菱形中初中数学考题汇总

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中考数学试卷菱形大题答案

一、题目：已知菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，AB=8cm，AD=6cm，求菱形ABCD的面积。

解答：1. 由菱形的性质可知，对角线互相垂直平分，因此∠AOB=∠COD=90°。

2. 因为AB=8cm，AD=6cm，所以OA=OB=AB/2=4cm，OD=OC=AD/2=3cm。

3. 根据勾股定理，在直角三角形AOB中，AB^2=AO^2+BO^2，即8^2=4^2+BO^2，解得BO=√(8^2-4^2)=√(64-16)=√48=4√3cm。

4. 同理，在直角三角形AOD中，AD^2=AO^2+DO^2，即6^2=4^2+DO^2，解得DO=√(6^2-4^2)=√(36-16)=√20=2√5cm。

5. 因为AC=2OA=8cm，BD=2OD=6cm，所以菱形ABCD的面积S=AC×BD/2=8×6/2=24cm^2。

二、题目：已知菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，AB=10cm，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面积。

解答：1. 由菱形的性质可知，对角线互相垂直平分，因此∠AOB=∠COD=90°。

2. 因为∠ABC=60°，所以∠OAB=∠OBC=(180°-60°)/2=60°。

3. 由菱形的性质可知，菱形ABCD的四条边相等，即AB=BC=CD=DA。

4. 因为∠OAB=∠OBC=60°，所以三角形OAB和OBC是等边三角形，即OA=OB=AB=10cm。

5. 根据勾股定理，在直角三角形OAB中，AB^2=AO^2+BO^2，即10^2=10^2+BO^2，解得BO=0。

6. 因为∠OAB=∠OBC=60°，所以三角形OAB和OBC是等边三角形，所以AC=2OA=20cm。

7. 根据勾股定理，在直角三角形AOD中，AD^2=AO^2+DO^2，即10^2=10^2+DO^2，解得DO=0。

初中数学《菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义》题型及答案解析

解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE=4，DG=3，则AE的长为．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D= 80°，则∠BCF的度数是．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠A=120°，M是CD上，DM=3，N是点AB上一动点，四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，当AE最小时，AN=．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．5.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接BE，交CD于点G，△BFE是△BCE沿BE折叠所得，且点C的对应点F恰好落在AB上，连接FG．(1)求证：四边形CEFG为菱形；(2)若AC=8，BC=6，求DG的长．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.258.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.1929.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.2210.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，P 是直线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，(A 、P ，E 按逆时针排列)，点E 的位置随点P 的位置变化而变化．(1)如图1，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，则BP 与CE 的数量关系是，BC 与CE 的位置关系是；(2)①如图2，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE ，若AB =2，∠APD =75°，直接写出BE 的长；(3)当点P 在直线BD 上时，其他条件不变，连接BE ．若AB =23，BE =219，请直接写出△APE 的面积．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O影部分的面积为cm2．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值是．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC中点，连接AE,DE，点F是DE上一动点，G为AF中点，连接CG．(1)∠BAE=；(2)若AB=2，则CG的最小值为．18.(2024八年级下·全国·专题练习)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点(不包括端点)，连结AC，过点P作PQ∥AC，交边CD于点Q，点R线段AC上的一点．(1)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+QR的值；(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；(3)当PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最小值．【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】19.(22-23八年级下·江苏苏州·期末)定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，若∠A=40°，则∠B=°．(2)如图，在菱形ABCD中，∠B>90°，AB=5，连接AC，若△ABC正好为一个准直角三角形，求菱形ABCD的面积．【变式训练】20.(23-24九年级下·山东威海·期中)【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．【解决新问题】(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形ABCD的边CD，AD上，CE=DF，∠A=60°．四边形BEDF是否为补等四边形？(填“是”或“否”)(2)如图Ⅱ，在△ABC中，∠B>90°．∠ACB的平分线和边AB的中垂线交于点D，中垂线交边AC于点G，连接DA，DB．四边形ADBC是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．21.(22-23八年级下·浙江宁波·期末)我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E 使得AC=AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．(1)如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA=CF，作∠ACF的平分线CE交AD的延长线于点E，连接FE．求证：四边形AEPC为菱形ABCD的“伴随菱形”．(2)①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O．连接EO若EO=2CH，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出CHED的值．22.(22-23八年级下·安徽合肥·期末)定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．(1)如图(a)，△ABC是中垂三角形，BD,AE分别是AC,BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE=45°，求证：△ABC是等腰三角形．(2)如图(b)，在中垂三角形ABC中，AE,BD分别是边BC,AC上的中线，且AE⊥BD于点O，求证：AC2+BC2=5AB2．(3)如图(c)，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O，点M,N分别是OA,OD的中点，连接BM,CN并延长，交于点E．求证：△BCE是中垂三角形；解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，沿EF 翻折后，点B 落在边CD 上的G 处，若EG ⊥CD ，BE =4，DG =3，则AE 的长为．【答案】914【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，因为EG ⊥CD ，所以BH ∥EG ，由四边形ABCD 是菱形，得AB ∥CD ，AB =BC =CD ，则四边形BEGH 是平行四边形，所以GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，则BH =GE =4，所以DH =DG +GH =3+4=7，由勾股定理得42+7-AB 2=AB 2，求得AB =6514，所以AE =AB -BE =6514-4=914，于是得到问题的答案．【详解】解：作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，则∠H =90°，∵EG ⊥CD ，∴BH ∥EG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD ，∴BE ∥GH ，∴四边形BEGH 是平行四边形，∴GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，∵DG =3，∴DH =DG +GH =3+4=7，∵BH 2+CH 2=BC 2，CH =7-CD =7-AB ，∴42+7-AB 2=AB 2，解得AB =6514，∴AE =AB -BE =6514-4=914，故答案为：914．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D =80°，则∠BCF 的度数是．【答案】80°/80度【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到BC =CD ，由折叠得BC =CF ，然后求出CF =CD ，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD由折叠可得，BC =CF∴CF =CD∴∠CFD =∠D =80°∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC∴∠BCF =∠DFC =80°．故答案为：80°．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD 中，AB =8，∠A =120°，M 是CD 上，DM =3，N 是点AB 上一动点，四边形CMNB 沿直线MN 翻折，点C 对应点为E ，当AE 最小时，AN =．【答案】7【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在AM上时，AE的值最小．作AH⊥CD于H，如图，根据菱形的性质可求得AH=32AD=83，DH=CH=8，在Rt△AHM中，利用勾股定理计算出AM=7，再根据两点间线段最短得到当点E在AM上时，AE的值最小，然后证明AN=AM即可．【详解】解：作AH⊥CD于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8，∠A=120°，∴AD=AB=CD=8，AB∥CD，∴∠D=180°-∠BAD=60°，∴∠DAH=30°，∴DH=12AD=4，AH=AD2-DH2=43，∵DM=3，∴HM=1，MC=CD-DM=5，在Rt△AHM中，AM=AH2+HM2=7，∵四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，，∴ME=MC=10，∵AE+ME≥AM，∴AE≥AM-ME，∴当点E在AM上时，AE的值最小，由折叠的性质得∠AMN=∠CMN，而AB∥CD，∴∠ANM=∠CMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM=7．故答案为：7．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．【答案】6075【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．(1)直接根据菱形的对角相等即可求解；(2)如图，由垂直平分线的定义得到∠1=90°，从而∠ADC =30°，由菱形的性质得到∠CDC =∠1=90°，从而由折叠有∠CDE=∠C DE=12∠CDC =45°，因此∠ADE=75°，再根据菱形的对边平行即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=60°．故答案为：60(2)如图，∵C D 是AB 的垂直平分线，∴∠1=90°，∴∠ADC =90°-∠A =90°-60°=30°，∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDC =∠1=90°，由折叠可得∠CDE =∠C DE =12∠CDC =12×90°=45°，∴∠ADE =∠ADC +∠C DE =30°+45°=75°，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠ADE =75°．故答案为：755.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC 中，∠ACB =90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 上一点，连接BE ，交CD 于点G ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在AB 上，连接FG ．(1)求证：四边形CEFG 为菱形；(2)若AC =8，BC =6，求DG 的长．【答案】(1)见解析(2)GD =1.8．【分析】(1)推出CG =EF ，CG ∥EF ，进而推出四边形CEFG 是平行四边形，并根据EC =EF 证得四边形CEFG 是菱形；(2)首先利用勾股定理求出AB ，设CG =x ，然后用x 表示出AE 和EF ，再在Rt △AEF 中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】(1)证明：∵CD ⊥AB ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴∠BFE =∠BCE =90°，∠CEG =∠FEG ，EC =EF ，∴CD ∥EF ，∴∠CGE =∠FEG ，∴∠CGE =∠CEG ，∴CE =CG ，∴CG =EF ，∵CG ∥EF ，∴四边形CEFG 是平行四边形，∵EC =EF ，∴平行四边形CEFG 是菱形；(2)解：∵AC =8，BC =6，∠ACB =90°，22∵四边形CEFG 是菱形，∴EF =FG =CE =CG =x ，∴AE =8-x ，∵△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴BF =BC =6，∴AF =AB -BF =10-6=4，∵在Rt △AEF 中，EF 2+AF 2=AE 2，∴x 2+42=8-x 2，解得：x =3，即CG =3．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ，∴CD =4.8，∴GD =4.8-3=1.8．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【答案】C【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P 在对角线BD 上，BP =4，BP +AP =6，设AO =x ，则AB =2AO =2x ，利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，由图象可得，当x 从0到4时，MA MC=y =1∴MA =MC∵四边形ABCD 是菱形∴点P 在对角线BD 上∴由图象可得，BP =4，BP +AP =6∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴∠ABD =30°，AC ⊥BD∴设AO =x ，则AB =2AO =2x∴PO =BP -BO =4-3x∴BO =AB 2-AO 2=3x∴在Rt △APO 中，AP 2=AO 2+PO 2∴22=x 2+4-3x 2解得x =3，负值舍去∴AB =2x =23∴菱形ABCD 的边长是23．故选：C ．【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P 在对角线BD 上．【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.25【答案】A 【分析】根据图象可知，当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，进而求出菱形的面积，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．【详解】解：由图象可知：当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，∴S 菱形ABCD =2S △ABE =24，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，交AC 于点O ，则：BD ⊥AC ,OA =OC =4,OB =OD ，∴S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =24，∴BD =6，∴OB =OD =3，∴AB =OA 2+OB 2=5，∴菱形ABCD 的边长为5；故选A ．8.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.192【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点C 作CE ⊥AD ，根据函数图象求出菱形的边长为a ，再根据图像的三角形的面积可得CE =8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a 即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AD 于E ，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴当点P 在边BC 上运动时，y 的值不变，∴AD =BC =10+a -10=a ，即菱形的边长是a ，∴12⋅AD ⋅CE =4a ，即CE =8．当点P 在AC 上运动时，y 逐渐增大，∴AC =10，∴AE =AC 2-CE 2=102-82=6．在Rt △DCE 中，DC =a ,DE =a -6,CE =8，∴a 2=82+a -6 2，解得a =253．故选：B ．9.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.22【答案】C 【分析】结合图象，得到当x =0时，PO =AO =4，当点P 运动到点B 时，PO =BO =2，根据菱形的性质，得∠AOB =∠BOC =90°，继而得到AB =BC =OA 2+OB 2=25，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为12BC=5，解得即可．本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．【详解】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4，当点P运动到点B时，PO=BO=2，根据菱形的性质，得∠AOB=∠BOC=90°，故AB=BC=OA2+OB2=25，当点P运动到BC中点时，PO的长为12BC=5，故选C．10.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，(A、P，E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；(2)①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE，若AB=2，∠APD=75°，直接写出BE的长；(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE=219，请直接写出△APE的面积．【答案】(1)BP=CE，CE⊥BC；(2)①仍然成立，见解析；②20-83(3)73或313【分析】(1)连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；(2)①(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明△BAP≌△CAE即可；②根据已知得出DP=AD，进而根据①可得BP=CE，根据CE⊥BC，勾股定理，即可求解；(3)分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE=90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】(1)解：如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°；∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠BAP=∠CAE=60°-∠P AC，∴△BAP≌△CAE SAS，∴BP=CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP=1∠ABC=30°，2∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=60°+30°=90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP=CE，CE⊥BC；(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE SAS，∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE+∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD；∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；②如图所示，∵△ABP≌△ACE SAS，∴CE=BP，∵∠APD=75°,∠ADB=30°∴∠DAP=75°=∠APD，∴DA=DP=2，∵BD=2BO=23AO=3AB=23∴BP=CE=BD-DP=23-2∵CE⊥AD，AD∥BC∴CE⊥BC∴BE=BC2+CE2=22+23-22=20-83故答案为：20-83．(3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∵∠ABC =60°，AB =23，∴∠ABO =30°，∴AO =12AB =3，OB =3AO =3，∴BD =6，由(2)知CE ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ，∵BE =219，BC =AB =23，∴CE =(219)2-(23)2=8，由(2)知BP =CE =8，∴DP =2，∴OP =5，∴AP =OA 2+OP 2=(3)2+52=27，∵△APE 是等边三角形，∴S △AEP =34×27 2=73，如图4中，当点P 在DB 的延长线上时，同法可得AP =OA 2+OP 2=(3)2+112=231，∴S △AEP =34×231 2=313．【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键．根据题意得到点C 2024与点C 重合，在菱形中算出C 点坐标，即可解答．【详解】解：作CD ⊥OA 于D ，则∠CDO =90°，∵四边形OABC 是菱形，O 0,0 ,A -1,0 ，∴∠AOC =∠B =60°,OC =OA =1∴∠OCD =30°∴OD =12OC =12,CD =3OD =32∴点C 的坐标为-12,32，若菱形绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，则菱形OABC 绕点O 连续旋转2024次，旋转4次为一周，旋转2024次为2024÷4=506(周)，∴绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024与菱形OABC 重合，∴点C 2024与C 重合，∴点C 2024的坐标为-12,32，故选：D ．【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O按顺时针方向分别旋转90°、180°、270°后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为cm 2．【答案】12-43【分析】连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，S △AOD =12×AE ×OD =12×3×3-1 =3-32cm 2 ，计算即可．【详解】如图，连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，∴点D 在OB 上，由已知条件易得BE =DE =12AB =1cm ,AE =OE =3cm ，∴OD =3-1cm ，∴S =1×AE ×OD =1×3×3-1 =3-3cm 2 ，∴所求面积为8×3-32=12-43cm2．故答案为：12-43．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？【答案】(1)证明见解析(2)①33；②30°或90°【分析】(1)连接AF，根据菱形的性质，可得到△GAF≅△EAF，从而得到∠GAF=∠EAF，进而得到△DAF ≅△BAF，即可求证；(2)①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O，AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得AF∥OD，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解；②分两种情况讨论：∠BDF=90°和∠BFD=90°，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得．【详解】(1)证明：连接AF，∵四边形AEFG是菱形，∴AE=EF=FG=GA，在△GAF和△EAF中，AG=AEGF=EFAF=AF，∴△GAF≅△EAF SSS，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB ，在△DAF 和△BAF 中，AD =AB∠DAF =∠BAF AF =AF，∴△DAF ≅△BAF SAS ，∴DF =BF ．(2)解：①如图，连接AF ，EG ，BD ，AC ，BD 与AC 交于点O ，AF 交EG 于点P ，由(1)得当菱形AEFG 没有旋转时，AC 平分∠BAD ，AF 平分∠EAG ，∴此时点A 、F 、C 三点共线，∴当菱形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转时，∠FAC =α，∴当α=90°时，∠FAC =∠BAE =90°，在菱形ABCD 中，AB =AD ，OD =12BD ,OA =12AC ，BD ⊥AC ，∠DAO =12∠BAD =30°，∴∠AOD =90°∴∠DOA +∠FAC =180°，∴AF ∥OD ，在菱形AEFG 中，∠EAF =12∠EAG =30°，AE =AG ，AP =12AF ,PE =12EG ，∵∠DAB =∠GAE =60°．∴△ABD 和△AEG 是等边三角形，∴BD =AB =6，EG =AE =3，∴OD =3,EP =32，∴AP =AE 2-EP 2=32，OA =AD 2-OD 2=33∴AF =3，∴AF =OD ，∴四边形AODF 是平行四边形，∴DF =OA =33；②由①得四边形AODF 是平行四边形，∵∠FAC =90°，∴四边形AODF 是矩形，∴∠BDF =90°，即△DFB 为直角三角形，∴此时旋转角α的度数为90°；如图，当点F 在AD 上时，由①得AF =3，∴AF=DF，∵△ABD为等边三角形，∴BF⊥AD，即∠BFD=90°，∴此时△DFB为直角三角形，∵∠EAF=1∠EAG=30°，2∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=30°，即此时旋转角α的度数为30°；综上所述，当△DFB为直角三角形时，旋转角α的度数为30°或90°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【答案】(1)43(2)FD=3CG，证明见解析(3)OE=3OC,2≤OC≤4【分析】(1)连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，根据菱形的性质，证明B,F,D三点共线，求出BD,BF的长，用BD-BF即可求出DF的长度；(2)过点D作DM∥FG，过点G作GM∥DF，过点C作CN⊥MG，得到四边形DMGF为平行四边形，证明△CDM≌△CBG，得到CM=CG,∠DCM=∠BCG，进而求出∠MCG=∠BCG+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠DCB=120°，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，先证明△DOC≌△GOH，推出四边形AHGB为平行四边形，再证明△HAC≌△EBC，推出△CHE为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出CE的范围，进而求出OC的范围即可．【详解】(1)解：连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∴∠ABD =∠CBF =12∠ABC =30°,∠EBF =∠GBF =12∠EBG =30°，AC ⊥BD ,EG ⊥BF ,BD =2OB ,BF =2HB ，∵点E 、G 分别在边AB 、BC 上，∴∠ABD =∠ABF =30°，∴B ,F ,D 三点共线，∵BE =2,∠EBF =30°，∴HE =12BE =1，BH =3HE =3，∴BF =2BH =23，同理：BD =2OB =23OA =2×32AB =63，∴DF =BD -BF =43；故答案为：43；(2)FD =3CG ，证明如下：过点D 作DM ∥FG ，过点G 作GM ∥DF ，过点C 作CN ⊥MG ，则：四边形DMGF 为平行四边形，∴DF =MG ，DM =GF ，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∠ABC =∠EBG =60°，∴AD ∥BC ,BE ∥GF ，∠ADB =∠ABC =∠EBG =60°，CD =BC ,BG =GF =DM∴BE ∥DM ，∠1=∠2，∠DCB =180°-∠ADC =120°，∴∠3=∠DMN ，∵∠1=∠ADM +∠DMN ,∠2=∠3+∠CBE∴∠ADM =∠CBE ，∴∠CDA +∠ADM =∠CBE +∠EBG ，即：∠CDM =∠CBG ，又∵CD =BC ,BG =DM ，∴△CDM ≌△CBG ，∴CM =CG ,∠DCM =∠BCG ，∴∠MCG =∠BCG +∠BCM =∠DCM +∠BCM =∠DCB =120°，∴∠CMG =∠CGM =12180°-120° =30°，∵CN ⊥MG ，∴DF =MG =2NG ，CN =12CG ，∴NG=CG2-CN2=3CG，2∴DF=3CG；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，∵O是DG的中点，∴OD=OG，又∵∠DOC=∠HOG，∴△DOC≌△GOH，∴GH=CD，∠OCD=∠OHG，∴CD∥HG，∵菱形ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠ABC=60°，∴AB∥HG，GH=CD=AB，△ABC为等边三角形，∴四边形AHGB为平行四边形，∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=BC，∴AH∥BG,AH=BG，∠CAQ=180°-∠CAB=120°，∴∠HAQ=∠ABG，∵BG=BE，∴AH=BE，∵∠CBE=∠ABC+∠ABG+∠EBG=120°+∠ABG，∠HAC=∠HAQ+∠CAQ=∠HAQ+120°，∴∠CBE=∠HAC，又∵AH=BE，AC=BC，∴△HAC≌△EBC，∴CH=CE，∠HCA=∠ECB，∴∠HCE=∠HCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴△CHE为等边三角形，∵OC=OH，∠HEC=60°，∴OE⊥OC，∠CEO=30°，∴OC=1CE，2∴OE=3OC；②∵BC=AB=6,BE=2，∴BC-BE≤CE≤BC+BE，即：4≤CE≤8，∵OC=1CE，2∴2≤OC≤4．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质连接BD ，DE ，根据菱形的性质可得，△ABD 是等边三角形，再证明△ADP ≌△ABP ，可得PD =PB ，从而得到PE +PB 的最小值为DE 的长，再由E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ,AE =12AB =1，然后根据勾股定理可得DE =3，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是菱形，周长为8，∠DAC =30°，∴∠DAB =2∠DAC =60°，∠DAP =∠BAP ，AB =AD =2，∴△ABD 是等边三角形，在△ADP 和△ABP 中，∵AP =AP ，∠DAP =∠BAP ，AB =AD ，∴△ADP ≌△ABP ，∴PD =PB ，∴PE +PB =PE +PD ≥DE ，即PE +PB 的最小值为DE 的长，∵E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ,AE =12AB =1，∴DE =AD 2-AE 2=3，即PE +PB 的最小值为3．故答案为：3．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B =45°，BC =23，则GH 的最小值是．【答案】62【分析】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，AF 最小，求出AF 最小值即可求出．【详解】解：连接AF ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，则∠AFB =90°，AF 最小，GH 得到最小值，∵∠B =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF 2+BF 2=AB 2，即2AF 2=AB 2，∴AF =6，∴GH =62，故答案为：62．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD 中，∠B =60°，E 是BC 中点，连接AE ,DE ，点F 是DE 上一动点，G 为AF 中点，连接CG ．(1)∠BAE =；(2)若AB =2，则CG 的最小值为．【答案】30°2217【分析】(1)连接AC ，证明△ABC 为等边三角形，三线合一，即可得出结果；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI ，根据三角形的中位线定理，推出点G 在IH 上运动，当CG ⊥HG 时，CG 最小，进行求解即可．【详解】解：(1)连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =BC ，∵∠B =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，∵E 是BC 中点，∴AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°；故答案为：30°；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI则：IG ∥DF ，HG ∥DF ，∴I ,G ,H 三点共线，。

