【2021版九年级数学培优讲义】专题27 数形结合

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中考数学总复习《数形结合问题》考点梳理及典例讲解课件

∴S△ABO＝12 ×1×1＝12 .
(2)结合函数图象可得，当 y1＞y2 时，x＜1.
例 1：甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，
两人之间的距离 s(单位：km)与运动时间 t(单位：h)的
函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是( )
A.两人出发 1 h 后相遇 B.赵明阳跑步的速度为 8 km/h C.王浩月到达目的地时两人相距 10 km D.王浩月比赵明阳提前 1.5 h 到目的地答案：C
例 2：如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 O→C→B→O 的路线匀速运动，设∠APD＝y(单位：度)，那么 y 与点 P 运动的时
间(单位：秒)的关系图是( )
A
B
C

D
答案：B
例 3：如下图，抛物线 y＝－14 x2－x＋2 的顶点为
A，与 y 轴交于点 B. (1)求点 A，点 B 的坐标； (2)若点P是 x 轴上任意一点，
n＝(BC＋CD＋DE＋EF＋FA )÷2＝(BC＋DE＋AB ＋AF)÷2＝(8＋6＋6＋8＋6)÷2＝17.
(3)解：由图 2 知，点 P 在 BC 上运动时，0≤t≤4， ∴S＝12 ×6×2t＝6t，即 S＝6t(0≤t≤4)； ∵由图 2 知，点 P 在 DE 上运动时，6≤t≤9， ∴S＝12 ×6×(2t－4)＝6t－12，即 S＝6t－12 (6≤t≤9).
当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点
时，
在点 P，A，B 构成的三角形中，PA －PB＜AB. 综合上述，PA －PB≤AB.

