第四章 刚体的转动讲解
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第4章刚体的定轴转动剖析
I 2r3dr 1 MR2 2
质量dm=dS
ω
R r dr M
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
关于转动惯量的性质
可加
I Ii
i
平行轴定理
4.1刚体的运动
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体 （理想化模型）。 说明：
*刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对 位置保持不变。
*有关质点系的规律均可用于刚体，且表达 形式较一般的质点系简单。
4.1刚体的运动
刚体的平动
在运动中，连接刚体内任意两点的直线在各个 时刻的位置都彼此平行
平动时，刚体上所有点运动都相同。
d( dt
ri mi vi )
d dt
(ri
mi vi
)
ri
ddt(mi
vi
)
ri Fi//
Miz M z
z
vi
O ri
Fi //
i
mi
刚体
刚体角动量定理
Mz
dLz dt
Lz＝Iz
刚体定轴转动定理
Mz
dLz dt
d (I z)
dt
Iz
对于确定的刚体角加速度与合力矩成正比
[例4－5]在图示的装置中求 ：T1, T2, a, β.
列方程
m1g T1 =m1a T2 m 2g = m2 a
质量dm=dS
ω
R r dr M
常用的几个刚体的转动惯量
质点： I Mr2
rM
均匀圆环： Ic mR 2
CR M
均匀圆盘：
J c垂 直
1 2
mR 2
CR M
均匀杆：
Ic
1 12
ML2
I
A
1 3
ML2
C A
M
ll 22
关于转动惯量的性质
可加
I Ii
i
平行轴定理
4.1刚体的运动
刚体：任何情况下形状和体积都不改变的物体 （理想化模型）。 说明：
*刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对 位置保持不变。
*有关质点系的规律均可用于刚体，且表达 形式较一般的质点系简单。
4.1刚体的运动
刚体的平动
在运动中，连接刚体内任意两点的直线在各个 时刻的位置都彼此平行
平动时，刚体上所有点运动都相同。
d( dt
ri mi vi )
d dt
(ri
mi vi
)
ri
ddt(mi
vi
)
ri Fi//
Miz M z
z
vi
O ri
Fi //
i
mi
刚体
刚体角动量定理
Mz
dLz dt
Lz＝Iz
刚体定轴转动定理
Mz
dLz dt
d (I z)
dt
Iz
对于确定的刚体角加速度与合力矩成正比
[例4－5]在图示的装置中求 ：T1, T2, a, β.
列方程
m1g T1 =m1a T2 m 2g = m2 a
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
第四部分刚体的转动教学-
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 dA Ldy
作用在此面积元上的力
dFpdApLdy
h100m
L1000m
y
令大气压为 p 0 ，则
pp0g(hy) h y
d F [p 0 g (h y)]L d y O
dA dy
x
F 0 h [p 0g (h y )]L d yp 0 L h 1 2g L h 2
解 （1）0 5πrads1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5 π ra d s 1 π ra d s 2
t 3 0
6
飞轮 30 s 内转过的角度
22 0 22 ((5 π π)26)75πrad
mB B
FT1
FT2
mAmBg mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2mBgy
mAmBmC/2
（3） 考虑滑轮与轴承间的摩
擦力矩 M f ，转动定律
RF T2RF T1M f J
F T1
结合（1）中其它方程
Mf
F T2
FT 1mAa
m BgF T2 m Ba
NmR 784N
0
解：飞轮匀减速制动时有角加速度
0
t
01000r/m in2000/60104.7rad/s
0 t5s 0020.9rad/s2
t
fr
N
外力矩是摩擦阻力矩，
角加速度为负值。
第4章 刚体的转动01
o
d
C
Jc—对通过质心C的轴的转动惯量 d—两平行轴间的距离
m
推论：平行轴中对质心的转动惯量最小。
1.垂直轴定理（perpendicular axis theorem）
若平面型物体（如薄板、圆盘等）绕与平 面垂直的轴的转动惯量为Jz，轴与平面的交点为 O，物体绕平面内通过0点相互垂直的两轴的转 动惯量分别为Jx和Jy，则有： Z
特点：1.刚体平动时各质点的轨迹相同。
2.任一时刻刚体上各质点的速度和加速 度都相同。故可用质心的运动代表；
2.定轴转动：刚体运动时各质元绕同一条固定的直 线作圆周运动。这条直线叫固定转轴。
特点：1.描述各质元的角量（角位移、角速度、 角加速度）都相同。 2.各质元运动的线速度、加速度一般不同。 3.刚体一般运动：可看成是随质心的平动和绕 通过质心轴转动的合成。
一、力矩 1.刚体对定轴的力矩
z