初三数学菱形的练习题及答案

初三数学菱形的练习题及答案菱形是初中数学中常见的图形之一，通过练习菱形的题目，学生可以巩固对菱形及其性质的认识，培养解决几何问题的能力。

本文将提供一些初三数学菱形的练习题及答案，帮助学生更好地理解和应用相关知识。

练习题一：根据给定条件，求菱形的周长和面积。

1.已知菱形的对角线长度分别为8cm和12cm，求菱形的周长和面积。

解答：求菱形的周长，需要知道菱形的所有边长。

根据菱形的性质，对角线相交于其垂直平分点，且对角线相等。

设菱形的一个对角线长度为d1=8cm，另一个对角线长度为d2=12cm。

根据性质可知，菱形的边长等于对角线长度的一半。

菱形的周长=4×菱形的边长=4×(d1/2)=4×(8/2)=4×4=16cm菱形的面积= (d1×d2)/2=(8×12)/2=96/2=48cm²所以，该菱形的周长为16cm，面积为48cm²。

练习题二：根据给定条件，判断是否为菱形。

2.在平面直角坐标系中，已知四个点的坐标依次为A(3, 0)、B(0, 2)、C(-3, 0)和D(0, -2)，判断四边形ABCD是否为菱形。

解答：要判断四边形ABCD是否为菱形，需要验证以下两个条件：- 对角线互相垂直；- 对角线相等。

首先计算对角线的长度：AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((-3 - 3)² + (0 - 0)²)= √((-6)²)= √36= 6BD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)= √((0 - 0)² + (-2 - 2)²)= √((0)² + (-4)²)= √(0 + 16)= √16= 4由上述计算可知，AC=6，BD=4。

接下来验证两个条件：- 对角线互相垂直：计算斜率k1、k2，若k1*k2=-1则两对角线互相垂直。

中考数学菱形专题练习

AC图5中考菱形专题附参考答案1、（2012•泸州）如图，菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O ，若 AC=6，BD=4，则菱形 ABCD 的周长是（） A ．24 B ．16 C ．4 D ．2DGO HB3 题图2、（2013 凉山州）如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．173、（2013•绵阳）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点 H ，且 DH 与 AC 交于 G ，则 GH =（）A ． 28 cm B ． 21 cm C ． 28 cm D ． 25 cm252015214、（2013•内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M 、N 分别是边 BC 、 CD 的中点，P 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= ．DCAB DAPC （5 题）BE E FC5、（2013• 淄博）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠ A =60 °，折叠菱形纸片 ABCD ，使点 C 落在 DP （P 为 AB 中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE ．则∠DEC的大小为（A ）78°（B ）75°（C ）60°（D ）45° 6、（2013•黔西南州）如图 5 所示，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AE ⊥ BC 于 E ， AF ⊥ CD 于 F ，∠B=60°，则菱形的面积为_________。

7、（2013，河北）．如图 4，菱形 ABCD 中，点 M ，N 在 AC 上，ME ⊥AD ， NF ⊥AB . 若 NF = NM = 2，ME = 3，则 AN =8、（2013•安徽）如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线AC 上的一个动点，点 M 、N 分别是边 AB 、BC 的中点，则 PM + PN 的最小值是___________．9、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接△E F，则AEF的面积是．DAPCMBN第8题图10、（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.10题图11、（2013•遂宁）如图，已知四边形A BCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（△1）ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．12、（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H 分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．13、（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC 的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．14、（2013•南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．（△1）求证：ABE≌△CDF；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．15、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．16、（2013•乌鲁木齐）如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．17、（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．18、（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒１个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A O D和D A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记D D MN的面积为S,求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．（第18题图）cm B ． cm C ． cmD ． cmAC答案考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：根据菱形得出 AB=BC ，得出等边三角形 ABC ，求出 AC ，长，根据正方形的性质得出 AF=EF=EC=AC=4，求出即可．解答：解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC ， ∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴AC=AB=4，∴正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=4×4=16，故选 C ．（2013•绵阳）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点 H ，且DH 与 AC 交于 G ，则 GH =（）A ． 28 21 28 2525 20 15 21DGOH（2013•内江）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M 、N 分别是边 BC 、CD 的中点，BP 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= 5 ．10 题图考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：作 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 P ，连接 MP ，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC ，求出 OC 、OB ，根据勾股定理求出 BC 长，证出 MP+NP=QN=BC ，即可得出答案．解答：解：作 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 P ，连接 MP ，此时 MP+NP 的值最小，连接 AC ，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∠QBP=∠MBP ，即 Q 在 AB 上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在△Rt BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．（2013•遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1△）ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO.N A Dt∴MP=t=3∵Sin∠ADO==∴MP=(70-t)17题图（2013龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、分别以每秒１个单位的速度从点、同时出发，分别沿A O D 和D A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记D D MN的面积为S,求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．（第25题图）.(1)在菱形ABCD中，∵AC⊥BD∴AD=302+402=50.∴菱形ABCD的周长为200.·····························4分(2)过点M作MP⊥AD，垂足为点P.①当0＜t≤40∵Sin∠OAD=MP OD3==AM AD5351∴S=⨯DN•MP210t2························································································································6分②当40<t≤50时，∴MD=80-tMP AOMD AD452= - t 2 + 28t = - (t - 35)2 + 490 ··························································································8 分⎪⎪10 t ,0 < t ≤ 40则NF = ND • Sin ∠ODA = 30 ⨯ = = 24DF = ND • Cos ∠ODA = 30 ⨯ 30 = = 2 ····································································11 分 ∴FG = OF+ ON 12 + 12 5 1 + 5 tan ∠GOF == 1 +5 =∴ ∠DPK = ∠DPO = ∠DON = ∠FOG ··································································12 分∴PK = ···········································································································13 分∴存在两个点 P 到 OD 的距离都是 15( 5 + 1)∴ S ∆DMN = 1DN • MP2 25 5⎧ 3 2 ∴ S =⎨⎪- 2(t - 35)2 + 490,40 < t ≤ 50 ⎪⎩ 5当 0＜t ≤40 时，S 随 t 的增大而增大，当 t ＝40 时，最大值为 480.当 40＜t ≤50 时，S 随 t 的增大而减小，当 t ＝40 时，最大值为 480.综上所述，S 的最大值为 480. ····························································································· 9 分（3）存在 2 个点 P ，使得∠DPO =∠DON .········································································ 10 分方法一：过点 N 作 NF ⊥OD 于点 F ，40 12050 5，90= = 18.50 5∴OF =12，∴ tan ∠NOD =NF 24 OF 12作 ∠NOD 的平分线交 NF 于点 G ，过点 G 作 GH ⊥ON 于点 H . ∴ S ∆ONF 1= OF • NF = S2∆OGN + S ∆OFG 1 1 1 = OF • FG + ON • GH = (OF + ON ) • FG 2 2 2OF • NF 12 + 24 24= =24∴ GF 2 OF 12 1 + 5设 OD 中垂线与 OD 的交点为 K ，由对称性可知：1 12 2 ∴ DK 15 2tan ∠DPK == = PK PK 1 + 515( 5 + 1)2根据菱形的对称性可知，在线段 OD 的下方存在与点 P 关于 OD 轴对称的点 P ' .2.··························································14 分方法二：如图，作 ON 的垂直平分线，交 EF 于点 I ，连结 OI ，IN.过点 N 作 NG ⊥OD ，NH ⊥EF ,垂足分别为 G ，H. 当 t =30 时，DN =OD =30，易知△DNG ∽△DAO ，∴即DN NG DG= = ． DA AO OD 30 NG DG= = ． 50 40 30⎪⎪∴PE=PI+IE=15+155．····························································································13分∴存在两个点P，到OD的距离都是.∴NG=24,DG=18．·······································································································10分∵EF垂直平分OD，∴OE=ED＝15，EG=NH=3．······················································································11分设OI=R，EI=x,则在△Rt OEI中，有R2=152+x2①在△Rt NIH中，有R2=32+(24-x)2②⎧15x=2由①、②可得：⎨⎪R=155⎪⎩22根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P'也满足条件．15(5+1)2（2013△?常州）如图，在ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．（2013•南京）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。

菱形(中初中数学考题汇总27)