重点高中自招必备九年级专题27 数形结合

专题27 数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( )A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111. （湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．FEDBAC【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L cSc b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L x S x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1. 不查表可求得tan 015的值为__________.2. 如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________. （全国初中数学联赛试题） 3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________. （太原市竞赛试题） 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是( )A . (13，13)B ．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)yxDBOACyxOA 2A 1A 3A 4A 6A 5A 8A 7A 10A 9A 12A 117．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m += ( )A. 25B.128C.153D.243E.256 （美国数学统一考试题） 8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是( ) A ．∠B ＞2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B ＜2∠A D ．不确定 9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ( ) A ．a 1127 B ．a 1128 C ．a 1129 D ．a 113010. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO . (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）y xA HG F BCDO E12.已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k . 求证：a B 十b C ＋c A ＜2k .13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，求DE ．（美国数学邀请赛试题）第13题图F E DGHA OI BC14.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC //QN ，AM ＝MB ＝ 2cm ，QM ＝ 4cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上）．请写出t 可以取的一切值：_______________（单位：秒）．第14题图NMBA CQ15. 如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）l第16题图DBCA E17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2). 在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）y x第17题图y =2x O BA专题27数形结合例1 5提示:作出B 点关于x 轴的对称点B '(2,-3)，连结AB '交x 轴于C ，则AB '=AC 十CB ' 为所要求的最小值.例2 D 提示:设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =x ，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当⎩⎨⎧>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当⎩⎨⎧<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法:若b =5时，a =12(或b = 12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8). 例3设AB =x ，则BC =2x ,AC =x 3, BE =x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可. 例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出:当a =0时，y =0与x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250<<a 时，y =a 与x x y 52-=图象有四个不同交点;当425=a 时，y =a 与x x y 52-=图象有三个不同交点，当425>a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点. 例5由L c s cb s b a s a =+=+=+222 ①,知正数c b a ,,适合方程.2L xsx =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac sa c s c a -=⎪⎭⎫⎝⎛-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证. 例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++,3421120sin 21321150sin 321⨯⨯=+∙+∙∙∴ xz y z y x 即,6232132121321=∙+∙+⨯∙xz y z y x 化简得.32432=++zx yz xy 能力训练1.32- 提示:构造含 15的Rt △ABC .2.()062，提示:如图，分别过点A ,C 作x 轴的垂线，垂足分别为E , F .设OE =a , BF =b ，则AE =a 3, CF =b 3，所以点A ,C 的坐标为()().3,2,3,b b a a a +()⎩⎨⎧=+=∴,3323,3332b a b a 解得⎩⎨⎧-==.36,3b a ∴点D 坐标为()0,62. 3.52- 提示:当R ,P ，Q 三点在一条直线上时，PR +RQ 有最小值. 4.a x b ≤≤5. 36提示:由012=-+x x 得21x x -=<1，则有AB <OB .在OB 上截取OC =AB =x ，又由012=-+x x 得x x x 11=-，即ABOABC AB =，则OAB ∆∽△ABC ,AB =AC =OC . 6. C 提示:由题所给的数据结合坐标系可得，55A 是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以55A 的横纵坐标都是14. 7. A8. B 提示：由条件,22b ab ac ab a +=++即()bca abc a a b +=∴+=,2，延长CB 至D ，使BD =AB ，易证△ABC ∽△DAC ，得∠ABC =∠D +∠BAD =2∠D =2∠BAC .9. D10. C 提示:设直角三角形的两条直角边长为(),,b a b a ≤则ab k b a b a 2122∙=+++ (k b a ,,均为正整数)，化简得()()⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-∴=--44,2484,14,844kb ka kb ka kb ka 或解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===8,6,14,3,212,5,1b a k b a k b a k 或或即有3组解.11. (1)122--=x x y (2)过D 作DM ⊥ EH 于M ，连结DG ,2,===DO DG t DM ,.2222t MG FG -==若EF +GH =FG 成立，则EH = 2FG .由EF //x 轴，设H 为()t x ,4，又∵E ,H 为抛物线上的两个点，,12323t x x =--∴,12424t x x =--即43,x x 是方程t x x =--122的两个不相等的实数根，()t x x x x +-==+∴1,24343，()2432433422222,224t t t x x x x x x EH -∙=+∴+=-+=-=,解得8197,819711+-=-=t t (舍去). 12.a 十A =b +B =c 十C =k ，可看作边长为k 的正三角形，而从2k 联想到边长为k 的正方形的面积.如图，将aB +bC +cA 看作边长分别为a 与B ,b 与C ,c 与A 的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k 的正方形中，显然aB +bC +cA <k 2.13. AC =AG +GF +FC =16，由AH ·AI =AG ·AF ，得AH(AH ＋7)＝2×(2＋13)，解得AH ＝3，从而HI ＝7，BI ＝6．设BD ＝x ，CE ＝y ，则由圆幂定理得⎩⎨⎧CE •CD ＝CF •CG BD •BE ＝BI •BH ，即⎩⎨⎧y (16－x )＝1×14x (16－y )＝6×13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－22y ＝6－22 .故DE ＝16－(x ＋y )＝222. 14. t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知∠AMQ ＝60°，MN ＝2．当t ＝2时，圆P 与AB 相切；当3≤t ≤7时，点P 到AC 的距离为3，圆P 与AC 相切；当t ＝8时，圆P 与BC 相切．15．设AD ＝2，DC ＝1，作BE ⊥AC ，交AC 于E ．又设ED ＝x ,则BE ＝3x ,BE ＝EC ＝3x ．又1＋x ＝3x ,∴x ＝3＋12,BE ＝3＋32,AE ＝AD －ED ＝2－x ＝3－32，AB 2 ＝AE 2＋BE 2＝（3－32）2＋（3＋32）2＝6，而AD •AC ＝6．∴AB 2 ＝AD •AC .故由切割线定理逆定理知，AB 是△BCD 的外接圆的切线． 16．设AD AB ＝AE AC ＝m (0≤m ≤1).∵S △ABE S △ABC ＝AE AC ＝m ，∴S △ABE ＝m S △ABC ．又∵S △BDE S △ABE ＝BD AB＝AB －ADAB ＝1－m ，∴S △BDE ＝(1－m )• S △ABE ＝m (1－m )• S △ABC ．即K ＝(1－m )•mS ，整理得Sm 2－Sm ＋K ＝0,由△≥0得K ≤14S .17．分以下几种情况：①若此等腰三角形以OA 为一腰，且∠BAC 为顶角，则AO ＝AG ＝2．设C 1（―x ,2x ），则x 2＋（2x －2）2＝22，解得x ＝85，得C 1（85，165）．②若此等腰三角形以OA 为一腰，且O 为顶角顶点，则OC 2＝OC 3＝OA ＝2．设C 2（x ′，2x ′）, 则x ′2＋（2x ′）2＝22，解得x ′＝255，得C 2（255，455）．又由点C 2与C 3关于原点对称，得C 3（―255，―455）．③若等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，其横坐标为12，得C 4 (12，1)．所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：（85，165）,（255，455）,（―255，―455）,(12，1).。