F
P r
MZ r F
大小:
M rF sin
方向:右手定则
刚体对定轴的合力矩:
M Z r1 F1 r2 F2
二、转动惯量 1.定义 DEF： 刚体对定轴的转动惯量等于每个 质元的质量与该质元到定轴距离平方的 乘积之总和。 刚体对定轴的转动惯量为
dm dmg
X
在角时，整个棒的重力矩为：
M＝ xgdm g xdm
据质心定义: xC
xdm
m
xc
O
M＝g xdm mgx C
＝ xdm mx C
C mg
dm
X
dmg
重力对整个棒的合力矩与全部重力 集中作用在质心所产生的力矩一样。
大学物理第四章 刚体的转动(3课时)讲解
c
2
t2
2 600π 3002
π 75
rad s3
1 ct 2 π t 2
2 150
4-1 刚体的定轴转动
由 dq π t 2
dt 150
得
q
dq
π
t t 2dt
0
150 0
q π t 3 rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N q π (300)3 3104
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
4-0 教学基本要求
四 理解刚体定轴转动的转动动能概 念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确 地应用机械能守恒定律．
能运用以上规律分析和解决包括质点 和刚体的简单系统的力学问题．
第四章 刚体的转动
物理学
第五版
第一节
第四章 刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
18 000 r·min-1 ．转子的角加速度与时间成正
比．问在这段时间内，转子转过多少转？
解 令 ct，即 d ct ，积分
dt
t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
4-1 刚体的定轴转动
1 ct 2
2
当 t =300 s 时
18 000 r min 1 600 π rad s1
位置及方向 不变。
பைடு நூலகம்
该平面且通 过质心
刚体上 各质点都 以某一定 点为球心 的各个球 面上运动
复杂 的运动 与平动 的混合。
第四章 刚体转动解析
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动
4 §– 14.刚1体刚的体定定轴轴转转动动
第四章 刚体的转动
刚体：a. 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体（考虑大小、形状，忽略形变）
b. 任意两质点间距离保持不变的质点组
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
v,
a
不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
4 ➢–
1 刚刚体体的定定轴轴转转动动的角量描述：
角坐标 (t)
角位移 (t t)
(t)
第四章
刚体的转动
角速度 lim d
t t0 dt
角加速度 d
dt
方向：沿转轴，右手螺旋法则，习惯上取为正方向
方向：沿转轴， 与 同向为正，反之为负
质量为体分布时， dm dV
、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
例1 长 l、质量m 的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。
解： 取一小段 dx ，则 dm dx m dx J r 2dm l
轴位于端点A：
JA
l x2 m dx 1 ml2
0l
J mi ri2 m1r12 m2r22
i
（2）质量连续分布刚体的转动惯量
r
dm
O
J miri2 r2dm i
r 质量元：dm 转动半径：
4
–➢1
刚体的定轴转动
连续分布刚体转动惯量的计算：J
第四r章2dm刚体的转动
dl
ds
线分布
面分布
体分布
质量为线分布时，dm dl
第四章 刚体的转动
4-1 刚体的定轴转动
4 §– 14.刚1体刚的体定定轴轴转转动动
第四章 刚体的转动
刚体：a. 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体（考虑大小、形状，忽略形变）
b. 任意两质点间距离保持不变的质点组
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
v,
a
不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
4 ➢–
1 刚刚体体的定定轴轴转转动动的角量描述：
角坐标 (t)
角位移 (t t)
(t)
第四章
刚体的转动
角速度 lim d
t t0 dt
角加速度 d
dt
方向：沿转轴，右手螺旋法则，习惯上取为正方向
方向：沿转轴， 与 同向为正，反之为负
质量为体分布时， dm dV
、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。
4 – 1 刚体的定轴转动
第四章 刚体的转动
例1 长 l、质量m 的均匀细棒绕垂直轴的转动惯量。
解： 取一小段 dx ，则 dm dx m dx J r 2dm l
