠ADC=90°,∴∠CAD=45°. 答案：与水速成135°角的6.平面内有向量OA =(1,7)，OB =(5,1)，OP =(2,1)，点X 为直线OP 上的一个动点. (1)当·取最小值时，求的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AXB 的值. 解：(1)设OX =(x,y),∵点X 在直线OP 上， ∴向量与共线.又OP =(2,1),∵x·1-y·2=0,即x=2y,∴OX =(2y,y). 又=-=(1,7)-(2y,y), ∴=(1-2y,7-y).同理,=-=(5-2y,1-y).于是,·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y 2-12y+5+y 2-8y+7=5y 2-20y+12 =5(y-2)2-8.由二次函数的知识，可知当y=2时，XA ·XB =5(y-2)2-8有最小值-8，此时OX =(4,2). (2)当=(4,2)，即y=2时，有=(-3,5)，=(1，-1)，||=34,||=2,·=(-3)×1+5×(-1)=-8,∴cos ∠AXB=||||XB XA =2348∙-=-17174.讲评：向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的直角坐标去研究有关长度、角度和垂直问题.7.已知向量a=(cos 23x,sin 23x),b=(cos 2x ,-sin 2x ),且x ∈［0，2π］.求：(1)a·b 及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-23，求λ的值. 解：(1)a·b=cos 23x·cos 2x -sin 23x·sin 2x =cos2x,|a+b|=22)2sin 23(sin )2cos 23(cos xx x x -++ =x 2cos 22+=2x 2cos .∵x ∈［0，2π］，∴cosx>0.∴|a+b|=2cosx.(2)f(x)=cos2x-4λcosx,即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.∵x ∈［0,2π］，∴0≤cosx≤1.①当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾.②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2，由已知得-1-2λ2=-23,解得λ=21.③当λ>1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1-4λ.由已知得1-4λ=-23，解得λ=85.这与λ>1相矛盾.综上所述，λ=21为所求.加强篇8.(2006北京海淀模拟)设a =(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π),a 与c 的夹角为θ1,b 与c 的夹角为θ2,且θ1-θ2=6π,求sin 4βα-的值.解：a=(2cos 22α,2sin 2αcos 2α) =2cos 2α(cos 2α,sin 2α),b=(2sin 22β,2sin 2βcos 2β) =2sin 2β(sin 2β,cos 2β), ∵α∈(0,π),β∈(π,2π),∴2α∈(0,2π),2β∈(2π,π).故|a|=2cos 2α,|b|=2sin 2β,cos θ1=||||c a c a ∙=2cos22cos 22αα=cos 2α, cos θ2=||||c b c b ∙=2sin22sin 22ββ=sin 2β=cos(2β-2π).∴θ1=2α. ∵0<2β-2π<2π,∴θ2=2β-2π.又θ1-θ2=6π,∴2α-2β+2π=6π.故2βα-=-3π,∴sin 4βα-=sin(-6π)=-21.讲评：本题考查向量的坐标表示及其运算，向量数量积的夹角公式的运用，注意角度范围的变化应用，结合三角函数的关系进行求值.9.(全新创编题)如图所示，点F(a,0)(a>0),点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上，N 为动点，且·=0,+=0.(1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F(a,0)的直线l(不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，设点K(-a,0),与的夹角为θ，求证：0<θ<2π.解：(1)设N(x,y)、M(x 0,0)、P(0,y 0),则PM =(x 0,-y 0),PF =(a,-y 0),PN =(x,y-y 0).由·=0,得ax 0+y 02=0. ① 由+=0，得(x+x 0,y-2y 0)=0,即⎩⎨⎧=-=+.02,000y y x x 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,00yy x x代入①,得y 2=4ax 即为所求.(2)设l 的方程为y=k(x-a),由⎩⎨⎧-==),(,42a x k y ax y 消去x,得y 2-k a 4y-4a 2=0.