2020年北京高考数学模拟试题及答案

2020年北京高考数学模拟试题一

一、选择题

（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅= （ ） （A ）3

（B ）5

（C ）3

（D ）5

（2）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （ ） （A ）（–1，1）

（B ）（1，2）

（C ）（–1，+∞）

（D ）（1，+∞）

（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 （ ） （A ）1

2y x = （B ）y =2x -

（C ）12

log y x =

（D ）1

y x

=

（4）y ＝

x －1

2x

－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)

D ．[－2,0]∪[1,2]

(5) 在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝8

D ．x 2＋(y －1)2＝16

(6) 若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π

2上单调递减， 则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．3

2

D ．23

(7) 已知四棱锥P ­ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ­ABCD 的四个侧面中面积最大的

是( )

A ．3

B ．25

C ．6

D ．8

(8) 已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )单调递增，f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值

范围为( )

A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2}

B ．{x |x ＜0或x ＞2}

C ．{x |x ＜0或x ＞3}

D ．{x |x ＜－1或x ＞1}

(9) “k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2

k －9

＝1表示双曲线”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

（10）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）

A ．6升

B ．8升

C ．10升

D ．12升 二、填空题

(11) 设双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为

________．

（12）已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________．

（13）O 为坐标原点,F 为抛物线2

:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,

则POF ∆的面积为__________．

（14）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则

角C =__________．

(15) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

12x ，x ≥0，2x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (|a |)，则实数a 的取值范围是________．

三、解答题

（16）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .

(Ⅰ)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (Ⅱ)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．

（17）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？

（18）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

甲

乙

丙

丁

100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300

√ × √ × 85

√ × × × 98

×

√

×

×

（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；

（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

商

品 顾 客 人 数

（19）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为5

3

，点A

的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (Ⅰ)求椭圆的方程．

(Ⅱ)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，

若|A Q ||P Q |

＝524sin ∠AO Q (O 为原点)，求k 的值．

（20）已知函数f (x )＝e x －ax 2.

(Ⅰ)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (Ⅱ)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .

（21）设n ∈N *，对1,2，…，n 的一个排列i 1i 2…i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称(i s ，i t )

是排列i 1i 2…i n 的一个逆序，排列i 1i 2…i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记f n (k )为1,2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (Ⅰ)求f 3(2)，f 4(2)的值；

(Ⅱ)求f n (2)(n ≥5)的表达式(用n 表示)．