类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用
2024年高考物理热点磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
用磁聚焦模型解两道高考压轴题
（ １ ） ， ｇ ｋ Ａ点 射 出的 带 电微 粒 平 行 于甜 由 从Ｃ 点进
入有磁场区域 ， 并从 坐标原 ａ ． Ｏ ￣ｙ 轴负方向离开 ， 求
（ ２ ） 请 指 出这 柬 带 电微 粒 与 轴相 交的区域 ， 并
A 点 射 出磁 场 不
．
电子 从 B C
，
边 上 的任 意点入 射 都 只 能从
，
即 为轨迹 圆 的 圆 心 再 连 接
，
因为
R
=
等 廿
g
，
显
计重 力 求 ：
，
然
轨 迹 圆 的半 径 与 区 域 圆 的 半 径 相 等
=
，
即A
OJ=
(1
) 此 匀 强 磁 场 区 域 中磁 感应 强 度 的 方 向和 大 小
纸面向外． 圆弧 Ａ Ｅ Ｃ的 圆心 在 Ｃ Ｂ边 或 其 延 长线 上 ． 依 题意 ， 圆心 在 Ａ、 Ｃ连 线 的 中垂 线 上 ， 故 Ｂ点 即为 圆心 ， 圆半径为 ｎ ， 按 照 牛顿 定 律 有 厂 镕 ＝ ｍ
ａ
轴 平 行 的 匀 强 电 场 ， 在葬
半径为 Ｒ 的圆内 还有与 鉴
０ ｖ 平 面 垂 直 的 匀 强磁 场． 在 圆 的 左 边放 置 一
图６
带电微粒发射装置 ， 它沿 轴正方向发射 出一束具有
相 同质 量 ｍ、 电荷 量ｑ （ ｑ ＞ ０ ） 和初 速 度 的 带 电微 粒 ． 发
射 时， 这柬带电微粒分布在０ ＜ ｙ ＜ ２ Ｒ￣区间内． 已知 重
“
口c
，
边的
且 日 为 任 意角
所 以经 磁 场 偏转 后 的所 有 粒 子 的 运
“磁发散与磁聚焦”模型在高考中的应用-2019年文档
“磁发散与磁聚焦”模型在高考中的应用当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律. 磁发散：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如图1所示.磁聚集：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如图2所示.图1图2这两条规律在近几年高考中频频出现，如能在平时对平行运动带电粒子磁聚焦问题进行深入分析和研究，那么在考试中遇到类似题目就会有“游刃有余，一切尽在掌控中”的自信和豪情.一、突出对粒子运动径迹的考察例1如图3，ABCD是边长为的正方形.质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场.不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积.图3图4解析: （1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B.令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道.电子所受到的磁场的作用力大小为f =ev0B，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外.圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上.依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有f=mv202,联立两式得B=mv0ea.（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中.因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界.为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ（不妨设0≤θ≤π/2）的情形.该电子的运动轨迹qpA，如图4所示.图中，圆弧AP的圆心为O，pq垂直于BC边，由B=mv0ea知，圆弧AP的半径仍为a，在以A为原点、AB为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标(x,y)为x=asinθ,y=a-acosθ. 消去参数θ得x2+(y-a)2=a2.这意味着，在范围0≤θ≤π/2内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周AFC，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界.因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以AEC和AFC为圆心、为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的，其面积为S=2(14πa2-12a2)=π-22a2.点评:这是一个典型的利用磁场进行平行运动带电粒子磁聚焦的考题，看起来在考磁场的最小面积问题，但实质上在考核粒子的运动径迹.从知识和能力的角度看，对于面对陌生题目的考生而言，综合考查了学生对于带电粒子在磁场中运动的综合分析能力，二、突出对粒子运动“汇聚点”的考察例2如图5所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒.发射时，这束带电微粒分布在0。