设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 1y 2=-4a 2,KA =(x 1+a,y 1),KB =(x 2+a,y 2),·=(x 1+a)(x 2+a)+y 1y 2=x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=22221)4(a y y +a·(a y 421+a y 422)+a 2-4a 2=41(y 12+y 22)-2a 2>41(2|y 1y 2|)-2a 2=21×4a 2-2a 2=0,所以cos θ=>0.所以0<θ<2π.讲评：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题是将向量与解析几何、方程、不等式以及三角函数等知识有机结合，体现了《考试大纲》要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神，我们预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平. 一、教学思路向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛，教学要结合实例，引导学生把向量的相关知识和实际问题相结合，渗透向量解决问题的高效性.二、注意问题与向量相关的综合应用问题类型较多，往往都和几何图形或某种类型曲线相关联，这就要求在转化成向量方法或抽象为确定的数学模型时，一定要注意和题意等价，善于综合全局，把握转化合理性. 三、参考资料【例1】 已知a=(31x 2,x),b=(x,x-3),x ∈［-4,4］.(1)求f(x)=a·b 的表达式;(2)求f(x)的最小值,并求此时a 与b 的夹角.解：(1)f(x)=a·b=31x 2·x+x·(x-3)=31x 3+x 2-3x,x ∈［-4,4］.(2)f ′(x)=x 2+2x-3=(x+3)(x-1). 列表:故当x=1时,f(x)有最小值为-35. 此时a=(31,1),b=(1,-2).设θ为a 与b 的夹角,则cosθ=||||b a b a ∙=-22. 又由θ∈［0,π］,得θ=43π.【例2】 如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有4 kg 和2 kg 的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)剖析：先进行受力分析,列出平衡方程,然后用数学方法求解.解：设所求物体质量为m kg 时,系统保持平衡,再设F 1与竖直方向的夹角为θ1,F 2与竖直方向的夹角为θ2,则有⎩⎨⎧=+=)2(.c o s 2c o s 4)1(,s i n 2s i n42121mg g g g g θθθθ(其中g 为重力加速度) 由①式和②式消去θ2,得 m 2-8mcosθ1+12=0,即m=4cosθ1±23cos 412-θ.③ ∵cosθ2＞0,由②式知,③式中m=4cosθ1-23cos 412-θ不合题意,舍去. 又∵4cos 2θ1-3≥0,解得23≤cosθ1≤1.经检验,当cosθ1=23时,cosθ2=0,不合题意,舍去.∴23＜m ＜6.综上,所求物体的质量在23kg 到6 kg 之间变动时,系统可保持平衡.讲评：(1)m 的范围是通过函数y=4x+2342-x 的单调性求得的.(2)实际问题的处理要注意变量的实际意义,本题容易忽略cosθ2＞0的实际限制.优化测控一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)1.(2006江苏南京期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ,μ的值分别为( ) A.1,0 B.1,1 C.0,1 D.-1,0解析：∵c=λa+μb=λ(1,0)+μ(1,1)=(λ+μ,μ),而c=(-1,0),∴⎩⎨⎧=-=+.0,1μμλ ∴⎩⎨⎧=-=.0,1μλ故选择D.答案：D2.有三个命题：①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=.其中正确的是( ) A.② B.③ C.①③ D.②③ 解析：①与共线，AB 与CD 也可以平行.②中a 与b 也可能有0. 答案：B3.(2006四川成都检测)设向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°),若t 是实数,且u=a+t b,则|u|的最小值为( )A.2B.1C.22D.21解析：|a|=|b|=1,a·b=sin20°cos25°+cos20°sin25°=sin45°=22, ∴|u|2=|a+t b|2=a 2+2t a·b+t 2b 2=t 2+2t+1=(t+22)2+21≥21.∴|u|≥22.选C.答案：C4.已知|a|=4，|b|=8，且a 与2b-a 互相垂直，则向量a 与b 的夹角是( )A.arccos 41B.π-arccos 41C.3πD.6π解析：由a ⊥(2b-a),得a·(2b-a)=0. ∴2|a||b|cosθ-|a|2=0.∴cosθ=41,θ=arccos 41.答案：A5.(2006北京西城模拟)向量=(1,21),=(0,1),若动点P(x,y)满足条件⎪⎩⎪⎨⎧<∙<<∙<,10,10OA OP 则P(x,y)的变动范围(不含边界的阴影部分)是( )解析：OA =(1,21),OB =(0,1).设P(x,y),则OP =(x,y),∵⎪⎩⎪⎨⎧<∙<<∙<,10,10即⎪⎩⎪⎨⎧<<<+<.10,120y y x经分析，选A. 答案：A6.