轴位于端点A：
JA
l x2 m dx 1 ml2
0l
J mi ri2 m1r12 m2r22
i
（2）质量连续分布刚体的转动惯量
r
dm
O
J miri2 r2dm i
r 质量元：dm 转动半径：
4
–➢1
刚体的定轴转动
连续分布刚体转动惯量的计算：J
第四r章2dm刚体的转动
dl
ds
线分布
面分布
体分布
质量为线分布时，dm dl
第4章刚体转动
T2
时受到了摩擦阻力矩 的作用。M设阻 绳
m
不可伸长且与滑轮间无相对滑动，求物
M
体的加速度及绳中的张力。
a2
Pm
PM
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
解 受力分析如图所示.对于上下作平动
的两物体，可以视为质点，由牛顿 第二运动定律得
m：-T1 mg ma1 M：Mg T2 Ma2
特伍德机.
第四章 刚体转动
4-3 角动量 角动量守恒定律 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理. 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理.
质点运动状态的描述 p mv Ek mv2 2
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J2 2
0, p 0
0, p 0
pi
pj
mR k
60 0.2520.9 392 N
0.8
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
例 一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分
别为m和M的物体，且 M 。m滑轮可看
作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 ， 半径m为R ，转轴垂直于盘面通过盘心， a1
R
M阻mo
如图所示。由于轴上有摩擦，滑轮转动 T1
0
5
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
作用于飞轮的对固定转轴的外力矩是摩擦力矩
M fR k NR
F
根据刚体定轴转动定律得 f
M J k NR
因为飞轮的质量均匀分布在轮的外 m 周上，所以飞轮对转轴的转动惯量 可视为圆环对轴的转动惯量
N
0
J mR2
N
J k R
mR2 k R
第四章 刚体力学的定轴转动
轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号 的标量来表示。
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
大学物理一复习第四章刚体的转动
[A]
期中考题
8、在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度VA =4m /s垂直于OA向右滑动，设在以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直。
O
A
受力分析：
物体从静止下落时满足
m：
h
M：
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度．
书例3 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非
m,l
二、转动定律
三、转动定律应用举例
1. 矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2. 具有瞬时性且M、J、 是对同一轴而言的。
解题方法及应用举例
1.确定研究对象。
2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线量关系)。
熟练掌握
角动量定理
03
角动量守恒定律
04
条件：M=0
05
熟练掌握
06
熟练掌握
07
二、基本定理、定律
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮的角加速度．
解
r
R
β
FT1
FT2
mg
mg
A
B
解得
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求:下滑的加速度 a 。 解：物体系中先以物体 m 研究对象，受力分析, 在斜面 x 方向上
刚体的转动一PPT课件
(3) 刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零， 即合内力矩为零。
(3) 刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零， 即合内力矩为零。
内力总是成对出现，内力矩也成对出现，
对i
,
j
两 个质点，内力矩之和为
ri fij rj f ji ri rj fij
rr
d
dt
o
r
d
dt
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2
2 0
2 (
0)
讨论
1. M J 与 F＝ma 地位相当，m反映质点的平动惯
性，J反映刚体的转动惯性。
2.合外力矩、转动惯量和角加速度都是相对于同一转轴而言的。