高中物理磁聚焦模型
高中物理磁聚焦模型磁聚焦模型：1. 什么是磁聚焦？磁聚焦，是一种物理现象，由于磁场的作用，在具有磁性物质的波的传播路径上形成在某一点的强烈的叠加，形成对应的磁聚焦点。
它是波传播中强烈的穿透和局域性作用，使得传播矩阵变得比空间无磁性环境现象更加复杂。
2. 磁聚焦是如何产生的？磁聚焦是在磁场存在的情况下，由磁场和磁力线成环，当波穿过磁力线时，其本质是在拉伸和收缩，使得波进行两次反射。
而磁放射波在反射和穿透过程中损失了能量，使得在磁场的某一点出现爆发，形成了磁聚焦的现象。
3. 磁聚焦的作用磁聚焦的作用是，可以增强信号强度，使传播距离较远，用于改善信号传播的效果。
例如，在医学成像中，使用磁聚焦可以减少病灶损伤，使影像更加清晰。
此外，还可以用于建立磁声图像、测量地震波或者改善雷达探测等等。
4. 磁聚焦的应用（1）测量：可用于测量放射波，如放射性、声波和超声波信号的传播，在电磁测量中，磁聚焦技术可以提升测量的精确度，使测量变得更加准确。
（2）成像：可用于医学成像技术，如超声成像技术、X射线成像等，通过磁聚焦可以获得更加清晰、精确、无损伤的图像；（3）通信：可以用磁聚焦技术提高电磁波传播率；比如，在长距离通信中，使用磁聚焦技术可以有效提高电磁波传播的损耗，使传输距离更远，信号更稳定。
5. 磁聚焦的未来目前，磁聚焦技术的应用越来越广泛，在测量、成像、无线通信等领域应用特别普遍，但是它的发展也还有很多的不足，随着电磁技术的发展，将会给磁聚焦的应用提供新的机遇，未来磁聚焦技术一定会得到广泛的运用，带来更多的发展和应用。
一个磁聚焦问题的证明及其应用——从一道高考压轴题的答案谈起
一个磁聚焦问题的证明及其应用——从一道高考压轴题的答案谈起近年来，随着科学技术的迅猛发展，磁聚焦技术在各个领域得到了广泛应用。
在物理学中，磁聚焦是指通过磁场将带电粒子聚集起来，使其运动轨道受到控制，以达到聚焦的目的。
然而，要深入理解磁聚焦问题，并探讨其应用，需要具备扎实的基础知识和数理推导能力。
在我国高考物理试题中，经常会涉及到一些经典的磁聚焦问题。
其中一道压轴题引起了广大考生的关注和研究。
该题描述了这样一个情景：一个电子素具有速度v且电量为e，在通过一段长度L的均匀磁感应强度为B的磁场后，由于受到磁力的作用而发生了轨道偏转。
考生需要回答这个电子偏转的偏转角度θ，并进行证明。
首先，我们来分析一下这个问题。
根据洛伦兹力的公式F=qvBsinθ，可以得到电子受到的磁力大小为F=evBsinθ，其中e和v分别为电子的电量和速度。
根据牛顿第二定律，力的合力与物体加速度的关系为F=ma，其中m为电子的质量，a 为加速度。
所以，我们可以得到加速度与力的关系为a=evBsinθ/m。
进一步考虑加速度与速度的关系，可以得到速度与时间的关系为a=Δv/Δt，其中Δv和Δt分别为速度和时间的变化量。
如果我们对时间进行微分，可以得到a=dv/dt。
所以，将时间微分后的式子代入加速度与力的关系式中，可以得到：dv/dt = evBsinθ/m接下来，进行变量的分离。
我们可以将与速度有关的项移到方程的左边，将与时间有关的项移到方程的右边，得到： dv/(v) = (eBs inθ/m)dt然后，对等式两边进行积分。
对速度的积分可以得到ln(v) = (eBsinθ/m)t + C，其中C为积分常数。
再对时间的积分可以得到t = ∫dt = ∫(1)dt = T，其中T为时间的变量。
所以，我们可以得到：ln(v) = (eBsinθ/m)T + C接下来，我们需要利用题目中给出的条件，即电子通过长度为L的均匀磁场，所以其速度变为v'，即v' = v + aL，其中a为加速度。
专题05 磁聚焦模型-高考物理模型(解析版)
一模型界定本模型是指速率相同的同种带电粒子在经过圆形匀强磁场运动的过程中,当粒子运动轨迹半径与磁场区域半径相等时所引起的一类会聚与发散现象.二模型破解如图1所示,设粒子在磁场中沿逆时针旋转,粒子从磁场边界上P点以相同速率沿各个方向进入圆形有界匀强磁场.粒子运动轨迹半径为r,磁场区域半径为R.(i)沿任意方向入射的粒子出射方向都相同,出射速度都在垂直于入射点所在直径的方向上.(ii)若初速度与磁场边界上过P点的切线之间的夹角为θ,则粒子在磁场中转过的圆心角度也为θ.如图2所示,当2πθ=时,粒子出射点在与PO垂直的直径端点上;当32πθ=时（即与入射点所在磁场直径成300夹角时）粒子在磁场中运动的轨迹圆心在磁场边界上,运动轨迹通过磁场区域的圆心，出射点的坐标为（R23，R23）.(iii)如图3所示,相同速率的同种粒子以相同的初速度射向圆形匀强磁场时,若粒子在磁场中运动的轨迹半径与磁场区域的半径相等,则经过磁场区域的所有粒子都会聚到磁场区域的一条直径的端点处,该直径与粒子初速度相垂直.欲使所有粒子都会聚到同一点,磁场区域的直径应等于粒子束的宽度d,从而磁场强弱也随之确定:qBmvd=2.如图4所示，粒子进入磁场时速度与所在磁场半径的夹角与穿出磁场时速度与所在磁场半径的夹角相等。
图3图1 图2例1.如图所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。
从0点向不同方向发射速率相同的电子，电子的运动轨迹均在纸面内。