已知向量=(1,1)，=(1,a)，其中a 为实数，O 为原点，当这两向量的夹角在(0,12π)变动时，a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(33,3)C.(33,1)∪(1,3) D.(1,3)解析：只需保证直线AO 和OB 的夹角为此范围就行，显然k OA =1,k OB =a.应用夹角公式tanθ=|a a +-11|<1313+-,可得选项C.答案：C7.已知向量m 与向量n 互相垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),则n 等于( ) A.(1,-2) B.(-2,1) C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,-2)或(-1,2)解析：设n=(x,y),由题意设⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5,0222y x y x 解得⎩⎨⎧-==2,1y x 或⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴n=(1,-2)或(-1,2). 答案：D8.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP 等于( )A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,22) C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-),λ∈(0,22)解析：由平行四边形法则及共线的充要条件容易得到选项A. 答案：A9.(2006西安五校联考)已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+λb 与向量-b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.223B.233C.2D.-52解析：a+λb=(3,4)+λ(2,-1)=(3+2λ,4-λ),-b=(-2,1),若(a+λb)⊥(-b)，则-2(3+2λ)+4-λ=0.∴λ=-52.故选D.答案：D10.若a 与b 的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则向量a 的模是( )A.2B.4C.6D.12解析：由题意知a 2-a·b-6b 2=-7a,把|b|=4,cos60°=21代入得|a|2-2|a|-24=0.∴|a|=6或|a|=-4(舍).答案：C11.命题p:△ABC 及点G 满足++=0；命题q ：G 是△ABC 的重心，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：若G 是△ABC 的重心，由课本例题可知，++=0成立.若++=0，则+=-，可证CG 必经过AB 的中点.答案：C12.在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =a,OB =b ，对任意一点M ，它关于A 的对称点为S ，S 关于点B 的对称点为N ，则用a 、b 表示为( )A.2(b-a)B.21(a-b)C.a+bD.21(a+b) 解析：MN =MS +SN =2AS +2SB =2OB -2OA (四边形OASB 是平行四边形).答案：A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分) 13.OA =3e 1,OB =3e 2,且AP =21,则OP =__________________________. 解析：=3e 2-3e 1,=31=e 2-e 1,=+=2e 1+e 2.答案：2e 1+e 214.(2006北京海淀模拟)若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2a-b 的坐标是_______________；a·b=_______________________. 解析：a=(3,2),b=(0,-1),∴2a-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),a·b=3×0+2×(-1)=-2.答案：(6,5) -215.若对n 个向量a 1,a 2,…,a n 存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立，则称向量a 1,a 2,…,a n 为“线性相关”.依此规定，能说明a 1=(1,0),a 2=(1,-1),a 3=(2,2)“线性相关”的实数k 1、k 2、k 3依次可以取_____________________________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况).解析：设k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3=0,即k 1(1,0)+k 2(1,-1)+k 3(2,2)=(0,0).∴⎩⎨⎧=+-=++.02,0232321k k k k k ∴k 1=-4k 3,k 2=2k 3.取k 3=1得一组k 1、k 2、k 3依次为-4、2、1.答案：-4、2、116.(2006江苏南京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且c ⊥a,则向量a 与b 的夹角为__________.