初三数学培优之数形结合

初三数学培优之数形结合阅读与思考数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质时，离不开“形”；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数”．我们把这种由数量关系来研究图形性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作数形结合思想.数形结合有下列若干途径：1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题；3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题.现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能.代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一大进步．例题与求解【例l 】设1342222+-+++=x x x x y ，则y 的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题）解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．()()921122+-+++=x x y ＝()()()()2222302101-+-+-++x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C (x ，0)，使它到两点A （－1，1）和B (2，3)的距离之和（即CA ＋CB ）最小.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x 厘米，面积是x 平方厘米，这样的直角三角形 ( )A ．不存在B ．至多1个C ．有4个D ．有2个（黄冈市竞赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC 中，∠A ＝090，∠B ＝2∠C ，∠B 的平分线交AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F . 求证：BEAE BF AE DF BD ⋅+⋅=⋅111. （湖北省竞赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．DAC【例4】当a 在什么范围内取值时，方程a x x =-52有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数x x y 52-=与函数a y =(a ≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a 的取值范围．【例5】设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题）解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为a h ，b h ，c h ，△ABC 的面积为S ，则易得三个内接正方形边长分别为a h a S +2，b h b S +2，ch c S+2，由题意得c b a h c h b h a +=+=+，即L cSc b S b a S a =+=+=+222．则a ，b ，c 适合方程L x S x =+2.【例6】设正数x ，y ，z 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++1693253222222x zx z z y y xy x ，求zx yz xy 32++的值．（俄罗斯中学生数学竞赛试题）能力训练1. 不查表可求得tan 015的值为__________.2. 如图，点A ，C 都在函数xy 33=(0>x )的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________. （全国初中数学联赛试题） 3．平面直角坐标系上有点P (－1，－2)和点Q (4，2)，取点R (1，m )，当=m ________时，PR ＋RQ 有最小值.4.若0>a ，0<b ，要使b a b x a x -=-+-成立，x 的取值范围是__________.5.已知AB 是半径为1的⊙O 的弦，AB 的长为方程012=-+x x 的正根，则∠AOB 的度数是______________. （太原市竞赛试题） 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是( )A . (13，13)B ．(－13，－13) C.(14，14) D. (－14，一14)第2题图第6题图7．在△ABC 中，∠C ＝090，AC ＝3，BC ＝4．在△ABD 中，∠A ＝090，AD ＝12.点C 和点D 分居AB 两侧，过点D 且平行于AC 的直线交CB 的延长线于E ．如果nmDB DE =，其中，m ，n 是互质的正整数，那么n m += ( )A. 25B.128C.153D.243E.256 （美国数学统一考试题） 8．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A ，∠B 的关系是( ) A ．∠B ＞2∠A B ．∠B=2∠A C ．∠B ＜2∠A D ．不确定 9．如图，a S AFG 5=∆，a S ACG 4=∆，a S BFG 7=∆，则=∆AEG S ( ) A ．a 1127 B ．a 1128 C ．a 1129 D ．a 113010. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个11.如图，关于x 的二次函数m mx x y --=22的图象与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)两点(2x ＞0＞1x )，与y 轴交于C 点，且∠BAC ＝∠BCO . (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D （2，0）为圆心⊙D ，与y 轴相切于点O ，过＝抛物线上一点E (3x ，t )(t ＞0，3x ＜0)作x 轴的平行线与⊙D 交于F ，G 两点，与抛物线交于另一点H ．问是否存在实数t ，使得EF ＋GH ＝CF ?如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题）y xA HG F BCDO E12.已知正数a ，b ，c ，A ，B ，C 满足a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝k . 求证：a B 十b C ＋c A ＜2k .13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，求DE ．（美国数学邀请赛试题）第13题图BC14.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC //QN ，AM ＝MB ＝ 2cm ，QM ＝ 4cm .动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上）．请写出t 可以取的一切值：_______________（单位：秒）．第14题图15. 如图，已知D 是△ABC 边AC 上的一点，AD ：DC ＝2：1，∠C ＝045，∠ADB ＝060．求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．（全国初中数学联赛试题）16.如图，在△ABC 中，作一条直线l ∥BC ，且与AB 、AC 分别相交于D ，E 两点，记△ABC ，△BED 的面积分别为S ，K ．求证：K ≤S 41．（长春市竞赛试题）l第16题图DBCE17.如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2). 在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）y x第17题图=2x O BA。

