两线段之和最短问题
线段和的最小值 万能方法
M1 A1
A2
N1
提高
例2：如图，已知AB是⊙OB中AC的 30直0 径，
，点D是线段AC上的任意一点1 C（DO不D 含端点），
连接OD，当
的最小2值为6时，求AB的
长。
在RtOO1F中
O1 D1 C
O1OF 600
DE
OO1 4 3
A
FB
AB 8 3
O
线段和的最小值
方法策略
初中数学经常遇到求PA+PB最小值问题，或 者是求△ABC的周长最小值。 1.题型：①两定一动
②一定两动 2.万能方法： ①作一定点关于动点所在直线的对称点
定点作了对称点后不用，对称点即为定点
②如果是两个定点则利用“两点之间，线段最 短”
如果是一个定点则利用“垂线段最短”
常见的数学模
存在一点P，使得△ABP的周长最
小A．B请 求BP出点APP的坐标． y 分析：因为AB的
长是确定的，故 △ABP的周长最 小时AP与BP的和
AO
x
P
为最小，所以可作 出右图所示的图
B
B
’
例3、已知：如图，AB是⊙O的直 径，AB=4，点C是半圆的三等份点， 点D是弧BC的中点，AB上有一动点 P，连接PC，PD，则PC+PD的最小 值是多2 2少？并画出点P的位置C .
型1、（浙教版数学课本八上，P50 例2）l 如
图，直线 表示草原上的一条河流。一骑
马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后
返回位于B地的家中。他沿怎样的路线行走， 能使路程最短？作出这条最B 短路P线'A P'B
直线l A为A'
线
的中垂
与轴对称相关的线段之和最短问题(初二版)
与轴对称相关的线段之和最短问题一．问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。
通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。
本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。
若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。
二．数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小。
2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使△PAB 的周长最小4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 三.两边之和大于第三边型(一)直线类1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少ME B'CDAB作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小2．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。
已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. (1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x 2+4 +(12-x)2+9 的最小值3．求代数式x 2 + 1 + (4-x)2+ 4 （0≤x ≤4）的最小值(二)角类4．两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，，51x8-xFE'B D A E C21x4-xFBD A EC请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.解：分别做点P 关于直线OA 和OB 的对称点P 1、P 2，连结P1P2分别交OA 、OB 于C 、D ，则C 、D 就是建加油站的位置.若取异于C 、D 两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C 、D 两点建加油站运油车所走的路程最短.5．如图∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 10，Q 、P 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2，交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2，则OP = OP 1 = OP 2 = 10且∠P 1OP 2 = 90°由勾股定理得P 1P 2 = 10 2(三)三角形类6．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PEB'E 的长就是PB+PE 的2OB最小值7．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。
线段之和最短问题
线段之和最短问题一． 常见数学模型：1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。
lA3. 如图，直线和的异侧两点A 、B ，分别在直线、上求作一点P 、Q 两点， 使AP+PQ+QB 最小。
4. 如图，直线的同侧两点A 、B ，分别在直线上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a ， 使AP+PQ+QB 最小。
l 2l 1lABal 1A5.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 使△PAB 的周长最小。
6.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
N为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小NNN为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”练习题1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．B3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．EC BA4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。
已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9 的最小值6．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。
将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练
化同侧为异侧——轴对称变换 1.知识方面： 化折线为直线——“两点之间、线段最短”
轴对称变换
两点之间 线段最短 轴对称变换 平移变换 平移变换
“引圆”法解决最值问题。
2.数学思想： “转化”思想、“数形结合”思想。
图9
图10
2．如图11，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠， 使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3． （1）求MP的值； （2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时， △MEF的周长最小？ （3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当 四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
两点之间线段最短轴对称变换平移变换轴对称变换平移变换化同侧为异侧轴对称变换化折线为直线两点之间线段最短2
将军饮马问题 ----两线段和最小值专题
L/O/G/O
1、平移
2、旋转
3、轴对称
L/O/G/O 三种变换的本质相同：