解析：∵c=a-b 且c ⊥a,∴c·a=0,即(a-b)·a=0,a 2=a·b=1,cos 〈a,b 〉=||||b a b a ∙=21.∴〈a,b 〉=3π. 答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(本小题满分12分)已知向量a=(3，-4)，求：(1)与a 平行的单位向量b ；(2)与a 垂直的单位向量c ；(3)将a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e 的坐标.解：(1)设b=λa,则|b|=1，b=(53,-54)或b=(-53,54).(2)由a ⊥c ，a=(3,-4),可设c=λ(4,3),求得c=(54,53)或c=(-54,-53).(3)设e=(x,y),则x 2+y 2=25.又a·e=3x-4y=|a|·|e|cos45°,即3x-4y=2252,由上面关系求得e=(227,-22)或e=(-22,-227).而向量e 由a 绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e=(227,-22).18.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,(1)若△ABC 面积为23,c=2,A=60°,求a 、b 的值；(2)若acosA=bcosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论.解：(1)由已知得23=21bcsinA=bsin60°,∴b=1.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA=3,∴a=3.(2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b,∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B.由已知A 、B 为三角形内角，∴A+B=90°或A=B.故△ABC 为直角三角形或等腰三角形.19.(本小题满分12分)向量a=(1,cos2θ),b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=(21sinθ,1),其中θ∈(0,4π).(1)求a·b-c·d 的取值范围；(2)若函数f(x)=|x-1|,判断f(a·b)与f(c·d)的大小，并说明理由.解：(1)a·b=2+cos2θ,c·d=2sin 2θ+1=2-cos2θ,∵a·b-c·d=2cos2θ,∴0<θ<4π.∴0<2θ<2π.∴0<cos2θ<1.∴0<2cos2θ<2.∴a·b-c·d 的取值范围是(0,2).(2)f(a·b)=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=2cos 2θ,f(a·b)=|2-cos2θ-1|=|1-cos2θ|=2sin 2θ,于是有f(a·b)-f(c·d)=2(cos 2θ-sin 2θ)=2cos2θ.∵0<θ<4π,∴0<2θ<2π.∴2cos2θ>0.∴f(a·b)>f(c·d).20.(本小题满分12分)△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足下列条件：(1)A<B<C;(2)A 、B 、C 成等差数列；(3)tanA·tanC=2+3.(1)求A 、B 、C 的大小；(2)若AB 上的高为43，求a 、b 、c 的大小.解：(1)由题意知B=60°，A+C=120°,tan(A+C)=aC A CA tan tan 1tan tan -+=-tanB=-3,∴tanA+tanC=3+3.故⎩⎨⎧+==32tan ,1tan C A或⎩⎨⎧=+=1tan ,32tan C A (舍).故A=45°,B=60°,C=75°.(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，则CD=43.在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，由正弦定理得a=B CD sin =8,b=A CDsin =46,c=AD+DB=43+4.21.(本小题满分12分)已知a=(cosθ,sinθ),b=(cosβ,sinβ),a 与b 之间有关系式|ka+b|=3|a-kb|(k>0).(1)用k 表示a·b;(2)求a·b 的最小值，并求此时a 与b 夹角的大小.解：(1)将|ka+b|=3|a-kb|两边平方得a·b=k b k a k 8)13()3(2222-+-=k k 412+.(2)∵(k-1)2≥0,又k>0,∴k k 412+≥k k 42=21,即a·b≥21,cosα=21.又0°≤α≤180°，故a 与b 的夹角为60°.22.(本小题满分14分)已知平面向量a=(3，-1)，b=(21,23),(1)证明a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x=a+(t 2-3)b,y=-ka+tb,且x ⊥y ，试求函数关系式k=f(t);(3)据(2)的结论，确定函数k=f(t)的单调区间.(1)证明：a·b=(3,-1)·(21,23)=23-23=0,∴a ⊥b.(2)解：∵x ⊥y,∴x·y=0且a·b=0,a 2=4,b 2=1.整理得-4k+t(t 2-3)=0.∴k=41t(t 2-3).(3)解：记f(t)=41(t 3-3t),∴f′(t)=43t 2-43.令f′(t)>0,得t<-1或t>1.因此，当t ∈(-∞,-1)时，f(t)是增函数； 当t ∈(1,+∞)时，f(t)也是增函数.再令f′(t)<0得-1<t<1,故t ∈(-1,1)时，f(t)是减函数.。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。
