高中数学 1.3中国古代数学中的算法案例 新人教B版必修3
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数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度
[答案] C
[解析] 对于一元 n 次多项式使用秦九韶算法仅需做乘法 n 次，加法 n 次，而直接求和法需做nn＋ 2 1次乘法，n 次加法， 所以是加快了计算的速度．
2．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是
________π的实际值．( )
A．大于等于
B．小于等于
C．等于
D．小于
[答案] D
[解析] 用割圆术法求出的是π的不足近似值，故选D.
3．用更相减损之术求88与24的最大公约数为( )
A．2
B．7
C．8
D．12
[答案] C
[解析]
(88,24)→(64,24)→(40,24)→(24,16)→(16,8)→ (8,8)，故
88与24的最大公约数为8.
4．三个数72、120、168的最大公约数是________．
[答案] 24
[解析] (72,120,168)→(72,120,168－
120)→(72,120,48)→ (72,120－72,48)→(72,48,48)→(72－
48,48,48)→(24,48,48)→
(24,48－
24,48)→(24,24,48)→(24,24,48－24)→(24,24,24)．
项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7当x＝5时的值．
[解析] f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7＝((((2x－
5)x－4)x＋3)x－6)x＋7，
x＝5时，有v0＝a5＝2， v1＝v0x＋a4＝2×5－5＝5， v2＝v1x＋a3＝5×5－4＝21， v3＝v2x＋a2＝21×5＋3＝108， v4＝v3x＋a1＝108×5－6＝534， v5＝v4x＋a0＝534×5＋7＝2 677. ∴当x＝5时，多项式的值为2 677.
成才之路 · 数 学
人教B版 · 必修 3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
算法初步 第一章
1.3 中国古代数学中的算法案例 第一章
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课时作业
课前自主预习
韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在 卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个 报数，就能知道场上的士兵的人数，韩信先令士兵排成3列纵 队，结果有2个人多余；接着下令将队形改为5列纵队，这一 改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人 无法成整行．在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确 的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2 333人．众 人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结 果的.
1.求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法) 用两数中较大的数减去较小的数，再用_差__数__和_较__小__的__数__ 构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下 去，直到产生_一__对__相__等__的__数__，这个数就是最大公约数．
(2)用“等值算法”求最大公约数的程序
令 vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，
则递推公式为
v0＝an
vk＝vk－1x＋an－k
，其中 k＝1,2，…，n.
(2)计算 P(x0)的方法 先计算_最__内__层__的__括__号___，然后_由__内__向__外__逐层计算，直到 __最__外__层__括__号__，然后加上_常__数___项__．
1.秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是 ()
A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省乘法的次数， 使计算量减少，并且逻辑结构简单
B．秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快 了计算的速度
C．秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低 了计算的速度
D．秦九韶算法避免对自变量x单独做幂的计算，而是与系
a＝input“please give the first number”； b＝input“please give the second number”；
while a<>b if a>b a＝a－b ；
else b＝b－a ；
end end
print%io2，a，b；
2．割圆术 用圆内接正多边形面积逐渐逼近_圆__的__面__积___的算法是计算
圆周率的一种方法．
3．秦九韶算法
(1)把一元n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
改写为
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
5．用秦九韶算法计算f(x)＝9x6＋3x5＋4x4＋6x3＋x2＋8x ＋1，当x＝3时的值，需要进行________次乘法和________次
加法运算． [答案] 6 6
[解析] ∵f(x)＝(((((9x＋3)x＋4)x＋6)x＋1)x＋8)x＋
1， ∴乘法及加法运算都是6次．
6．(20wk.baidu.com5·河北成安县一中高一月考)用秦九韶算法求多
课堂典例讲练
用更相减损术求两个正整数的最大
求80和36的最大公约数． [解析] 80－36＝44， 44－36＝8，36－8＝28， 28－8＝20，20－8＝12， 12－8＝4，8－4＝4. ∴80和36的最大公约数是4. [点评] 当大数减小数的差等于小数时停止减法，较小的 数就是两数的最大公约数．
用更相减损术分别求下列两组数的最大公约数： (1)78与36； (2)1 515与600. [解析] (1)(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→ (6,18)→(6,12)→(6,6)，故78与36的最大公约数为6. (2)1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315 －285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－ 30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝ 45,45－30＝15,30－15＝15，故1 515与600的最大公约数是
[答案] C
[解析] 对于一元 n 次多项式使用秦九韶算法仅需做乘法 n 次，加法 n 次，而直接求和法需做nn＋ 2 1次乘法，n 次加法， 所以是加快了计算的速度．
2．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是
________π的实际值．( )
A．大于等于
B．小于等于
C．等于
D．小于
[答案] D
[解析] 用割圆术法求出的是π的不足近似值，故选D.