3. 力矩和角加速度都是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两 个方向，所 以都可用正负号表示方向。
三 、转动惯量的计算
n
定义 J miri2 i 1
(1) J 与刚体的总质量有关
例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，dm =λdx m
z
L
J L x2dx L x2 m dx 1 mL2
0
0L 3
L m dx,dm
第四章 刚体的转动
四、角量与线量的关系
v r 2 an r
11
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可 绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转。开始起动时， 角速度为零。起动后其转速随时间变化关系为：
m (1 e
t /
1 式中 : 540 r s ， 2.0 s ) m
平动与转动的叠加
5
随质心的平动
+
绕质心的转动
合成
6
5.刚体定轴转动的特点
(1)任一质点都是在某个垂直 转轴的平面内作圆周运动。 (2)各质点的轨迹是半径大小 不一的圆周。在同一时间内， 各质点转过的圆弧长度不相 同。
A
A
z
r1
O1B rFra bibliotek2 O2 B
(3)各质点半径所扫过的角度
z
0
z
0
8
2.角加速度
d lim dt t 0 t
1
O
2 1
0
2
O
1 1
O
2
2 1
0
2
O
1
2
9
3.角速度矢量和线速度矢量的关系
v r
v
O
O
v
10
三、匀变速转动公式
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6
y
2.14 10 N m
12
h dF
O
dy
y
Q
22
二、转动定律
1.受力分析
Fi、Fi 均在与Oz轴相垂直 的平面内。 2.运动方程
大学物理 第四章 刚体的转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量
} ⇒ω
} ⇒θ
2、 M = Jα
F = ma
}⇒
17
m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。 反映质点的平动惯性， 反映刚体的转动惯性。 反映质点的平动惯性
三 转动惯量
J 的计算方法 质量离散分布
J = ∑ ∆m r
j
2 j j
J = ∑ ∆m r = (∆m )r + (∆m2 )r + L+ (∆mN )r
质量为m，长为L的细棒绕其一端的 的细棒绕其一端的J 质量为 ，长为 的细棒绕其一端的
1 2 J c = mL 12
O1
O1’
L2 1 2 J = J c + m( ) = mL 2 3
d=L/2
O2 O2’
20
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？
（3） ）
1 2 对M： T2 r − T1r = J α = M r α ： 2
4、运动学： 运动学：
rα = a
（4） ）
26
解以上四个联立方程式, 解以上四个联立方程式 可得
1 T2 ' ≠ T 、
原因： 原因：
' 1
' (1)若：T2 ' = T T2 ' r −T ' r = Jα v 1 1 FN v 1 T 1 ⇒ J = mr2 = 0 ⇒m = 0 2 m
21
例1（补充例题）：一个转动惯量为2.5 kg⋅m2 、 （补充例题） 一个转动惯量为 ⋅ 例题 直径为60cm 的飞轮，正以 的飞轮，正以130 rad⋅s−1 的角速度旋转。 直径为 ⋅ 的角速度旋转。 现用闸瓦将其制动, 现用闸瓦将其制动 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N, 闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求： 闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为 。
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Δθ=ωt
4）角位置
＝0＋ t
2．匀变速转动(t=0，ω=ω0，θ=θ0)
1）角加速度 ＝const
2）角速度 ＝0 t
3）角位移 4）角位置
＝
0
t
1 2
＝ 0＋ 0
t
t2
1 2
t
2
四、角量与线量的关系
半径R，角位移
弧长 s R
线速度v: v lim
法向加速度：
an
t 0
v2
R
lim s
R
t t0 t
(R)2 R 2
R
R
切向加速度：
a
dv dt
d dt
(R)
R
d
dt
R
结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有
各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；
而各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比。
M i
M F1r1 sin1 F2 r2 sin 2 F3r3 sin 3
单位： N.m