比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。
由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。
通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。
在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。
立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。
最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。
数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。
对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。
由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。
另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。
但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。
有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。
此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。
向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。
而现实过程中学生们掌握的.向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。
最后，高中数学教材中对于向量的了解比较粗略，无法协助学生更加深入细致的介绍，在一定程度上无法满足用户学生的自学，种种问题都就是影响向量化解数学问题的因素。
向量在数学中的作用
向量在数学中的作用有人说，中学数学中引入向量，用向量来处理几何问题，是因为用向量比用综合几何的方法简单、容易。
这种看法是不全面的。
虽然有许多问题，用向量处理确实比用综合几何方法简单，但也可以找到用综合几何的方法处理更简单的问题。
向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。
向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。
在现代数学的发展中起着不可替代的作用。
是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。
向量是代数的对象。
运算及其规律是代数学的基本研究对象。
向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。
向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。
向量的运算具有一系列丰富的运算性质。
与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。
向量是几何的对象。
向量可以用来表示空间中的点、线、面。
如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。
在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线，曲面。
因此，向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象——点、线、面，它也是几何研究的对象。
向量是几何研究对象，这种认识很重要。
在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体：计算长度、角度、面积等。
随着数学视野不断拓展，这样的观念会给我们越来越多的用处。
向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁。
它不需要什么过渡。
在数学中，我们有两座沟通代数与几何的桥梁，一是向量，一是坐标系。
坐标系依赖于原点的选择。
向量的优越性在于可以不依赖于原点，空间中每一点的地位是平等的，它不依赖坐标，因此，它比坐标系更一般、更重要。
中学数学认识向量与直线的位置关系
中学数学认识向量与直线的位置关系在中学数学中，向量和直线是非常重要的概念。
向量既有大小又有方向，可以表示一个物体的位移或力的大小与方向。
而直线则是由一系列点无限延伸而成的，可以用来表示很多几何图形或者物体的方向和位置。
在数学中，我们经常需要研究向量和直线之间的位置关系，这对于理解几何学和应用数学有着重要的作用。
一、向量的表示和运算在研究向量和直线的位置关系之前，我们先了解一下向量的基本表示和运算。
