合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

合集下载

2018-2019湖工大高等数学-2

收敛，其中
常数 0 .
3
（D） f (0,1) f (1, 0)
8.曲面 x 1 sin y z 1在点 (1, 1, 0) 处的法线方程为(
)；
（A） x 1 y 1 z 1 1 1
（B） x 1 y 1 z 1 1 1
（C） x 1 y 1 z 1 1 1
（D） x 1 y 1 z 1 1 1
9. 已知曲线 L 为抛物线 y x2 的一部分（ 0 x 1），则对弧长的曲线积分
注意
四三二一
、试
、考意、姓：
、密
卷生名封
印在、线
刷答准内不题考不清前证准
18.计算曲面积分 I (2x z)dydz zdxdy 其中为有向曲面
楚应号答。先不题
z x2 y2 (0 z 1) ，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角；
可将许。
举姓涂
手名改
向、，监学否
封
考号则
；
(x, y)(0,0)
3.函数 z ln1 xy 在点 (0,1) 处的全微分 dz =
；
4.空间曲面 : x2 y2 z 2 1，则 (x3 z2 )dS =
；
5.
（ 1)n1
n 1
n 2n
=
.
二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
6.已知向量 b 与 a 共线，方向相反，且 | b | 5 | a | ，则 a+b 由 a 表示为(
教、试
师年卷
询级无
问和效
。班。
级
填
写
在
指
定
的
方
框
内
。
19.将函数 f (x) 1 展开成 (x 2) 的幂级数，并指出其收敛域. 3 x

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( ) 2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰（B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()x xLy ye f x dx e f x d ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。

合工大高数历年统考题

学年第二学期课程名称高等数学（下）一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -。

2．=⎰⎰dy yydx x sin 0ππ2。

3．设V 为柱体：10,122≤≤≤+z y x ，则=⎰⎰⎰υυd e z(1)e π-。

4．设()1f x x =+，ππ≤≤-x ，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x π=处收敛于1。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(2222,y x y x y x xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在 .D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ） .A 32x y z -==- .B 326yx z -==- .C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--= 3．设L 为圆周,122=+y x 则⎰=+Lds y x)(33（ .A ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 34．设常数0a >，则级数1111(1)ln n an n n∞++=-∑（ .C ）。

.A 发散 .B 条件收敛 .C 绝对收敛 .D 敛散性与a 有关。

三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

（本题10分）解：122()zx y f yf x∂=-+∂， 2121111222122(2())22()[2()][2()]z x y f yf f x y x y f xf f y y x f xf x y y∂∂=-+=-+---+++-+∂∂∂ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f =---+-++ 四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。

高等数学A(下册)期末考试试题

高等数学A(下册)期末考试试题大题一二三四五六七小题1 234 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。

合肥工业大学高数下部分课后习题参考答案

AB 7 ， AC 7 ， BC 7 2 ; 等腰直角三角形.
14 3. M 0, 0, . 9
4. 5.
2x 6 y 6z 3 0 .
a b a b a b a b ；；； . 2 2 2 2
1 2 1 ， cos ； 7. AB 2 ； cos ， cos 2 2 2
5. 8x 9 y 22 z 59 0 . 6.
3 2 . 2
习题 8-5
1. （1）直线，平面；（2）抛物线，抛物柱面；（3）圆，圆柱面；（4）双曲线，双曲柱面. 2. （1）将 xOy 平面上双曲线 x2 y2 1绕 x 轴旋转一周；
（2）将 yOz 平面上直线 z y a 绕 z 轴旋转一周.
12. （1）见图 8-9；
（2）见图 8-10；

图 8-9
图 8-10
（3）见图 8-11；
（4）见图 8-12.
图 8-11 习题 9-1
图 8-12
1. （ 1 ）为有界开区域；聚点为集合 {(x, y ) | x 2 + y 2 1} ，边界点为集合 {(x, y ) | x 2 + y 2 =1} {(0, 0)} ；
4
x2 y 2 1, （ 2 ）在 xOy 面投影曲线方程：在 yOz 面投影曲线方程： z 0;
z z y sin , x cos , 2 在 zOx 面投影曲线方程： 2 y 0. x 0;
3020max21minminmaxmax上的点到原点的距离的最大值与最小值分别为15max16总复习题九11122sincoscossincos10

高数题目及答案

2006~2007-2高等数学A 2试题A 卷一、填空题（每小题3分，共15分）1．函数),(y x f 在点),(y x 可微分是),(y x f 在该点连续的条件.2．半径为a 的均匀半圆薄片（面密度为ρ）对其直径边的转动惯量为 . 3．L 为圆周222a y x =+，则()⎰+Lnds y x22= .4．函数 0,,)(⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x x f 的傅里叶级数展开式为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-= x n n x x x x f 12cos 1215cos 513cos 31cos 42)(222ππ)(ππ≤≤-x ，则级数()++++++22212151311n 的和等于 . 5．方程0ln =-'y y y x 的通解是 . 二、选择题（每小题3分，共15分）6．函数()22,y xy x y x f +-=在点)1,1(P 处沿方向⎭⎬⎫⎩⎨⎧=41,41l 的方向导数（）。

(A) 最大; (B) 最小; (C) 1; (D) 0.7．设区域D 是由0,42=-=y x y 围成，则=+=⎰⎰Ddxdy y ax I )(（）。

(A) 0>I ;(B) 0=I ;(C) 0<I ;(D) I 的符号与a 有关.8．下列各式中正确的是（） (A)022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中1:22=+y x L ，沿逆时针方向； (B)⎰⎰⎰⎰∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++dS R Q P dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P 5325253),,(),,(),,(；其中∑是平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧。

