数学模型之代数模型
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
小学数学三种模型思想的构建策略
小学数学三种模型思想的构建策略
小学数学三种模型思想是代数模型、几何模型和统计模型。
下
面是构建这三种模型思想的策略：
1. 代数模型思想：
（1）用字母代替数字，建立代数方程或不等式。
（2）运用常识、逻辑和推理能力，在实际情境中建立代数模型。
（3）学会转化问题，将实际问题转化为代数模型，再运用代数
技巧进行解决。
2. 几何模型思想：
（1）将实际问题转化为几何图形，以几何图形为载体进行分析。
（2）注意几何图形的特征，处理几何图形之间的关系，掌握几
何知识，辨别几何概念。
（3）注意几何思维的空间感知和视觉能力，将几何图形映射到
具体场景中，抽象、逻辑化和实际化相结合。
3. 统计模型思想：
（1）识别变量和数据，建立统计模型。
（2）巧妙选择统计方法，让样本数据代表总体数据，从而进行
推断。
（3）重视数据的收集、整理、分析和解释，以及数据的可视化
呈现。
初中数学48种模型
初中数学48种模型初中数学有很多种模型，其中包括代数模型、几何模型、数据统计模型等等。
接下来将介绍其中的一些重要模型。
首先是代数模型。
代数模型是数学中的一种重要模型，它主要涉及到的内容包括代数式、方程、函数等。
代数模型可以帮助我们解决各种实际问题，如应用方程进行运算、解决实际问题中的未知数等。
在代数模型中，我们需要掌握各种基本代数运算法则，如四则运算、指数运算、根式运算等。
我们还需要学会代数方程的解法，如一元一次方程、一元二次方程的解法等。
第二种模型是几何模型。
几何模型主要涉及到的内容包括图形的性质、图形的相似、图形的对称等。
几何模型可以帮助我们理解图形的特点，如角的性质、线段的性质等。
在几何模型中，我们需要学会计算图形的面积、周长等。
我们还需要了解不同图形之间的关系，如相似图形、全等图形等。
第三种模型是数据统计模型。
数据统计模型主要涉及到的内容包括统计图表的制作、数据的分析与解释等。
数据统计模型可以帮助我们理解数据的变化规律，如数据的集中趋势、离散趋势等。
在数据统计模型中，我们需要学会制作各种统计图表，如条形图、折线图、饼图等。
我们还需要学会从统计图表中分析数据，解释数据的意义。
除了上述三种模型，初中数学还包括其他模型，如概率模型、函数模型等。
概率模型主要涉及到的内容包括事件的概率、随机事件等。
函数模型主要涉及到的内容包括函数的概念、函数的性质等。
初中数学的模型是相互关联的，它们之间有时会有交叉运用。
比如，我们在解决一些实际问题时，可能既需要运用到代数模型，又需要运用到几何模型。
因此，我们需要全面了解各种模型的知识，灵活运用。
总结起来，初中数学的模型包括代数模型、几何模型、数据统计模型等等。
掌握这些模型的知识可以帮助我们解决各种实际问题，在数学学习中起到重要的作用。
同时，这些模型彼此之间有着联系和交叉，我们需要综合运用这些模型来解决复杂的问题。
通过不断学习和实践，我们能够提高数学理解能力和解决问题的能力。
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型是运用数学方法描述现实或抽象问题的一种工具或方法。
数学模型又可分为解析模型和仿真模型两种。
解析模型是指基于已知公式和数据进行分析求解，得到数学表达式或数值解的模型。
仿真模型是指利用计算机建立的模拟系统模型，根据模型建立的规则模拟输入变量所产生的输出结果。
数学建模是指通过数学知识把实际问题抽象为数学问题，并基于其建立数学模型。
数学建模技术可应用于各个领域，如自然科学、工程技术、社会科学、医学等。
下面就对数学模型和数学建模的一些概念和应用进行详细介绍。
一、数学模型的分类数学模型主要包括解析模型和仿真模型。
下面分别介绍：1、解析模型解析模型是指通过已知数据和公式，进行分析推导求解数学表达式或数值解的模型。
它是基于数学理论和分析方法的，其主要步骤为：建立问题的数学模型、求解模型、验证模型和应用模型。
解析模型主要包括以下几种类型：（1）几何模型几何模型是指通过几何图形描述实际问题的模型。
如，根据实际问题的条件，建立几何图形，求解图形的面积、周长、体积等数学问题，就是利用几何模型进行的建模。
几何模型常用于计算机图形学、工程地质学、建筑工程学等领域。
（2）微积分模型微积分模型是指通过微积分的方法求解实际问题的模型。
微积分是数学分析的基础，微积分模型广泛应用于科学工程领域。
如在热力学、流体力学、电磁学、生物学等领域，常用微积分模型来研究问题。
（3）代数模型代数模型是指通过代数方程和不等式描述实际问题的模型。
如根据实际问题建立代数模型求解方程组、解析几何等问题。
代数模型广泛应用于物理、经济、金融等领域。
（4）概率统计模型概率统计模型是指通过概率统计理论描述实际问题的模型。
如，许多保险公司的经营决策是基于概率统计模型的建立和分析的。
又如，酒店的房价决定也取决于概率统计模型。
2、仿真模型仿真模型是指利用计算机模拟系统建立的模型。
计算机可以模拟出一些人工难以模拟或难以观测的复杂系统，并通过模拟结果对系统进行推理分析或进行决策。
初中数学代数模型总结大全
初中数学代数模型总结大全代数模型是将数学概念应用于实际问题中的一种方法，是数学解决实际问题的重要手段。
初中数学中，代数模型是一个非常重要的知识点，通过代数模型可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地解决问题。
本文将总结初中数学代数模型的相关知识点。
一、代数式的应用代数式是代数模型的基石，它是由字母和数字组成的一种式子，可以代表一些具体的数值。
在实际问题中，代数式可以帮助我们描述一系列数学关系。
例如，可以通过代数式描述物体的运动状态，解决面积和周长的问题等等。
从代数式的应用到实际问题中，我们需要了解代数式的一些性质和运算法则，如加、减、乘、除等，以及各种常见代数式的含义和应用。
在学习过程中多加练习，可以掌握代数式的运用能力。
二、一元一次方程式的应用一元一次方程式是一种形如ax+b=c的式子，其中a、b、c是确定的数字或变量，x为未知数。
一元一次方程式是数学中最简单的方程式。
在实际问题中，一元一次方程式可以用来解决一些实际的数学问题，例如求未知数的值、解决搬运问题等等。
学习一元一次方程式，需要熟练掌握方程式的基本原理和解题方法。
在学习过程中，可以通过练习类似的数学题目，加深对方程式解题的理解。
二元一次方程组由两个一元一次方程组成，其中每个方程有两个未知数。
在实际问题中，二元一次方程组可以用来描述两个未知数之间的关系。
函数是一种在数学上描述输入和输出之间的关系的工具。
在实际问题中，函数可以用来描述一些复杂的数学关系，例如动态规划问题、贝叶斯公式等。
五、三角函数的应用六、指数和对数的应用指数和对数是一种描述数值增长和减少的工具。
在实际问题中，指数和对数可以用来计算复利、解决乘法和除法问题等等。
二次函数是一种非常常见的函数类型，在实际问题中，二次函数可以用来描述一些变化情况，例如汽车行驶路程、人口增长等等。