向量通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在平面上，一个向量可以由其在x轴和y轴上的分量表示，例如a = (a1, a2)，其中a1表示x方向上的分量，a2表示y方向上的分量。
向量之间可以进行加法和减法运算。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即a - b = a + (-b)，其中-b表示向量b的相反向量。
二、向量和直线的位置关系在几何学中，我们常常需要研究向量和直线之间的位置关系，可以分为以下三种情况：1. 向量在直线上：如果一个向量与直线重合或者平行，那么我们说向量在直线上。
这意味着向量的方向和直线的方向相同或者相似。
可以通过向量的坐标表示来判断向量是否在直线上。
2. 向量与直线相交：如果一个向量与直线相交且不在直线上，那么我们说向量与直线相交。
这意味着向量的起点和终点分别位于直线的两侧。
可以通过向量的终点坐标来判断向量是否与直线相交。
3. 向量与直线平行或共线：如果一个向量与直线平行或共线，那么我们说向量与直线平行或共线。
这意味着向量和直线的方向相同或者相似，但不一定重合。
三、向量和直线的应用向量和直线的位置关系不仅在几何学中有着应用，还在实际问题中起着重要的作用。
以下是一些向量和直线的应用示例：1. 位移向量：我们可以使用向量来表示物体的位移。
向量在中学数学知识体系中应用论文
向量在中学数学知识体系中的应用【摘要】为了加深对向量思想方法的理解，提高学生的数学思维品质，本文介绍了向量在函数、不等式、平面几何、平面解析几何、立体几何等知识体系中的巧妙运用。
【关键词】中学数学向量知识体系向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
兼有代数与几何两种形式，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁而富有新意，有深刻的几何、物理背景。
向量思想方法在教学中的渗透，对提高学生数学解题能力，培养学生数学创造性思维，提高学生数学素质，实现中学数学课程目标等具有很强的现实意义。
向量在初中引入到高中阶段的深入，这深刻体现了向量在整个中学数学中占有特别重要的位置。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。
为了使学生进一步提高向量思维方法的领悟能力，需要通过一些实际案例的学习和分析，阐述与交流来提高对向量思想方法体现的理解力，对向量思想方法渗透的感知力，对向量思想方法运用的辨析力。
下面主要举例说明向量思想方法在中学数学中的典型运用。
1.向量在函数中的运用向量与函数表面看来没什么联系，但是深入思考可知向量的模和向量的数量积是联系向量与函数的纽带。
比如函数中求最值问题，就可以采用向量的两个不等关系来进行联系，其，其二。
运用向量思想方法求解函数最值问题时，就应该首先想到上面的两个不等式，运用函数与向量的关系，可以引导学生把向量思想运在解决函数问题，进而加深学生对向量的认识。
案例1 已知,求的最小值。
分析：从所求的式子的特点，可以发现可分别构造向量进行求解。
解：构造向量，则当且仅当同时平行即时等号成立。
解得：评注：由上案例可知，运用向量求函数的最大值的最大优点是解法简单、有规律、较容易理解、易于掌握。
2.向量在不等式的运用向量可以用几何表示（即用有向线段表示）也可以用代数表示（即用坐标表示）。
因此我们必须把图形和数字牢牢的联系起来，也是说向量和图形可以相互转化，用代数方法研究。
平面向量在中学数学中的应用
即 ｙ 一 √ ＋ ｚ ＋ １一 ， ｘ ／ 一 ｚ ＋ １的 值
分 别 对 应 复 数 ２， ２（ ＋ ｉ ，已 知 ２、 １ ）
ＱＰ 一
在 区 问 （ １ １ 内． 一 ，）
÷ ， ｌ一 ２， 复 数 ． ｌ 求
２ 应 用 平 面 向 量 证 明 三 角 公 式
例 １
￣ ｚ ＋ 口 ＋ ／
由 （ ） （ ） 两 式 得 １ 。２
Ｃ ＯＳ（ 一 ） 一 ｃ 口 ｏｓ ＋ ｓ ｎａ ｉ ￣． 口 ｏｓ ｃ ｉ ｓ ｎ ￣
已 知 口． ｃ 为 正 数 ．求 函 数 Ｙ 一 ｂ，
￣ ｆ — ） ＋ ｂ 的 最 小 值 ． ／（
应 用 平 面 向 量 处 理 等 式 或 不 等 式
的 “形 到 形 ” 的 推 理 方 法 。 而 降 低 了 思 维 难 从
度 ． 题 变 得 有 章 可 循 ． 一 步 减 轻 了 学 生 的 解 进 负 担 ．应 用 平 面 向 量 处 理 立 几 之 外 的 数 学 问 题 ． 往 也 可 以 收 到 化 繁 为 简 、化 难 为 易 和 综 往 合 应 用 的效 果 ．
求 证 ：日 （ ‘＋ ｂ ） 口 ‘ （ 。＋ ｂ ）＞ （ ＋ ｂ ） ． 口 ２
证 明
构 造 向 量 Ｐ 一 （ 。ｂ ） ｑ 一 口 ． ，
（ ｂ ．０日 ＋ ｂ） 口， ） 贝 （ 。一 （ ・ 。一 ｌ 。ｑｌ Ｐ ｑ） ｌｌ Ｐ ， ｃ ｓ ０≤ ｌ ｌ ｑｌ 一 （ ＋ ｂ ） 日 ｏ Ｐ ｌ 日 （ 。＋ ｂ ） ． 。 日， 为 不 相 等 的 正 数 ， ． － ｂ
ｑ 一 （ ｂ。 口， ｆ）， 则
例
２
对 于
向量恒等式模型及其应用
图 1 在 平 面 四 边 形 中 ，0
为 中点，且 ft4 =3,OC = 5 ，
-- ► -- ------------------► -- ► 若4 5 • = - 7 , 则5C • =
c
解 ：因 为 0 为 中 点 ，则
图1
由 模 型 得 . 油 = + [ ( 丨1^1 +丨 油 1 )2 - ( 丨
ADI ) 2 ] = \A〇 \2 - \D〇 \2 = - 1 , M \ D 〇 \7 16.