初三数学知识点专题讲解与训练27---数形结合(培优版)

， C.(14 14)
－，一 D. ( 14 14)
y
y A
C
x
O
BD
第 2 题图
A10 A6 A2
O A1 A5 A9
A11 A7 A3
x
A4 A8 A12
第 6 题图
3 / 10
7．在△ABC 中，∠C＝900 ，AC＝3，BC＝4．在△ABD 中，∠A＝900 ，AD＝12.点 C 和点 D 分居 AB
得a =
4(2 − b)..因
a,h
2 − b > 0,
为边长且是整数.故当
得
b<2，取 b = 1, a =
4 不是整数;当
4−b
4 − b > 0,
3
2 − b < 0, 得 b>4，要使 a,b 为整数，只有两种取法:若 b=5 时，a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 4 − b < 0,
三角【形另例两5】边上设）△的A面BC积三都边相上等的，三证个明内：接△正AB方C形为（正有三两角个形顶．点在三角形的一（边江上苏，省另竞两赛个试顶题点）分别在解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为ha ，hb ， hc ，△ABC 的面积
为 S ，则易得三个内接正方形边长分别为 2S ， 2S ， 2S ，由题意得， a + ha = b + hb = c + hc a + ha b + hb c + hc
专题 27 数形结合答案
例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B'(2,-3)，连结 AB'交 x 轴于 C，则 AB'=AC 十 CB' 为

数学九年级下册第27章相似27.3位似

方法二：取AB中点D，过D作DE∥BC交AC于点E．△ADE即为所求．
方法三：延长AC到A′，使CA′= AC，延长BC到B′，使 CB′= BC，连接A′B′.△A′B′C 就是所求的三角形．
1 2 1 2
【总结提升】位似作图三确定 1.确定位似中心：位似中心的位置可随意选择，且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形. 2.确定原图形的关键点：如四边形有四个关键点，即它的四个顶点. 3.确定相似比：根据相似比的取值，判断是将一个图形放大还是缩小.
知识点 2 利用位似缩放图形【例2】画一个三角形，使它与已知△ABC位似，且原三角形与所画三角形的相似比为2∶1．
【思路点拨】根据相似比可知把原图形缩小一半，然后确定位似中心再作图，位似中心的选择是任意的.
【自主解答】方法一：任取一点O，连接OA，OB，OC，取OA， OB，OC的中点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，C′A′ 得△A′B′C′.△A′B′C′ 即为所求．
√
×
知识点 1 位似图形的识别与性质应用【例1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．如果不是，请说明理由.
【解题探究】1.位似图形要满足：①这两个图形__相__似_； ②对应点的连线都经过_______． 2.满足条件①的有：___同__一__点________________________；满所足以条位件似② 图的形有有：：__（____1__）____，____（____2____）____，____（____3..）根，据（条4件）②，，（判5断）它们的位似中心分别是（：1_）__，__（__2_）__，__（__4__）___________________．

