《概率论》第1章§1随机试验、样本空间、随机事
概率论课堂教学课件——1.1 随机试验、随机事件及样本空间
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
基本事件:对于一个随机试验来说，它的每 一个结果（样本点）是一个最简单的随机事件， 称为基本事件。
(相对于观察目的不可再分解的事件)
例如 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
概率论与数理统计
乔高秀 Email: gxqiao@
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定
性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有
偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现
具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
必然事件
四、事件的关系及其运算 1. 事件的包含：如果事件A的发生必然导致事 件B的发生，即属于A的每个样本点也都属于B， 则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B， 记作 B A 或 A B 。
如 A=“长度不合格” ，B= “产品不合格”
因为“长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以 A 包含于B. 即
必然事件 随机试验中必然会出现的结果.
例如 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.
第一章 概率论的基本概念
第一章 概率论的基本概念一、随机事件其运算1．随机试验、样本点和样本空间(1)随机试验随机试验具有如下特点的试验．1、在相同的条件下，试验可以重复进行．2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个．3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω．随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等． 随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结果是随机事件A 中的一个样本点，则称在一次试验中事件A 发生． 只包含一个样本点的事件称为基本事件． 在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω所表示的事件，因而用Ω表示必然事件．在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表示的事件，因而用φ表示不可能事件．3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系设A ,B 为二事件，若A 发生必导致B 发生，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ⊂．B A ⊂⇔A ∈∀ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系设A ,B 为二事件，若B A ⊂并且A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2．(3)事件的并设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 至少一个发生(A 发生或B 发生)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3．(4)事件的交设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 同时发生(A 发生且B 发生)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差设A ,B 为二事件，称事件“A 发生且B 不发生”为A 减去B 的差，记为B A −．B A − }|{B A ∉∈=ωωω且．见图1—5．(6)互不相容关系设A ,B 为二事件，若A ,B 不能同时发生，称A ,B 互不相容或互斥，记为AB φ=． A ,B 互不相容⇔AB φ=，见图1—6． (7)对立事件设A 为一事件，称事件“A 不发生”为A 的余事件或A 的对立事件，记为A ．A =A −Ω，即φ=Ω=+A A A A ，，见图1—7．(8)完备事件组 构成完备事件组，若,,,,21n H H H )( 21j i H H H H H j i n ≠=Ω=++++φ， ．换句话说，如果有限个或可数个事件两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组． ,,,,21n H H H 4．事件的运算法则对于任意事件，，有C B A ,, ,,,,21n A A A (1) 交换律 A B B A A B B A ∩∩∪∪==，．(2) 结合律 C B A C B A ∪∪∪∪)()(=；C B A C B A ∩∩∩∩)()(=．(3) 分配律 ；)()()(C A B A C B A ∩∪∩∪∩=)()()(C A B A C B A ∪∩∪∩∪=．() ∪∩∪ ∪∩ ∪∪ ∪∩)()(11n n A A A A A A A =． (4) 对偶律 ，；B A B A B A B A ∪∩∩∪==∩∩ ∩ ∪∪ ∪n n A A 11=； ∪∪ ∪ ∩∩ ∩n n A A 11=．下列关系和运算要熟记：Ω⊂⊂A φ；；B A B A B A ∪∩⊂⊂)(或B B A A B A B A ==⇒⊂∪∩且；A B A ⊂−；φ=−⇒⊂B A B A ；φφ=A ∩；A A =∪φ；φ=Ω；Ω=φ；A B B A ⊂⇒⊂；AB A B A B A −==−∩；)(A B A B A ∪∪=．【例1】写出下列随机试验的样本空间： (1)从袋中任取3个球，记录取球的结果．(2)从袋中不放回地接连取出3个球，记录取球的结果． (3)从袋中有放回地接连取出3个球，记录取球的结果．(4)从袋中不放回地一个一个地取球，直到取得白球为止录取球的结果．【例2】今有3个球、4个盒子．写出下列随机试验的样本空间：(1)将3个球任意地放入4个盒子中去、每个盒子放入的球数不限，记录放球的结果． (2)将3个球放入4个盒子中去，每个盒子至多放入1个球，记录放球的结果．