(信息与计算科学)可靠性毕业论文正文

目录摘要 (1)关键词指数分布；可靠性；步加试验；极大似然估计； BAYES估计； (1)引言 (1)第一章可靠性的基础 (2)1.1可靠性的基本概念 (2)1.2指数分布 (2)1.2.1指数分布的实际背景 (2)1.2.2 指数分布的定义及其可靠性指标 (3)1.2.3指数分布的无记忆性 (3)1.3G AMMA分布 (4)第二章：参数估计 (4)2.1.未知参数的点估计的常用方法 (4)2.2.参数点估计的矩估计法 (5)2.3.参数点估计的最大似然计法 (6)2.4.指数分布的应用 (7)第三章：指数分布下的步加寿命试验 (10)3.1．假定和引理 (10)3.2步加试验的贝叶斯估计 (11)3.3模拟比较 (12)致谢 (14)参考文献 (14)英文摘要 (15)A BSTRACT: (15)K EYWORDS: (15)附录：程序部分 (16)指数分布及其在可靠性中的应用作者：*****1指导老师：***（*******大学理学院信息与计算科学专业学号：********）摘要本文首先介绍了可靠性的基本概念及两种常用的寿命分布：指数分布和Gamma分布。

研究了指数分布的一个重要的性质：指数分布的无记忆性。

其次，介绍了两种重要的参数估计方法：矩估计和最大似然估计，并给出了指数分布场合三种系统的可靠性指标。

最后，我们研究了CE模型下指数分布场合步进应力加速寿命试验的一种基于Gibbs抽样的Bayes估计。

通过模拟例子表明该算法比最大似然估计更加有效。

关键词指数分布；可靠性；步加试验；极大似然估计； Bayes估计；引言加速寿命试验是指，在超过使用环境条件的应力水平下对样品进行的寿命试验。

这种试验的特点是：选择一些比正常使用环境恶劣的应力水平，又称为加速应力水平，在这些加速应力水平下进行寿命试验。

由于产品的试验环境变得恶劣，从而加速了产品失效，缩短了试验时间。

本文首先讨论了指数分布的概念、性质及它的应用，讨论了步加试验数据的统计分析方法，对定数截尾情况下的步加试验数据给出了一种统计分析方法，提出了极大似然估计方法，但论述区间估计的很少，参数估计的分布。

在评定高可靠性、长寿命产品的可靠性时，步进应力加速寿命试验(简称步加试验,参见文献([1, 2])是一种重要试验。

近年来,已有一些文献讨论了步加试验数据的统计分析方法。

在点估计方面，文献[3]在指数分布场合给出了定数截尾样本的统计分析方法,文献[4]则对定数截尾情况下的步加试验数据给出了一种优于文献[3]的统计分析方法。

文献[8]给出了指数分布场合下步进应力加速寿命试验定时和定数截尾的MLE的存在和唯一的充要条件,然后给出了正常应力下平均寿命的近似置信区间。

并且做了模拟比较,得到其真值覆盖率较好。

文献[5]给出了定数截尾情况下指数分布场合的步加试验的Bayes方法,主要采用带约束参数的方法。

文献[6]给出了定数截尾情况下指数分布步加试验的一种近似Bayes11作者简介：论文完成时间：2007年5月20日方法。

本文给出了CE 模型下指数分布场合步进应力加速寿命试验的一种Bayes 估计方法。

其算法主要是对完全后验分布采用了抽样方法,再利用Gibbs 抽样(可参见文献[7])对参数进行迭代。

最后利用随机模拟的方法,对基于Gibbs 抽样的Bayes 估计和最大似然估计进行了比较分析,得出基于Gibbs 抽样的Bayes 估计比最大似然估计更加有效。

第一章 可靠性的基础1.1 可靠性的基本概念在可靠性研究中，人们主要关心产品的使用寿命，即产品能保持完成其规定功能的正常工作时间。

由于产品寿命是随机的，因此无法直接用寿命作为指标来度量产品的可靠性。

为了定量描述产品可靠性，人们从不同角度定义了各种产品的可靠性指标。

为此，我们引入了可靠度函数。

在实际中，产品在],0[t 时间内正常工作的概率为)()(t T P t R >= （1.1） 则称)(t R 为产品在时刻t 的可靠度函数，简称可靠度。

由于)(1)(t F t R -=,因此可靠度函数)(t R 具有下列性质;0,1)(0)1∞<≤≤≤t t R)()2t R 是时间t 的非增函数，且.0)(,1)0(=+∞=R R当寿命T 具有密度函数)(t f 时，可靠度函数)(t R 又可表示为：dx x f t R t )()(⎰+∞=。

1.2指数分布1.2.1指数分布的实际背景 假设使用了)0(≥t t 小时的电子管，在以后t ∆小时内失效的概率为)(t t ∆+∆ολ，其中λ是不依赖于t 的正数，假定电子管寿命为零的概率是零，现在研究电子管在0t 小时内失效的概率。