已知电子的电量为e ，质量为m ，电子在磁场中的偏转半径也为r ，不计重力及阻力的作用，求：（1）电子射入磁场时的速度大小；（3）速度方向与x 轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的电子，到达y 轴的位置到原点O 的距离。
【答案】（1）m eBr v=（2）22m mr eB eE π+（3）mEer Br r r y 3+=+∆例1题图（3）电子在磁场中转过120°角后从P 点垂直电场方向进入电场，如图所示 P 点距y 轴的距离为r r r x 5.160cos 1=︒+=设电子从进入电场到达到y 轴所需时间为t 3，则 由23121t meE x =得： eEmrt 33=在y 方向上电子做匀速直线运动，因此有mEer Brvt y 33==∆ 所以，电子到达y 轴的位置与原点O 的距离为mEer Brr r y 3+=+∆ 。
利用GeoGebra软件构建高中物理模型的教学初探
利用 GeoGebra软件构建高中物理模型的教学初探摘要：首先介绍GeoGebra软件的特点以及相比几何画板的优越性，再分别从新课教学和习题教学两个方面各选取三个典型案例介绍GeoGebra软件在其中的应用，相比于传统教学方式，可以发现利用GeoGebra软件进行教学有着直观、便捷、易于理解等诸多特点。
关键词：GeoGebra；物理教学；新课教学；习题教学一、引入1.GeoGebra软件介绍及特点GeoGebra软件（以下简称GeoGebra）是跨平台的动态数学软件，可为数学和物理等多个学科提供辅助教学，它是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授MarkusHohenwarter设计。
该软件具有以下几个特点：（1）可免费用于学习、教学和考评；（2）功能强大、使用简单、交互性强；（3）支持多种语言，可覆盖世界上绝大多数人群；（4）以形象直观富有趣味的方式体验数学和科学；（5）可适于各种课程或项目；（6）在世界上有数百万人使用。
2.GeoGebra与几何画板的对比相比于国内运用更为广泛的同类软件几何画板，具有如下优点：（1）几何画板为商业软件，单个软件售价达数百元，而GeoGebra从诞生之日起就一直开源免费，致力于让世界上每个学生老师都能享受到其所带来的便利；（2）几何画板基本只限于平面几何，解析几何能力不强。
相比之下，GeoGebra除了能做平面绘图外，还能做3D绘图、概率统计、代数和符号运算、表格运算、微积分等；（3）几何画板只支持在电脑上运行，GeoGebra则支持跨平台使用，在电脑、平板、手机、网页上均能使用，体现了极大的交互性和便利性；（4）几何画板的操作基于尺规作图，涉及到复杂的作图，就会比较不便。
GeoGebra则提供了更加丰富的途径，除了常规的尺规作图外，还能通过指令和脚本操作，操作方式多变且灵活。
二、GeoGebra在新课教学中的应用在高中物理的新课教学中，部分内容过程抽象，思维难度较大，给学生的新课学习带来了一定困难，而新课学习中的困难又直接导致了后续学习的困难，从而使得部分同学对物理学习产生畏难情绪。
放缩圆、旋转圆、平移圆和磁聚焦模型在磁场中的应用-2025版高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
2025届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题58放缩圆、旋转圆、平移圆和磁聚焦模型在磁场中的应用导练目标导练内容目标1放缩圆模型目标2旋转圆模型目标3平移圆模型目标4磁聚焦模型【知识导学与典例导练】一、放缩圆模型适用条件速度方向一定，速度大小不同粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法【例1】如图所示，在边长为L 的正三角形abc 区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，有一群质量为m 、电荷量为q 的粒子，以大小不同的速度从a 点沿ac 方向进入磁场，从ab 边或bc 边射出磁场。
下列说法正确的是（）（不计粒子重力和粒子间的相互作用）A ．粒子带正电B ．粒子在磁场中运动时间最长为3m qBπC ．从b 点飞出的粒子的轨迹半径为3D ．从bc 边飞出的粒子，飞出点越靠近c ，运动时间越长【答案】C【详解】A ．由左手定则可知粒子带负电，A 错误；B ．粒子从ab 边射出时在磁场中转过的圆心角最大，运动时间最长，如图所示最长时间为120120223603603m mt T qB qBππ︒︒===︒︒，B 错误；C ．如图所示由几何关系得从b点飞出的粒子的轨迹半径为2cos303LR ==︒，C 正确；D．如图所示从bc 边飞出的粒子，飞出点越靠近c 对应的圆心角越小，运动时间越短，D 错误。
故选C 。
