微专题30函数的单调性
函数的单调性ppt
05
函数的单调性的实际案例
利用函数的单调性解决实际问题
1 2
判断经济增长趋势
通过分析经济增长率函数，利用函数的单调性 可以判断经济是处于增长趋势还是下降趋势。
确定最优化解决方案
在生产、销售或投资领域，利用函数的单调性 可以帮助我们确定最优的策略或方案。
3
预测天气变化趋势
通过分析气象数据函数，利用函数的单调性可 以预测未来的天气变化趋势，为灾害预防和应 对提供参考。
函数的单调性的判断方法
定义法
根据函数的单调性定义来判断 。
导数法
对于可导函数，可以根据导数 的正负来判断函数的单调性。 当导数大于0时，函数单调递增 ；当导数小于0时，函数单调递
减。
图像法
观察函数的图像，上升曲线表 示函数单调递增，下降曲线表
示函数单调递减。
02
函数的单调性的应用
单调函数在生活中的应用
感谢您的观看
THANKS
单调函数与导数的关系总结
单调函数的导数
01
单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等
于0。
导数的正负与单调性
02
导数的正负与函数的单调性是一致的，即导数大于0时，函数
递增；导数小于0时，函数递减。
导数与变化趋势
03
导数可以反映函数的变化趋势，即函数在某点处的变化率，因
此可以用来预测函数的未来变化趋势。
一次函数和二次函数
一次函数在其定义域内具有单调性，而二次函数在其定义域内也 可能具有单调性。
极限和导数
在数学分析中，单调函数的极限和导数具有特定的性质和计算方 法。
不等式和排序
单调函数在求解不等式和进行排序等方面具有重要应用。
函数的单调知识点总结
函数的单调知识点总结一、函数的增减性1. 函数的单调性定义函数的单调性是指函数在其定义域上的增减性质。
如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 <x_2$，有$f(x_1) \le f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不减的；如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 < x_2$，有$f(x_1) \ge f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不增的。
2. 函数的单调性判定对于一个给定函数，要判定其在定义域上的增减性，可以通过对函数的导数进行分析来实现。
通常有以下几种方法：(1) 图像法：通过画出函数的图像，观察函数在定义域上的增减性。
(2) 导数法：计算函数的导数并分析其正负性来判定函数的单调性。
(3) 定义域划分法：对函数的定义域进行适当的划分，分别分析函数在各个子区间上的增减性。
3. 函数的单调性与最值函数的单调性可以帮助我们求解函数的最值。
如果一个函数在其定义域上是单调递增的，则其最小值为$f(x)$的最小值；如果一个函数在其定义域上是单调递减的，则其最大值为$f(x)$的最大值。
二、导数的应用1. 函数的导数导数是描述函数变化率的重要工具，它可以帮助我们研究函数的增减性。
对于可导函数$f(x)$，其导数$f'(x)$的正负性可以描述函数在某点附近的增减性。
具体来说：(1) 若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递增的；(2) 若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递减的。
2. 函数单调性与导数对于可导函数$f(x)$，如果$f'(x)>0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递增的；如果$f'(x)<0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递减的。
这是函数的单调性与导数之间的重要联系，也是求解函数的单调性的重要方法。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点在数学的广阔天地中，函数的单调性是一个非常重要的概念。
它就像是函数的“性格特征”，帮助我们更好地理解函数的变化规律。
让我们从最基础的开始理解。
什么是函数的单调性呢？简单来说，就是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种有规律的变化趋势。
如果函数值随着自变量的增大而增大，那这个函数在相应的区间就是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那就是单调递减的。
为了更准确地判断函数的单调性，我们通常会使用一些方法。
其中，最常见的就是利用导数。
对于一个可导的函数，如果它的导数大于零，那么函数在这个区间就是单调递增的；如果导数小于零，就是单调递减的。
比如说，对于函数\（f(x) ＝x^2\），它的导数是\（f'（x) ＝2x\）。
当\（x ＞ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当\（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减。
除了导数，我们还可以通过函数的定义来判断单调性。
假设我们有一个函数\（f(x)＼），对于区间\（I\）内的任意两个自变量\（x_1\）和\（x_2\），如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么函数\（f(x)＼）在区间\（I\）上就是单调递增的；如果都有\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼），那就是单调递减的。
再来看一些常见函数的单调性。
一次函数\（y ＝ kx ＋ b\）（＼（k ＼neq 0\）），当\（k ＞ 0\）时，函数在\（R\）上单调递增；当\（k ＜0\）时，函数在\（R\）上单调递减。
反比例函数\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）（＼（k ＼neq 0\）），当\（k ＞ 0\）时，函数在\（（＼infty, 0)＼）和\（（0, ＋＼infty)＼）上分别单调递减；当\（k ＜ 0\）时，函数在\（（＼infty, 0)＼）和\（（0, ＋＼infty)＼）上分别单调递增。
函数单调性高三复习知识点
函数单调性高三复习知识点函数单调性是高中数学中的重要知识点之一，它在数学分析、代数学等学科中有着广泛的应用。
本文将就函数单调性的定义、性质、证明方法等方面进行高中复习知识点的总结。
一、函数单调性的定义与性质在数学中，函数单调性是指函数对于定义域内的任意两个不同的自变量取值，其函数值的变化关系。
具体而言，若函数在定义域D上满足对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则称该函数在D上为递增函数；若对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则称该函数在D 上为递减函数。
函数的单调性可以用图像直观地表示出来。
对于递增函数，其图像从左往右呈上升趋势；对于递减函数，其图像从左往右呈下降趋势。
而对于函数的单调性来说，如果一个函数既是递增函数又是递减函数，那么它在整个定义域上是无单调性的。
二、函数单调性的证明方法1. 利用导数的符号进行证明函数的单调性与函数的导数有着密切的关系。