初中数学九年级第二十七章 27.3 位似课件

图 27-3-5 (1)哪一组中的两个图形是位似图形？ (2)作出位似图形的位似中心．
解：(1)观察得知(4)中的图形不相似，所以它们不是位似图形；其他五组图均相似，通过画对应点连线得知，只有(1)、(3) 两组是(2)位位似似图中形心．如图 D61.
图 D61 它们的位似中心分别为点 O，点 P.
27.3 位似
1．位似图形
(1)定一义点：如果两个多边形平不行仅相似，而且对应顶点的连线相似交图于形，__这__个__点，叫对做应边__位互__似相__中____心_____．_，像这样的两个图形叫做位
这时我们说这两个图关于这点位似． (2)作用：可将一个图形___放__大___或____缩__小__．注意：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比
4．如图 27-3-8，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点上，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，请在图中作出
与矩形 OABC 关于点 O 位似，且相似比为12的矩形 OA′B′C′.
图 27-3-8
解：由图 D62 知：A(6,0)，B(6,4)，C(0,4)，利用位似图形对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′(3,0) ， B′(3,2) ， C′(0,2)，依次连接点O，A′，B′，C′，则四边形OA′B′C′ 就是所求作的四边形，如图D62.
知识点 2 位似图形的画法(重难点) 【例 2】如图 27-3-6，已知四边形 ABCD 的四个顶点坐标分别为 A(2,0)，B(4,1)，C(2,3)，D(0,1)．作出其以 O 为位似中心，相似比为 1 的图形，并写出图形的各顶点坐标．
图 27-3-6
解：应用位似中对应点的坐标变化规律，分别取A′(－2,0)， B′(－4，－1)，C′(－2，－3)，D′(0，－1)，顺次连接 A′， B′，C′，D′，四边形 A′B′C′D′就是要求的图形，如图 D59.

九年级数学中考典型及竞赛训练专题27 数形结合(附答案解析)

23
2 32
2
即
1 x• 2
y 11z• 322
y 1 xz • 32
3 2
6, 化简得
xy
2 yz
3zx
24
3.
பைடு நூலகம்
能力训练 1. 2 3 提示:构造含15 的 Rt△ABC.
2. 2 6，0 提示:如图，分别过点 A,C 作 x 轴的垂线，垂足分别
为 E, F. 设
OE=a, BF=b，则 AE= 3a , CF= 3b ，所以点 A,C 的坐标为
点 A（－1，1）和 B(2，3)的距离之和（即 CA＋CB）最小.
【例 2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是 x 厘米，面积是 x 平方厘米，这样的直角三
角形 ( )
A．不存在
B．至多 1 个
C．有 4 个
D．有 2 个
（黄冈市竞赛试题）
解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知满足题设要求的直角三角形不存在；
积分别为 S，K．求证：K≤ 1 S ． 4
（长春市竞赛试题）
A
D
E l
B
C
第16题图
17.如图，直线 OB 是一次函数 y 2x 的图象，点 A 的坐标为(0，2). 在直线 OB 上找点 C，使得△ACO 为
等腰三角形，求点 C 的坐标．
（江苏省竞赛试题）
y AB
x O y=2x
第17题图
专题 27 数形结合
时，y=a 与
个不同交点，当 a 25 时，y=a 与 y x2 5x 图象有且只有相异二个交点. 4
例 5 由 a 2s b 2s c 2s L ① , 知正数 a,b, c 适合方程 x 2s L. 当 x 0 时，有