总之，代数模型在初中数学中占据重要地位，掌握代数模型的应用，可以更加深入地理解数学知识，更好地解决实际问题。
中考数学71个模型
中考数学71个模型中考数学常见的题型包括选择题、填空题、计算题和应用题。
以下是一些出现的数学模型题：1.几何模型：包括求解图形面积、周长、体积等几何题目，如计算矩形、三角形、圆的面积、周长等。
2.暗盒模型：通过给定条件，使用代数建模解决问题，如解方程、组织代数式等。
3.比例模型：涉及到比例关系的问题，如长、宽、高的比例、速度、时间、距离的比例等。
4.函数模型：涉及到函数关系的问题，如函数的定义、求最值、函数图像的性质等。
5.利益模型：涉及到利益、利率、本金、时间的关系，如求解利息、本金、时间的问题。
6.速度模型：涉及到速度、时间、距离的关系，如求解两车相遇的时间、相遇的地点等。
7.图表模型：通过描述、解读和分析图表数据来回答相关问题，如求解平均数、中位数、众数等问题。
8.张弛模型：涉及到加减乘除的问题，如商与余数的关系、面积和周长的关系等。
9.综合模型：将多个数学知识点结合起来综合运用，解决实际问题。
1.比例模型：甲乙两人的身高比例是3:4，甲的身高是150厘米，那么乙的身高是多少厘米？2.几何模型：一个长方形花坛的长是6米，宽是4米，如果要用正方形的花砖铺满整个花坛，每块花砖边长是0.2米，需要几块花砖？3.张弛模型：一个数的四倍加上7等于27，求这个数是多少？4.几何模型：一个直径为16厘米的圆形花坛需要修建一个环形边界，内径是10厘米，外径是14厘米，这个环形边界的周长是多少厘米？5.利益模型：小明存入银行1000元，按年利率5%，一年后可以得到多少利息？6.函数模型：某商品的销售价格为x元，根据销售量的不同，价格和销售量之间的关系可以表示为y = 2x + 15，如果销售量是100，那么商品的销售价格是多少元？7.比例模型：小红通过比例尺绘制了一幅图，比例尺是1:5000，她测量了图上两个点之间的距离为2厘米，实际的距离是多少米？8.图表模型：根据一张成绩表格，某班级30名学生的数学考试成绩的平均分为85分，如果其中一名学生的成绩被记作90分，那么班级的新平均分是多少？9.综合模型：小明骑自行车从A点出发，速度是12千米/小时，小红从相同的地点出发，速度是16千米/小时，A点到B点的距离是30千米，小明和小红同时出发，他们几点钟在B点相遇？10.图表模型：根据某市最近10天的气温数据，制作了一份折线图，可以看出温度的最高值是35摄氏度，最低值是15摄氏度，那么这10天内的平均温度是多少摄氏度？11.综合模型：小明爬上一座山峰，开始时他离山脚1000米，每10分钟他爬升200米，那么他爬到山顶需要多少时间？12.暗盒模型：一个数字x加上7的一半等于15，求这个数字x是多少？13.比例模型：小明以每分钟30个字的速度打字，如果他打了20分钟，他一共打了多少个字？14.几何模型：一个正方形花坛的周长是20米，求花坛的面积是多少平方米？15.函数模型：某商品的原价是x元，经过打折后销售价为原价的80%，如果现在的销售价是96元，那么原价x是多少元？16.利益模型：小明存入银行2000元，按年利率2.5%，存款一年后可以得到多少利息？17.速度模型：一个人以每小时5千米的速度骑自行车，另一个人以每小时8千米的速度骑自行车，如果他们分别从同一地点出发，两人相距40千米，他们相遇需要多少小时？18.图表模型：某班级有30名学生，根据最近一次考试成绩，制作了一张成绩表，表中A的人数是10人，B的人数是12人，C的人数是8人，D的人数是0人，那么没有得到D的学生所占的百分比是多少？19.比例模型：小红和小明一起放风筝，小红放了6个风筝，小明放了9个风筝，那么他们两个人放风筝的总数和小红放的风筝数量的比是多少？20.几何模型：一个三角形的两边长分别是4厘米和6厘米，夹角的正弦值是多少？21.综合模型：一个管道开关一分钟可以注满1/5的水池，那么这个水池需要多少分钟才能被注满？22.利益模型：小明借给小红200元，小红答应每月还50元，那么小红还完这笔借款需要多少个月？23.函数模型：某商品的售价与进价的关系是y = 0.8x + 5，如果进价是100元，那么售价是多少元？24.暗盒模型：一个数减去12的两倍等于4，求这个数是多少？25.比例模型：一个长方形花坛的长是8米，宽是4米，如果要用正方形的花砖铺满整个花坛，每块花砖边长是0.5米，需要几块花砖？26.图表模型：根据一份成绩单，某班级40名学生的数学考试平均成绩是80分，如果班级再加入一名学生，这名学生的分数是70分，那么新的平均分是多少？27.几何模型：一个圆形花坛的半径是5米，求花坛的周长是多少米？28.张弛模型：一个数的四分之一加上3等于7，求这个数是多少？29.函数模型：某商品的销售价格为x元，根据销售量的不同，价格和销售量之间的关系可以表示为y = 3x + 20，如果销售量是200，那么商品的销售价格是多少元？30.比例模型：小华通过比例尺绘制了一张图，比例尺是1:1000，她测量了图上两个点之间的距离为2厘米，实际的距离是多少米？31.综合模型：小明骑自行车从A点出发，速度是10千米/小时，小红从相同的地点出发，速度是15千米/小时，A点到B点的距离是50千米，小明和小红同时出发，他们几点钟在B 点相遇？32.暗盒模型：一个数的四分之一加上6等于18，求这个数是多少？33.几何模型：一个圆形花坛的直径是10米，求花坛的面积是多少平方米？34.张弛模型：一个数的三倍减去2等于16，求这个数是多少？35.几何模型：一个长方形花坛的周长是28米，如果宽是6米，求花坛的长度是多少米？36.比例模型：小明和小红一起种葡萄，小明种了10棵葡萄藤，小红种了15棵葡萄藤，他们两个人种了多少棵葡萄藤？37.函数模型：某商品的原价是x元，通过打折后销售价为原价的75%，如果现在的销售价是120元，那么原价x是多少元？38.利益模型：小明存入银行5000元，按年利率4%，存款一年后可以得到多少利息？39.速度模型：一个人以每小时6千米的速度骑自行车，另一个人以每小时9千米的速度骑自行车，如果他们分别从同一地点出发，两人相距30千米，他们相遇需要多少小时？40.比例模型：一个班级有36名男生和24名女生，男生和女生的比例是多少?41.图表模型：根据某市最近7天的气温数据，制作了一份线形图，可以看出气温的最高值是28摄氏度，最低值是18摄氏度，那么这7天内的平均温度是多少摄氏度？42.利益模型：小明借给小红1000元，小红答应每月还利息5%，每个月还300元，那么小红还完这笔借款需要多少个月？43.综合模型：小明骑自行车从A点出发，速度是15千米/小时，小红从相同的地点出发，速度是10千米/小时，A点到B点的距离是50千米，小明和小红同时出发，他们几点钟在B 点相遇？44.函数模型：某商品的售价与进价的关系是y = 0.9x + 10，如果进价是200元，那么售价是多少元？45.张弛模型：一个数的五倍减去4等于16，求这个数是多少？46.比例模型：一根绳子，一半的长度等于全长的四分之三，求这根绳子的长度是多少？