C'B'A'ACBOx y选择题（每小题x 分，共y 分）10．（2011贵州六盘水，10，3分）如图4，在菱形ABCD 中，对角线AC =6，BD =8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是（）图4A ．3B ．4C ．5D ．62,用直尺和圆规作一个菱形，如图4，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边都相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形3、（2011?淮安）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ C ） A 、5cm B 、15cmC 、20cmD 、25cm4、（2011?江津区）如图，四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ C ） ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形； ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是④四边形A n B n C n D n 的面积是．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④5.．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD 一定是D A ．茭形 B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形（2011?孝感）11.如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点 O 顺时针旋转75°至OA B C '''的位置，若OB=C=120°，则点B '的坐标为（ D ）A.B.(3,C.D.6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( A )A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补7、依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ A ）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形8. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A.1 (B.2C.3D.410.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )12.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.下列结论：??①△AED≌△DFB；??②S四边形?B C D G=?43CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF.其中正确的结论 D只有①②.?B.只有①③.C.只有②③.?D.①②③.〕7、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是CA、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是C〔2011?大理〕6．用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是【】A．等腰梯形B．菱形C．矩形D．正方形8．图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是C第10题图（A ）2n （B ）4n （C ）12n + （D ）22n +二、填空题（2011?福建省三明）1４．如图，□ABCD 中，对角形AC ，BD 相交于点O ，添加一个．．条件，能使□ABCD 成为菱形．你添加的条件是（不再添加辅助线和字母）(2011●河北省)14．如图6，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC =_____.（2011?四川省内江市）16、如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__ ______条件时，四边形EFGH 是菱形． 1．〔2011?凉山州〕已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是。

(初中)数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总

（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。

第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。

中考数学考点27菱形总复习(解析版)

菱形【命题趋势】在中考中.菱形主要在选择题.填空题.解答题考查为主.并结合相似.锐角三角函数结合考查。

【中考考查重点】一、菱形的性质及判定二、菱形与折叠综合考点：菱形性质及判定一、菱形的概念和性质1.概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：边：菱形的四条边都相等．对角线：菱形的两条对角线互相垂直.并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．二、菱形的判定1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3. 四条边相等的四边形是菱形（边）1.（2020春•澧县期末）如图.在菱形ABCD中.对角线AC、BD交于点O.E为AD的中点.菱形ABCD的周长为28.则OE的长等于（）A．3.5B．4C．7D．14【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形.∴AB＝×28＝7.且O为BD的中点.∵E为AD的中点.∴OE为△ABD的中位线.∴OE＝AB＝3.5.故选：A．2.（2019春•西湖区校级月考）如图.菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O.E是AD的中点.连接OE．若OE＝3.则菱形ABCD的周长是（）A．6B．12C．18D．24【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD为菱形.∴AC⊥BD.AB＝BC＝CD＝DA.∴△AOD为直角三角形．∵OE＝3.且点E为线段AD的中点.∴AD＝2OE＝6．C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24．故选：D．3.（2021春•泗水县期末）如图.四边形ABCD是菱形.AC＝12.BD＝16.AH⊥BC于H.则AH等于（）A．B．C．4D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是菱形.AC＝12.BD＝16.∴CO＝AC＝6.BO＝BD＝8.AO⊥BO.∴BC＝＝10.∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×16×12＝96.∵S菱形ABCD＝BC×AH.∴BC×AH＝96.∴AH＝＝故选：B4.（2019•安徽模拟）如图.平行四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.点E.F分别是OA.OC的中点.下列条件中.不能判断四边形BEDF是菱形的是（）A．AC⊥BD B．AC＝2BD C．AC平分∠BAD D．AB＝BC【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA＝OC.OB＝OD.∵点E.F分别是OA.OC的中点.∴OE＝OF＝＝.∴四边形EBDF是平行四边形.添加AC⊥BD时.∵BO是△BEF的中线.∴BE＝BF.∴四边形EBFD是菱形.选项A正确；添加AC平分∠BAD.∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB.∴AD＝AB＝BC.在△ABE和△ADE中..∴△ABE≌△ADE（SAS）.∴BE＝DE.∴四边形EBFD是菱形.选项C正确；添加AB＝BC时.∴∠BAE＝∠BCF.在△BAE和△BCF中..∴△BAE≌△BCF（SAS）.∴BE＝BF.∴四边形EBFD是菱形.选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；故选：B．5.（2020春•南平期末）如图.在▱ABCD中.AC与BD交于点O.下列判断中不正确的是（）A．若AB＝BC.则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD.则▱ABCD是菱形C．若AC平分∠BAD.则▱ABCD是菱形D．若AC＝BD.则▱ABCD是菱形【答案】D【解答】解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断▱ABCD是菱形；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断▱ABCD是菱形；C、由AC平分∠BAD.可得四边相等.即可判断▱ABCD是菱形；D、由对角线相等的平行四边形是矩形.可判断▱ABCD是矩形．故选：D．6.（2020•兴庆区校级三模）如图.在菱形ABCD中.过点D作DE⊥AB于点E.作DF⊥BC于点F.连接EF.求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）若∠A＝60°.AD＝4.求△EDF的周长．【答案】（1）略（2）6．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形.∴AD＝CD.∠A＝∠C.∵DE⊥BA.DF⊥CB.∴∠AED＝∠CFD＝90°.在△ADE和△CDF.∵.∴△ADE≌△CDF；（2）∵△ADE≌△CDF.∴DE＝DF.∠ADE＝∠CDF.∵菱形ABCD.DE⊥AB于点E.∠A＝60°.∴∠ADC＝120°.∠ADE＝30°.∴∠EDF＝60°.∴△DEF是等边三角形.在Rt△AED中.∵AD＝4.∠A＝60°.∴DE＝2.∴△EDF的周长＝3DE＝6．7.（2021春•平舆县期中）如图.▱ABCD的对角线AC.BD相交于点O.且AB＝5.AC＝8.BD＝6.求证：▱ABCD是菱形．【答案】略【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.且AC＝8.BD＝6.∴AO＝4.BO＝3.∵AB＝5.∴AB2＝AO2+BO2．∴△OAB是直角三角形．∴AC⊥BD．又∵四边形ABCD为平行四边形.∴四边形ABCD为菱形．8.（2020秋•会宁县期中）如图.在四边形ABCD中.BD为一条对角线.AD∥BC.AD＝2BC.∠ABD＝90°.E为AD的中点.连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC.若AC平分∠BAD.AB＝2.求菱形BCDE的面积．【答案】（1）略（2）2．【解答】（1）证明：∵E为AD的中点.∴AD＝2DE＝2AE.∵AD＝2BC.∴DE＝BC.又∵AD∥BC.∴四边形BCDE为平行四边形.∵∠ABD＝90°.E为AD中点.∴在Rt△ABD中.AD＝2BE.∴BE＝DE.∴四边形BCDE为菱形；（2）解：过点BF⊥AD于点F.如图所示：∵AC平分∠BAD.∴∠BAC＝∠DAC.又∵AD∥BC.∴∠BCA＝∠DAC.∴∠BCA＝∠BAC.∴AB＝BC.∴AB＝BC＝BE＝DE＝AE＝2.∴△ABE为等边三角形.∴∠BAE＝60°.∠BDA＝30°∴在Rt△ABD中.BD＝AB＝2∴在Rt△BDF中.BF＝BD＝.∴菱形BCDE的面积＝DE×BF＝2．1．（2019春•江岸区期中）菱形的边长为5.它的一条对角线的长为6.则菱形的另一条对角线的长为（）A．8B．6C．5D．4【答案】A【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形.∴AB＝5.AC⊥BD.AO＝CO＝AC＝3.BO＝DO＝BD.∴BO＝＝＝4.∴BD＝8故选：A．2．（2019秋•莲湖区期末）菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等【答案】D【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分.且每一条对角线平分一组对角.∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．3．（2019•长春模拟）如图.在菱形ABCD中.E.F分别是AC.AD的中点.若EF＝2.则菱形ABCD的周长是（）A．8B．12C．16D．20【答案】C【解答】解：∵E.F分别是AC.AD的中点.∴EF为△ACD的中位线.∴CD＝2EF＝4.∵四边形ABCD为菱形.∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：C．4．（2019春•滨海新区期末）如图.菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.E、F分别是AD、AB边上的中点.连接EF．若EF＝.OC＝2.则菱形ABCD的面积为（）A．B．4C．6D．8【答案】B【解答】解：∵E、F分别是AD、AB边上的中点.∴BD＝2EF＝2.∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD.AO＝CO＝2∴AC＝4∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝4故选：B．5．如图.点B.C分别是锐角∠A两边上的点.AB＝AC.分别以点B.C为圆心.以AB的长为半径画弧.两弧相交于点D.连接BD.CD.则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线平分一组对角的四边形是菱形C．一组邻边相等的四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形【答案】D【解答】解：由作图得：BA＝BD.CA＝CD.∵AB＝AC.∴AB＝AC＝BD＝CD.∴四边形ACDB是菱形.故选：D．6.（2021春•长春期末）如图.在平行四边形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.添加一个条件：使平行四边形ABCD是菱形．【答案】AB＝AD（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：AB＝AD.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形.AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形.故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．7.（2021春•上城区校级期中）如图.在△ABC中.点D、E、F分别在边BC、AB、CA上.且DE∥CA.DF∥BA.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°.那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC.那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC.那么四边形AEDF是菱形．其中.正确的有．（只填写序号）【答案】①③【解答】解：∵DE∥CA.DF∥BA.∴四边形AEDF是平行四边形.故①正确；∵∠BAC＝90°.四边形AEDF是平行四边形.∴四边形AEDF是矩形.故②错误；∵AD平分∠BAC.四边形AEDF是平行四边形.∴四边形AEDF是菱形.故③正确；∵AB＝AC.四边形AEDF是平行四边形.不能得出AE＝AF.故四边形AEDF不一定是菱形.故④错误；故答案为：①③．8.（2021秋•长沙期末）如图.将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长.分别至点E和点F.且使AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10.EF＝24.求菱形EBFD的面积．【答案】（1）略（2）120【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BC.AO＝CO.BO＝DO.∵AE＝CF.∴AO+AE＝CO+CF.即EO＝FO.∵BO＝DO.EO＝FO.∴四边形EBFD是菱形；（2）解：∵四边形EBFD是菱形.BD＝10.EF＝24.∴菱形EBFD的面积＝BD•EF＝×10×24＝1209.（2020秋•龙泉驿区期末）如图1.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.D是AB边上任意一点.E是BC边上的中点.过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F.连接BF.CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2.若D为AB中点.求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°.∠ABC＝45°.BE＝4.求的△BDE面积．【答案】（1）略（2）略（3）4+4【解答】（1）证明：∵CF∥AB.∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点.∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED.∴△CEF≌△BED（ASA）.∴CF＝BD.且CF∥AB.∴四边形CDBF是平行四边形．（2）∵D为AB中点.∠ACB＝90°.∴AD＝CD＝BD.且四边形CDBF是平行四边形.∴四边形CDBF是菱形.（3）如图.作EM⊥DB于点M.在Rt△EMB中.EM＝BE•sin∠ABC＝2.∴BM＝2在Rt△EMD中.∵∠EDM＝30°.∴DM＝ME＝2.∴BD＝2+2∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+41．（2021•河南）关于菱形的性质.以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边相等.正确.不符合题意.B．菱形的对角线互相垂直且平分.对角线不一定相等.不正确.符合题意.C．菱形的对角线互相垂直且平分.正确.不符合题意.D．菱形是轴对称图形.正确.不符合题意.故选：B．2．（2021•烟台）如图.在直角坐标系中.菱形ABCD的顶点A.B.C在坐标轴上.若点B的坐标为（﹣1.0）.∠BCD＝120°.则点D的坐标为（）A．（2.2）B．（.2）C．（3.）D．（2.）【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD.∠BCD＝120°.∴∠ABC＝60°.∵B（﹣1.0）.∴OB＝1.OA＝.AB＝2.∴A（0.）.∴BC＝AD＝2.∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1.∴C（1.0）.D（2.）.故选：D．3．（2021•陕西）如图.在菱形ABCD中.∠ABC＝60°.连接AC、BD.则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形.∴AO＝CO.BO＝DO.AC⊥BD.∠ABD＝∠ABC＝30°.∵tan∠ABD＝.∴.故选：D．4．（2021•绍兴）如图.菱形ABCD中.∠B＝60°.点P从点B出发.沿折线BC﹣CD方向移动.移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中.依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【解答】解：∵∠B＝60°.故菱形由两个等边三角形组合而成.当AP⊥BC时.此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时.此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时.△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时.此时△ABP为等腰三角形.故选：C．5．（2021•朝阳）如图.在菱形ABCD中.点E.F分别在AB.CD上.且BE＝2AE.DF＝2CF.点G.H分别是AC的三等分点.则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BE＝2AE.DF＝2FC.∴.∵G、H分别是AC的三等分点.∴..∴.∴EG∥BC∴.同理可得HF∥AD..∴.故选：A．6．（2021•南充）如图.在菱形ABCD中.∠A＝60°.点E.F分别在边AB.BC上.AE＝BF ＝2.△DEF的周长为3.则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1【答案】C【解答】解：如图.连结BD.作DH⊥AB.垂足为H.∵四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD.AD∥BC.∵∠A＝60°.∴△ABD是等边三角形.∠ABC＝180°﹣∠A＝120°.∴AD＝BD.∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°.∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°.∵AE＝BF.∴△ADE≌△BDF（SAS）.∴DE＝DF.∠ADE＝∠FDB.∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°.∴△DEF是等边三角形.∵△DEF的周长是3.∴DE＝.设AH＝x.则HE＝2﹣x.∵AD＝BD.DH⊥AB.∴∠ADH＝∠ADB＝30°.∴AD＝2x.DH＝x.在Rt△DHE中.DH²+HE²＝DE².∴（x）²+（2﹣x）²＝（）².解得：x＝（负值舍去）.∴AD＝2x＝1+.故选：C．7．（2021•北京）如图.在矩形ABCD中.点E.F分别在BC.AD上.AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形.这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】AE＝AF【解答】解：这个条件可以是AE＝AF.理由：∵四边形ABCD是矩形.∴AD∥BC.即AF∥CE.∵AF＝EC.∴四边形AECF是平行四边形.∵AE＝AF.∴四边形AECF是菱形.故答案为：AE＝AF．8．（2021•云南）如图.四边形ABCD是矩形.E、F分别是线段AD、BC上的点.点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠.则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE.AB•AD＝3.求EF•BD的值．【答案】（1）略（2）4【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠.使E.F重合.∴OE＝OF.EF⊥BD.∵四边形ABCD是矩形.∴∠C＝90°.AD∥BC.∴∠ODE＝∠OBF.在△OBF和△ODE中..∴△OBF≌△ODE（AAS）.∴OB＝OD.∵OE＝OF.∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD.∴四边形BFDE是菱形．（2）如图.∵AB•AD＝3.∴S△ABD＝AB•AD＝.∵ED＝2AE.∴ED＝AD.∴S△BDE：S△ABD＝2：3.∴S△BDE＝.∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2.∴EF•BD＝4．1．（2022•大渡口区模拟）若菱形的周长为8.高为2.则菱形的面积为（）A．2B．4C．8D．16【答案】B【解答】解：∵菱形的周长为8.∴边长＝2.∴菱形的面积＝2×2＝4.故选：B．2．（2021•安徽二模）四边形ABCD中.AD∥BC.点P.Q是对角线BD上不同的两点.若四边形APCQ是菱形.则下列说法中不正确的是（）A．BP＝DQ B．∠ABD＝∠ADB C．AB∥CD D．∠ABP＝∠BAP 【答案】D【解答】解：如图.连接AC.∵四边形ABCD是菱形.∴AP＝PC＝CQ＝AQ.AQ∥PC.AC⊥BD.∴∠AQP＝∠CPQ.∴∠AQD＝∠BPC.∵AD∥BC.∴∠ADQ＝∠CBP.在△ADQ和△CBP中..∴△ADQ≌△CBP（AAS）.∴AD＝BC.BP＝DQ.故选项A不合题意；又∵AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB＝CD.AB∥CD.故选项C不合题意；∵AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD.∴∠ABD＝∠ADB.故选项B不合题意；故选：D．3．（2021•肇源县模拟）如图.两张等宽的纸条交叉重叠在一起.重叠的部分为四边形ABCD.若测得A.C之间的距离为3cm.点B.D之间的距离为4cm.则线段AB的长为（）A．2.5cm B．3cm C．3.5cm D．4cm【答案】A【解答】解：如图.过A作AR⊥BC于R.AS⊥CD于S.连接AC.BD交于点O.由题意知.AD∥BC.AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽.∴AR＝AS．∵AR•BC＝AS•CD.∴BC＝CD.∴平行四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD．OA＝OC＝AC＝（cm）.OB＝OD＝BD＝2（cm）.在Rt△AOB中.由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（cm）.故选：A．4．（2021•柳南区校级模拟）如图.平行四边形ABCD中.∠A＝110°.AD＝DC．E.F分别是边AB和BC的中点.EP⊥CD于点P.则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°【答案】A【解答】解：∵平行四边形ABCD中.AD＝DC.∴四边形ABCD为菱形.∴AB＝BC.∠ABC＝180°﹣∠A＝70°.∵E.F分别为AB.BC的中点.∴BE＝BF.∠BEF＝∠BFE＝55°.∵PE⊥CD.AB∥CD.∴PE⊥AB.∴∠PEB＝90°.∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°.故选：A．5．（2021•海阳市一模）如图.在∠MON的两边上分别截取OA、OB.使OA＝OB；分别以点A、B为圆心.OA长为半径作弧.两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB ＝2cm.四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：根据作图.AC＝BC＝OA.∵OA＝OB.∴OA＝OB＝BC＝AC.∴四边形OACB是菱形.∵AB＝2cm.四边形OACB的面积为4cm2.∴AB•OC＝×2×OC＝4.解得OC＝4cm．故选：C．6．（2022•郑州一模）如图.菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O.点P为AB边上一动点（不与点A.B重合）.PE⊥OA于点E.PF⊥OB于点F.若AC＝20.BD＝10.则EF 的最小值为．【答案】（1）略（2）2【解答】解：连接OP.∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.AO＝AC＝10.BD＝BD＝5.∴AB＝＝5.∵PE⊥OA于点E.PF⊥OB于点F.∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°.∴四边形OEPF是矩形.∴EF＝OP.∵当OP取最小值时.EF的值最小.∴当OP⊥AB时.OP最小.∴S△ABO＝OA•OB＝AB•OP.∴OP＝＝2.∴EF的最小值为2.故答案为：2．7．（2021•广东模拟）如图.点F.H是菱形ABCD的对角线BD上的两点.以FH为对角线作矩形EFGH.使点E.G分别在菱形ABCD的边AD.BC上．（1）求证：∠AEF＝∠CGH；（2）若E为AD中点.FH＝2.求菱形ABCD的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形.∴EH＝FG.EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF.∵∠DHE+∠EHF＝180°.∠BFG+∠GFH＝180°.∴∠BFG＝∠DHE.∵四边形ABCD是菱形.∴AD∥BC.∴∠GBF＝∠EDH.在△BGF和△DEH中..∴△BGF≌△DEH（AAS）.∴∠AEF＝∠CGH；（2）解：连接EG.∵四边形ABCD是菱形.∴AD＝BC.AD∥BC.∵E为AD中点.∴AE＝ED.∵△BGF≌△DEH.∴BG＝DE.∴AE＝BG.AE∥BG.∴四边形ABGE是平行四边形.∴AB＝EG.∵四边形EFGH是矩形.FH＝2.∴EG＝FH＝2.∴AB＝2.∴菱形ABCD的周长为AD+AB+DC+BC＝4AB＝4×2＝8．8．（2021•昆明模拟）如图.在平行四边形ABCD中.CE⊥AB于E.CF⊥AD于F.且BE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC.若AB＝5.AC＝6.求四边形ABCD的面积．【答案】（1）略（2）24【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠B＝∠D.∵CE⊥AB于E.CF⊥AD于F.∴∠BEC＝∠DFC＝90°.在△BEC和△DFC中..∴△BEC≌△DFC（ASA）.∴BC＝CD.∴平行四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O.如图所示：∵四边形ABCD是菱形.AC＝6.∴AC⊥BD.AO＝OC＝AC＝3.BO＝DO.∵AB＝5.AO＝3.∴BO＝.∴BD＝2BO＝8.∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝×6×8＝24．9．（2021•朝阳区一模）如图.BD是▱ABCD的对角线.且BD⊥BC.DE、BF分别是边AB、CD的中线．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）若AB＝9.sin A＝.则点E、F之间的距离为．【答案】（1）略（2）3【解答】（1）证明：∵DE、BF分别是△ABD、△BCD的中线.∴BE＝AB.DF＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD.AB＝CD.∴DF∥BE.DF＝BE.∴四边形DEBF是平行四边形.∵BD⊥BC.∴∠DBC＝90°.∵BF是△BCD的中线.∴BF＝CD＝DF.∴平行四边形DEBF是菱形；（2）解：连接EF交BD于O.如图所示：由（1）得：四边形DEBF是菱形.∴OE＝OF.OB＝OD.EF⊥BD.∵四边形ABCD是平行四边形.∴CD＝AB＝9.∠C＝∠A.∴sin C＝sin A＝.在Rt△BCD中.sin C＝＝.∴BD＝CD＝×9＝6.∴OB＝BD＝3.由（1）得：BF＝CD＝.∴OF＝＝＝.∴EF＝2OF＝3.故答案为：3．10．（2021•沈阳模拟）如图.在四边形ABCD中.AB∥DC.AB＝AD.对角线AC.BD交于点O.AC平分∠BAD.过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点F.连接OE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝.BD＝2.请直接写出△OBE的面积为．【答案】（1）略（2）【解答】（1）证明：∵AB∥CD.AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∠CAB＝∠DCA.∵AC为∠DAB的平分线.∴∠CAB＝∠DAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形.∴OA＝OC.BD⊥AC.OB＝BD＝1.∴∠AOB＝90°.∴OA＝＝＝3.∴AC＝2OA＝6.∵CE⊥AB.∴∠AEC＝90°＝∠AOB.又∵∠OAB＝∠EAC.∴△AOB∽△AEC.∴＝.即＝.解得：EA＝.∴BE＝EA﹣AB＝﹣＝.过O作OP⊥AE于P.则OP＝＝＝.∴△OBE的面积＝××＝.故答案为：．。