都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一 位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马， 然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？ 在图2中呢？
10
6
8 图3
(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一 位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马， 然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？ 在图2中呢？
图1
（“过桥问题”—北师大版数学教材八年级下册第90页第18题改编.） 如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B 处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路 线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计） 转化思想
求线段之和的最小值问题的常用方法
求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。
比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。
先来说说对称法吧。
这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。
再讲讲三角形三边关系法。
这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。
就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。
就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。
比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。
咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。
有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。
你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。
哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。
咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。
中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短
中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短一、课题分析最短路径问题是中考热点问题之一，也是学生的一大难点。
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的探讨，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，构建模型，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路.使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣.二、教学目标（一）知识与技能：1.以将军饮马为情境问题，引出两种最短线路的模型，理解并会利用“两点之间线段最短”和“三角形任意两边之和大于第三边”原理解决问题；2.通过三角形、四边形、圆、立体图形及函数题的训练，让学生能利用转化思想，将问题抽象出两点一线，并利用模型解决问题.（二）过程与方法：培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力.（三）情感与态度：进一步培养探究心理，体会数学知识在生活中的应用.三、教学重难点教学重点:利用“两点一线”模型解决数学中的实际问题.教学难点：模型中，两点在线异侧，利用“三角形任意两边之和大于第三边”这一原理作图；具体问题中，判断是否为两点一线问题，并利用模型作图，根据实际条件解决问题.四、教学关键运用数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，形成模型，以便准确理解本节课的内容，实现多题通解.五、教学策略利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展.六、学法指导：自主学习，小组合作、交流探究七、教学过程：环节师生活动设计意图创设情景相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能用所学的知识解决这个问题吗？BAl【学生活动】学生思考教师展示问题，并观察图片获得感性认识.以故事的方式，引出问题，激发学生的学习兴趣及探索欲望.知识回顾1. 两点之间线段最短; 2.轴对称的性质,如何作轴对称;3.勾股定理;4.三角形任意两边之和大于第三边.【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识.为本节课的学习扫清知识障碍.合作交流1.如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？活动(1)：观察思考，如何抽象为数学问题？【师生活动】学生思考，教师引导学生将A，B 两地抽象为两个点 ,将河抽象为一条直线l ，从而总结得到：两点之间线段最短。
抛物线中两线段的和最小问题(及差最大问题)
抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．1，（2012湖北恩施8分）【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。
（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N 点关于直线x=3的对称点N′，当M （3，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小。
（3）分BD 为平行四边形对角线和BD 为平行四边形边两种情况讨论。
（4）如图，过点P 作PQ ⊥x轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，设Q （x ，x+1），则P （x ，﹣x 2+2x+3），求得线段PQ=﹣x 2+x+2。
由图示以及三角形的面积公式知APCAPQ CPQ S S +S ∆∆∆=，由二次函数的最值的求法可知△APC 的面积的最大值解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，1b+c=04+2b+c=3--⎧⎨-⎩， 解得b=2c=3⎧⎨⎩。
∴抛物线的函数关系式为2y x 2x 3=-++。
设直线AC 的函数关系式为y=kx+n ，∵AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得k+n=02k+n=3-⎧⎨⎩，解得k=1n=1⎧⎨⎩。
∴直线AC 的函数关系式为y=x+1。
（2）作N 点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N （0，3）。
两线段之和最短问题
中考压轴题之两条线段之和最短时未知点的确定一 例 1 在河L 的一旁有AB 两村，想在河上建一个水库，问在哪建能使得到两村的路程最短（两个村庄一条河问题）分析：要使到两个村庄的距离和最短，即可做A(或B)村庄关于河的对称点A ’(或B ’),连接A ’B(或AB ’)，与河L 的交点即为到两个村庄的最短距离。