47.几何模型：一个圆形花坛的直径是8米，求花坛的周长是多少米？48.综合模型：一个管道每分钟可以灌满1/6的水池，那么这个水池需要多少分钟才能被灌满？49.图表模型：某班级有40名学生，根据一份成绩单，平均成绩是80分，如果其中一名学生成绩被记为90分，那么新的平均分是多少？50.函数模型：某商品的销售价格为x元，根据销售量的不同，价格和销售量之间的关系可以表示为y = 5x + 50，如果销售量是300，那么商品的销售价格是多少元？51.暗盒模型：一个数加上4的一半等于10，求这个数是多少？52.比例模型：一个三角形的顶角是60度，底边长度是8厘米，求三角形的高是多少厘米？53.几何模型：一个长方形花坛的周长是18米，如果长度为4米，求花坛的宽是多少米？54.张弛模型：一个数的五分之一加上6等于14，求这个数是多少？55.几何模型：一个长方形花坛的长是10米，宽是6米，如果要用正方形的花砖铺满整个花坛，每块花砖边长是0.5米，需要几块花砖？56.函数模型：某商品的原价是x元，通过打折后销售价为原价的70%，如果现在的销售价是168元，那么原价x是多少元？57.利益模型：小明存入银行3000元，按年利率3%，存款一年后可以得到多少利息？58.速度模型：一个小汽车以每小时50千米的速度行驶，行驶了4个小时后，它行驶的距离是多少千米？59.图表模型：某商店商品的售价打9折后是120元，原售价是多少元？60.比例模型：一次活动中，男生和女生的比例是2:3，如果男生有24人，那么女生有多少人？61.张弛模型：一个数的三分之一减去4等于8，求这个数是多少？62.应用模型：某超市购买3件衣服可以打7折，原价是200元的一件衣服，现在买3件需要支付多少元？63.函数模型：某商品的售价与进价的关系是y = 0.85x + 15，如果进价是400元，那么售价是多少元？64.平均数模型：某班级有40名学生，某次考试的平均成绩是85分，如果其中一名学生的成绩被记作100分，那么新的平均分是多少？65.几何模型：一个直径为12米的圆形花坛需要修建一条围墙，围墙的高度是1.5米，这个围墙的周长是多少米？66.暗盒模型：一个数的三倍减去5等于13，求这个数是多少？67.比例模型：小明准备用金字塔形的玻璃瓶摆放石头，每层石头的数量是前一层的2倍，如果金字塔共有4层，一共需要多少块石头？68.函数模型：某商品的销售价格为x元，根据销售量的不同，价格和销售量之间的关系可以表示为y = 10x + 100，如果销售量是500，那么商品的销售价格是多少元？69.张弛模型：一个数的四倍加上3等于27，求这个数是多少？70.几何模型：一个长方形花坛的长是12米，宽是8米，求花坛的面积是多少平方米？71.综合模型：小明骑自行车从A点出发，速度是12千米/小时，小红从相同的地点出发，速度是18千米/小时，A点到B点的距离是60千米，小明和小红同时出发，他们几点钟在B 点相遇？请注意，这是一些常见的数学模型题的示例，具体的题目形式和难度可能会根据不同的考试和教材有所变化。
3.2 数学应用题的常见代数模型类型--代数式的应用--叶声扬
3.2 代数式的应用代数式是最基本的数学语言之一．它能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、由特殊到一般的数学思维过程，也是描述和表达数学应用题的常见数学模型之一.例l 有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3；C 、D 的底面边长均为a;A 、C 的高均为3；B 、D 的高均为a ．在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和．（2000年上海市初中数学竞赛试题）分析 分别算出四个容器的容积，然后逐一计算“两容器的容积之和”与“另外两容器的容积之和”的差，运用代数式运算的有关性质判断该差的正负，据此作出判定．解 .,3,9,2732a V a v a V V D C B A ====),3()3()3()3(9)()(22a a a a a v v V v D C B A -+=+-+=+-+-+)(C A V v 3)(=+D B V v),9)(3()9()9(222a a a a a +-=+-+=+-+)()(C B D A v V V V .)3)(3()3(3)27(23a a a a a -+=+-+因为,3=/a 所以0)3)(3(2>-+a a （显然a>0）． 故可断定A 和D 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和，例2 据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有=T 2d kmn 的关系（k 为常数）．现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图3-1所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t 次．那么，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）．（2004年“TRUIY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）分析 根据A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t 次，利用关系式,,2dkmn T =求出k ，然后计算出 ,.,BC T解 根据题意，有,16080502k t ⋅⨯=故可得.532t k = 因此，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为：=⨯⨯=232010080k T BC 2645532t t =⨯（次）． 例3 容器A 中盛有浓度为a%的农药溶液m 升，容器B 中盛有浓度为b%的同类农药溶液m 升（a>b ），现将A 中药液的41倒入B 中，混合均匀后再由B 倒回溶液A ，使A 中的药液恢复为m 升，则互掺后A 、B 两容器中的药量差比互掺前A 、B 两容器中的药量差减少了 升．（1997年“希望杯”数学邀请赛初一试题）分析 根据“溶质”、“浓度”、“溶液”三者间的关系：溶质一溶液×浓度，正确运用代数式运算的性质进行计算．解 互掺后A 、B 两容器药液浓度：B 容器药液浓度)%,5()4(%)4%(m a mb =+÷+= A 容器药液浓度)%,54()%]54(4%43[b a m b a m ma +=÷++= 掺前A 、B 药量差)%,(%%b a m mb ma -=-=掺后A 、B 药量差)%.(53)%5454(b a m b a b a m -=+-+= 所以掺前A 、B 药量差减去掺后A 、B 药量差为---a m b a m （53)%()%.(52)%b a m b -= 例4 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了( )．