对于给定的函数，如果在定义域内的某个区间上导数的取值恒为正值，则函数在该区间上为递增函数；如果导数的取值恒为负值，则函数在该区间上为递减函数。
证明函数单调性的关键是分析函数的导数符号。
可以通过导数的定义及相关的数学推理，找出导数在某个区间上的符号，从而得出函数在该区间上的单调性。
2. 利用函数的增减性进行证明对于函数f(x)，若在定义域内的任意两个不同的自变量取值x_1和x_2，若有f(x_1) < f(x_2)，则函数在x_1和x_2之间取任意值时均满足f(x_1) < f(x) < f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递增的。
反之，如果有f(x_1) > f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递减的。
基于这个性质，可以通过选择不同的x_1和x_2来判断函数的单调性。
如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则函数为递增函数；如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则函数为递减函数。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点函数的单调性是数学分析中的一个重要概念，用来描述函数在定义域上的增减特性。
具体而言，一个函数可以是严格递增的、递增的、严格递减的或递减的。
函数的单调性具有广泛的应用，在求解极值、解方程、绘制函数图像等问题中起到重要的作用。
本文将介绍函数的单调性的概念、判定方法以及一些常见的单调函数。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的增减变化规律。
具体而言，一个函数在某个区间上单调递增，意味着随着自变量的增大，函数的取值也随之增大；而在单调递减的区间上，函数的取值随着自变量的增大而减小。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法导数是函数单调性判定的重要工具之一。
对于可导函数，函数在某个区间上单调递增的充要条件是导数恒大于等于零；函数在某个区间上单调递减的充要条件是导数恒小于等于零。
2. 一阶差分法对于分段连续的函数，可以通过一阶差分的正负来判断函数的单调性。
若一阶差分恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若一阶差分恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
3. 二阶导数法对于二次可导函数，函数在某个区间上的单调性可以通过二阶导数的正负来判断。
若二阶导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若二阶导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
三、常见的单调函数1. 线性函数线性函数是最简单的单调函数，其定义域为实数集，函数的图像为一条直线。
线性函数在整个定义域上均为单调递增或单调递减。
2. 指数函数指数函数为形如 f(x) = a^x （a>0, a≠1）的函数，指数函数在定义域上分为两类：当a>1时，函数为单调递增函数；当0<a<1时，函数为单调递减函数。
3. 对数函数对数函数为形如 f(x) = loga(x) （a>0, a≠1）的函数。
当0<a<1时，对数函数为单调递增函数；当a>1时，对数函数为单调递减函数。
4. 幂函数幂函数为形如 f(x) = x^a （a为常数）的函数。
《函数单调性的概念》课件
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f'(x) > 0，那么函数f(x)在区间[a, b]上单 调递增。
证明
设x1, x2是区间[a, b]上的任意两点，且x1 < x2，考虑差值f(x2) - f(x1)。由于 f'(x) > 0，差值可以表示为f'(c)(x2 - x1) > 0，其中c位于x1和x2之间。因此， f(x2) > f(x1)，说明函数在区间[a, b]上单调递增。
通过观察函数的图像来判断函数的增减性。如果图像在某区间内从左到
右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到右下
降，则函数在该区间内单调递减。
导数在判定单调性中的应用
导数大于0的区间内 ，函数单调递增。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数小于0的区间内 ，函数单调递减。
单调性判定定理的证明
周期性
单调函数可能是周期函数，但并非所 有单调函数都具有周期性。
单调函数的极限和积分性质
极限性质
单调函数的极限值存在且唯一，且极限 值等于函数值。
VS
积分性质
单调函数的积分值与被积函数值成正比， 即对于任意区间[a, b]，有 ∫baf(x)dx=k∫baf(x)dxf(x)dx int_a^b f(x) dx = k int_a^b f(x) dxf(x)dx∫abf(x)dx=k∫abf(x)dxdx，其 中k为常数。
《函数单调性的概念 》ppt课件
REPORTING
• 函数单调性的定义 • 函数单调性的判定 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的扩展知识
目录
PART 01
函数的单调性与极值点例题和知识点总结
函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的世界里，函数的单调性与极值点是非常重要的概念。
它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性。
如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量的值\（x_1\）、＼（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么就称函数在这个区间上是增函数；反之，如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＞f(x_2)＼），那么就称函数在这个区间上是减函数。
二、函数单调性的判定方法1、定义法设\（x_1\）、＼（x_2\）是给定区间上的任意两个自变量，且\（x_1 ＜ x_2\），函数\（f(x)＼）在给定区间上具有单调性，作差\（f(x_2) f(x_1)＼），然后判断差的正负。
2、导数法对函数\（f(x)＼）求导，如果\（f'（x) ＞ 0\），则函数在相应区间上为增函数；如果\（f'（x) ＜ 0\），则函数在相应区间上为减函数。
三、函数极值点的定义设函数\（f(x)＼）在点\（x_0\）附近有定义，如果对\（x_0\）附近的所有点，都有\（f(x) ＜ f(x_0)＼），则称\（f(x_0)＼）是函数\（f(x)＼）的一个极大值，记作\（y_{极大值}＝f(x_0)＼）；如果对\（x_0\）附近的所有点，都有\（f(x) ＞ f(x_0)＼），则称\（f(x_0)＼）是函数\（f(x)＼）的一个极小值，记作\（y_{极小值}＝f(x_0)＼）。
极大值点和极小值点统称为极值点。
四、函数极值点的判定方法1、第一充分条件设函数\（f(x)＼）在\（x_0\）处连续，且在\（x_0\）的某去心邻域内可导。
