分式方程的增根与无解的区别及联系
小议分式方程“增根”与“无解”
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２０ ２４小议分式方程增根无解小议分式方程 增根 与 无解 Һ江慎军㊀（山东省济南市平阴县实验中学，山东㊀济南㊀２５０４００）㊀㊀ʌ摘要ɔ伴随着教改活动的全面开展．初中学段数学课程的教改活动也在全面开展．解分式方程属于初中学段数学课程中数与代数部分较为关键的组成要素，在中考中的占比也较高，所以，一定要对分式方程的教学进行探析与研究．通常在对分式方程进行解答的时候，由于需要将分式方程转化为整式方程，要在方程两边同乘最简公分母，可是有时解得的未知数的值会使原分式方程中分式分母为零而无意义，这时方程会产生增根，原方程无解．由于学生对增根和无解两个概念理解不到位㊁不透彻，导致解决方程有增根或方程无解之类题目时出现困难，出错率较高．所以本文通过例题讲解与拓展应用的形式，分析了分式方程增根产生的原因㊁分式方程增根与无解的区别，对增根与无解的相关习题进行了较为详细的阐述，加深了对两个概念的理解．通过本文的探究，可增强学生解决增根㊁无解相关习题的能力．ʌ关键词ɔ分式方程的增根；产生原因；增根与无解的区别；拓展应用基于最近几年中考数学题目的探析能够获悉，关于分式方程这一知识点的考查，除了解分式方程㊁列分式方程解决实际问题外，试卷中也会频繁出现分式方程无解㊁有增根的题型．对于告知分式方程无解㊁有增根，进而求原分式方程中一些字母参数的取值问题，学生往往会产生畏难情绪，不会解，出错多，或无从下手，这样的情况会耗损学生很多时间与精力．如果在日常解题练习中能够对分式方程无解㊁有增根的概念理解正确，就能够提升学生的解题质量与成效，让学生对题目有更清晰的认知，考试中才能节省大量时间对其他问题进行有效解决．本文从几个方面分析了分式方程的 增根 与 无解 ，相信能够帮助学生正确理解，熟练掌握，提高解题能力．一㊁增根是如何产生的分式方程中的增根㊁无解属于较为常见的内容，学生在学习了分式方程的相关知识以后，时常会将两个概念弄混，认为分式方程解答过程当中的无解与增根是一回事，然而实际上并非如此．解分式方程的基本思路是利用转化的思想，根据等式的基本性质，在分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，如果在方程两边同乘了一个使分母为零的整式，就会产生增根．分式方程中，如果分式中分母的值为零，分式就没有意义．分式方程本身隐含着分母不为零的条件，当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制就被取消了，也就是说，未知数取值范围被扩大了．若整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根，即增根产生的原因就是去分母的时候两边同时乘以０了，致使未知数的数值范围被拓展了．对于上面这些语言文字的解释，部分学生可能不易理解，下面通过一道例题的两种解法来体会一下产生增根的原因．例１㊀解分式方程：１－ｘｘ－２＝１２－ｘ－２．解法一㊀１－ｘｘ－２－１２－ｘ＝－２，１－ｘｘ－２＋１ｘ－２＝－２，２－ｘｘ－２＝－２，－１＝－２，１＝２．方程无解．解法二㊀两边都乘ｘ－２，得１－ｘ＝－１－２（ｘ－２），１－ｘ＝－１－２ｘ＋４，ｘ＝２．当ｘ＝２时，分式方程的分母为０，则方程无解．解法一是利用分式的通分㊁约分来解，约分过程本身就是在分式分母不能为零的前提条件下进行的，所以这种解法找不到一个ｘ的值使１－ｘｘ－２＝１２－ｘ－２成立，说明原方程根本不成立．解法二是利用等式的基本性质，方程两边都乘ｘ－２，从而去掉分式方程的分母，将分式方程转化为整式方程，而这一操作恰好是在方程两边同乘了０，使得原方程成立．此时ｘ＝２使原分式方程中分式的分母为零，所以ｘ＝２是分式方程经过去分母转化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根，是产生的增根．通过两种解法对比，相信学生会对增根产生的原因更加明白，理解上变得容易㊁深刻．二㊁分式方程增根与无解的区别将分式方程增根和无解之间存在的区别与联系进行明确，有助于提升分式方程解答的正确性，在方程解是否正确的判断方面具有极为重要的指导意义．