二 例2：如图,菱形ABCD 中,AB=2,角A=120度,点M,N,分别为线段BC,CD,上的中点，点P 为线段BD 的任意一点,则PM+PN 的最小值是多少？总结：解决两个线段的距离和最短问题，即可做某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为到两点的距离和的最小值。
三 两条线段之和最短时未知点的确定的方法(1) 点位置的确定 作一已知点关于未知点所在直线的对称点, 连接对称点与另一个已知点,则与未知点所在直线的交点即为所求(2) 点坐标的确定 <1>利用对称性求出对称点坐标<2>利用对称点坐标与另一已知点坐标，结合待定系数法求出对称点与已知点所在直线解析式<3>将未知点所在直线的横坐标或纵坐标代入即可四 典型例题讲解：1.如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，． 点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最小时，求m 的值．解析：先求出二次函数的解析式，作点C 关于X 轴的对称点C ’,连接C ’D 交X 轴于点M ，即MC+MD 的值最小。
五练习1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为()-，，连结OA，将线段OA绕原点O顺20时针旋转120︒，得到线段OB．⑴求点B的坐标；⑵求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；⑶在⑵中抛物线的对称轴上是否存在点C，使B O C∆的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线c-bx+=2与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，y+x（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.六拓展．当三点都不确定时的三角形周长最短问题：1.如图,菱形ABCD中,AB=2,角A=120°,点M,N,P分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PM+PN的最小值是多少？解析：作点M关于直线BD的对称点M’(必在AB上)，连接M’N，则M’N的长即为PM+PN的最小值，有平行线之间垂线段最短，当M’N垂直AB时PM+PN最小。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。
3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB、PB。
︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求F N＋NM＋MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。
七年级最值问题——线段和最小值问题
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助.一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1,在锐角三角形ABC中，AB=4运，/ BAC=45 , / BAC的平分线交BC 于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值为 ____________________________ .分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法•我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.解：如图1,在AC上截取AE=AN，连接BE.因为/ BAC的平分线交BC于点D，所以/ EAMMNAM ,又因为AM=AM , 所以/ AM匡/ AMN ,所以ME=MN .所以BM+MN=BM+MEBE .因为BM+MN 有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4,以BM+MN的最小值是4.故填4.1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2 （2010山东滨州）如图4所示，等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点若AE=2,EM+CM的最小值为________________________ .分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可.解：因为等边/ ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，所以点C与点B关于AD对称，连接BE 交AD于点M,这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM ,所以EM+CM=BE，过点E作EFZ BC,垂足为F,因为AE=2 , AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC 中，因为EC=4, / ECF=60 , / FEC=30 ,所以FC=2,EF=』訂—卅=肿—F =2」.因为BC=6 , FC=2 ,所以BF=4 •在直角三角形BEF中，BE=厂」亠「，一亠=「'.■.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（ 2010江苏扬州）如图3,在直角梯形ABCD中，/ ABC = 90° ADZ BC , AD = 4,AB = 5, BC = 6,点P是AB上一个动点，当PC+ PD的和最小时，PB的长为___________________ .分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：如图3所示，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ,交AB 于点P ,此时PC+ PD 和最小，为线段CE .因为AD = 4,所以AE=4 .因为/ ABC = 90° ADZ BC ，所以/ EAP =90°AU J[p因为/APE =Z BPC 所以/A — BPC ，所以二托因为AE =4 , BC = 6,所以O Ap 2|P j_ DD A fl 气所以u 所以———「因为AB =5,所以PB =3. 2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4,等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1 , Z ABC=60 , P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 ____________分析：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点.其 次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.解：如图4所示，因为点 D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ,此 时PA + PB 和最小，为线段 BD •过点D 作D& BC ，垂足为G ,因为四边形 ABCD 是等腰1,Z ABC=60 ,所以 Z C=60 , Z GDC=3° ,所以 GC=： ,DG=2为 Z ABC = 60°, ADZ BC ，所以 Z BAD = 120° 因为 AB=AD ，所以 Z ABDZ ADB=30 ，所 以Z ADBC=30，所以BD=2DG=2 ： =「• •所以PA+PB 的最小值为门.2.3在菱形中探求线段和的最小值梯形，且 AB=AD=CD=1例5 如图5菱形ABCD中，AB=2 , / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，贝U PE+PB的最小值为________ .