（1）若当\（x\）在\（x_0\）的左侧邻近时，＼（f'（x) ＞ 0\）；当\（x\）在\（x_0\）的右侧邻近时，＼（f'（x) ＜ 0\），则\（f(x_0)＼）为极大值。
函数的单调性ppt课件
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
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实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点在数学的广阔领域中，函数的单调性是一个非常重要的概念。
它就像是函数世界里的指南针，帮助我们理解函数的行为和变化规律。
首先，咱们来聊聊什么是函数的单调性。
简单说，单调性指的是函数在某个区间内的变化趋势。
如果函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也一直增大，那这个函数在这个区间就是单调递增的；反过来，如果随着自变量的增大，函数值一直减小，那就是单调递减的。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，当 x 越来越大时，y 也会越来越大，这就是单调递增。
再看反比例函数 y ＝ 1/x，在 x ＞ 0 这个区间，x 越大，y 越小，所以它在这个区间是单调递减的。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要一些方法和技巧了。
一种常见的方法是利用定义。
假设函数 f(x) 在区间（a, b) 上有定义，如果对于任意的 x1、x2 属于（a, b)，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜f(x2)，那函数 f(x) 在区间（a, b) 上就是单调递增的；如果都有 f(x1) ＞f(x2)，那就是单调递减的。
举个例子，证明函数 f(x) ＝ x^2 在区间 0, ＋∞）上是单调递增的。
我们任取 x1、x2 属于 0, ＋∞），且 x1 ＜ x2。
那么 f(x1) ＝ x1^2 ，f(x2) ＝ x2^2 。
f(x2) f(x1) ＝ x2^2 x1^2 ＝（x2 x1)（x2 ＋ x1) 。
因为x1 ＜ x2 ，所以 x2 x1 ＞ 0 ，又因为 x1、x2 都大于等于 0 ，所以 x2 ＋x1 ＞ 0 。
所以 f(x2) f(x1) ＞ 0 ，即 f(x1) ＜ f(x2) ，所以函数 f(x) ＝x^2 在区间 0, ＋∞）上是单调递增的。
除了定义法，还有求导法。
如果函数 f(x) 在某个区间内的导数大于0 ，那么函数在这个区间单调递增；如果导数小于 0 ，则单调递减。
比如函数 f(x) ＝ 3x^3 4x ，对它求导得到 f'（x) ＝ 9x^2 4 。
函数函数的单调性课件
定义法、导数法（对于可导函数） 。
复合函数的单调性例题解析
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复合函数单调性的概念、性质及判定方法
02 03
详细描述
复合函数单调性取决于内外层函数单调性的关系。若外层函数单调递增 （减），内层函数单调递增（减），则复合函数为单调递增（减）函数 。
判定方法
根据复合函数单调性的性质进行判断。
易错点提醒
在求解函数的单调性问题时，容易忽略函数的定义域、导数的正负与函数单调性的关系以及如何根据 题目要求进行分类讨论。同时需要注意极值点不一定是拐点，要根据题目要求进行求解。
THANKS
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05
总结与回顾
函数单调性的定义与性质回顾
函数单调性的定义
函数在某区间上的单调性是指函 数在该区间内随着自变量的增加 ，函数值随之增加（或减少）。
函数单调性的性质
函数的单调性可以通过导数来刻 画，如果导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的应用与解题技巧总结
详细描述
函数单调性可以用于优化问题、经济问题、交通问题等多个领域。例如，在投资决策中，通过观察股票价格的波 动和单调性，可以更好地把握投资机会。在交通规划中，通过观察交通流量的变化和单调性，可以更好地规划交 通路线。
04
函数单调性的例题解析
单调递增函数的例题解析
总结词
单调递增函数的概念、性质及判 定方法
03
函数单调性的应用
利用函数单调性求函数的值域
总结词
函数单调性是求解函数值域的重要工具。
详细描述
通过观察函数在定义域内的单调性，可以容易地求出函数的值域。例如，对于一 次函数，其在定义域内是单调的，可以直接根据定义域和单调性求出值域。对于 二次函数，可以通过观察其对称轴和顶点位置，结合单调性来求解值域。
函数的单调性课件
1
一阶导数法
通过求导数来判断函数单调性，如导函
二阶导数法
2
数大于0，则函数单调递增；若导函数小 于0，则单调递减。
通过求导数的导数（二阶导数）来判断
函数单调性，如导函数大于0，则函数单
调递增；若导函数小于0，则单调递减。
3
拐点法
通过确定函数的拐点来判断函数单调性。
函数的单调性的性质
1 单调区间和区间端点
函数的单调性PPT课件
感谢大家的光临，今天我将与大家分享关于函数单调性的知识。我们将学习 什么是单调性以及如何用不同的方法判定函数的单调性。此外，我们还将探 讨函数单调性的性质和一些应用实例。
函数的定义与概念
定义
函数是一种数学对象，将一个集合（即定义域）的元素映射到另一个集合（即值域）的元素。
概念
市场需求量函数单调性
成本函数单调性
需求量函数通常为单调递减函数， 即价格上升，需求量下降。
如某个商家生产一种商品，其总 成本通常是单调递增的。
投资增长模型单调性
投资增长模型是单调递增的，即 更多的资本会使得投资回报更高。
函数的单调性的注意事项
函数的前提
要简要解释函数的本质和意义，让理解关键概念的人或学生更容易抓住。
函数表格、函数符号、函数曲线，函数图像等基本概念。
特点
每个自变量都对应一个唯一的函数值；每个函数值都可以通过某个自变量得出。
函数的单调性的定义
单调递增
在一个区间上，如果函数值随着自变量的增大而增 大，则函数单调递增。
ห้องสมุดไป่ตู้单调递减
在一个区间上，如果函数值随着自变量的增大而减 小，则函数单调递减。
函数的单调性的判定方法
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
函数的单调性PPT课件
f (x1) f (x2 )
x1
x2 x
图5
（二）典型例题 例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间 上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
y
f (x)
-2
-5
1
3
x 5
图6
2021
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的 一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增 减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续 函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单 调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都 可以；
