指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本

1．三种函数的增长特点

(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．

(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．

(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．

2．三种函数的增长比较

在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.

[小问题·大思维]

1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？

提示：结合图像知一定成立．

2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？

提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.

[研一题]

[例1]四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

x 0510********

y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505

y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108

y35305580105130155

y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是________．

[自主解答]以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案]y2

[悟一法]

解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．

[通一类]

1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：

x 12345678910

2x248163264128256512 1 024

x2149162536496481100

2x＋79111315171921232527

log2x 01 1.585 02 2.321 9 2.585 0 2.807 43 3.169 9 3.321 9 试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？

(2)各函数增长的快慢有什么不同？

解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；

(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.

[研一题]

[例2]假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

[自主解答]设第x天所得回报是y元．

由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．

作出三个函数的图像如图：

由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.

天数

累积收益

1234567891011…

方案

一4080120160200240280320360400440…

二103060100150210280360450550660…

三0.4 1.2 2.8612.425.250.8102204.4409.2818.

…

8∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．

[悟一法]

(1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．

(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．

[通一类]

2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：

时间t 50 110 250 种植成本Q

150

108

150

(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系； Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .

(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502

＋b ×50＋c ，108＝a ×

1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋425

2

； (2)Q ＝

1200(t －150)2＋4252－2252＝1

200

(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg. 若x 2＜log m x 在x ∈(0，1

2

)内恒成立，求实数m 的取值范围．

[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，1

2)内的上下位置关系，再构建不等式求解．

[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1. 当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，

又x 2＜log m x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为1

16

≤m ＜1.

1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(1

2)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )

A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快

B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢

C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢

D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快 答案：C 2．下列所给函数，增长最快的是( )

A ．y ＝5x

B ．y ＝x 5

C ．y ＝log 5x

D ．y ＝5x 答案：D