量子力学真题总结

自旋作为一个新的自由度，它 在三维空间的投影当在某两
接设出来，按照题里面说的， 个同性的方向平均值都是零
Sx, Sy 直接矩阵表出来算平
的时候，就必然沿着这两个方 向叉乘后的方向！
均值可以得到方程，解出值 就必然沿着 z 方向！这是简单
来就是要么正向要么负
点说。
6.一维谐振子，波函数有。求 一维谐振子，小于四次 x 的可
H nxny ,00

2
nx ,1 ny ,1 ，
数都是两个直接相乘的形式， 个关键。
那么在微扰中就可以分开来 各自和各自作用。
像
(0) 11
这
种
可
以
直
接
表
出
最神奇的是，发现只有两个态 来的项我可以直接用。
后面就可以带微扰公式了 的系数都等于零的时候，微扰 警惕一维谐振子的微扰，应该
简单的态叠加原理的运用！ 先列出可能有三个值，


再分清在哪个态下取值概率，
取得 ,0, 的概率分别为 a1, a0 , a1 。Lx 在 Lz 的本征态下 再进入到态里面去分析。


平权又是一个好家伙，在本征
平均值为 0，有第一个关于 a 的方程。 Lx 与 Ly 平权可以得 态下平均值为 0 值得注意，书
题给的文字条件，我要想方设 法把它转化成数学表达式！ 这个还算轻松的，直接设波函 数，矩阵我们是有的，解出来 就是我的乖乖！
积分值得总结！

ex2 dx
0
08 年量子：1.几率流密度守恒推
2.在动量空间重复几率流密 用一个力 f 去拉一个粒子，
度的推导，细心计算你会发
现
t
f
Hamiltonian 才有非零值
是多数时候都只有一项。
09 年量子：1.给出 Hamiltonian 求守恒流就是直接取复共轭然 后相减那些简单招术。 题中说的守恒流就是几率流，因为它守恒啊!
() 2 2
2.先列出含有 函数的 薛定 要用到一阶导的跃变，你知道 函数的一切问题弄熟练，
Hamiltonian 时可以发现折合
质量是


m 2
，再考虑到对
表现形式差不多，直接带解。 S 与 在总角动量的平方运
列出 Hamiltonian 的时候，要
算上要注意关系，有
S

2

自 旋 单 态 才 可 能 存 在 束 缚 用折合质量代替方程中质量 氢原子能级和基态要记熟。
态，那么再类比氢原子即可。 束缚态要存在必须去除掉自
看起来像一维谐振子，但是它 又没说，只是给了个很 fantastic 的对易关系，一定就 要从前面的条件往后边的条 件上去套关系，聪明人的做法 。 给出了一个条件，就要看到这 个条件背后可以默默无闻地 推导出来的其他结论。
在势阱中的波函数带有系数
A, B ，两边的可直接设为 eikx
解出方程为 0 的时候千万不 能乱消去哦
可完全解出此时的 k 值那么
我们就有了能量应取值。 2.系统的 Hamiltonian 必须是 厄米的，于是我们就简单地
得出了, 之间的关系，

H


(a

*

)(a

)


