2020年北京高考数学模拟试题及答案

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2020年北京市西城区高考数学二模试卷(含答案解析)

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集，集合，，则集合A. B.C. D. ，2.设复数，则A. B. 2i C. D.3.焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是A. B. C. D.4.在锐角中，若，，，则A. B. C. D.5.函数是A. 奇函数，且值域为B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为D. 偶函数，且值域为R6.圆截x轴所得弦的长度等于A. 2B.C.D. 47.设a，b，c为非零实数，且，则A. B.C. D. 以上三个选项都不对8.设向量，满足，，则的最小值为A. B. C. 1 D.9.设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的▱ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在的展开式中，x的系数为______．12.在等差数列中，若，，则______；使得数列前n项的和取到最大值的______．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______．14.能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是______．15.已知函数的定义域为R，满足，且当时，有以下三个结论：；当时，方程在区间上有三个不同的实根；函数有无穷多个零点，且存在一个零点．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在三棱柱中，底面ABC，，D是的中点，且．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求直线BC与平面所成角的正弦值．17.已知函数同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为；最大值为2；；．Ⅰ给出函数的解析式，并说明理由；Ⅱ求函数的单调递增区间．18.随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量单位：人次与使用量单位：人次，数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率，当时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率．Ⅰ在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；Ⅱ从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；Ⅲ将Ⅰ中概率值记为对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”？说明理由．19.设函数，其中，曲线在点处的切线经过点．Ⅰ求a的值；Ⅱ求函数的极值；Ⅲ证明：．20.已知椭圆E：经过点，离心率为为坐标原点．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点不在坐标轴上，直线CD交x 轴于点P，Q为直线AD上一点，且，求证：C，B，Q三点共线．21.如图，表1是一个由个非负实数组成的40行20列的数表，其中2，，40；，2，，表示位于第m行第n列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列不改变该数所在的列的位置，得到表即，其中，2，，39；，2，，．表1表2Ⅰ判断是否存在表1，使得表2中的2，，40；，2，，等于？等于呢？结论不需要证明Ⅱ如果，且对于任意的，2，，39；，2，，20，都有成立，对于任意的，2，，40；，2，，19，都有成立，证明：；Ⅲ若2，，，求最小的正整数k，使得任给，都有成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，，，，．故选：D．进行补集和并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：，．故选：A．由z求得，利用两数和的平方公式展开即可得出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即，故要求抛物线的标准方程为，故选：D．根据题意，设要求抛物线的标准方程为，结合抛物线的几何性质可得p的值，代入抛物线的标准方程即可得答案．本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式，属于基础题．4.答案：C解析：解：在锐角中，若，，，由正弦定理，可得，由B为锐角，可得．故选：C．由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cos B 的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：根据题意，函数，其定义域为，有，即函数为奇函数，其导数，在区间和上都是增函数，且；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．根据题意，其出函数的定义域，分析可得，即函数为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间和上都是增函数，且；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意分析函数的定义域，属于基础题．6.答案：B解析：解：令，则圆的方程转换为，所以，，所以．故选：B．首先令，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．本题考查的知识要点：直线圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：设a，b，c为非零实数，且，所以对于选项A：当，，时，，故错误．对于选项B：当，，时，无意义，故错误．对于选项C：由于，，所以，故正确．对于选项D：由于C正确，所以选项D错误．故选：C．直接利用不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：，当时，取得最小值．故选：B．两边平方，得出关于x的二次函数，从而得出最小值．本题考查了平面向量的模长计算，考查二次函数的最值，属于基础题．9.答案：C解析：解：对于任意的，，即．，，任意的，，或．“为递增数列”，反之也成立．“对于任意的，”是“为递增数列”的充要条件．故选：C．对于任意的，，即可得：，，任意的，解出即可判断出结论．本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：B解析：解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B．可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．11.答案：30解析：解：展开式的通项公式为：；令x的指数为1，即；的系数为：；故答案为：30．先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数．本题考查二项式定理，解决的方法是利用二项展开式的通项公式，属于容易题．12.答案：9 5解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，解得：，．．令，解得．使得数列前n项的和取到最大值的．故答案为：9，5．设等差数列的公差为d，由，，可得，，解得：，可得令，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体．如图所示：所以．故答案为：．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案：答案不唯一，，解析：解：则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值为：满足即可，可取，，故答案为：，．由题意可得满足或者，即可，任意取满足m，n的值即可．本题考查双曲线，椭圆的性质，属于基础题．15.答案：解析：解：因为函数的定义域为R，满足，时，，所以；所以正确；的大致图象如图所示可得当时，方程在区间上有三个不同的实根；所以正确因为时，时，，又因为，所以函数由无数个零点，但没有整数零点，所以不正确；故答案为：．由题意可得函数的大致图象，可判断出所给命题的真假．本题考查函数的性质及命题真假的判断，属于中档题．16.答案：Ⅰ证明：连接，设，连接DE，由为三棱柱，得．又是的中点，．平面，平面，平面；Ⅱ解：底面ABC，，，CB，两两互相垂直，故分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，0，，2，，0，，，，．设平面的法向量为，由，取，得；设直线BC与平面所成角为．则．直线BC与平面所成角的正弦值为．解析：Ⅰ连接，设，连接DE，可得，再由直线与平面平行的判定得到平面；Ⅱ由底面ABC，，得CA，CB，两两互相垂直，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17.答案：解：Ⅰ若函数满足条件，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件，所以函数只能满足条件，，，由条件，可得，又因为，可得，由条件，可得，由条件，可得，又因为，所以，所以Ⅱ由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．解析：Ⅰ若函数满足条件，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件，由条件，利用周期公式可求，由条件，可得，由条件，可得，结合范围，可求，可得函数解析式．Ⅱ利用正弦函数的单调性即可求解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．18.答案：解：，，，，，．款软件中有4款有效下载软件，这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为．的可能取值有2，3，4，且，，，X 2 3 4P．不能认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．解析：计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；根据样本是否具有普遍性进行判断．本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，样本估计总体思想，属于中档题．19.答案：解：，则，，故取消在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，由可得，，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，证明：等价于，由可得当且仅当时等号成立，所以，故只要证明即可，需验证等号不同时成立设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，因为等号不同时成立，所以当时，．解析：由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a；先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；由于等价于，结合可得，故只要证明即可，需验证等号不同时成立结合导数可证．本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20.答案：解：Ⅰ由题意，得，，又因为，所以，，故椭圆E的方程为．Ⅱ，，，设，则，所以直线CD的方程为，令，得点P的坐标为，设，由，得显然，直线AD的方程为，将代入，得，即，故直线BQ的斜率存在，且．又因为直线BC的斜率，所以，即C，B，Q三点共线．解析：Ⅰ由，，，解得a，c，进而得出椭圆的方程．Ⅱ设，则，直线CD的方程为，令，得点P 的坐标，设，由，得显然，写出直线AD的方程为，得，所以，即C，B，Q三点共线．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解Ⅰ存在表1，使得，不存在表1，使得．证明：Ⅱ因为对于任意的，2，3，，，2，，都有．所以，，．所以，即．由于，2，，，2，3，，都有．所以，，．所以，即．解：Ⅲ当表1如下图时，0111101111101111011111011110111111101111011111011110其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个因此每行的和均为19，符合题意．重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此．以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行设为第r行的全部实数即包含，，，，假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的个数．这与表2中前39行中共有个数相矛盾．所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行设为第r行，的全部实数．其次，在表2中，根据重拍规则得：当时，，2，，．所以，所以．综上所述．解析：Ⅰ直接利用表格求出结果．Ⅱ利用行列式的变换的应用求出结果．Ⅲ利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论．本题考查的知识要点：行列式的变换的应用，组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题．。

北京市西城区2020届高三数学二模试题 Word版含解析

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（U A）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出U A，再求（U A）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i 【答案】A【解析】【分析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）22=+-i i12＝﹣2i.故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x2＝4yB. y2＝4xC. x2＝8yD. y2＝8x 【答案】D【解析】【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题 4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cosB =（） A.34B.4C.4D.4【答案】C 【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的范围，求出cos B ，进而得到答案. 【详解】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===，∴由B为锐角，可得cos B = 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题. 5. 函数f (x )＝x 1x-是（） A. 奇函数，且值域为（0，+∞）B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R 【答案】B 【解析】【分析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数，其导数f ′(x )＝121x+，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R ；故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题 6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（） A 2 B. 3 C. 5 D. 4【答案】B 【解析】【分析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长. 【详解】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0，所以124x x +=-，121=x x ，所以12|AB x x =-==故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单. 7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（） A. a b b c ->- B.111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【答案】C 【解析】【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解. 【详解】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误. 对于选项B ：当0,1,2a bc 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确. 对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误. 故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（）A.B.2C. 1D.【答案】B 【解析】【分析】两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=. 故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.10. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x的项系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值即可求出含x 项的系数.【详解】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r rr r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅，令x 的指数为1，即r ＝1； ∴含x 的项系数为：16530C ＝；故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____. 【答案】 (1). 9 (2). 5. 【解析】【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出. 【详解】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1+a 2＝16，a 5＝1， ∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1＝9，d ＝﹣2. ∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n . 令a n ＝11﹣2n ≥0，解得n 112≤=512+. ∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5. 故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+45. 【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积. 【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为，该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体. 如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：5【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x ym n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）. 【解析】【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）.【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论： ①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z . 其中，所有正确结论的序号是_____. 【答案】①②. 【解析】【分析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确；对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0， x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )，所以函数f (x )由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是A 1C 1的中点，且AC ＝BC ＝AA 1＝2.（1）求证：BC 1∥平面AB 1D ；（2）求直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）66【解析】【分析】（1）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，可得BC 1∥DE ，再由直线与平面平行的判定得到BC 1∥平面AB 1D ；（2）由CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，得CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1D 的一个法向量与1AB 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，由ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，得A 1E ＝BE. 又∵D 是A 1C 1的中点，∴BC 1∥DE. ∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ， ∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=，由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ. 则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|6n BC n BC⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由；（2）求函数()f x 的单调递增区间【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-. 这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=，又因为0>ω，所以2ω=. 由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率tUW=，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由.【答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析.【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）t A9196=＞0.9，t B8491=＞0.9，t C6985=＜0.9，t D5474=＜0.9，t E6469=＞0.9，t F6365=＞0.9.∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为42 63 =.（2）X的可能取值有2，3，4，且P（X＝2）22424625C CC==，P（X＝3）314246815C CC==，P（X＝4）4446115CC==，∴X的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”. 理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）证明:()2xx f x e e->. 【答案】（1）1a =；（2）极小值11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10xxe e -≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【详解】解：（1）()lnf x a x a '+=，则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =，（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>，易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值，证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>，由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①，所以21ln x x x xx x e e e e -+≥-，故只要证明10x xe e-≥即可，（需验证等号不同时成立）设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，② 因为①②等号不同时成立，所以当0x >时，()2x x f x e e->. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y ≠，可得出220044x y -=，求出直线CD 的方程，可求得点P 的坐标，由4OP OQ =⋅，可求得点Q 的横坐标，代入直线AD 的方程可求得点Q 的坐标，验证BQ BC k k =，即可证得结论成立.【详解】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =，由题意可得22310c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A -、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y -=，直线CD斜率为001CD y k x -=，则直线CD 的方程为0011y y x x -=+，令0y =，可得001x x y =-，即点00,01x P y ⎛⎫⎪-⎝⎭，设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x -=，直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+，所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭，直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQy x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--，又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）. 表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【解析】【分析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【详解】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，. 证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，. 所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意. 重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数. 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.- 21 - 所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，，所以39k ≤.综上所述39k =.【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。