【例3】写出下列随机试验的样本空间： (1)在上任取一点，记录其坐标． )1,0((2)将一尺之捶折成三段，记录三段的长度 (3)在上任取三点，记录三点的坐标．)1,0(【例4】写出下列随机试验的样本空间，用样本点的集合表示所述事件，并讨论它们之间的相互关系．(1)袋中有3个白球和2个黑球，从其中任取2个球，令A 表示 “取出的全是白球”，B 表示“取出的全是黑球”，表示“取出的球颜色相同”， (C i A 2,1=i )表示“取出的2个球中恰有i 个白球”，表示“取出的2个球中至少有1个白球”． D (2)袋中有2个正品和2个次品，从袋中有放回地接连抽取产品3次，每次任取1件，令 ()表示“第次取出的是正品”，i A 3,2,1=i i B 表示“3次都取得正品”． (3)从l，2，3，4这4个数字中，任取—数，取后放回，然后再任取一数．先后取了3次，令A 表示“3次取出的数不超过3”，B 表示“3次取出的数不超过2”，表示“3次取出的数的最大者为3”．C (4)将3个球任意地放入4个盒子中去，令A 表示“恰有3个盒子中各有1球”，B 表示“至少有2个球放入同1个盒子中”．【例5】设为3事件，试用表示下列事件： C B A ,,C B A ,,(1)至少有1个发生． C B A ,, (2)都不发生．C B A ,,(3)不都发生．C B A ,,(4)不多于1个发生． C B A ,,【例6】什么样的事件X 满足下列等式： (1)B A X A X =)()(∪∪∪． (2)．B A X A ∪∪=(3)． )()(C B C A X AB ∪∩∪∪=二、事件的概率及其性质1．事件概率的定义(1)古典概型满足下列条件的随机试验，称为古典概型．10 有限性：样本点的总数是有限的；20等可能性：所有基本事件是等可能的；①概率的定义：设随机试验为古典概型，样本空间为},,{1n ωω =Ω，A 是一个事件．},,{1r i i A ωω =，则事件的概率为含样本点的个数含样本点的个数Ω==A n r A P )(． ②概率的性质：对于古典概型，事件的概率具有下列性质． 10． 1)(0≤≤A P 20．1)(=ΩP 30有限可加性：若两两互不相容，则n A A A ,,,21 ∑===ni i n i i A P A P 11)()(∪．(2)几何概型满足下列条件的随机试验，称为几何概型．10有限性：样本空间是直线、二维或三维空间中度量(长度、面积或体积)有限的区间或区域．20均匀性：样本点在样本空间上是均匀分布的(可通俗地称为是等可能的) ．①概率的定义：在几何概型中，Ω为样本空间，A 是一个事件，定义事件A 的概率)()()(Ω=L A L A P ． 其中,分别是)(A L )(ΩL A ,的度量．Ω②概率的性质：对于几何概型，事件的概率具有下列性质． 10． 1)(0≤≤A P 20．1)(=ΩP 30若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ∪．(3)事件的频率和性质以及概率的统计定义①事件的频率：将试验重复独立地进行次，若其中事件n A 发生了次，则称为A n A n A 在这n 次试验中出现的频数，称比值为n n A /A 在这次试验中出现的频率，记为，即．n )(A f n =)(A n f n n A /②频率的性质：事件的频率有如下性质： 101)(0≤≤A f n ． 20．1)(=ΩP 30 若两两互不相容，则m A A A ,,,21 ∑===mi i n m i i n A f A f 11)()(∪．2．概率的公理化定义及性质(1)概率的公理化定义设随机试验E 的样本空间为，以ΩE 的所有随机事件组成的集合(即的一些子集组成的集合)为定义域，定义一个函数(Ω)(A P A 为任意随机事件)，即任意一个随机事件A 与一个实数，且满足：)(A P 10．0)(≥A P 20．1)(=ΩP 30 可列可加性：若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ∪．(2)概率的性质 100)(=φP ．20 有限可加性：若两两互不相容，则．n A A A ,,,21 ∑===ni in i iA P A P 11)()(∪30可减性：如果B A ⊂，则)()()(A P B P A B P −=−，)()(B P A P ≤⇒． （无条件等式)()()(AB P B P A B P −=−） 40对于任意事件A ，有1)(≤A P ． 50一般加法公式：==)(1∪n i i A P ∑=ni i A P 1)(∑≤<≤−nj i j i A A P 1)( ++∑≤<<≤nk j i k j i A A A P 1)()()1(211n n A A A P −−+【例7】袋中有3个白球及5个黑球，(1)从袋中任取4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率．(2)从袋中不放回地接连取出4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率． (3)从袋中有放回地接连取出 4个球，求取得2个白球及2个黑球的概率．【例8】设有个人，每个人都等可能地被分配到个房间中的任一间()，求下列事件的概率：n N N n < 事件：某指定的间房中各有1个人． 1A n 事件：恰有间房各有1个人． 2A n 韦件：某指定的房间中有个人．3A k 事件：当4A N n =时，恰有一间房空着．【例9】编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的车皮随机地发往三个地区,和的各2，3和4节，求发往同一地区的车皮编号相邻的概率． 1E 2E 3E【例10】从0,1,2,…,9这10个数字中任取1个，取后放回，先后取了6个数字，求下列事件的概率：事件：6个数字全不相同． 1A 事件：不含0与9． 2A 事件：0恰好出现2次． 3A 事件：至少出现2个0．4A 事件：6个数字中最大的是6． 5A 事件：6个数字的总和是20．6A【例11】有5名插班生，其中有3名男生、2名女生．现将他们按每班1人任意地分配到编号为1—5的5个班中去，求下列事件的概率：事件：3名男生被分到班号相连的3个班中．1A 事件：至少有2个男生被分到的班号或2个女生被分到的班号相连． 2A【例12】从n 双尺码不同的鞋子中任取r 2 (n r ≤2)只，求下列事件的概率： 事件：所取1A r 2只鞋子中只有2只成双 事件：所取2A r 2只鞋子中至少有2只成双．事件：所取3A r 2只鞍子恰成r 双．【例13】在线段AB 上任取一点，该点将AB 分成两段，求下列事件的概率： 事件：其中一段大于另一段的倍． 1A m 事件：其中每一段都小于另一段的倍．