（2001年全国初中数学竞赛山东省预赛试题）%2)(x A %21)(x B + %)1)((x xy c + %%)2)((x x D +解 设第一季度的产值为a ，则第二季度的产值为%),1(x a +第三季度的产值为,1(200x a +所以第三季度比第一季度增长了222%)(%21%)1(%)1(x x x aa x a +=-+=-+ %.%)2(x x +=所以选(D)．说明注意“增长了”与“增长”这两个词的区别，前者指的是产值的百分率， 后者指的是产值的绝对量．例4 在正常情况下，一个司机每天驾车行驶t 小时，且平均速度为v 千米／小时，若他一天内多行驶1小时，平均速度比平时快5千米／小时，则比平时多行驶70千米，若他一天内少行驶1小时，平均速度比平时慢5千米／小时，他将比平时少行驶()．（2001年“希望杯”数学邀请赛初二试题）(A) 60千米 (B) 70千米 (C) 75千米 (D) 80千米分析 本题中的未知量个数多于等量关系式的个数，因此要求得具体的数值，可考虑用“整体把握”的基本策略．解 由题意知：,70)5()1(=-+⋅+vt v t 即.7055=++v t所以.655=+v t若每天少行驶1小时，且速度比平时慢5 km/h ，则)5()1(-⋅--v t vt t vt vt 5+-=605=-+v km ． 例5 如图3-2，A 和B 是高度同为h 的圆柱形容器，底面半径分别为r 和R ，且r<R. -水龙头单独向A 注水，用T 分钟可以注满容器A.现将两容器在它们高度的一半处用一个细管连通（连通细管的容积忽略不记），仍用该水龙头向A 注水，问2T 分钟时，容器A 中水的高度是多少？（注：若圆柱体底面半径为R ，高为h ，体积为V ，则.)2h R V π=（2000年“希望杯”数学邀请赛初一试题）分析 由于R>r ，但R 与r 的具体倍数关系不明，于是容器A 、B 的体积间倍数关系不明，这样2T 分钟注入A 容器的水流到B 容器水的水面位置可能低于连接A 、B 的细管的高度，也可能高于这个高度．因此，必须分类讨论，才能正确回答，解 记A 、B 的容积分别为,B A v v 、则,,22h R V h r v B A ππ==所以2T 分钟共注入A V 2的水，其中A v 21 的水一定在A 容器中，还有A v 23的水． 当A B V v 3≥时，A V 23的水最多装满容器B 的一半，这些水都沿连通细管流入容器B 中，容器A 中水高保持在2h 的高度． 当A B V V 3<时，A V 23的水有B V 21的水装满容器B 的一半，剩下的)3(21B A v V -的水在容器A 和B 中，由于水往低处流，所以容器A 和B 中的水高应一样，设容器A 中水高为H ，则),(2222R r H h r +=ππ所以 ⋅+=2222R r h r H 答：当223r R ≥时，A 中水高为;2h 当223r R <时，A 中水高为⋅+222.2R r h r 例6 甲、乙两同学是邻居，在某个季度里他们相约到一家商店去买若干次白糖，两人买糖的方式不同：甲每次总是买1千克白糖，乙每次总是买1元钱白糖．而白糖的价格是变动的，试问这两位同学买白糖的方式哪一种比较合算？先弄清楚什么叫“合算”．单看这个季度里谁买的白糖多或谁花的钱少都不对，应计算各人平均每千克白糖花多少钱（单价），单价低的就合算．按下列过程填空、回答：设两人相约买了n 次白糖（n>l ），各次白糖的价格分别为、、...21x x n x 元／千克． 甲共买白糖 千克，总计花去 元，平均每千克白糖的单价是a= ，乙共买白糖 千克，总计花去 元，平均每千克白糖的单价是b= ;试设计一组具体的数据，比较a 、b 的大小，再据此猜想在一般情况下，谁比较合算．（2002年广西初中数学竞赛试题）解 甲：n 千克，总计花去n x x x +++ 21（元），平均每千克单价=a n x x x n +++ 21（元／千克）． 乙：买n x x x 11121+++ （千克），总计花去n 元，平均每千克单价=b nx x x n 11121 ++（元／千克）． 取,2,1,221===x x n 得.,34,5.1b a b a >== 一般地，当n>l 且白糖价格不是常数时，乙买糖的方式比较合算，现对2=n 时作如下证明：此时,221x x a +=211.2,112212121x x x x b a x x b ++=+==++=422112x x x x .1444)(422112=≥-+x x x x 所以 .b a ≥当3≥n 时的证明因涉及到更多知识，故这里不作介绍，说明 本例揭示了由具体到抽象、由特殊到一般的数学思维过程．习 题 3.21 某工厂到车站的路程为m 千米，现有一辆汽车从工厂到车站拉货，去时的速度为3a 千米／时，返回时的速度为2a 千米／时，那么这辆车往返一次的平均速度为( )．（1999年“希望杯”数学邀请赛初二试题）a A 25)(千米／时 ma B 52)(千米／时 a C 37)(千米／时 a D 512)(千米／时 2 夏季T 恤衫的售价比春季的售价上浮a%，年终又比夏季下调a%．若年终售价是春季售价的x 倍，则x 等于( )．（1998年山东省初中数学竞赛试题）1)(A 100001)(a B - 100001)(2a C + 100001)(2a D - 3 设轮船在静水中速度为口，该船在流水(速度为u<v)中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ；假设u=0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回A ，所用时间为t ，则( )．（2000年“五羊杯”数学竞赛初二试题）t T A =)( t T B <)( t T c >)( (D)不能确定T ，t 的大小关系4 如图，啤酒瓶高为h ，瓶内酒面高为a ，若将瓶盖盖好后倒置，酒面高为),(h b a a =+则酒瓶的容积与瓶内酒的体积之比为( )．a b A +1)( b a B +1)( a b C +1)( ba D +⋅1)(5一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4h ，从乙地到甲地逆流行驶需6h ，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 h ．（第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）6 如图，用3根火柴可以摆出第(1)个正三角形，加上2根火柴可以摆出第(2)个正三角形，再加上2火柴就可以摆出第(3)个正三角形……这样继续摆下去，当摆出第（n ）个正三角’形时，共用了火 柴 根（用含有n的式子表示）．7 有男女两个运动队，男队有队员m 人，女队有队员n 人（m>10，n>10），先从男队中调10人到女队帮助训练，训练后又从女队中调10人（这10人中可以有原来男队中的队员）去男队参加总结，这时，男队中有n 个女队员，女队中有6个男队员，那么a 、b 的大小关系是( )．