2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

A. 〔-00, 0〕B. 〔-00, 1〕C. 〔1, +°°〕7. 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E, F 分别为线段CD 和A I B I 上的动点,且满足 CE=A I F,那么四边形D I FBE 所围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和〔〕D. (0, +°°)A.有最小值B.有最大值jC.为定值35 . 等差数列｛a n ｝首项为a 1,公差dwQ 那么“ a 〔,a 3, a 9成等比数列〞是“ a 1二d的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .函数f 〔x 〕 =：,；；］：,假设函数f 〔x 〕存在零点,那么实数a 的取值范围是〔〕2021年北京市朝阳区高考数学二模试卷〔二〕、选择题〔本大题共 8小题,共40.0分〕1. 集合 A={x|x>1}, B={x|x (x-2)<0},贝U AUB=( ) A. {x|x>0} B. {x|1<x< 2} C.{x|1 买v 2} D. {x|x>0且 xw 1} 2 . 复数i 〔1 + i 〕的虚部为〔〕 A. B. 1 C. 0 3 .在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率兀进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在 1674年给出的求兀D. -1的方法绘制的程序框图如下图. 执行该程序框图, s 的值为〔 A. 4 B. D.输出 4. 在 AABC 中,H c=4, cosC = -5,那么 b=()D.为定值28 . 在同一平面内, A 为动点,B, C 为定点,且/BAC4, 二A 却？于口,BC=1, P为BC 中点•过点p 作pQ gC 交AC 所在直线于Q ,那么;Q 在;c 方向上投影的最大值二、填空题(本大题共 6小题,共30.0分)9 . a=log 3e, b=ln3, c=log 32,贝U a, b, c 中最小的是 .10 .点M (1, 2)在抛物线 C: y 2=2px (p>0)上,那么点M 到抛物线C 焦点的距离是.I x - votO.* ( i = 1 + 2r,11 .圆心；｛y = 1十(.为参数)上的点P 到直线| y = —1 + (t 为参数)的距离最小值是. f 工之L12 .实数x, y 满足 ¥=#,能说明“假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1, y=3〞为假 [x 4- y < 4.命题的一组(x, y)值是.13 .由数字1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的三位数,偶数共有个,其中个位数字比十位数字大的偶数共有个. 14 .如图,在平面直角坐标系xOy 中,点 O (0, 0) , M (-4, 0) , N (4, 0),P (0, -2) , Q (0, 2) , H (4, 2).线段OM 上的动点A 满足;力一%时(''(必‘))；线段HN 上的动点B 满足j 二"N 直线PA 与直线QB 交于点L,设直线PA 的斜 ntf ni\ 7率记为k,直线QB 的斜率记为k',那么k?k'的值为;当入变化时,动点L 一定在 (填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个)上.三、解做题(本大题共 6小题,共80.0分) 15 .函数 fix) = 2sinxcosx + 入瓦,".一超.(I )求函数f (x)的最小正周期；(n )当某E [一彳,同时,求证：/(X )之一十B.C.是(某电视台举行文艺比赛, 并通过网络比照赛进行直播. 比16.赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分, 场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分. 每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分,将评分根据[7, 8) , [8, 9) , [9, 10]分组,绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分9.69.59.68.99.7(I )求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率；(n)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率, Y表示评分不小于9分的人数；试求 E (X)与E (Y)的值；(出)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数匚作为该选手的最终得分.r 4方案二：分别计算专家评分的平均数;和观众评分的平均数；,用以士作为该选手最终得分.请直接写出f与',的大小关系.频率在三^柱ABC-A i B i C i中,底面ABC是正三角形,侧棱AAUB面17.ABC. D, E分别是边BC, AC的中点,线段BC i与B i C交于点G,且AB=4, 叫=2k.(I )求证：EG//平面AB i D；(n)求证：BC i"面AB i D；(m )求二面角A-B i C-B的余弦值.18.函数f (x) = (2ax2+4x) lnx-ax2-4x (aCR,且a*O) (I )求曲线y=f(x)在点(1, f (1))处的切线方程;(n )假设函数f (x)的极小值为试求a的值.19 .椭圆C: 4 + y Z= l (a>1)的离心率为坐.(I )求椭圆C的方程；(n)设直线l过点M (1, 0)且与椭圆C相交于A, B两点.过点A作直线x=3 的垂线,垂足为D .证实直线BD过x轴上的定点.20 .对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S (A) ={a+b|aCA, bCA},记集合S(A)的元素个数为d (S (A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T (A) =AUS (A).(I )假设A={0 , 1, 2},求S (A) , T (A);(n)假设集合A有n个元素,证实：" d (S (A) ) =2n-1〞的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为.的等差数列〞；(出)假设A?{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}且{1 , 2, 3,…,25, 26}? T (T (A)), 求元素个数最少的集合 A.1 .答案：A解析：解：根据不等式的解法,易得 B={x|0vx 匚< 2},均召-2? 4 5 .又有 A={ x|x> 1},那么 AUB={x|x>0}. 应选：A.根据不等式的解法,B={x[0vx<2},然后根据并集的定义“由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集〞进行求解即可. 此题考查并集的运算,注意结合数轴来求解,属于容易题.2 .答案：B 解析：解：.i (1 + i) =-1 + i,. i (1 + i)的虚部为1. 应选：B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的根本概念,是根底题.3 .答案：C 解析：解：第一次,s=4, k=1, k>3否,第二次, 乂辐,k =2 ,k4否, 第二次,s= |+?=m ,k=3, k>3是, 程序终止,输出s=* 应选：C.根据程序框图进行模拟运算即可. 此题主要考查程序框图的识别和判断, 根据条件进行模拟运算是解决此题的关键.比拟根底.4 .答案：B 解析：【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求值. 此题主要考查了同角三角函数根本关系式, 础题. 【解答】解：*c=4, CORC =(, sinC=dl-co5i 々巧,,由正弦定理岛可得：解得：b=3. 应选：B.答案与解析sinC 的值,根据正弦定理即可计算得解b 的正弦定理在解三角形中的综合应用,属于基5 .答案：C 解析：【分析】此题考查等差、等比数列的定义以及判断,涉及充分必要的定义与判断,属于根底题. 根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,从充分性与必要性的角度分析“ a i, a 3, a 9成等比数列〞和“ a i =d 〞的关系,综合即可得答案. 【解答】解：根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,假设 a i, a 3, a 9成等比数列,那么〔a 3〕2=a i 39,即〔a i +2d 〕 2=a i • 〔a i +8d 〕,变形可得：a i =d,那么“a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充分条件；假设 a i =d,贝U a 3=a i +2d=3d, a 9=a i +8d=9d,贝U 有〔a 3〕2=a i a 9,贝U " a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的必要条件；综合可得：“ a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充要条件；应选：C.6 .答案：D 解析：解：函数f 〔x 〕=：上管,函数的图象如图：函数f 〔x 〕存在零点,那么实数 a 的取值范围是：〔.,+°°〕. 应选：D.画出函数的图象,利用数形结合推出 a 的范围即可.此题考查分段函数的应用,函数的零点的判断, 考查数形结合以及计算水平.7 .答案：DD'B'E f解后面解：依题意,设四边形D I FBE的四个顶点在后面,上面,左面的投影点分别为D', F', B', E',那么四边形D I FBE在上面,后面,左面的投影分别如上图.所以在后面的投影的面积为S后=1 M=1 ,在上面的投影面积S±=D'E' 1=DEX1 = DE,在左面的投影面积S左=B'E' 1=CEX1=CE,所以四边形D1FBE所围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1 + DE+CE=1 + CD=2.应选：D.分别在后,上,左三个平面得到该四边形的投影,求其面积和即可.此题考查了正方体中四边形的投影问题,考查空间想象水平.属于中档题.8 .答案：C 解析：解：建立如下图的平面直角坐标系,那么〔4, 0〕, C4,0〕, P〔0,0〕,设 A 〔x, y〕,那么xv 0,设直线AB, AC的斜率分别为k b k2, 由到角公式得：G an J化简彳导:x2+ (y-,)=；,口次那么x*:,那么」苧叔V0,由;在；方向上投影的几何意义可得:.在；方向上投影为DP|二|x|, 那么H、方向上投影的最大值是降应选：C.先建系,再由到角公式得：=常二tan,化简得：x2+ (y<)=：,那么x29［那么-;今v 0,再由二在M方向上投影的几何意义可得解・此题考查了到角公式及平面向量数量积的运算,属中档题.9 .答案：c 解析：解：b=ln3>1,又2V ev 3,所以10g32V log3ev 1,即cv a< b,故a, b, c中最小的是 c.故答案为：c由对数值大小的比拟得：b=1n3>1,又2V e<3,所以10g32v1og3ev 1,即cvavb,得解.此题考查了对数值大小的比拟,属简单题.10 .答案：2解析：解：由点M (1, 2)在抛物线C: y2=2px (p>0)上,可得4=2p, p=2,抛物线C： y2=4x,焦点坐标F (1, 0),那么点M到抛物线C焦点的距离是：2,故答案为：2.由题意可知：点的坐标代入抛物线方程,求出p=2,求得焦点F (1, 0),利用直线的两点式,即可求点M到抛物线C焦点的距离.此题考查抛物线的标准方程及简单几何性质,直线的两点式方程,考查计算水平,属于根底题. 11 .答案：睥1 解析：解：由ly = 1+ 就月.得x2+(y-1)2=1,由,ly =一1 + t 得x-2y-3=0 ,,一,、一■ 一I r , r、 _ ■ - . |0"2~ 3| J-1圆心〔0, 1〕到直线x+2y+1=0的距离d=:=、后,所以所求距离的最小值为-1故答案为：.^5-1.化成直角坐标方程后用点到直线的距离,再减去半径. 此题考查了参数方程化成普通方程,属中档题.12 .答案:〔2, 2〕r x>l,解析：解：实数x, y 满足y 皂币的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明"假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1,y=3〞为假命题的一组〔x, y 〕值是〔2, 2〕. 故答案为：〔2, 2〕.画出约束条件的可行域,目标函数取得最大值的直线,然后求解即可.此题考查线性规划的简单应用,画出可行域是解题的关键.13 .答案：60 36解析：解：根据题意, 对于第一空：分 2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数,其个位是 ②在剩下的5个数字中任选2个,安排在前那么有3X20=60个符合题意的三位偶数；对于第二空：分 3种情况讨论：①,当其个位为2时,十位数字只能是的三位数；②,当其个位为4时,十位数字可以是个符合题意的三位数；③,当其个位为6时,十位数字可以是5 >4=20个符合题意的三位数；那么有4+12+20=36个符合题意的三位数; 故答案为：60, 36.对于第一空：分 2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有 3种情况,②在剩下的 5个数字中任选2个,安排在前2个数位,由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分 3种情况讨论,分别求出每种情况下的三位数的数目,由加法原理计算可得答案.此题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于根底题.解析：解：叫；「A (-4 入,0),又 P (0, -2) , .*=*$； r 二厂 _ ___ . , 2(-2) / . . , L HRB (4,2-2 k= 4^0- =-2, kk =,设 L (x, y),那么 k=\ k =^, .kk1 = 1?；〞=；, 1 / = = X,即彳-适=1 .2、4或6,有3种情况, 2个数位,有 A 52=20种情况,1,百位数字有4种情况,此时有4个符合题意 1、2、3,百位数字有4种情况,此时有 3>4=121、2、3、4、5,百位数字有4种情况,此时有14.答案：；双曲线故答案为：:,彳先=1 .根据向量关系得到 A, B 的坐标,再根据斜率公式可得 kk'=;设P (x, y),根据斜 I 率公式可得P 点轨迹方程.此题考查了圆锥曲线的轨迹问题,属中档题. 15 .答案：解：(I) J ⑺="Ehwhh + 笈 3gA -木, =#i 也 2M + \3cosZx, =・证实：(II)由于第中, 即归+沁一,1, 所以f (x)在上单调递增. 当 2# + ；=—；时, J Q即工:一;,时, /.%山=一"手所以当X E 时,f W > 75.解析：(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换, 把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期.(n )利用函数的关系式,进一步利用函数的定义域求出函数的值域.此题考查的知识要点：三角函数关系式的变换,正弦函数的性质的应用,主要考察学生的运算水平和转换水平,属于根底题型.16 .答案：解：(I)由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是1. (n ) X 的可能取值为 2, 3. P (X=2)所以X 的分布列为： X233 dP 弱3J 12 所以 E (X ) =2乂-+3XG = M .J0*J 1由题意可知,T 〜巩工］,所以E (Y)所以f (x)的最小正周期 2ltT=V =n3 / 、端 2W ； P (X =3)= np=|(m)* * * = 2 ^ x0 + 0x4 + 0x 2.= 0BC i DA'-=OxO + 〔-2〕x4+2\Nx2u2 = OBC 1 叫'所以 BC i ±DA, BCUDB i.又由于DA ADB I =D,所以BC i,平面AB i D. ............................ 〔 9分〕 (出)解：显然平面 B i CB 的一个法向量为“ =(I, 0, 0)'=0, L *呼n 8-诙平片灯=0,付1 4尸窗％ ; 0, 【电/ 4叼如ririA.设二面角A-BiC-B 的平面角为0,由图可知此二面角为锐二面角,解析：(I)证实EG/AB i.然后利用直线与平面平行的判定定理证实 EG/印面AB i D.(n )取B iC i 的中点D i,连接DD i,建立空间直角坐标系 D-xyz,通过向量的数量积证实BC i IDA, BCODB i,然后证实BC i 」平面AB i D.(出)求出平面 B i CB 的一个法向量,平面 AB i C 的一个法向量,设二面角 A-B i C-B 的平面角为0,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可. 此题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用, 二面角的平面角的求法,考查计算水平.解析：此题考查了离散型随机变量的期望和方差,属中档题.(I )由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是:(n )计算概率可得分布列和期望;(m)专家评分的平均分高于观众评分的平均分,17.答案：(本小题总分值14分)(I)证实：由于E 为AC 中点,G 为B i C 中点.所以EG/AB 1. 又由于EG?平面AB i D, AB i ?平面AB i D, 所以EG/狂面AB i D. .................... ( 4分) (II )证实：取BiCi 的中点Di,连接DDi.显然DA, DC, DD i 两两互相垂直,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,那么 D (0,0,0),42、, 0, 0),B (0,-2,0),fl 1(O 1 -2, 2j),2. 2^2), B R G, 1, 0), C (0, 2, 0). 所以又由于设平面AB i C 的一个法向量为:叼=〔x, y, z 〕,又；=(一2屈 2,.) ni L, ■ =〔.,4, -西设x=i ,贝U y =/1,上二亚,那么:a,隹两.'III所以COSfi =而・. 〔 I4 分〕但专家人数远小于观众人数, 故小于.18 .答案：(本小题总分值13分)解：(I )函数 f (x) = (2ax 2+4x) lnx-ax 2-4x (aCR,且 aw .. 由题意可知 f' (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +°°).f' (1) =0, f (1) =-a-4, .•曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程为 y=-a-4. ....... ( 3分) (n )①当av-1时,x 变化时f (x) , f (x)变化情况如下表：x ◎ 4 Tf-l 1)1 (1, +°°) f (x) -0 +0 -f (x)极小值极大值此时晨一：)②当a=-1时,f' (x) wo 在(0, +oo )上恒成立,所以f (x)在(0, +°°)单调递减. 此时f (x)无极小值,故不成立.③当-1<av .时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表： x (0, 1) 1 J 1A+ 8)f (x) -0 + 0 -f (x)极小值/极大值解得u = -2 +避或a = -2—?3. 由于-1vav0,所以 u =④当a>0时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表: x (0, 1) 1 (1, +°°) f (x)-+f (x)极小值解得a =—2 +小或H =一2-$3 ,故不成立. 综上所述,二-2 +祠. ............ . (13分)解析：(I )由题意可知 f (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +0°) , f' (1) =0, f (1) =-a-4, 由此能求出曲线 y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程.(n )当av-1时,求出f]-3 =1 +力M-口)=；,解得口 = -^>-1 ,不成立；②当a=-1 f (x)在(0, +8)单调递减.f (x)无极小值;由题意可得一以一4=：,求出4=\信-2；当a>0时,极小值f (1) =-a-4.由此能求出a 的值.此题考查切线方程的求法,考查实数值的求法,考查导数性质、函数的单调性、最值等根底知识,考查运算求解水平,考查化归与转化思想,是中档题.= 119 .答案：(I )解：由题意可得[〞 —3 解得a=J , b=1 ,\a 2 = b 2 + c 2时,f (x) w 师(0, +oo)上恒成立, 当-1vav0 时,极小值 f (1) =-a-4,所以椭圆C 的方程为；+y 2=i.(n )直线BD 恒过x 轴上的定点 N (2, 0).证实如下 (1)当直线l 斜率不存在时,直线l 的方程为x=1, 不妨设 A (1,乎),B (1, ¥), D (3,悟)此时,直线BD 的方程为：y ((x-2),所以直线BD 过点(2, 0)(2)当直线l 的斜率存在时,设 A (xi, yi) , B (x2, y2),直线AB 为y=k (x-1), D (3, yi).解析：(I )由题意列关于a, b, c 的方程组,求解可得 a, b, c 的值,那么椭圆方程可求；(n)当直线AB 的斜率不存在时,直线 BD 过点(2, 0).当直线AB 的斜率存在时, 设直线AB 为y=k (x-i),联立方程组,消去 y 整理得：(i+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0,利用韦达定理、直线方程,结合条件求出直线BD 过x 轴上的定点.此题考查椭圆方程求法,考查考查两直线的交点是否为定点的判断与求法,考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等根底知识,考查推理论证水平、运算求解水平,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.20 .答案：解：(I )假设集合 A={0 , i, 2},那么 S (A) =T (A) ={0 , i, 2, 3, 4} •….(3 分)(n )令 A={Xi, x2,…xn}.不妨设 xi 〈x2<e y xn. 充分性：设{xk}是公差为d (dWQ)的等差数列. 贝U x i +x j =x i + (i-i) d+x i + (j-i) d=2x i + (i+j-2) d (iW, j 而)且2M+jwm.所以x i +x j 共有2n-i 个不同的值.即 d (S (A) ) =2n-i. 必要性：假设 d (S (A) ) =2n-i . 由于 2x i 〈x i +x i+i v 2x i+i, ( i=i, 2,…,n-i).所以 S (A)中有 2n-i 个不同的元素：2x i, 2x 2 ,…,2x n, x i + x 2, x 2+x 3,…,x n-i +x n. 任意x i +x j (iw, j 切)的值都与上述某一项相等.又 x i +x i+i v x i +x i+2V x i+i + x i+2, 且 x i + x i+i V 2x i+i V x i+i +x i+2 , i=i , 2 , …,n-2 . 所以X i +x i+2=2x i+i ,所以{x k }是等差数列,且公差不为 0.….(8分)(出)首先证实：iCA.假设i?A, A 中的元素均大于i,从而i?S (A), 因此 i?T (A) , i?S (T (A)),故 i?T (T (A)),与{i , 2, 3,…,25, 26} ?T (T (A))矛盾,因此i CA. 设A 的元素个数为n, S (A)的元素个数至多为C ： + n,从而T (A),的元素个数至多为 C -+n+n=,f^m. * 2假设n=2,那么T (A)元素个数至多为5,从而T (T (A))的元素个数至多为亨=20, 而T (T (A))中元素至少为 26,因此n>3假设 A 有三个元素,设 A={1 , a2, a 3},且 1va 2〈a3W8,那么 1, 2, a2, a 2+1, a 3, a 3+1, 2a 2, a 2+a 3, 2a 3C T (A),, = «一1) x 2+ 所以 x i +x 2= :(1+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0.直线北BD: y-y i = 所以由于(x-3),令 y=0,得 x-3=故直线BD 过点(2,0). 综上所述,直线 BD 恒过x 轴上的定点(2, 0)从而1, 2, 3, 47(T (A) ) .假设a2>5, T (T (A))中比4大的最小数为32,那么5?T (T (A)),与题意矛盾,故a2<5.集合T (T (A)).中最大数为4a3,由于26CT (T (A)),故4a3> 26从而a3>7, (i)假设A={1 , a2, 7},且a2<5.此时1, 2, a2, a2+1, 7, 8, 2a2, 7+a2, 14b (A), 那么有8+14=22, 2X14=28CT (T (A)),在22 与28之间可能的数为14+2a2, 21+a2. 此时23, 24, 25, 26不能全在T (T (A)).中,不满足题意. (ii)假设A={1 , 32, 8},且32<5 此时1, 2 , 32 , 32+1, 8 , 9 , 232 , 8+ 32, 16CT (A), 那么有16+9=25 CT (T (A)),假设26 CT (T (A)),那么16+232=26 或16+ (8+32)=26, 解得32=5或32=2 .当A={1 , 2, 8}时,15, 21, 23?T (T (A)).,不满足题意.当A={1 , 2, 8}时,T (T (A) ) ={1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32},满足题意.故元素个数最少的集合A为{1, 5, 8} ....................... ... ( 13分)解析：(I)根据定义直接进行计算即可(n)根据充分条件和必要条件的一结合等差数列的性质进行证实(m )首先证实：1 CA,然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论.此题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用, 综合性强,难度比拟大.不太好理解.。