2021
值随着 ________ ． 2．f (x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f (x)的值随 着 ________ ．
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3．f (x) = x 2 ①在区间 ____________ 上，f (x)的值随 着x的增大而 ________ ． ② 在区间 ____________ 上，f (x)的值随 着x的增大而 ________ ．
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例2 证明函数 y x 1 在（1，+∞）上为增函数． x
例3 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
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三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数
的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证 明．画函数图象通常借助五点法，求函数的单调区间 时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。
函数的单调性问题
微专题09 函数的单调性问题【方法技巧与总结】一．证明函数单调性的步骤（1）取值．设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论．二．函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则()f x -为减函数；若是减函数，则()f x -为增函数； ②若和()g x 均为增（或减）函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增（或减）函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；若()0f x >且()f x ()f x 为减函数，1()f x 为增函数． 三．单调性定义的等价形式（1）函数()f x 在区间[],a b 上是增函数：⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x <，()()120f x f x -<； ⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-；⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦； ⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠，()()12120x x f x f x ->-．（2）函数()f x 在区间[],a b 上是减函数：⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x <，()()120f x f x ->； ⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-；()f x ()f x ()f x ()f x⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦； ⇔任取[]12,,x x a b ∈，且12x x ≠，()()12120x x f x f x -<-．四．复合函数单调性的判断讨论复合函数[]()y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若(),()u g x y f u ==在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[]()y f g x =为增函数；（2）若(),()u g x y f u ==在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[]()y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[]()y f g x =增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：()y f u =，()u g x =； （2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则[]()y f g x =为增函数；若为一增一减或一减一增，则[]()y f g x =为减函数． 【题型归纳目录】题型一：直接判断函数单调性 题型二：定义法证明单调性 题型三：证明抽象函数的单调性 题型四：求单调区间 题型五：根据单调性求参数 题型六：根据图像判断单调性 题型七：复合函数的单调性 题型八：比较函数值的大小关系【典型例题】题型一：直接判断函数单调性例1．下列函数中，在R 上单调递增的函数是（ ） A ．(2)y x x =+ B ．3y x = C ．y x =D ．||y x =例2．下列函数中，在()0,∞+上为减函数的是（ ） A ．()3f x x =- B ．()22f x x x =-C ．()11f x x =-+ D ．()f x x =-例3．设函数()f x 的定义域为R ．则“()f x 在R 上严格递增”是“()()g x f x x =+在R 上严格递增”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要题型二：定义法证明单调性 例4．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； (2)当25a =时，求不等式1()22f x ≤≤的解集．例5．已知函数()218x f x x -=+，判断并证明()f x 在区间[]22-,上的单调性．例6．已知函数()4f x x x=+. (1)用单调性定义证明函数()f x 在()0,2上为减函数； (2)求函数()f x 在[]2,1--上的最大值.例7．已知函数()f x 满足()1f x x a +=+()11f =. (1)求a 和函数()f x 的解析式；(2)用定义法证明()f x 在其定义域的单调性.题型三：证明抽象函数的单调性例8．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且对一切0m >，0n >，都有()()2m f f m f n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当1x >时，总有()2f x <. (1)求()1f 的值；(2)证明：()f x 是定义域上的减函数；(3)若()41f =，解不等式()()2821f x f x ---<-.例9.设()y f x =是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x y ､都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <；③()31f =-.