初等几何研究试题答案(5)李长明版

五、关于平行与垂直1、I是△ABC 的内心,AI 、BI 和CI 的延长线分别交△ABC 的外接圆于D 、E 和F. 求证:EF ⊥AD.证明:已知I 是△ABC 的内心, ∴AD 、BE 和CF 是∠BAC 、∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴⌒BD =⌒CD ，⌒BF=⌒AF ，⌒AE =⌒CE∴⌒BD +⌒BF +⌒AE =⌒CD +⌒AF +⌒CE ∴⌒DF +⌒AE =⌒DE +⌒AF∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE∴EF ⊥AD2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS.Q证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴⌒AP =⌒PB ,⌒BQ =⌒QC ,⌒CR =⌒RD ,⌒DS =⌒SA ∴⌒AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒DS又∵⌒PQ +⌒RS =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒DS , ⌒SP +⌒RQ =⌒AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA ∴⌒PQ +⌒RS =⌒SP +⌒RQ ∴SQ ⊥PR3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD 是平行四边形。

证明：设AC 和BD 相交于点O ，作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，连接AF，CE∵对角线BD平分四边形ABCD的面积∴S△ABD＝S△CBD∴AE=CF又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴AE∥CF∴四边形AECF为平行四边形∴AO=CO同理可得 BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三角形，E、F、G和H是YA、AB、XC和CD的中点。

求证：EFGH是平行四边形。

GCHD YEAFBX证：∵ABCD是平行四边形，且F、H是AB、CD的中点∴CH=AF,∠BCD=∠BAD,且AD=BC∵△BCX、△DAY是分别以BC、AD为边的等边三角形且E、G分别是AY、XC的中点∴∠XCB=∠DAY,CG=AE ∴∠GCH=∠EAF∴△GCH≌△AEF∴EF=GH 且∠GHC=∠AFE∵AB∥CD∴∠AFH=∠AEF,∠GHF=∠EFH∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形5. 在△ABC 的各边上向外作正方形BCDE 、CAFG 、ABHI,其中心依次为O 1，O 2, O 3求证：AO 1┴O 2 O 3证明：如上图所示取AC 中点M ，连结MO 2、CE 、AE 、HC ∵ BH=AB BC=CE∠HBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC 即∠HBC=∠ABE ∴△ABE ≌△HBC ∴AE=HC HB=AB BE=BC 又∵∠HBA=90º ∴AE ┴HC又∵O 3 、M 、O 1、中点G∴O 3M=21HC MO 1=21AE 又∵HC=AE∴MO 1=┴O 3M 且 MO 1┴O 3M又∵AM=MO 2 ∠AM O 2 +AMO 3 =∠O 1MO 3 +∠AM O 3即∠O 1MO 2 =∠AM O 1∴△O 2MO 3≌△AM O 1∴ AM=M O 2 AO 1=O 2 O 3 ∠AM O 2 =90º ∴AO 1┴O 3M6. 正方形ABCD 内任取一点E ，连AE 、BE ，在△ABE 外分别以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF . 求证：NC ∥AF证明：连结CF 、DN .如图所示 。

则有 AN=AE , AD=AB∵∠NAD+∠DAE=∠EAB+∠DAE=90º ∴∠NAD=∠EABNABCD FM∴△ADN≌△ABE又AB=BC ,BF=BE∠CBF+∠CBE=∠ABE+∠CBE=90º∴∠CBF=∠ABE即有△ADN≌△CBF∴AN=CF又DN=BF ，CD=AB∠NDC=∠NDA+90º=∠ABE+90º=∠ABF∴△CDN≌△ABF∴CN=AF∴四边形AFCN为平行四边形即NC∥AF7以□ABCD的对角线AC为一边在其两侧各作一个正三角形ACD、ACQ。

求证：BPDQ 为□。

Q证明：由题意可得：△APC≌ΔACQ∴AP=QC,AQ=PC 又∵∠PAC=∠ACQ=60º∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD∠PAB=∠PAC-∠BAC∠DCQ=∠ACQ-∠ACD∴∠PAB=∠DCQ在ΔAPB和ΔDCQ中AP=CQ AB=CD∴ΔAPB≌ΔQCD∴BP=DQ又∠QAC=∠ACP=60º∵AB∥CD ∠BAC=∠ACD∠BAQ=∠QAC+∠BAC ∠DCP=∠ACP+∠ACD∠BAC=∠DCP在ΔABQ和ΔPDC中AB=DC AQ=PC ∴ΔABQ ≌ΔPDC ∴BQ=PD∴四边形BPDQ 为平行四边形。