(C)⎰⎰⎰Γ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++dz y P x Q dy x R z P dx z Q y R Rdxdy Qdzdx Pdydz 其中Γ是∑的边界曲线，且Γ的方向与∑侧符合右手法则；(D) 向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=的散度k y P x Q j x R z P i z Q y R A div ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=.9．级数∑∞=+-12)1(n nnnb 为（）。

07-08高数A2答案(A卷)

安徽工业大学高等数学A2期末试卷(A卷)参考答案与评分标准一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）9.7 10. π411. 4 12．π813.2e14. 1三、判断题（本题共5小题，每小题２分, 共10分）22222(1)(1))11(1)11n n nn nn nnnn nnn n∞∞==∞=∞∞===---=-=----∑∑∑∑∑四、解答题(本题共６小题，满分48分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.)20. (本题满分8分)解：设c o s,s i nx r y rθθ==, ------------------------------------ 2分222222)0,0(),(lnlim)ln()(limrryxyxryx+→→=++---------------------------------------------5分由洛必达法则原式22lim1ln2lim32=-==+→+→rrrrrr------------------------------------- 8分说明：本题解法较多，可参照上述标准给分，如令22r x y=+代换与洛必达法则结合使用。

21. (本题满分8分)解：解法一：由题意得121/212000x yxV dx dy dz---=⎰⎰⎰-----------------------------------２分1/21200(12)xdx x y dy-=--⎰⎰-----------------------------------４分dxyxyyx21212)212(-⎰--=----------------------------------６分⎰+-=212)2122(dxxx121)2132(2123=+-=xxx--------------- -------------------8分解：解法二：由题意得⎰⎰---=xdyyxdxV212/1)21（-----------------------------------3分dxyxyyx21212)212(-⎰--=----------------------------------６分⎰+-=212)2122(dxxx121)2132(2123=+-=xxx--------------- -------------------8分说明：其它形式的二重三重积分表达式也对。

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰．６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰．四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分）1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________． 2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于．4、微分方程220y y y '''++=的通解为．5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f =u u u u u r．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222zx y ze ++=,则11x y dz===( ))(A 2(dx dy)-+ )(B 22(z 1)e (z 1)e z zdx dy --+++)(C 22dx dy + )(D 22dx dy -+2、二次积分2(,)dx f x y dy ⎰化为极坐标下累次积分为（）drr F d D drr F d C drr F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 202cos 2022cos 20cos 200θθθθθθθθθπθππθππθπ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（） )(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224zdS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2D I y xd σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()xx Ly yef x dx e f x dy ---+⎰与路径无关,且6(0)5f =.求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy --=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdyI x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n n n x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？。

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( )2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())(x xLy ye f x dx e f x ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题Happy childhood is the best, June 12, 2023一、填空题每小题3分,共15分 1、极限2sin 0lim(13)xx x →+= ．2、设2arctan()y x x =,则y ' ．3、设()f x 的一个原函数为2x e -,则()________xf x dx '=⎰． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题每小题3分,共15分 1、当1x →-时,31x +与3(1)x +为A 高阶无穷小B 低阶无穷小C 等价无穷小D 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是 A 1sin x + B 1sin x - C 1cos x + D 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续,且0()lim 11cos x f x x→=-,则在点0x =处．A (0)f '不存在B (0)0f '=,且(0)f 为()f x 的极小值C (0)f '存在,且(0)0f '≠D (0)0f '=,且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是A 1+∞⎰111sin dx x -⎰ C 221ln dx x x +∞⎰ D 2x xe dx +∞--∞⎰ 5、曲线2211x x e y e--+=-A 没有渐近线B 仅有水平渐近线C 仅有铅直渐近线D 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题每小题6分,共36分1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ．5、2arctan x dx x ⎰．６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩,求2(1)f x dx -⎰．四、本题满分10分设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、本题满分10分设曲线2x e y =,切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ,求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、本题满分8分证明不等式：0>x 时,有11ln ≥+xx . 七、本题满分6分设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,0)(≠x f 01x <<,且0)1()0(==f f ,证明：在)1,0(内至少存在一点ξ,使()2015()f f ξξ'=．。