１．分式方程有增根：解方程时，把分式方程通过去分母转化为整式方程的变形过程中，根据等式的基本性质，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而把未知数的取值范围扩大，此时解出的未知数的值有可能使原分式方程的分母为零．例２㊀解方程：２ｘ－２－４ｘｘ２－４＝３ｘ＋２．解㊀两边都乘（ｘ＋２）（ｘ－２），得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２４２（ｘ＋２）－４ｘ＝３（ｘ－２），解得ｘ＝２．检验：当ｘ＝２时，（ｘ＋２）（ｘ－２）＝０，ʑｘ＝２是增根，ʑ原方程无解．２．分式方程无解：未知数无论取何值，方程两边的值都不相等，包含以下两种情况．（１）原分式方程经过去分母转化成的整式方程无解．例３㊀解方程：ｘ－１ｘ＋２＝３－ｘ２＋ｘ＋２．解㊀两边都乘ｘ＋２，得ｘ－１＝３－ｘ＋２（ｘ＋２），解得－１＝７．ȵ此一元一次方程无解，ʑ原分式方程无解．（２）原分式方程经过去分母转化后的整式方程有解，但这个未知数的值使原分式方程的分母为零，它是原方程的增根，从而原方程无解．（此种情况如例２）３．分式方程无解，但不一定就一定有增根．如上面例３，分式方程转化为整式方程后，整式方程本身就无解，当然原分式方程就无解了，但这种情况下分式方程没有产生增根．４．分式方程有增根，但分式方程不一定无解．例４㊀解方程：ｘ－５ｘ２－１＋２ｘ－１＝１．解㊀两边都乘ｘ２－１，得ｘ－５＋２（ｘ＋１）＝ｘ２－１，ｘ２－３ｘ＋２＝０，解得ｘ１＝２，ｘ２＝１．经检验，ｘ＝１是增根，ｘ＝２是原分式方程的解．当然，初中阶段不考查例４这种类型的分式方程，即把分式方程去分母后转化成了一元二次方程．所以，分式方程有增根，说明ｘ的取值肯定有使分母为零的根，这时有两种情况，一种是原方程就只有这些使分母为零的根，方程就无解，如例题２；第二种情况是除了有使分母为零的根之外，还有其他使原方程成立的根，这时原方程就有解，如例４．而分式方程无解，则也会有两种情况：一种是分式方程就只有使分母为零的增根，没有其他根，这时无解就和有增根一致；第二种是分式方程连增根也没有，此时就是无解，如例３．三㊁拓展应用通过前面的叙述，相信大家已经对增根和无解有了较深的认识与理解，下面通过一道例题及其变式加深一下印象．例５㊀ａ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ－２＋ａｘｘ２－４＝３ｘ＋２①有增根？解㊀两边都乘（ｘ＋２）（ｘ－２），得２（ｘ＋２）＋ａｘ＝３（ｘ－２），（ａ－１）ｘ＝－１０ ②．ȵ原分式方程有增根，ʑｘ＝２或ｘ＝－２是方程②的根，ʑ把ｘ＝２，－２分别代入方程②，得ａ＝－４或ａ＝６，ʑ当ａ＝－４或ａ＝６时，原方程有增根．例５变式㊀ａ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ－２＋ａｘｘ２－４＝３ｘ＋２①无解？解㊀两边都乘（ｘ＋２）（ｘ－２），得２（ｘ＋２）＋ａｘ＝３（ｘ－２），（ａ－１）ｘ＝－１０ ②．因为原方程无解，所以分两种情形．第一种情形：当ａ－１＝０（即ａ＝１）时，方程②为０ｘ＝－１０，该整式方程无解，所以原分式方程无解．第二种情形：如果方程②的解为ｘ＝２或ｘ＝－２，则未知数ｘ＝ʃ２使分式方程的分母为零，是分式方程的增根，此时由例５可知，ａ＝－４或ａ＝６．综上所述，当ａ＝１或ａ＝－４或ａ＝６时，原方程无解．通过以上分析，我们深刻体会到对数学概念的理解有多么重要，所以深刻把握住概念的本质才能轻松应对概念考查的题目，而对概念的掌握单纯靠语言文字的描述是不够的，要结合题目才能理解透彻㊁到位．也就是说，基于上述例题能够获悉，当分式方程化去分母之后转变为一个一元一次的整式方程，其解刚好能够让最简公分母变成零，这个根实际上就是增根，因为一元一次方程的根通常只有一个，因此，这个原分式方程就是无解的，如果转变后的整式方程属于一元二次方程，则状况就并不相同．四㊁结束语总而言之，分式方程存在增根与无解问题中包含非常多的数学知识与思维方法，其中包含学生对数学概念的理解，以及对题目条件的解读和处理，还包含隐藏条件的分析㊁应用转化思想㊁分类策略等，思维含量比较高，对学生思维能力方面的严谨性㊁全面性等有严格要求．