3．用更相减损之术求88与24的最大公约数为( )
A．2
B．7
C．8
D．12
[答案] C
[解析]
(88,24)→(64,24)→(40,24)→(24,16)→(16,8)→ (8,8)，故
88与24的最大公约数为8.
4．三个数72、120、168的最大公约数是________．
[答案] 24
[解析] (72,120,168)→(72,120,168－
120)→(72,120,48)→ (72,120－72,48)→(72,48,48)→(72－
48,48,48)→(24,48,48)→
(24,48－
24,48)→(24,24,48)→(24,24,48－24)→(24,24,24)．
项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7当x＝5时的值．
[解析] f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7＝((((2x－
5)x－4)x＋3)x－6)x＋7，
x＝5时，有v0＝a5＝2， v1＝v0x＋a4＝2×5－5＝5， v2＝v1x＋a3＝5×5－4＝21， v3＝v2x＋a2＝21×5＋3＝108， v4＝v3x＋a1＝108×5－6＝534， v5＝v4x＋a0＝534×5＋7＝2 677. ∴当x＝5时，多项式的值为2 677.
成才之路 · 数 学
人教B版 · 必修 3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
算法初步 第一章
1.3 中国古代数学中的算法案例 第一章
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课时作业
课前自主预习
韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在 卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个 报数，就能知道场上的士兵的人数，韩信先令士兵排成3列纵 队，结果有2个人多余；接着下令将队形改为5列纵队，这一 改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人 无法成整行．在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确 的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2 333人．众 人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结 果的.
1.求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法) 用两数中较大的数减去较小的数，再用_差__数__和_较__小__的__数__ 构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下 去，直到产生_一__对__相__等__的__数__，这个数就是最大公约数．
(2)用“等值算法”求最大公约数的程序
令 vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，
则递推公式为
v0＝an
vk＝vk－1x＋an－k
，其中 k＝1,2，…，n.
(2)计算 P(x0)的方法 先计算_最__内__层__的__括__号___，然后_由__内__向__外__逐层计算，直到 __最__外__层__括__号__，然后加上_常__数___项__．
1.秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是 ()
A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省乘法的次数， 使计算量减少，并且逻辑结构简单
B．秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快 了计算的速度
C．秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低 了计算的速度
D．秦九韶算法避免对自变量x单独做幂的计算，而是与系
a＝input“please give the first number”； b＝input“please give the second number”；
while a<>b if a>b a＝a－b ；
else b＝b－a ；
end end
print%io2，a，b；
2．割圆术 用圆内接正多边形面积逐渐逼近_圆__的__面__积___的算法是计算
圆周率的一种方法．
3．秦九韶算法
(1)把一元n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
改写为
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
5．用秦九韶算法计算f(x)＝9x6＋3x5＋4x4＋6x3＋x2＋8x ＋1，当x＝3时的值，需要进行________次乘法和________次
加法运算． [答案] 6 6
[解析] ∵f(x)＝(((((9x＋3)x＋4)x＋6)x＋1)x＋8)x＋
1， ∴乘法及加法运算都是6次．
6．(20wk.baidu.com5·河北成安县一中高一月考)用秦九韶算法求多
课堂典例讲练
用更相减损术求两个正整数的最大
求80和36的最大公约数． [解析] 80－36＝44， 44－36＝8，36－8＝28， 28－8＝20，20－8＝12， 12－8＝4，8－4＝4. ∴80和36的最大公约数是4. [点评] 当大数减小数的差等于小数时停止减法，较小的 数就是两数的最大公约数．
用更相减损术分别求下列两组数的最大公约数： (1)78与36； (2)1 515与600. [解析] (1)(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→ (6,18)→(6,12)→(6,6)，故78与36的最大公约数为6. (2)1 515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315 －285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－ 30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝ 45,45－30＝15,30－15＝15，故1 515与600的最大公约数是