分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P,此时PE+ PB和最小，为线段ED .因为四边形ABCD是菱形，且/ BAD=60，所以三角形ABD是等边三角形•因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1 , DE/ AB，所以ED= 疔'—脑wu=J -：.所以PE+ PB的最小值为J ■:.2.4在正方形中探求线段和的最小值例6 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2 , N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为________________________ .分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点.解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM，交AC于点N，此时DN + MN和最小，为线段BM .因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8 .因为DM=2 ,所以MC=6，所以BM= 二「，亠-■ ■_ ! =10.所以DN+MN的最小值为10.例7 (2009?达州)如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则/ PBQ周长的最小值为cm.(结果不取近似值)分析：在这里/ PBQ周长等于PB+PQ+BQ ,而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1,所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题•因为题目中有一个动点P,两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ,交AC于点P,连接PB •所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ •在Rt/ CDQ 中，DQ=/ := =「，，所以/ PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1 .故答案为十+1 .三、在圆背景下探求线段和的最小值例8 (2010年荆门)如图8, MN是半径为1的/O的直径，点A在/O上，/ AMN =30 ° B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，贝U PA + PB的最小值为()(A)2 •匚(B) j (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度.解：如图8,作出点A的对称点D,连接DB , OB,OD •因为/ AMN = 30° B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60° •根据圆心角与圆周角的关系定理得到：/ BON = 30°由垂径定理得：弧DN的度数为60°所以/ BOD= / BON + / DON= 30° +60 ° =9所以.DB=」：■一•十厂.J < :.所以选择B .四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值1七例9 (2010山东济宁)如图9,正比例函数y= — x的图象与反比例函数y= (k^0)2x在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知三角形OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P,使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键.要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了.解：(1)设点A的坐标为(x, y),且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y .因为三角形OAM的面积为1,所以-T - / .所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y= —.x1 2 2 1（2）因为y= x 与y=—相交于点A ，所以一=一 x ，解得x=2，或x=-2.因为x >0,2 工 工2所以x=2，所以y=1，即点A 的坐标为（2, 1）.因为点B 的横坐标为1，且点B 在反比例 函数的图像上，所以点 B 的纵坐标为2,所点B 的坐标为（1, 2）,所以点B 关于x 轴的对飞十&二-2称点D 的坐标为（1, -2）.设直线AD 的解析式为y=kx+b ，所以｛ ,[2* 4-A = 1解得k=3, b=-5,所以函数的解析式为 y=3x-5,当y=0时，x=-,所以当点P 在（一330）时，PA+PB 的值最小.五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（ 2010年玉溪改编）如图10,在平面直角坐标系中， 点A 的坐标为（1, •「）, （1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、0、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C ,使/AOC 的周长最小？若存在，求分析：在这里/ AOC 周长等于AC+CO+AO ，而A,0是定点，所以AO 是一个定长，所 以要想使得三角形的周长最小， 问题就转化成使得 AC+CO 的和最小问题.因为题目中有出点C 的坐标；若不存在,个动点C,两个定点A,0符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解：(1)由题意得-所以0B=2 •因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为(-2,);(2)因为B(-2,0),0(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax( x+2)，将点A的坐标为(1,代入解析式得：3a=.「，所以a=^，所以函数的解析式为沪丄+二x•3 3 3(3)存在点C.如图10,根据抛物线的性质知道点B与点0是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C,此时/ AOC的周长最小•设对称轴与x轴的交点为E•过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=E0=EF=1.因为/ BC臣/ BAF,所以 ]-3F AF1 CE J3.所以，所以CE=—•因为点C在第二象限，所以点C的坐标为(-1，丄)•3 73 3 3六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11( 2010年天津)如图11,在平面直角坐标系中，矩形二工U的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=3 , 0B=4 , D为边OB的中点•(1 )若E为边0A上的一个动点，当/ CDE的周长最小时，求点E的坐标；(2)若E、F为边0A上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.「氟対圈冬可泓诈点口芙卡耳帥的对林虑血揍CD* 点嵐.既蚌比DDE町隔七爰最叮啲.并很好的运用到平面直角坐标系中.解：(1)如图12,作点D关于x轴的对称点匸「，连接CD与x轴交于点E,连接DE.若在边OA上任取点三.(与点E不重合)，连接C三\ D三■、匸「三-.