2A m【例14】设只1个泊位的码头有甲、乙两艘船停靠，2船各自可能在1昼夜的任何时刻到达．设两艘船停靠的时间分别为1小时和2小时，求下列事件的概率： 事件：码头空闲超过2小时．1A 事件：一艘船要停靠必须等待一段时间． 2A【例15】在线段上任取3个点，求下列事件的概率： AC 321,,A A A 事件：位于与之间．1B 2A 1A 1A 事件：能构成1个三角形． 2B 321,,AA AA AA【例16】若,5.0)(=A P 4.0)(=B P ,3.0)(=−B A P ，求和)(B A P ∪)(B A P ∪.【例17】对于任意两个互不相容的事件A 与B ，以下等式中只有一个不正确，它是： (A) ；)()(A P B A P =−(B) )()(A P B A P =−1)(−+B A P ∪； (C) )()()(B P A P B A P −=−； (D) ； (E) )())()((A P B A B A P =−∩∪)()()(B A P A P B A P ∪−=−.三、条件概率和乘法公式1．条件概率的定义及性质(1)条件概率的定义设为两个事件，，则称B A ,0)(>B P )()()|(B P AB P B A P =为B 发生的条件下A 的条件概率．(2)条件概率的性质 条件概率满足： 10． 0)|(≥B A P 20．1)|(=ΩB P 30可列可加性：若两两互不相容，则,,,,21n A A A ∑∞=∞==11)|()|(i i i i B A P B A P ∪．2．关于条件概率的三个定理(1)乘法公式若，则0)(>A P )()()(A B P A P AB P =． 推广 若，则0)(21>n A A A P )()()()(12112121−=n n n A A A A P A A P A P A A A P ．(2)全概率公式设是样本空间的一个划分（或称为完备事件组），即两两不交：n B B B ,,,21 Ωn B B B ,,,21 j i B B j i ≠=,φ，且Ω=n B B B ∪ ∪∪21．则∑==ni i i B P B A P A P 1)()|()(．(3)贝叶斯公式设是样本空间Ω的一个划分，若事件n B B B ,,,21 A 满足：，则有0)(>A P n i B P BA PB P B A P A B P nj j ji i i ,,2,1,)()|()()|()|(1==∑=．)(i B P （），通常叫先验概率．，（n i ,,2,1 =)|(A B P i n i ,,2,1 =），通常称为后验概率．如果我们把A 当作观察的“结果”，而理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断．n B B B ,,,21【例18】在3重努利试验中，设5.0)(=A P ，若已知A 至少出现1次，求A 至少出现1次的概率．【例19】口袋个装有个白球、个黑球，一次取出球，发现都是同一颜色的球，求它们都是黑球的概率． 12−n n 2n【例20】假设一个人在一年内患感冒的次数X 服从参数为5的泊松分布；正在销售的一种药品A 对于75%的人可以将患感冒的次数平均降低到3次，而对于25%的人无效．现在有某人试用此药一年，结果在试用期患感冒两次，试求此药有效的概率α．【例21】对产品作抽样检验时，每100件为一批，逐批进行．对每批检验时，从其中任取1件作检查，如果是次品，就认为这批产品不合格；如果是合格品，则再检查下件．检验过的产品不放回．如此连续检查5件．如果检查5件产品都是合格品，则认为这批产品合格而被接受．假定一批产中有5％是次品，求这批产品被接受的概率．【例22】加工零件需要经过两道工序，第—道工序出现合格品的概率为0.9，出现次品的概今为0.1第一道工序加工出来的合格的，在第二道工序中出现合格品的概率为0.8，出现次品的概率为0.2；第一道工序加工出来的次品，在第二道工序出现次品或出现废品的概率都是0.5．分别求经过两道工序加工出来的零件是合格品、次品、废品的概率．【例23】在某工厂中有甲、乙、丙3台机器生产同样的产品，它们的产量各占25％，35％，40％，并且在各自的产品中．废品各占5％，4％，2％，从产品中任取1件，求它是废品的概率．若取出的是废品，分别求它是甲、乙、丙机器生产的概率．【例24】乒乓球盒内有12个球，其中9个是新球．第一次比赛时任取3个使用，用后放回．第二次比赛时再任取3个球，求此3个球全是新球的概率．若第二次取出的3个球全是新球，求第一次取出使用的3个球也是新球的概率．【例25】袋中装有5个白球和2个黑球，从中任取5个放入一个空袋中．再从这个袋的5个球做任取3个球放入另一个空袋个．最后从第三个袋中任取1球，求从第三个袋中取出白球的概率．若从第三个袋取出的是白球，分别求从第一个袋中取出放入第二个袋的5个球全是白球的概率、从第二个袋中取出放入第三个袋的3个球全是白球的概率．四、事件的独立性1．二事件的独立性定义 设为二事件，若B A ,)()()(B P A P AB P =，则称相互独立． B A , 性质 若，则相互独立的充要条件是)0(>A P B A ,)()|(B P A B P =． 定理 若相互独立，则B A ,A 与B ，A 与B ，A 与B 均独立． 2．三个或三个以上事件的独立性（1）三个事件相互独立 设为三个事件，若满足： C B A ,,)()()(B P A P AB P =； )()()(C P A P AC P =；)()()(C P B P BC P =；)()()()(C P B P A P ABC P =，则称相互独立，简称独立.C B A ,,C B A ,,若只满足上面的前三个式子，称两两独立．两两独立，未必相互独立. C B A ,,C B A ,,（2）个事件相互独立 如果n 个事件满足：n n A A A ,,,21 )()()(j i j i A P A P A A P =， n j i ≤<≤1， 共个等式； 2nC )()()()(k j i k j i A P A P A P A A A P =， n k j i ≤<<≤1 共个等式； 3nC … … … … … … … … … … … … … … … … … …)()()()(2121n n A P A P A P A A A P = 共个等式 nn C 这等式成立，则称相互独立，简称独立．1232−−=+++n C C C n nn n n n A A A ,,,21 n A A A ,,,21 若相互独立，是中的个事件，则相互独立．n A A A ,,,21 k i i i A A A ,,,21 n A A A ,,,21 k k i i i A A A ,,,21若相互独立，将任意n A A A ,,,21 m )1(n m ≤≤个事件换成它的对立事件后，所得个事件仍独立．n 若相互独立，则．