二、旋转圆模型适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径R ＝mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R ＝mv 0qB的圆上界定方法将一半径R ＝mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法【例2】如图所示，矩形ABCD 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，AB 边长为d ，BC 边长为2d ，O 是BC 边的中点，E 是AD 边的中点，在O 点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m 、电荷量均为q 、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB 边的夹角为60︒的粒子恰好从E 点射出磁场，不计粒子的重力，则（）A ．从AD 边射出与从CD 边射出的粒子数之比为3:2B ．粒子运动的速度大小为qBd mC ．粒子在磁场中运动的最长时间为m BqπD ．磁场区域中有粒子通过的面积为244d π+【答案】ABD 【详解】如图所示B ．粒子带正电不可能从与60度夹角的O 点射入经过B 点，因此带负电，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r d =由牛顿第二定律2v qvB m r=解得粒子运动的速度大小为qBd v m=故B 正确；C ．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为2mqBπ，故C 错误；D ．由图知，磁场区域有粒子通过的面积为图中AOCDA 区域的面积，即为2221444d d d ππ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭故D 正确；A ．由图可知，当速度垂直OB 时，粒子刚好从D点射出，如下图所示由几何关系可知，当速度方向与OC 的夹角为30°时，恰好从C 点射出，则从AD 边射出与从CD 边射出的粒子数之比为90:603:2︒︒=故A 正确。
物理中磁聚焦现象
物理中磁聚焦现象指带电粒子束经过一定特征磁场的作用后会聚于一点。
磁聚焦现象在现代科技中有广泛的应用。
近年来“,磁聚焦”类问题作为难度较大的一个热点,频繁出现在各级中学物理竞赛和高考命题中,以考查学生灵活运用电磁学知识和数学知识分析解决实际问题的能力。
（2009年海南物理）16．如图，ABCD 是边长为a 的正方形。
质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求： （1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。
令圆弧AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁场的作用力0f ev B =应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧AEC 的圆心在CB 边或其延长线上。
依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a 按照牛顿定律有 22v f m =联立①②式得 0mv B ea=（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中。
因而，圆弧AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ（不妨设02πθ≤<）的情形。
该电子的运动轨迹qpA 如右图所示。
图中，圆AP的圆心为O ，pq 垂直于BC 边 ，由③式知，圆弧AP 的半径仍为a ，在D 为原点、DC 为x 轴，AD 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(,)x y 为sin [(cos )]cos x a y a z a a θθθ==---=-④⑤这意味着，在范围02πθ≤≤内，p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周AFC ，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
高考物理一轮复习(新高考版1(津鲁琼辽鄂)适用) 第10章 专题强化19 动态圆问题
mv0 qB
的圆上
ห้องสมุดไป่ตู้轨迹圆圆心
共圆
界定 方法
将一半径为R＝mqBv0 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索 出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 如图3所示，平行边界MN、PQ间有垂直纸面向里的匀强
磁场，磁场的磁感应强度大小为B，两边界的间距为d，MN上
有一粒子源A，可在纸面内沿各个方向向磁场中射入质量均为
√C.粒子在距 A 点 1.5d 处射入，在Ⅰ区内运动的时间为πqmB
图2
√D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为3πqmB
解析 带电粒子在磁场中的运动半径 r＝mqBv＝d， 选项 A 错误； 设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切 (如图所示)，则E点距A点的距离为2d－d＝d，粒子 在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误； 粒子在距 A 点 1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆， 运动的时间为 t＝T2＝πqmB，选项 C 正确； 进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的运动时间最短，且最短弦长为 d，对应圆心 角为 60°，最短时间为 tmin＝T6＝3πqmB，选项 D 正确.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