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件．例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等．错解：（1）（√）（2）（×）正解：（2）（×）（2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复．例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。

中考数学菱形复习专题练习含答案

中考数学菱形复习专题练习一、单选题1．（2021八下·海曙期末）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB.下列说法中错误的是()A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90 º，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形2．（2021九上·浙江期中）如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．8 mm B．16mm C．8 mm D．4mm 3．（2021九上·越城期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止.点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．4．（2021九上·上城期中）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3 5．（2021九上·温岭竞赛）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）A．1B．2C．D．6．菱形有一个内角是120，且较短的对角线长为6cm,则菱形的边长为().A．6cm B．2 cm C．6 cm D．12 cm 7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．B．C．1D．8．如图，在ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。

中考数学复习之菱形习题(含答案)

中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。

在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。

本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。

习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BAD=∠DAC=60°。

又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。

又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。

因此，∠CBD的度数为0°。

习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BOA=∠COD=90°。

又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。

根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。

因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。

因此，∠AOB的度数为180°。

习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。

设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。

又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。

根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。

中考数学真题分类汇编及解析(二十八)菱形

（2022•武威中考）如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，动点P 从点A 出发，沿折线AD →DC →CB 方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，△APB 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（）A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．4√3【解析】选B ．在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，所以△ABD 为等边三角形，设AB ＝a ，由图2可知，△ABD 的面积为3√3，所以S △ABD =√34a 2＝3√3，解得：a ＝2√3. （2022•自贡中考）如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点A （﹣2，5），则点C 的坐标是（）A ．（5，﹣2）B ．（2，﹣5）C ．（2，5）D ．（﹣2，﹣5）【解析】选B.因为四边形ABCD 是菱形，所以OA ＝OC ，即点A 与点C 关于原点对称，因为点A （﹣2，5），所以点C 的坐标是（2，﹣5）.（2022•株洲中考）如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ，下列结论不一定正确的是（）A ．OB =12CE B ．△ACE 是直角三角形C ．BC =12AE D ．BE ＝CE 【解析】选D ．因为四边形ABCD 是菱形，所以AO ＝CO =12，AC ⊥BD ，因为CE ∥BD ，所以△AOB ∽△ACE ，所以∠AOB ＝∠ACE ＝90°，AOAC =OBCE =ABAE =12，（2022•河南中考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（）A ．6B ．12C ．24D ．48【解析】选C ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，所以△COD 为直角三角形．因为OE ＝3，点E 为线段CD 的中点，所以CD ＝2OE ＝6．所以C 菱形ABCD ＝4CD ＝4×6＝24．（2022•赤峰中考）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上．∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（）A ．3B ．5C ．2√2D ．32√3【解析】选A ．根据题意得，E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E '，连接DE '交AC 与点P ，此时PD +PE 有最小值为DE '，因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），所以OA ＝OC ＝3，∠DBC ＝60°，所以△BCD 是等边三角形，所以DE '＝OC ＝3，即PD +PE 的最小值是3．（2022•海南中考）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若BF ：CE ＝1：2，EF =√7，则菱形ABCD 的边长是（）A ．3B ．4C ．5D ．45√7【解析】选B ．过点D 作DH ⊥AB 于点H ，如图，因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝AB＝CD，AB∥CD．因为EF⊥AB，DH⊥AB，所以DH∥EF，所以四边形DHFE为平行四边形，所以HF＝DE，DH＝EF=√7．因为点E是边CD的中点，所以DE=12CD，所以HF=12CD=12AB．因为BF：CE＝1：2，所以设BF＝x，则CE＝2x，所以CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，所以AF＝AB+BF＝5x．所以AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，因为DH2+AH2＝AD2，所以(√7)2+(3x)2=(4x)2．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），所以x＝1．所以AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4.A ．52 B ．5 C ．10 D ．20 【解析】选C ．由作图过程可得：PQ 为BD 的垂直平分线，所以BM ＝MD ，BN ＝ND ．设PQ 与BD 交于点O ，如图，则BO ＝DO ．因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠MDO ＝∠NBO ，∠DMO ＝∠BNO ，在△MDO 和△NBO 中，{∠MDO =∠NBO∠DMO =∠BNO OD =OB，所以△MDO ≌△NBO （AAS ），所以DM ＝BN ，所以四边形BNDM 为平行四边形，因为BM ＝MD ，所以四边形MBND 为菱形，所以四边形MBND 的周长＝4BM ．设MB ＝x ，则MD ＝BM ＝x ，所以AM ＝AD ﹣DM ＝4﹣x ，在Rt △ABM 中，因为AB 2+AM 2＝BM 2，所以22+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x =52，所以四边形MBND 的周长＝4BM ＝10．（2022•武威中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB ＝2√5cm ，AC ＝4cm ，则BD 的长为8 cm ．【解析】因为四边形ABCD 是菱形，AC ＝4cm ，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO ，AO ＝CO ＝2cm ，因为AB ＝2√5cm ，所以BO =√AB 2−AO 2=4cm ，所以DO ＝BO ＝4cm ，所以BD ＝8cm.答案：8．（2022•温州中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠BAD ＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF ，使点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，N 在对角线AC 上．若AE ＝3BE ，则MN 的长为 √32 ．【解析】连接DB 交AC 于点O ，作MI ⊥AB 于点I ，作FJ ⊥AB 交AB 的延长线于点J ，如图所示，因为四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝1，所以AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，∠BAC ＝30°，AC ⊥BD ，因为△ABD 是等边三角形，所以OD =12，所以AO =√AD 2−DO 2=√12−(12)2=√32，所以AC ＝2AO =√3，因为AE ＝3BE ，所以AE =34，BE =14，因为菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，所以BE ＝BF =14，∠FBJ ＝60°，所以FJ ＝BF •sin60°=14×√32=√38，所以MI ＝FJ =√38，所以AM =MI sin30°=√3812=√34，同理可得，CN =√34，所以MN ＝AC ﹣AM ﹣CN =√3−√34−√34=√32. 答案：√32．DQ ﹣P 'Q 的最大值为 16√23．【解析】如图，连接BD 交AC 于点O ，过点D 作DK ⊥BC 于点B ，延长DE 交AB 于点R ，连接EP ′交AB 于点J ，作EJ 关于AC 的对称线段EJ ′，则DP ′的对应点P ″在线段EJ ′上．当点P 是定点时，DQ ﹣QP ′＝AD ﹣QP ″，当D ，P ″，Q 共线时，QD ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DP ″的长，当点P 与B 重合时，点P ″与J ′重合，此时DQ ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DJ ′的长，也就是线段BJ 的长．因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，AO ＝OC ，因为AE ＝14．EC ＝18，所以AC ＝32，AO ＝OC ＝16，所以OE ＝AO ﹣AE ＝16﹣14＝2，因为DE ⊥CD ，所以∠DOE ＝∠EDC ＝90°，因为∠DEO ＝∠DEC ，所以△EDO ∽△ECD ，所以DE 2＝EO •EC ＝36，所以DE ＝EB ＝EJ ＝6，所以CD =√EC 2−DE 2=√182−62=12√2，所以OD =√DE 2−OE 2=√62−22=4√2，所以BD ＝8√2，因为S △DCB =12×OC ×BD =12BC •DK ，所以DK =12×16×8√212√212×16×8√26√2=323，因为∠BER ＝∠DCK ，所以sin ∠BER ＝sin ∠DCK =DK CD =32312√2=4√29，所以RB ＝BE ×4√29=8√23，3（2022•达州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为52．【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，因为AC＝24，BD＝10，所以AO=12AC＝12，BO=12BD＝5，在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=√122+52=13，所以菱形的周长为13×4＝52．答案：52（2022•娄底中考）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为√2．【解析】连接AQ，作AH⊥BC于H，因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，因为BQ＝BQ，所以△ABQ≌△CBQ（SAS），（2022•天津中考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于√194．【解析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，所以FH∥AB，所以∠FHG＝∠AEG，因为F是CE的中点，FH∥CD，所以H是DE的中点，所以FH是△CDE的中位线，所以FH=12CD＝1，因为E是AB的中点，所以AE＝BE＝1，所以AE＝FH，因为∠AGE＝∠FGH，所以△AEG≌△FHG（AAS），所以AG＝FG，因为AD∥BC，4（2022•陕西中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，BD ＝7．若M 、N 分别是边AD 、BC 上的动点，且AM ＝BN ，作ME ⊥BD ，NF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，则ME +NF 的值为 √152．【解析】连接AC 交BD 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，OB ＝OD =72，OA ＝OC ，由勾股定理得：OA =√AB 2−OB 2=√42−(72)2=√152，因为ME ⊥BD ，AO ⊥BD ，所以ME ∥AO ，所以△DEM ∽△DOA ，所以MEOA =DMAD ，即ME√152=4−AM 4，解得：ME =4√15−√15AM 8，同理可得：NF =√15AM 8，所以ME +NF =√152，答案：√152．（2022•台州中考）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为 3√3 ；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为 6﹣3√3 ．【解析】如图1中，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝60°，所以△ADB ，△BDC 都是等边三角形，当点M 与B 重合时，EF 是等边△ADB 的高，EF ＝AD •sin60°＝6×√32=3√3．如图2中，连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK ⊥AD 于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ．因为AD ∥CG ，OK ⊥AD ，所以OK ⊥CG ，所以∠G ＝∠AKT ＝∠GTK ＝90°，所以四边形AGTK 是矩形，所以AG ＝TK ＝AB •sin60°＝3√3，因为OA ＝OM ，∥AOK ＝∠MOT ，∠AKO ＝∠MTO ＝90°，（2022•黔东南州中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是20．【解析】因为DE∥AC，CE∥BD，所以四边形OCED是平行四边形，所以OC＝DE，OD＝CE，因为矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以OC=12AC＝5，OD=12BD，BD＝AC，所以OC＝OD＝5，所以OC＝OD＝CE＝DE，所以平行四边形OCED是菱形，所以C菱形OCED＝4OC＝4×5＝20.答案：20．（2022•哈尔滨中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD 的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为2√5．【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，所以AE=√AO2+EO2=√9+16=5，所以BE＝AE＝5，所以BO＝8，所以BC=√BO2+CO2=√64+16=4√5，因为点F为CD的中点，BO＝DO，所以OF=12BC＝2√5.答案：2√5．【解析】添加的条件是AB ＝CD ，理由如下：因为AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为AC ⊥BD ，所以平行四边形ABCD 是菱形.答案：AB ＝CD （答案不唯一）．（2022•龙东中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠BAD ＝60°，AD ＝3，AH 是∠BAC的平分线，CE ⊥AH 于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP +PE 的最小值是 32√6 ．