n A A A ,,,21 ∏==−−=ni in i iA P A P 11))(1(1)(∪3．独立试验序列概型贝努利试验 对一个试验E ，如果只考虑两个结果A 和A ，且，p A P =)(q p A P =−=1)(，则称E 为贝努利试验．n 重贝努利试验 将贝努利试验E 重复独立地做次，称为n 重贝努利试验．n 二项概率公式 在n 重贝努利试验中，若用表示在n 次试验中k n A ,A 出现次，则k kn k k n k n q p C A P −=)(,，，n k ,,1,0 =p q −=1．【例26】设有两门高射炮，每—门击中飞机的概率都是0.6，求同时射击一发炮弹能击中飞机的概率．若欲以99％的概率击中飞机，求至少需要多少门高射炮同时射击．【例27】今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击，甲命中的概率为，乙命中的概率为，甲先射，谁先命中谁得胜，分别求甲、乙获胜的概率． 1p 2p【例28】甲、乙二人进行下棋比赛，假设每局甲胜的概率为α，乙胜的概率为β，且1=+βα，在每局比赛中谁获胜谁得1分．如果谁的积分多于对方2分，谁就获得全场的胜利，分别求甲、乙二人获得全场胜利的概率．【例29】检查产品质量时，从其中连续抽查若干件，如果废品不超过2件，则认为这批产品合格而被接收．现有一大批产品，其废品率为0.1． (1)若连续抽查10件．求这批产品被接收的概率．(2)为使这批产品被接收的概率不超过0.9．应至少抽查多少件产品．【例30】保险公司为某年龄段的人设计一项人寿保险，投保人在1月1日向保险公司交纳保险费10元，1年内若投保人死亡，家属可向保险公司领取5000元，已知在1年内该年龄段的人的死亡率为0.0005，(1)若有10000人投保，水保险公司获利不少于50000元的概率． (2)若有7000人投保，求保险公司亏损的概率．。
第一章 概率论的基本概念
引言一、为什么要学习概率论与数理统计？学习概率论与数理统计的意义！二、概率论研究的是什么？在日常生活中，有很多事，他们的发生与否是确定的，比如上抛硬币必然下落等。
然而，还有许多事的发生与否或发生的结果是不确定的，这类事件就是不确定事件。
这类事件在“大数试验”下是有规律的。
比如：生男生女，抛硬币等。
概率论的任务就在于揭露与研究随机事件的规律性。
第一章概率论的基本概念§1随机试验首先，看几个试验：E1：抛币观察正、反面。
{正、反}E2：掷一骰子，观察点数。
{1、2、3、4、5、6}E3：顶点投篮，投中为止，记录投篮次数。
{1，2，3，……}以上三试验具有以下特征：ⅰ）在相同条件下可重复进行。
ⅱ）试验的可能出现的结果不唯一，但知道所有可能出现的结果。
ⅲ）再试验前不能预知哪一种结果出现。
我们将具有这三个特征的试验称为随机试验 E 。
以后我们说的试验都是随机试验。
注：如果一个随机试验E由几个随机试验E1×E2×……×E n复合而成，则称E为复合试验。
E=E1×E2×……×E n如：抛三枚硬币E ，第一次E1，第二次E2，第三次E3。
§2 样本空间随机事件1、定义：定义1、随机试验E的每一个可能出现的结果称为样本点e 。
定义2、随机试验E中所有可能发生的试验结果组成的集合叫样本空间S。
定义3、随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件。
一般用A，B，C，D，……表示注：A，B，C，D，……为基本空间的一个子集。
A随机事件AA⇔⇔。
试验结果属于中的样本点出现发生2、下面介绍几个特殊的随机事件。
1）基本事件：仅含有单个样本点的事件。
2）必然事件S：样本空间S是自身的子集，包含所有的样本点，每次试验中S总是发生，故称为必然事件。
3) 不可能事件φ：φ是S的子集。
φ中不含任何样本点。
每次试验中φ必不发生。
故称为不可能事件。
例1：掷一枚骰子，观察点数。
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
概率论第一章概率论的基本概念第1节随机试验,样本空间、随机事件,频率与概率
A B
S
A
BA
S
事件A和B不能同时发生 。
事件A和B必有一个发生 ， 且仅有一个发生，A的对立
注:基本事件是两两互不相容的 。 事件记为 A，A S A 。
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第一章 概率论的基本概念
随机事件的运算规律
幂等律: A A A, A A A
交换律: A B B A, A B B A
下列条件：
概率是随机事件发生大小的可能
10 0 P( A) ; 非负性 性的数字表征，是事件的“函数”！
20 P(S ) 1 ; 规范性
30 若A1, A2 , 是两两互不相容事件 ,则 可列可加性
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2) 返回主目2录9
第一章 概率论的基本概念
f n ( A1 A2 Ak) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak)
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第一章 概率论的基本概念
2 ） 频率的稳定性 n=500时(硬币正面朝上的次数)
nA 251 249 256 253 251 246 244 fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
A B S
A B S
事件A发生必然导致事件B发 生，也可说A是B的子事件。
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第一章 概率论的基本概念
20 和事件 A B
推广：n个事件的和
A1发生或A2发生或 An发生
A
B A1, A2, , An至少有一个发生
S
称为 A1, A2 , , An 的和。记为：
n
A1 A2 An或 Ak
产生的结果)；
•必然事件 : 样本空间 S 本身(随机试验中必然发生的事件)； •不可能事件 : 空集(在随机试验中不可能发生的事件)。
概率论与数理统计第一讲随机试验、样本空间、随机事件、随机事件的概率
R n(A)=
fA n
25
随机事件一个极其重要的特征： 频 率 稳 定 性
抛掷钱币试验记录
试验者
抛币次数n
“正面向上”次 数
De Morgan 2084
1061
频率 0.518
Bufen
4040
2048
0.5069
Pearson
12000
6019
0.5016
Pearson
24000
12012
0.5005
12
7。 A U B S且A I B
B A