2021春人教版九年级数学下册第27章 27.1.2 相似多边形

知1－练
4 下列四组图形中，一定相似的是( D ) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
知1－练
知识点 2 相似多边形的性质
知2－讲
相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的度数．
知2－讲
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大
小和EF的长度x. 解：因为四边形ABCD和EFGH相
似，所以它们的对应角相等，
由此可得α=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.
在四边形ABCD中，
β=360°-(78°+83°+118°) = 81°.
因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边
成比例，由此可得 EH EF ,即 x 24 .
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠DAC ＝∠BAC＝45°.又∵GE⊥AD，GF⊥AB， ∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG. ∴AE＝EG＝FG＝AF，∴四边形AFGE为正方形． ∴ AF FG GE AE ，且∠EAF＝∠DAB，
AB BC CD AD
∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．（来自《点拨》）
∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D
=∠D1，AA1BB1
BC
B1C1
CD
C1 D1
DA
D1 A1
,因此四边形ABCD与四边
形A1B1C1D1相似.
知1－讲
定义如果两个多边形的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．

2021年初中九年级《数学(全一册)》-配套课件-第27章相似-27-3位似

解:(1)如图. (2)B'(-6,2),C'(-4,-2). (3)M'(-2x,-2y).
点拨:以坐标原点为位似中心的两个位似图形存在两种情况,若所在的象限相同,则它们横坐标的比、纵坐标的比分别为k;若所在的象限不同,则它们的横坐标的比、纵坐标的比分别为-k.
快乐预习感知互动课堂理解轻松尝试应用
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2.位似变换中对应点的坐标变化规律【例2】如图,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,1),(2,1). (1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形; (2)分别写出B,C两点的对应点B',C'的坐标; (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出点M的对应点M'的坐标.
(方法三)在五边形的内部取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE;分别取OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接点A',B',C',D',E', 即得五边形A'B'C'D'E',如图③.
快乐预习感知互动课堂理解轻松尝试应用
(方法四)在AB的边上取一点O,连接CO,DO,EO;取 OA,OB,OC,OD,OE的中点A',B',C',D',E',顺次连接点A',B',C',D',E',即得五边形A'B'C'D'E',如图④.
的解坐: 标(1);画出原点 O,x 轴、y 轴如图,则 B(2,1). (2)以原(2点)画O出为图位形似△中A心'B',C相'. 似比为2,在第一象限内将△ABC放大,画

(九年级数学)专题复习——数形结合思想

（九年级数学）专题复习——数形结合思想班别姓名一、复习内容：数形结合数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。

考点1.借助数轴解不等式及根式的化简例1、实数ba,在数轴上对应位置如图所示，则||a b-）abDaCbaBaA---..2..变1、实数cba,,在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）考点2.图表问题3、某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，每加 1分钟加收 1元，则表示电话费y（元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（）4、二次函数cbxaxy++=2的图像（如右图）经过),0,3(),0,3(),0,1(CBA则对称轴为_______cbcaDcbaCbabaBbcacA-->--<-<--=->....考点3. 借助平面直角坐标系解函数问题5、若一次函数m x m y +-=)2(的图象经过第一、二、四象限时，m 的取值范围是_______.6、若点),1(,),1(,),2(321y y y -- 在反比例函数xy 2=的图像上，则（） 123213312321....y y y D y y y C y y y B y y y A >>>>>>>>7、已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如左下图所示，顶点为)0,1(-，下列结论0)5(,0)4(,2)3(,04)2(,0)1(2>++>+-==-<c b a c b a a b ac b abc其中正确的有_______8、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右上图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为9、已知二次函数c bx ax y ++=2中，函数y 与x 的部分对应值如下表：则当5<y 时，x 的取值范围是10、抛物线21=-的大致图象如图所示，点By xA,是抛物线与x轴的交点，点C是抛物线与y轴交点；（1）判断ABC∆的形状，并说明理由；（2）点P是抛物线上的一点，它的横坐标为2，问在y轴上是否存在一点D，使得BDPD+的长度最小？求出这时点D的坐标。