【精品高考数学】[2020年北京高考仿真模拟卷-数学]+答案

2020年北京高考仿真模拟卷数学 2020.4考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项.1．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（）A ．3,1x y ==-B ．()3,1-C ．{}31，-D ．(){}3,1-2．设)i i (2z =+，则z = A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（）A ．3x y =B ．1ln||y x = C ．||2x y =D ．cos y x =4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（）A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 5．一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 6．若a >b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │7．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是()A ．158B ．162C ．182D ．3248．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（）A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)10、已知f (x )＝(2)111x a x x ax -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x -->0成立，那么a的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎦⎤1，32 C ．(1,2)D ．(1，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．二项式61(2)2x x-展开式的常数项为第_________项． 12．在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．13．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于14．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值为_________。

2020届北京市高考数学理科模拟试题(有答案)(Word版)

普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则=____________________.（12）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则.（13）双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。

2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣24．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．25．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．126．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞07．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝．12．在（x）6的展开式中常数项为．（用数字作答）13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝，sin∠ABD＝．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：D．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可．解：函数，令0，得x﹣2≥0，解得x≥2，所以f（x）的定义域为[2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题．3．已知，则a＝（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解a值．解：∵，∴2＝（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（a﹣1）i，∴，即a＝1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．4．若双曲线的一条渐近线与直线y＝2x+1平行，则b的值为（）A．1B．C．D．2【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．解：双曲线的一条渐近线y＝bx与直线y＝2x+1平行，可得b＝2．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．4B．6C．8D．12【分析】几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，D1﹣BCD，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是DC＝4，BC＝3，DD1＝2∴三棱锥的体积是4×3×2＝4故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．6．已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sin x﹣x＞0D．cos x+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x2，又∵sin x，cos x∈[﹣1，1]，∴sin x﹣x＞0，cos x+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，由此计算点M所处位置的坐标．解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为2π；点M的初始位置坐标为，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′（，）．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．8．已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．进而判断出结论．解：三角形ABC，那么“”⇒•0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线y2＝2x上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为（）A．（0，1]B．C．D．【分析】设P的坐标，看可得PA的中点M的坐标，进而求出OM的斜率，由均值不等式可得其取值范围．解：设P（，y），y＞0，所以PA的中点M（，），所以k OM，因为y，所以0，所以k OM∈（0，]，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，及均值不等式的性质，属于中档题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：（）A．若在t1，t2时刻满足：y（t1）＝y（t2），则x（t1）＝x（t2）B．如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【分析】根据图象数形结合，逐一进行分析即可解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y（t）是先上升后下降，而x（t）是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x（t）∈（25，30），y（t）∈（0，50），此时二者总和x（t）+y（t）∈（25，80），由图象可知存在点x（t）＝10，y（t）＝100，x（t）+y（t）＝110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），若与共线，则实数m ＝3．【分析】先求出（m﹣1，3），再由与共线，列方程能求出实数m．解：∵向量（m，1），（1，﹣2），（2，3），∴（m﹣1，3），∵与共线，∴，解得实数m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．在（x）6的展开式中常数项为160．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：在的展开式中的通项公式为T r+1•2r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为•23＝160，故答案为：160．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13．圆心在x轴上，且与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切的圆的方程为（x﹣1）2+y2．【分析】设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，利用圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，即可得出结论．解：设所求圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2，因为圆与直线l1：y＝x和l2：y＝x﹣2都相切，则r，解得a＝1，r，所以圆的方程为（x﹣1）2+y2．故答案为：（x﹣1）2+y2．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，，则CD ＝2，sin∠ABD＝．【分析】根据题意画出图形，利用余弦定理求出CD的值，再利用正弦定理求出sin∠ABD 的值．解：如图所示，等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD；又，所以BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD，即（2CD）2+CD2﹣2•2CD•CD•cos120°，解得CD＝2，所以AD＝6；由，即，解得sin∠ABD．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．15．设函数给出下列四个结论：①对∀a＞0，∃t∈R，使得f（x）＝t无解；②对∀t＞0，∃a∈R，使得f（x）＝t有两解；③当a＜0时，∀t＞0，使得f（x）＝t有解；④当a＞2时，∃t∈R，使得f（x）＝t有三解．其中，所有正确结论的序号是③④．【分析】可取a＝3，由一次函数的单调性和基本不等式，可得f（x）的值域，即可判断①；取a＝0，判断f（x）的单调性，即可判断②；考虑a＜0时，求得f（x）的值域，即可判断③；当a＞2时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及f（x）的图象，即可判断④．解：对于①，可取a＝3，则f（x），当x＜0时，f（x）＝3（x+1）∈（﹣∞，3）；当x≥0时，f（x）＝2x﹣3+23﹣x≥22，当且仅当x＝3时，取得等号，故a＝3时，f（x）的值域为R，∀t∈R，f（x）＝t都有解，故①错误；对于②可取a＝0时，f（x），可得f（x）在R上单调递增，对∀t＞0，f（x）＝t至多一解，故②错误；对于③，当a＜0时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递减，可得f（x）＞a；又x≥0时，x﹣a＞0，即有2x﹣a＞1，可得2x﹣a+2a﹣x＞2，则f（x）的值域为（a，+∞），∀t＞0，f（x）＝t都有解，故③正确；对于④，当a＞2时，x＜0时，f（x）＝a（x+1）递增，可得f（x）＜a；当x≥0时，f （x）＝2x﹣a+2a﹣x≥2，当且仅当x＝a时，取得等号，由图象可得，当2＜t＜3时，f（x）＝t有三解，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查方程的解的个数，注意运用反例法判断命题不正确，以及数形结合思想，考查推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1．（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣B的余弦值的大小．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，得AD∥BC，再由直线与平面平行的判定可得AD∥平面PBC；（Ⅱ）过D作平行于AC的直线Dx，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D ﹣xyz．分别求出平面PCB与平面PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC；（Ⅱ）解：过D作平行于AC的直线Dx，∵AB⊥AC，∴Dx⊥DC，又PD⊥面ABCD，∴以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，2，0），（1，1，0），（0，﹣1，1），设平面PCB的一个法向量为，由，取y＝1，得；取平面PCD的一个法向量．则cos．由图可知，二面角D﹣PC﹣B为钝角，∴二面角D﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和诱导公式化简函数f（x），若满足①，利用最大值求出a的值，写出f（x）的解析式，求出最小正周期；（Ⅱ）令f（x）＝1求得方程的解，根据方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a的值，以下解法均相同．若满足③，利用f（x）的图象过点，代入求出a的值，以下解法均相同．解：（Ⅰ）函数f（x）＝a sin（2x）﹣2cos2（x）＝a sin（2x）﹣cos（2x）﹣1＝a sin（2x）﹣sin（﹣2x）﹣1＝（a+1）sin（2x）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x）﹣1；f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x）＝1，解得2x2kπ，k∈Z；即x kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为Tπ，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．【点评】本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“•”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值．（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于﹣4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，则X的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为0.06；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于﹣4的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），所以X的分布列为X12P所以X的期望为E（X）＝0121；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代．【点评】本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．已知椭圆，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形AF1BF2为正方形，且面积为2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线l1，l2，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c，bc＝2，求得b，再由a，b，c的关系可得a，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得|CD|，|MN|，运用菱形和椭圆的对称性可得l1，l2关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN 的周长为l，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：（Ⅰ）因为四边形AF1BF2为正方形，且面积为2，所以b＝c，且•2c•2b＝2，解得b＝c＝1，a2＝2，所以椭圆的标准方程：y2＝1；（Ⅱ）设l1的方程为y＝kx+m1，C（x1，y1），D（x2，y2），设l2的方程为y＝kx+m2，M（x3，y3），N（x4，y4），联立可得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2＝0，由△＞0可得16k2m12﹣4（1+2k2）（2m12﹣2）＞0，化简可得2k2+1﹣m12＞0，①x1+x2，x1x2，|CD|•|x1﹣x2|•••，同理可得|MN|•，因为四边形CDMN为菱形，所以|CD|＝|MN|，所以m12＝m22，又因为m1≠m2，所以m1＝﹣m2，所以l1，l2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以C，M关于原点对称，D，N也关于原点对称，所以且，（2x1，2y1），（2x2，2y2），因为四边形CDMN为菱形，可得•0，即x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）＝0，即（1+k2）x1x2+km1（x1+x2）+m12＝0，可得（1+k2）•km1•m12＝0，化简可得3m12﹣2k2﹣2＝0，设菱形CDMN的周长为l，则l＝4|CD|•4，当且仅当2+2k2＝1+4k2，即k2时等号成立，此时m12＝1，满足①，所以菱形CDMN的周长的最大值为4．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，主要考查化简运算能力和推理能力，属于难题．20．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈一、选择题）．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，求f（x）在区间（0，2a]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（Ⅱ）先把f（x）有两个极值点转化为方程2a有两个不等的正根，再利用数形结合求出a的取值范围；（Ⅲ）先利用导函数的符号判断f（x）在区间（0，2a]上的单调性，进而解决其最小值．解：∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax．（Ⅰ）当a＝1时，f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x；（Ⅱ）∵若f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax＝0有两个不等的正根，即2a两个不等的正根．令g（x），x＞0，g′（x），令g′（x）＝0⇒x＝1，当x∈（0，1）时g′（x）＞0，此时g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时g′（x）＜0，此时g（x）单调递减；且g（1）＝1，故0＜2a＜1，解得：a∈（0，）．（Ⅲ）∵f（x）＝x（lnx﹣ax），∴f′（x）＝1+lnx﹣2ax，f″（x）2a，∵a＞1，x∈（0，2a]，令f″（x）＝0⇒x，当x∈（0，）时，f″（x）＞0，此时f′（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f″（x）＜0，此时f′（x）单调递减，故f′（x）max＝f′（）＝﹣ln（2a）＜0，∴f（x）在（0，2a]上单调递减，故f（x）在（0，2a]上的最小值为f（2a）＝2a[ln（2a）﹣2a2]．【点评】本题主要考查曲线的切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道有难度的题．21．数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，对于给定的t（t＞1，t∈N+），记满足不等式：x n﹣x t≥t*（n﹣t）（∀n∈N+，n≠t）的t*构成的集合为T（t）．（Ⅰ）若数列A：x n＝n2，写出集合T（2）；（Ⅱ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）均为相同的单元素集合，求证：数列x1，x2，…，x n，…为等差数列；（Ⅲ）如果T（t）（t∈N+，t＞1）为单元素集合，那么数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．【分析】（Ⅰ）推导出n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，由此能求出T（2）为[3，5]．（Ⅱ）T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a．当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），由此能证明数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j ﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），从而a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，1＜i＜j，则t i≤t j，推导出t2＝t3＝t4＝t5＝…，由此能证明数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．解：（Ⅰ）由于A：，T（2）为满足不等式（n﹣t）（∀n∈N+）的t*构成的集合，∴n2﹣4≥t*（n﹣2）（∀n∈N+，n≠t），当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，∴5≥t*，当n＝1时，上式可化为3≤t*，∴T（2）为[3，5]．（Ⅱ）证明：对于数列A：x1，x2，x3，…，x n，…，若T（t）（∀t∈N+，t＞l）中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列，当n＝t+1时，有x t+1﹣x t≥a，（∀t＞1），①当n＝t﹣1时，有x t﹣x t﹣1≤a（∀t＞1），②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴x t+1﹣x t＝a（∀t＞1）成立，∴数列x1，x2，…，x n，…为等差数列．（Ⅲ）对于数列A：x1，x2，…，x n，…，不妨设T（i）＝{a}，T（j）＝{b}，1＜i＜j，a≠b，由T（i）＝{a}，知x j﹣x i≥a（j﹣i），由T（j）＝{b}，知：x i﹣x j≥b（i﹣j），即x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a（j﹣i）≤x j﹣x i≤b（j﹣i），∴a≤b．设T（i）＝{t i}，则t2≤t3≤…≤t n≤…，这说明1＜i＜j，则t i≤t j，∵对于数列A：x1，x2，…，x n，…，T（t）（∀t∈N+，t＞1）中均只有一个元素，首先考察t＝2时的情况，不妨设x2＞x1，∵x2﹣x1≤t2，又T（2）为单元素集，∴x2﹣x1＝t2，再证t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3＝x3﹣x2，证明如下：由t3的定义可知：t3≥x3﹣x2，，∴，由t2的定义可知x3﹣x2≥t2＝x2﹣x1，∴t3≥x3﹣x2，∴x3﹣x2＝t3，∵t3＞t2，∴t3＝x3﹣x2＞t2，则存在正整数m（m≥4），使得（m﹣2）t2＝x m﹣x2，③∵x2﹣x1＝t2≤x3﹣x2≤t3≤x4﹣x3≤…≤x k﹣x k﹣1≤…∴x m﹣x2（m﹣2）t2，这与③矛盾，∴t3＝t2，同理可证t2＝t3＝t4＝t5＝…，∴数列x1，x2，…，x n，…还是等差数列．【点评】本题考查集合的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列的判断与证明，考查推理论主能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是_______（用数字作答）．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=_______；a2+a6+a10+…+a4n+10=_______．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为_______．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是_______．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是_______．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为_______（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i是虚数单位，=（）A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．【解答】解：===1+i，故选C．2．已知全集U=R，函数y=ln（x﹣1）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由x﹣1＞0，解得：x＞1，故函数y=ln（x﹣1）的定义域为M=（1，+∞），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴∁U N={x|x≥1或x≤0}，∴M⊆（∁U N），故选：D．3．“”是“e a＞e b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”等价于a＞b，可得“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．即可判断出结论．【解答】解：∵“”⇔a＞b⇒“e a＞e b”，反之不成立，例如取a=2，b=﹣1．∴“”是“e a＞e b”的充分不必要条件．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．8．若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，进而得到此时圆的半径，结合图象即可得到所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0，化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令10﹣3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．10．已知等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；a2+a6+a10+…+a4n+10=（n+3）（4n+11）．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）中，a1=1，a4=7，∴a4=1+3d=7，解得d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a2=1+2=3，a6=1+5×2=11，a6﹣a2=8，∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=（n+3）（4n+11）．故答案为：2n﹣1，（n+3）（4n+11）．11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2+y2=2，曲线C2的参数方程为（t 为参数）．以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点的极坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】将曲线C2的参数方程代入曲线C1的方程，可得t=1，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，求得ρ，θ，即可得到所求坐标．【解答】解：将曲线C2的参数方程（t为参数）代入曲线C1的方程为x2+y2=2，可得（2﹣t）2+t2=2，解得t=1，可得交点的直角坐标为（1，1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=，可得ρ==，tanθ=1，0＜θ＜，可得θ=．可得交点的极坐标为（，）．故答案为：（，）．12．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域图示：因为y=a（x+1）过定点C（﹣1，0）．当a≤0时，直线y=a（x+1）与区域D有公共点，满足条件．当a＞0时，当直线y=a（x+1）过点A时，由公共点，由得，即A（3，3），代入y=a（x+1）得4a=3，a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．此时0＜a≤．综上所述，a≤．故答案为：．13．已知M为△ABC所在平面内的一点，且．若点M在△ABC的内部（不含边界），则实数n的取值范围是（0，）．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意可作出图形，将，带入并进行向量的数乘运算便可以得出，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义便可得到，从而便可得出实数n的取值范围．【解答】解：如图，由得：；∴；∴；∴；∴；∴实数n的取值范围是．故答案为：．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i（i=1，2，…，12）项能力特征用x i表示，，若学生A，B的十二项能力特征分别记为A=（a1，a2，…，a12），B=（b1，b2，…，b12），则A，B两名学生的不同能力特征项数为（用a i，b i表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为22．【考点】函数模型的选择与应用；分段函数的应用．【分析】根据A，B两名学生的每一项的特征数是否相同，进行求解计算即可．【解答】解：若第i（i=1，2，…，12）项能力特征相同，则差为0，特征不相同，绝对值为1，则用x i表示A，B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=，设第三个学生为C=（c1，c2，…，c12），则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|，1≤i≤12，∵d i的奇偶性和（a i﹣b i）+（b i﹣c i）+（c i﹣a i）=0一样，∴d i是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数，又S≥7×3=21．则S≥22，取A=（0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1），B=（1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1），C=（1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，1），则不同能力特征数总和恰好为22，∴最小值为22，故答案为：，22三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数，ω＞0．（Ⅰ）若ω=1，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最小正周期T的表达式并指出T的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当ω=1时，利用两角和与差以及二倍角公式化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间．（Ⅱ）化简函数的解析式为：f（x）=．通过，求出．然后求解T的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当ω=1时，==．令．解得．所以f（x）的单调递增区间是．…（Ⅱ）由==．因为，所以．则，n∈Z．解得．又因为函数f（x）的最小正周期，且ω＞0，所以当ω=时，T的最大值为4π．…16．为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如表．1 2 3 4 5男生 1 4 3 2 2女生0 1 3 3 1（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由此能求出这两名学生阅读名著本数之和为4的概率．（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4．由题意可知，．…（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4．由题意可得，，，，．所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值．…（Ⅲ）．…17．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1∥AB，AB=AA1=2A1B1=2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；1（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥AB．结合AC⊥AA1，证明AC⊥平面AA1B1B．推出A1C1⊥平面AA1B1B．即可证明A1C1⊥AP．（Ⅱ）以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABM的一个法向量，平面APM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一个法向量，求出，利用．求出λ，即可证明结果．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB=∠A1AC=90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC=90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量=（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为=（x，y，z），由，得取y=2，得=（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以===．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）=λ（0，﹣1，2），所以x1=0，y1=2﹣λ，z1=2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得取y0=1，得（显然λ=0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…18．已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，函数的导函数，通过（1）当a≥0时，（2）当a ＜0时，当0＜x＜﹣a时，当x＞﹣a时，导函数的符号，判断函数的单调性．（Ⅱ）（1）当﹣a≤1时，（2）当1＜﹣a＜2时，（3）当﹣a≥2时，分别求解函数的最值．（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数（x＞0），求出导函数，（1）当a＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0．（2）当a＞0时，类比求解，推出当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．．（1）当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a．当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．综上所述，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，﹣a），单调递增区间为（﹣a，+∞）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当﹣a≤1时，即a≥﹣1时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以在区间[1，2]上，f（x）min=f（1）=1，显然函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零；（2）当1＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在[1，﹣a）上为减函数，在（﹣a，2]上为增函数，所以f（x）min=f（﹣a）=﹣a+aln（﹣a）．依题意有f（x）min=﹣a+aln（﹣a）＞0，解得a＞﹣e，所以﹣2＜a＜﹣1．（3）当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以f（x）min=f（2）=2+aln2．依题意有f（x）min=2+aln2＞0，解得，所以．综上所述，当时，函数f（x）在区间[1，2]上恒大于零．…（Ⅲ）设切点为（x0，x0+alnx0），则切线斜率，切线方程为．因为切线过点P（1，3），则．即．…①令（x＞0），则．（1）当a＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当a＜0时，切线的条数为0．（2）当a＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取，则．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取，则=．设，u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立．所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．（3）当a=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当a＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当a≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．…19．已知点和椭圆C：．（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线l：与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线PA，PB 与x轴分别交于M，N两点，求证：|PM|=|PN|．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的方程，求出a，b，c．通过椭圆的定义求解三角形的周长，求解椭圆的离心率．（Ⅱ）联立，利用直线l与椭圆C有两个交点，求出﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，求解AB坐标，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，推出k1+k2=0，即可证明|PM|=|PN|．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，a2=4，b2=2，所以c2=2．因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4．所以△PF1F2的周长为．易得椭圆的离心率．…（Ⅱ）证明：由得．因为直线l与椭圆C有两个交点，并注意到直线l不过点P，所以解得﹣4＜m＜0或0＜m＜4．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，．显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，则======．因为k1+k2=0，所以∠PMN=∠PNM．所以|PM|=|PN|．…20．已知等差数列{a n}的通项公式．设数列{b n}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{b n}的公比最小，（ⅰ）写出数列{b n}的前4项；（ⅱ）求数列{k n}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）（ⅰ）写出数列{a n}的前若干项，观察可得等比数列{b n}的公比最小为4，即可得到所求；（ⅱ）由（ⅰ）可知{b n}的通项公式，由等差数列的通项公式可得．证明k n为正整数即可；（Ⅱ）设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，求出c1，c2，求得公比q，只要证是数列{a n}的项，运用归纳法，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）观察数列{a n}的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…．因为数列{a n}是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4．（ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128．（ⅱ）由（ⅰ）可知b1=2，公比q=4，所以．又，所以，即．再证k n为正整数．显然k1=1为正整数，n≥2时，，即，故为正整数．所以，所求通项公式为；（Ⅱ）证明：设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列{c n}各项为整数，所以q为整数．取k2=5m+2（m∈N*），则q=3m+1，故．只要证是数列{a n}的项，即证3k n﹣1=5•（3m+1）n﹣1．只要证（n∈N*）为正整数，显然k1=2为正整数．又n≥2时，，即，又因为k1=2，5m（3m+1）n﹣2都是正整数，故n≥2时，k n也都是正整数．所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，其公比q=3m+1有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个．2020年9月12日。

