0-1变量的作用

4.6(6),乙完成两项时
0 0 1 17 3 0 0 1 17 3 19 14 1 0 4 18 13 0 0 3 19 14 1 0 4 18 13 0 0 3 7 0 0 13 0 7 0 0 13 0 1 15 8 0 3 0 14 7 0 2 ( 0) 0 0 0 0 ( 0) , min z 131 0 0 ( 0) 0 0 0 ( 0) 0 (0) 0
4.表示固定费用函数
设x j 为产品j的数量，其生产函数 K j c j x j , x j 0 C j (x j ) 0, x j 0 目标是使得生产费用最 少 min z C j ( x j )
j 1 n
用0 - 1变量表示： min z (c j x j Ky j )
n r
3.表示两组条件中的一组
1, 第i组不起作用 yi 0，第i组起作用 例如，x1 4, 则x2 1, 否则x1 4, 则x2 3 x1 4 My1 x 1 My 2 1 x1 4 My2 x 3 My 2 2 y1 y2 1
匈牙利法的完整化

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


当系数矩阵经过变换后非同行非同列0个数不 足n个时，继续以下步骤： 1。找出未被划线元素中的最小元素值k，将未 被划线元素减去k，同时在直线交叉处加上k 2。用最少的直线覆盖全部的0，若恰好有n条 直线，则已经找到最优解。 否则重复以上操作知道找出n条直线覆盖0
4.4用匈牙利法求最优解
7 0 0 5 (0) 0 4 4 5 (0) 1 4 6 0 确定最优解 (0) 4 3 0 0 (0) 4 0 1 4 (0) 最优解是x11 1, x 22 1, x35 1, x 44 1, x53 1, min z 11
3 6 9 2 9 0 4 5 0 6 9 2 1 5 7 1 6 5 6 4 7 10 3 每行减去最小元 5 4 2 1 1 7 6 2 4 6 3 6 7 0 1 5 0 4 5 5 1 4 7 0 同样对列变换 4 3 1 0 4 0 2 4
4.6(b)有一人完成两项,其他人一项
25 39 39 34 24 29 31 42 37 0 4 6 17 12 38 26 20 33 19 18 6 0 13 38 26 20 33 19 18 6 0 13 27 28 40 32 7 0 1 13 5 1 19 12 0 12 42 36 23 45 0 4 5 17 7 0 0 1 17 3 19 18 5 0 8 19 14 1 0 4 19 18 5 0 8 19 14 1 0 4 7 0 0 13 0 7 0 0 13 0 1 19 12 0 7 1 15 8 0 3
0-1变量的作用
1.表示m个约束条件中k个起作用
1, 第i个不起作用 yi 0，第i个起作用
n aij x j bi Myi , M是无穷大量 j 1 y1 y2 ym m k
2.表示常数中的某一个
aij x j bi yi j 1 i 1 y1 y2 yr 1
4.5如何从五人中选四人参赛
37.7 43.4 33.3 29.2 29.2 0 0 32.9 38.8 37 33.1 42.2 34.7 28.5 38.9 30.4 26.4 29.6 28.5 26.4 29.6 28.5 0 35.4 4.8 41.8 10.3 32.6 4.8 31.1 2.8 2. 8 31.1 0 0 0 0 0 4.1 2.5 9.1 1.6 8.7 10.4 1.9 5.1 3.2 2.1 4.7 3.2 2.1 4.7 5. 9
2 7 ( 0) 9 7 0 ( 0) 8 8 7 1 ( 0) 7 0 ( 0) 2
确定最优解的方法-圈0法


当n较大时，且矩阵中有不少于n个0，直观确 定n个非同行非同列0有困难，可以用圈0法： 1。从有0行（或列）0的个数最少的开始圈0 表示为⊙，同行的其他0表示为φ 2。直到找出n个非同行非同列的0为止 若有不同的n个非同行非同列0，说明最优解不 惟一

（3）若价值系数矩阵C是n阶的，位于不同行 不同列的0元素有n个，则只要在这些0的位置 上xij取值1，其余位置取值0，则这个方案最优。
匈牙利法步骤



1.价值系数矩阵C每行减去这行的最小元素 2.价值系数矩阵C每列减去这列的最小元素 3.用最少的直线覆盖这些0，当直线数等于C的 阶数n时停止计算，否则继续 4.未被覆盖元素减去最小的k（未被覆盖元素 中的最小的） 5.直线交叉处加上k 6.用最少直线覆盖0，恰好是n条时，选n个不 同行不同列的n个0，相应xij=1，其余取0，得 到最优方案
0 ( 0) 0 0 ( 0) , min z 127.8 0 ( 0) 0 0 ( 0) 0 0 ( 0 )
4.6(a)E必须完成，其余4项任选3项

当选择A、B、D时
25 39 34 24 0 13 7 1 29 42 37 0 4 6 12 0 4 6 38 20 33 19 17 0 13 13 12 0 27 40 32 7 0 13 5 7 0 13 1 19 0 12 1 18 0 42 23 45 4 6 7 0 (0) 12 0 8 (0) , min z 105 0 13 0 0 (0) 18 0 7 (0) 7 8 0 7
例题:用匈牙利法求最优解
10 0 13 9 7 0 8 4
22 5 8 17 0 每行减去各行最小元 12 16 5 5 15 7 0 19 2 8 17 0 每列减去各列最小元 7 11 0 0 10 2 3
j 1
n
y j 0, 当x j 0时 0 x j My j , 其中 y j 0或y j 1 y j 1, 当x j 0时
匈牙利法



1.匈牙利法是对求最小问题且人数与工作相等 及效率非负指派问题的求解方法。1955年库恩 提出的，他引用数学家康尼格的“0元素定理” 2.基本原理： （1）价值系数矩阵C=(cij)的任意行或列的元 素同时加（或减）同一常数最优方案不变。 （2）若C中位于不同行不同列的0元素共有m 个（1≤m≤n）则覆盖所有0的直线最少恰有m 条。