(1)求()119f f ⎛⎫⎪⎝⎭,的值；(2)判断函数()y f x =的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)如果存在正数k ，使不等式()()22f kx f x +-<有解，求正数k 的取值范围.例10．已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上是增函数；(2)若关于a 的方程2(75)2f a a +-=的一个实根是1，求(6)f 的值； (3)在（2）的条件下，已知R m ∈，解关于x 的不等式()(2)3f mx f x ->+．例11．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①当0x >时，()1f x >，②对任意,R x y ∈都有()()()f x y f x f y +=，③()12f =(1)求()2f 的值.(2)求证：对任意(),0x f x > (3)证明：()f x 在R 上是増函数.例12．定义在()0∞+，上的函数()f x 满足下面三个条件： ① 对任意正数a b ，，都有()()()f a f b f ab +=；② 当1x >时，()0f x <；③ ()21f =- (1)求()1f 和14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)试用单调性定义证明：函数()f x 在()0∞+，上是减函数； (3)求满足()()32412218f x x f x -+>的x 的取值集合．例13．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对任意正实数a 、b 都有()()()1f ab f a f b +=+，且当1x >时，()1f x >．求证：函数()f x 是()0,∞+上的增函数．题型四：求单调区间例14．画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)()12f x x =-+； (2)()()3f x x x =--．例15．已知函数()f x 的解析式()35,05,0128,1x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<<⎨⎪-+>⎩.(1)求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若()2f a =，求a 的值；(3)画出()f x 的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.例16．已知函数()2f x x x x =-的单调增区间为_______．例17．函数()1xf x x=-的单调增区间是（ ） A ．() 1? -∞， B ．()() 1?1? -∞⋃+∞，， C ．()() 1? 1?-∞+∞，，， D ． 1?1? -∞--+∞（，）（，，）题型五：根据单调性求参数例18．已知函数()()2212f x ax a x =+-+.若()f x 的减区间为(,4)-∞，则实数a 的值为___________；若()f x 在区间(,4)-∞上是减函数，则实数a 的取值范围为___________.例19．已知函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞，则实数a 的值为___________.例20．已知函数2()2(1)2f x x a x =-++，若对于区间[1,2]-上任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()1f x ≠()2f x ，则实数a 的取值范围为___________．例21．已知函数()2022axf x -=[]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(](,01,2022)-∞⋃B ．(](,00,2022)-∞⋃C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．()(),00,1-∞⋃例22．已知函数()22,1,tx x x tf x x x t ⎧++≤=⎨+>⎩且()f x 在定义域上是单调函数，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞- B ．()1,5 C ．()1,2-D ．(1,)-+∞例23．若函数()()2,16,1x ax x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨--⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，2] B ．(1,2) C ．[2，6)D ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦例24．（多选题）已知函数()2bx af x x +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．4a >，2b =C ．1a =-，2b =D ．2a =，1b =-题型六：根据图像判断单调性例25．（多选题）如图所示是函数()y f x =的图象，图中x 正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为[)4,4-B ．函数()f x 的值域为[)0,+∞C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于任意的()5,y ∈+∞，都有唯一的自变量x 与之对应例26．函数()s f t =的图象如图所示（图象与t 正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数()s f t =的定义城为[)3,-+∞B ．函数()s f t =的值域为[]0,5C ．当[]1,2s ∈时，有两个不同的t 值与之对应D ．当1t 、()()2120,1t t t ∈≠时，()()12120f t f t t t ->-例27．已知(){}2min 2,f x x x =-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在区间(),0-∞单调递增B ．()f x 在区间()1,+∞单调递减C ．()f x 有最小值D ．()f x 没有最大值例28．设函数()4f x x x=+，则（ ） A ．()f x 的最大值为4-B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,0-上单调递减C ．()f x 的最小值为4D ．()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减题型七：复合函数的单调性例29．22y x x =-+ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞C ．(],2-∞-D ．[)0,∞+例30．函数2()82f x x x +- ） A ．（-∞，1] B ．[1，+∞） C ．[1，4] D ．[-2，1]例31．若函数则()2123f x x x =+- ）． A ．(),3-∞- B ．