高等数学(下)历试题解答

合肥工业大学高等数学<下）试卷参考解答2001-2002学年第二学期一、填空题<每小题3分，满分15分） 1．设12zxez y ，则0,1dz2edx dy .2．空间曲面1532:222zyx 在点(1,1,2)处的法线方程为1122412x y z .二、选择题<每小题3分，满分15分）1．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在点00(,)x y 处连续，②),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续，③),(y x f 在点00(,)x y 处可微，④),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“Q p”表示可由性质P推出性质Q ，则有< .A ）.A ②③① .B ③②① .C ③④① .D ③①④2．设函数(,)zf x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在，则),(00y x f x =0，),(00y x f y =0是),(y x f 在点00(,)x y 处取得极值的<.B ）.A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件4．0)(22yx y 是<.C ）微分方程.A 一阶.B 二阶.C 三阶.D 四阶5．微分方程xe x y y y 2)13(6的特解形式为< .B ）.A xeb ax y 2)(*.B xeb ax x y 2)(*.C xeb ax x y 22)(*.D xxeC eC y 3221*三、<8分）设),(22yxy xf z，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y. 解：1212z xf f xy，2111222122222112[2()][2()]z x x x yf f f f y f x yyyyy21112222232214(2)xx xyf f f f y y y.七、<10分）求微分方程0)(22y x y 满足初始条件(0)0,(0)1y y 的特解.解：令yp ，原方程化为220pxp，即212dpxdx p，积分得：21xCp，21pxC.又(0)1y ，得1C.211yx，12111ln 211x ydx C x x，将(0)0y 代入得10C ，所以特解为11ln 21x yx .八<10分）求函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z 在球面2225xyz(0,0,0)x y z 上的最大值.解：令222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y zxyz.由2220,0,0, 5.xyzF F F xy z 得222120,120,320, 5.x x y y z z x y z ，解得1,1,3.x y z 由于问题的解是唯一存在的.所以此驻点就是所求的最大值点(1,1,3).此时最大值为3ln 32. 合肥工业大学试卷高等数学<下）参考解答2002-2003学年第二学期一、填空题<每小题3分，满分15分）1．设函数ln(32)xyz xye ，则(1,0)dz 3144dxdy .5．微分方程0yyx 的通解为12ln yC x C .二、选择题<每小题3分，共15分）1．设,0,0,0,,),(222222,yxy x y xxy y x f 则<.C ）.A ),(lim 0y x f yx 存在.B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f 都存在.D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线632,922222zyxzex y 在点(3,0,2)处的切线方程为<.B ）.A 32x yz .B 326y x z .C 32214x y z .D 3(2)0x z y5．设xxxxxe ey e x y xe y 2321,)1(,为某二阶线性非齐次微分方程的三个特解，则该方程的通解为< .D ），其中321,,C C C 为任意常数..A 332211y C y C y C.B 11223C y C y y .C xxxxe eeC eC 2221.D xxxxeeC eC 221三、设),)((2xy y xf z，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y.<本题10分）解：122()z xy f yf x，212(2())z x y f yf x yy1111222()[2()]f xy xy f xf 22122[2()]f y yx f xf 221111222224()2()f xy f xy f xyf f .四<10分）、求函数)1(),(y x y x f 在由上半圆周)0(322yyx与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值. 解：在闭区域D 内，由10x y f y f x 得驻点(0,1)，(0,1)0f .在D 的边界)0(322y yx 上，令22(,,)(1)(3)F x y x y xy，由22120,20,3.xy F y xF x yx y 得2,1,xy(2,1)0f . 在D 的边界x 轴上，3,0，3,0，3,03f，3,03f，比较以上各函数值，知最大值为3,03f，最小值为3,03f.合肥工业大学试卷高等数学<下）参考解答2003-2004学年第二学期一、填空题 <每小题3分，满分15分） 1．微分方程02)(3xdydx x y满足56|1xy 的特解为315yx x .5．曲面22y xz与平面042zyx平行的切平面方程是245xyz.二、选择题<每小题3分，满分15分） 1．函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的< .D ）.A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件2．微分方程xe xy y y 2323的特解形式为< .D ）.A ()xax b e.B ()xax b xe.C ()xaxb ce .D ()xax b cxe4．．若),(y x f 函数在),(00y x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且满足2000000[(,)](,)(,)0xy xx yy f x y f x y f x y ，则),(00y x (.A >.A 必不为),(y x f 的极值点.B 必为),(y x f 的极大值点.C 必为),(y x f 的极小值点.D 可能不是),(y x f 的极值点。