设T 为电子管的寿命，T 的分布函数为).(x F 则)()|(t t t T t t T t P ∆+∆=>∆+≤<ολ)()(),(t t t T P t T t t T t P ∆+∆=>>∆+≤<ολ )()()(t t t T P t t T t P ∆+∆=>∆+≤<ολ )()(1)(()(t t t F t F t t F ∆+∆=--∆+ολ ])()][(1[)()(tt t F t t F t t F ∆∆+-=∆-∆+ολ 令,0→∆t 得)](1[)('t F t F -=λ 故⎰⎰=-dt t F t dF λ)(1)(,)](1ln[1c t t F +=--λt ce t F λ-=-)(1由,0)0(=F 得1=c ，故,0≥t 有.1)(t e t F λ--=1.2.2 指数分布的定义及其可靠性指标在可靠性理论中，特别是在电子产品的可靠性研究中。

指数分布是最基本、最常用的寿命分布，它的密度函数t e t f λλ-=)( , 0t > （1.2） 式中λ为非负参数。

其分布函数和可靠度函数分别为t e t F λ--=1)(, 0t > （1.3）t e t R λ-=)( , 0t > （1.4）由式（1.2）可知，若产品寿命服从指数分布，其失效率是常数，即λλ=)(t （1.5）其他可靠性指标还有平均寿命、方差、可靠寿命、特征寿命，他们分别是：平均寿命；λθ/1=方差;/1)(2λ=T Var 可靠寿命;/)(ln λr t r -=特征寿命,/11λ=-e t 它与平均寿命相等。

1.2.3指数分布的无记忆性设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则对任意的实数,0,0>>t s 有}{}|{t X P s X t s X P >=>+>证明：由条件概率定义可知}{},{}|{s X P s X t s X P s X t s X P >>+>=>+> ⎰⎰∞-∞+-=>+>=s x ts x dxe dx e s X P t s X P λλλλ}{}{ }{)(t X P e ee t s t s >===--+-λλλ 1.3 Gamma 分布称随机变量T 服从Gamma 分布。

若T 的密度函数0,)()(1>Γ=--t e t t f t λαααλ (1.6) 式中λα,为参数，且,0,0>>λα记作).,(~λαΓT 当1=α时，)(t f 为指数分布；当α为正整数时，)(t f 为爱尔兰分布。

Gamma 分布的失效率函数为0,)()()(11>==⎰∞+----t dt et e t t R t f t t t t λαλαλ (1.7) Gamma 分布的平均寿命与方差分别为2)(,)(λαλα==T Var t E (1.8) 特别，当),1(,1λαΓ=就是参数λ的指数分布。

Gamma 分布是指数分布的一种推广。

Gamma 分布具有可加性，即：设i X 服从Gamma 分布),(λαi Γ，n i ,,2,1 =， 则n X X X +++ 21服从Gamma 分布),(1λααn ++Γ 。

第二章：参数估计2.1.未知参数的点估计的常用方法设总体分布的函数),...,;(1m x F θθ形式为已知，m θθ,...,1是m 个待估计的未知参数，),...,,(21n X X X 是来自X 的一个容量为n 的样本，),...,,(21n x x x 是相应的一个样本值。

为要估计m θθ,...,1，需要构造m 个适当的统计量⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∧∧∧∧∧∧),,...,,(...................................),,...,,(),,...,,(2121222111n m m n n X X X X X X X X X θθθθθθ （2.1）用它们的观测值),...,,(),...,,...,,(),,...,,(21212211n m n n x x x x x x x x x ∧∧∧θθθ，分别作为未知参数 m θθθ,...,,21的近似值，称),...,,(),...,,...,,(),,...,,(21212211n m n n X X X X X X X X X ∧∧∧θθθ为未知参数的估计量，称 ),...,,(),...,,...,,(),,...,,(21212211n m n n x x x x x x x x x ∧∧∧θθθ为m θθθ,...,,21的估计值。

2.2.参数点估计的矩估计法设}),;({Θ∈θθx F 是总体X 的分布函数族，),...,(1m θθθ=是m 个待估计的未知参数，假设总体X 的m 阶矩存在。

记总体X 的k 阶原点矩为k μ，则 ,);(),...,(1⎰∞∞-===θθθμμx dF x EX k k m k k m k ≤≤1 对于样本),...,,(21n X X X ，其样本矩是：,11∑==n i k i k X n A m k ≤≤1 以样本矩作为总体矩的估计，即令,1),...,(11∑==n i k i m k X n θθμ m k ≤≤1 解得),,...,2,1)(,...,,(21m k X X X n k k ==∧∧θθ并以∧∧∧k θθθ,...,,21分别作为k θθ,...,1的估计量,称∧k θ为未知参数),...2,1(m k k =θ的矩估计量。

例1：设总体ξ服从参数为λ的指数分布，其密度函数为.0,0>>λx 试求参数为λ的矩估计。

解：总体ξ的一阶矩为λλλξλ11)(00====-∞∞∞-∞-⎰⎰⎰dt e t dx e x dx x xf E t x此结果的意义是：若随机变量ξ表示产品的寿命，服从参数为λ的指数分布，则产品的平均寿命为.1λ则有ξξE n P n i i −→−∑=11 解得ξλ1=∧ (2.2)2.3.参数点估计的最大似然计法设样本),...,,(21n X X X 的联合密度函数),,(θx P 其中θ为未知参数对给定,x 称),(),(θθx P x L = 为θ的似然函数。