学生在分式方程增根与无解问题的解答过程中，大多数都会产生似懂非懂的情况，也就是说，想要彻底弄清此类问题，就要对增根㊁无解出现的原因进行追溯．掌握了分式方程增根㊁无解的相关知识，解题时就不用依靠死记硬背，学生能够带着理解进行深入探析，对题目中条件背后的含义进行精准解读，对问题进行严谨有序的解答．ʌ参考文献ɔ［１］赵雪．关于解分式方程增根与无解的案例探析［Ｊ］．文渊（高中版），２０１９，０００（００２）：７１５．［２］郭源源．追根溯源寻本质㊀分析理解辨差异：例谈分式方程的增根和无解问题［Ｊ］．理科考试研究，２０１９（２０）．［３］蔡艳生．分式方程有增根与无解的关系辨析［Ｊ］．数学大世界（下旬），２０１９（６）．［４］陈爱军．深刻理解教学内容，践行 学材再建构 ：从 分式方程增根问题 教学说起［Ｊ］．中学数学，２０１８，０００（０２２）：１９－２０．. All Rights Reserved.。
浅谈分式方程的增根与无解
【八年级】浅谈分式方程的增根与无解在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。
今天，给大家带来 2 类典型的问题。
一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。
1.有关增根的问题1.1增根是如何产生的先看一个有意思的问题：x-1=0显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1.我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。
换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。
因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。
而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。
由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。
1.2增根到底有多少个再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。
故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。
这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。
因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。
那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。
一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。
二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。
如何理解分式方程中的增根和无解
如何理解分式方程中的增根和无解【摘要】：增根和无解是解分式方程时常常遇到的两个问题。
在讲解分式方程的解的过程中，如果没有把分式方程的增根和无解的概念、二者的联系与区别、以及各自的解法等问题讲解透彻，会导致学生在学习分式方程时，对增根和无解的理解存在一定的困难。
有些同学简单的认为这两个概念大致相同，做题时就都用同一种方法，或是将二者的解法混为一团。
正确理解分式方程中的增根和无解，对于学生来说是一个难点。
教师在教学过程中，也常常因为学生对这两个问题的理解不够透彻而感到焦急、困惑。
老师们也希望能够用简单易懂的道理来帮助学生认识、分析分式方程中的增根和无解的联系和区别，从而让学生能够正确的解题。
【关键词】：分式方程整式方程增根无解最简公分母【正文】：八年级学生在学习解分式方程时，有一个很重要的步骤是：检验，在检验这一过程中常常会遇到增根和无解这两个问题。
分式方程的增根与无解是分式方程中两个常见的概念，它们所满足的条件不同。