高数下期末考试试题及答案解析

WORD 格式整理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A）注意：1、本试卷共3页；2、考试时间110 分钟； 3 、姓名、学号必须写在指定地方题号一二三四总分得分阅卷人得分一、单项选择题（ 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）将每题的正确答案的代号A、 B、 C或 D 填入下表中．号12345678答案1．已知 a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（）.(A)a b 0(B)a b0(C) a b0(D)a b02. 极限lim( x2y2 )sin12().x0x2yy0(A) 0(B) 1(C) 2(D)不存在3．下列函数中，df f 的是().（ A）f (x, y)xy（ B）f (x, y)x y c0 ,c0为实数（ C）f (x, y)x2y2（ D）f (x, y)e x y4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f ( x, y) 的().（ A）驻点与极值点（ B）驻点，非极值点（ C）极值点，非驻点（ D）非驻点，非极值点5 ．设平面区域D : (x1)2( y 1)22，若I1x y d， I 2x yd ，D4D4I 33x y，则有（） .dD4（A）I1I 2I 3（B）I1I 2I 3（C）I2I1I 3（D）I3I1I 26．设椭圆L：x2y 21的周长为l，则(3x2 4 y2 )ds（） .43L(A)l(B)3l(C)4l(D)12l7．设级数a n为交错级数，a n0 (n) ，则（）.n 1(A) 该级数收敛(B)该级数发散(C) 该级数可能收敛也可能发散(D)该级数绝对收敛8. 下列四个命题中，正确的命题是（）.（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散n 1n 1（ B）若级数a n2发散，则级数a n也发散n 1n 1（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛n 1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛n 1n 1阅卷人得分二、填空题 (7 个小题，每小题2分，共 14分)．3x 4 y2z60a 为.1. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数x02．设f ( x, y)ln( xy), 则f y(1,0)___________.x3．函数f (x, y)x y 在 (3, 4) 处沿增加最快的方向的方向导数为.4．设D : x2y22x ，二重积分( x y)d=.D5．设f x是连续函数，{( x, y ,z) | 0z9x2y2 } ， f ( x2y2 )dv 在的三次积分为.6. 幂级数( 1)n 1x n的收敛域是.n!n 17. 将函数 f ( x)1,x01x2,0 x以 2为周期延拓后，其傅里叶级数在点于.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分三、综合解答题一（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．设 u xf ( x,x) ，其中 f 有连续的一阶偏导数，求u ，u．y x y解：4．设是由曲面z xy, y x, x 1及z0 所围成的空间闭区域，求 I解：2．求曲面 e z z xy 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程及法线方程．解：5．求幂级数nx n 1的和函数 S(x) ，并求级数nn的和．n 1n 12解：3. 交换积分次序，并计算二次积分dxxsin y dy．0y解：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯．⋯号⋯学⋯⋯封号序密超号班要学教不卷答⋯学⋯大峡．三⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯阅卷人得分四、综合解答题二（ 5 个小题，每小题7 分，共 35 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为 1 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．解4．计算xdS ，为平面x y z 1在第一卦限部分.解：2．计算积分( x2y2 )ds ，其中L为圆周 x2y2ax (a0 )．L解：5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分蝌dxdy + dydz + dzdx，S其中为圆锥面 z2x2y2介于平面z0 及 z 1 之间的部分的下侧.解：3．利用格林公式，计算曲线积分I(x2y2)dx (x 2xy)dy ，其中 L 是由抛物线y x2和Lx y2所围成的区域D的正向边界曲线．y y x2x y22017 学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8 个小题，每小题 2 分，共 16 分）题号12345678答案D A B B A D C D1．已知a 与b都是非零向量，且满足a b a b ，则必有（D）(A) a b0 ；(B)a b 0 ；(C) a b0 ；(D)a b0 ．2. 极限lim( x2y2 )sin212( A )x0x yy0(A) 0；(B) 1；(C) 2；(D)不存在 . 3．下列函数中，df f 的是( B )；（ A） f ( x, y)xy ；（ B）f ( x, y)x y c0 , c0为实数；（ C） f (x, y)x2y2；（ D）f (x, y)e x y .4．函数f ( x, y)xy (3x y) ，原点 (0,0)是 f ( x, y) 的( B).（A）驻点与极值点；（B）驻点，非极值点；（C）极值点，非驻点；（ D）非驻点，非极值点 .5 ．设平面区域 D：( x 1)2( y 1)22，若I1x yd ，I2x y dD4D4WORD 格式整理3xyd，则有（ A）I 34D（A）I1I 2I3；（B） I1I 2I 3；（C）I2I1I3；（D）I36．设椭圆L：x2y 21的周长为l，则(3x24y2 )ds（ D）43L(A) l；(B)3l；(C)4l ；(D)127．设级数a n为交错级数， a n0 (n) ，则（C）n 1(A) 该级数收敛；(B)该级数发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D)该级数绝对收敛．8. 下列四个命题中，正确的命题是（D）（ A）若级数a n发散，则级数a n2也发散；n1n 1（ B）若级数n1a n2发散，则级数n 1a n也发散；（ C）若级数a n2收敛，则级数a n也收敛；n1n 1（ D）若级数| a n |收敛，则级数a n2也收敛．n1n1二、填空题 (7 个小题，每小题 2 分，共14 分)．3x 4 y2z60a 为31. 直线3y z a与 z 轴相交，则常数。

大学高等数学A-2试卷答案

《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分, 共15分)1．B 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题（每小题3分，共15分)1．12dx dy + 2．533．2(,)x f a b ' 4．230+-=y z 5．18π三、计算题(每题7分；共56分)1．解：设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C （4分）所以有0=D ；::2:1:1=-A B C所求平面方程为 20--=x y z （3分）2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x （3分）(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx （4分）4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域．解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5．解：设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++，因为()()22:111L x y -+-=，所以220x y +≠，而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。

