两线段之和最短问题

中考压轴题之两条线段之和最短时未知点的确定

一 例 1 在河L 的一旁有AB 两村，想在河上建一个水库，问在哪建能使得到两村的路程最短（两个村庄一条河问题）

分析：要使到两个村庄的距离和最短，即可做A(或B)村庄关于河的对称点A ’(或B ’),连接A ’B(或AB ’)，与河L 的交点即为到两个村庄的最短距离。

二 例2：如图,菱形ABCD 中,AB=2,角A=120度,点M,N,分别为线段BC,CD,上的中点，

点P 为线段BD 的任意一点,则PM+PN 的最小值是多少？ 总结：解决两个线段的距离和最短问题，即可做某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为到两点的距离和的最小值。

三 两条线段之和最短时未知点的确定的方法

(1) 点位置的确定 作一已知点关于未知点所在直线的对称点, 连接对称点与另一个已知点,则与未知点所在直线的交点即为所求

(2) 点坐标的确定 <1>利用对称性求出对称点坐标

<2>利用对称点坐标与另一已知点坐标，结合待定系数法求出对称点与已知点所在直线解析式

<3>将未知点所在直线的横坐标或纵坐标代入即可

四 典型例题讲解：

1.如图，抛物线21

22

y x bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，． 点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最小时，求m 的值．

11

-1

B D C

A O

x y

解析：先求出二次函数的解析式，作点C 关于X 轴的对称点C ’,连接C ’D 交X 轴

于点M ，即MC+MD 的值最小。

五 练习

1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()20-，，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120︒，得到线段OB ．

⑴ 求点B 的坐标； ⑵ 求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； ⑶ 在⑵中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BOC ∆的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A (1,0),B (- 3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

六拓展．当三点都不确定时的三角形周长最短问题：

1.如图,菱形ABCD中,AB=2,角A=120°,点M,N,P分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PM+PN的最小值是多少？

解析：作点M关于直线BD的对称点M’(必在AB上)，连接M’N，则M’N的长即为PM+PN的最小值，有平行线之间垂线段最短，当M’N垂直AB时PM+PN最小。

典型例题练习：

1.已知正三角形ABC 的边长是1，P 是边BC 的中点，M 、N 分别在边AC 、AB 上运动，则当M 、N 运动到何处时，三角形PMN 的周长最短？

解析：作点P关于AB、AC的对称性P'、P"，连接P'P"，则P'P’”与AB、AC 的交点就是所求作的点M、N。

2.在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值。

解析：过点M作ME⊥OP于点E,作MF⊥OQ于点F，证△AME≌△BMF.