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2020年9月3日。

2020年北京市西城区高考数学一模试卷（二）（有答案解析）

2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）（有答案解析）2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B=（）A. {-3，-1}B. {-3，-1，3}C. {1，3}D. {-1，1}2.若复数，则在复平⾯内z对应的点位于（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的k值为（）A. 4B. 5C. 7D. 94.下列直线中，与曲线C：没有公共点的是（）A. 2x+y=0B. 2x+y-4=0C. 2x-y=0D. 2x-y-4=05.设a，b，m均为正数，则“b＞a”是“”的（）A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，阴影表⽰的平⾯区域W是由曲线x-y=0，x2+y2=2所围成的．若点P（x，y）在W内（含边界），则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为（）A. ，-7B. ，C. 7，D. 7，-77.购票⼈数1~5051~100100以上门票价格13元/⼈11元/⼈9元/⼈现某单位要组织其市场部和⽣产部的员⼯游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需⽀付门票费为1290元；若两个部门合在⼀起作为⼀个团体，同⼀时间购票游览公园，则需⽀付门票费为990元，那么这两个部门的⼈数之差为（）A. B. C. D.8.如果把⼀个平⾯区域内两点间的距离的最⼤值称为此区域的直径，那么曲线围成的平⾯区域的直径为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共30.0分）9.在等⽐数列{a n}中，a2=1，a5=8，则数列{a n}的前n项和S n=______．10.设F1，F2为双曲线的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离⼼率为______．11.函数f（x）=sin2x+cos2x的最⼩正周期T=______；如果对于任意的x∈R都有f（x）≤a，那么实数a的取值范围是______．12.某四棱锥的三视图如图所⽰，那么该四棱锥的体积为______．13.能说明“若sinα=cosβ，则α+β=k?360°+90°，其中k∈Z”为假命题的⼀组α，β的值是______．14.如图所⽰，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表⽰数2，右侧的每个算珠表⽰数1（允许⼀侧⽆珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c．例如，图中上档的数字和a=9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有______种．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80.0分）15.在△ABC中，已知a2+c2-b2=mac，其中m∈R．（Ⅰ）判断m能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若m=-1，，c=4，求sin A．16.如图，在多⾯体ABCDEF中，梯形z与平⾏四边形D-xyz所在平⾯互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BE，，．（Ⅰ）求证：BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．17.为培养学⽣的阅读习惯，某校开展了为期⼀年的“弘扬传统⽂化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、⼄两组各10名学⽣的阅读量（单位：本），统计结果⽤茎叶图记录如下，⼄组记录中有⼀个数据模糊，⽆法确认，在图中以a表⽰．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值⼤于⼄组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、⼄两组中阅读量超过15本的学⽣称为“阅读达⼈”．设a=3，现从所有“阅读达⼈”⾥任取3⼈，求其中⼄组的⼈数X的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的⽅差为s02．在甲组中增加⼀名学⽣A得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的⽅差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的⽅差为s22，试⽐较s02，s12，s22的⼤⼩．（结论不要求证明）18.设函数f（x）=me x-x2+3，其中m∈R．（Ⅰ）当f（x）为偶函数时，求函数h（x）=xf（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点，求m的取值范围．19.已知椭圆W：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（n，0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．（Ⅰ）当n=0，且直线CD⊥x轴时，求四边形ACBD的⾯积；（Ⅱ）设n=1，直线CB与直线x=4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．20.如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n⾏n列的数表，其中a ij（i，j=1，2，…，ij∈{1，-1}．a11a12 (1)a21a22 (2)…?a n1a n2…a nn定义p st=a s1a t1+a s2a t2+…+a sn a tn（s，t=1，2，…，n）为第s⾏与第t⾏的积．若对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时，试写出⼀个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10⾏10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n⾏n列的完美数表，且对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，证明：kl≤n．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，则?U A={x|x≤0或x≥2}⼜由B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B={-3，-1，3}；故选：B．根据题意，由补集的定义求出集合?U A，进⽽由交集的定义分析可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵=，∴在复平⾯内z对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：当k=1时，S==-3，k=3，S＜2成⽴，S==-，k=5，S＜2成⽴，S=，k=7，S＜2成⽴，S=，k=9，S＜2不成⽴，输出，k=9，故选：D．根据程序框图进⾏模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利⽤模拟运算是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：曲线C参数⽅程为：，①×2-②得，2x-y-4=0，故曲线C为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C，D．⽽D与曲线C重合，有⽆数个公共点，排除．故选：C．通过C的参数⽅程，得到C的普通⽅程2x-y-4=0，再根据直线与直线的位置关系，可得．本题考查了直线的参数⽅程，直线与直线的位置关系，为基础题．5.答案：C解析：解：∵a，b，m均为正数，∴由得b（a+m）＞a（b+m），即ab+bm＞ab+am，即bm＞am，∵m是正数，∴b＞a，反之也成⽴，所以“b＞a”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式关系是解决本题的关键．6.答案：A解析：解：由题意可知直线平移直线0=4x+3y，当直线经过A上取得最⼩值，平移到与x2+y2=2相切于B时，取得最⼤值，B（-1，-1），最⼩值为：-7；由可得：25x2-8zx+z2-18=0，△=64z2-4（z2-8）×25=0，解得z=5，z=（舍去），所以则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为：5；-7．故选：A．利⽤已知条件平移直线0=4x+3y，判断最优解，求解⽬标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应⽤，考查转化思想以及计算能⼒．7.答案：B解析：解：∵990不能被13整除，∴两个部门⼈数之和：a+b≥51，（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）=990得：a+b=90，①由共需⽀付门票费为1290元可知，11a+13b=1290 ②解①②得：b=150，a=-60，不符合题意．（2）若a+b≥100，则9 （a+b）=990，得a +b=110 ③由共需⽀付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b=1290 ④，解③④得：a=70⼈，b=40⼈故两个部门的⼈数之差为70-40=30⼈，故选：B．根据990不能被13整除，得两个部门⼈数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程组进⾏求解即可．本题主要考查函数的应⽤问题，结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程是解决本题的关键．考查学⽣分析问题的能⼒．8.答案：B解析：解：曲线x4+y2=2围成的平⾯区域，关于x，y轴对称，设曲线上的点P（x，y），可得|OP|==≤．所以曲线x4+y2=2围成的平⾯区域的直径为：3．故选：B．利⽤曲线的对称性，设出点的坐标，通过距离公式以及⼆次函数的性质求解最值即可．本题考查曲线与⽅程的应⽤，新定义的应⽤．考查转化思想以及计算能⼒．9.答案：解析：解：∵a2=1，a5=8∴a5=a2q3，即q3==8，即q=2，⾸项a1=，则数列{a n}的前n项和S n==2n-1-，故答案为：2n-1-．根据等⽐数列的通项公式，求出⾸项和公⽐，结合等⽐数列的前n项和公式进⾏计算即可．本题主要考查等⽐数列前n项和的计算，结合通项公式求出⾸项和公⽐是解决本题的关键．10.答案：3解析：解：双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，可得2a=?2c，则c=3a，即e==3．故答案为：3．由题意可得2a=?2c，结合离⼼率公式，可得所求值．本题考查双曲线的⽅程和性质，主要是离⼼率的求法，考查运算能⼒，属于基础题．11.答案：π解析：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），即函数的周期T==π，若对于任意的x∈R都有f（x）≤a，则a≥f（x）max，即当sin（2x+）=1时，f（x）取得最⼤值，最⼤值为，即f（x）max=，则a≥，故答案为：π，a≥．利⽤辅助⾓公式，结合周期公式进⾏求解，不等式f（x）≤a等价为a≥f（x）max，进⾏求解即可．本题主要考查三⾓函数的性质的应⽤，利⽤辅助⾓公式进⾏化简是解决本题的关键．12.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解⼏何体的体积，判断⼏何体的形状是解题的关键，属于基础题．画出⼏何体的直观图，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积．【解答】解：⼏何体的直观图如图：是底⾯是长为2，宽为1的长⽅形，⾼为2的四棱锥，故四棱锥的体积为：×1×2×2=．故答案为．13.答案：α=110°，β=20°解析：解：若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），命题中α=k?360°+90°-β，（k∈Z），要否定命题，只须从α=k? 360°+90°+β（k∈Z）中找⼀个反例即可，如α=110°，β=20°，（答案不唯⼀，再如α=120°，β=30°等，只要满⾜α=k? 360°+90°+β（k∈Z）且α≠k?360°+90°-β（k∈Z）即可作为反例．故填：α=110°，β=20°．若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），⽽命题中只给出了α=k?360°+90°-β（k∈Z）的情况，故可从另⼀种情况中找反例．本题考查了三⾓函数的值及三⾓函数的性质、诱导公式等知识，属于基础题．14.答案：32解析：解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d范围是-3到3，①当公差d=0时，有=8种，②当公差d=±1时，b不取7和14，有2=12种，③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2=8种，④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2=4种，综上共有8+12+8+4=32种，故填：32a，b，c的取值范围都是从7～14，可以根据公差d的情况进⾏讨论．本题考查排列、组合的应⽤，要表⽰的有3项，做题时容易找不到切⼊点，本题应考虑等差中项的选取⽅法，属于中档题．15.答案：解：（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得．这与cos B∈[-1，1]⽭盾，所以m不可能等于3．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以．因为，c=4，a2+c2-b2=-ac，所以a2+16-28=-4a，解得a=-6（舍）或a=2.在△ABC中，由正弦定理，得．解析：本题考查了正弦定理余弦定理的应⽤，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，化简求得cos B，即可判断出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，可得B．由，c=4，a2+c2-b2=-ac，解得a，再利⽤正弦定理即可得出．16.答案：解：（Ⅰ）由底⾯ABCD为平⾏四边形，知AB∥CD，⼜因为AB?平⾯CDE，CD?平⾯CDE，所以AB∥平⾯CDE．………………（2分）同理AF∥平⾯CDE，⼜因为AB∩AF=A，所以平⾯ABF∥平⾯CDE．……………（3分）⼜因为BF?平⾯ABF，所以BF∥平⾯CDE．………………（4分）（Ⅱ）连接BD，因为平⾯ADEF⊥平⾯ABCD，平⾯ADEF∩平⾯ABCD=AD，DE⊥AD，所以DE⊥平⾯ABCD．则DE⊥DB．⼜因为DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，所以AD⊥平⾯BDE，则AD⊥BD．故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建⽴空间直⾓坐标系，………………（6分）则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），E（0，0，2），F （1，0，1），所以，，=（0，1，0）为平⾯DEF的⼀个法向量．设平⾯BEF的⼀个法向量为=（x，y，z），由=0，?=0，得令z=1，得=（1，2，1）．………………（8分）所以cos＜，＞==．如图可得⼆⾯⾓B-EF-D为锐⾓，所以⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值为．………………（10分）（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF．………………（11分）证明如下：设，所以．设平⾯CDQ的法向量为=（a，b，c），⼜因为，所以，=0，即………………（12分）若平⾯CDQ⊥平⾯BEF，则=0，即a+2b+c=0，………………（13分）解得．所以线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF，且此时．……（14分）解析：（Ⅰ）根据⾯⾯平⾏的性质定理先证明平⾯ABF∥平⾯CDE即可证明BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）建⽴空间坐标系，求出两个平⾯的法向量，利⽤向量法求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）根据⾯⾯垂直与向量之间的关系转化为向量进⾏求解．本题主要考查空间直线和平⾯，平⾯和平⾯位置关系的判定，利⽤相应定理或者建⽴空间坐标系，利⽤向量法是解决本题的关键．17.答案：（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学⽣阅读量的平均值为，⼄组10名学⽣阅读量的平均值为．………………（2分）由题意，得，即a＜2．………………（3分）故图中a的取值为0或1．………………（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．由题意，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3．………………（5分）且，，．……（8分）所以随机变量X的分布列为：X123P………………（9分）所以．………………（10分）（Ⅲ）．………………（13分）解析：（Ⅰ）由茎叶图分别求出甲组10名学⽣阅读量的平均值和⼄组10名学⽣阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、⽅差等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即me-x-（-x）2+3=me x-x2+3对于任意实数x都成⽴，所以m=0．此时h（x）=xf（x）=-x3+3x，则h'（x）=-3x2+3．由h'（x）=0，解得x=±1,当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所⽰：x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）h'（x）-0+0-h（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以（）在（，），（，）上单调递减，在（，）上单调递增,所以h（x）有极⼩值h（-1）=-2，h（x）有极⼤值h（1）=2．（Ⅱ）由f（x）=me x-x2+3=0，得．所以“f（x）在区间[-2，4]上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对函数g（x）求导，得．由g'（x）=0，解得x1=-1，x2=3．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表所⽰：x（-2，-1）-1（-1，3）3（3，4）g'（x）-0+0-g（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以g（x）在（-2，-1），（3，4）上单调递减，在（-1，3）上单调递增．⼜因为g（-2）=e2，g（-1）=-2e，，，所以当或时，直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点．即当或时，函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点.解析：（Ⅰ）先求出m的值，再求函数的导数，得到函数的单调区间，从⽽求出函数的极值；（Ⅱ）由已知可得，命题等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对g（x）求导，得到函数的单调区间，分类讨论即可得解．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应⽤，考查换元思想、分类讨论思想，解题时仔细谨慎，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，得a2=4m=4，解得m=1．所以椭圆W⽅程为．当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，所以四边形ACBD的⾯积为．（Ⅱ）当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的⽅程为x=1，代⼊椭圆W的⽅程，得，，易得CB的⽅程为．则，，，所以，即A，D，M三点共线．当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．由题意，得△＞0恒成⽴，故，．直线CB的⽅程为．令x=4，得．⼜因为A（-2，0），D（x2，y2），则直线AD，AM的斜率分别为，，所以．上式中的分⼦===0，所以k AD-k AM=0．所以A，D，M三点共线．解析：（Ⅰ）当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，可得⾯积．（Ⅱ）分斜率是否存在讨论，①当直线CD的斜率k不存在时，求出A，M，C，D坐标，⽤向量法易证A，D，M三点共线．②当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．将k AM，k AD表⽰为含有k的算式，可以证k AM，k AD相等．故A，D，M 三点共线．本题考查椭圆的⽅程和性质，主要考查椭圆⽅程的运⽤，注意联⽴直线⽅程，运⽤韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线CD斜率是否存在讨论，属于中档题．20.答案：（Ⅰ）解：由题意，可写出如下的完美数表：11-11+a12a22=1×（-1）+1×1=0，121121∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10⾏10列的完美数表A．根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何⼀列的数变为其相反数（即+1均变为-1，⽽-1均变为+1），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表．完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三⾏可以为如下形式：1...11...11...11 (1)1…11…1-1…-1-1…-11…1-1…-11…1-1…-1在这个新数表中，设前三⾏中的数均为1的有x列，前三⾏中“第1，2⾏中的数为1，且第3⾏中的数为-1”的有y列，前三⾏中“第1，3⾏中的数为1，且第2⾏中的数为-1”的有z列，前三⾏中“第1⾏中的数为1，且第2，3⾏中的数为-1”的有w列（如上表所⽰），则x+y+z+w=10①由p12=0，得x+y=z+w；②由p13=0，得x+z=y+w；③由p23=0，得x+w=y+z．④解⽅程组①，②，③，④，得．这与x，y，z，w∈N⽭盾，所以不存在10⾏10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l⾏中的数的和a11+a21+…+a l1=X1，第2列前l⾏中的数的和a12+a22+…+a l2=X2，……，第n列前l ⾏中的数的和a1n+a2n+…+a ln=X n，∵对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，∴．⼜∵对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，∴．⼜∵，∴ln≥l2k，即kl≤n．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题⽬的意思先写出⼀个完美数表，然后⽤P12是否等于0来验证；第（Ⅱ）题可先假设这样的10⾏10列的完美数表是存在的，然后根据完美数表的特点进⾏适当变换，观察完美数表中1与-1的个数再与题⼲中的验证公式去验证，最终得到⽭盾的结论，命题得证；第（Ⅲ）题先设出每⾏中1的个数，然后根据题⼲中结论的任意性来证明结论成⽴．本题第（Ⅰ）题主要考查对题意的阅读理解能⼒；第（Ⅱ）题主要考查联系矩阵的特点对完美数表的规律的认识；第（Ⅲ）题主要考查对完美数表元素1的个数特点证明．本题是⼀道较难的偏难题．。