A与B互为对立事件（或互逆事件）
B A
互斥与互逆的区别？
13
2.事件运算定律
1交换律 : A B B A , AB BA; 2结合律 :A B C A B C ,
ABC ABC ; 3 分配律 : A BC AC BC ,
试验样本空间由如下 四？个样本点组成：
S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}
5
如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察 正面出现的次数，则该试验样本空间如何组 成？
如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察 正反面出现的情况，则该试验样本空间如何 组成？
如果试验是测试某灯泡的寿命，则该试 验样本空间如何描述？
18
3. A、B、C中至少有一个发生
恰有1个发生
ABC 或
恰有2个发生
AB C ABC ABC A B C A B C A BC ABC
4. A、B、C都发生
ABC
3个都发生
19
5. A、B、C中至少有两个发生
A B B C AC 或
A BC AB C ABC ABC
1-1随机试验随机事件和样本空间
概率论与集合论有关概念的对应关系
概率论
样本点
样本空间
集合论
元素
全集
记号
e
S
随机事件
基本事件
子集
单点集
A , B , C ……
{e}
不可能事件
空集
Φ
24
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例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还 是反面，则样本空间为： S={正面，反面｝ 例２、设试验为从装有三个白球(记为1，2,3号) 与两个黑球(记为4,5号)的袋中任取两个球． (１)观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： S={e00, e11, e01} e00 表示“取出两个白球”， e11 表示“取出两个黑球”， e01 表示“取出一个白球与一个黑球”
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五、随机数学简史
古——艺术及文学作品，游戏、决策
古希腊——哲学与宗教的思考 文艺复兴——数学讨论
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15
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机试验、随机事件和样本空间
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现
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19
(2)
试验的所有可能结果:
正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能 故为随机试验. 确定哪一个结果会出现.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三 件,记 录出现正品与次品的件 数”.
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20
3. 记录某公共汽车站某
《概率论与数理统计》经典课件 概率论
解： P( Ak )
C C k nk D ND
/ CNn ,
k
0,1,
,n
（注：当L>m或L<0时，记 CmL 0）
2021/8/30
17
❖ 例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒
的概率相同，且各盒可放的球数不限，
记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)．
解： ① ②……n
2021/8/30
2
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
S AB
✓
A的逆事件记为A,
A
A S,
A A
若
A A
B
B
S
,称A,
B互逆、互斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2
i 1
i 1
i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
An；
A B {甲、乙至少有一人来}
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
# 3。的推广：
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
《概率论与数理统计》1.1 随机试验与随机事件
i点 5, 6
}
在一起所构成的事件）
复合事件
事件 B = { 掷出奇数点 }
五. 随机事件间的关系及其运算
设试验 E 的样本空间为 S, A, B, Ak (k 1, 2, ) 是 S 的子集.
1. 事件的包含：如( A果中事的件每A个发样生本必点然都导包致含事在件BB中发）生.
注 ▲
则称 事件 B 包含事件 A 或 A 含于事 件 B 。记作：B A或 A B
从观察试验开始 研究随机现象，首先要对 研究对象进行观察或试验.
这里的试验指的是随机试验.
第一节 随机试验与随机事件
一. 试 验 : 为了研究随机现象，就要对客观事物进行 观察，观察的过程称之为试验。记为 E。
例1 E1：掷一枚硬币观察正面，反面出现的情况。 E2：记录一小时内，到某保险公司投保的户数 E3：射手射击一个目标，直到射中为止，观察 其射击的次数。 E4：从一批产品中抽取十件，观察其次品数。 E5：抛一颗骰子，观察其出现的点数。
A
B
为 A 与 B 的和 (并）, 记作：
A B 或 A B x xA 或 xB
AB
注
▲ 它是由事件 A 和 B 所有样本点构成的集合 n
▲ 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件
k1
k 1 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
的和事件
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件，
样本空间元素 是由试验目的 所确定的，不 同的试验目的 其样本空间也 是不一样的。
S
.e
样本点e
例 3．若试验 E是将一枚硬币抛掷两次. 试写出该试验 E 的样本空间.
