沪教版——13.5复数的平方根与立方根
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22 22
所以 z 1或 z 1 3 i 或 z 1 3 i
2
2 22 2 22
即z 2或 1 3i或 1 3i
练习6.利用1的立方根，求复数-27的立方根
解：设z为-27的立方根，则：z3 27
所以 z3 1，即( z )3 1
27
3
又因为1的立方根为1, , 2, 即1， 1 3 i ， 1 3 i
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 2ab 0
3 a
b
0 3
或
a
b
0
3
所以，-3的平方根为 3i或- 3i
推广：负实数a的平方根为 a i
（2）设a+bi(a,b∈R)是7-24i的平方根，则
(a bi)2 7-24i
a2 b2 2abi 7-24i
由两个复数相等的条件，得
13.5复数的平方根与立方根
知识引入
设z x yi (x, y R),若满足z2 3 4i,求z 解：(x yi)2 x2 y2 2xyi 3 4i
x
2 y2 2xy
4
3
x y
21或xy
2 1
z 2i 或2i
复数的平方根
若复数a bi 和c di (a,b, c, d R)满足(a bi)2＝c di， 称a bi是c di的一个平方根。
(6)3n 1 3n1 3n2 2
练习4.计算( 1 3 i)10的值. 22
练习5.已知 1 3 i，求1 2 3 10
22
例3.利用1的立方根，求复数8的立方根
解：设z为8的立方根，则：z3 8
所以 z3 1，即( z )3 1
8
2
又因为1的立方根为1, , 2, 即1， 1 3 i ， 1 3 i
例2.设 1 3 i,求证：(1) , 2,1都是1的立方根;(2)1 2 0
22
证明： (1)3 ( 1 3 i)3 ( 1 3 i)2 ( 1 3 i)
22
22
22
[1 3 i ( 3 i)2 ]( 1 3 i)
42 2
22
( 1 3 i)( 1 3 i) 22 22
你发现什 么规律吗 ？
( 1)2 ( 3 i)2 1 3 1
22
44
(2 )3 (3 )2 12 1, 13 1
, 2 ,1都是1的立方根
例2.设 1 3 i,求证：(1) , 2,1都是1的立方根;(2)1 2 0
22
证明： (2) 1 2 1 ( 1 3 i) ( 1 3 i)2
因为[（a bi）]2＝c di， 所以 a bi也是c di的一个平方根。
特别地，（ i）2 1 i是 1的平方根。 1 i
例1.求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
解:（1）设a+bi(a,b∈R)是-3的平方根，则
(a bi)2 3
Leabharlann Baidu
a2 b2 2abi 3
22 22
所以 z 1或 z 1 3 i 或 z 1 3 i
3
3 22
3 22
即z 3或z 3 3 3 i 或z 3 3 3 i
22
22
课堂小结
1.复数的平方根
若复数a bi 和c di (a,b,c, d R)满足(a bi)2＝c di， 称a bi是c di的一个平方根。
a2 2ab
b2 7 24
a b
4 3
或
a b
4 3
所以，7-24i的平方根为4 3i 或 4 3i
练习1.求下列复数的平方根 (1) 4
练习2.负实数k的平方根是 ___________
练习3.求复数 4i的平方根.
复数的立方根
类似地，若复数满足z13 z2，则称z1是的z2立方根. 求一个复数的立方根或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们只研究1的立方根.
2.复数的立方根
1的立方根为1, , 2, 即1， 1 3 i ， 1 3 i
22 22
3.周期性的应用
3n 1 3n1 3n2 2
22
22
1 1 3 i [1 3 i ( 3 i)2] 22 42 2
1 3i1 3i3 22 42 4
0
即1 2 0
设＝－ 1 ＋ 3 i,则 1 3 i.对于和有以下结论成立：
22
22
(1)3 1
(2) | |2 | |2 1
(3)2
(4) 1
(5)2 1 0
所以 z 1或 z 1 3 i 或 z 1 3 i
2
2 22 2 22
即z 2或 1 3i或 1 3i
练习6.利用1的立方根，求复数-27的立方根
解：设z为-27的立方根，则：z3 27
所以 z3 1，即( z )3 1
27
3
又因为1的立方根为1, , 2, 即1， 1 3 i ， 1 3 i
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 2ab 0
3 a
b
0 3
或
a
b
0
3
所以，-3的平方根为 3i或- 3i
推广：负实数a的平方根为 a i
（2）设a+bi(a,b∈R)是7-24i的平方根，则
(a bi)2 7-24i
a2 b2 2abi 7-24i
由两个复数相等的条件，得
13.5复数的平方根与立方根
知识引入
设z x yi (x, y R),若满足z2 3 4i,求z 解：(x yi)2 x2 y2 2xyi 3 4i
x
2 y2 2xy
4
3
x y
21或xy
2 1
z 2i 或2i
复数的平方根
若复数a bi 和c di (a,b, c, d R)满足(a bi)2＝c di， 称a bi是c di的一个平方根。
(6)3n 1 3n1 3n2 2
练习4.计算( 1 3 i)10的值. 22
练习5.已知 1 3 i，求1 2 3 10
22
例3.利用1的立方根，求复数8的立方根
解：设z为8的立方根，则：z3 8
所以 z3 1，即( z )3 1
8
2
又因为1的立方根为1, , 2, 即1， 1 3 i ， 1 3 i
例2.设 1 3 i,求证：(1) , 2,1都是1的立方根;(2)1 2 0
22
证明： (1)3 ( 1 3 i)3 ( 1 3 i)2 ( 1 3 i)
22
22
22
[1 3 i ( 3 i)2 ]( 1 3 i)
42 2
22
( 1 3 i)( 1 3 i) 22 22
你发现什 么规律吗 ？
( 1)2 ( 3 i)2 1 3 1
22
44
(2 )3 (3 )2 12 1, 13 1
, 2 ,1都是1的立方根
例2.设 1 3 i,求证：(1) , 2,1都是1的立方根;(2)1 2 0
22
证明： (2) 1 2 1 ( 1 3 i) ( 1 3 i)2
因为[（a bi）]2＝c di， 所以 a bi也是c di的一个平方根。
特别地，（ i）2 1 i是 1的平方根。 1 i
例1.求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
解:（1）设a+bi(a,b∈R)是-3的平方根，则
(a bi)2 3
Leabharlann Baidu
a2 b2 2abi 3
22 22
所以 z 1或 z 1 3 i 或 z 1 3 i
3
3 22
3 22
即z 3或z 3 3 3 i 或z 3 3 3 i
22
22
课堂小结
1.复数的平方根
若复数a bi 和c di (a,b,c, d R)满足(a bi)2＝c di， 称a bi是c di的一个平方根。
a2 2ab
b2 7 24
a b
4 3
或
a b
4 3
所以，7-24i的平方根为4 3i 或 4 3i
练习1.求下列复数的平方根 (1) 4
练习2.负实数k的平方根是 ___________
练习3.求复数 4i的平方根.
复数的立方根
类似地，若复数满足z13 z2，则称z1是的z2立方根. 求一个复数的立方根或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们只研究1的立方根.
2.复数的立方根
1的立方根为1, , 2, 即1， 1 3 i ， 1 3 i
22 22
3.周期性的应用
3n 1 3n1 3n2 2
22
22
1 1 3 i [1 3 i ( 3 i)2] 22 42 2
1 3i1 3i3 22 42 4
0
即1 2 0
设＝－ 1 ＋ 3 i,则 1 3 i.对于和有以下结论成立：
22
22
(1)3 1
(2) | |2 | |2 1
(3)2
(4) 1
(5)2 1 0