题型一 “平移圆”模型 题型二 “旋转圆”模型 题型三 “放缩圆”模型 题型四 “磁聚焦”模型 课时精练
01
题型一 “平移圆”模型
适用 条件
速度大小一定，方 向一定，但入射点 在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点
不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强
图6
2.带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量 质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有 界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径 相等，则所有粒子射出磁场的方向平行.(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、 入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形， O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相 同(即水平方向).
专题18 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
2022届高三物理二轮常见模型与方法综合特训专练专题18 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型专练目标专练内容目标1旋转圆模型（1T—5T）目标2放缩圆模型（6T—10T）目标3平移圆模型（11T—15T）目标4磁聚焦模型（16T—20T）一、旋转圆模型1．如图甲所示的平面直角坐标系中，x轴上方有磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，在O点处有一粒子源，沿纸面不断地放出同种粒子，粒子的速率均为v，粒子射入磁场的速度方向与x轴正方向的夹角范围为60°—120°。
粒子的重力及粒子间的相互作用均不计。
图乙中的阴影部分表示粒子能经过的区域，其内边界与x轴的交点为E，外边界与x轴的交点为F，与y轴的交点为D（a，0）。
下列判断正确的是（）A．粒子所带电荷为正电B．OF3C．粒子源放出的粒子的荷质比为v aBD．从点E离开磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为23a v π【答案】CD【详解】A．由左手定则可知，粒子所带电荷为负电，选项A错误；B．则OD a R==则OF=2R=2a选项B错误；C．根据2vqvB mR=解得q v vm BR Ba==选项C正确；D．从点E离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为120°，也可能是240°，则在磁场中运动的时间可能为233vT atπ==也可能是2433T atvπ=='选项D正确。
故选CD。
2．如图，一粒子发射源P位于足够长绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、比荷为k的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。
已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（）A．磁感应强度的大小为d kvB．磁感应强度的大小为v kdC ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为76dvπ D ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为6kdvπ【答案】BC【详解】AB ．根据牛顿第二定律2v qvB m d =根据题意q k m =解得v B kd =，A 错误，B 正确；CD ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最长时间和最短时间如图所示min 16t T =；max 34t T =粒子运动的周期为2dT v π=最大时间差为max min t t t ∆=-解得76d t vπ∆=，C 正确，D 错误。
专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型一、旋转圆模型1．如图所示，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一放射源P 位于足够大的绝缘板AB 上方，放射性物质为23892U ，发生α衰变后，放出α射线，23490Th 留在放射源中，P到AB 的距离为d ，在纸面内向各个方向发射速率均为v 的α粒子，不考虑粒子间的相互作用和α粒子的重力。