2020年北京市西城区高考数学二模试卷（解析版）

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（?U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．设复数z＝1+i，则??2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i3．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x4．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，则cos B＝（）A．34B．√34C．√74D．3√345．函数f（x）＝x-1是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R6．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A．2B．2√??C．2√??D．4 7．设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．1＜1??＜1??C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对8．设向量→，→满足|??→|＝|??→|＝1，??→???→=12，则|??→+x??→|（x∈R）的最小值为（）A．√52B．√32C．1D．√??9．设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的?ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在（1+5x）6的展开式中，x的系数为．12．在等差数列{a n}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝；使得数列{a n}前n项的和S n取到最大值的n＝．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．14．能说明“若m（n+2）≠0，则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是．15．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论：①f（﹣1）=-12；②当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2）同时满足下列四个条件中的三个：）＝0．①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（-6（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，F．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t=，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由．19．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞-2??．20．已知椭圆E：22+??2??2=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），离心率为√32．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点（不在坐标轴上），直线CD交x轴于点P，Q为直线AD上一点，且→→=4，求证：C，B，Q三点共线．21．如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i，j ≥b i+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）．表1a1，1a1，2…a1，20a2，1a2，2…a2，20…………a40，1a40，2…a40，20表2b1，1b1，2…b1，20b2，1b2，2…b2，20…………b40，1b40，2…b40，20（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的b i，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（Ⅱ）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b i，j﹣b i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b m，n﹣b m，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；（Ⅲ）若a i，1+a i，2+…+a i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i ≥k，都有b i，1+b i，2+…+b i，20≤19成立．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（?U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【分析】进行补集和并集的运算即可．解：U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴?U A＝{x|x≥2}，（?U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）．故选：D．2．设复数z＝1+i，则??2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i【分析】由z求得??，利用两数和的平方公式展开即可得出．解：∵z＝1+i，∴??2＝（1﹣i）2＝﹣2i．故选：A．3．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x【分析】根据题意，设要求抛物线的标准方程为y2＝2px，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案．解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为y2＝2px，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选：D．4．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，则cos B＝（）A．34B．√34C．√74D．3√34【分析】由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cosB的值．解：∵在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，∴由正弦定理=??，可得sinB==3×122=34，∴由B为锐角，可得cos B=√??-??=√74．故选：C．5．函数f（x）＝x-1是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x-1，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（1 -??）＝﹣（x-1）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+12，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．6．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A．2B．2√C．2√??D．4【分析】首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．解：令y＝0，则圆的方程转换为x2+4x+1＝0，所以x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，所以|=|??-????|=√(????+????)-??????=??√??．故选：B．7．设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．1＜1??＜1??C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．解：设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，所以对于选项A：当a＝3，b＝2，c＝1时，a﹣b＝b﹣c＝1，故错误．对于选项B：当a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2时，1无意义，故错误．对于选项C：由于a＞c，b＞c，所以a+b＞2c，故正确．对于选项D：由于C正确，所以选项D错误．故选：C．8．设向量→，→满足|??→|＝|??→|＝1，??→???→=12，则|??→+x??→|（x∈R）的最小值为（）A．√52B．√32C．1D．√??【分析】两边平方，得出|→+x→|2关于x的二次函数，从而得出最小值．解：|→+x →|2=??→+2x??→→+x2??→=x2+x+1＝（x+12）2+34，∴当x=-12时，|→+x→|取得最小值√34=√32．故选：B．9．设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】对于任意的m∈N*，a m+2＞a m，即a m（q2﹣1）＞0．可得：{＞-??＞??，{????＜??????-??＜??，任意的m∈N*，解出即可判断出结论．解：对于任意的m∈N*，a m+2＞a m，即a m（q2﹣1）＞0．∴{＞-??＞??，{????＜??????-??＜??，任意的m∈N*，∴{＞??＞??，或{????＜????＜??＜??．∴“{a n}为递增数列”，反之也成立．∴“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的充要条件．故选：C．10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的?ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在（1+5x）6的展开式中，x的系数为30．【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数．解：展开式的通项公式为：T r+1=????16﹣r?（5x）r＝5r???????x r；令x的指数为1，即r＝1；∴x2＝的系数为：5C61＝30；故答案为：30．12．在等差数列{a n}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝9；使得数列{a n}前n项的和S n 取到最大值的n＝5．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d．可得a n．令a n≥0，解得n即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1＝9，d＝﹣2．∴a n＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n．令a n＝11﹣2n≥0，解得n≤112=5+12．∴使得数列{a n}前n项的和S n取到最大值的n＝5．故答案为：9，5．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为4+4√??．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体．如图所示：所以=??×??+??×12×??×√??+??=4+4√??．故答案为：4+4√．14．能说明“若m（n+2）≠0，则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是答案不唯一，m＝4，n＝2．【分析】由题意可得满足m＝n+2＞0或者m＜0，n+2＜0即可，任意取满足m，n的值即可．解：则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值为：满足m＝n+2＞0即可，可取m＝4，n＝2，故答案为：m＝4，n＝2．15．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论：①f（﹣1）=-12；②当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z．其中，所有正确结论的序号是①②．【分析】由题意可得函数f（x）的大致图象，可判断出所给命题的真假．解：①因为函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3，所以f（﹣1）=12f（﹣1+2）=12f（1）=12?（21﹣3）=-12；所以①正确；f（x）的大致图象如图所示可得当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；所以②正确因为x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3﹣0时，x＝log23，又因为f（x+2）＝2f（x），所以函数f（x）由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，可得BC 1∥DE ，再由直线与平面平行的判定得到BC 1∥平面AB 1D ；（Ⅱ）由CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，得CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1D 的一个法向量与→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，由ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，得A 1E ＝BE ．又∵D 是A 1C 1的中点，∴BC 1∥DE ．∵BC 1平面AB 1D ，DE ?平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（Ⅱ）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴→=(-??，??，??)，??????→=(??，-??，??)，→=(??，-??，??)．设平面AB 1D 的法向量为→=(??，??，??)，由{→?→=-++=??→??→=??-=??，取y ＝1，得??→=(??，??，??)；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ．则sin θ＝|cos ＜→，→＞|=|??→→||??→|?|→|=√66．∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为√66．17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2）同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（-6）＝0．（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则由f（0）＝A sinφ＝﹣1，推出与A＞0，0＜φ＜2矛盾，可得函数f（x）不能满足条件③，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（-6）＝0，结合范围0＜φ＜??2，可求φ=??3，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则f（0）＝Asinφ＝﹣1，这与A＞0，0＜φ＜2矛盾，故函数f（x）不能满足条件③，所以函数f（x）只能满足条件①，②，④，由条件①，可得2?? |??|=π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（-6）＝2sin（-??3+φ）＝0，又因为0＜φ＜2，所以φ=3，所以f （x ）＝2sin （2x+3）．（Ⅱ）由2k π-2≤2x+??3≤2k π+??2，k ∈Z ，可得：-5??12+k π≤x ≤??12+k π，k ∈Z ，可得f （x ）的单调递增区间为[-5??12+k π，12+k π]，k ∈Z ．18．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F ．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t =，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由．【分析】（I ）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（II ）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（III ）根据样本是否具有普遍性进行判断．解：（I ）t A =9196＞0.9，t B =8491＞0.9，t C =6985＜0.9，t D =5474＜0.9，t E =6469＞0.9，t F =6365＞0.9．∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为46=23．（II ）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）=42??2264=25，P （X ＝3）=??43??21??64=815，P （X ＝4）=4464=115，∴X 的分布列为：X 234P25815115E （X ）＝2×25+3×815+4×115=83．（III ）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．19．设函数f （x ）＝axlnx ，其中a ∈一、选择题，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）证明：f （x ）＞-2??．【分析】（I ）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（II ）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（III ）由于f （x ）＞-2??等价于xlnx -??????+2??＞0，结合（II ）可得f （x ）＝xlnx ≥-1??，故只要证明1-????≥??即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证．解：（I ）f ′（x ）＝alnx +a ，则f （1）＝0，f ′（1）＝a ，故取消y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程y ＝a （x ﹣1），把点（3，2）代入切线方程可得，a ＝1，（II ）由（I ）可得f ′（x ）＝lnx +1，x ＞0，易得，当0＜＜1时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞1??时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，故当x =1时，函数取得极小值f （1）=-1??，没有极大值，证明：（III ）f （x ）＞-2??等价于xlnx -??????+2??＞0，由（II ）可得f （x ）＝xlnx ≥-1（当且仅当x =1??时等号成立）①，所以xlnx -+2??≥1??-??????，故只要证明1-????≥??即可，（需验证等号不同时成立）设g （x ）=1-????，x ＞0则??′(??)=??-1????，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，函数单调递增，所以g （x ）≥g （1）＝0，当且仅当x ＝1时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当x ＞0时，f （x ）＞-2??．20．已知椭圆E ：22+??2??2=1（a ＞b ＞0）经过点C （0，1），离心率为√32．O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且→→=4，求证：C ，B ，Q 三点共线．【分析】（Ⅰ）由b ＝1，=√32，a 2＝b 2+c 2，解得a ，c ，进而得出椭圆的方程．（Ⅱ）设D （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），则024+??=1，直线CD 的方程为y =0-1??+??，令y ＝0，得点P 的坐标，设Q （x Q ，y Q ），由→→=4，得x Q =4(1-??0)（显然x Q ≠2），写出直线AD 的方程为y =00+2(??+??)，得Q （4(1-??0)??0，??0(4-4??0+2??0)??0(??0+2)），k BQ =-12．所以kBC ＝k BQ ，即C ，B ，Q 三点共线．解：（Ⅰ）由题意，得b ＝1，=√32，又因为a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，c =√??，故椭圆E 的方程为24+??=??．（Ⅱ）A （﹣2，0），B （2，0），设D （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），则024+????=1，所以直线CD 的方程为y =0-10??+??，令y ＝0，得点P 的坐标为（01-??0，0），设Q （x Q ，y Q ），由→→=4，得x Q =4(1-??0)（显然x Q ≠2），直线AD 的方程为y =0+2(??+??)，将x Q 代入，得y Q =0(4-4??0+2??0)0(??0+2)，即Q （4(1-??0)0，??0(4-4??0+2??0)??0(??0+2)），故直线BQ 的斜率存在，且k BQ =-2=0(4-4??0+2??0)(??0+2)(4-4??0-2??0)=2??0-2??02+??0??04??02-2??0??0-4??0=-12．又因为直线BC 的斜率k BC =-12，所以k BC ＝k BQ ，即C ，B ，Q 三点共线．21．如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j≥b i+1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）．表1a 1，1a 1，2…a 1，20a 2，1a 2，2…a 2，20…………a 40，1a 40，2…a 40，20表2 b 1，1b 1，2…b 1，20b 2，1b 2，2…b 2，20…………b 40，1b 40，2…b 40，20（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（Ⅱ）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b i，j﹣b i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b m，n﹣b m，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；（Ⅲ）若a i，1+a i，2+…+a i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有b i，1+b i，2+…+b i，20≤19成立．【分析】（Ⅰ）直接利用表格求出结果．（Ⅱ）利用行列式的变换的应用求出结果．（Ⅲ）利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论．【解答】解（Ⅰ）存在表1，使得b i，j＝100﹣i﹣j，不存在表1，使得，??=??+??-??．证明：（Ⅱ）因为对于任意的i＝1，2，3，…39，j＝1，2，…20，都有b i，j﹣b i﹣1，j≥1．所以b1，20﹣b2，20≥1，b2，20﹣b3，20≥1，b39，20﹣b40，20≥1．所以（b1，20﹣b2，20）+（b2，20﹣b3，20）+（b39，20﹣b40，20）≥39．，即b1，20≥b20，40+39＝40．由于m＝1，2，…40，n＝1，2，3，…19，都有b m，n﹣n m，n+1≥2．所以b1，1﹣b1，2≥2，b1，2﹣b1，3≥2，b1，19﹣b1，20≥2．所以（b1，1﹣b1，2）+（b1，2﹣b1，3）+（b1，19﹣b1，20）≥38，即b1，1≥78．解：（Ⅲ）当表1如下图时，011 (1)011 (1)101 (1)101 (1)110 (1)110...1 (1)111 0111 0111 (1)111…1其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1．因此每行的和均为19，符合题意．重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k≥39．以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数（即包含a r，1，a r，2，…，a r．20），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数．这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾．所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行），的全部实数．其次，在表2中，根据重拍规则得：当i≥39时，b i，j≤b39，j≤a i，j，（j＝1，2，…，20）．所以b i，1+b i，2+…+b i，20≤a r，1+a r，2+…+a r，20≤19，所以k≤39．综上所述k＝39．。