【解析】连接OE ，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，并延长到点O ′，使O ′F ＝OF ，连接O ′E 交直线AB 于点P ，连接OP ，所以AP 是OO ′的垂直平分线，所以OP ＝O ′P ，所以OP +PE ＝O ′P +PE ＝O ′E ，此时，OP +PE 的值最小，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ＝3，∠BAC =12∠BAD ，OA ＝OC =12AC ，OD ＝OB =12BD ，∠AOD ＝90°，因为∠BAD ＝60°，所以△ADB 是等边三角形，所以BD ＝AD ＝3，所以OD =12BD =32，所以AO =√AD 2−DO 2=√32−(32)2=32√3，所以AC ＝2OA ＝3√3，因为CE ⊥AH ，所以∠AEC ＝90°，所以OE ＝OA =12AC =32√3，所以∠OAE ＝∠OEA ，因为AE 平分∠CAB ，所以∠OAE ＝∠EAB ，所以∠OEA ＝∠EAB ，所以OE ∥AB ，所以∠EOF ＝∠AFO ＝90°，在Rt △AOF 中，∠OAB =12DAB ＝30°，所以OF =12OA =34√3，所以OO ′＝2OF =32√3，在Rt △EOO ′中，O ′E =√EO 2+OO ′2=√(32√3)2+(32√3)2=32√6，所以OE +PE =32√6，所以OP +PE 的最小值为32√6. 答案：32√6．（2022·安徽中考）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ，连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．【解析】（1）证明：设CE 与BD 交于点O ，因为CB ＝CD ，CE ⊥BD ，所以DO ＝BO ，因为DE ∥BC ，所以∠DEO ＝∠BCO ，因为∠DOE ＝∠BOC ，所以△DOE ≌△BOC （AAS ），所以DE ＝BC ，所以四边形BCDE 是平行四边形，因为CD ＝CB ，所以平行四边形BCDE 是菱形；（2）（i ）解：因为DE 垂直平分AC ，所以AE ＝EC 且DE ⊥AC ，所以∠AED ＝∠CED ，又因为CD ＝CB 且CE ⊥BD ，所以CE 垂直平分DB ，所以DE ＝BE ，所以∠DEC ＝∠BEC ，所以∠AED ＝∠CED ＝∠BEC ，又因为∠AED +∠CED +∠BEC ＝180°，所以∠CED =13×180°=60°；（ii ）证明：由（i ）得AE ＝EC ，又因为∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝120°，所以∠ACE ＝30°，同理可得，在等腰△DEB 中，∠EBD ＝30°，所以∠ACE ＝∠ABF ＝30°，在△ACE 与△ABF 中，{∠ACE =∠ABF∠CAE =∠BAF AE =AF，所以△ABF ≌△ACE （AAS ），所以AC ＝AB ，又因为AE ＝AF ，所以AB ﹣AE ＝AC ﹣AF ，即BE ＝CF ．（2022•连云港中考）如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，且BE ⊥DC ．（1）求证：四边形DBCE 为菱形；（2）若△DBC 是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM +PN 的最小值．【解析】（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ，因为DE ＝AD ，所以DE ＝BC ，因为E 在AD 的延长线上，所以DE ∥BC ，所以四边形DBCE是平行四边形，因为BE⊥DC，所以四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，所以PM+PN＝PM+PN'，所以当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，因为DE∥BC，所以MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，=√3，所以PM+PN的最小值为√3．所以DH＝DB•sin∠DBC＝2×√32（2022•滨州中考）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD 上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证AE＝EF．【解析】（1）作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，因为四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，=5√3，所以BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×√32所以菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5√3=50√3，即菱形ABCD的面积是50√3；（2）证明：连接EC，因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，所以EA＝EC，∠DCA＝60°，所以∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，因为∠AEF＝120°，所以∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，因为∠ECA+∠ECF＝120°，所以∠EFC＝∠ECF，所以EC＝EF，所以AE＝EF．（2022•舟山中考）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：因为AC⊥BD，OB＝OD，所以AC垂直平分BD．所以AB＝AD，CB＝CD，所以四边形ABCD是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【解析】赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：因为OA＝OC，OB＝OD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形．（2022•凉山州中考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．【解析】（1）证明：因为AF∥BC，所以∠AFC＝∠FCD，∠F AE＝∠CDE，因为点E是AD的中点，所以AE＝DE，所以△F AE≌△CDE（AAS），所以AF＝CD，因为点D是BC的中点，所以BD＝CD，所以AF＝BD，所以四边形AFBD是平行四边形，（2022•南充中考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：（1）△ADE≌△CDF．（2）ME＝NF．【证明】（1）因为四边形ABCD是菱形，所以DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，因为BE＝BF，所以AE＝CF，在△ADE和△CDF中，{DA=DC∠DAE=∠DCF AE=CF，所以△ADE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）知△ADE≌△CDF，所以∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，因为四边形ABCD是菱形，所以∠DAM＝∠DCN，所以∠DMA＝∠DNC，所以∠DMN＝∠DNM，所以DM＝DN，所以DE﹣DM＝DF﹣DN，所以ME＝NF．（2022•广元中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【解析】（1）证明：因为E为AB中点，所以AB＝2AE＝2BE，因为AB＝2CD，所以CD＝AE，又因为AE∥CD，所以四边形AECD是平行四边形，因为AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠EAC，因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB，所以∠DCA＝∠DAC，所以AD＝CD，所以平行四边形AECD是菱形；（2）因为四边形AECD是菱形，∠D＝120°，所以AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，所以AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，所以∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，所以BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，所以∠ACB＝90°，所以AC=√3BC＝2√3，所以S△ABC=12×AC×BC=12×2×2√3=2√3．【解析】（1）①证明：因为CE⊥AB，CF⊥AD，所以∠BEC＝∠DFC＝90°，因为四边形ABCD是菱形，所以∠B＝∠D，BC＝CD，所以△BEC≌△DFC（AAS），所以CE＝CF；②连接AC，如图1，因为E是边AB的中点，CE⊥AB，所以BC＝AC，因为四边形ABCD是菱形，所以BC＝AC，所以△ABC是等边三角形，∠EAC＝60°，在Rt△ACE中，AE＝2，所以CE＝AE•tan60°＝2×√3=2√3；（2）方法一：如图2，延长FE交CB的延长线于M，因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB＝BC，所以∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，因为E是边AB的中点，所以AE＝BE，所以△AEF≌△BEM（AAS），所以ME＝EF，MB＝AF，因为AE＝3，EF＝2AF＝4，所以ME＝4，BM2，BE＝3，所以BC＝AB＝2AE＝6，所以MC＝8，所以MBME =24=12，MEMC=48=12，所以MBME=MEMC，因为∠M为公共角，所以△MEB∽△MCE，所以BEEC =MBME=24，因为BE＝3，所以CE＝6；方法二：如图3，延长FE 交CB 的延长线于M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ，AB ＝BC ，所以∠AFE ＝∠M ，∠A ＝∠EBM ，因为E 是边AB 的中点，所以AE ＝BE ，所以△AEF ≌△BEM （AAS ），所以ME ＝EF ，MB ＝AF ，因为AE ＝3，EF ＝2AF ＝4，所以ME ＝4，BM 2，BE ＝3，所以BC ＝AB ＝2AE ＝6，所以MC ＝8，在Rt △MEN 和Rt △BEN 中，ME 2﹣MN 2＝EN 2，BE 2﹣BN 2＝EN 2，所以ME 2﹣MN 2＝BE 2﹣BN 2，所以42﹣（2+BN ）2＝32﹣BN 2，解得：BN =34，所以CN ＝6−34=214，所以EN 2＝BE 2﹣BN 2＝32﹣（34）2=13516，在Rt △ENC 中，CE 2＝EN 2+CN 2=13516+44116=57616=36，所以CE ＝6.（2022•娄底中考）如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设∠G ＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF ⊥BC 成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan ∠ABC 的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【解析】（1）因为四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，所以CF ∥BG ，CD ∥BE ，CB ＝CF ＝CD ＝BG ＝BE ，因为D ，C ，F 共线，所以G ，B ，E 共线，所以DF ∥EG ，DF ＝GE ，所以四边形DEGF 是平行四边形，所以EF 与BC 互相平分．当EF ⊥FG 时，因为GF ＝BG ＝BE ，所以EG ＝2GF ，所以∠GEF ＝30°，所以θ＝90°﹣30°＝60°；（2）当tan ∠ABC ＝2时，EF 垂直平分线段AC ．理由：如图（2）中，设AC 交EF 于点J ．因为四边形BCFG 是菱形，所以∠G ＝∠FCO ＝90°，因为EF 与BC 互相平分，所以OC ＝OB ，所以CF ＝BC ，所以FC ＝2OC ，所以tan ∠FOC ＝tan ∠ABC ，所以∠ABC ＝∠FOC ，所以OJ ∥AB ，因为OC ＝OB ，所以CJ ＝AJ ，因为BC 是直径，所以∠BAC ＝∠OJC ＝90°，所以EF 垂直平分线段AC.（2022•岳阳中考）如图，点E ，F 分别在▱ABCD 的边AB ，BC 上，AE ＝CF ，连接DE ，DF ．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE ＝DF ；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD 为菱形．（1）你添加的条件是 ① （填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD 为菱形．【解析】（1）添加的条件是∠1＝∠2，答案：①；（2）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A ＝∠C ，在△ADE 和△CDF 中，{∠1=∠2∠A =∠C AE =CF，所以△ADE ≌△CDF （AAS ），所以AD ＝CD ，所以▱ABCD 为菱形.【解析】（1）M 与B 重合时，如图1，因为PQ ⊥AB ，所以∠PQA ＝90°，所以PA =12AB ＝2，所以t ＝2；（2）①当0≤t ≤2时，因为AM ＝2t ，所以BM ＝4﹣2t ，因为△APQ ≌△BMF ，所以AP ＝BM ，所以t ＝4﹣2t ，所以t =43；②当2＜t ≤4时，因为AM ＝2t ，所以BM ＝2t ﹣4，因为△APQ ≌△BMF ，所以AP ＝BM ，所以t ＝2t ﹣4，所以t ＝4；综上所述，t 的值为4或43；（3）①0≤t ≤2时，如图2，在Rt △APQ 中，PQ =√32t ，所以MQ =32t ，所以S =12PQ ⋅MQ =12×√32t ×32t =3√38t 2； ②当2＜t ≤4时，如图3，因为BF ＝t ﹣2，MF =√3（t ﹣2），所以S △BFM =12BF •MF =√32(t −2)2，所以S ＝S △PQM ﹣S △BFM =−√38t 2+2√3t −2√3；所以S ={3√38t 2(0≤t ≤2)−√38t 2+2√3t −2√3(2＜t ≤4)；（4）连接AE ，如图4，因为△PQE 为等边三角形，所以PE =√32t ，在Rt △APE 中，tan ∠PAE =PE PA =√32t t =√32，所以∠PAE 为定值，所以点E 的运动轨迹为直线，因为AP ＝t ，所以AE =√AP 2+PE 2=√t 2+(√32t)2=√72t ，当t ＝2时，AE =√7，（2022•荆州中考）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【解析】（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．（2022•长沙中考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．【解析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，所以▱ABCD是菱形，所以AC⊥BD；（2）因为点E，F分别为AD，AO的中点，所以EF是△AOD的中位线，所以OD＝2EF＝3，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=√AO2+OD2=√22+32=√13，所以C菱形ABCD＝4AD＝4√13．（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．【解析】（1）因为四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，所以AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，所以∠ADB﹣∠EHB＝∠CDB﹣∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，{AD=CD∠ADE=∠CDG ED=GD，所以△ADE≌△CDG（SAS）；（2）过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，因为四边形ABCD是正方形，所以∠A＝90°，AD＝AB＝AE+EF＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，所以∠QEB＝45°＝∠EBQ，所以EQ＝BQ，因为BE＝2，所以2EQ2＝22，所以EQ＝BQ=√2（负数舍去），在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE=√AD2+AE2=√42+22=2√5，因为四边形EFGH是菱形，所以EF＝DE＝2√5，所以QF=√EF2−EQ2=√(2√5)2−(√2)2=3√2，所以BF＝QF﹣QB＝3√2−√2=2√2．【解析】（1）作PE⊥AC于点E，在Rt△APE中，cos30°=AE AP，所以AE＝AP•cos30°=√3x，因为∠APQ＝120°，所以∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，所以AP＝PQ，所以点E为AQ中点，所以AQ＝2√3x（cm），答案：2√3x．（2）如图，因为∠APQ＝120°，所以∠MNB＝∠PQB＝60°，因为∠B＝60°，所以△MNB为等边三角形，所以AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，所以3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，因为∠A ＝30°，AQ ＝2√3x ，所以QF =12AQ =√3x ，因为PN ＝PQ ＝AP ＝2x ，所以y ＝PN •QF ＝2x •√3x ＝2√3x 2．当1＜t ≤32时，QM ，NM 交BC 于点H ，K ，因为AB ＝6cm ，∠A ＝30°，所以AC =√32AB ＝3√3cm ，所以CQ ＝AC ﹣AQ ＝3√3−2√3x ，所以QH =2√3CQ =2√3（3√3−2√3x ）＝6﹣4x ，所以HM ＝QM ﹣QH ＝2x ﹣（6﹣4x ）＝6x ﹣6，因为△HKM 为等边三角形，所以S △HKM =√34HM 2＝9√3x 2﹣18√3x +9√3，所以y ＝2√3x 2﹣（9√3x 2﹣18√3x +9√3）＝﹣7√3x 2+18√3x ﹣9√3．当32＜x ≤3时，重叠图形△PQM 为等边三角形，PQ ＝PB ＝AB ﹣AP ＝6﹣2x ，所以y =√34PB 2=√34（6﹣2x ）2=√3x 2﹣6√3x +9√3．综上所述，y ={ 2√3x 2(0≤x ≤1)−7√3x 2+18√3x −9√3(1＜x ≤32)√3x 2−6√3x +9√3(32＜x ≤3)。

