1.1均匀介质中的光波

第一章 光的波动性
波动性（干涉，衍射）， 粒子性（光电效应）
§1.1 均匀介质中传输的光波
一、平面波 1、表示式
光波是电磁波，用随时间变化的电场E 和磁场H 表示。

如果光波沿z 方向传播，一种最简单的表示式为
)cos(00φω+-=kz t E E （1.1－1） 描述的是一个在无穷大介质中沿z 方向传播的行波。

E 0：振幅， ω ：随时间变化的角频率， k: 传播常数或波数， λ
π
2=
k λ：光的波长
0φ：初相位 ，
令 0φωφ+-=kz t 波的相位
由电磁场理论可知，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，因此式（1.1－1）表示的电场总是伴随着一个具有相同频率和相同传播常数的磁场，磁场的表示式与电场相同。

一般情况下，研究的是光与非导电介质的相互作用，虽然磁场与电场有很密切的关系，但光场一般指电场。

指数形式 )(e x p 00φω+-=kz t i E E （1.1－2） 实际情况应取实部 )](exp Re[00φω+-=kz t i E E （1.1－3）
为矢量，称为波矢，其数量大小等于传播常数，λ
π
2=k ，其方向代表波的传
输方向。

如果电磁场沿任意的一个方向传输，方向由表示，位移矢量为的任意一点的电场为
)(exp 00φω+⋅-=t i E E （1.1－4）
其中'kr =⋅。

从图中可看出，'r 是在方向上的投影，如果沿z
方向，
某一时刻
kz =⋅。

在xyz 坐标系中，可表示成
k k k z y x ++= z z y y x ++=
x 、y 、z 为单位矢量。

z k y k x k z y x ++=⋅
2、平面波的性质
在无穷大的介质中传播
1） E 和H 互相正交，且垂直于波矢量。

2）在与垂直的平面上，波的相位相等，称为等相面，即0φωφ+-=kz t ＝常数。

此平面又称为波前。

3）等相面上的电场为常数，且与传输距离无关。

3、相速度：等相面的传播速度
等相面 0φωφ+-=kz t ＝常数
在时间间隔t ∆内此等相面移动距离z ∆，其速度为t z ∆∆/， 相速度 νλωω=++===
2/1222)
(z y x p k k k k dt dz v （1.1－5） ν：光的频率，πνω2=
4、相位差：
距离为z ∆的两点的相位差 z z k ∆=
∆=∆λ
π
φ2
如果m πφ20或=∆，m 为整数，此两点的相位相等。

二、发散波
如果不考虑介质的吸收，平面波振幅与距离无关，
在与相垂直的平面上均相等。

如果平面扩展到无穷大，此平面波将带有无穷大的能量。

实际中，一方面光束的截面区域是有限的；另一方面，不可能找到无穷大的光源产生理想的平面波。

因此，电场平面不可能扩展到无穷大。

在各向同性的线性介质中，如果为电导率为零，电磁波的电场和磁场要服从Maxwell 的波动方程
2200222222t
E
z E y E x E r ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂μεε （1.1－6） 0ε、0μ为真空介电常数和真空磁导率，r ε为相对介电常数。

结合初始条件和边
界条件，解方程，得到电场随时间和空间的变化关系。

平面波是方程的一个特
解。

球面波也是方程的一个特解（球坐标系）。

1、 球面波 )cos(kr t r
A
E -=ω （1.1－7）
特性：
（1） 由点源发射，振幅随传输距离的增加而衰减； （2） 波前为球面，等相面随传输距离的增加而增大； （3） 任意一点的垂直于该点的波前，且是发散的； 理想波
一般的发散光束：
在远离光源的地方，选取一个小的空间区域， 球面可近似看成为平面，因此波前近似为平面。

2、高斯光束（Gaussian beam ）
激光器的出射光束
（1）纵向传播特性符合 )(e x p
kz t i -ω （2）振幅大小随传播距离变化，横截面的光强分布为高斯函数])
(exp[22
z w r -
w ：光束半径，在2w π的范围内包含了85％的光能量。