分式方程的增根同时满足的的两个条件为：（1）增根使最简公分母为0，（2）增根是分式方程化为整式方程时，整式方程的根。
分式方程无解的两种原因：（1）分式方程去分母后所得的整式方程无解。
（2）分式方程的根是增根。
现将二者的区别与联系以例题的形式进行分析解释： 例 1：解分式方程 1 = x - 510 x 2 - 25解：原分式方程分母因式分解得：1 = x - 5 10 (x + 5)(x - 5)分式方程左右两边同时乘以最简公分母（ x +5）( x -5)得：x +5=10解得x =5检验：当x =5 时，（ x +5）( x -5)=0，所以x =5 是原分式方程的增根。
即原分式方程无解。
说明：此题中当x =5 时，最简公分母（ x +5）( x -5)的值为 0，在检验的过程中发现x =5 是原分式方程的增根。
即原分式方程无解。
例1 让学生初步感受分式方程中增根和无解的意义。
二者具体有哪些联 系与区别，在后面的例题中将加以详细的分析与说明。
浅谈分式方程的增根和无解
浅谈分式方程的增根和无解作者：黄礼波来源：《新课程·上旬》 2013年第23期文/黄礼波分式方程的增根和无解是分式方程中两个重要的概念，学生在学习分式方程的过程中，常常对这两个概念混淆不清，总认为分式方程的无解和增根是同一回事，然而事实并非如此。
分式方程有增根，是指解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。
分式方程无解是指无论x为何值，都不能使方程两边的值相等，它包含两种情况：（1）原分式方程去分母后的整式方程无解。
（2）原方程去分母后的整式方程有解，但是这个解却使得原分式方程的分母为零，它是原分式方程的增根，从而原方程无解。
一、初步认识无解和增根例1.解分式方程解：方程两边同乘x+2，得x-3=4-x+2（x+2）②整理得-7=4因为方程②无解，所以原分式方程①无解。
点评：此例说明了分式方程转化为整式方程后，整式方程无解，因此原分式方程无解。
例2.解分式方程解：方程两边同乘x（x+1），得5x+2=3x ②解之得x=-1检验：当x=-1，x（x+1）=0，所以x=-1是原方程的增根，从而原分式方程无解。
点评：方程①中x的取值范围是x≠-1且x≠0，而在去分母化为整式方程②后，此时x 的取值范围扩大为全体实数。
所以当求得x的值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根，故原分式方程无解。
归纳总结：1.增根是分式方程转化为整式方程的根，但不是原分式方程的根。
2.无解要分两种情况，一种是分式方程转化为整式方程后整式方程无解，另一种是整式方程有解但所求的解都是原分式方程的增根。
二、提升对无解和增根的理解例3.关于x的方程无解，求k的值。
解：方程两边同乘x-3得：x=2（x-3）+k ①x=6-k因为原分式方程无解，但是①有解，所以这个解6-k一定是原方程的增根。
即x=3当x=3时，6-k=3，所以k=3。
八年级数学分式方程的增根与无解知识点讲解及典例解析
基础义务教育资料分式方程的增根与无解分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程有增根与无解的关系辨析
分式方程有增根与无解的关系辨析
作者：蔡艳生
来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第06期
分式方程有增根與无解是分式方程中常见的两个概念，也是一些地区中考、自主招生考试中常见的考点。
学生在学习分式方程后，常常对分式方程有增根与无解这两个概念混淆不清，认为这两者是同一回事，事实上并非如此。
因此，帮助学生厘清分式方程有增根与无解这两者之间的关系十分有必要.
【辨析】学生在解答本题过程中，极容易出现以上错解情况，为有效避免错误的出现，解分式方程最后一定要验根。
弄清楚分式方程有增根和无解的区别和联系，厘清这两者之间的关系，能帮助学生提高解分式方程的正确性，对正确判断分式方程的解的情况有重要的指导意义。
【参考文献】
[1]王宏波.立足分式方程增根与无解，浅析数学核心素养提升策略[J].数学教学通讯，2018（02）：66-67.