初中数学菱形30题专项练习

菱形30题本专题的制作目的是帮助学生进一步熟悉并掌握菱形的性质和判定，并且能灵活运用到实际题目中。

分了三个模块：①菱形的性质（15题）；②菱形的判定（15题）；共30题。

先仔细研究方法总结，再进行巩固练习。

重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过’一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞模块－菱形的性质u歪理·菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它真奇平行四边形的所高性质，还真高自己独特的性质．圄形性质符号表示萎形ABCD边菱形的四条边都相等AB = BC = CD = DAA 菱形的对边平行AB//CD, AD I/BCB命D角菱形的对角相等LDAB = LBCD, LABC= LADC对角菱形的两条对角线亘相垂AClBD线直，AC平分LBAD和ζBCD并且每一条对角线平台一BD平分ζABC和ζADC组对角·菱形的对称性菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．①菱形的对称中心是对角线的交点，过这点的任意直线可将菱开三分成两个全等的图形．Dc②菱形高2条对称轴，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．A。

I/D�王�＠如图，对菱形ABCD的叙述正确的是（）．DA--. j三�cA.AC= BDB.L'.OA B = L'.O BAC.AC l BDD.高4条对称轴。

如图，菱形纸片ABCD中，L'.A= 60。

’折叠菱形纸片ABCD，使点C落在D P( P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则ζD E C的大小为（）．A.78。

B.75。

C.60。

D.45° D C C'。

如图，在三角形ABC中，AB>AC, D、E分别是AB、AC上的点，!:1ADE沿线段DE翻折，使点A藩在边BC上，记为F，若四边形AD F E是菱形，则下列说法正确的是（）．A.DE是l1ABC的中位线C.AF是BC边上的高BB.A F是BC边上的中线D.A F是!:1ABC的角平分线A,,.D人；＼飞FEc＠将矩形纸片ABCD 即日图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB=3，则菱形AECF 的面积为（）．DcDFc协饲→「－－ABAEBA.1B.2{2,C.2./3D.4＠如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0,E 、F分别是AB 、BC 边上的中点，连接EFy 若EF=J言，BD=4，则菱形ABCD 的周长为（）． BDcA.4B.4./6C.4.fiD.28。

菱形的性质与判定之八大考点(解析版)--初中数学专题训练 (1)

菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【答案】35°##35度【分析】根据菱形的性质进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠OBA=∠OBC=1∠ABC，2∵∠BAD=110°，∴∠ABC=180°-∠BAD=70°，∴∠OBC=1∠ABC=35°，2故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．【答案】25°##25度【分析】根据菱形的性质求出∠BDA=∠ABD=65°，再根据斜边中线等于斜边一半得出∠BDH=∠OHD=25°即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，AB=AD，∠BCD=∠BAD=50°，∴∠BDA=∠ABD=65°∵DH⊥AB，∴OH=OD=OB，∠ADH=40°，∴∠BDH=∠OHD=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【答案】38°##38度【分析】根据四边形的性质，得出∠ABD=∠CBD=12∠ABC=20°，根据SAS证明△ABE≌△CBE，得出∠AEB=∠BEC=58°，根据三角形内角和得出∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB= 102°，根据平行线的性质，得出∠BAD=180°-∠ABC=140°，得出∠EAF=∠BAD-∠BAE=38°，根据等腰三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=40°，∴AB=BC=AD，AD∥BC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=20°，∵在△ABE和△CBE中AB=BC∠ABE=∠CBE BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠BEC=58°，∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=102°，∵AD∥BC，∴∠BAD =180°-∠ABC =140°，∴∠EAF =∠BAD -∠BAE =38°，∵AE =FE ，∴∠AFE =∠EAF =38°．故答案为：38°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明△ABE ≌△CBE ．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为8和6，DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE 的长为______．【答案】245【分析】利用菱形的性质，求出菱形的边长，再用等积法求出线段DE 的长即可．【详解】解：设AC ，BD 交于点O ，∵在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为8和6，∴AC ⊥BD ，OA =12AC =4,OB =12BD =3，∴AB =32+42=5，∵DE ⊥AB ，∴菱形ABCD 的面积=12AC ⋅BD =AB ⋅DE ，即：12×8×6=5DE ，∴DE =245；故答案为：245．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD 对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的边长为．【答案】5【分析】根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理即可求解．【详解】解：依题意可知BD⊥AC，AO=4，BO=3∴AB=32+42=5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知菱形的对角线垂直．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析(2)80【分析】(1)根据菱形的性质，得AB=AD，∠B=∠D；根据AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则△ABE≅△ADF，即可；(2)根据菱形的性质，得AB=BC，根据AB=10，CE=4，勾股定理，求出AE，即可求出菱形的面积．【详解】(1)证明，如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE≅△ADF，∴AE=AF．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AB=10，CE=4，∴BE=6，∴AE=AB2-BE2=102-62=8，∴菱形ABCD的面积为：BC×AE=10×8=80．【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =7，BD =4，则菱形ABCD 的面积为_______．【答案】14【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =7，BD =4，∴菱形ABCD 的面积=12AC ⋅BD =12×7×4=14，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．【答案】 524【分析】根据菱形的对角线平分且垂直的性质，先计算边长，由对角线乘积的一半求得面积．【详解】解∵菱形的两条对角线长分别为6和8，∴由勾股定理得，菱形的边长=32+42=5，∵菱形的面积=对角线乘积的一半，∴菱形的面积=6×8÷2=24．故答案为：5，24．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理等知识点，灵活运用性质进行计算是解此题的关键．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB =25cm ，AC =4cm ，则BD 的长为__cm ，菱形ABCD 的面积为cm 2．【答案】 816【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出BD 的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =4cm ，∴AC ⊥BD ，BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC =2cm ，∵AB =25cm ，∴BO =AB 2-AO 2=4cm ，∴BD =2BO =8cm ，∴菱形面积为12AC ⋅BD =12×4×8=16，故答案为：8，16．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在边AB ，AD 的延长线上，且BE =DF ，连接CE ，CF ．求证：CE =CF ．【答案】证明见解析【分析】根据菱形的性质得到BC =CD ，∠ADC =∠ABC ，根据SAS 证明△BEC ≌△DFC ，可得CE =CF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =CD ，∠ADC =∠ABC ，∴∠CDF =∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE =DF∠CBE =∠CDF BC =CD，∴△BEC ≌△DFC SAS ，∴CE =CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连接EF(1)求证：AE =AF ；(2)若∠B =60°，求∠AEF 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE =AF ．(2)根据菱形的性质和已知条件可推出∠BAD 度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出∠BAE 和∠DAF 度数，从而求出∠EAF 度数，证明了等边三角形AEF ，即可求出∠AEF 的度数．【详解】(1)证明：∵菱形ABCD ，∴AB =AD ,∠B =∠D ，又∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°．在△AEB 和△AFD 中，∠AEB =∠AFD∠B =∠D AB =AD，∴△ABE ≌△ADF (AAS )．∴AE =AF ．(2)解：∵菱形ABCD ，∴∠B +∠BAD =180°，∵∠B =60°，∴∠BAD =120°．又∵∠AEB =90°,∠B =60°，∴∠BAE =30°．由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE =∠DAF =30°．∴∠EAF =120°-30°-30°=60°．∵AE =AF ，∴△AEF 等边三角形．∴∠AEF =60°．【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，交AB 于点E ，连接DF．(1)求证：AF =DF ；(2)若∠BAD =70°，求∠FDC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠FDC =75°【分析】(1)连接BF ，由线段垂直平分线的性质得AF =BF ，再证△BCF ≌△DCF (SAS )，得BF =DF ，即可得出结论；(2)由全等三角形的性质得∠FDC =∠FBC ，再由菱形的性质得∠BCF =∠DCF =∠BAC ，∠ABC =180°-∠BAD =110°，然后求出∠FBA =∠BAC =35°，则∠FBC =∠ABC -∠ABF =75°，即可得出答案．【详解】(1)证明：连接BF ，如图所示：∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AF =BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =DC ，∠BCF =∠DCF ，在△BCF 和△DCF 中，BC =DC∠BCF =∠DCF CF =CF，∴△BCF ≌△DCF (SAS )，∴BF =DF ，∴AF =DF ；(2)解：由(1)知△BCF ≌△DCF (SAS )，∴∠FDC =∠FBC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∠BAC =12∠BAD =12×70°=35°，AD ∥BC ，∴∠BCF =∠DCF =∠BAC ，∠ABC =180°-∠BAD =180°-70°=110°，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AF =BF ，∴∠FBA =∠BAC =35°，∴∠FBC =∠ABC -∠ABF =110°-35°=75°，∴∠FDC =∠FBC =75°．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明△BCF ≌△DCF (SAS )是解题的关键．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD 是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD 为菱形．(只填一种情况即可)【答案】AB=AD(符合题意即可)【分析】根据菱形的判定定理进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴添加AB=AD，则可得ABCD为菱形．(一组邻边相等的平行四边形是菱形)故答案为：AB=AD(符合题意即可)【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．【答案】AB=AD(答案不唯一)【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∵AO=CO，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，如果添加AB=AD，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形ABCD为菱形；故答案为：AB=AD(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【答案】AD=BC【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC等．答案不唯一．【详解】解：条件是AD=BC．∵EH,GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥BC，EH=12BC，GF∥BC,GF=12BC，∴EH∥GF,EH=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．∵HG是△ACD的中位线，∴HG=12AD，∵AD=BC，∴EH=HG，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AD=BC【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【分析】根据AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，进而证明△ADE≌△CDF AAS得出AD=DC，即可证明四边形ABCD是菱形．【详解】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF AAS，∴AD=DC，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？【答案】是菱形，见解析【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形”证明即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF AAS，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型，难度适中．2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【分析】根据AE=AF和AC⊥EF得到∠BAC=∠DAC，然后结合平行四边形的性质得到BA= BC，进而证明出四边形ABCD是菱形．【详解】∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．∵AC⊥EF，∴∠BAC=∠DAC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD=∠ACB．∴∠BAC=∠BCA．∴BA=BC．∴四边形ABCD是菱形．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BDE=35°．【分析】(1)由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；(2)先根据三角形的内角和定理得出∠ABC=180°-80°-30°=70°，再由菱形的性质可求解．【详解】(1)证明：∵DE⎳BC，DF⎳AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⎳BC，∴∠EDB=∠DBF，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE，又四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵∠A=80°，∠C=30°，∴∠ABC=180°-80°-30°=70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF=∠ABC=70°，∠EDF=35°．∴∠BDE=12【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．【答案】(1)见解析(2)1+3【分析】(1)根据垂直平分线的性质可得DE=CE，DF=FC，根据角平分线的性质可得∠ECG=∠FCG，根据全等三角形的判定和性质可得GE=GF，根据平行四边形的判定可得四边形DFCE是平行四边形，根据菱形的判定可得四边形DFCE是菱形；(2)过D作DH⊥BC于H，构建直角三角形，根据30°的直角三角形性质可得BH=1，根据勾股定理可得DH=3，根据菱形的性质可得DF∥AC，根据平行线的性质可得∠DFB=∠ACB=45°，推得△DHF是等腰直角三角形，可得DH=FH=3，从而得结论．【详解】(1)证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE=CE，DF=FC，∠EGC=∠FGC=90°，DG=CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG=∠FCG，∵CG=CG，∴△CGE≌△CGF ASA，∴GE=GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE=CE，∴四边形DFCE是菱形；(2)解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDH=30°，BD=1，∴BH=12在Rt△DHB中，DH=22-12=3，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB=45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH=FH=3，∴BF=BH+FH=1+3．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，30度角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)3【分析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB=BC，即可得出结论；(2)先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA=3，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC∴∠OAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB=BC，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，AC=OA=OC，∴OE=12∵BD=2，BD=1，∴OB=12在Rt△AOB中，AB=10，OB=1，∴OA=AB2-OB2=102-12=3，∴OE=OA=3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC 是菱形；(2)连接BE ，若AB =6，AD =9，则BE 的长为．【答案】(1)见解析(2)122【分析】(1)根据已知条件得出四边形BDEC 是平行四边形，根据BD =BC 即可得证；(2)连接BE 交CD 于O ，在Rt △BDO 中，得出BO =62，根据BE =2BO ，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，AB =CD ，∵AD =BD ，∴BD =BC ，∵CE ∥BD ，AD ∥BC ，∴四边形BDEC 是平行四边形，又∵BD =BC ，∴四边形BDEC 是菱形；(2)解：如图，连接BE 交CD 于O ，∵四边形BDEC 是菱形，CD =AB =6，∴DO =CO =12CD =3,BO =12BE ,CD ⊥BE 在Rt △BDO 中，AD =BD =9，∴BO =BD 2-DO 2=92-32=62∴BE =2BO =122故答案为：122．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，且BE =DF ．(1)求证：平行四边形ABCD 是菱形(2)若∠EAF =60°，CF =2，求菱形ABCD 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)83【分析】(1)证△AEB≌△AFD，得AB=AD，即可得出结论；(2)连接AC，证△ACD是等边三角形，得CD=AC，再由含30°角的直角三角形的性质得AC=2CF=4，则CD=AC=4，AF=23，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵BE=DF，∴Rt△AEB≅Rt△AFD ASA．∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)如图，连接AC，∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEF=∠AFE=90°∵∠EAF=60°，∴∠ECF=120°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACF=60°，AD=CD∴△ACD是等边三角形∵AF⊥DC∴∠CAF=30°∴AC=2CF=2×2=4在Rt△CFA中，AF=AC2-CF2=42-22=23．∴菱形ABCD的面积=4×23=83．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键，属于中考常考题型．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．【答案】(1)见解析(2)8【分析】(1)根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；(2)过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE∥CF，DE=12BC，DF∥CE，DF=12AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∵AC=BC，∴DE=DF，∴四边形DFCE是菱形；(2)过E作EG⊥BC于G,∵AC=BC，∠A=75°，∴∠B=∠A=75°，∴∠C=30°，∵点E是AC的中点，AC=8，∴CE=12AC=4，∵EG⊥BC，∴EG=12CE=14AC=2，∵四边形DFCE是菱形，∴CF=CE=4∴S菱形DFCE=CF∙EG=2×4=8．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．【答案】(1)见解析(2)734【分析】(1)先证明△AOF≌△COE，得出AF=CE，证明四边形AECF为平行四边形，根据EF是对角线AC的垂直平分线，得出AF=CF，即可求证；(2)过C作CH⊥AD于H，则∠CHD=∠CHF=90°，根据∠ADC=60°，得出∠HCD=30°，求HD=12CD=1，根据勾股定理求出CH=CD2-HD2=3，进而得到AH=2，在Rt△CHF中，由勾股定理可得AF =CF =74，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA =OC ，AD ∥BC ，∴∠FAC =∠ACE ，∠AFE =∠CEF ，∴△AOF ≌△COE ，∴AF =CE ，∴四边形AECF 为平行四边形，∵EF 经过O 且垂直于AC ，∴EF 是对角线AC 的垂直平分线，∴AF =CF ，∴四边形AECF 为菱形；(2)解：过C 作CH ⊥AD 于H ，则∠CHD =∠CHF =90°，∵∠ADC =60°，∴∠HCD =30°，∴HD =12CD =1，∴CH =CD 2-HD 2=3，∵AD =3，∴AH =2，∵四边形AECF 是菱形，∴AF =CF ，设AF =CF =x ，则FH =2-x ，在Rt △CHF 中，由勾股定理得：CF 2=FH 2+CH 2，即x 2=2-x 2+3 2，解得：x =74，∴AF =CF =74，∴菱形AECF 的面积为：AF ×CH =74×3=734．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD 、AC 、BC 分别交于点E 、O 、F ．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【答案】(1)见解析(2)①6.5；②39【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE,AO=CO，再由矩形的性质可得AE∥CF，从而得到∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，再证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，从而得到四边形AFCE是平行四边形，即可求证；①根据矩形的性质可得AC=2BO，∠ABC=90°，再由勾股定理求出AC=13，即可求解；②根据菱形的面积等于对角线长度乘积的一半，即可求解．【详解】(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴AE=CE,AO=CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，在△AOE和△COF中，∵∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形；(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，点O为AC的中点，∴AC=2BO，∠ABC=90°，∵AB=5，BC=12，∴AC=AB2+BC2=13，∴BO=12AC=6.5；②∵四边形AFCE是菱形，EF=6，∴菱形AFCE的面积12AC×EF=12×13×6=39．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理是解题的关键．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A=50°，则∠BDC的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°【答案】D【分析】由菱形的性质得出AB ∥CD ，∠ADB =∠CDB ，利用平行线的性质求出∠ADC 的度数，从而即可求得∠BDC 的大小．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠ADB =∠CDB ，∴∠A +∠ADC =180°，又∠A =50°，∴∠ADC =130°，∴∠ADB =∠CDB =12∠ADC =65°．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明△ABD 是等边三角形，由AC ⊥BD ，得到∠OAB =12∠BAD =30°，∠AOB =90°，即可得到OB =12AB =12，利用勾股定理求出AO 的长度，即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =AD ，AC ⊥BD ，AO =OC =12AC ，∵∠DAB =60°，且AB =AD ，∴△ABD 是等边三角形，∵AC ⊥BD ，∴∠OAB=12∠BAD=30°，∠AOB=90°，∴OB=12AB=12，∴AO=AB2-OB2=12-12 2=123，∴AC=2AO=3，故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．3(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°【答案】A【分析】根据菱形的性质得出∠CBE=23°，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=46°，则∠CBE=12∠ABC=23°，∵CE⊥BC，∴∠BEC=90°-∠CBE=67°，故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三角形两个锐角互余．4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线BD=43，∠BAD= 120°，则菱形ABCD的面积是()A.83B.8C.163D.43【答案】A【分析】根据菱形性质求出AO=12AC，BO=12BD=23，AC⊥BD，∠BAO=12∠BAD=60°，根据勾股定理得AB2-AO2=BO2，即2AO2-AO2=232，求出AO=2，根据菱形面积得出1 2AC⋅BD=12×4×43=83．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AO=12AC，BO=12BD=23，AC⊥BD，∠BAO=12∠BAD=60°，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-60°=30°，∴AB=2AO，在Rt△AOB中根据勾股定理得：AB2-AO2=BO2，∴2AO2-AO2=232，解得：AO=2，负值舍去，∴AC=2×2=4，∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4×43=83，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线乘积的一半．5(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】解：①连接BD，证明△ABD为等边三角形，DE⊥AB，BF⊥AD，∠GDB=∠GBD=30°，从而可判断①；证明GD=GB，设菱形的边长为4m，则AE=2m=BE，DE=23m，再分别求解两个三角形的面积可判断②；证明Rt△CDG≌Rt△CBG，可得DG=BG=12CG，可判断③；设菱形的边长为4m，则AE=2m=BE，DE=23m，再求解菱形的面积可判断④．【详解】解：①连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD =AB ，且∠A =60°，∴△ABD 为等边三角形，又∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴DE ⊥AB ，BF ⊥AD ，∠GDB =∠GBD =30°，∴∠BGD =180°-2×30°=120°，GD =GB ，∴①符合题意；同理可得：∠ADE =30°=∠ABF ，设菱形的边长为4m ，则AE =2m =BE ，DE =23m ，∴S △ADE =12×2m ×23m =23m 2，∵∠ABF =30°，DE ⊥AB ，∴BG =2GE ，∴BG 2=12BG 2+2m 2，∴BG =433m ，同理可得：△BCD 为等边三角形，∴∠GBC =60°+60°-30°=90°，∴S △BCG =12×4m ×433m =833m ，∴S ΔADE :S ΔGBC =3:4，故②不符合题意；∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠CDG =∠CBG =90°，∵CD =CB ，CG =CG ，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴∠DCG =∠BCG =30°，∴DG =BG =12CG ，∴DG +BG =CG ，∴③符合题意；设菱形的边长为4m ，则AE =2m =BE ，DE =23m ，∵△ABD 为等边三角形，△BCD 为等边三角形，∴S 菱形ABCD =2S △ABD =2×12×4m ×23m =83m 2，而32AB 2=32×4m 2=83m 2，∴S菱形ABCD =32AB2，故④符合题意；综上：正确的有①②④；故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练的利用基本图形的性质解题是关键．二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．【答案】20【分析】设AC与BD交于点O，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，再由菱形的面积得BD=8，则OB=OD=4，然后由勾股定理求解即可．【详解】解：如图，设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AB=BC=CD=AD，OA=OC=12AC=3，OB=OD，AC⊥BD，∵菱形ABCD的面积是24，∴12AC×BD=24，∴BD=24×26=8，∴OB=OD=12BD=4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=5，∴菱形ABCD的周长=4AB=20，故答案为：20．【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．【答案】532°【分析】根据菱形的性质得出BO=DO，AB=AD，AB∥CD，根据等边对等角可得∠ADO=AB=5．∠ABO=32°，由三角形中位线定理得出OE=12【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO，AB=AD，AB∥CD，∴∠ADO=∠ABO=32°，∵E是边AD的中点，BO=DO，∴OE是△ABD的中位线，AB=5．∴OE=12故答案为：5，32°．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形中位线定理，，证明出OE是△ABD的中位线是本题的关键．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0，、3，0点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．【答案】-5，4【详解】根据菱形的性质和点的坐标求出OB，DC=AB=BC=5，根据勾股定理求出OC，再求出点D的坐标即可．【解答】解：∵A-2，0，四边形ABCD是菱形，，B3，0∴OB=3，CD=BC=AB=3--2=5，∴OC=BC2-OB2=52-32=4，又∵CD∥AB，CD=5，∴点D的坐标为：-5，4．故答案为：-5，4．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．。

