数学模型之代数模型
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并将所有方格按从左到右，从 上到下依次编号为
1, 2, ..., n2
最后的求解结果
6.3 常染色体隐性疾病模型(略)
遗传性疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子 代的疾病。常染色体遗传的正常基因记为A,不正常的 基因记为a,并以AA、Aa、aa分别表示正常人、隐性患 者、显性患者的基因型。若在开始时的一代人口中AA、 Aa、aa型基因的人所占百分比分别为a0、b0、c0,讨论 在下列两种情况下第n代中三类基因型人口所占的比例： (1) 控制结合: 显性患者不能生育后代,且为了使每个儿童 至少有一个正常的父亲或母亲,正常人、隐性患者必须 与一个正常人结合生育后代; (2) 自由结合: 这三种基因的人任意结合生育后代。
第6章 代数模型
应用线性代数解决一些实际问题 6.1 兔子数量增长 6.2 植物基因的分布 6.3 常染色体的隐性疾病 6.4 森林的管理 6.5 加密与解密 6.6 关灯游戏中代数问题
ຫໍສະໝຸດ Baidu
6.1 兔子数量增长
一地区开始时有10000对刚出生的小兔。 设兔子出生以后两个月就能生小兔,如果每 月每对兔子恰好生一对小兔。
(1) 假定棋盘的初始状态为所有方格全部为白色，问游戏 者是否可以通过点击鼠标将棋盘的所有方格全部变为 黑色（称为一个可行策略）？若可以，如何进行游戏， 使点击鼠标的次数尽可能少（称为最优策略）. 你的方 法能否推广到棋盘有个方格的一般情形n×n
(2) 假定棋盘的初始状态为一个残局：部分方格为白色， 部分方格为黑色，假如你继续点击下去，你能否有一 个简明的方法判断，该残局能否最终使所有方格为黑 色， 或者变成给定的状态，例如是否可以通过有限次 的点击将左图变为右图？
白鼠的数量
一种实验用白鼠出生后总共存活n个月9<n<13，n为 自然数)，从第7个月后就开始生小白鼠,在第7、8这两个月中 每月每一对白鼠恰好生1对小白鼠，从第9个月起的m个月内 每一对白鼠恰好生2对小白鼠0<m<３,m为自然数)，然后停 止生育，在第n月末死亡（第n个月这些白鼠的数量还计算在 内）。在这个实验室环境中可以舒适地生存100对白鼠。每 一月先计算从上一月存活下来的白鼠，当某月从上一月存活 下来的白鼠的数量超过100对时，该月出生的小白鼠将被转 移到别的实验室。设开始时有1对刚出生的小白鼠，问第k月 有多少对白鼠(0<k<３７, 为自然数)？例如，当n=10、m=1, k=11时，第1至6月白鼠的对数均为1，也就是原来的这一对， 第7月2对：原来的1对加上这一对在第7月生育的1对，第8月 3对：原来的1对加上7月生育的1对，再加上8月生育的一对， 第9月5对：原来的一对，加上7月生育的1对，加上8月生育 的1对，再加上9月生育的2对，第10月5对，与第9月相同， 第11月4对（因为最初的这一对白鼠死亡）。
后代具有三种基因型的概率
父体——母体的基因型
AA－
AA
Aa－Aa aa－aa
后
AA
代
Aa
基
1
1/4
0
0
1/2
0
因
aa
型
0
1/4
1
解答
模型为： x(n) Ln x(0)
1 1/ 4 0 L 0 1/ 2 0
0 1/ 4 1 n
x1(n) x1(0) x2 (0) / 2, x2 (n) 0, x3(n) x3(0) x2 (0) / 2
点击（13）
点击（14）
点击（15）
关灯问题的数学建模
将此游戏转化成一个二元域 上的线性方程组的解的存在性 问题，并通过求解这个线性方 程组来得知我们最少需要多少 次的鼠标点击将棋盘全部变为 黑色.
此方法适用于一般n 个方格 的棋盘.为此下面讨论n × n 个
方格的棋盘. 用0 代表白色，1 代表黑色.
问出生的兔子都成活,试问一年以后共 有多少对兔子,两年后有多少对兔子?
直接推算
先直接推算，在第1月只有1对兔子;第2 月也只有一对兔子;在第3月这对兔子生了1 对小兔子,共有2对兔子;在第4月,老兔子又 生了1对小兔子,共有3对小兔子;在第5个月, 老兔子生1对小兔子,且在第3月出生的小兔 也生育1对小兔子,故共有5对小兔子,在第6 个月,老兔子、在第3、第4月出生的小兔子 各生1对小兔子,故共有8对小兔子.如此类推, 不难得到月份和小兔对数的关系如表1所示.