概率论第一章
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
SWJTU
第三节
第一章
概率的性质
SWJTU
6 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建
概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
SWJTU
Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
一概率论的基本概念
2）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。
3）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。
注： 样本空间是一个有限或无限的点集。 样本空间的元素是由试验的目的所确定。
随机事件（简称事件）：
随机试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件。
通常用大写字母A，B,…表示。 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一
20 同色球无区别。 k
例4 两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄， 求 1）第3个邮筒恰好投入1封信的概率； 2）有两个邮筒各有一封信的概率。 解 1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信” 两封信任意投入4个邮筒，共有 42 种 而事件A的不同投法有
2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”
P(A )
r P365 r
例6 设有n个球每个球都以同样的概率 格子（N≥ n）的每个格子中，试求 1）某指定的n个格子中各有一球的概率。
落到N个
2）任何n个格子中各有1球的概率。 解 设 A =｛某指定的n个格子中各有一球｝
B =｛任何n个格子中各有一球｝ 1 2 3 n
N
例7：从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4 个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概 率
例(5) 有r 个人，设每个人的生日是365天的 任何一天是等可能的，试求事件“至少有两 人同生日”的概率.
解：令 A={至少有两人同生日} 则 A ={ r 个人的生日都不同} 为求P(A), 先求P( A )
(365) r P365 P(A ) 1 P(A ) 1 r (365)
于是 P ( A) 1 P ( A ) 1 1 1 2! 3! 3
1 1 n1 1 1 (1 ( 1) ) 2! 3! n! 1 1 n 1 ( 1) 2! 3! n!
中国海洋大学 《概率论》第一章-随机试验和随机事件
概率论
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. (相对于观察目的不可再分解的事件)
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6 基本事件
事件 B={掷出奇数点}
概率论
称在一次试验事件中 A发生当且仅当在这次试 验中属于事件A中的一个样本点出现.
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
样本空间为: S 1,2,3,4,5,6.
事件 B={掷出奇数点} 1,3,5
B发生当且仅当 B中的样本点1, 3,5中的某一个 出现.
概率论
两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用 或 S 表示;
即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示 . 例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必 然事件而; “掷出点数8”则是不可能事件.
概率论
第一节 随机试验和随机事件
随机试验 样本空间与随机事件 事件间的关系与事件的运算
概率论
上一讲中，我们了解到，随机现象有其偶 然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然 性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有 规律性，称为随机现象的统计规律性.而概率 论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.
现在，就让我们一起，步入这充满随机性的 世界，开始第一步的探索和研究.
这就是
概率论
随机事件
随机试验的结果称为随机事件。 试验E的样本空间 S的子集称为E的随机事件. 随机事件简称事件 ,常用 A, B,C 等表示 .
如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
概率论
样本空间为: S 1,2,3,4,5,6.
事件 A={掷出1点} 1.
第一章 概率论的基本理论
第一章 概率论的基本理论前苏联数学家柯尔莫哥洛夫，1933年创立概率公理化体系。
⎧⎨⎩确定现象随机现象§1. 随机试验例：1E ：抛一枚硬币，观察正反面出现情况； {}1,H T Ω=2E ：将一枚硬币抛三次，观察正反面出现情况；{}2,,,,,,,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT Ω=3E ：抛两颗色子，观察出现点数和； {}32,3,4,,12Ω=4E ：在一批灯管中任取一只，测试它的寿命； {}40t t Ω=≥ 5E ：将一尺之棰折成三段，观察各段长度；(){}5,,0,0,0,1x y z x y z x y z Ω=>>>++=特点：()()()123⎧⎪⎨⎪⎩试验可以在相同条件下重复进行；试验结果具有多种可能性，但能事先知道所有可能结果；进行试验前不能确定哪一结果出现。
满足上述特点的试验称之为随机试验，通过随机试验来研究随机现象。
§2. 样本空间 随机事件一、 样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。
样本空间通常用S 或Ω来表示。
（见上节）样本空间的元素——样本点。
二、 随机事件样本空间S 的子集——随机事件（事件），用,,A B C 表示；基本事件，必然事件，不可能事件。
事件A 发生⇔A 中有一样本点出现。
例1、 2E 2S1A ：第一次出现H {}1,,,A H H H H H T H T H HT T = 2A ：三个均出现T {}2A T T T =三、 事件间关系与事件的运算E S ,A B k A S ⊂1. A B ⊂ 事件B 包含事件A A 发生导致B 发生 A B =⇔A ⊂B 且B A ⊂。
2. A B ⋃1nk k A =1k k A ∞=3. A B A B ⋂1nk k A =1k k A ∞=4. A B A B -=5. A B ⋂=∅ ,A B 不相容，互斥6. A B S ⋃=且A B ⋂=∅——,A B 互逆，或对立事件 A B = A S A =- 算律同集合论例 设,,A B C 表示三个随机事件：○1 A 出现，,B C 都不出现 ABC ○2 ,A B 都出现，C 不出现 ABC ○3 三个事件均出现 ABC ○4 三个事件至少有一个出现 A B C ⋃⋃ ○5 三个事件均不出现 A B C ○6 不多于一个事件出现 ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC○7 不多于两个事件出现 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC or ABC ○8 三个事件至少有两个出现 ABC ABCABCABC○9 ,A B 至少有一个出现,C 不出现 ()A B C +⋅ ○10 ,,A B C 中恰好有两个出现 ABC ABC ABC§3. 频率与概率一、 排列、组合复习1. 不可重复排列（不放回） ()()()()!121!rn n A n n n n r n r =---+=-2. 可重复排列 (放回)n 个不同元素取r 个（未必不同）组成的排列种数 rn 3. 不可重复组合rnC n r ⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 乘法原理、加法原理二、 频率1、E, n 次，A, A n()An n f A n=2、性质11121.0()12()13()()()()n n k n k n n n k f A f S A A f A A f A f A f A ≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩=++……、、均不相容………… 例1， P8 例2， P9可见，n 逐渐增大-------()n f A 逐渐趋于一个常数-------------------频率稳定性-------- 统计规律性------- 概率（事件发生可能性的） -----------------概率定义三、 概率 Probability1. 定义： E S A E ⊂ 实数()P A 满足：()()()()()()()1210213,,,,,n i j P A P S A A A i j A A ⎧≥⎪⎪=⎨⎪≠⋅=∅⎪⎩非负性规范性设两两互不相容，即：时则()()()()1212nn P A A A P A P A P A =++++（可列可加性）则称P 为概率，()P A 为事件A 的概率。