(完整版)初三5-2-3菱形知识点、经典例题及练习题带答案

【知识梳理】二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）2、性质：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．3、菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形4、识别菱形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．（3）说明四边形ABCD的四条相等．5、面积:设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=12ab【经典例题】【例1】（绵阳市2013年）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm【例2】（2013•曲靖）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）A、梯形B、矩形C、菱形D、正方形【例3】（2013凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【例4】（2013菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°【例5】（2013年潍坊市）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）【例6】（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．例6图例7图【例7】（2013•宁夏）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为．【例8】（2013•黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．【例9】（2013•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．【例10】（2013安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【参考答案】【经典例题】1、B2、C3、C4、D5、OA=OC或AD=BC或AD//BC或AB=BC等6、7、﹣68、证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．9、证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．10、（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，（3）∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．。

九年级数学第一章第一节《菱形的性质与判定》练习题

九年级数学第一章第一节《菱形的性质与判定》练习题班级姓名一、填空、选择题：1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形对边间的距离是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．0.75cm3．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠E AF等于（）A．75° B．60° C．45°D．30°第3题第4题4．已知：如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A．12 B．8 C．4 D．2 5．菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm，则另一条对角线的长约是（）A．4cm B．1cm C．3.4cm D．2cm6、(2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B． C．1 D．7、(2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：18、如图，将一张矩形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是( )(A) 矩形 (B)平行四边形 (C)梯形 (D) 菱形第9题9、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）A、、、、8二、填空题10、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为__________cm2．11、已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__________cm2．12、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.第12题第13题第14题13、（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是__________．14、如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=__________度．15、(2013南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= _______第15题第16题第17题16、（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为__________17、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________18、如图：菱形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H．试求点O到边AB的距离OH__________19、如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）第18题第19题第20题20、已知：如图，菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是___________二、证明题：21、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．求证：四边形AECD是菱形．22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．23、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．24、（2014•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．25(泰安中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．26、（2011•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC 于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？。

中考数学菱形试题及答案

中考数学菱形试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 菱形的对角线互相垂直，那么菱形的对角线长度之比为：A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:1答案：A2. 菱形的周长为20厘米，那么其边长为：A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A3. 菱形的对角线互相垂直平分，那么菱形的一个内角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B4. 菱形的对角线互相垂直且相等，那么菱形的面积为：A. 4平方厘米B. 8平方厘米C. 16平方厘米D. 32平方厘米答案：B5. 菱形的对角线长度分别为6厘米和8厘米，那么菱形的面积为：A. 12平方厘米B. 24平方厘米C. 36平方厘米D. 48平方厘米答案：B6. 菱形的边长为5厘米，对角线长度分别为6厘米和8厘米，那么菱形的高为：A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米D. 6厘米答案：B7. 菱形的对角线长度之比为3:4，那么菱形的边长为：A. 5厘米B. 6厘米C. 7厘米D. 8厘米答案：C8. 菱形的周长为16厘米，那么其对角线长度之和为：A. 8厘米B. 16厘米C. 24厘米D. 32厘米答案：C9. 菱形的对角线长度分别为10厘米和20厘米，那么菱形的面积为：A. 50平方厘米B. 100平方厘米C. 150平方厘米D. 200平方厘米答案：B10. 菱形的对角线长度之比为2:3，那么菱形的边长为：A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 12厘米答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 菱形的对角线互相垂直平分，如果一条对角线的长度为8厘米，那么另一条对角线的长度为____厘米。

答案：82. 菱形的边长为6厘米，对角线长度分别为6厘米和8厘米，那么菱形的面积为____平方厘米。

答案：243. 菱形的对角线长度之比为1:2，那么菱形的边长为____厘米。

答案：√54. 菱形的周长为24厘米，那么其边长为____厘米。

中考数学菱形试题及答案

中考数学菱形试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是菱形的性质？A. 对角线互相垂直B. 四边相等C. 对角线平分一组对角D. 所有内角都是直角答案：D2. 菱形的对角线将菱形分成四个部分，这四个部分的面积相等吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题3. 若菱形的边长为5厘米，其对角线长度分别为d1厘米和d2厘米，根据菱形的性质，d1² + d2² = __________。

答案：254. 菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，那么对角线AC的长度为__________。

答案：6√3厘米三、解答题5. 如图所示，菱形ABCD中，E是边AB上的一点，且AE=2厘米，EB=4厘米。

求证：△AED≅△ECB。

证明：∵ ABCD是菱形∴ AB=AD，∠A=∠D又∵ AE=2厘米，EB=4厘米∴ AB=AE+EB=6厘米∴ AD=6厘米在△AED和△ECB中，{AD=AB{∠A=∠C{AE=CB∴ △A ED≅△ECB（SAS）6. 已知菱形ABCD的周长为20厘米，对角线AC的长度为6厘米，求菱形的面积。

解：∵ 菱形ABCD的周长为20厘米∴ AB=5厘米（因为四边相等）设对角线BD与AC相交于点O，由于菱形的对角线互相平分，所以AO=OC=3厘米根据勾股定理，可得：BO² = AB² - AO² = 5² - 3² = 16∴ BO = 4厘米菱形的面积= (AC × BO) / 2 = (6 × 4) / 2 = 12平方厘米四、计算题7. 菱形PQRS的边长为x厘米，对角线PR和QS的长度分别为10厘米和8厘米。

求菱形PQRS的面积。

解：设对角线PR和QS相交于点O，根据菱形的性质，O是PR和QS的中点。

∴ OP = PR / 2 = 5厘米，OQ = QS / 2 = 4厘米在△OPQ中，根据勾股定理：OQ² + PQ² = OP²4² + x² = 5²16 + x² = 25x² = 9x = 3厘米（取正值）菱形PQRS的面积= (PR × QS) / 2 = (10 × 8) / 2 = 40平方厘米注意：以上试题及答案仅供参考，实际中考试题可能会有所不同。