2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷(有答案解析)

2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.复数所对应的点位于复平面的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.函数的定义域为A. B. C. D.3.若a，b，且，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.4.圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是A. B.C. D.5.直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，，若，则弦AB的长是A. 4B. 5C. 6D. 86.设等差数列的公差为d，若，则“”是“为递减数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数，则下列四个结论中正确的是A. 函数的图象关于中心对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间内有4个零点D. 函数在区间上单调递增8.圭表如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角即为，夏至正午太阳高度角即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即DB的长为a，则表高即AC的长为A. B.C. D.9.在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值是A. 2B. 3C. 4D. 510.设函数的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得为常数成立，那么称函数在D上具有性质现有函数：；；；．其中，在其定义域上具有性质的函数的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知平面向量，，若，则______．12.在的展开式中，常数项为______用数字作答．13.某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为______．14.已知双曲线C的焦点为，，实轴长为2，则双曲线C的离心率是______；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且，则的面积为______．15.颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量单位：，表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量单位：某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值2，，2，3，．该研究小组得到以下结论：在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高；在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共71.0分）16.已知是公差为d的等差数列，其前n项和为，且，__________若存在正整数n，使得有最小值．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ求的最小值．从，，这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．17.如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，，，，且．Ⅰ求证：平面CDEF；Ⅱ求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；Ⅲ设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．18.近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程单位：万公里将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如图的频率分布直方图：Ⅰ求a的值；Ⅱ该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；Ⅲ设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为有同学认为，你认为正确吗？说明理由．19.已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C经过点Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．20.已知函数．Ⅰ若曲线在点处的切线的斜率为1．求a的值；证明：函数在区间内有唯一极值点；Ⅱ当时，证明：对任意，．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，它对应的点的坐标是，位于第二象限故选：B．先进行复数的乘法运算，得到，再由复数的几何意义得出其对应的复平面中的点的坐标，即可得出复数对应的点所在的象限本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，解题的关键是熟练掌握乘法的运算规则及复数的几何意义2.答案：B解析：解：函数，，解得且，的定义域为．故选：B．根据函数的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可．本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．3.答案：D解析：解：对于选项A：当时，，故选项A错误．对于选项B：当，，时，错误．对于选项C：当，，时，错误．对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出故选项D正确．故选：D．直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.答案：A解析：解：根据题意，要求圆的圆心在圆心在直线上，则设要求圆的圆心的坐标为，又由要求圆与y轴相切于点，则圆心在直线上，则，要求圆的半径，故要求圆的方程为；故选：A．根据题意，设要求圆的圆心的坐标为，由圆的切线的性质可得圆心在直线上，即可得m的值，进而可得要求圆的半径，将圆心坐标和半径代入圆的标准方程即可得答案．本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．5.答案：A解析：解：抛物线，，由抛物线的定义可知，，故选：A．由题意可知，再结合抛物线的定义得，，代入数据即可得解．本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练运用抛物线的定义是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：“”等差数列单调递减，又，数列为递减数列，反之也成立．“”是“为递减数列”的充要条件．故选：C．“”等差数列单调递减，又，利用复合函数的单调性即可判断出结论．本题考查了等差数列的单调性、指数函数的单调性、复合函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：对于函数，令，求得，故函数的图象不关于中心对称，故排除A；令，求得，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除B；在区间上，，当，，0，时，，故函数在区间内有4个零点，故C正确；在区间上，，没有单调性，故D错误，故选：C．根据三角函数的周期性，对称性以及最值性分别进行判断即可．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及三角函数的周期性、对称性以及最值问题，结合三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．8.答案：D解析：解：由题可知：，在中，由正弦定理可知：，即，则，又在中，，所以，故选：D．先求出，然后利用正弦定理求出AD，再在中，求出AC．本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，建立如图所示的坐标系．，，，，由，，可得，同理可得，，，的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值．故选：D．设，建立如图所示的坐标系．，，，，由，，可得，同理可得，再利用数量积运算性质和二次函数的单调性即可得出．本题考查了数量积运算性质和二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10.答案：A解析：解：的定义域为R，函数的值域为R，对任意，都存在唯一的，对于任意m，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．的定义域R，值域，对任意，都存在唯一的，使得为常数不恒成立，例如，，不存在唯一的，故不是定义域上具有性质的函数．的定义域为，函数的值域是R，而且是单调增函数，所以对任意，都存在唯一的，对于任意m，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．的定义域为R，值域是R，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在的，使得为常数，恒成立，但是不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数故选：A．对各个选项分别加以判断：根据“性质的函数”的定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是和，而和通过解方程发现不符合这个定义，从而得出正确答案．本题着重考查了抽象函数的应用，属于基础题．充分理解各基本初等函数的定义域和值域，是解决本题的关键．11.答案：解析：解：平面向量，，若，则，解得．故答案为：．根据平面向量的坐标表示与共线定理，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．12.答案：15解析：解：展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为．故答案为：15利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为0求出常数项．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13.答案：12解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为下底面为等腰梯形，高为5的四棱锥体．如图所示：所以：．故答案为：12．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案：2 2解析：解：由题意可得，即，所以双曲线的离心率，所以，所以双曲线的方程为：，所以渐近线的方程为：，设为一条渐近线的点，由可得，即，可得，所以，所以，故答案分别为：2，2．由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由可得可得Q的纵坐标，进而求出的面积．本题考查双曲线的性质及直线出垂直于数量积的关系，和面积的求法，属于中档题．15.答案：解析：解：分别将原点O与各点相连，设表示线段的斜率，则，故越小，颗粒物过滤效果越好．由图可知：，在第1种口罩的4次测试中，第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，故错误；由图可知：，在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，故正确；由图可知：，，，，在第一次和第二次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高，在第三次和第四次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，故错误，正确．故答案为：．比较各点与原点连线的斜率，从而得出各次测试中的颗粒物过滤效果的高低．本题考查了函数图象，属于基础题．16.答案：解：时，根据题意得，，解得，Ⅰ，Ⅱ所以当或4时，．时，根据题意得，ⅠⅡ，所以当时，，时，根据题意得，ⅠⅡ所以当时，．解析：分别选择，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可判断．本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的简单应用，属于基础试题．17.答案：Ⅰ证明：是正方形，，又，，平面CDEF；Ⅱ解：以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，过A作底面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，1，，4，，，，．设平面ADE的一个法向量为，由，取，得．设直线BD与平面ADE所成角为，则．直线BD与平面ADE所成角的正弦值为；Ⅲ解：假设棱AB上存在点G，使得平面ADE，设t，，则．平面ADE，，即．3，，则．故棱AB上存在点G，满足，使得平面ADE．解析：Ⅰ由ABCD是正方形，得，再由，利用直线与平面垂直的判定可得平面CDEF；Ⅱ以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，过A作底面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系．求出平面ADE的一个法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线BD与平面ADE所成角的正弦值；Ⅲ假设棱AB上存在点G，使得平面ADE，设t，，求出的坐标，由求得，可得3，，故棱AB上存在点G，满足，使得平面ADE．本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意可得可得；Ⅱ组无人驾驶汽车的数量比为：1：2：4：3；若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，由题意可知X的可能取值为：0，1，2；，，，X012P所以X的数学期望：．Ⅲ这种说法不正确．理由如下：由于样本具有随机性，故、是随机变量，受抽样结果影响，因此有可能更接近，也有可能更接近，所以不恒成立，所以这种说法不正确．解析：Ⅰ利用频率分布直方图列出关系式，求解a；Ⅱ求出X的可能取值为：0，1，2；求出概率，得到X的分布列然后求解数学期望；Ⅲ判断有可能更接近，也有可能更接近，说明不恒成立，说明结果即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，是基本知识的考查，中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意可得：，解得：，，所以椭圆的方程为：；Ⅱ证明：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，设，，直线与联立可得，直线与椭圆联立，整理可得：，，即，，，因为，，即，，所以，，所以，所以可证得为定值0．解析：Ⅰ由由题意可得：，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；Ⅱ设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再与联立求出Q的坐标，再由，求出，的表达式，进而求出的表达式，将两根之和及两根之积代入可得为定值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及由向量可得，与点的坐标的关系，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ，，曲线在点处的切线的斜率为1，，即．由可知，，令，，当时，，单调递增，即单调递增；当时，，单调递减，即单调递减，而，，，存在唯一的，使得，且当时，，当时，．函数在处取得极大值，故函数在区间内有唯一极值点．Ⅱ由Ⅰ可知，当时，单调递增；当时，单调递减，，，由于，若即，则，在上恒成立，即在上单调递增，，符合题意．若即，则，，存在，使得，且当时，，单调递增；当时，，单调递减．，且，符合题意．综上所述，当时，对任意，．解析：Ⅰ对函数求导得，则，可解得；令，则，可得在上的单调性，也是在上的单调性，而，，，所以存在唯一的是的变号零点，故函数在区间内有唯一极值点；Ⅱ由Ⅰ可知，当时，单调递增；当时，单调递减，因为，所以，由于，所以分两类讨论：若，易证在上单调递增，所以，符合题意；若，可设存在，使得当时，单调递增；当时，单调递减，故，且，符合题意．本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造新函数、虚设零点、灵活运用零点存在定理是解题的关键，考查学生的转化与化归能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．。

2020年北京高考适应性测试数学(PDF版)

数学参考答案第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数学参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）B（ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）1 （12）2-（13）1 （14）34（15）①③ 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点，所以//PA MN ．又因为PA ⊄平面MNC ，所以//PA 平面MNC ．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -．设2AD =，则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =-， (0,2,2)NC =-，(1,0,2)MN =-．设平面M NC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,MN NC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,220.x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ．数学参考答案第 2 页（共 6 页）设直线PB 与平面MNC 所成角为α，所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．（17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =．所以3(12)3(21)12n n n S -==--．令2020k S >，即202323k >．所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10．解2：选择② 因为312a =，所以148a =，148(1)1296(1)1212n n n S ⨯-==--．因为962020n S <<，所以不存在满足条件的正整数k .解3：选择③因为312a =，所以13a =，所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ⨯--==----．令2020k S >, 即1(2)2020k -->，整理得(2)2019k -<-．当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11．数学参考答案第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =．由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =．（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7P D P C C P C P C ==+=．（Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =．所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B =4110()()P A P B = 1049=．（Ⅲ）0μ<1μ．（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =--，所以()e e x a f x x x '=-．所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =-．（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x a f x x x x '=-=-，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <．数学参考答案第 4 页（共 6 页） ()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =-．（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，且22(2)e 2e >e 20a f =-->．由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的零点个数为1．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-．因为直线BD ，BM 的斜率的积为14-，所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+．直线AN 的方程为111m y x x -=+．直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+．联立1111,1,4(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩数学参考答案第 5 页（共 6 页）解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=，则0D y =．所以点D 在x 轴上．（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经S ϕ变换后得1336⎛⎫⎪--⎝⎭，故0()13365S T A =+--=-．（Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+1112a a =--．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．数学参考答案第 6 页（共 6 页）所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ⨯--+-⨯+1112a a =--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --．所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----，又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4-．。

2020北京市高考数学适应性测试卷含答案

数学参考答案及评分参考
一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分）
（ 1 ）B
（ 2 ）C
（ 3 ）C
（ 4 ）A
（ 5 ）A
（ 6 ）D
（ 7 ）B
（ 8 ）C
（ 9 ）A
（10）D
二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）
（11） 1
（12） −2
（13） 1 （15）①③
（1）在复平面内，复数 i (i + 2) 对应的点的坐标为
（A） (1, 2 )
（B） (− 1, 2 )
（C） ( 2, 1)
（D） ( 2, −1)
（2）已知集合 A = { x x 2} ， B = { −1, 0,1, 2,3 } ，则 A B =
（A）{ 0, 1}
（B）{ 0, 1, 2 }
则将这一行中每个数都乘以 −1 ；若其中没有 k 且没有 −k ，则这一行中所有数均保持不变”
（ k = e1,e2 , ,el ）． S (A0 ) 表示“将 A0 经过e1 变换得到 A1 ，再将 A1 经过 e2 变换得到 A2 ，… ，
以此类推，最后将 Al−1 经过el 变换得到 Al ”，记数阵 Al 中四个数的和为 TS (A0 ) ．
至多有18 人（D）这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生
等级 A
科目
B CDE
物理 10 16 9 1 0
化学 8 19 7 2 0
至少有1 人
数学第 2 页（共 6 页）
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。
（11）已知双曲线

2020年北京市东城区高考数学一模试卷 (word版含解析)