2011-2012学年合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷和参考答案

2011----2012学年第二学期期末考题解答一.填空题(每小题3分, 满分15分)1. 过直线L:x-1y+2z-2==且垂直于平面3x+2y-z=5的平面方程是2-32_________．【解】应填：x-8y-13z+9=0．直线L的方向向量s={2,-3,2}．已知平面的法向量n1={3,2,-1}，设所求平面的法向量为n，由题意知n⊥s且n⊥n1，故可取ijk n=s⨯n1=2-32={-1,8,13}，32-由条件知，所求平面过点P0(1,-2,2)于是所求平面方程为，-(x-1)+8(y+2)+13(z-2)=0，即x-8y-13z+9=0．2. 设x2+2xy+y+zez=1，则dz【解】应填：-2dx-dy．由x+2xy+y+ze=1，两边求全微分，得 2z(0,1)=2xdx+2ydx+2xdy+dy+(1+z)ezdz=0，当x=0,y=1时，代入原方程得z=0，所以dz(0,1)=-2dx-dy．3. 椭圆抛物面∑：z=2x+y在点P0(1,-1,3)处的法线方程是___________.【解】应填：22x-1y+1z-3==. 4-2-1曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法向量可取为n={4x,2y,-1}(1,-1,3)={4,-2,-1}，于是曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法线方程为x-1y+1z-4=-2=3-1.4.曲面z=与z=x2+y2所围立体的体积为．【解】应填：6． V=⎰⎰⎰dv=2π0dθ1rπΩ⎰⎰0rdr⎰r2dz=6．5. 设L为上半圆周y=⎰(xL-xy+y2)ds=____________．【解】应填：π．由对称性，代入技巧及几何意义可得⎰2L(x-xy+y2)ds=⎰Lds+0=π二.选择题(每小题3分, 满分15分)1．方程y''-3y'+2y=1+2x-3ex的特解形式为（）． (A)(ax+b)ex (B) (ax+b)xex(C) ax+b+cex(D) ax+b+cxex【解】选（D）2.设unn=(-1)，则级数（）．（A）∑∞∞∞u2n与∑un都收敛（B）n=1n=1∑u2n与n=1∑un都发散n=1 （C）∑∞∞∞∞u2n收敛，而n发散（D）u2n发散，而n收敛n=1∑un=1∑n=1∑u【解】选（C）3．二元函数f(x,y)的两个偏导数fx¢(x,y)，fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的（）(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件【解】若fx¢(x,y)，fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)都连续，则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，选(A)4.⎰10dx⎰2x1=（）（A）121 （B）)131 （C)（D【解】原积分=⎰dy0101121==⎰231．选（B） )⎧x2-π≤x<05. 设f(x)=⎨，则周期为2π的函数f(x)的傅立叶级数在x=2π处⎩x-π0≤x<π收敛于．（A）-π2 （B）-π （C）0 （D）π 2【解】选(A)三. (10分) 设z=f(xy,xy)+g()，其中f有二阶连续偏导数，g有二阶导yx∂2z数，求．∂x∂y【解】根据复合函数求偏导公式得∂z1y=f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2), ∂xyx∂2z∂⎛∂z⎫∂⎛1y⎫= ⎪= f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2)⎪∂x∂y∂y⎝∂x⎭∂y⎝yx⎭x11xy1=f1'+y[f11''x+f12''⋅(-2)]-2f2'+[f21''x+f22''⋅(-2)]-g''⋅3-g'⋅2yyyyxx1xy1=f1'+xyf11''-2f2'-3f22''-3g''-2g'yyxxx2四. (10分) 求z=f(x,y)=x-y在闭区域D：+y2≤1上的最大值和最小值．22【解】在D的内部，⎧fx'=2x=0⇒(0,0)为驻点，且f(0,0)=0 ⎨'f=-2y=0⎩y在D的边界上，x2x25x22222+y=1⇒y=1-⇒z=x-y=-1由444(-2≤x≤2)dz5x==0⇒x=0，此时，y=±1,，则有f(0,±1)=-1,dx2比较上述函数值知，f(±2,0)=4函数z=f(x,y)=x-y在D上的最大值为4,最小值为-1．五. (10分) 求微分方程y''=22y'+xex的通解. x1p=xex， x【解】不显含y，故令y'=p,则y''=p'，代入原方程得p'-利用通解公式求得通解为p=x(ex+C1)，积分得原方程通解为1y=(x-1)ex+C1x2+C2．2六. (12分)（Ⅰ）试确定可导函数f(x)，使在右半平面内，y[2-f(x)]dx+xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)=2；（Ⅱ）求u(x,y)；【解】（Ⅰ）P=y[2-f(x)]，Q=xf(x)．因为y[2-f(x)]dx+xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分，所以有即∂Q∂P， =∂x∂yf(x)+xf'(x)=2-f(x)，故xf'(x)+2f(x)=2．上述微分方程的通解为f(x)=1+所以C.由f(1)=2得C=1, x21． x2f(x)=1+（Ⅱ）在右半平面内取(x0,y0)=(1,0)，则11u(x,y)=⎰P(x,0)dx+⎰Q(x,y)dy=⎰0(x+)dy=y(x+)．10xxxyy七. (12分) 求幂级数∞∑n(n+1)xn=1∞n的收敛域及和函数．【解】易求得其收敛域为(-1,1)，令S(x)=∑n(n+1)x=x∑n(n+1)xnn=1n=1∞n-1=x⋅S1(x)，其中S1(x)=∑n(n+1)xn-1，n=1∞∞两边积分⎰再积分xS1(x)dx=∑⎰n(n+1)xn=1∞xn-1dx=∑(n+1)xn，n=1⎰(⎰xxS1(x)dx)dx=∑⎰(n+1)xdx=∑xnn=1∞x∞n+1n=1x2． =1-x因此x22S1(x)=()''=，1-x(1-x)3故原级数的和S(x)=2x，x∈(-1,1)．(1-x)3八. (12分) 计算积分I=⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy∑，其中∑是抛物面z=x2+y2(0≤z≤1)，取下侧．【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧,设∑与∑0围成空间区域Ω, Ω及∑0在xOy平面上的投影区域Dxy:x+y≤1.由Gauss公式，I=22∑+∑0 ⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∑0=⎰⎰⎰[Ω∂∂(y-z)+(x+2z)]dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∂y∂z∑0∑0=3⎰⎰⎰dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy. Ω因为∑0垂直于zOx平面，∑0在zOx平面上的投影区域面积为零，所以⎰⎰(y-z)dzdx=0.∑0I=3⎰⎰[⎰2Dxy1x+y2dz]dxdy-⎰⎰[x+2(x2+y2)]dxdy Dxy2π1=⎰⎰(3-5x2-5y2)dxdy=⎰dθ⎰(3-5r2)rdr=Dxy00π.2九. (4分) 设函数ϕ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分ϕ(y)dx+2xydy2x+y24L的值恒为同一常数．证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=0；【证明】将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l1+l3-ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l2+l3=0．。