（1997年“希望杯”数学邀请赛初二试题）b a A >)( b a B <)( b a C =)( (D)当n m ≥时，;b a ≥当n m <时，b a < 8 甲、乙两人相距k 公里，他们同时乘摩托车出发．若同向而行，则r 小时后并行；若相向而行，则t 小时后相遇，较快者的速度与较慢者速度之比是( )．（197年“五羊杯”数学竞赛初一试题）t r t r A -+)( t r r B -)( k r k r C -+)( kr k r D +-)( 9 甲杯中盛有m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯中（O<a<m ），搅匀后，又从乙杯倒出口毫升到甲杯中，则这时( )．（第一届“希望杯”数学邀请赛初一第二试试题）(A)甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少(B)甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多(C)甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同(D)甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定10 轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )．（第一届“希望杯”数学邀请赛初一第一试试题）(A)增多 (B)减少 (C)不变 (D)增多、减少都有可能参考答案。
浙江大学数学建模第四章基于线性代数与差分方程方法的模型
2.移位密码体制
移位密码采用移位法进行加密，明文中的字母重新排列，本 身不变，只是位置改变了。 另一种移位 法采用将字母表中的字母平移若干位的方法来构造 早在4000多年前，古希腊人就用一种名 叫“天书”的器械 密文字母表，传说这类方法是由古罗马皇帝凯撒最早使用的， 来加密消息。该密码器械是用一条窄长的草纸缠绕在一个 故这种密文字母表被称为凯撒字母表。例如，如用将字母表向 直径确定的圆筒上，明文逐行横写在纸带上，当取下纸带 右平移3位的方法来构造密文字母表，可 得： 时，字母的次序就被打乱了，消息得以隐蔽。收方阅读消 明文字母表： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 息时，要将纸带重新绕在直径与原来相同的圆筒上，才能 密文字母表： DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC 看到正确的消息。在这里圆筒的直径起到了密钥的作用。 “WKDQN BRX” 因此 “THANK YOU” 以上两种移位较易被人破译，为打破字母表中原有的顺序还可 采用所谓路线加密法，即把明文字母表按某种既定的顺序安排 在一个矩阵中，然后用另一种顺序选出矩阵中的字母来产生密 文表。
§4.2 密码的设计，解码与破译
密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及 ,巴 比伦、罗马和希腊，历史极为久远 。古代隐藏信息的方法 主要有两大类： 其一为隐藏信息载体，采用隐写术 等； 其二为变换信息载体，使之无法为一般人所理解 。
初中数学代数模型
初中数学代数模型
哎呀，说起初中数学的代数模型，那可真是让我又爱又恨呐！
你们知道吗？代数模型就像是一个神秘的魔法盒子，你得找到正确的咒语才能打开它。
还记得刚开始学代数的时候，老师在黑板上写了一堆的字母和数字，我当时就懵了，这都是啥呀？就好像我走进了一个满是迷雾的森林，完全找不到方向。
比如说那个一元一次方程，“x + 5 = 10”，这简单吧？可当时对我来说，就像解一个超级大谜题。
我就在想，这个“x”到底是个啥玩意儿，为啥它一会儿在左边，一会儿又跑到右边去啦？
再看看那些整式、分式，哎呀呀，简直让人头晕眼花！就好比一群调皮的小猴子在我脑子里上蹿下跳，搞得我不知所措。
不过呢，后来和同学们一起讨论，互相帮忙，感觉就好多啦。
有一次，我和同桌小明一起研究一道代数题，我俩争得面红耳赤。
我大声说：“我觉得应该先这样算！”
小明也不甘示弱：“不对不对，得先那样！”
最后我们一起找到了正确的方法，那种开心的感觉，就像在大热天里吃了一大口冰淇淋，爽极啦！
还有啊，老师讲的那些解题技巧，就像是一把把神奇的钥匙，能打开代数模型这个神秘宝箱。
比如说合并同类项，这就好像把相同的水果放在一个篮子里，一下子就清楚多啦。
经过不断地努力，我慢慢发现，代数模型其实也没那么可怕。
它就像一个勇敢者的游戏，只要你敢于挑战，就能找到其中的乐趣。
所以呀，我觉得初中数学的代数模型虽然一开始让人头疼，但只要我们不害怕，多思考，多和同学老师交流，就一定能战胜它！这就跟我们爬山一样，过程可能很累
很辛苦，可当你站在山顶俯瞰美景的时候，就会觉得一切都值得啦！。
线性代数数学建模案例
【问题描述】： 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按 箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
400
500 1
x1
2 300
x2 100
3
200
x3 X4 4 300
图3 某城市单行线车流量示意图
现在需要解决的问题如下：
（1） 建立确定每条道路流量的线性方程组. （2） 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? （3） 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值.
【模型分析】
• 若令1 = (2, 3, 1, 1)T, 2 = (1, 2, 1, 1)T, = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有 解”, 也等价于“能否由1, 2线性表示”。
• 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体 积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情 况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.
图5 日常膳食搭配
图6 几种常见的作料
【模型准备】：
一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这 两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种 原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两 种规格的佐料按一定比例配制而成?