8.已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。

求证：第五边也平行于所对的对角线。

证：如图所示，已知 AB//CE , BC//DA , CD//BE , DE//AC ,Q AB//CE , BC//DA ,CD//BE , DE//AC ,∴S ∆ABE = S ∆ABCS ∆ABC=S ∆DBC S ∆DBC =S ∆DECS ∆DEC =S ∆ADE ∴S ∆ABE = S ∆ADE∴AE//CEDEABC9.在△ABC中，∠B≠90°，BC边的垂直平分线交AB于D ，△ABC的外接圆在A、B两点之切线交于E，求证：DE∥BC.证明：连接CDΘEA=EC∴∠2=∠EAC又CD=BD∴∠B=∠DCB又Θ∠2=∠B (外角=内对角）∴△ACE∽△BCD∴∠BCD=∠AEC又∠BDC+∠CDA=180°∴∠AEC+∠CDA=180°∴A、D、C、E四点共圆∴∠1=∠2 （同弦所对的圆周角）∴∠1=∠B10.P是正方形ABCD边CD上的一点，过D作AP的垂线分别交AP、BC于Q、R，O是正方形的中心，求证：ＯＰ⊥ＯＲ。

证明：如图所示，∵∠PAD=90°-∠APD=∠RDC 又∵∠ADC=∠DCR ∴∠APD=∠DRC 又∵AD=CD∴△APD ≌△DRC ∴AP=DR∵∠OAP=45°-∠PAD ∠ODR=45°-∠RDC ∴∠OAP=∠ODR又∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OA=OD∴△AOP ≌△DOR 又∵AP ⊥DR∴△DOR 是经O 点旋转90°得到的， ∴OP ⊥OR.11、从等腰△ABC 的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，H 为垂足，点P 为线段MH 的中点。

求证：AH ⊥BP 。

证明：如图取AM 的中点Q ，并连接BQ 、PQACBOAPDQR则在Rt △BAM 中，BQ 为中线 又BP 为Rt △BMH 的中线 ∴∠QBM=∠PBH ∴Rt △BQM ∽Rt △BPH 则∠BPH=∠BQM∴点B 、Q 、M 、H 四点共圆∵∠BPQ=∠BMQ(弦BQ 所对的圆用角) ∴PQ ⊥BP又∵P 、Q 分别为MH 与AM 的中点 ∴PQ ∥AH ∴AH ⊥BP12. 给定正方形ABCD ，P,Q 分别为AB,BC 上的点，满足BP=BQ,自B 作BH ⊥PC 于H ，求证：∠DHC=90°。

证明：如图延长BH 交AD 于F∵BH ⊥PC∴∠PBH=∠BCPFB DP A HQC又∵AB=BC∠A=∠B∴△ABF ≌△BCP∴AF=BP=BQ∴C ，D ，F ，Q 四点共圆（矩形）∴∠ABF=∠BFQ=∠BCPBP=BQ∴F ，C ，Q ，H 四点共圆∴F ，D ，C ，Q ，H 五点共圆∵DQ 为直径∴∠DHC=90°13. 在△ABC 中，AB=AC, O 为外心，D 为AB 的中点，E 是△ACD 的重心。

证明：O E ⊥CD证明：∵E 是ACD 的重心。

∴23AE AM =∵G 是△ABC 的重心。

∴12DGGC =。

∴DG=13DC∵M 是DC 的中点。

∴DM=12CD 。

∴23DGDM =。

∴DGDM AEAM =。

∴EG ∥AD.∵OD ⊥AB.∴OD ⊥EG∵AH ⊥BC 且DF ∥BC.∴GO ⊥DE∴O 是△DEG 的垂心。

∴OE ⊥DG∴OE ⊥CD14、在∆ABC 中，∠A=90，D 在BC 上且AD ⊥BC,求证：∠BAC 的平分线垂直平分∆ACD 与ABD 的内心之连线。

证：设I 、J 分别是∆ABD 、∆CAD 的内心，连接I 、J 并延长分别交AB 、AC 于E 、F,则DI 、DJ 是对应线段，故由∆ABC ∽∆CAD 知DJ DI =AD BD 但∠IDJ=90°∴∆IDJ ∽∆BDA. ∴∠DJI=∠DAB ∴A 、E 、D 、J 共圆 ∴∠AEJ=∠ADJ=45° ∴AE=AF∴∠BAC 的平分线垂直于EJ.15.考虑△的三个旁切圆，每一对圆恰有一条与△ABC 的边不同的公切线，这三条公切线组成一个三角形T ，O 是△ABC 的外心，证明：OA 与T 的一边垂直。

D C BAO I BI CC'H'ACHBB'证：利用A处得对称性设○I B、○I C的另一公切线分别于BA、CA的延长线交于C'、B'，则易知△AB'C'与△ABC关于I B I C对称。

连结OA、OB,由中心角与圆周角的关系可知∠OAB=90°-∠C（∵∠AOB=2∠C）再自A作A H⊥BC与H，AH′⊥B′C′与H′，则∠H′AC′=HAC=90°-∠C∴∠OAB=H′AC′∴O、A、H共线OA⊥B′C′。