同M ,B ^
= 成•亦
25 - 16 = 9.
例 2 (2〇1 6 江 苏 高 考 ）
如 图 2 , 在 A 4B C 中, D 是 SC
的中点， 是 上 的 两 个
三 等 分 点 ，互5 • 校 = 4 , 涼 •
(冗 +茂 ）*而=说.發+茂.發•由模型得茂
- C Q = \C0 \ 2 ~ \P 0 \ 2 = 2 - 1 = l ,B C ' C Q =
- 技 • $ . 当$ 丄 ^ 时 ，技 • $ 最 小 值 为 0 ，
若 <?在 ^ 投 影 为 C S 的 中 点 时 ，^
最大值
为 | 技 ||而 |= 4 x 2 = 8 • 所 以 成 取 值 范 围 为 [-7,1].
参考文献
[1]钱佩玲.数学思想方法与中学数学[ M].北京:北京师范 大 学 出 版 社 ,2008(8).
解 : 取 B C 中点为I>，如 图 7 所 示 ，由 模 型 得 :碎 *
兄 = |碎 |2 - |庙 |2, 要 使 ^ . 兄 最 小 ，只需 最小. 当 巧 丄 益 时 ，|巧 |有 最 小 值 ，且 此 时 尸 与 P。
辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学人教B版必修4导学案：2.4向量在几何中的应用
学习目标
3．用向量证明平面几何、解析几何问题的步骤.
4．体会向量在解决问题中的应用，培养运算及解决问题的能力。
学习过程
一、课前准备
（预习教材117页～122页，找出疑惑之处)
二、新课导学
1.向量在平面几何中的应用
例1。
如右图，已知平行四边形ABCD 、E 、E 在对角线BD 上，并且=BE FD 。
求证：AECF 是平行四边形。
例2.求证平行四边形对角线互相平分。
例3．已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任一点，,E AB PE 与点⊥,F BC PF 与点⊥ 连DP,EF,求证：DP ⊥EF.
1.
