微专题30函数的单调性

微专题30 函数的单调性、奇偶性、周期性

函数是高考数学的重点内容之一，对函数基本性质的考查是其主要方向；单调性、奇偶性和周期

性是函数的几个重要性质，也是研究函数的主要工具，单调性、奇偶性的考查在江苏高考题中常以填空题的形式出现，周期性作为函数的一个整体性质，给函数带来了周而复始的无穷魅力，也正因如此，周期性、单调性、奇偶性如同函数性质的三驾马车，成为了模考、高考的重点考查对象．重点考查学生的数形结合、分类讨论等方面的能力，考查学生的基本数学素养.

例题1设函数f(x)＝ka x －a －

x (a ＞0，a ≠1)是定义域为

R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；

(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －

2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．

例题2(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<02|,21|20,2

cos x x x x

π则

f (f (15))的值为____________．

变式1设f(x)＝

－2x ＋a 2x ＋

1＋b

(a ，b 为实常数)．

(1)当a ＝b ＝1时，证明：f(x)不是奇函数； (2)若f(x)是奇函数，求a 与b 的值；

(3)当f(x)是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x ，c ，都有f(x)＜c 2－3c ＋3成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．

变式2若函数f(x)(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，

sin πx ，1＜x ≤2，

则

f )429(

＋f )6

41

(的值为________________．

串讲1已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x ＞1时，f(x)＞0恒成立，若f(2)＝1，则满足f(x)＋f(x －3)≤2的x 的取值范围是________________．

串讲2已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|2

1

2|2

+

-x x ，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________________．

已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝0.设g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m ，集合M ＝}0)(]2,0[|{<∈x g x m ，π

，集合N ＝}0)]([]2

,0[|{<∈x g f x m ，π

，则M ∩N ＝________________.

已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1

时，f (－x )＝－f (x )；

当12≤x ≤32时，f (1－x )＝f (1＋x )，当x ＞1

2时，f )21(+x ＝f )2

1(-x . (1)求f (6)的值；

(2)求x ≥0时，函数f (x )的解析式．

答案：(1)2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，

x 3

＋1，0＜x ＜12

，（x －k ）3

＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤12＋k ，1＋k ，k ∈N ，

（2＋k －x ）3

＋1，x ∈⎝

⎛⎦⎤1＋k ，32＋k ，k ∈N ， 解析：(1)当x ＞1

2时，f )21(+x ＝f )21(-x .，则f (x ＋1)＝f )2121(++x ＝f )2

121(-+x ＝f (x ).2分

所以x ＞1

2时，f (x )的周期为1，则f (6)＝f (1)．当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，

且x ＜0时，f (x )＝x 3－1，故f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2.4分 (2)当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，f (0)＝0.6分

因为x ＜0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )； 则当x ∈(0，1]时，－x ∈[－1，0)，

f (x )＝－f (－x )＝－(－x 3－1)＝x 3＋1，8分

又12≤x ≤3

2时，f (1－x )＝f (1＋x )，则x ∈]23,1[时，2－x ∈]1,2

1[， 则f (x )＝f (2－x )＝(2－x )3＋1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3

＋1，0＜x ≤1，（2－x ）3＋1，1≤x ≤32，10分 由(1)知，x ＞1

2

时，f (x )的周期为1，

则x ∈]1,21(k k ++(k ∈N )，x －k ∈]1,2

1((k ∈N )， f (x )＝f (x －k )＝(x －k )3＋1，12分则x ∈]23,1(k k ++(k ∈N )，x －k ∈]2

3

,1((k ∈N )， f (x )＝f (x －k )＝(2＋k －x )3＋1，14分

综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，

x 3

＋1，0＜x ≤12

，

（x －k ）3

＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤12＋k ，1＋k ，k ∈N ，

（2＋k －x ）3

＋1，x ∈⎝

⎛⎦⎤1＋k ，32＋k ，k ∈N ..