（4） O 点称为束腰，波前为平面，w 0：束腰半径，束腰越大，发散角越小，
发散角 )
2(420w πλ
θ=
三、折射率(refractive index)
在介质中传播，电磁场与介质相互作用，引起介质分子的极化，影响传播速度。

非磁性介质中的相速度 0
01
μεεr v =
（1.1－8）
r ε:相对介电常数，代表介质极化的影响，与光波频率（或波长）有关。

真空中
1=r ε，18103-⋅⨯==s m c v 。

折射率：自由空间中光的传播速度与介质中光的传播速度的比值。

r v c
n ε== （1.1－9）
介质中，光的频率不变，波矢和波长变化，r ε与材料有关。

0nk k = n
λλ=
（1.1－10） 0k 、0λ 真空中的波矢和波长。

在非晶格介质中，折射率各向同性； 晶体中，折射率各向异性。

四、群速度和群折射率
实际中，光源发出的光波不可能是单一波长（monochromatic wave ），具有一定的谱线宽度，构成波包。

设一束光波中包含两个频率，ωω∆-和ωω∆+，波数k k ∆-和k k ∆+ 电场 ])()[(exp 01z k k t i E E ∆--∆-=ωω ])()[(exp 02z k k t i E E ∆+-∆+=ωω
]})()[(exp ])()[({exp 0z k k t i z k k t i E E ∆+-∆++∆--∆-=ωωωω
)cos()(exp 20kz t kz t i E ∆-∆-=ωω （1.1－11） 余弦项起调制因子的作用，形成波包。

最大振幅的波数为k ∆，其速度为
k v g ∆∆=ω 或 dk
d v g ω= 群速度 （1.1－12）
群速度：波包的传输速度，能量的传输速度。

因
k v p =ω
真空中，v p = c ，
ck =ω， p g v c dk
d v ===
ω
介质中， πνλπλπλω222)(0
＝c
n c k v p ==
=
)/()/()(//0
0000000λλωωd dn
n c dk dn k n c dk nk d c dk dk dk d dk d v g -=+====
（1.1－13） 令
λ
λ
d dn
n N g -= 群折射率 （1.1－14） g
g N c
v =
（1.1－15） 色散介质：在该介质中传输的光波，相速度与群速度均与波长有关。

材料色散
应用：光通信系统
光在光纤中传输时，光脉冲的传输速度受到群折射率的影响。

因不同波长的群折射率不同，传输一段距离后，脉冲将被展宽。

SiO 2的折射率和群折射率。

群折射率在1300nm 处有极小值，且曲线较为平坦，即在1300nm 附近群折射率（群速度）相等，无色散。

五、玻印廷矢量（Poynting Vecter ）和辐射通量密度(Irradiance)
磁场：与电场密切相关
由电磁场理论得到 E k B
⨯=ω （1.1－16） 如果 E x =， 'y B B y =， 0nk =， 上式可写成
y x B n
c
E =
（1.1－17） 电场能量体密度 2
02
1x r e E w εε=
磁场能量体密度 20
22121y y m B H w μμ==
由（1.1－17）式，可得 m e w w =
电磁场总能量体密度 0
22
0μεεy
x
r m e B E w w w =
=+=
能流密度（或辐射通量密度，光强）：每单位时间内，通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能。

在电磁场行进的方向上某一点取一小体积，垂直于电磁波传播方向的截面
积为ΔA ，高为Δl 。

小体积中的电磁场能量等于w ΔA Δl ，这些能量在v
l
t ∆=
∆的时间内通过面积ΔA 。

能流密度 y x y x r x r H E B E v E v wv v
l A
l A w t
A l A w S ====∆∆∆∆=∆∆∆∆=
εεεε022
（1.1－18）
矢量表示
H E B E v S r ⨯=⨯=εε02 玻印廷矢量 （1.1－19）
由于接收光强度的器件不能响应光频，因此实际测量到的是一个周期内的平均能流密度（平均光强）
2
002002
121nE c E v S I r εεε===
单位： W/m 2。