向量加法的三角形法则、平行四边形法则。
2. 向量平行、垂直的判断方法。
D A B C F E
2。
向量在解析几何中的应用
例4 求通过A(-1,-2），且平行于向量32a =（，）的直线方程。
变式：求通过A(2，1）,且与直线:4390l x y -+=平行的直线方程。
例5：已知直线:0l Ax By C ++=,(,)n A B =。
求证向量n l ⊥。
3．向量在物理中的应用（自学)
三、课堂检测:
1、求经过点P 且平行于向量a 的直线方程 （1）P （3，-5)
12a =（，） （2) P(—2,0）
03a =（，） 2、求过点P （1，—1）且与向量43a =（，-）垂直的直线方程
3、由下列条件写出直线的一般式方程：
（1）过点A （2, —3）,平行于向量34a =（-，）；
（2)过点P(3,2），垂直与向量32a =（，-）。
四、教后反思：。
向量的数量积在中学数学解题中的应用
一 一
解 题 方 法 与 技 巧
向量 的数 量 积在 中学数 学解 题 中的应 用
广 西贺 州市桂 梧 高级 中学（ ４ ８ ０ 唐咸 桂 ５２ ０ ） 向量 的数 量积作 为 向量乘 法 的一 种 重要 运算 ， 在
向量理 论 中 占有 十分重要 的位 置 ， 证 明垂 直 、 行 、 对 平
离 一 ￣（ １ ） 十（ —２ 一 １ ， 过 点 Ａ 的 最 短 ／ １ ＋１ 。 ２ ） ２则
弦 长为 ２￣１ ， 长 弦 长 为 ２ ｌ ＝２． 过 点 ／３一 最 × ３ ６故
Ａ 的 弦 长 范 围 为 ［ Ｏ ２ ］ 在 （ Ｏ ２ ） 的整 数 共 有 １ ，６ ． １ ，６ 问
Ｂ Ｄ 于 Ｈ． 设 茸一 （ ，） ＞ｏ ． Ⅲ， １ （ ）
则 一 ｚ， 一÷ ， － 华 （。 ； ） － ｚ （
， 一 。
÷， （ ｛． ） ｚ ） 葡一 一
ｄ ＋ ６ 一 １ 。 ．
点评 ： 向量 的数 量 积 除用 来 证 明 等式 外 ， 可 以 还 用来 证 明不等式 ， 般 比用常规 方法 证 明来 得简 明． 一
二 、 函数 最 值 问 题 求
量 法去思 考 ， 能 另辟 蹊径 ， 则 大大 降低求 解难 度．
一
、
证明等 式 、 等式 问题 不
分组 方法 ， 配 到 ３个 奥 运 场 馆 有 Ａｊ种 方 法 ， 有 分 共
×Ａｊ 分配 方 案． 上 可 得 每个 场 馆 至 少 分 配 种 综
１２
一
名 志愿 者 的方 案 为 ｃ Ａｉ ｉ ＋
×Ａｊ ５ 一１ ｏ种．
考 点 ６ 考 查等价 转化 的计 数 问题 考点 剖 析 ： 何 图形 的计 数 问题 是 常考 点． 解 几 求 时一要熟 悉 几 何 图形 概 念 性 质 ； 要 按 同 一 标 准 分 二 类； 三若 直接 求解 困难 ， 则可从 反 面人手 ． 【 ６ （ 【 ８ 湖 北 ） 点 （ ， ） 圆 。 例 】 ２） ， （ ］ 过 １ ２作 １ ＋ ＋２ ｚ一 ４ 一 １ ４— ０ 的 弦 ， 中 弦 长 为 整 数 的 共 ６ 其
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2010、2011级高中数学教师培训第三阶段第3次作业
作业——试论述向量在中学数学中的应用
向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
请从上述几个方面“论述向量在中学数学中的应用”
一、向量在几何中的应用：
平行四边形性质的证明：
设四边形ABCD 是平行四边形，证明：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) 证明：∵+=，-= ∴2222+⋅+=，2222AD
AD AB AB BD +⋅-=
)(22222+=+ 即：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)
二、向量在不等式中的应用：
柯西不等式的证明：
设a,b,c,d ∈R ，证明:(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 证明：设向量m =(a,b),n =(c,d)的夹角θ， 由||||cos ||||≤=⋅θ得
ac+bd ≤2222d c b a ++
所以(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)。
三、向量在函数中的作用：
函数最值的计算：
求函数x x x f 4163)(-+=的最大值。
解：x x x f -+=423)(， 令向量)4,(,)2,3(x x -==,则 132413||||)(=-+=≤⋅=x x b a b a x f 其中等号在,同向，即x x -=432，1336=x 时成立， 所以函数x x x f 4163)(-+=的最大值为132。
四、向量在恒等式中的作用： 三角恒等式的证明：
求证：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明：设向量)sin ,(cos ,)sin ,(cos ββαα==，则
,1||,1||,sin sin cos cos ==+=⋅βαβα 另一方面，)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅ 所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。