一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。 网络中的 点称作联结点(或节点)，网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指
定，并且流量(或流速)已知或者已标为变量。
x3
x1
60
x4
80
x2
(a)
x5 (b)
小学数学中主要的数学模型
2. 数的运算。 a+b=c，c－a =b, c－b＝a， a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b, c÷b＝a 四则运算关系式是小学数学最基本的数学模型，其 他很多模型都是在此基础上的进一步发展。 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
4．数学建模可分为以下几个层次。
第一，学生可以经历构建模型的探索过程。 现实生活中已有的数学模型基本上是数学家、物理 学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛 的研究创造出来的，使得我们能够享受现有的成果。 如阿基米德发现了杠杆定律：平衡的杠杆，物体到 杠杆支点的距离之比，等于两个物体质量的反比，即 Ｆ1：Ｆ2＝Ｌ2：L1。在学习了反比例关系以后，可 以利用简单的学具进行操作实验，探索杠杆定律。 再如各种图形的周长、面积、体积公式的探索，运 算定律的探索等等。
以上数量关系式的变式也很重要，可以培养学生的 逻辑思维和辩证思维能力。 速度一定：路程／时间＝定值 单价一定：总价／数量＝定值 工效一定：工作总量／时间＝定值 单产一定：总产／面积=定值 耗油量/千米一定：总耗油量／千米数=定值
下面讨论以数学模型为核心的问题解决的教学。 传统上应用题的结构是与四则运算、混合运算相匹 配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较， 现在有问题串，这些都是很好的做法和经验，是知识 结构的基础。这种结构是线性的。以基本模型和问题 为核心，构建问题链，可以是网状结构，从而最大限 度地整合丰富多彩的问题。
案例2：甲乙两地相距1200米，王老师以每分80米的 速度从甲地向乙地步行，同时一只狗以每分120米的速 度从甲地向乙地跑去，到达乙地后立即往回跑，与王 老师相遇后，继续重复以上动作，直到王老师到达乙 地为止。这只狗一共跑了多少米？ 分析：这道题的本质是关于s、v、t之间的数量关系， s=vt这一模型。求的是狗的s，v已经知道了，需要先 求出t；表面上看狗跑来跑去不知如何计算路程，实际 上狗跑的时间与王老师走的时间是相等的。 很显然，王老师走的时间很容易求出来。 t＝1200÷80＝15(分) s＝120×15=1800(米)
小学数学模型归纳总结
小学数学模型归纳总结数学是小学生学习中的重要科目之一，通过学习数学，可以培养孩子们的逻辑思维和问题解决能力。
而数学模型作为解决问题的工具，对于小学生的数学学习来说，尤为重要。
在本文中，我将对小学数学模型进行归纳总结，以帮助小学生更好地理解和运用数学模型。
一、几何模型几何模型主要与图形和空间的几何特征有关，常见的几何模型包括：1. 平面几何模型：平面几何模型主要涉及到平面内的图形，例如点、线、面以及与它们相关的性质和关系。
在几何学中，我们学习了许多平面图形的性质和计算方法，如线段的长度计算、角的度量等。
2. 立体几何模型：立体几何模型主要涉及到空间中的图形，例如长方体、正方体、圆柱体等。
通过学习立体几何模型，我们可以了解到不同图形的面积、体积以及它们之间的关系，如两个立方体的比较、不规则图形的面积计算等。
二、代数模型代数模型主要与数的运算和方程有关，常见的代数模型包括：1. 数的四则运算：数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
通过学习这些运算，我们可以快速计算数的结果，并应用到问题的解决中。
2. 算式模型：算式模型是使用代数符号表示数的运算和关系的模型。
例如，我们可以用代数符号表示两个数的和、差、积以及商，从而简化计算过程和表达方式。
3. 方程模型：方程模型主要涉及到等式的表示和求解。
通过学习方程模型，我们可以解决一些实际问题，如两个未知数的求解、物体运动的分析等。
三、统计模型统计模型主要与数据的收集、整理和分析有关，常见的统计模型包括：1. 数据统计模型：数据统计模型通过统计图表、频数统计和概率分布等方式，对数据进行整理和分析。
例如，我们可以通过条形图、折线图等形式，将数据按照一定的规律呈现出来，并对数据进行比较和分析。
2. 概率统计模型：概率统计模型主要涉及到事件的发生概率和事件之间的关系。
通过学习概率统计模型，我们可以了解到一些随机事件的发生规律，并用数学的方法进行计算和推理。
总结起来，小学数学模型主要涉及到几何模型、代数模型和统计模型。
模型04：代数模型
PART 01
代数模型概述
定义与特点
定义
代数模型是一种数学模型，通过代数方法和概念来描述和解决实际问题。
特点
具有抽象性、形式化、系统化、符号化等特征，能够简洁明了地表达复杂问题， 便于进行数学推理和分析。代数模型的应用领域 Nhomakorabea数学教育
用于解释和阐述数学概念、定 理和公式，帮助学生理解抽象
的数学问题。
PART 04
代数函数与图像
代数函数的定义与性质
代数函数的定义
代数函数是由代数运算（加、减、乘、除、乘方等）和常数经过有限次组合而成 的函数。
代数函数的性质
代数函数具有一些基本的性质，如连续性、可微性、可积性等，这些性质在研究 代数函数的图像和性质时非常重要。
代数函数的图像绘制
代数函数的图像绘制方法
$2x + 3 = 7$，解得 $x = 2$。
一元二次方程
01
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数是2的方程。
02
03
求解方法
实例
配方法、公式法、因式分解法等。
$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x_1 = 3, x_2 = -1$。
多元一次方程组
定义
含有两个或两个以上未知数，且每个未知数的次数都是1的方程组。
代数在经济问题中的应用
代数在经济问题中也有着重要的应用，例如在金融、经济计量学等领域中，代数可以用于描述经济现 象和预测经济趋势。例如，线性代数可以用于描述时间序列数据和经济计量模型，而概率论和数理统 计则可以用于风险评估和预测。
代数在经济问题中的应用还包括博弈论和决策理论，如期望效用理论、贝叶斯决策理论等，这些理论 在金融、市场营销和决策分析中有着广泛的应用。
初中代数中的几种常见数学模型
（ １） 求ｙ与ｘ的函数关系式。
（ ２） 若该班每年需要纯净水３８０
桶 ， 且ａ为１２０时 ， 请 你 根 据 提 供 的 信 息分析一下； 该班学生集体改饮桶装 纯净水与个人买饮料， 哪一种花钱更 少？
（ ３） 当ａ至少为多少时， 该班学生 集体改饮桶装纯净水一定合算？ 从计 算结果看， 你有什么感想？
ｘ＝４．２（ 元）
作者单位
该班学生集体饮用桶装纯净水
泸西县中枢镇中枢小学
的每年总费用为：
◇责任编辑 高 戈 李 酋◇
２８ 云南教育·中学教师 ２００７·６
就 能 通 过 运 用 函 数 的 知 识 、方 法 来 解
决有关的问题。
例４“ 龟兔赛跑”讲述了这样的
故事： 领先的兔子看着缓慢爬行的乌
龟， 骄傲起来， 睡了一觉， 当它醒来
时， 发现乌龟快到终点了， 于是急忙