2020年北京市东城区高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1 D．23．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12 B．36 C．72 D．7207．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝48．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729 B．332 C．181 D．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8 B．7 C．6 D．5二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b ＝，求△ABC的面积．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y ＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q 是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M 时，a n为常数．参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0＜x＜1}【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1 D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．解：∵x＜0，∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，∴f（x）有最大值，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．故选：A．5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12 B．36 C．72 D．720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，则有36×2＝72种不同的坐法；故选：C．7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2 B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4 D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，即：⇒a＝1，∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：A．8．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729 B．332 C．181 D．96【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由a1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则a10＝a5q5＝3×32＝96．故选：D．9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，故选：C．10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n （B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝＝﹣，故α+为第二象限角．∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，故答案为：1．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．∴A1O⊥DE，∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，∴A1O⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择①，由余弦定理，……………因为B∈（0，π），所以；……………………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以………所以．……………（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，……………因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，……………因为B∈（0，π），所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，…所以．……………（3）若选择③，则，所以，……………因为B∈（0，π），所以，所以，所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，………18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，众数为33．（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X＝136）＝，P（X＝147）＝，P（X＝154）＝，P（X＝189）＝，P（X＝203）＝，X的分布列为：X136 147 154 189 203P＝．（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a在x ＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：f′（x）＝，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）＝，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）＝及题设得：g′（x）＝＝，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）＝﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．解：（Ⅰ）∵椭圆C：，∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，∴焦点F（2，0），离心率．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，∴m＝﹣2k，∴l：y＝k（x﹣2）．由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．∴直线P'Q的方程可以设为，令y＝0，＝＝＝＝3．∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令S n＝a1+a2+…+a n，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2＝0时，若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝ (1)且对n≥3，都为整数，∴m＝2；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝4；（2）当a2＝1时，若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝ 0且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n＝a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及a n+1均为整数，∴＝a n+1＝，故＝常数．从而＝常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷1.在复平面内，复数i(2−i)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|0<x<3}，A∩B={1}，则集合B可以是()A. {1,2}B. {1,3}C. {0,1,2}D. {1,2,3}3.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的离心率为√5，则b的值为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()A. b−a<c+aB. c2<abC. cb >caD. |b|c<|a|c5.在(1x−2x)6的展开式中，常数项为()A. −120B. 120C. −160D. 1606.如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M′时，圆M′与直线l相切于点B，点A运动到点A′，线段AB的长度为3π2，则点M′到直线BA′的距离为()A. 1B. √32C. √22D. 127.已知函数f(x)=|x−m|与函数g(x)的图象关于y轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则m的取值范围为()A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [−2,+∞)D. (−∞,−2]8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √139.若数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.形如22n+1(n是非负整数)的数称为费马数，记为F n.数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是()(参考数据：lg2≈0.3010)A. 9B. 10C. 11D. 1211.已知点P(1,2)在抛物线C：y2=2px上，则抛物线C的准线方程为______．12.在等差数列{a n}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{a n}的前4项的和为______．13.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =______．14.在△ABC中，AB=4√3，∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3，CD=2，则AD=；△ACD的面积为．15.如图，在等边三角形ABC中，AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P 到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：①函数f(x)的最大值为12；②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根．其中，所有正确结论的序号是______．16.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A−BC−E的大小．17.已知函数f(x)=2cos2ω1x+sinω2x.(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)从①ω1=1，ω2=2；②ω1=1，ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．18.科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位：十亿元)．(Ⅰ)从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(Ⅱ)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19.已知函数f(x)=e x+ax．(Ⅰ)当a=−1时，①求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；②求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)求证：当a∈(−2,0)时，曲线y=f(x)与y=1−lnx有且只有一个交点．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A1(−a,0)，A2(a,0)，B(0,b)，△A1BA2的面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q.求证：△BPQ为等腰三角形．21.已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=ka n对任意的n∈N∗成立，则称数列{a n}具有性质Ψ(k)．(Ⅰ)分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ(2)；(直接写出结论)①a n=1；②a n=2n．(Ⅱ)若数列{a n}满足a n+1≥a n(n=1,2,3,…)，求证：“数列{a n}具有性质Ψ(2)”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；(Ⅲ)已知数列{a n}中a1=1，且a n+1>a n(n=1,2,3,…).若数列{a n}具有性质Ψ(4)，求数列{a n}的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i(2−i)=−i2+2i=1+2i，∴复数对应的点的坐标是(1,2)，这个点在第一象限，故选A．2.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<3}，A∩B={1}，∴集合B可以是{1,3}．故选：B．根据A={x|0<x<3}，A∩B={1}，即可得出集合B可能的情况．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B=1(b>0)的离心率为√5，【解析】解：双曲线x2−y2b2可得√b2+1=√5，解得b=2，1故选：B．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：(法1)根据数轴可得c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，对于A：因为c<b，a<0，所以c+a<c，b−a>b，则c+a<c<b−a，即c+a< b−a，故A错误；对于B：因为c<b<a<0，|c|>|b|>|a|，所以c2>b2>a2，且b2>ab，所以c2> b2>ab，则c2>ab，故B错误；对于C：因为b<a<0，所以1b >1a，则cb<ca，故C错误；对于D：因为|b|>|a|，且c<0，所以|b|c<|a|c，故D正确，(法2)不妨令c=−5，b=−4，a=−1，则c+a=−6<b−a=−3，故A错误；c2=25>ab=4，故B错误；cb =54<ca=5，故C错误；故选：D．法1：根据数轴得到c<b<a<0且|c|>|b|>|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由题意得：T k+1=(−2)k C6k x2k−6，令2k−6=0得k=3，故常数项为T4=(−2)3C63=−160．故选：C．先求出通项，然后令x的指数为零即可．本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据条件可知圆周长=2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A’位置如图：∠A′M′B =90°，则△A′M′B 是等腰直角三角形，则M′到A′M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A′M′B 是等腰直角三角形，进而可求得M′到A′M 的距离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x −m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称．若g(x)在区间(1,2)内单调递减，则f(x)在区间(−2,−1)上递增，而f(x)=|x −m|={x −m,x ≥m −x +m,x <m ，在区间(m,+∞)上为增函数，则有m ≤−2，即m 的取值范围为(−∞,−2]；故选：D ．根据题意，分析可得f(x)在区间(−2,−1)上递增，将f(x)写成分段函数的形式，分析可得f(x)在区间(m,+∞)上为增函数，据此可得m 的取值范围．本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB =√22+22+22=2√3．故选：C ．首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”，取p=n，r=1，则a n+1=2a n，∴{a n}为等比数列，充分性成立．若{a n}为等比数列，则a p+r=2×q p+r−1，a p a r=22⋅q p+r−2，只有q=2时才能成立，必要性不成立．∴数列{a n}满足a1=2，则“∀p，r∈N∗，a p+r=a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力．根据所给定义表示出F5≈109.632×109，进而即可判断出其位数．【解答】解：根据题意，F5=225+1=232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010= 109.632=100.632×109，因为1<100.632<10，所以F5的位数是10．故选：B．11.【答案】x=−1【解析】解：把点P(1,2)代入抛物线方程有，4=2p，∴p=2，=−1．∴抛物线的准线方程为x=−p2故答案为：x=−1．把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】24【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=3，a2+a5=16，∴2×3+5d=16，解得d=2．则数列{a n}的前4项的和=4×3+4×32×2=24．故答案为：24．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】0【解析】解：因为非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2⇒a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；则(a⃗−12b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −12b⃗ 2=0．故答案为：0．把所给条件平方整理得到a⃗⋅b⃗ =12b⃗ 2；代入数量积即可求解结论．本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14.【答案】4√22√6【解析】【分析】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．【解答】解：如图：因为在△ABC 中，AB =4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD =2，所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB ⇒AD =4√3×sinπ4sin π3=4√2；S △ACD =12⋅AD ⋅CD ⋅sin∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6；故答案为：4√2，2√6．15.【答案】①②【解析】解：由题可得函数f(x)={3+(x −3)2,0≤x <63+(x −9)2,6≤x <123+(x −15)2,12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x =0，6，12，18时，f(x)取得最大值12，故①正确；又f(x)=f(18−x)，所以函数f(x)的对称轴为x =9，故②正确；由图象可得，函数f(x)图象与y =kx +3的交点个数最多为6个，故方程最多有6个实根，故③错误．故答案为：①②．写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．16.【答案】(Ⅰ)证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B .在△BCC 1中，BC =1，BC 1=√3，CC 1=2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B .因为AB ∩BC =B ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz ．则B(0,0,0)，E(−12,√3,1)，C(1,0,0)．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,1)．设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x =0,−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x =0，z =−3，所以n ⃗ =(0,√3,−3)．又因为平面ABC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)，所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12．由题知二面角A −BC −E 为锐角，所以其大小为π3．【解析】(Ⅰ)证明AB ⊥C 1B .CB ⊥C 1B .利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．(Ⅱ)以B 为原点建立空间直角坐标系B −xyz.求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x ，则f(0)=2cos 20+sin0=2；(Ⅱ)选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)=2cos 2x +sin2x=(cos2x +1)+sin2x =√2(√22sin2x +√22cos2x)+1 =√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2,π6]，所以2x +π4∈[−3π4,7π12]；所以−1≤sin(2x +π4)≤1，所以1−√2≤f(x)≤1+√2；当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f(x)的一个周期为2π；由f(x)=2cos 2x +sinx=2(1−sin 2x)+sinx=−2(sinx −14)2+178；因为x ∈[−π2,π6]，所以sinx ∈[−1,12]；所以当sinx =−1，即x =−π2时，f(x)在[−π2,π6]取得最小值为−1．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值； (Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在[−π2,π6]的最小值．选择条件②时f(x)的一个周期为2π，化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在[−π2,π6]的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=910．(Ⅱ)由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X =0)=C 52C 102=29；P(X =1)=C 51C 51C 102=59；P(X =2)=C 52C 102=29．所以X 的分布列为：故X 的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(Ⅲ)从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【解析】(Ⅰ)按照古典概型概率计算公式计算即可；(Ⅱ)显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X 取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；(Ⅲ)结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)①当a =−1时，f(x)=e x −x ，则 f′(x)=e x −1．所以f′(0)=0．又f(0)=1，所以曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y =1； ②令f′(x)=0，得x =0，此时f′(x)，f(x)随x 的变化如下：可知f(x)min =f(0)=1，函数f(x)的最小值为1． (Ⅱ)证明：由题意可知，x ∈(0,+∞)，令g(x)=e x +ax +lnx −1，则g′(x)=e x +1x +a ，由(Ⅰ)中可知e x −x ≥1，故 e x ≥1+x ，因为a ∈(−2,0)，则g′(x)=e x +1x+a ≥(x +1)+1x+a ≥2√x ⋅1x+a +1=3+a >0，所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，因为g(1e)=e 1e +ae−2<e 12−2<0，又因为g(e)=e e +ae >e 2−2e >0，所以g(x)有唯一的一个零点．即函数y =f(x)与y =1−lnx 有且只有一个交点．【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．(Ⅰ)①将a =−1代入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解； ②求出函数函数f(x)的单调性情况，进而得出最值；(Ⅱ)即证函数g(x)=e x +ax +lnx −1仅有一个零点，利用导数可知函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，结合零点存在性定理即得证．20.【答案】解：(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.解得{a =2,b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．( II)解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2),y =12x +1.解得点P(4k+22k−1,4k 2k−1)．由{y =k(x −2),x 24+y 2=1.得(4k +1)x 2−16k 2x +16k 2−4=0，则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1,−4k4k 2+1)．k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1．由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1,−22k−1)．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|，所以△BPQ 为等腰三角形．解法2证明：设M(x 0,y 0)(x 0≠±2,y 0≠±1)则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2),y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2,4y 02y0−x 0+2)．直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1．由{y =yx 0+2(x +2),y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2,4y 02y0+x 0+2)．x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P =x Q ，所以PQ ⊥x 轴．y P +y Q =4y 02y0−x 0+2+4y 02y 0+x 0+2=4y 0(4y 0+4)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=4y 0(4y 0+4)(2y 0+2)2−x 02=2．故PQ 中点在定直线y =1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP|=|BQ|，所以△BPQ 为等腰三角形．【解析】(Ⅰ)由题{ca=√32,ab =2,a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．(II)解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP|=|BQ|，即可证明△BPQ 为等腰三角形．(x−2)，解法2，设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1)则x02+4y02=4.直线A2M方程为y=y0x0−2x+1.通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP|=直线A1B方程为y=12|BQ|，得到△BPQ为等腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)①数列{a n}具有“性质Ψ(2)”；②数列{a n}不具有“性质Ψ(2)”．(Ⅱ)证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n结合a n+1≥a n有a n=a n+1=⋯=a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n−1+a2n=2a1=2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ(2)”．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ(4)”，所以a2n−1+a2n=4a n．当n=1时，有a2=3a1=3．又因为a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，所以有a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，所以2(a n+1−a n)≥3，结合a n+1,a n∈N∗可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)=(a2k+2−a2k)+(a2k+1−a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1−a k≥3依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾，所以有a n+1−a n≤2．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，经验证，该通项公式满足a2n−1+a2n=4a n，所以：a n=2n−1．【解析】(Ⅰ)①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．(Ⅱ)先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ(2)”时，有a2n−1+a2n=2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n−a n=a n−a2n−1≤0，进而有a n=a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n−1+a2n=2a1= 2a n，即可证明．(Ⅲ)首先证明：a n+1−a n≥2.根据{a n}具有“性质Ψ(4)”，可得a2n−1+a2n=4a n.当n=1时，有a2=3a1=3.由a2n−1,a2n,a n∈N∗，且a2n>a2n−1，可得a2n≥2a n+1，a2n−1≤2a n−1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1−1≤2a n+1−2，可得2(a n+1−a n)≥3，可得：a n+1−a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1−a n≤2.假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，进而有4(a k+1−a k)=(a2k+2+ a2k+1)−(a2k+a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12.又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1−a k≥3，依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾．综上有：a n+1−a n=2，结合a1=1可得a n=2n−1，本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020年北京市大兴区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{0，2}D．{﹣2，0，2} 3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，则S4等于（）A．B．1C．2D．34．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．C．D．y＝（x﹣1）2 5．在（x﹣2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于（）A．﹣32B．﹣24C．8D．46．若抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（）A．B．2C．D．37．已知数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，则“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（）A．3B．C．D．9．已知函数（ω＞0）．若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．610．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（﹣1，1），（2，t），若∥，则t＝．12．若函数f（x）＝cos2x﹣sin2x在区间[0，m]上单调减区间，则m的一个值可以是．13．若对任意x＞0，关于x的不等式恒成立，则实数a的范围是．14．已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且，则a﹣b＝；．15．在直角坐标系xOy中，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e＞2，其渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝4交x轴上方于A，B两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，c＝1，，且△ABC的面积为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若D为BC上一点，且______，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从A校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）现从A校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X表示成绩不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1，∠BCC1＝60°，平面ABC⊥平面BCC1B1，D是BC的中点，E是棱A1B1上一动点．（Ⅰ）若E是棱A1B1的中点，证明：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣CA﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点E，使得DE⊥BC1，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．19．已知椭圆的离心率为，且经过点（2，0），一条直线l与椭圆C交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：为定值．20．已知函数．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）有且只有一个零点．21．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i ＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：在复平面内，复数1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．{0，2}D．{﹣2，0，2}【分析】分别求得集合A、B，利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，则S4等于（）A．B．1C．2D．3【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1，d，由此能求出S4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝0，a4＝1，∴，解得a1，d，∴S4＝41．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前4项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且存在零点的是（）A．y＝e x B．C．D．y＝（x﹣1）2【分析】根据基本初等函数的图象与性质，零点的含义，以及函数图象的变换法则，逐一判断每个选项即可．解：函数y＝e x＞0恒成立，不存在零点，即A不符合题意；函数恒成立，不存在零点，即B不符合题意；函数在（0，+∞）上单调递增，且当x＝1时，y＝0，所以函数的零点为x＝1，即C正确；函数y＝（x﹣1）2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性和零点问题，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．5．在（x﹣2）n的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于（）A．﹣32B．﹣24C．8D．4【分析】根据n为偶数是，只有中间一项的二项式系数最大，由此求出n的值，然后再利用通项求出含x的项的系数．解：由已知得：n为偶数，且，故n＝4．所以该二项式为（x﹣2）4，所以展开式的通项为，令4﹣k＝1得k＝3，故该项的系数为．故选：A．【点评】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质以及通项的应用，属于基础题．6．若抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点O的距离等于（）A．B．2C．D．3【分析】设M的坐标，由抛物线的性质可得，到焦点的距离等于到准线的距离，求出M 的横坐标，代入抛物线的方程可得M的纵坐标，进而求出M到顶点的距离．解：设M（x0，y0），由抛物线的方程可得焦点F（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由抛物线的性质可得x0+1＝2，所以x0＝1，代入抛物线的方程可得|y|＝2，即M（1，±2），所以|OM|，故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题．7．已知数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，则“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“对任意n∈N*，a n＞0”⇒“数列{S n}为递增数列”，“数列{S n}为递增数列”⇒“对任意n∈N*，a n＞0”，由此能求出结果．解：∵数列{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，“对任意n∈N*，a n＞0”⇒“数列{S n}为递增数列”，“数列{S n}为递增数列”⇒“对任意n∈N*，a n＞0”，∴“对任意n∈N*，a n＞0”是“数列{S n}为递增数列”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为（）A．3B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的最大棱长．解：根据几何体的三视图转换为直观图如下：该几何体为四棱锥体E﹣ABCD，所以该几何体的最长的棱长为DE．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观体之间的转换，直观图的棱长的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．已知函数（ω＞0）．若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】当x∈[0，π]时，ωx∈[，ωπ]；根据条件关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得ωπ，解得ω，即可得满足条件的ω的最大整数．解：当x∈[0，π]时，ωx∈[，ωπ]；∵关于x的方程f（x）＝1在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，结合正弦函数的图象，得ωπ，解得ω，可得满足条件的ω的最大整数为4．故选：B．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，整体法思想与数形结合的思想方法，属于基础题．10．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB ＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）A．ln2B．ln3C．D．【分析】易知，它们的初速度相等，故Q点的速度为107，然后可以根据，求出P在中点、分点时的x，则Q点移动的距离可求，结合速度，时间可求．解：由题意，P点初始速度107即为Q点的速度．当P在靠近A点的三等分点时：，解得：x，当P在二等分点时：，解得：x＝107ln2，所以经过的时间为：．故选：D．【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量（﹣1，1），（2，t），若∥，则t＝﹣2．【分析】由向量平行的充要条件可得：﹣1×2﹣1×t＝0，解之即可．解：∵向量（﹣1，1），（2，kt），且∥，∴﹣1×2﹣1×t＝0，解得t＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查平行向量与共线向量，属基础题．12．若函数f（x）＝cos2x﹣sin2x在区间[0，m]上单调减区间，则m的一个值可以是1．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求f（x）＝cos2x，利用余弦函数的单调性可求函数的单调递减区间，结合已知可得，k∈Z，解得k＝0时，m，即可求解．解：∵f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ，k∈Z，∴函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的单调递减区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，∵函数在区间[0，m]上单调递减，∴，k∈Z，解得k＝0时，m，∴可得0＜m．故答案为：1．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的单调性，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．13．若对任意x＞0，关于x的不等式恒成立，则实数a的范围是（﹣∞，2]．【分析】利用基本不等式求出的最小值，只需a不大于其最小值即可．解：∵x＞0，∴22，当且仅当x＝1时取等号，又恒成立，∴a ≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．14．已知A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．已知直线AB的斜率等于2，且，则a﹣b＝1；4．【分析】利用对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式列出方程组，能求出a，b，s，r，由此能求出结果．解：∵A（a，r），B（b，s）为函数y＝log2x图象上两点，其中a＞b．直线AB的斜率等于2，且，∴，解得a，b，s＝﹣log23，r＝2﹣log23，∴a﹣b＝1，．故答案为：1，4．【点评】本题考查两数差与两数商的求法，考查对数性质、直线的斜率公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．15．在直角坐标系xOy中，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e＞2，其渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝4交x轴上方于A，B两点，有下列三个结论：①；②存在最大值；③．则正确结论的序号为①③．【分析】由离心率e＞2⇒b2＞3a2，进而得出渐近线与x轴的夹角α的取值范围，然后求出2、2、，再研究结论的正确与否，选出正确序号即可．解：由题意可得e2，可得c2＞4a2，∵c2＝a2+b2，∴b2＞3a2，所以渐近线的斜率k，设渐近线与x轴的夹角为α，所以tanα，α，所以两条渐近线的夹角为θ，则θ＝2（α）＝π﹣2α，所以θ∈（0，）∴cos，0，所以①正确；∵||，而22＝[4cos（）]2＝16sin2α，||•||•cosθ＝16sin2α•（1﹣2cos2α），∴4sin2α，α，无最大值，所以②错误；又||8sin2α＞8×sin26，所以③正确；故答案为：①③．【点评】本题主要考查以圆锥曲线为素材研究向量的运算，属于中档题．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，c＝1，，且△ABC的面积为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若D为BC上一点，且______，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求得a；（Ⅱ）选①时，利用正弦定理求出sin B，从而求得sin∠ADB．选②时，利用余弦定理求出cos B，从而求得sin∠ADB．解：（Ⅰ）由于c＝1，，S△ABC bc sin A b•1•sin，解得b＝2；由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，解得；（Ⅱ）若选①，则当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理，即，所以；因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠B；所以sin∠ADB＝sin B，即．若选②，则当∠CAD＝30°时，在△ABC中，由余弦定理知，．因为A＝120°，所以∠DAB＝90°，所以，所以sin∠ADB＝cos B，即．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．17．为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M采用分层抽样的方法从A校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标．已知本次测试中不达标学生共有20人．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）现从A校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X表示成绩不低于90分的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图，低于60分的概率为0.1，由频率与频数的关系求出m；（II）每位学生成绩不低于90分的频率为0.01×10＝0.1，由已知，X的所有可能取值为0，1，2，求出X的分布列和数学期望；（III）机构M抽测的不达标率为，机构N抽测的不达标率为，结合概率知识判断写出理由即可．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，低于60分的概率为（0.002+0.002+0.006）×10＝0.1，由m×0.1＝20，解得m＝200；（Ⅱ）由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.01×10＝0.1，由已知，X的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以X的分布列为X012P0.810.180.01所以E（X）＝0×0.81+1×0.18+2×0.01＝0.2，（Ⅲ）机构M抽测的不达标率为，机构N抽测的不达标率为，（以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M测试的不达标率0.1估计A校不达标率较为合理，理由：机构M选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以能较好反映了总体的分布．②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理，理由：尽管机构N的样本量比机构M少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以没有充足的理由否认机构N的成绩更合理．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算能力，中档题．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1，∠BCC1＝60°，平面ABC⊥平面BCC1B1，D是BC的中点，E是棱A1B1上一动点．（Ⅰ）若E是棱A1B1的中点，证明：DE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）求二面角C1﹣CA﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点E，使得DE⊥BC1，若存在，求出E的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）取A1C1中点为P，连结CP，EP，推导出CDEP为平行四边形，CP∥DE．由此能证明DE∥平面ACC1A1．（Ⅱ）连结C1D、AD，推导出DC1，DA，DB两两垂直．建立直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角C1﹣CA1﹣B的余弦值．（Ⅲ）设，则，，，，假设DE⊥BC1，则，解得λ＝2，由此推导出不存在点E，使得DE⊥BC1．【解答】（Ⅰ）证明：取A1C1中点为P，连结CP，EP，在△A1B1C1中，因为E、P为A1B1、A1C1的中点，所以EP∥B1C1且．又因为D是BC的中点，，所以EP∥BC且EP＝CD，所以CDEP为平行四边形，所以CP∥DE．又因为DE⊄平面ACC1A1，CP⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1．（Ⅱ）解：连结C1D、AD，因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC，因为BC＝AA1＝CC1，∠BCC1＝60°，所以C1D⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，C1D⊂平面BCC1B1，所以C1D⊥平面ABC，所以DC1，DA，DB两两垂直．如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则，C（0，﹣1，0），，，设平面ACC1的法向量为（x，y，z），则，即，令x＝1，得（1，，1）．平面ABC的法向量为，cos，．又因为二面角C1﹣CA1﹣B为锐二面角，所以二面角C1﹣CA1﹣B的余弦值为．（Ⅲ）解：，，设，则，所以，，所以，假设DE⊥BC1，则，解得λ＝2，这与已知0≤λ≤1矛盾．故不存在点E，使得DE⊥BC1．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆的离心率为，且经过点（2，0），一条直线l与椭圆C交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：为定值．【分析】（Ⅰ）首先利用椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标求出a和c的值，最后求出b，进一步求出椭圆的方程．（Ⅱ）利用分类讨论思想的应用①假设直线的斜率不存在求出结果为定值，②当直线的斜率存在时，建立直线和椭圆的方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果为定值．解：（Ⅰ）因为椭圆经过点（2，0），所以a＝2，又因为，则c＝1由b2＝a2﹣c2，得b2＝3，所以椭圆的标准方程为．（Ⅱ）方法一：因为以PQ为直径的圆过坐标原点O，所以OP⊥OQ．①若直线OP的斜率不存在，则P为椭圆与y轴交点，Q为椭圆与x轴交点，因此|OP|2＝b2＝3，|OQ|2＝a2＝4，则．②若直线OP的斜率存在且为0，则P为椭圆与x轴交点，Q为椭圆与y轴交点，因此|OP|2＝a2＝4，|OQ|2＝b2＝3，则．③若直线OP的斜率存在且不为0，可设直线OP方程为y＝kx（k≠0），则直线OQ的方程为．联立，得，即，，即，同理，，则．方法二：①若直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，与椭圆方程联立得：，有（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由题意，△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以，．因为以PQ为直径的圆过原点O，由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，整理得，12（1+k2）＝7m2，而．设h为O到l的距离，则|OP|•|OQ|＝|PQ|•h所以，而，所以．②若直线l的斜率不存在，则有k OP＝±1，不妨设k OP＝1，设P（x1，y1），有x1＝y1，代入椭圆方程得，，，即，综上．【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法和应用，直线和椭圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20．已知函数．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：函数f（x）有且只有一个零点．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，然后分别求出x＝1时的函数值、导数值，利用点斜式即可求切线方程；（Ⅱ）函数f（x）有且只有一个零点，可转化为在（0，+∞）上只有一个零点，可通过研究g（x）的单调性、极值的符号结合零点存在性定理求解．解：（Ⅰ）当a＝1时，函数，x＞0，所以，，，所以函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是3x﹣4y﹣5＝0．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），要使函数f（x）有且只有一个零点，只需方程（x+1）lnx﹣ax＝0有且只有一个根，即只需关于x的方程在（0，+∞）上有且只有一个解．设函数，则，令h（x）＝x+1﹣lnx，则，由h'（x）＝0，得x＝1．x（0，1）1（1，+∞）h'（x）﹣0+h（x）单调递减极小值单调递增由于h（x）min＝h（1）＝2＞0，所以g'（x）＞0，所以在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝﹣a，，①当a＝0时，g（1）＝0，函数g（x）在（0，+∞）有且只有一个零点，②当a≠0时，由于，所以存在唯一零点．综上所述，对任意的a∈一、选择题函数y＝f（x）有且只有一个零点．【点评】本题考查了函数的零点的判断方法，导数在研究函数单调性、极值中的应用．同时考查学生利用函数与方程思想、转化与化归思想解决问题的能力，同时考查了学生的运算能力．属于中档题．21．已知数列a1，a2，…，a10满足：对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．（Ⅰ）对于数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，写出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求证：m（A）不可能为18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．【分析】（Ⅰ）A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，从而推导出a10＝1，同理推出a1＝1，a i（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，从而m（A）不可能为18．（Ⅲ）由m（A）＜18，得m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，推导出a10≤4，a7≤4．同理可得：a i≤4（i＝1，4，7，10）．对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，从而m（A）的最大值为17；假设n（A）≤15．推导出a1＝10．a4＝10，矛盾，假设不成立，从而n（A）≥16．从而n（A）的最小值为16．解：（Ⅰ）解：∵数列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，对任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，i≠j，则a i≠a j，且a i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，设集合A＝{a i+a i+1+a i+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值记为m（A），集合A中元素最大值记为n（A）．∵10+6+1＝17，6+1+2＝9，1+2+7＝10，2+7+8＝17，7+8+3＝18，8+3+9＝20，3+9+5＝17，9+5+4＝18，∴A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）证明：假设m（A）≥18，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，即a10≤1，因为a i≥1（i＝1，2，3，…，10），所以a10＝1，同理，设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，可以推出a1＝1，a i（i＝1，2，…，10）中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，m（A）不可能为18．（Ⅲ）解：m（A）的最大值为17，n（A）的最小值为16．①首先求m（A），由（Ⅱ）知m（A）＜18，而m（A）＝17是可能的．当m（A）＝17时，设S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，则S＝55≥3m（A）+a10＝3×17+a10，即a10≤4，又S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+a7+（a8+a9+a10）＝55，得55＝S≥3m（A）+a7＝51+a7，即a7≤4．同理可得：a i≤4（i＝1，4，7，10）．对于数列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，此时A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，满足题意．所以m（A）的最大值为17．②现证明：n（A）的最小值为16．先证明n（A）≤15为不可能的，假设n（A）≤15．设S＝a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55，可得55≤3n（A）+a1≤3×15+a1，即a1≥10，元素最大值为10，所以a1＝10．又（a1+a2+a3）+a4+（a5+a6+a7）+（a8+a9+a10）＝55≤3n（A）+a4≤3×15+a4，同理可以推出a4＝10，矛盾，假设不成立，所以n（A）≥16．数列为：7，6，2，8，3，4，9，1，5，10时，A＝{13，14，15，16}，m（A）＝13，n（A）＝16，A中元素的最大值为16．所以n（A）的最小值为16．【点评】本题考查集合的求法，考查集合中元素的最大值和最小值的求法，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．。

