1.1均匀介质中的光波

第一章 光的波动性

波动性（干涉，衍射）， 粒子性（光电效应）

§1.1 均匀介质中传输的光波

一、平面波 1、表示式

光波是电磁波，用随时间变化的电场E 和磁场H 表示。如果光波沿z 方向传播，一种最简单的表示式为

)cos(00φω+-=kz t E E （1.1－1） 描述的是一个在无穷大介质中沿z 方向传播的行波。 E 0：振幅， ω ：随时间变化的角频率， k: 传播常数或波数， λ

π

2=

k λ：光的波长

0φ：初相位 ，

令 0φωφ+-=kz t 波的相位

由电磁场理论可知，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，因此式（1.1－1）表示的电场总是伴随着一个具有相同频率和相同传播常数的磁场，磁场的表示式与电场相同。一般情况下，研究的是光与非导电介质的相互作用，虽然磁场与电场有很密切的关系，但光场一般指电场。

指数形式 )(e x p 00φω+-=kz t i E E （1.1－2） 实际情况应取实部 )](exp Re[00φω+-=kz t i E E （1.1－3）

为矢量，称为波矢，其数量大小等于传播常数，λ

π

2=k ，其方向代表波的传

输方向。

如果电磁场沿任意的一个方向传输，方向由表示，位移矢量为的任意一点的电场为

)(exp 00φω+⋅-=t i E E （1.1－4）

其中'kr =⋅。从图中可看出，'r 是在方向上的投影，如果沿z

方向，

某一时刻

kz =⋅。

在xyz 坐标系中，可表示成

k k k z y x ++= z z y y x ++=

x 、y 、z 为单位矢量。 z k y k x k z y x ++=⋅

2、平面波的性质

在无穷大的介质中传播

1） E 和H 互相正交，且垂直于波矢量。

2）在与垂直的平面上，波的相位相等，称为等相面，即0φωφ+-=kz t ＝常数。此平面又称为波前。

3）等相面上的电场为常数，且与传输距离无关。

3、相速度：等相面的传播速度

等相面 0φωφ+-=kz t ＝常数

在时间间隔t ∆内此等相面移动距离z ∆，其速度为t z ∆∆/， 相速度 νλωω=++===

2/1222)

(z y x p k k k k dt dz v （1.1－5） ν：光的频率，πνω2=

4、相位差：

距离为z ∆的两点的相位差 z z k ∆=

∆=∆λ

π

φ2

如果m πφ20或=∆，m 为整数，此两点的相位相等。

二、发散波

如果不考虑介质的吸收，平面波振幅与距离无关，

在与相垂直的平面上均相等。如果平面扩展到无穷大，此平面波将带有无穷大的能量。实际中，一方面光束的截面区域是有限的；另一方面，不可能找到无穷大的光源产生理想的平面波。因此，电场平面不可能扩展到无穷大。

在各向同性的线性介质中，如果为电导率为零，电磁波的电场和磁场要服从Maxwell 的波动方程

2200222222t

E

z E y E x E r ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂μεε （1.1－6） 0ε、0μ为真空介电常数和真空磁导率，r ε为相对介电常数。结合初始条件和边

界条件，解方程，得到电场随时间和空间的变化关系。平面波是方程的一个特

解。球面波也是方程的一个特解（球坐标系）。

1、 球面波 )cos(kr t r

A

E -=ω （1.1－7）

特性：

（1） 由点源发射，振幅随传输距离的增加而衰减； （2） 波前为球面，等相面随传输距离的增加而增大； （3） 任意一点的垂直于该点的波前，且是发散的； 理想波

一般的发散光束：

在远离光源的地方，选取一个小的空间区域， 球面可近似看成为平面，因此波前近似为平面。

2、高斯光束（Gaussian beam ）

激光器的出射光束

（1）纵向传播特性符合 )(e x p

kz t i -ω （2）振幅大小随传播距离变化，横截面的光强分布为高斯函数])

(exp[22

z w r -

w ：光束半径，在2w π的范围内包含了85％的光能量。

（4） O 点称为束腰，波前为平面，w 0：束腰半径，束腰越大，发散角越小，

发散角 )

2(420w πλ

θ=

三、折射率(refractive index)

在介质中传播，电磁场与介质相互作用，引起介质分子的极化，影响传播速度。

非磁性介质中的相速度 0

01

μεεr v =

（1.1－8）

r ε:相对介电常数，代表介质极化的影响，与光波频率（或波长）有关。真空中

1=r ε，18103-⋅⨯==s m c v 。

折射率：自由空间中光的传播速度与介质中光的传播速度的比值。

r v c

n ε== （1.1－9）

介质中，光的频率不变，波矢和波长变化，r ε与材料有关。

0nk k = n

λλ=

（1.1－10） 0k 、0λ 真空中的波矢和波长。

在非晶格介质中，折射率各向同性； 晶体中，折射率各向异性。

四、群速度和群折射率

实际中，光源发出的光波不可能是单一波长（monochromatic wave ），具有一定的谱线宽度，构成波包。

设一束光波中包含两个频率，ωω∆-和ωω∆+，波数k k ∆-和k k ∆+ 电场 ])()[(exp 01z k k t i E E ∆--∆-=ωω ])()[(exp 02z k k t i E E ∆+-∆+=ωω

]})()[(exp ])()[({exp 0z k k t i z k k t i E E ∆+-∆++∆--∆-=ωωωω