由D S + C丘上匸「三「+ C 3 > C匸，D m+CE=DE+CE，所以/「工乜的周长最小因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D 为0B的中点，所以BC=3 , DO^ O=2.所以点C的坐标为(3, 4),点的坐标为匸(0, -2),设直线C二'的解析式为y=kx+b ,h= -2则仁，, 「解得k=2 , b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点药t +右=4E的坐标为(1 , 0);(2)如图13,作点D关于x轴的对称点匸•，在CB边上截取CG=2，连接匸厂G与x 轴交于点E,在EA上截EF=2•因为GQ EF , GC=EF ,所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小•因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为0B的中点，CG=2,所以BC=3, D0=匸「O=2,BG=1.所以点G的坐标为(1, 4),点的坐标为匸(0, -2),设直线G二'的解析式为y=kx+b ,，解得k=6 , b=-2，所以函数的解析式为 y=6x-2，令y=0 ,贝U x=_ ,0）,所以点F 的坐标为（+2 , 0）即F 的坐标为（，0）3 3 3h=-2则4 Jt+b =E 的坐标为（，所以点。
线段之和最短问题
四、在圆背景下探求线段和的最小值
9、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°， B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______
五、在函数背景下探求线段和的最小值
10、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点， 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
延伸3：在两条相交线之外有一个定点P，分别在两条直线上找点B、 C使得PB+BC+CP最短，如何确定B、C的位置？ 15、如图，∠AOB=45°,P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、 OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
16、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°， AB＝1，AD＝2，在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周 长最小，则△AMN的最小周长是_______．
13、如图，在锐角△ABC中，AB＝ 4 2 ，∠BAC＝45°， ∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点， 则BM+MN的最小值是____．
延伸2：已知直线L外有一个定点P，在直线L上找两点A、B，使 AB=m，且PA+PB最短。（其中m为定值）
14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点， 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的 中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2， 当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以∠AME∠∠AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF∠BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∠BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∠BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以∠APE∠∠BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG∠BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∠BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE∠AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，果不取近似值）．分析：在这里∠PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt∠CDQ中，DQ==，所以∠PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的∠O的直径，点A在∠O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），∠AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使∠AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里∠AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时∠AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为∠BCE∠∠BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当∠CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以∠的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∠EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
线段和的最值问题
例题1、几何模型：条件：如图"A、B是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P"使PA+PB的值最 小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′"连接 A′B交l于点P"则PA+PB=A′P+PB=A′B" 由“两点之间"线段最短”可知"点P即为所求 的点．
注：充分利用正方形是轴对称图形这一特性来找对称点
例题2、如图"已知平面直角坐标系中A"B两点 的坐标分别为A2"－3"B4"－1。
2若Ca"0"Da+3"0 是x轴上的两个动点" 则当a=____时"四边形 ABDC的周长最短。
例题2、如图"已知平面直角坐标系中A"B两点 的坐标分别为A2"－3"B4"－1。
3设M"N分别为x轴和y轴上的动点。 是否存在这样的 点Mm"0" N0"n" 使四边形ABMN的周长最短 若存在"请写出m和n的值; 若不存在"请说明理由。
模型应用：
1如图1"正方形ABCD的边长为2"E为AB的中点
"P是AC上一动点．则PB+PE的最小值
是
；
模型应用： 2如图2"已知"⊙O的直径CD为4"
点A在⊙O上"∠ACD=30°"B为弧AD的中点"P为
直径CD上一动点"则BP+AP的最小值
是
．
注： 充分利用圆是轴对称图形这一特性来找对称点
模型应用：3如图3"在Rt△ABC中 "AB=10"∠BAC=45°"∠BAC的平分线交BC于点 D"E、F分别是线段AD和AB上的动点"求BE+EF的 最小值"并写出解答过程．
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以, 所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E 的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
最短路径问题(将军饮马问题)
A'
则点C、D为所求。
B
.