合肥工业大学数学二模拟2010-2014五年16套试题

绝密*启用前2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试卷（模拟一）考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列{}{},n n a b 对任意的正整数n 满足1n n n a b a +≤≤，则（）．（A）数列{}{},n n a b 均收敛，且lim lim n nn n a b →∞→∞=（B）数列{}{},n n a b 均发散，且lim lim n n n n a b →∞→∞==+∞（C）数列{}{},n n a b 具有相同的敛散性（D）数列{}{},n n a b 具有不同的敛散性（2）设()f x 满足(0)0f '=，32()[()]f x f x x '+=，则有（）．（A）(0)f 是()f x 的极大值（B）(0)f 是()f x 的极小值（C）(0,(0))f 是()y f x =的拐点（D）(0)f 不是()f x 的极值,且(0,(0))f 也不是()y f x =的拐点(3)下列直线中，不是．．曲线1(1)x xy e =+的渐近线的为()．(A)0y =(B)1y =(C)y e=(D)0x =(4)设410sin x I dx x π=⎰，420tan x I dx x π=⎰，4301cos I dx xπ=⎰，则有()．(A)123I I I <<(B)321I I I <<(C)213I I I <<(D)312I I I <<(5）设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处的两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在，则（）．（A）(,)f x y 在点0P 处必连续（B）(,)f x y 在点0P 处必可微（C）000lim (,)lim (,)x x y y f x y f x y →→=（D）00lim (,)x x y y f x y →→存在（6）设()f x 为任一连续函数，a 是非零常数，则下列结论正确的是()．(A)若()f t 为奇函数，则0()xya dy f t dt ⎰⎰是x 的奇函数(B)若()f t 为偶函数，则0()xyady f t dt ⎰⎰是x 的奇函数(C)若()f t 为奇函数，则0()xaydy f t dt ⎰⎰是x 的奇函数(D)若()f t 为偶函数，则()xydy f t dt ⎰⎰是x 的奇函数（7）设B A ,为n 阶方阵，且)()(B r AB r <，则必有()．（A）0||=B （B）0||=A （C）0||≠B （D）0||≠A （8）若0=x A 的解都是0 =x B 的解，则下列命题中正确的是()．（A）B A ,的行向量组等价（B）B A ,的列向量组等价（C）A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示（D）B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示二、填空题:9～14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上.（9）44412lim 12n nnnn n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦ ．（10）23221(cos )422x x x dx -+-=⎰．（11）函数222()2()()u x y y z z x =---+-在点0(1,2,2)M 处方向导数的最大值是．（12）微分方程10x y y xe x'''--=的通解为．（13）由半圆21x y =-与三条直线1y =-，1y =，2x =所围成的平面图形D 的形心坐标为．（14）设,A B 均为三阶方阵，且3,4A B ==，则*10(2)(3)A B -=．三、解答题:15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）设23,310x t t y ty ⎧=-⎨++=⎩确定函数()y y x =，求202|t d ydx =．（16）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上有连续二阶导数，若()()f a g a =，()()f b g b =，00()()f x g x >，其中0(,)x a b ∈，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()f g ξξ''''<．（17）利用变换t x =化简微分方程23242(1)6xd y dyx x y e dx dx+--=(0)x >，并求出原方程的通解．（18）计算不定积分arctan 1xdx x +⎰．（19）设()f x 在[0,]a 上非负，(0)0f =，()0f x ''>，求证：2()()3aaxf x dx a f x dx >⎰⎰．（20）设(,)f u v 有二阶连续偏导数，()u ϕ有二阶导数，令22[,()]z f x y xy ϕ=-，求2zx y∂∂∂．（21）计算二重积分{}2max ,DI x x y d σ=⎰⎰，其中:01D x ≤≤，11y -≤≤．（22）（Ⅰ）设n 维向量组12,,,,s αααβ 线性相关，证明：β可唯一地由12,,,s ααα 线性表示的充要条件是12,,,s ααα 线性无关；（Ⅱ）设4维向量组1122334(1,,0,0),(1,,1,0),(1,,1,1),(1,,0,1)TTTTb b b b αααβ====，且β可唯一地由123,,ααα线性表示，求常数1234,,,b b b b 满足的条件．（23）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，且AB C =,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110011,110011C B ，求A 的所有特征值与特征向量，并求矩阵A 及9999A ．绝密*启用前2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试卷（模拟二）考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知当x →0时，22(11)ln(1)x x --+是比ln(1)nx +高阶的无穷小，而ln(1)nx +是比ln cos x 高阶的无穷小，则正整数n 等于()．（A）4（B）3（C）2（D）1（2）设极限3()()lim1x af x f a x a→-=-，则函数()f x 在点x a =处必()．（A）取极大值（B）取极小值（C）可导（D）不可导（3）设()f x 是(,)a b 区间上的连续函数，()F x 是()f x 在(,)a b 上的一个原函数，则()．(A)当()f x 在(,)a b 内无界时，()F x 在(,)a b 内也无界(B)当()f x 在(,)a b 内有界时，()F x 在(,)a b 内也有界(C)当()f x 在(,)a b 内单调上升时，()F x 在(,)a b 内也单调上升(D)当()f x 在(,)a b 内单调下降时，()F x 在(,)a b 内也单调下降(4)设1,0,()0,0xe xf x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩则下列结论不正确的是()．(A)()f x 在点0x =处连续(B)()f x 在点0x =处可导(C)()f x 在点0x =处取极值(D)点(0,0)为曲线()y f x =的拐点(5）设(,)f x y 在区域D 内具有二阶偏导数，则（）．（A）必有22f fx y y x∂∂=∂∂∂∂（B）(,)f x y 在D 内必连续（C）(,)f x y 在D 内必可微分（D）以上三个结论都不正确（6）将极坐标系下的二次积分2sin 24(cos ,sin )I d f r r rdr πθπθθθ=⎰⎰，化为直角坐标系下的二次积分，则I =（）（A）2110(,)x x dx f x y dy -⎰⎰（B）21011(,)xx dx f x y dy--⎰⎰（C）2122001(,)(,)yy y dy f x y dx dy f x y dx-+⎰⎰⎰⎰（D）2120(,)y y ydy f x y dx-⎰⎰（7）A 为m n ⨯矩阵，m E 为m 阶单位阵，,()m n r A m <=，则下列命题①A 经初等行变换为(,0)m E ；②A 经初等列变换为(,0)m E ；③TA A 正定；④TAA 正定；⑤Ax b =必有解；⑥0Ax =仅有零解中正确的个数有()个．（A）1（B）2（C）3（D）4（8）设四阶方阵100000101000010,0010010000011000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则以下结论正确的是()．(A)0A B +=(B)A 与B 相似(C)A 与B 合同但不相似(D)A 与B 等价但不合同二、填空题:9～14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上.（9）设函数3()f x x x =，则使得()(0)n f 存在的最大自然数n =．（10）设1()(1)f x x x =-，求高阶导数(2010)1()2f =．（11）曲线(1)y x x =-与x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为．（12）微分方程,,,y y y =满足初始条件,(0)0,(0)2y y ==的特解为y =．（13）设D 是由曲线sin ()22y x x ππ=-≤≤和直线,12x y π=-=所围成的区域，f 是连续函数，则3231()Dx y f x y dxdy ⎡⎤++=⎣⎦⎰⎰．（14）设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,三维列向量11t α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