[2]毛立武.例析增根与无解巧求方程参数值[J].数理化学习（初中版），2016（11）：25-26.。
例谈分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解一、引言分式方程是数学中常见的一类方程，它涉及到分数的运算和方程的解。
在解分式方程的过程中，我们会遇到增根和无解的情况。
本文将深入探讨分式方程的增根和无解，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二、分式方程的基本概念分式方程是一个等式，其中至少包含一个分数。
一般形式为：A(x)=C(x)B(x)其中，A(x)、B(x)和C(x)是多项式函数，B(x)≠0。
我们的目标是找到使等式成立的x的值，即方程的解。
在解分式方程时，我们需要注意以下几个概念：增根、无解和恒等式。
三、增根的定义和判定条件1. 增根的定义增根是指当x取某个值时，分式方程的解的个数增加。
也就是说，原本的方程只有有限个解，但在某些特定情况下，方程的解的个数会增加。
2. 增根的判定条件判断分式方程是否有增根，我们需要考虑以下几个条件：a) 分母的因式分解将分母进行因式分解，得到的因式中，如果存在某个因式在分子中也出现了，那么这个因式就是增根的条件之一。
b) 分子的因式分解将分子进行因式分解，得到的因式中，如果存在某个因式在分母中也出现了，那么这个因式就是增根的条件之一。
c) 方程的约束条件某些分式方程在解的过程中可能会有一些约束条件，这些条件可能导致方程的解的个数增加，也是增根的条件之一。
四、无解的定义和判定条件1. 无解的定义无解是指分式方程不存在实数解的情况。
也就是说，无论我们取什么值代入方程，都无法使等式成立。
2. 无解的判定条件判断分式方程是否无解，我们需要考虑以下几个条件：a) 分母的值为零如果方程的分母在某个取值下为零，那么这个取值就是使方程无解的条件之一。
b) 方程的约束条件某些分式方程在解的过程中可能会有一些约束条件，如果这些约束条件无法满足，那么方程就无解。
五、增根和无解的例子分析为了更好地理解增根和无解的概念，我们来看几个具体的例子。
1. 例子一考虑方程x−2x+1=1。
我们可以将其化简为x−2=x+1，得到x=−1。
分式方程的增根和无解
分式方程的增根和无解黄石市白马山学校 胡优武知识重点：同学们在平时解答分式方程时，经常对分式方程的增根和无解混淆不清，容易错解、漏解。
为了学生好区分这两个概念，特制定以下例子加以说明。
（一）所求出的根使分式方程分母为零，这个根叫增根。
假定分母为零的值不一定是分式方程的增根。
例1：若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值． 解：方程两边都乘最简公分母（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=3（x-2）∵最简公分母为（x+2）（x-2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=-4．把x=-2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=-4或6．本例具有常规性，一般学生都可以看出增根是x=±2，从而求出两个m 的值。
例2：关于分式方程xx x x x +=-+-2227163增根的情况，说法正确的是（ ） A ．有增根是0和-1 B ．有增根是0和1、-1C ．有增根是-1D ．有增根是1一般的学生会假定最简公分母x(x+1)(x-1)=0，得出B 选项，那么就错了。
大家先看看解答过程。
解：方程两边乘以最简公分母为x （x+1）（x-1），得3（x+1）-6x=7（x-1），x=1；当x=1时，x （x+1）（x-1）=0，x=1是增根．原方程无解故选D ．以上说明面对分式方程增根时，不能通过假定分母为零的所有x 的值是方程增根，必须动手计算。
（二）分式方程得的无解，要从两个角度分析，①无解：使分式方程分母为零的根叫增根，此时分式方程无解。
②无解：分式方程化成整式方程ax=b ， 当 a=0 ,b ≠0时，方程无解。
例3：若关于x 的分式方程131=---xx m x 无解，求m 的值． 解：方程两边同时乘以x （x-1）得，x （x-m ）-3（x-1）=x （x-1），整理得 (m+2）x=3①当x=0时原分式方程无解，此时0=3，无意义；②当x=1时原分式方程无解，此时解得m=1．③当m+2=0时，即m=-2时，整式方程(m+2）x=3无解，即原分式方程无解．故m=1或-2．上面的第③步，是学生最容易遗漏的。
分式方程的“无解”与“有增根”的区别
分式方程的“无解”与“有增根”的区别作者：徐丽娟来源：《中学生数理化·教与学》2011年第10期初学分式方程的学生经常受到有无增根的困扰，搞不清楚什么时候方程有增根，什么时候无增根，因而时常出错。
尤其是在含有字母的分式方程中，求字母为何值时方程有增根或者方程无解。
遇到这样的问题，学生总是经常出错，究其原因，主要是学生认为既然方程有增根，方程就无解；反之，若方程无解，就表示方程一定有增根。