注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的
轴的力矩。用M表示。
用矢量表示 M r F
或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个
力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。
合力M矩＝对r于每F个分r 力的F力i 矩 之和r 。Fi
2．角位移Δθ：Δt时间内角位移增量。
规定：定轴转动的只有两个转动方向， 沿逆时针方向转动的角位移取正值 沿顺时针方向转动的角位移取负值
单位：rad
3．角速度ω 平均角速度 ＝
t
lim 瞬时角速度
＝
t 0
t
d
dt
对定轴转动，ω的正负也是由转动方向确定。
ω=const 匀速转动；ω≠const 变速转动
推广：刚体的内力力矩之和为零。
3．刚体的情况
把刚体看成是由许多质点所组成的，对于质点i，假 设它的质量为Δmi，则
M i＝mi ri 2
其中力矩为外力矩和内力矩之和。
对刚体的所有质点来说，都有同样的结论。把这些
式子相加，得
把合外力矩记作
M
＝
i
M
mi ri 2
定义 J＝ miri 2 为转动惯量
则得 M J 写成矢量形式
M
J
转动定律：刚体所获得的角加速度
与它所受的合外力矩成正比，与刚
体的转动惯量成反比。
4．说明：
合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴 而言的；
转动定律是解决刚体定轴转动的基本定律， 它的地位与质点动力学中牛顿第二定律相 当。
三、转动惯量
1．定义
刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到 转轴距离平方的乘积之和。它与刚体的形状、质量分 布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转 动的刚体本身的性质和转轴的位置有关。
不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
二、转动定律
1．一个质点的情况 法向力通过转轴，力矩为零
切向力 Ft mat mr
对转轴的力矩为 所受的力矩成正比。 2．内力的力矩
刚体内任意两点之间的相互作用力，大小相等，方 向相反，在同一条直线上。两力的力臂相等，因而两 力的力矩相等，方向相反。故两个内力的和力矩为零。
单位rad·s-1
4．角加速度α
平均角加速度 ＝
t
lim 瞬时角加速度
＝
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
α,ω同号：加速转动 α,ω异号：减速转动
单位rad·s-2
三、转动公式（与第一章相同）
1．匀速转动(t=0，θ=θ0)
1）角加速度 α=0
2）角速度
ω=const
3）角位移
2．物理意义
转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。
说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
研究刚体的方法:从质点和质点系的运动规律出发来研究刚体的 运动规律。把刚体看成是无数质点组成的质点系，先讨论每 个质点的运动规律，然后把构成刚体的全部质点的运动加以 综合，可以得到刚体的运动规律。
二、刚体的平动和转动
刚体的运动可分为平动和转动定轴转动和非定轴转动. 较复杂的运动可以看成是这两种基本运动的叠加， 或一种转动与另外一种转动的叠加。
1.平动:当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时， 或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。
对于刚体的平动，各个质 点在同一时间内的位移相 同，同一时刻的速度和加 速度相等，因而刚体的平 动可用一个点的运动代表， 刚体可以视为质点。
例1 一转动的轮子由于摩擦力矩的作用， 在5s内角速度由15rad/s 匀减速地降到 10rad/s 。求：(1)角加速度；(2)在此5s 内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停 止转动。
§4－2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转
2. 转动 刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这条 直线叫作转轴.
瞬时转轴：转轴的位置或方向随时间变化. 固定转轴：转轴的位置或方向不随时间变化.
定轴转动的特点： 刚体上各质点都作圆周运动； 各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线 上； 各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。
三、描述刚体转动的物理量
参考系和坐标系的选择：在刚体内选取一个垂直于转 轴的平面作为参考平面，在此平面内取一个坐标系， 并把平面与转轴的交点作为坐标系的原点。坐标系 常选极坐标，把在参考平面中过原点的任一直线作 为参考线。
1．角位置（角坐标） θ ：位置矢量与坐标轴(ox轴)
的夹角。单位：弧度，rad。