全等三角形的存在性问题针对演练

第二部分 攻克题型得高分

题型八 二次函数综合题

类型四 全等三角形的存在性问题

针对演练

1. (2017常州节选)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝－12x 2

＋bx 的图象过点A (4，0)，顶点为B ，连接AB 、BO .

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点D 在线段BO 上，OD ＝2DB ，点E 、F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．

第1题图 第2题图

2. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝3

2x 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (2，0)两点，与y 轴交于点C .

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线y ＝－x ＋n 与抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且BE ＝4EC .

①求n 的值；

②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，△AGF 与△CGD 是否全等？请说明理由；

答案

1. (1)解：∵二次函数图象过点A(4，0)，

∴将点A(4，0)代入二次函数表达式y ＝－12x 2＋bx 可得－1

2×42

＋4b ＝0，

解得b ＝2，

∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2

＋2x ；

(2)此二次函数的对称轴为x ＝－b

2a ＝2，∵点B 在二次函数的对称轴上，

∴B 点为(2，2) ∴OB ＝22，

∴OD ＝2BD ，∴OD ＝42

3.

如解图①，当点F ，点E 均在OA 上，且△DFO ≌△DFE ，则DF ⊥OA ，

第1题解图①

∴DF ＝43＝OF ＝EF ，此时点E 的坐标为(8

3，0)； 其他情况不存在；

如解图②，当点F 在OA 上，点E 在AB 上，

当DE ∥OF ，即DE ∥x 轴，且OF ＝DE 时满足题意， 此时点D 与点E 关于x ＝2对称，

第1题解图②

∵点D (43，4

3)，

∴点E 的坐标为(83，4

3)；

其他情况下不存在点E .使得△DOF 与△DEF 全等． 当点E 在BO 上，则不存在这样的点E ，

如解图③，当点F 在AB 上，由抛物线对称性得点E 与点A 重合，坐标为(4，0)．

第1题解图③

当点F 在AB 上，无论点E 在何处，都不满足题意．

当点F 在AB 上，由抛物线对称性得点E 与点A 重合，坐标为(4，0)

当点E 与点O 重合时，△DOF 与△DEF 是同一个三角形，此时满足题意．

如图④，当点E 在AB 上，且△DOF 沿边DF 翻折，O 恰好落在

AB 边上，记为E 。过B 作BM ⊥x 轴于M ，过E 作EN ⊥BM 于N ，

第1题解图④

由翻折得△DOF ≌△DEF ，∴OD ＝OE ＝423，∵BD ＝22

3，∴BE ＝263，∴BN ＝NE ＝BE ·cos 45°＝233，DM ＋NE ＝2＋23

3，BM －BN ＝2－23

3.

综上，这样的点E 有5个，坐标分别为(0，0)，(83，0)，(83，4

3)，(4，0)，(2＋233，2－23

3)

2. 解：(1)∵抛物线y ＝32x 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (2，0)两点，将A (－1，0)，B (2，0)代入抛物线解析式

可得⎩⎨⎧32－b ＋c ＝06＋2b ＋c ＝0

，

解得b ＝－3

2，c ＝－3.

∴该抛物线的解析式为y ＝32x 2－3

2x －3. (2)①如解图，过点E 作EE ′⊥x 轴于点E ′， ∴E ′E ∥OC ，

∴BE′OE′＝BE CE ， ∵BE ＝4CE ， ∴BE ′＝4OE ′， 设点E 坐标为(x ，y )， ∴OE ′＝x ，BE ′＝4x .

第2题解图

∵点B 坐标为(2，0)， ∴OB ＝2， ∴x ＋4x ＝2. ∴x ＝25，

∵抛物线y ＝32x 2－3

2x －3与y 轴交于点C ， ∴当x ＝0时，y ＝－3， ∴C (0，－3)．

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1，

∵B (2，0)，C (0，－3)，将B 、C 两点代入解析式得

∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b 1＝0b 1

＝－3，解得k ＝32，

∴直线BC 的解析式为y ＝3

2x －3.

∵当x ＝25时，代入BC 解析式得y ＝－ 12

5， ∴E (25，－125)．

∵点E 在直线y ＝－x ＋n 上， ∴－25＋n ＝－125， ∴n ＝－2； ②全等；理由如下：

∵直线EF 的解析式为y ＝－x －2， ∴当y ＝0时，x ＝－2， ∴F (－2，0)， ∴OF ＝2. ∵A (－1，0)， ∴OA ＝1，∴AF ＝1，

∵抛物线与直线y ＝－x －2相交于点D ，联立方程，

得233

=322=2

y x x y x ⎧--⎪⎨⎪--⎩ 解得112=3

4=3x y ⎧

-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩

或22=1=3x y ⎧⎨-⎩.

∵点D 在第四象限， ∴点D 的坐标为(1，－3)．

∵点C的坐标(0，－3)，

∴CD∥x轴，CD＝1，

∴∠AFG＝∠CDG，∠F AG＝∠DCG，∵CD＝AF＝1，

∴△AGF≌△CGD(ASA)．