高等数学(下)_合肥工业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

高等数学(下）_合肥工业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】为微分方程【图片】的特征方程的单根，则【图片】________.参考答案:12.若【图片】且【图片】则该方程通解中的常数【图片】________.参考答案:3.设有直线【图片】及平面【图片】则直线【图片】（）参考答案:垂直于4.设【图片】当【图片】为奇数时，【图片】____________.参考答案:5.过点（3,0，-1）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）参考答案:3x-7y+5z-4=06.若区域【图片】为【图片】则【图片】___________.参考答案:7.过以下三点(1,1,-1)、(-2,-2,2)、(1,-1,2)的平面方程是（）参考答案:x-3y-2z=08.设向量【图片】则向量【图片】在【图片】轴上的投影为____________.参考答案:139.若级数【图片】收敛【图片】，则下列结论正确的是（）参考答案:一定收敛10.已知【图片】且【图片】收敛，则【图片】（）参考答案:绝对收敛11.设【图片】则级数（）参考答案:收敛而发散12.若级数【图片】发散，【图片】收敛，则【图片】发散。

参考答案:正确13.若级数【图片】收敛，则【图片】也收敛（）参考答案:错误14.若级数【图片】收敛，则级数【图片】收敛（）参考答案:错误15.设【图片】则【图片】（）参考答案:816.设【图片】是球面【图片】的外侧，且【图片】则曲面积分【图片】————.参考答案:1217.设【图片】是平面【图片】被圆柱面【图片】所截的有限部分，则曲面积分【图片】————.参考答案:18.设【图片】是锥面【图片】介于【图片】与【图片】之间的部分，则曲面积分【图片】____________.参考答案:19.设向量【图片】和【图片】则【图片】__________.参考答案:220.直线【图片】与直线【图片】的夹角余弦为__________.参考答案:21.已知【图片】且【图片】，则【图片】在点【图片】处（）.参考答案:连续，偏导数存在，且可微22.已知【图片】为某函数的全微分，则【图片】__________.参考答案:223.计算【图片】____________，其中【图片】是以【图片】为顶点的正方形围成.参考答案:24.设【图片】是由【图片】所围成的空间闭区域，则【图片】（）.参考答案:2425.一向量的终点在点B(2,-1,7)，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4，-4,7，则该向量的起点A的坐标为（）参考答案:（-2,3,0）26.设【图片】是圆锥面【图片】的外侧，则【图片】————.参考答案:27.下列关于【图片】在点【图片】的性质说法正确的是（）.参考答案:在处连续，则在点可微；28.若函数【图片】满足【图片】则【图片】________.参考答案:129.设微分方程【图片】的特解形式为【图片】则【图片】________.参考答案:430.在过点【图片】和【图片】的曲线簇【图片】中，当【图片】（）时，沿着该曲线从【图片】到【图片】的积分【图片】的值为最小.参考答案:131.下列关于【图片】在点【图片】的性质说法正确的是（）.参考答案:偏导数连续，则沿任意方向方向导数存在；32.设有下列命题：（1）若【图片】收敛，则【图片】收敛；（2）若【图片】收敛，则【图片】收敛；（3）若【图片】，则【图片】发散；（4）若【图片】收敛，则【图片】都收敛。

合工大高数下(复习)

L
注：① 两类曲线积分之间的联系

L
P ( x , y )d x Q( x , y )d y P ( x , y )cos Q( x , y )cos d s
② 运用积分曲线方程简化计算！
§3 格林公式
Q P P ( x , y )d x Q( x , y )d y d L x y D 注：① L 封闭正向（补）；② P ( x , y ), Q ( x , y ) 在 D 内偏导连续（挖）！
f ( x , y )d y d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x , y )d x
注：选择积分次序（根据积分区域特点、被积函数特点）交换积分次序！ ② 利用极坐标：
f ( x , y )d f (r cos , r sin )r d r d
x x(t ) ① y y( t ) 在 M 0 x ( t 0 ), y ( t 0 ), z ( t 0 ) 的切向量： x ( t 0 ), y ( t 0 ), z ( t 0 ) z z( t ) x x F ( x, y, z ) 0 ② y y( x ) 在 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的切向量： 1, y( x0 ), z ( x0 ) G( x, y, z ) 0 z z( x )
x x区域连续！ §3 偏导数分段函数在分段点处的偏导数：
f x ( x0 , y0 ) lim
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) x 0 x f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) lim y 0 y

合肥学院高数下册试题库(按知识点分)