2021春人教版九年级数学下册第27章 27.3.1 位似图形

第二十七章相ꢀ似27.3位ꢀ似第1课时位似图形1 2u位似图形的定义u位似图形的性质u位似图形的画法逐点导讲练课堂小结课后作业放幻灯片在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系呢？幻灯机在哪儿呢？知1－导1位似图形的定义这两个图形有哪些特征呢？1．两图形相似；2．每组对应点所在直线都经过同一点；3.对应边互相平行.知1－导如果两个OD CD/C/A/AB/B如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.知1－导同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形．三条件缺一不可．1．两图形相似；2．每组对应点所在直线都经过同一点；3.对应边互相平行.显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.知1－讲例1判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形，如果是，请指出其位似中心．解：(1)是位似图形，位似中心为点A；(2)是位似图形，位似中心为点P；(3)不是位似图形；(4)是位似图形，位似中心为点O；(5)不是位似图形．（来自《点拨》）知1－练1如图所示两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(ꢀDꢀ)A．点MB．点NC．点OD．点P知1－练2【中考·德州】对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是(ꢀDꢀ)A．平移B．旋转D．位似C．轴对称知1－练3利用位似图形将一个图形放大或缩小时，首先要选取一点作为位似中心，那么位似中心可以在(ꢀDꢀ)A．图形外ꢀC．图形上B．图形内ꢀꢀD．以上都可以知2－讲2位似图形的性质图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？B/A C/O A/B C知2－讲位似图形有以下性质：1.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.（来自《点拨》）知2－讲例2〈玉林〉△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(ꢀDꢀ)A. 3B. 6C. 9D. 12导引：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，∴△ABC与△A′B′C′相似，且相似比为1∶2.∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4.∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12.（来自《点拨》）知2－讲总结两个图形位似，则两个图形相似，所以相似图形的性质，位似图形都满足，可以直接运用．（来自《点拨》）知2－练1如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？C解：AB∥CD.理由如下：∵△OAB和△OCD是位似图形，∴△OAB∽△OCD.∴∠OAB＝∠C.∴AB∥CD.ꢀ（来自教材）知2－练2【中考·东营】下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．其中正确命题的序号是(ꢀꢀ)AA．②③B．①②C．③④D．②③④知2－练3如图，点O是五边形ABCDE和五边形A B C D E11111的位似中心，若OA：OA＝1：3，则C D CD＝111：(ꢀCꢀ)A．1：2B．1：3C．3：1D．1：4知2－练4如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，相似比是1：2，已知DE＝4，则AB的长是(ꢀAꢀ)A．2B．4C．8D．1知3－导3位似图形的画法探究：如果在四边形ABCD外任取一点O，分别在OA，QB，OC，OD的反向延长线上取点A′ ，B′ ，C′ ，D′ ，使得四边形A′B′C′D′ 与四边形ABCD有什么关系？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出得到的四边形A′B′C′D′ .知3－导例如，要把四边形ABCD缩小到原来的我们可以在四边形ABCD外任取一点O（如图），分别在线段OA，OB，OC，OD上取点A′ ，B′ ，C′ ，D′ ，使得顺次连接点A′ ，B′ ，C′ ，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形.知3－讲画位似多边形的一般步骤：(1)确定位似中心；(2)分别连接位似中心和能代表原多边形的关键点；(3)根据位似比，利用截取的方法，找出所作的位似多边形的对应点；(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的多边形．知3－讲例3如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2) 连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)知3－讲分析:(1)根据位似比是1∶2，画出以O为位似中心的△A′B′C′；(2)根据勾股定理求出AC，A′C′的长，由于AA′，CC′的长易得，相加即可求得四边形AA′C′C的周长．解：(1)如图所示：(2)AA′=CC′=2．在Rt△OA′C′中，OA′=OC′=2，得A′C′=同理可得AC=∴四边形AA′C′C的周长=知3－练1如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的3倍.解：如图所示的△A′B′C′或△A″B″C″就是所要求作的三角形．（来自教材）知3－练3【中考·漳州】如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2.(1)在图中画出四边形AB′C′D′；等腰直角(2)填空：△AC′D′是________三角形．11. 位似图形的概念如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.2.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.(位似比)2如图，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点D为位似中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1，画出符合条件的所有图形．(不要求写作法)解：如图：易错总结：此题易忽略其中一种情况，当题中对位似图形的位置没有限制条件时，一定要考虑全面．易错点：对位似变换时图形的位置考虑不全而漏解.请完成《点拨》对应习题！。