其实这是一种错误的认识，方程是否有解与方程是否有增根是有着本质的区别，它们之间是不能划等号的。
现举例说明。
一、若整式方程解出的值都是增根，则分式方程一定无解例1 解方程3x+6x-1-x+5x(x-1)=0。
解：两边同时乘以最简公分母x(x-1)，得3(x-1)+6x-(x+5)=0。
解这个方程，得x=1。
检验：当时x=1，x(x-1)=0，所以x=1是原方程的增根，即原方程无解。
点评：求出整式方程的根都是增根时，必须交代“原方程无解”。
二、若分式方程有增根，则整式方程解出的值一定等于增根例2 若关于的方程x-2x-3=mx-3+2有增根，求m的值。
分析：分式方程有增根，表明在转化为整式方程之后解出的未知数的值能使最简公分母的值为0，因此方程的增根是x=3。
解：两边同时乘以x-3，得x-2=m+2(x-3)。
即x=4-m。
因为方程有增根，且只能x=3，所以4-m=3，即m=1。
点评：若分式方程无解，则解出的x=4-m一定是增根，所以4-m=3，从而m=1。
在这里有增根与无解的含义的等同的。
三、若分式方程无解，则可能有两种情况例3 若关于x的方程ax+1x-1-1=0无解，求a的值。
分析：对于分式方程来说，方程无解可能有两种情况：一是解出的值都是增根，则方程无解；二是在转化为整式方程的时候，整式方程本身就无解。
解：两边同时乘以(x-1)，得ax+1-(x-1)=0，即(a-1)x=-2。
（1）若a-1≠0，即a≠1时，x=-2a-1。
无解和增根的区别
无解和增根的区别一、无解的定义与特点•无解是指某个问题或情况在特定条件下无法找到解决方案或解决方法。
无解的特点包括：–实际情况中明确不存在可行解决方案的情况；–受限于条件或约束，无法找到可以满足所有要求的解决方案；–解决方案的实施可能会导致更多问题或不可接受的后果。
二、增根的定义与特点•增根是指在面对问题时，不仅仅是解决问题本身，还要从根本上改变问题的发展方向或解决方式。
增根的特点包括：–通过破除旧的观念、制度或模式，建立新的问题解决方案；–考虑到问题的根源，寻找长期有效的解决方案；–以创新和全面性为特点，在解决问题的同时提出更深层次的改进措施。
三、无解和增根的区别•无解注重的是在当前条件下无法找到解决方案，即使被动地接受问题存在。
增根则强调的是不满足于现状，致力于通过创新和改变解决问题的根本。
•无解强调已有条件下的无法解决，相对保守；增根则积极寻找变革和创新的机会，具有前瞻性。
•无解问题可能造成局部的问题解决，但长期效果有限；增根的方法能够实现全面性、长期性的改革，更有利于问题的根本解决。
四、如何更好地应对无解和增根问题•针对无解问题，要提高解决问题的途径多样性，或者进行适当的妥协与调整，避免陷入僵局。
•面对增根问题，需要着眼于问题的本质，寻找切实可行的创新途径和全面改革方案，引领问题解决的新方向。
五、结语在现实生活中，无解和增根问题时常出现。
有时我们需要接受无解的现实，但更重要的是在增根的思维下，不断探索解决问题的新路径和方法，以创新和改革引领问题的解决，促进社会和个人的不断进步和发展。
总结：无解问题强调现有条件下的无法解决，相对保守、被动；增根则积极寻找创新的机会，具有前瞻性。
在面对无解和增根问题时，我们需要灵活运用合适的解决方法，不断探索问题的本质，并提出有效的解决方案。
浅谈增根与无解
方程 的分式方程 ， 而 一元 一次方 程的解 只有 一个 ， 所 以 如果这个根是原 方程 的增 根 ， 那 么原 方程 无解 ， 但并 不 能说有增根 的分式方程一定无解 ， 今后学 习 了一元二 次 方程就会 明白其 中的道理．
点评
显然 原方程 中未知 数 的取值 范 围是 ≠０
Ｄ、 Ｅ， Ｏ Ｄ＝ｘ ｃ ｍ， ０ Ｅ＝ ｙ ｃ ｍ， 求： （ １ ） ｘ ， ｙ的值 ； （ ２ ） Ｅ Ｄ的长 ； （ ３ ） 阴影 部分
的面积．
Ａ
ＡＯ ｌ ０ ２ ０的周 长为 １ ８ ， ． ’ ． ０ｌ ０＋０ ２ ０＋０ ｌ ０ ２＝（ ｒ ｌ ｒ ２ ）
例 ４ 若方程竺 一１＝ ０无解 ， 试求 口的值．
＾ ｆ 一 ‘
解
去分母后化为 （ 口一１ ） ＝一１
例 ２解 方 程 ＋ ｝ ： 一 １
解 方程两边都乘 以 一 ３， 得
２— ２ 一（ ２一 ）＝ ３一 整理 ， 得 ０・ ＝ ２
。
。
若原方程无解 ， 则有下面两种情况 ： （ １ ） 若上面这个 整式方程无解 ， 即当 ａ一１ ＝Ｏ时 ， 即
名 浅 谈 增 根 与 无 鳃
…
业壹市 ． … 担 壶
增 根与无解是分式方程 中常见 的两个概念 ， 同学们 常常会对这两个概念混淆不清 ， 现举例说 明它们之 间的
区别和联系．
分析
由于原方程化成 的方程是 一元一次方程 ， 又
原方程无解 ， 所 以这个一元一 次方 程的解应 是原方程 的
有 ０・ ≠Ｏ， 方程无解． ． － 数掌大世界 ０ ４ ． ． ◆
’ ． ．
ｅ １ ． ＝１ ．
．
分式方程的增根与无解(1)
分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