(),1-∞- C ．[)1,-+∞ D ．()1,+∞例32．函数()22f x x - ） A ．2,2⎡-⎣B ．(),22,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣C ．)2,⎡+∞⎣ D ．(,2⎤-∞-⎦例33．函数2()23f x x x =-++ ） A ．[]1,1- B ．[]1,3C ．(1,3)-D ．[1,)+∞题型八：比较函数值的大小关系例34．已知对()f x 定义域内的任意实数12x x ，，且12x x ≠，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设13a f ⎛=-⎫⎪⎝⎭，()3b f =，()5c f =，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<例35．设2202020222021a ⨯=，2202120232022b ⨯=，2202220242023c ⨯=，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a <<例36．设20202021202120222121,2121a b ++==++，则下列说法中正确的是（ ）A ．a b >B ．11a b> C ．222a b +≥D ．2b aa b+=例37．若113,4A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、25,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,4C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<例38．函数()y f x =在R 是增函数，若 0a b +≤，则有 （ ） A ．()()()() f a f b f a f b +≤--B ．()()()()f a f b f a f b +≥-- C ．()()()()f a f b f a f b +≤-+- D ．()()()()f a f b f a f b +>-+-题型九：根据函数单调性解不等式例39．若函数()f x 在R 单调递增，且()10f =，则满足()02f x x <-的x 的取值范围是（ ）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()2+∞，C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()12，例40．已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，-1），B （3，1）是其图象上的两点， 那么|f （x +1）|<1的解集的补集是（ ） A ．（-1，2）B ．（1，4）C ．（-∞，1]∪[4，+∞）D ．（-∞，-1]∪[2，+∞）例41．已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的1x ，2[0,)x ∈+∞，12x x ≠，都有()()21212f x f x x x ->-，()12022f =，则满足不等式()()202221012f x x ->-的x 的解集是（ ）A ．2022(,)+∞B ．(2023,)+∞C ．[)2022,2023D ．[)2021,2023例42．已知函数233?,?0()3?,?0x x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩，则不等式()()34f a f a >-的解集为（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．(),2-∞D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例43．已知()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1） B ．（-2，1）C ．（02D ．（0，2）【过关测试】一、单选题1．若函数()221f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,16⎛⎫- ⎪⎝⎭2．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 以下结论错误的是（ ） A ．()21D D < B ．函数()y D x =不是周期函数C ．()()1D D x =D ．函数()y D x =在(),-∞+∞上不是单调函数3．已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式()21(2)f x f x ->的x 的取值范围是（ ）A ．2⎡⎣B ．(2C ．()21-D ．(2-4．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()(),21,-∞-+∞5．已知对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈，不等式222xy ax y ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3519a -≤≤-B ．31a -≤≤-C ．3a ≥-D ．1a ≥-6．若函数()22,2,x x mf x x x x m -≤⎧=⎨->⎩是定义在R 上的增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]{},12-∞⋃B ．{}[)12,+∞ C ．(],1-∞ D ．[)2,+∞7．已知函数f (x )=()211414(1)x x ax ax a x ⎧-⎪⎨⎪+++>-⎩，，是R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23a ≤-B ．38a ≤-C ．2a ≤-D ．1a ≤-二、多选题8．关于函数()241y x =-+ ） A ．在区间[]1,0-上单调递减 B ．单调递增区间为[]3,1-- C ．最大值为2D ．没有最小值9．已知()32f x x =-，()22g x x x =-，设()()()()()()(),,g x f x g x F x f x f x g x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，则关于()F x 的说法正确的是（ ）A ．最大值为3，最小值为1-B ．最大值为77-C ．单调递增区间为(,27-∞和(3，单调递减区间为()27,1和)3,+∞D ．单调递增区间为(),0∞-和(3，单调递减区间为()0,1和()3,+∞10．下列四个函数中，在()1,+∞上为增函数的是（ ） A ．()31f x x =-+ B ．()23f x x x =-C ．()|2|f x x =+D ．()3f x x =-三、填空题11．若函数2()2||()g x x x t x t =---在区间[0,2]上是单调函数，则实数t 的取值范围是__________．12．若函数2()21f x ax x =+-在区间(),6-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________. 四、解答题 13．已知函数32kx y x +=+(常数k ∈Z ). (1)若1k =，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;(2)若该函数在区间[3,)+∞上是严格减函数，且在[3,)+∞上存在自变量，使得函数值为正，求整数k 的值.14．已知函数()af x x x=-在定义域[]1,20上单调递增 (1)求a 的取值范围；(2)若方程()10f x =存在整数解，求满足条件的a 的个数.15．已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，对定义域内的任意12x x , 都有()()()1212f x x f x f x =+，且当01x <<时，()0f x >.(1)证明：当1x >时，()0f x <；(2)判断()f x 的单调性并加以证明；(3)如果对任意的()12,0,x x ∈+∞ ，()()()221212f x x f a f x x +≤+恒成立，求实数a 的取值范围.。