*

我们用 b , b 来代替括号里面

的，居然会有 [b, b ] 这样类
粒子要想完全穿透势阱能量 也必须要大于一个定植才可 以！
6.一维束缚态无简并，直接带 给出了 Hamiltonian，特别是
f (k) f (k) f (n)
入微扰公式得能量一级修正 有时候在一维谐振子下，带微 kn
k
为 0！
扰公式是一门技术直接得结 是一个关键哇！
代公式有波函数修正为
n n i( A An ) n
再带入能级二级修正公式
表象中的意思！ 注意后面整体作用得本征值！
记得带上 啊！
6.由于是变分法，就大胆地把 通过两个参量来约束波函数， 变 分 法 的 核 心 是 找 到 这 个
波函数，算符都换成矩阵形 来使得取得这样的波函数的 Hamiltonian 的平均值，是在
式，带进去有 H 关于两个参
态为最低能量的本征态。 当然这是最低能量，前面对应
式得到基态能量值！
10 年量子;
只存在奇宇称态， n 1,2,3
在区域内将波函数 n (x) 解出来，将现有的波函数表示成它 动量平均值计算的时候注意
的叠加。按时间因子演化即可！
弄成只取复共轭的形式！
2.粒子完全透射，同 11 年第一题
3.先归一化，看系统是处在 Y00 还是 Y11 态。要是在 Y11 中的话，
自旋不能直观显化地理解。 Sz 表象，带波函数算就是了
微扰项给得这么巧，从它的样 数理方法的变量代换是关键。
子我们都可以看出有轮换关 化成独立的谐振子后能量直
系。
接相加，波函数进行相乘。
以组成两个独立的谐振子
6.2 微扰法，先得能量表达式。 两个独立的谐振子，总的波函 这么大一坨，敢不敢写也是一
再把 H 00,00 0 ，
并度为 N 1想也想得到。 量对外表现出一致的性质。 能够要把它里面的东西都挖
宇称为 (1)N ，基态为偶。
如能级，宇称等等可以让他看 熟，来龙去脉！ 上去是一个整体。
4.用拉通了的位力定理可以 位力拉通第一哥，
位力定理，海尔曼定理要熟了
求得 r 1 。
海尔曼加角动量本征为二哥， 又熟，超级熟，这是基本。 对于三弟，我们先有能量本征 对于 Hamiltonian 变换到球坐
重要。
解 势垒以及一维无限势阱
Baidu Nhomakorabea的基本功过后，结合宇称态就 出来了。 先算能量为 0 的情况不易想 到。

3 谐振子的那个关于 x, p 作用到态上的升降关系记清楚， x 定义记清楚就得到这 30 分了！
4.有算符的矩阵表示，只需设出波函数，先解本质值再带入解本征失，over 了！
5.先选力学量完全集，列出 两粒子作用，和氢原子在空间 旋三重态。

2 x12

2 x2 2
可
自旋就是这么神奇，它可以先 这种每个态沿各自的演化因 沿着正向后来随时演化到负。 子演化的，在求能量平均的时 并且在演化过程中伴随有角 候时间因子都要消去，故能量 动量量子化，分量量子化的特 平均值不随时间改变。 性。这是自旋的特殊性质，故 要沿负轴的概率，我们就来到

以及 p 在此态下的关系
对易分两条路走殊途同归可


以得到 n x m 与 n p m
之间的关系，也就反映了他们 的内在关系！
第二问的求和利用这个关系带入即可！
4.转子不说了，2012 年第一题
5.先归一化得出系数 A ！自旋朝上就是波函数取得上方那个
的概率～！
态失写成那种形式就是在 Sz
总自旋 z 分量 J z Lz Sz ， Lz Sz 整体作用后面态！
前面求出来了有 (σ L)2 L2 (σ L) ，然后有耦合后角动
量和未耦合之间关系 (σ L) J2 L2 S2 ，其中耦合后的
态 j(l)m j 是 J2 , L2 , S2 的共同本征态，其本征值你懂的！
平均值下通过变分关系找到 波函数，以及能量的近似解。
数的表达式。
的是 H0 于是他就是基态，本 要求能量，算出的变分参数的
H 对 两 个 参 量 的 微 分 都 为 征失也是基态。
值还要带回到 H 表达式中。
0，哥们得到个方程组。
计算真的是要看能力，基本
解的参量的值，带入 H 表达
功，多练习啊，小伙子！
构造可以得出新的关系式，特 别是在某个量的本征方程里
海尔曼定理对 l 偏导
好像拼了命也最多能构造到 面最好用这个。
有 n
H r
n
0 ，且由于
这一步了，以后哦至少就要平 了命构造到这。
要牢记这三个次方项的平均
是对 r 偏导，得到了 r 3
值计算过程！
5.把现在的态在 Sz 表象中直
到第二个关于他们平方的方程。解之得！
上有证明。
4.先将整个波函数用箱归一， 自旋自由度和空间坐标自由 在 (r, r dr) 里 面 的 概 率 是
N
N12