分式方程的增根与无解
如何正确理解分式方程的增根与无解在分式方程教学中，我们要知道分式方程的增根与无解的意义是有区别的，分式方程有增根，一定是化简后整式方程的解（或根），分式方程无解不一定是化简后整式方程的解（或根），因而分式方程不一定有增根。
分式方程的增根是指在把分式方程是指把分式方程转化为整式方程时，即在去分母的过程中，因为分母含有未知数的字母，无形中可能使分式两边同时乘以一个为0的数，这样就导致未知数字母的取值范围扩大，使得方程的解可能是整式方程的解，但不一定是原分式方程的解.如果整式方程的解使原分式方程的分母为0，那么为个解（或根）就是分式方程的增根.；如果整式方程的解使原分式方程的分母不为0，那么为个解（或根）就是分式方程的根.所以说，分式方程的增根一定是去分母化简后整式方程的根，且使原分式方程中的分母等于0.分式方程无解有两种情况：一种是增根使分式方程无解，与上面理由相同；另一种是化简后整式方程无解而导致分式方程无解.我们知道一元一次方程标准形式中0=+b ax ，当0≠a 时，一元一次方程有解（或根）；当0=a ，0≠b 时，左边＝b ，右边＝0，有左边≠右边，从而一元一次方程无解，导致原分式方程无解。
综上所述，可简记为：“分式方程有增根⇒分母＝0”；“分式方程无解⇒⎩⎨⎧⇒⇒00未知数的系数＝整式方程无解分母＝分式方程无解”. 例1、 若关于x 的方程xm x x -=--113产生增根，求常数m 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得m x -=-3分式方程有增根∴ 01=-x 解得：1=x把1=x 代入m x -=-3 有m -=-31∴ 2=m小结：解分式方程有增根一般通过三个步骤，求出字母系数的值：一是先把分式方程化为整式方程；二是求出分母为0时x 的值；三是把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值.练习：1、若关于x 的方程xx x x m x x 1122+=+-+有增根，求m 的值. （参考答案：21或-=m ）2、若关于x 的方程x x a -=+-132有增根，求a 的值.)1(=a 参考答案：3、若分式方程：x kx =-+212－例2、若关于x 的方程011=--+x ax 无解，求a 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得0)1(1=--+x ax整理得：02)1(=+-x a分式方程有无解∴ 01=-x 或 01=-a当01=-x 时，有1=x ∴021)1(=+⨯-a 得 1-=a 当01=-a 时，有1=a由上可知：1-=a 或 1小结：分式方程无解，要考虑两个方面：一是分式方程有增根导致无解；另一个是化简后的整式方程无解导致原分式方程无解.练习：1、若关于x 的方程234222+=-+-x x ax x 无解，求a 的值. （参考答案：a ＝－4或1或6）23=。
分式方程的增根yu无解
分式方程的增根与无解1、无解和有增根的区别与联系有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值无解：分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． （整式方程有解，但不适合分式方程，分式方程无解）例2 解方程22321++-=+-x x x x ．（整式方程无解，分式方程无解）例3若方程32x x --=2m x-无解，求m 的值。
（整式方程有解，解是增根，最终无解）例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？分析：整式方程无解，但分式方程无解，即整式方程的解使分式方程无意义。
变式：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解？分析：此种要考虑两种情况，第一，转化后的整式方程有解，但这个解不是分式方程的解，最终分式方程还是无解。
第二，转化后的整式方程本身无解。
例5： 若方程)1)(1(6-+x x -1-x m =1有增根，则它的增根是（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1或-1分析：在整式方程有解的情况下使最简公分母为零。
例6：关于x 的方程3-x x -2=3-x m 有一个正数解，求m 的取值范围。
分析：把m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定m 的取值范围，但不能忽略产生增根时m 的值。
原方程易化为整式方程：一、分式方程有增根，求参数值 例7 a 为何值时，关于x 的方程342-+-x a x x =0有增根？ 分析：化简后得到的整式方程有解，解使分式方程的公分母为零。
分式方程的增根与无解的区别与联系
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分式方程的增根与无解的区别与联系
作者：王东