函数的单调性ppt
xx年xx月xx日
目录
• 函数的单调性的定义 • 函数的单调性与连续性的关系 • 判定函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 单调函数与反函数的单调性关系 • 高阶导数与函数单调性的关系
01
函数的单调性的定义
增函数和减函数
增函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意 x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为增 函数。
03
复合函数的单调性
利用复合函数的单调性来推断原函数 的单调性。
证明不等式
利用单调性证明不等式
根据单调性的定义，通过比较大小来证明不等式。
利用导数工具证明不等式
对于一些较为复杂的不等式，可能需要先利用导数工具求出函数的极值点，再根据极值的正负来判断不等式的真假。
利用构造函数的方法证明不等式
通过构造函数将不等式转化为函数值大小比较的问题，从而证明不等式。
VS
减函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意 x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为减 函数。
严格增函数和严格减函数
严格增函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意x1<x2，且x1≠x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)为严格增函数。
严格减函数
对于函数f(x)，如果在定义域内的任意x1<x2，且x1≠x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)为严格减函数。
对于一些简单的函数，如一次函数和 二次函数，可以直接利用函数的单调 性来求最值。
要点三
极值法
对于一些较为复杂的函数，可能需要 先利用导数工具求出函数的极值点， 再根据极值的正负来判断函数的最值 。
《函数的单调性》PPt课件
课堂小结
通过本节课的学习，你的 主要收获有哪些？
小结：
1、如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值 x , x ，当 x x 时，都有f ( x ) f ( x ) ，那么就 说在这个区间上是增函数。
1 2 1 2 1 2
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值 x , x ，当 x x 时，都有 f ( x ) f ( x ) ，那么就说 在这个区间上是减函数。
函数的单调性
f ( x) 2 x 1
f ( x) 2 x 1
函数值随着自变量x 的增大而增大
函数值随着自变量x 的增大而减小
y x
2
y x
3பைடு நூலகம்
x 0 1 - 2 - … 1 2 y 0 1 1 4 4 …
x 0 1 - 2 - … 1 2 y 0 1 - 8 - … 1 8
1）图象在y轴右侧随着x 的增加，y的值在增加 2）图象在y轴左侧随着x 的增加，y的值在减小
注： （1）函数的单调性也叫函数的增减性
（2）函数的单调性是对定义域内的某个子区间而言 （3） x1 ,x2 的三个特征：任意性、有大小、同区间
注意：
1.增（减）函数都是对相应的区间而言的， 离开了区间就谈不上增（减）函数。 如：能不能不要区间，说某函数是增函数？或 2 说某函数是减函数？如说 y x 是增函数或减 函数。 2. 任意是指不能取特定值来判断函数是 增函数或减函数 3.都有是指只要 x1 x2时，f ( x1 )都必须大于 f ( x2 )
1 2 1 2 1 2
2、证明函数单调性的解题步骤 （1） 取值 （2） 作差变形 （3） 定号 （4） 判断
f ( x ) f ( x ) (3x 2) (3x 2) 3( x x ) 得x x 0 （3） 由x , x 即f ( x ) f ( x ) （4） 所以f ( x ) 3 x 2在R上是增函数
函数单调性知识点
函数单调性知识点在函数单调性的研究中，常常会用到导数、若尔当定理、拉格朗日中值定理等数学知识。
下面我们将详细介绍函数单调性的知识点，包括单调性的定义、判定与应用。
一、函数的单调性定义对于给定的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2(x1<x2)，有f(x1)<=f(x2)，则称f(x)为递增函数；如果对于任意的x1和x2(x1<x2)，有f(x1)>=f(x2)，则称f(x)为递减函数。
函数的单调性有两种情况，递增和递减。
递增的函数在定义域内从左到右的方向递增，即y增大；递减的函数在定义域内从左到右的方向递减，即y减小。
举个例子，如果我们考虑函数f(x)=x^2，在定义域内，当x1<x2时，f(x1)=x1^2<x2^2=f(x2)，所以函数f(x)是递增函数。
二、函数单调性的判定在判定函数的单调性时，我们可以通过求导数来判断。
若导数恒大于0，则函数在该区间上递增；若导数恒小于0，则函数在该区间上递减。
具体来说，对于一个可导的函数f(x)，我们可以通过以下步骤来判定其单调性：1.求函数的导数f'(x)；2.解方程f'(x)=0，求出导函数f'(x)的零点；3.根据导函数的符号表，分析函数的单调性。
举个例子，我们来判定函数f(x)=x^3的单调性：1.求导数f'(x)=3x^2；2.解方程3x^2=0，得到x=0；3.由于导函数f'(x)=3x^2恒大于0，所以函数f(x)在整个定义域上是递增的。
三、函数单调性的应用函数的单调性在数学中有广泛的应用。
以下是一些应用的例子：1.函数极值的判定：对于一个区间上的函数，如果函数是递增的，那么函数在这个区间的最小值就在区间的最小值点上；如果函数是递减的，那么函数在这个区间的最大值就在区间的最大值点上。
2.不等式求解：当我们在求解一个不等式f(x)≥0时，如果我们可以证明函数f(x)是递增的，那么不等式的解集就是x的取值范围；同样地，如果我们可以证明函数f(x)是递减的，不等式的解集也是x的取值范围。
函数单调性课件ppt
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
O
函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.