新人教版九年级下数学27-1《图形的相似》课件

最大最全最精的教育资源网27．2． 1 相像三角形的判断（第 1 课时）教课任务剖析知识技术1．认识相像三角形和相像比的含义；2．掌握平行线分线段成比率的基本领实．教数学思虑1．经历“实验 -- 研究——发现——猜想”的过程，指引学生领会数学事实产生的全过程；学2．培育学生用规范的数学语言进行表述的习惯和能力．解决问题1．经过第一个问题的的自主学习，培育学生阅读、察看、剖析、概括目问题的能力 .2．经过实验研究的过程，猜想感知基本领实及推论，进行初步应用.标感情态度1．指引学生绘图、丈量、察看、发现，激发学生的好奇心和求知欲．2．鼓舞学生踊跃参加数学活动，体验数学活动中的研究与创新．感觉数学的谨慎性．要点平行线分线段成比率的基本领实的初步应用．难点平行线分线段成比率的基本领实的初步应用教课流程安排活动流程图活动内容和安排活动 1 讲话复习引入课题讲话复习引入课题；活动 2研究 -- 发现 --猜想—概括“平行线分经过设置问题串，研究 --发现 -- 猜想，概括线段成比率”的基本领实平行线分线段成比率定理；发展学生的推理能力和语言表达能力，培育学生的实践能力和察看总结能力；自主学习，合作沟通。

培育学生自主学习能活动 3平行线分线段成比率定理推论力及沟通能力。

活动4练习稳固在解题过程中加深对定理的理解，学会定理的运用；最大最全最精的教育资源网活动 5经过小结及课后研究习题梳理所学知识，达讲堂小结到稳固、发展、提升的目的；从理性上认识平行线分线段成比率定理的正活动 6讲堂检测练习确性。

教课过程设计问题情境师生活动设计企图一. 创建情境，发现规律。

活动 1 讲话复习引入课题教师活动 :明确（ 1 ）相像多边形的主要特点是什么？（ 1）在相像多边形中，最简单的就是提出问题．创（ 2）在相像多边形中，最简单的就相像三角形。

设情境。

是相像三角形．（ 2）用符号“∽”表示相像三角形如同时复习巩在△ ABC 与△A ′B′C′中，△ABC ∽ △ABC ;假如∠ A=∠A ′, ∠B=∠B′,固相像多边∠C=∠C′,且（ 3）当△ ABC 与△A B C的相像比形的观点及AB BC CAA B B Ck ．C A我们就说△ABC 与△ A′B′C′相像，记作△ABC ∽△ A ′ B ′C′， k 就是它们的相像比．反之假如△ABC∽△A′B′C′，则有∠ A=∠A ′, ∠B=∠B′,为 k 时，△A B C与△ ABC 的相像其性质，增强比为 1/k．知识间的联系。

人教版数学九年级下册《27.1 图形的相似》PPT优质课件(30张)ppt

（2）求矩形 ABFE 与矩形 ABCD 的相似比.
A
E
D
解：矩形 ABEF 与矩形ABCD
的相似比为：
AB 1 2 .
BC 2 2
B
F
C
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A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 m
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3. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，
相似比是多少？
A 3D
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【思考】下图是两个正六边形，它们相似吗?它们的对应角、对应边分别有什么关系?
两个正六边形相似,它们的对应角相等,对应边成比例. 从上述两个问题的探索中你能得到什么结论? 两个边数相等的正多边形相似,且对应角相等、对
应边成比例.
观察两张黄山松、两张天坛的照片有什么特点?
黄山松天坛
【思考】这两张中国地图的照片有什么关系?
【想一想】我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方?
相同点：形状相同．
不同点：大Βιβλιοθήκη 不同．归纳新知人教版数学九年级下册《27.1 图形的相似》PPT优质课件（30张）ppt
两个图形的形状 _完__全_相__同__，但图形的大小位置 _不__一_定__相__同__，这样的图形叫做相似图形。
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归纳：相似多边形的定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 相似比：相似多边形的对应边的比叫作相似比.