考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的， （A、a为表示两类基因的符号）那么就有 三种基因对，记为AA，Aa，aa。
双亲体基因型的可能结合 及其后代形成每种基因型的概率
练习
若在上述问题中，不选用基 因AA型的
植物与每一植物结合，而是将具有相同基 因型植物相结合，那么后代具有三种基因 型的概率将如何变化？请给出相邻两代基 因转换的概率，建立数学模型分析各代之 间概率变化的规律和极限。
设一农业研究所植物园中某植物的基 AA、Aa 和 aa 研究所计划采用
AA型的植物与每一种基因型植物相结合 的方案培育植物后代。问经过若干年后, 这种植物的任意一代的三种基因型分布 如何?
基因的继承
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的 基因对中各继承一个基因，形成自己的基 因时，基因对也称为基因型。如果我们所
该问题在理论状态下完全解决！
兔子能长生不老吗？
1） 兔子的寿命均为6个月，试讨论兔子数量变化 的 规律。
2） 所有兔子在每个月均死亡1/3，试讨论兔子数 量 变化的规律。
3） 所有兔子在每个月死亡的比例均是d，试讨论兔 子 数量变化的规律，并探讨兔子数量稳定时d的 值。
1）兔子的寿命为6个月时论兔子数量变化
2）兔子在每个月均死亡1/3时兔子数量变化的规 律
3）兔子在每个月均死亡d时兔子数量变化 的规律
进一步的推广
兔子出生后总共存活12月，从第7个月 后就开始生小兔,在第7、8这两个月中每月 每一对兔子恰好生1对小兔，从9、10两个 月月内每一对兔子恰好生2对小兔，然后停 止生育，在第12月末死亡问第k月有多少对 兔子？
关灯游戏（1）的一个解
这里我们给出一个解，并说明问题解决得思路，有 兴趣的同学可以尝试不同的思路。
点击粉红色的方块各一次就会全部变黑（共15次）
原始图形
点击（1）
点击（2）
点击（3）
点击（4）
点击（5）
点击（6）
点击（7）
点击（8）
点击（9）
点击（10）
点击（11）
点击（12）
6.2 植物基因的分布
随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘， 人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注 意。无论是人，还是动、植物都会将本身 的特征遗传给下一代，这主要是因为后代 继承了双亲的基因，形成自己的基因对， 由基因又确定了后代所表现的特征。
植物基因的分布的变化
6.4 森林管理问题
6.6 关灯游戏
题目 考虑下述定义的关灯游戏: 给定一个 5 × 5方格的棋
盘，每个方格有白色和黑色两种状态，当用鼠标点击 其中任何一个方格时，则使这个方格自身及与之相邻 的上、下、左、右四个方格都改变状态，即原来是白 色的则变为黑色，原来是黑色的则变为白色. 对处于棋 盘边缘的16 个方格，它们的这四个邻居可能不全存在， 那么我们只考虑那些存在的方格。
1, 2, ..., n2
最后的求解结果
6.3 常染色体隐性疾病模型(略)
遗传性疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子 代的疾病。常染色体遗传的正常基因记为A,不正常的 基因记为a,并以AA、Aa、aa分别表示正常人、隐性患 者、显性患者的基因型。若在开始时的一代人口中AA、 Aa、aa型基因的人所占百分比分别为a0、b0、c0,讨论 在下列两种情况下第n代中三类基因型人口所占的比例： (1) 控制结合: 显性患者不能生育后代,且为了使每个儿童 至少有一个正常的父亲或母亲,正常人、隐性患者必须 与一个正常人结合生育后代; (2) 自由结合: 这三种基因的人任意结合生育后代。
第6章 代数模型
应用线性代数解决一些实际问题 6.1 兔子数量增长 6.2 植物基因的分布 6.3 常染色体的隐性疾病 6.4 森林的管理 6.5 加密与解密 6.6 关灯游戏中代数问题
ຫໍສະໝຸດ Baidu
6.1 兔子数量增长
一地区开始时有10000对刚出生的小兔。 设兔子出生以后两个月就能生小兔,如果每 月每对兔子恰好生一对小兔。
(1) 假定棋盘的初始状态为所有方格全部为白色，问游戏 者是否可以通过点击鼠标将棋盘的所有方格全部变为 黑色（称为一个可行策略）？若可以，如何进行游戏， 使点击鼠标的次数尽可能少（称为最优策略）. 你的方 法能否推广到棋盘有个方格的一般情形n×n
(2) 假定棋盘的初始状态为一个残局：部分方格为白色， 部分方格为黑色，假如你继续点击下去，你能否有一 个简明的方法判断，该残局能否最终使所有方格为黑 色， 或者变成给定的状态，例如是否可以通过有限次 的点击将左图变为右图？
白鼠的数量
一种实验用白鼠出生后总共存活n个月9<n<13，n为 自然数)，从第7个月后就开始生小白鼠,在第7、8这两个月中 每月每一对白鼠恰好生1对小白鼠，从第9个月起的m个月内 每一对白鼠恰好生2对小白鼠0<m<３,m为自然数)，然后停 止生育，在第n月末死亡（第n个月这些白鼠的数量还计算在 内）。在这个实验室环境中可以舒适地生存100对白鼠。每 一月先计算从上一月存活下来的白鼠，当某月从上一月存活 下来的白鼠的数量超过100对时，该月出生的小白鼠将被转 移到别的实验室。设开始时有1对刚出生的小白鼠，问第k月 有多少对白鼠(0<k<３７, 为自然数)？例如，当n=10、m=1, k=11时，第1至6月白鼠的对数均为1，也就是原来的这一对， 第7月2对：原来的1对加上这一对在第7月生育的1对，第8月 3对：原来的1对加上7月生育的1对，再加上8月生育的一对， 第9月5对：原来的一对，加上7月生育的1对，加上8月生育 的1对，再加上9月生育的2对，第10月5对，与第9月相同， 第11月4对（因为最初的这一对白鼠死亡）。
后代具有三种基因型的概率
父体——母体的基因型
AA－
AA
Aa－Aa aa－aa
后
AA
代
Aa
基
1
1/4
0
0
1/2
0
因
aa
型
0
1/4
1
解答
模型为： x(n) Ln x(0)
1 1/ 4 0 L 0 1/ 2 0
0 1/ 4 1 n
x1(n) x1(0) x2 (0) / 2, x2 (n) 0, x3(n) x3(0) x2 (0) / 2
点击（13）
点击（14）
点击（15）
关灯问题的数学建模
将此游戏转化成一个二元域 上的线性方程组的解的存在性 问题，并通过求解这个线性方 程组来得知我们最少需要多少 次的鼠标点击将棋盘全部变为 黑色.