追赶， 但为时已晚， 乌龟还是先到达
了 终 点 … … 。用 Ｓ１、Ｓ２分 别 表 示 乌 龟 和 兔子所行路程， ｔ为时间， 则下列图象
模型， 如： 方程模型、不等式（ 组） 模型 们可以建立数学模型为：
购买备选奖品中应用， 则可以选择两种
等， 那么建模的方法和步骤是怎样的 呢？ 我认为应该分为以下几个步骤： ①调研； ②简化假设； ③建立模型； ④ 模型求解； ⑤模型的分析、检验、预 测； ⑥修正； ⑦运用。
第一种模型： 方程模型， 方程是从 小学到中学的一个过渡， 然而在中学 教学中它是一个重要的数学模型， 如 用方程的思想解决生活中的存贷问 题、盈亏问题、工程问题、平均增长率问 题、人员调配等问题。方程模型是把我 们生活实际中的简单问题联系起来的 一种基本模型， 它也是中考必考和常 考模型。我们往往给予学生的是把模 型建立起来， 让学生去解它， 而对于如 何建立是学生的一个难点， 也是一个 重点。如： Ｓ＝ｖ（ｔ ｓ表示路程、ｖ表示速度、ｔ 表示行驶时间） ， 这是一个从物体的匀 速运动中建立起来的数学模型。学生 到现在建立Ｓ＝ｖｔ模型是比较容易， 但对 于一些存贷、增长率等问题的模型就 是他们最大的难点和重点。
中考数学常见模型
中考数学常见模型中考数学常见模型是中等难度的数学问题，涵盖了数学的各个方面，包括代数、几何、概率等等。
下面将列举一些常见的数学模型，以帮助同学们更好地准备中考数学。
一、代数模型：1.一次函数模型：y=kx+b，其中k和b为常数，表示一条直线的方程。
常用于描述速度、距离等线性关系。
2.二次函数模型：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
常用于描述抛物线的形状，如物体自由落体的高度和时间关系。
3.百分比模型：常用于计算百分比，如增长率、折扣率等。
4.平均数模型：用于求平均数，如求一组数的算术平均数、几何平均数等。
5.方程与不等式模型：常用于解决方程和不等式问题，如线性方程、二次方程、绝对值和分数方程等。
二、几何模型：1.面积和体积模型：常用于求解平面图形和立体图形的面积和体积，如矩形、三角形、圆形、圆柱体、球体等。
2.相似模型：用于表示两个形状相似的几何图形之间的比例关系。
3.三角模型：用于解决三角形相关问题，如正弦定理、余弦定理、面积公式等。
4.坐标模型：用于求解平面上的坐标问题，如平面直角坐标系和极坐标系等。
三、概率模型：1.事件模型：用于描述事件的概率，如事件的可能性、互斥事件、相对频率等概念。
2.随机模型：用于分析随机事件的发生概率和期望值，如抛硬币、掷骰子等。
3.条件概率模型：用于计算在已知某些条件下的事件发生概率，如加法原理、乘法原理等。
四、函数模型：1.函数关系模型：用于描述函数之间的关系，如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2.复合函数模型：用于把多个函数组合成一个新函数，如复合函数的求导、求导法则等。
3.反函数模型：求一个函数的反函数，如对数函数和指数函数的互为反函数等。
以上只是一部分常见的数学模型，同学们在备考中还需根据自己的实际情况进行重点复习和应用。
在解题过程中，要善于分析题意，理解问题，找到合适的数学模型进行求解。
并且要注意解题的思路和方法，培养逻辑思维能力，灵活运用各种数学知识和模型，提高解题的准确性和效率。
小学数学“数与代数”中数学模型的建构
小学数学“数与代数”中数学模型的建构摘要:“数与代数”是小学阶段数学学习的重点与难点，亦是广大教师关注的焦点。
在“数与代数”的教学中，教师应该从学生数学思维发展的逻辑起点出发，基于兴趣，帮助学生搭建建模支架；基于过程，构建数学模型；基于运用，让数学模型内化为数学能力从而达成对“数与代数”的知识认知，发展数理逻辑能力。
关键词:数与代数；数学模型；建构；小学一、数学建模思想的内涵数学建模思想的内涵主要包括两个方面。
一方面是数学模型,即如何建造数学模型,学生只有深刻掌握数学建模的内涵,才能对数学知识有更深刻的理解,也能更好地运用数学知识,即数学建模是利用数学思维,理解事物的本质和相关状况;另一方面,数学模型是由数学公式、数学思维、数学理论抽象形成的,其简化结构叫作“数学模型”,是将语言信息转化为数学信息的过程,是先让数学知识由简单变为复杂,再由复杂变简单的过程。
二、小学数学教学中运用数学建模的现状(一)教育目标缺少针对性教育目标是教师在实际教学中想得到的预期结果,贯穿教师教学的整个过程。
这一目标是在教学之前制定的,是保证教育活动顺利实施的关键。
当前,教师在制订教育目标时没有全面了解教育活动的状况,没有真正理解数学建模思想,只是制订了知识目标,这会使教育目标缺少规范性和明确性。
(二)教育方法缺少针对性在当前的小学数学教学中,大多数教师采取教学法和练习法,教学法是常见的教学方法,能在短时间内使学生了解到更多的数学知识,具有成效高的特点。
但在实际教学中,教师要面对众多的班级和学生,学生在学习中会处于被动的状态,这很难激发学生学习的积极性和主动性,也不利于培养学生的核心素养。
此外,一些教师没有全面考虑建模思想,在课堂教学时,以教授为主,练习为辅,这会降低学生学习的积极性。
三、经历“数与代数”抽象、运算与建模的过程小学“数与代数”中绝大部分内容的本质就是从具体情境中提取出数和数量关系，用模型思想教学的模式能很好遵循小学生学习数学从具体事物到抽象符号的认知规律，有效帮助学生在实际问题中运用数学模型，解决各种问题，并构建起系统的知识体系。
初高中数学模型
初高中数学模型
初高中数学模型是指在初中和高中阶段，利用数学方法和理论来描述和解决实际问题的数学模型。
这些数学模型可以包括各种形式的方程、函数、图形、统计分析等，用于表示和解决现实生活中的各种问题。
初高中数学模型可以分为以下几类：
1. 几何模型：利用几何原理和方法，描述和解决与空间形状、大小、位置等相关的问题。
例如，计算两点之间的距离、确定物体的体积、计算图形的面积等。
2. 代数模型：利用代数运算和方程等数学工具，描述和解决与未知数、变量、方程等相关的问题。
例如，利用代数方程解决关于速度、时间、距离的问题，或者利用代数方程解决线性规划问题等。
3. 概率与统计模型：利用概率论和统计学理论，描述和解决与随机事件、数据收集、数据分析等相关的问题。
例如，利用概率理论计算事件发生的可能性，或者利用统计分析方法对数据进行汇总和分析，以得出结论等。
4. 最优化模型：利用最优化理论和方法，描述和解决与优化目标、约束条件、决策问题等相关的问题。
例如，利用线性规划方法解决资源分配问题，或者利用最优化方法解决最短路径问题等。
初高中数学模型的目的是让学生在解决实际问题的过程中，应用数学知识和方法，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
通过实际问题的引导，学生能够理解数学的实际应用价值，提高数学学习的兴趣和动力。
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6.2 植物基因的分布
随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘， 人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注 意。无论是人，还是动、植物都会将本身 的特征遗传给下一代，这主要是因为后代 继承了双亲的基因，形成自己的基因对， 由基因又确定了后代所表现的特征。
植物基因的分布的变化
问出生的兔子都成活,试问一年以后共 有多少对兔子,两年后有多少对兔子?