在区间 I 上任取 x1, x2。
x1<x2
f(x1 ) < f(x2 )； x1<x2
x1
x2
x
f (x1 ) > f(x2 )，
函数f(x)区间 I 上是单调增函
数，I称为f(x)的单调 增 区间.
x2 )
x1
(2x1
x2 ,
1) (2x2
x1 x2
1)
0
2(x1
x2 )
—
—作差
f (x1) f (x2 ) 0 即f (x1) f (x2 ) — —论证结果
则函数 f (x) 2x 1在区间(, )
是增函数.
— —写出结论
证明函数单调性一般步骤：
⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意 值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）；
30 19.71
20 7.56
10 4.67
2001 2002 2003 2004 年份
常宁市日平均出生人数统计表
人数 （人）
45
42
36
35
25
20 17
15
2000 2001 2002 2003 年份
上升
y y x 1
o
x
y
o
下降
y
y x 1
局部上升或下降 yy x2源自oxo函数x
f x 1
⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形 （要注意变形到能判断整个差式符号为止）；
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微专题30 函数的单调性、奇偶性、周期性
函数是高考数学的重点内容之一，对函数基本性质的考查是其主要方向；单调性、奇偶性和周期
性是函数的几个重要性质，也是研究函数的主要工具，单调性、奇偶性的考查在江苏高考题中常以填空题的形式出现，周期性作为函数的一个整体性质，给函数带来了周而复始的无穷魅力，也正因如此，周期性、单调性、奇偶性如同函数性质的三驾马车，成为了模考、高考的重点考查对象．重点考查学生的数形结合、分类讨论等方面的能力，考查学生的基本数学素养.
例题1设函数f(x)＝ka x －a －
x (a ＞0，a ≠1)是定义域为
R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；
(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －
2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．
例题2(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<02|,21|20,2
cos x x x x
π则
f (f (15))的值为____________．
变式1设f(x)＝
－2x ＋a 2x ＋
1＋b
(a ，b 为实常数)．
(1)当a ＝b ＝1时，证明：f(x)不是奇函数； (2)若f(x)是奇函数，求a 与b 的值；
(3)当f(x)是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x ，c ，都有f(x)＜c 2－3c ＋3成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．
变式2若函数f(x)(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，
sin πx ，1＜x ≤2，
则
f )429(
＋f )6
41
(的值为________________．
串讲1已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x ＞1时，f(x)＞0恒成立，若f(2)＝1，则满足f(x)＋f(x －3)≤2的x 的取值范围是________________．
串讲2已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|2
1
2|2
+
-x x ，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________________．
已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝0.设g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m ，集合M ＝}0)(]2,0[|{<∈x g x m ，π
，集合N ＝}0)]([]2
,0[|{<∈x g f x m ，π
，则M ∩N ＝________________.
已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1
时，f (－x )＝－f (x )；
当12≤x ≤32时，f (1－x )＝f (1＋x )，当x ＞1
2时，f )21(+x ＝f )2
1(-x . (1)求f (6)的值；
(2)求x ≥0时，函数f (x )的解析式．
答案：(1)2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，
x 3
＋1，0＜x ＜12
，（x －k ）3
＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤12＋k ，1＋k ，k ∈N ，
（2＋k －x ）3
＋1，x ∈⎝
⎛⎦⎤1＋k ，32＋k ，k ∈N ， 解析：(1)当x ＞1
2时，f )21(+x ＝f )21(-x .，则f (x ＋1)＝f )2121(++x ＝f )2
121(-+x ＝f (x ).2分
所以x ＞1
2时，f (x )的周期为1，则f (6)＝f (1)．当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，
且x ＜0时，f (x )＝x 3－1，故f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2.4分 (2)当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，f (0)＝0.6分
因为x ＜0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )； 则当x ∈(0，1]时，－x ∈[－1，0)，
f (x )＝－f (－x )＝－(－x 3－1)＝x 3＋1，8分
又12≤x ≤3
2时，f (1－x )＝f (1＋x )，则x ∈]23,1[时，2－x ∈]1,2
1[， 则f (x )＝f (2－x )＝(2－x )3＋1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3
＋1，0＜x ≤1，（2－x ）3＋1，1≤x ≤32，10分 由(1)知，x ＞1
2
时，f (x )的周期为1，
则x ∈]1,21(k k ++(k ∈N )，x －k ∈]1,2
1((k ∈N )， f (x )＝f (x －k )＝(x －k )3＋1，12分则x ∈]23,1(k k ++(k ∈N )，x －k ∈]2
3
,1((k ∈N )， f (x )＝f (x －k )＝(2＋k －x )3＋1，14分
综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，
x 3
＋1，0＜x ≤12
，
（x －k ）3
＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤12＋k ，1＋k ，k ∈N ，
（2＋k －x ）3
＋1，x ∈⎝
⎛⎦⎤1＋k ，32＋k ，k ∈N ..。