高等数学下册试题库一、填空题 1.平面01=+++kz y x 与直线112zy x =-=平行的直线方程是___________2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________3. 设k i b k j i aλ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧),(b a ____________5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则__________________,_______,===D B A6.设直线)1(221-=+=-z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则___________________,==λm7.直线⎩⎨⎧==01y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面222y x z+=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________10. 幂级数12nnn n x ∞=∑的收敛半径是____________ 11. 过直线1 3222x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3023x y z +-+==的平面方程是_________________ 12. 设),2ln(),(xyx y x f +=则__________)0,1('=y f13. 设),arctan(xy z =则____________,__________=∂∂=∂∂yz x z 14. 设,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________15. 设,yxz =则=dz _____________ 16. 设,),(32y x y x f =则=-)2,1(|dz ______________17. 曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===，在对应的0=t 处的切线与平面0=-+z By x 平行，则=B __________18. 曲面22y x z +=在点)2,1,1(处的法线与平面01=+++z By Ax 垂直，则==B A ________,______________19. 设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，则b a ⋅=________， b a ⨯=____________ 20. 求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程为________________21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程为_______________22. 向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，则向量d=___________________23. 向量b a 57-分别与b a 27-垂直于向量b a 3+与b a 4-，则向量a 与b的夹角为_______________24. 球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上投影的方程为______________25. 点)1,`1,2(0-M 到直线l ：⎩⎨⎧=+-+=-+-032012z y x z y x 的距离d 是_________________26. 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面π：042=-+-z y x ，又与直线l ：122112-=-=-x y x 相交，则直线l 的方程是__________________ 27. 设____________b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∧28. 设知量b ,a满足{}a b 3,a b 1,1,1⋅=⨯=-，则____________b ,a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧29. 已知两直线方程13z 02y 11x :L 1--=-=-，1z11y 22x L :2=-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程是__________________ 30. 若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a ____________31. =∂∂=xz,x z y则______________. y z ∂∂=_________________ 32. 设 ()()()____________2,1z ,x y x,sin x 11y z x 32='++-=则33. 设 ()1ylnx x lny y x ,u -+= 则 ______________________du = 34. 由方程2z y x xyz 222=+++确定()y x ,z z =在点()1,0,1-全微分=dz ______35. ()222yx f y z -+= ，其中()u f 可微，则 ___________yzx z y =∂∂+∂∂36. 曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 _________________37. 过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为__________________ 38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为______________ 40. )yx(x z 2ϕ=,(u)ϕ可微，则 ____________yz y x z 2=∂∂+∂∂ 41. 已知22lny x z +=，则在点)1,2(处的全微分_________________=dz42. 曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面方程为___________________43. 设()y x z z .= 由方程02=+--z xy e z e ，求xz∂∂=________________ 44. 设()()xy x g y x f z,2+-=，其中()t f 二阶可导，()v u g ,具有二阶连续偏导数有yx z2∂∂∂=___________________45. 已知方程y zln z x =定义了()y x z z .=，求22xz∂∂=_____________46. 设()z y x f u..=，()0..2=Φz e x y ，x y sin =，其中f，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z≠∂∂ϕ，求dx dz=______________________47. 交换积分次序=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy _______________________________48. 交换积分次序dx y x f dy dx y x f dy y y⎰⎰⎰⎰-+2120100),(),(=___________________49. _________==⎰⎰dxdy xe I Dxy其中}10,10),({≤≤≤≤=y x y x D50.=I ________)23(=+⎰⎰dxdy y x D，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围51. =I ________1122=++⎰⎰dxdy yx D，其中D 是由422≤+y x 所确定的圆域 52. =I ___________222=--⎰⎰dxdy y x a D，其中D ：222a y x ≤+53. =I ________)6(=+⎰⎰dxdy y x D，其中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域54.⎰⎰-2202xy dy edx ＝ _____________________55. 设L 为922=+y x ，则→→→-+-=j x x i y xy F )4()22(2按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________ 56. 曲线()⎩⎨⎧+==1,2,7y3x z 2xy 22在点处切线方程为______________________ 57. 曲面22y 2x z +=在（2，1，3）处的法线方程为_____________________ 58.∑∞=11n p n ，当p 满足条件时收敛 59. 级数()∑∞=---1221n nn n 的敛散性是__________60.nn nx a∑∞=1在x=-3时收敛，则n n n x a ∑∞=1在3<x 时61. 若()∑∞=1ln n n a 收敛，则a 的取值范围是_________62. 级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为63. 求出级数的和()()∑∞=+-112121n n n =___________ 64. 级数∑∞=02)3(ln n nn的和为 _____ 65. 已知级数∑∞=1n n u 的前n 项和1+=n ns n ，则该级数为____________ 66. 幂级数nn n x n∑∞=12的收敛区间为67. ∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为，和函数)(x s 为68. 幂级数∑∞=≤<0)10(n p np nx 的收敛区间为69. 级数∑∞=+011n na当a 满足条件时收敛 70. 级数()2124nnn x n ∞=-∑的收敛域为 ______71. 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 _____72. 231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数为，收敛域为 73. 设函数)21ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间为 ________ 74. 已知1ln ln ln =++x z z y y x ，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zyy x x z ______ 75. 设xy y x z )1(22++= y,那么=∂∂xz_____________，=∂∂y z _____________ 76. 设D 是由2=xy及3=+y x 所围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy _______________77. 设D是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy _______________78.=+⎰Cds y x )(22________________,其中C为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x79.=-⎰Ldx y x )(22________________,其中L 是抛物线2x y =上从点()0,0到点()4,2的一段弧。