直接推算
先直接推算，在第1月只有1对兔子;第2 月也只有一对兔子;在第3月这对兔子生了1 对小兔子,共有2对兔子;在第4月,老兔子又 生了1对小兔子,共有3对小兔子;在第5个月, 老兔子生1对小兔子,且在第3月出生的小兔 也生育1对小兔子,故共有5对小兔子,在第6 个月,老兔子、在第3、第4月出生的小兔子 各生1对小兔子,故共有8对小兔子.如此类推, 不难得到月份和小兔对数的关系如表1所示.
并将所有方格按从左到右，从 上到下依次编号为
1, 2, ..., n2
最后的求解结果
该问题在理论状态下完全解决！
兔子能长生不老吗？
1） 兔子的寿命均为6个月，试讨论兔子数量变化 的 规律。
2） 所有兔子在每个月均死亡1/3，试讨论兔子数 量 变化的规律。
3） 所有兔子在每个月死亡的比例均是d，试讨论兔 子 数量变化的规律，并探讨兔子数量稳定时d的 值。
1）兔子的寿命为6个月时论兔子数量变化
后代具有三种基因型的概率
父体——母体的基因型
AA－
AA
Aa－Aa aa－aa
后
AA
代
Aa
基
1
1/4
0
0
1/2
0
因
aa
型
0模型为： x(n) Ln x(0)
1 1/ 4 0 L 0 1/ 2 0
0 1/ 4 1 n
x1(n) x1(0) x2 (0) / 2, x2 (n) 0, x3(n) x3(0) x2 (0) / 2
(1) 假定棋盘的初始状态为所有方格全部为白色，问游戏 者是否可以通过点击鼠标将棋盘的所有方格全部变为 黑色（称为一个可行策略）？若可以，如何进行游戏， 使点击鼠标的次数尽可能少（称为最优策略）. 你的方 法能否推广到棋盘有个方格的一般情形n×n
(2) 假定棋盘的初始状态为一个残局：部分方格为白色， 部分方格为黑色，假如你继续点击下去，你能否有一 个简明的方法判断，该残局能否最终使所有方格为黑 色， 或者变成给定的状态，例如是否可以通过有限次 的点击将左图变为右图？
6.4 森林管理问题
6.6 关灯游戏
题目 考虑下述定义的关灯游戏: 给定一个 5 × 5方格的棋
盘，每个方格有白色和黑色两种状态，当用鼠标点击 其中任何一个方格时，则使这个方格自身及与之相邻 的上、下、左、右四个方格都改变状态，即原来是白 色的则变为黑色，原来是黑色的则变为白色. 对处于棋 盘边缘的16 个方格，它们的这四个邻居可能不全存在， 那么我们只考虑那些存在的方格。
白鼠的数量
一种实验用白鼠出生后总共存活n个月9<n<13，n为 自然数)，从第7个月后就开始生小白鼠,在第7、8这两个月中 每月每一对白鼠恰好生1对小白鼠，从第9个月起的m个月内 每一对白鼠恰好生2对小白鼠0<m<３,m为自然数)，然后停 止生育，在第n月末死亡（第n个月这些白鼠的数量还计算在 内）。在这个实验室环境中可以舒适地生存100对白鼠。每 一月先计算从上一月存活下来的白鼠，当某月从上一月存活 下来的白鼠的数量超过100对时，该月出生的小白鼠将被转 移到别的实验室。设开始时有1对刚出生的小白鼠，问第k月 有多少对白鼠(0<k<３７, 为自然数)？例如，当n=10、m=1, k=11时，第1至6月白鼠的对数均为1，也就是原来的这一对， 第7月2对：原来的1对加上这一对在第7月生育的1对，第8月 3对：原来的1对加上7月生育的1对，再加上8月生育的一对， 第9月5对：原来的一对，加上7月生育的1对，加上8月生育 的1对，再加上9月生育的2对，第10月5对，与第9月相同， 第11月4对（因为最初的这一对白鼠死亡）。
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关灯问题的数学建模
将此游戏转化成一个二元域 上的线性方程组的解的存在性 问题，并通过求解这个线性方 程组来得知我们最少需要多少 次的鼠标点击将棋盘全部变为 黑色.
此方法适用于一般n 个方格 的棋盘.为此下面讨论n × n 个
方格的棋盘. 用0 代表白色，1 代表黑色.
关灯游戏（1）的一个解
这里我们给出一个解，并说明问题解决得思路，有 兴趣的同学可以尝试不同的思路。
点击粉红色的方块各一次就会全部变黑（共15次）
原始图形
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6.3 常染色体隐性疾病模型(略)
遗传性疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子 代的疾病。常染色体遗传的正常基因记为A,不正常的 基因记为a,并以AA、Aa、aa分别表示正常人、隐性患 者、显性患者的基因型。若在开始时的一代人口中AA、 Aa、aa型基因的人所占百分比分别为a0、b0、c0,讨论 在下列两种情况下第n代中三类基因型人口所占的比例： (1) 控制结合: 显性患者不能生育后代,且为了使每个儿童 至少有一个正常的父亲或母亲,正常人、隐性患者必须 与一个正常人结合生育后代; (2) 自由结合: 这三种基因的人任意结合生育后代。
第6章 代数模型
应用线性代数解决一些实际问题 6.1 兔子数量增长 6.2 植物基因的分布 6.3 常染色体的隐性疾病 6.4 森林的管理 6.5 加密与解密 6.6 关灯游戏中代数问题
6.1 兔子数量增长
一地区开始时有10000对刚出生的小兔。 设兔子出生以后两个月就能生小兔,如果每 月每对兔子恰好生一对小兔。
考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的， （A、a为表示两类基因的符号）那么就有 三种基因对，记为AA，Aa，aa。
双亲体基因型的可能结合 及其后代形成每种基因型的概率
练习
若在上述问题中，不选用基 因AA型的
植物与每一植物结合，而是将具有相同基 因型植物相结合，那么后代具有三种基因 型的概率将如何变化？请给出相邻两代基 因转换的概率，建立数学模型分析各代之 间概率变化的规律和极限。
2）兔子在每个月均死亡1/3时兔子数量变化的规 律
3）兔子在每个月均死亡d时兔子数量变化 的规律
进一步的推广
兔子出生后总共存活12月，从第7个月 后就开始生小兔,在第7、8这两个月中每月 每一对兔子恰好生1对小兔，从9、10两个 月月内每一对兔子恰好生2对小兔，然后停 止生育，在第12月末死亡问第k月有多少对 兔子？
设一农业研究所植物园中某植物的基 AA、Aa 和 aa 研究所计划采用
AA型的植物与每一种基因型植物相结合 的方案培育植物后代。问经过若干年后, 这种植物的任意一代的三种基因型分布 如何?
基因的继承
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的 基因对中各继承一个基因，形成自己的基 因时，基因对也称为基因型。如果我们所