2020年北京市石景山高考数学模拟试卷及答案解析

2020年北京市石景山高考数学模拟试卷及答案解析2020年北京市石景山区高三数学统一测试本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。

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考试结束后，上交答题卡。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.设集合P={1,2,3,4}，Q={x||x|≤3,x∈R}，则P∩Q等于A.{1}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}2.在复平面内，复数5+6i，3-2i对应的点分别为A，B。

若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是A.8+4iB.2+8iC.4+2iD.1+4i3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是A.y=-x+2B.y=x^2C.y=lnxD.y=2-x4.圆x+y-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=A.-4/3B.-3/4C.3D.25.将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A.36B.64C.72D.816.如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A.2.4B.5C.87.函数fx=cosωx+(6/π)的最小正周期为π，则f(x)满足A.在(0,π/3)上单调递增B.图像关于直线x=π/6对称C.f(3π/2-x)=f(x)D.当x=5π/6时有最小值-1/28.设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n。

则“S_1+S_3>2S_2”是“{a_n}为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x_1,x_2∈R，使得x_1+x_2<f(x_1)+f(x_2)，则称函数f(x)具有性质P。

2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)

单调性.
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即为票价,
当时, ,则为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及和对一次函数图象的影响,是基础题.
以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示
，， .
，
.
设平面的法向量为，
则，即，令，则， .
设直线和平面所成的角为，则
，
所以直线和平面所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】

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2020年北京高考数学模拟试题一一、选择题（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅= （）（A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（2）已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = （）（A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞）（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）（A ）12y x = （B ）y =2x -（C ）12log y x =（D ）1y x=（4）y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2](5) 在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16(6) 若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．23(7) 已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．25C ．6D ．8(8) 已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )单调递增，f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0或x ＞3}D ．{x |x ＜－1或x ＞1}(9) “k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（10）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升二、填空题(11) 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．（12）已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________．（13）O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为__________．（14）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =__________．(15) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（16）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(Ⅰ)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (Ⅱ)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．（17）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？（18）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？商品顾客人数（19）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (Ⅰ)求椭圆的方程．(Ⅱ)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，若|A Q ||P Q |＝524sin ∠AO Q (O 为原点)，求k 的值．（20）已知函数f (x )＝e x －ax 2.(Ⅰ)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (Ⅱ)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .（21）设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (Ⅰ)求f 3(2)，f 4(2)的值；(Ⅱ)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 答案 D C A C B 题号 6 7 8 9 10 答案 CCAAB二、填空题11、y ＝±22x 12、－12 13、23 14、23π 15、(－1,1) 三、解答题16、解：(1)证明：由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，又PF ∩EF ＝F ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF ―→，HP 的方向分别为y 轴，z 轴正方向，|BF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz . 由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，D ⎝⎛⎭⎫－1，－32，0， DP ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32，32，HP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32.又HP ―→为平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝|HP ―→·DP ―→||HP ―→||DP ―→|＝343＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.17、（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等.18、（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.19、解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .①由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，又|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6.② 联立①②解得a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1＞y 2＞0，故|P Q |sin ∠AO Q ＝y 1－y 2. 又因为|A Q |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，所以|A Q |＝2y 2.由|A Q ||P Q |＝524sin ∠AO Q ，可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4 . 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128.所以k 的值为12或1128.20、解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x ＝－(x －1)2e －x . 当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x .f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点． (ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点；(ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x .当x ∈(0,2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)＞0，即a ＜e 24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e 24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)＜0，即a ＞e 24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x ＞0时，ex＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3(e 2a )2＞1－16a 3(2a )4＝1－1a ＞0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e 24.21、解：(1)记τ(abc )为排列abc 的逆序数，对1,2,3的所有排列，有τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，所以f 3(0)＝1，f 3(1)＝f 3(2)＝2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此f 4(2)＝f 3(2)＋f 3(1)＋f 3(0)＝5.(2)对一般的n (n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以f n (0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f n (1)＝n －1.为计算f n ＋1(2)，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n ＋1添加进原排列，n ＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此f n ＋1(2)＝f n (2)＋f n (1)＋f n (0)＝f n (2)＋n .当n ≥5时，f n (2)＝[f n (2)－f n －1(2)]＋[f n －1(2)－f n －2(2)]＋…＋[f 5(2)－f 4(2)]＋f 4(2)＝(n －1)＋(n －2)＋…＋4＋f 4(2)＝n 2－n －22，因此，当n ≥5时，f n (2)＝n 2－n －22.。