概率论1-1、2
三. 事件之间的关系及运算
随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算
事件
事件之间的关系与事件的运算
集合
集合之间的关系与集合的运算
给定一个随机试验，设S为其样本空间，事件Ａ， Ｂ，Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是S的子集．
BA
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B A
✓ 一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面17}
BA
相等事件（Equal）
B A且 A B A=B
S B A
事件A与事件B含有相同的样本点 例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”
AB=Φ
S A
如A={1,2,3},B={1,3,5}, C={4,5}
A与C是互不相容的。
B
A与B是相容的。
5. 事件的对立
AB , AUB S
—— A 与B 互相对立
每次试验 A、 B中有且
只有一个发生
B A S
A
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互不相容” 是不同的概念。若A 与B 互相对立则A 与B 一定互
随机试验：抛掷两颗骰子
Rolling two die 随机试验
抛掷两颗骰子，观察出现的点数 试验的样本点和基本事件
样本空间 S＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4）， （1，5），（1，6），...，（6，1），（6， 2），...，（6，6）｝．
随机事件
概率论第一章知识点总结
概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。
3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。
4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。
5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。
8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。
其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。
概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章 概率论的基本概念
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节 概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率 定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发 生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104
0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有 （2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增 加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率， 记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB
A B
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
概率论与数理统计
A
AB
B
A
A
概率论与数理统计
§1.1 随机事件与样本空间
§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
一、 基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、 基本事件通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、 样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母Ω表示，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常用ω表示，有时也用A,B,C 等表示。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。
例1、 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间： Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
1.1 随机试验、样本空间.1.2 随机事件 (1)
n
n
Cm n
即
n m
:
从n个相异元中取m个元素并成一组
P C P m m m(先取后排）
n
n
m
Pmn n (n 1) (n 2)
(n m 1)
n! (n m)
!
0！ 0.
m
P m Cn
n m
n(n
1)L (n m!
抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（学校规定），希望遵守公 德：不迟到 • 5.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分 • 6.复习微积分，保证学习正常进行 • 7注：平时成绩大于30分；别因中学“学过”而大意，应当重新审视这门课。
4
预备知识（排列组合） • 1. 两个基本原理 • 2. 排列、组合的意义 • 3. 排列数、组合数计算公式 • 4. 例题
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） C62 C24 P33 540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
引言
•概率是什么？
•1.概率是频率：
P A
fn
ALeabharlann nA 频数 n 试验次数
.
•2.概率是比例：
序
一、概率论 简史及概率论的应用
1. 概率论简史
1654年， 有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久 的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m 局就算赢，全部赌本就归谁．但 是当其中一个人赢了a 局，另一个人赢了b 局的时候，赌博中止．问：赌本应该 如何分法才合理？” ．
第二版 工程数学-概率统计简明教程-第一章-随机事件
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
随 机
基本事件 复合事件
事 件
必然事件
不可能事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
集合论
样本空间，必然事件
{ NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }.
实例3 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
{t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实例4
记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.
{0, 1, 2, }.
试验可以在相同的条件下重复地进行
k 1
A A A, A , A A A, A A,
A A, A .
AA B
B
Ω
7. 事件 A 与 B 的差
B A AB Ω
例10 用事件的交和并区别对立事件与互斥事件
A、B 互斥
A、B 对立
A
B
Ω
AB
A Ω
A B S 且 AB
互斥
对立
例7 有两门火炮同时向一架飞机射击,考察事件 A= ｛击落飞机｝, B i= ｛击中 第i个发动机｝, i=1,2 , C = ｛击中驾驶员｝. 根据常识 “击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者 “同 时击中2个发动机”.试描述事件A,Bi ,C之间的关系.