此方法适用于一般n 个方格 的棋盘.为此下面讨论n × n 个
方格的棋盘. 用0 代表白色，1 代表黑色.
问出生的兔子都成活,试问一年以后共 有多少对兔子,两年后有多少对兔子?
直接推算
先直接推算，在第1月只有1对兔子;第2 月也只有一对兔子;在第3月这对兔子生了1 对小兔子,共有2对兔子;在第4月,老兔子又 生了1对小兔子,共有3对小兔子;在第5个月, 老兔子生1对小兔子,且在第3月出生的小兔 也生育1对小兔子,故共有5对小兔子,在第6 个月,老兔子、在第3、第4月出生的小兔子 各生1对小兔子,故共有8对小兔子.如此类推, 不难得到月份和小兔对数的关系如表1所示.
考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的， （A、a为表示两类基因的符号）那么就有 三种基因对，记为AA，Aa，aa。
双亲体基因型的可能结合 及其后代形成每种基因型的概率
练习
若在上述问题中，不选用基 因AA型的
植物与每一植物结合，而是将具有相同基 因型植物相结合，那么后代具有三种基因 型的概率将如何变化？请给出相邻两代基 因转换的概率，建立数学模型分析各代之 间概率变化的规律和极限。
设一农业研究所植物园中某植物的基 AA、Aa 和 aa 研究所计划采用
AA型的植物与每一种基因型植物相结合 的方案培育植物后代。问经过若干年后, 这种植物的任意一代的三种基因型分布 如何?
基因的继承
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的 基因对中各继承一个基因，形成自己的基 因时，基因对也称为基因型。如果我们所
该问题在理论状态下完全解决！
兔子能长生不老吗？
1） 兔子的寿命均为6个月，试讨论兔子数量变化 的 规律。
2） 所有兔子在每个月均死亡1/3，试讨论兔子数 量 变化的规律。
3） 所有兔子在每个月死亡的比例均是d，试讨论兔 子 数量变化的规律，并探讨兔子数量稳定时d的 值。
1）兔子的寿命为6个月时论兔子数量变化
2）兔子在每个月均死亡1/3时兔子数量变化的规 律
3）兔子在每个月均死亡d时兔子数量变化 的规律
进一步的推广
兔子出生后总共存活12月，从第7个月 后就开始生小兔,在第7、8这两个月中每月 每一对兔子恰好生1对小兔，从9、10两个 月月内每一对兔子恰好生2对小兔，然后停 止生育，在第12月末死亡问第k月有多少对 兔子？
关灯游戏（1）的一个解
这里我们给出一个解，并说明问题解决得思路，有 兴趣的同学可以尝试不同的思路。
点击粉红色的方块各一次就会全部变黑（共15次）
原始图形
点击（1）
点击（2）
点击（3）
点击（4）
点击（5）
点击（6）
点击（7）
点击（8）
点击（9）
点击（10）
点击（11）
点击（12）
6.2 植物基因的分布
随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘， 人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注 意。无论是人，还是动、植物都会将本身 的特征遗传给下一代，这主要是因为后代 继承了双亲的基因，形成自己的基因对， 由基因又确定了后代所表现的特征。
植物基因的分布的变化
6.4 森林管理问题
6.6 关灯游戏
题目 考虑下述定义的关灯游戏: 给定一个 5 × 5方格的棋
盘，每个方格有白色和黑色两种状态，当用鼠标点击 其中任何一个方格时，则使这个方格自身及与之相邻 的上、下、左、右四个方格都改变状态，即原来是白 色的则变为黑色，原来是黑色的则变为白色. 对处于棋 盘边缘的16 个方格，它们的这四个邻居可能不全存在， 那么我们只考虑那些存在的方格。