中考数学总复习《菱形》专项测试卷带答案

中考数学总复习《菱形》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为( )A.20°B.60°C.70°D.80°2.菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的边长是( )A.6B.4C.5D.203.如图,以O为圆心,OA长为半径画弧分别交OM,ON于A,B两点,再分别以A,B 为圆心,OA长为半径画弧,两弧交于点C,分别连接AC,BC,则四边形OACB一定是( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,OH=4,若菱形ABCD的面积为32√3,则CD的长为( )A.4B.4√3C.8D.8√35.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC 中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是(限填序号).6.点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为.7.(2024·山东济宁一模)已知四边形ABCD是一张矩形纸片,将四边形CDEF沿EF 翻折,使点C和点A重合,点D落在点G处,连接CE.(1)求证:△ABF≌△AGE;(2)求证:四边形AECF是菱形.【B层·能力提升】8.如图,在菱形ABCD中,AC=2√3,∠DAB=60°,则菱形ABCD的周长为( )A.4B.4√3C.8√3D.89.如图,直线l1∥l2,菱形ABCD和等边△EFG在l1,l2之间,点A,F分别在l1,l2上,点B,D,E,G在同一直线上:若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β=( )A.42°B.43°C.44°D.45°10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点,若OE=6,则BC的长为.11.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点C的坐标是(1,√3),则顶点B的坐标是.12.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD.若AD=4 cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积是cm2.13.如图,四边形ABCD是平行四边形.(1)尺规作图;作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.【C层·素养挑战】14.课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知:在▱ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.求证:▱ABCD是菱形.知识应用(2)如图2,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.①求证:▱ABCD 是菱形;②延长BC 至点E ,连接OE 交CD 于点F ,若∠E =12∠ACD ,求OFEF的值.参考答案【A 层·基础过关】1.如图,菱形ABCD 中,连接AC ,BD ,若∠1=20°,则∠2的度数为(C)A.20°B.60°C.70°D.80°2.菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6和8,则这个菱形的边长是(C) A.6B.4C.5D.203.如图,以O 为圆心,OA 长为半径画弧分别交OM ,ON 于A ,B 两点,再分别以A ,B 为圆心,OA 长为半径画弧,两弧交于点C ,分别连接AC ,BC ,则四边形OACB 一定是(B)A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形4.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,过点D 作DH ⊥AB 于点H ,连接OH ,OH =4,若菱形ABCD 的面积为32√3,则CD 的长为(C)A.4B.4√3C.8D.8√35.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=AD,②AC=BD,③∠ABC=∠ADC 中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是①(限填序号).6.点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为62°.7.(2024·山东济宁一模)已知四边形ABCD是一张矩形纸片,将四边形CDEF沿EF 翻折,使点C和点A重合,点D落在点G处,连接CE.(1)求证:△ABF≌△AGE;(2)求证:四边形AECF是菱形.【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,将四边形CDEF沿EF翻折,使点C和点A 重合,点D落在点G处∴AB=CD=AG,∠B=∠D=∠G=90°,∠BAF=90°-∠FAE=∠GAE∴△ABF≌△AGE(ASA).(2)∵四边形ABCD是矩形,由(1)得△ABF≌△AGE,∵CF=AF=AE,AE∥FC∴四边形AECF是平行四边形.∵CF=AF∴四边形AECF是菱形.【B层·能力提升】8.如图,在菱形ABCD中,AC=2√3,∠DAB=60°,则菱形ABCD的周长为(D)A.4B.4√3C.8√3D.89.如图,直线l1∥l2,菱形ABCD和等边△EFG在l1,l2之间,点A,F分别在l1,l2上,点B,D,E,G在同一直线上:若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β=(C)A.42°B.43°C.44°D.45°10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点,若OE=6,则BC的长为12.11.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点C的坐标是(1,√3),则顶点B的坐标是(-1,√3).12.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD.若AD=4 cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积是8√3cm2.13.如图,四边形ABCD是平行四边形.(1)尺规作图;作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.【解析】(1)如图所示,MN即为所求.(2)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC,∴∠CAE=∠ACF.如图,设EF与AC交于点O∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=OC,EF⊥AC.∵∠AOE=∠COF∴△AOE ≌△COF (ASA),∴OE =OF ∴四边形AFCE 为平行四边形. ∵EF ⊥AC ,∴四边形AFCE 为菱形.【C 层·素养挑战】14.课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知:在▱ABCD 中,对角线BD ⊥AC ,垂足为O. 求证:▱ABCD 是菱形.知识应用(2)如图2,在▱ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,AD =5,AC =8,BD =6. ①求证:▱ABCD 是菱形;②延长BC 至点E ,连接OE 交CD 于点F ,若∠E =12∠ACD ,求OFEF的值.【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO=DO,又∵BD⊥AC,垂足为O∴AC是BD的垂直平分线∴AB=AD,∴▱ABCD是菱形.(2)①在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=8,BD=6∴AO=CO=12AC=4,DO=12BD=3,又∵AD=5在△AOD中,AD2=AO2+DO2∴∠AOD=90°,即BD⊥AC,∴▱ABCD是菱形;②如图,设CD的中点为G,连接OG∴OG是△ACD的中位线∴OG=12AD=52由①知:四边形ABCD是菱形∴∠ACD=∠ACB,又∵∠E=12∠ACD∴∠E=12∠ACB,又∵∠ACB=∠E+∠COE ∴∠E=∠COE,∴CE=CO=4∵OG是△ACD的中位线,∴OG∥AD∥BE∴△OGF∽△ECF,∴OFEF =OG CE又∵OG=52,CE=4,∴OFEF=524=58.。

中考数学必考考点专题21菱形含解析

专题 21 菱形专题知识回顾1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2. 菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3. 菱形的判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。

4．菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半专题典型题考法及解析【例题1】（2019 内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、B D相交于点O，E是CD的中点，则O E的长是（）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴CD＝BC= 204 = 5，且O为B D的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△BCD的中位线，∴OE= 12C B＝【例题2】（2019 广西梧州）如图，在菱形ABCD 中，AB 2 ，BAD 60 ，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是．1【答案】 3 1【解析】连接BD 交AC 于O ，如图所示：Q 四边形ABCD 是菱形，CD AB 2，BCD BAD 60 ，1ACD BAC BAD 30 ，OA OC ，AC BD ，21OB AB 1，2OA 3OB 3 ，AC 2 3 ，由旋转的性质得：AE AB 2 ，EAG BAD 60 ，CE AC AE 2 3 2 ，Q 四边形AEFG 是菱形，EF / /AG ，CEP EAG 60 ，CEP ACD 90 ，CPE 90 ，1PE CE 3 1 ，PC 3PE 3 3 ，2DP CD PC 2 (3 3) 3 1 。

2专题典型训练题一、选择题1. （2019 四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．32【答案】【解析】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝C O= 12AC，DO＝BO=12BD，AC⊥BD，∵面积为28，∴12AC?BD＝2OD?AO＝28 ①∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36 ②，22+OA2+2OD?AO＝36+28＝64．由①②两式可得：（OD+AO）＝OD∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．2.( 2019?四川省绵阳市) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点E作E F⊥x 轴于点F，3∵四边形 OABC 为菱形，∠ AOC =60° ，∴ =30° ，∠ FAE =60° ，∵A （4，0），∴OA =4，∴ =2，∴ ，E F = = = ，∴OF =AO - AF =4-1=3 ，∴ ．3.（2019?四川省广安市）如图，在边长为的菱形 ABCD 中， B 30 ，过点 A 作 AE BC 于点 E，3现将△ ABE 沿直线 AE 翻折至△ AFE 的位置， AF 与 CD 交于点 G 则 CG 等于（）A. 3 1 C. 1 2 D.3. 2【答案】 A【解析】因为∠ B =30° ， AB = 3 ，AE ⊥BC ，所以 BE = 3 2，所以 EC = 3 - 3 2，则 C F =3- 3 ，又因为 C G ∥AB ，4所以C G CF AB BF,所以C G= 3 1 .4. （2019 四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、B C、AC的中点，连接EF、F G、G H、HE，则四边形EFGH的形状是（）A．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形AEDHFB CG【答案】 C【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得E F＝GH＝AB，EH＝FG＝C D，又由AB=CD，得E F＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形．∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝C D，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，故选C．5. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE＝4 D．sin ∠CBE＝【答案】 C【解析】由作法得AE垂直平分C D，即C E＝D E，AE⊥C D，∵四边形ABCD为菱形，5∴AD＝C D＝2D E，AB∥D E，在Rt△ADE中，cosD＝＝，∴∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；∵S△ABE＝AB?AE，S△ADE＝D E?AE，而AB＝2D E，∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；若AB＝4，则D E＝2，∴AE＝2 ，在Rt△ABE中，BE＝＝2 ，所以C选项的结论错误；作EH⊥B C交B C的延长线于H，如图，设AB＝4a，则C E＝2a，BC＝4a，BE＝2 a，在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，∴C H＝a，EH＝a，∴sin ∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．故选：C．6. （2019·贵州贵阳）如图所示，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm【答案】 A6【解析】由于四边形ABCD是菱形，A C是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．∵四边形ABCD是菱形，A C是对角线，∴AB＝BC＝C D＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵菱形ABCD的周长是4cm，∴AB＝BC＝AC＝1cm．7. （2019?贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F 分别在边D C、BC上，且C E＝C D，C F＝C B，则S＝（）△CEFA．B．C．D．【答案】D．【解答】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°∴AB＝BC＝C D＝2，∠DCB＝60°∵C E＝C D，C F＝CB∴C E＝C F＝∴△CEF为等边三角形∴S△CEF＝＝8. （2019?河北省）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°7【答案】D．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥C D，∠BAD＝2∠1，∴∠BAD+∠D＝180°，∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，∴∠1＝15°二、填空题9.（2019 广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S 菱形ABCD=24，则AH= .【答案】24 5.【解析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式，根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO=，4 AO=CO，AC⊥BD，∴BD=8.∵S菱形ABCD= 12AC×BD=24，∴AC=6，∴OC=12AC=3，∴BC= 2 2OB OC =5，∵S菱形ABCD=BC×AH=24，∴AH= 24 5.10．（2019 内蒙古通辽）如图，在边长为3 的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是A D边上的一点，且AM＝AD，N是A B边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．8【答案】﹣1【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，∵AM＝AD，AD＝C D＝3∴AM＝1，MD＝2∵C D∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴H D＝MD＝1，HM＝H D＝∴C H＝4∴MC＝＝∵将△AMN沿M N所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A' M＝1，∴点A' 在以M为圆心，A M为半径的圆上，∴当点A' 在线段MC上时，A' C长度有最小值∴A' C长度的最小值＝MC﹣MA' ＝﹣111．（2019 湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N2的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x 的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1 于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）9【答案】①②④．【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；2④设点P（m，m），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确；故答案为①②④．12. （2019 湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，B D交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．【答案】24【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝C D＝AD，BO＝D O，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴C D＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝2413. （2019 北京市）把图1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成10如图2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为_______．51图1图2 图3【答案】12【解析】设图 1 中小直角三角形的两直角边长分别为a，b （a>b）；则由图 2 和图 3 列得方程组a ba b51，由加减消元法得ab32，∴菱形的面积1 1S 4 ab 4 3 2 12 . 故填12.2 214．（2019 辽宁抚顺）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，B D是以点A为圆心，AB长为半径的弧，2C D是以点B为圆心，B C长为半径的弧，则阴影部分的面积为cm．【答案】 4 ．【解析】连接BD，判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD＝60°，再求出∠CBD＝60°，然后求出阴影部分的面积＝S△ABD，计算即可得解．如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，又∵菱形的对边AD∥BC，∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°，11∴∠CBD＝120°﹣60°＝60°，∴S 阴影＝S扇形BDC﹣（S 扇形ABD﹣S），△ABD＝S△ABD，＝×4×＝4 cm 2．三、解答题15．（2019 湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F 分别为AD、CD边上的点，D E＝D F，求证：∠1＝∠2．【答案】见解析．【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝C D，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．16. （2019?海南省）如图，在边长为l 的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线P E与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作E F∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．12【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知D E＝C E，结合∠DEP＝∠CEQ即可得证；（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥B C得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由E F∥BQ知P F＝B F，根据Rt△PAB中A F＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD 2+D E2＝PE2 得关于x 的方程，解之求得x 的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．【解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，∵E是C D的中点，∴D E＝C E，又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵EF∥BQ，∴P F＝BF，∴在Rt△PAB中，AF＝P F＝BF，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥A F，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，13∵C D＝1，E是CD中点，∴D E＝，在Rt△PDE中，由PD 2+D E2＝PE2得（1﹣x）2+D E2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．17. （2019 北京市）如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F 分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）如图2，延长EF 交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG= 12，求AO的长．图 1 图 2【答案】见解析。

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C'B'A'ACBOx y选择题（每小题x 分，共y 分）10．（2011贵州六盘水，10，3分）如图4，在菱形ABCD 中，对角线AC =6，BD =8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是（）图4A ．3B ．4C ．5D ．62,用直尺和圆规作一个菱形，如图4，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边都相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形3、（2011?淮安）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ C ） A 、5cm B 、15cmC 、20cmD 、25cm4、（2011?江津区）如图，四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ C ） ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形； ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是④四边形A n B n C n D n 的面积是．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④5.．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD 一定是D A ．茭形 B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形（2011?孝感）11.如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点 O 顺时针旋转75°至OA B C '''的位置，若OB=23C=120°，则点B '的坐标为（ D ）A.3) B.(3,3)P EFDC.(6,6) D.(6,6)6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是( A )A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补7、依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ A ）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形8. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°, ∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A.1 (B.2C.3D.410.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )12.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.下列结论：??①△AED≌△DFB；??②S四边形?B C D G=?43CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF.其中正确的结论 D只有①②.?B.只有①③.C.只有②③.?D.①②③.〕7、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是CA、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是C〔2011?大理〕6．用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是【】A．等腰梯形B．菱形C．矩形D．正方形8．图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是C10题图xyA BCOMNl第10题图（A ）2n （B ）4n （C ）12n + （D ）22n +二、填空题（2011?福建省三明）1４．如图，□ABCD 中，对角形AC ，BD 相交于点O ，添加一个．．条件，能使□ABCD 成为菱形．你添加的条件是（不再添加辅助线和字母）(2011●河北省)14．如图6，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC =_____.（2011?四川省内江市）16、如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__ ______条件时，四边形EFGH 是菱形． 1．〔2011?凉山州〕已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM的值是。

〔2011?南京市〕12．如图，菱形ABCD 的连长是2㎝，E 是AB中点，且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为_________㎝2．〔2011?山东省烟台市〕18、如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y=的图像上，则菱形的面积为___________。

14.将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案.设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是 .13．已知菱形的两条对角线长分别为2cm ，3cm ，则它的面积是________________cm 2；（2011?龙岩市）15. 如图，菱形ABCD周长为8㎝．∠BAD=60°，则AC=___________cm 。

16．菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，则菱形的周长是_________cm ．ABCDO 图6(第12题)B AEx y第14题ABCD EF G14、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH=．三、解答题：（共x 分）(2011?肇庆) 如图8．矩形ABCD 的对角线相交于点0．DE ∥AC ，CE ∥BD ． (1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若∠ACB=30°，菱形OCED 的而积为83，求AC 的长．22. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =53，∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.24．（本题满分10分）如图，四边形ABCD 是矩形，直线l 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线l 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F 。

（1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE 的形状，并说明理由。

22、（2011?临沂）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分别是△ABC 两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．（2011?宁波）23．（本题8分）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG ∥BD 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形． 8分（2011?莆田）已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F 。

（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明； ②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断11DM DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

。

（2011?乌鲁木齐）20.如图，在Y ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2AD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点A 作AG ∥BD ，交CB 的延长线于点G 。

（1）求证：四边形DEBF 是菱形；A B CDGE F(第23题)（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明。

（2011?辽宁省沈阳）24．已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ．⑴如图1，当点D 在边BC 上时，求证：∠ADB =∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立；⑵如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC =∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；⑶如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的等量关系．（2011?株洲市）23．（本题满分8分）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q .（1）求证：OP OQ =；（2）若8AD =厘米，6AB =厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）. 设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．（2011?潜江市）21．（满分8分）如图，已知直线AB 与x 轴交于点C ，与双曲线xky =交于A （3，320）、B （-5，a ）两点.AD ⊥x（1）求点B 的坐标及直线AB 的解析式；（2）判断四边形CBED 的形状，并说明理由. 21．解：（1）∵双曲线xk y =过A （3，320,得4-=a . ∴点B 的坐标是（-5，-4）设直线AB 的解析式为n mx y +=，将 A （3，320）、B （-5，-4）代入得，⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=nm nm 543320，解得：3,34==n m . 第24题图图1图2 图31Q P ODCBAB∴直线AB 的解析式为：3834+=x y .………………………………… 4分（2）四边形CBED 是菱形.理由如下: …………………………………5分点D 的坐标是（3,0），点C 的坐标是（-2,0）. ∵ BE ∥x 轴， ∴点E 的坐标是（0,-4）.而CD =5， BE=5，且BE ∥CD .∴四边形CBED 是平行四边形. …………………………………………6分在Rt △OED 中，ED 2＝OE 2＋OD 2， ∴ ED ＝2243+＝5，∴ED ＝CD . ∴□CBED 是菱形. ……………………………………………………… 8分23．（2011·西宁）（本小题满分8分）如图12 ，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥CA ，AE ∥BD ．（1）求证：四边形AODE 是菱形；（2）．若将题设中“矩形ABCD ”这一条件改为“菱形ABCD ”，其余条件不变，则四边形AODE 是_ ▲ ．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD 的对角线相交于点O∴AC ＝BD （矩形对角线相等）OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD （矩形对角线互相平分）∴OA ＝OD (2)分∵DE ∥CA AE ∥BD∴四边形AODE 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）………………4分∴四边形AODE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） (6)分（2）矩形 (8)分（2011?邵阳市）19．在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．(写出你添加的条件，不要求证明)【答案】：AC=BD（2011?泰安市）已知：在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠ABC=90°，BC=2AD ，E 是BC 的中点，连接AE 、AC 。

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