.C
O
.
N
.
B'
.
D
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型
→推理 →猜想 →证明 ↓ 应用到实际问题中← 得出结论
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应 该怎么样找到它们的最短路径呢？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。 2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各 对称点确定所求位置点）。
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要 到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
作法： （1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）连结B'A，交MN于点 P； 所以 点P就是所求的点．
B
M P
A
N
B'
A
证明：
B
在MN 上任取另一点P'，
.
A'
M
B.
.A
C
O
.
.A
N
''
(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C,则点 B、C为所求。
变式1：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC 上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
两点在两相交直线内部 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
——将军饮马问题及延伸
为什么有的人会经常践踏草地呢？
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中考压轴题之两条线段之和最短时未知点的确定
一 例 1 在河L 的一旁有AB 两村，想在河上建一个水库，问在哪建能使得到两村的路程最短（两个村庄一条河问题）
分析：要使到两个村庄的距离和最短，即可做A(或B)村庄关于河的对称点A ’(或B ’),连接A ’B(或AB ’)，与河L 的交点即为到两个村庄的最短距离。
二 例2：如图,菱形ABCD 中,AB=2,角A=120度,点M,N,分别为线段BC,CD,上的中点，
点P 为线段BD 的任意一点,则PM+PN 的最小值是多少？ 总结：解决两个线段的距离和最短问题，即可做某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为到两点的距离和的最小值。
三 两条线段之和最短时未知点的确定的方法
(1) 点位置的确定 作一已知点关于未知点所在直线的对称点, 连接对称点与另一个已知点,则与未知点所在直线的交点即为所求
(2) 点坐标的确定 <1>利用对称性求出对称点坐标
<2>利用对称点坐标与另一已知点坐标，结合待定系数法求出对称点与已知点所在直线解析式
<3>将未知点所在直线的横坐标或纵坐标代入即可
四 典型例题讲解：
1.如图，抛物线21
22
y x bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，． 点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最小时，求m 的值．
11
-1
B D C
A O
x y
解析：先求出二次函数的解析式，作点C 关于X 轴的对称点C ’,连接C ’D 交X 轴
于点M ，即MC+MD 的值最小。
五 练习
1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()20-，，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120︒，得到线段OB ．
⑴ 求点B 的坐标； ⑵ 求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； ⑶ 在⑵中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BOC ∆的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A (1,0),B (- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
六拓展．当三点都不确定时的三角形周长最短问题：
1.如图,菱形ABCD中,AB=2,角A=120°,点M,N,P分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PM+PN的最小值是多少？
解析：作点M关于直线BD的对称点M’(必在AB上)，连接M’N，则M’N的长即为PM+PN的最小值，有平行线之间垂线段最短，当M’N垂直AB时PM+PN最小。
典型例题练习：
1.已知正三角形ABC 的边长是1，P 是边BC 的中点，M 、N 分别在边AC 、AB 上运动，则当M 、N 运动到何处时，三角形PMN 的周长最短？
解析：作点P关于AB、AC的对称性P'、P"，连接P'P"，则P'P’”与AB、AC 的交点就是所求作的点M、N。
2.在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值。
解析：过点M作ME⊥OP于点E,作MF⊥OQ于点F，证△AME≌△BMF.。