N
2 2
，然后针对
度是相互独立的。自旋我也可 以不把它叫上下，叫黑白也可
它不积分，对所有的角度积
题目求得在各个微元概率 以，阿猫阿狗也可以！
12 年量子 1. 平 面 转 子 由 角 动 量 替 代 动 量，解出来有
m ( )
1 eim ， 其 中 2
1 来自于在一个周期内 2
对波函数积分的归一化。因
为波函数的周期为 2 ，指数
函数要满足这样的周期必然
注意是 m ( ) ，是随着 m
下标取值而不同的多个波函 数。 接下来将题给的状态用各个 束缚态来进行叠加。叠加后各
p
，解一阶微
在动量空间我们看到的就是
一个以速度 f 传播的一个
分方程可以得到个波包
3.1 将电场势能表达式里面的
x 拿到谐振子的二次项里面
波包，坐标为 p 的。要是在
坐标表象呢？
对于谐振子，x 方向加上电场
后对于谐振子的能级是有一
去，合并成一个 x x x0 的
关于 x 位移，并不改变能级的
能量取值必须满足 n 取整
哈氏量必厄米，题眼！ 厄米后公式归纳整理！ 把粒子数表象的本征失写出
来 e 2 / 2 n
n0 n!
再带入 n 中得 En
似于升降算符的性质。


3.作对易关系的矩阵元 n [x, H ] m ，一次用 H m 直接作用



得 Em , En ，一个把 H 打开后来与 x 进行对易，就可以得到 x
果。
在波函数一级修正有了的情 况下求二级修正的直接法要
再 利 用 k k 1 得 到 了 k
n 的简明形式很厉害。
E (2) n

n
H


(1) n
引起重视！
能量二级修正也是一样，注意 直接等于 0 的量
11 年量子： 要完全穿透，可分区间列出 波函数的解，波函数及其导 数连续条件，完全透射条件
到了对称位势的 势垒问
题。我们有基态为偶宇称， 第一激发态为奇宇称，粒子 本来就不在原点位置出现， 故此时得到任何的和无势阱 无异。
基态能量随着 A 的变化是正
相关，要非负那哥哥先来解出
能量为 0 得到的 A ，非负要 求比此时的 A 大即可。
再利用基态偶宇称和坐标倒
数在原点跳跃条件求得！
移动坐标，把 x 移动成 y 比较
分，立体角微元中，就是对所
有径失积分 (0,)
5.有了 Hamiltonian 的矩阵， 我们直接先求本征值，再带 入求本征失。初始时刻态叠 加，随演化因子演化，能量 期望值不随时间而变。随后
运动中自旋取到负 z 的概率
用复共轭积分法即可 6.1 进 行 变 量 代 换 ，
2 x 2

2 y 2
能 量 的 一 级 修 正 只 需 要 以带那个贱人公式进去慢慢
n H n ，这里我们把波函
数直接带成解析形式弄进去 积分还要方便点。
算，高于的直接积分。
能级修正都和
4
成正比，值
得研究，量纲吗？再算第二激
微扰要适用，修正不能超过 发态将得到什么？
能级间隔，即小于 ，如要
更高能级的修正， 更小
将 H 中的动能项分解到球贝 方程，同时对 r 求偏导，移项 标形式，有角动量可以得其平
塞尔函数中，分离出角动量 且仍有本征方程，于是得到 方的本征态也要熟啊熟啊啊！
的本征值为 l(l 1)2 ，且它
n
H r
n
0 大神级方
对本征方程求导，再来求平均 值应该是个主要方法。这样的
的下方是 r 2 ，所以可以直接 程，拼命构造的 r 3 。
谔方程，然后 E 0 ，游离态 的撒！
这个题就是喳喳！
小于则是束缚态，看题中要 解出来的能级是一个常量，我
求只讨论束缚态。再按照 应该记得波函数的形式。
函数势阱的一般方法，奇宇
称在 x 0 的边界条件死去。
3.波函数相乘，能级相加，简 二维各向同性，整体的可观测 一维谐振子是重中之重，一定
量，后面还减去一个常量。
个整体减少量，为
q2E2 2 2
，
原谐振子只是平衡位置偏移
4.波函数相乘能级相加，考虑自旋带入 (Sz ) ，简并度乘 2
5. (σ A)(σ B) A B iσ (A B) ，这个公式要会证，也
就是体会了点乘叉乘的要义。也可以先在一个方向上证明一 些之间具有的代换性质，然后再三个方向轮换得到整体的表 现形式。
个态乘上演化因子得 t 时刻！
带入求平均值公式知道指数 项前后正负的消掉了，能量平 均值不随时间改变。
给出转子，隐含周期性边界条 件，由此边界条件引入量子 化，直接可以严格解出各态。 将题给态来进行可能态的叠 加！
有 m 0,1,2 ~~~ ，能量由
m
2R2E 决定
2.坐标平移到对称区间，就得