来源：《中学数学杂志(初中版)》2009年第03期
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此
分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的
两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值;而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的
分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解.现举例说明如下。
分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程的增根与无解的区别分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 xx．①解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．例2 xx．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2007xxxx）若方程=无解，则m=——————．解：原方程可化为=－．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会xx其中的道理，此处不再举例．例4当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a为何值时，关于x的方程①无解？此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）整理得（a－1）x＝－10②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
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分式方程的增根与无解的区别
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，分式方程无解和分式方程有增根决不是一回事。
（一）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根
例1 解方程2
344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②
解这个方程，得x=2．
经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解．
【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．
（二）原方程化去分母后的整式方程无解
例2 解方程22321++-=+-x
x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．
整理得0x ＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．
（三）原分式方程无解，去分母后的整式方程的解就等于增跟
例3（2007湖北荆门）若方程
32x x --=2m x
-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -．
方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．
解这个方程，得x=3－m ．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，
所以2=3－m ，解得m=1．
故当m=1时，原方程无解．
【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．
（四）分式方程在什么情况下会产生增根？产生无解？
例4当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）
整理得（a －1）x ＝－10 ②
若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．
把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．
【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．
若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）
整理得（a －1）x ＝－10 ②
若原方程无解，则有两种情形：
（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．
结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义．。