A= C发生 或 B1和B2同时发生, A= C ∪ (B1∩B2)= C∪B1B2
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
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事件含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A发生导致B发生 事件A与B相等 A与B至少有一个发生
A∩B Ā A-B
A∩B=φ
A与B的共同元素 A的补集 在A中而不在B中的元素
A与B无公共元素
A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生
A与B互斥
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这些试验有什么特点 试验前无法预知结果
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§1 随机试验、样本空间、随机事件 试验可以在相同的条件下重复进行
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试验的结果可能不止一个，但试验前知道所有 可能的全部结果 在每次试验前无法确定会出现那个结果 具有上述特征的试验称为随机试验 ,简称试验
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§1 随机试验、样本空间、随机事件 怎样建立研究随机现象的数学模型
A
n k 1
BA
Bk
n
B, A
n k 1
BA
Bk
n k 1
B
Bk
Bk , k 1
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
符号 集合含义 Ω 全集 Φ 空集 ω∈Ω 集合的元素 {ω} 单点集 A Ω 一个集合 A B A的元素在B中 A=B 集合A与B相等 A∪B A与B的所有元素
S4 { 0,1, 2, , n } S5 [0 , ) S6 { ( x, y) | T1 x T2 , y 0 } T1, T2分别为最低、最高气温
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
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怎样用数学语言表示随机试验结果
样本空间 S 的子集称为随机事件 ,简称为 事件 E2 H出现的次数 观察 H , T出现的情况 1:将一枚硬币连抛 3 次,观察正面 样本空间为 样本空间为
即 A , B至少有一个发生 ,称为事件 A , B 的 和
A B
A B
B
S
A
S
B
A
从集合和事件两方面来理解
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
A B { | A , B } 称为事件 A , B 的 积
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A, B 同时发生
B
S
A B A
类似地可定义 n 个事件的积 n Ai { | Ai , i 1, 2, , n }
若 A B S 且 A B ,则称 A, B 互为逆事件 或称为对立事件 ,记为
A S B B , B S A A
A
S
B
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
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对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥 A、B 对立
A
B
A
B A
AB ,
互 斥
S1 { 0,1, 2,3 } S2 { TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH{ , HHT , HHH} H 出现 2次” 对应子集2 } S1 事件：“正面 , HHT } S 2 事件： {正面 H出现 2次} {THH , HTH { } “三次出现反面 T” 对应子集 0 S1 {至少出现一次正面 }
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概 率 论 与 数 理 统 计
§1 随机试验、样本空间、随机事件
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科学实验 或者对某一事物的某一特征进行观察
E1: 抛一枚硬币，观察正面 H、反面 T 出现的情况 E2: 将一枚硬币连抛三次，观察正面 H出现的次数 E3: 掷一颗骰子，观察出现的点数 E4 : 从一批产品中抽取 n 件，观察次品出现的数量 E5 : 对某厂生产的电子产品进行寿命测试 E6 : 观察某地区的日平均气温和日平均降水量
A B 且 AB .
对
立
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
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A B B A, A B B A A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
一般的事件怎样构成 任何事件都由基本事件组成
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
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设试验 E 的全部事件为元素构成的集合为 A , 即 A { A | A S , A是事件 } 称 A 为事件域 ,称 {S , A }为可测空间
S
可测空间 {S , A }
A A
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A B { | A , B } 称为事件 A , B 的 差
i 1
A 发生 B 不发生
S
A B A
B
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§1 随机试验、样本空间、随机事件 若 A B ,则称 A, B 互不相容(互斥)
A
S
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B
即 A, B不能同时发生
“骰子出现2点”
“骰子出现1点” HTT , THH , HTH , HHT , HHH } S A2 A3 A4 S A 3 A4 , A 4 A3
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{TTH , THT , HTT , THH , HTH , HHT , HHH} S2 {TTT }
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
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试验 E 的全部结果 基本结果 随机事件 事件 A发生
样本空间 S 样本点 A S 中的子集
A中样本点出现
基本事件: 由一个样本点构成的单点集 { } 必然事件: S ( S S ) 不可能事件: Φ ( 空集 Φ S )
§1 随机试验、样本空间、随机事件
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将一枚硬币连抛三次,观察正面 H、反面 T的出现 则样本空间为
S { TTT , TTH , THT , HTT , THH , HTH , HHT , HHH }
记事件
A1 { 至少出现一次正面 } A2 { 三次都是反面 } A3 { 第一次出现正面 } A4 { 第一次出现反面 }
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E
S {E
}
S : E 的所有可能结果为元素构成的集合 S 中的元素，即试验的一个基本结果
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
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求下述试验对应的样本空间 E1: 抛一枚硬币，观察正面 H、反面 T 出现的情况 E2: 将一枚硬币连抛三次，观察正面 H出现的次数 E3: 掷一颗骰子，观察出现的点数 E4 : 从一批产品中抽取 n 件，观察次品出现的数量 E5 : 对某厂生产的电子产品进行寿命测试 E6 : 观察某地区的日平均气温和日平均降水量 S 1 {正面,反面 } S2 0,1, {H , T 2,3 } } { S3 { 1, 2,3, 4,5, 6 } { 0 , 1}
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§1 随机试验、样本空间、随机事件
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A, B, Ak (k 1, 2, ) 为事件 设 {S , A }为可测空间， A B A 发生必导致 B 发生
特别有 A B
A B, B A
A B { | A .or. B }
A 发生或 B 发生