已知α粒子做圆周运动的半径也为d ，则（ ）A ．核反应方程为23892U→23490Th ＋42HeB ．板上能被α粒子打到的区域长度是2dC ．α粒子到达板上的最长时间为32dv π D ．α粒子到达板上的最短时间为2dvπ【答案】AC【详解】A ．根据质量数守恒和电荷数守恒可知，核反应方程为238234492902U Th He →+，A 正确；B ．打在极板上粒子轨迹的临界状态如上图所示根据几何关系知，带电粒子能到达板上的长度1)l d d ==，B 错误；CD ．由题意如画出所示由几何关系知最长时间为1轨迹经过的时间，即竖直向上射出的α粒子到达板上的时间最长，其轨迹对应的圆心角为270°，故最长时间为3323442d dt T v v ==⨯=长ππ而最短时间为轨迹2，其轨迹对应的弦长为d ，故对应的圆心角为60°，最短时间为112663d dt T v v==⨯=短ππ，D错误C 正确。
故选AC 。
2．如图所示，在边长为L 的等边三角形区域ABC 内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为03B qL=，大量质量为m 、带电荷量为q 的粒子从BC 边中点O 沿不同的方向垂直于磁场以速率v 0射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）ABC ．对于从AB 和ACD ．对于从AB 和AC边射出的粒子，在磁场中运动的最短时间为012Lv 【答案】BC【详解】A．所有粒子的初速度大小相等，它们在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为0mv r qB ==故A 错误；B．粒子做圆周运动的周期为002r LT v v π==故B 正确； C ．当粒子运动轨迹对应的弦最长时，圆心角最大，粒子运动时间最长，当粒子运动轨迹对应的弦长最短时，对应的圆心角最小，粒子运动时间最短。
一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用
一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用周红卫(宁波万里国际学校315040)带电粒子在磁场(或复合场)中的运动是高考的常考题型，在各省市的高考中都处于主角的位置。
在诸多的带电粒子在磁场中的运动问题中，有一类平行运动为e 的电子以大小为0v 的初速度沿纸面垂直于BC 变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。
解析（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。
令圆弧AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁场的作用力大小为0f ev B =，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧AEC 的圆心在CB 边或其延长一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周AEC 和AFC 所围成的，其面积为2221122()422S a a a ππ-=-= 点评这是一个典型的利用磁场进行平行运动带电粒子磁聚焦的考题，看起来在考磁场的最小面积问题，但实质上在考核粒子的运动径迹。
从知识和能力的角度看，对于面对陌生题目的考生而言，综合考查了学生对于带电粒子在磁场中运B A C B 图2动的综合分析能力，这类题目也是几乎所有高考题目的选择对象。
但对于平时对平行运动带电粒子磁聚焦问题有过深入分析和研究，对带电粒子的运动做过分类研究的学生而言，他们就属于“有备而来”，遇到类似题目会有“游刃有余，一切尽在掌控中”的自信和豪情。
二突出对粒子运动“汇聚点”的考察例2（09年浙江卷）如图4所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向方法一：从任一点P水平进入磁CyvCoy PxoRQPO′图6y场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q 点，如图6所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图b的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点。
物理中磁聚焦现象
物理中磁聚焦现象指带电粒子束经过一定特征磁场的作用后会聚于一点。
磁聚焦现象在现代科技中有广泛的应用。
近年来“,磁聚焦”类问题作为难度较大的一个热点,频繁出现在各级中学物理竞赛和高考命题中,以考查学生灵活运用电磁学知识和数学知识分析解决实际问题的能力。
（年海南物理）.如图，是边长为〃的正方形。
质量为m、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从边上的任意点入射，都只能从点射出磁场。
不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。
解析：（）设匀强磁场的磁感应强度的大小为。
令圆弧AEC是自点垂直于入射的电子在磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁场的作用力f■evB应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧AEC的圆心在边或其延长线上。
依题意，圆心在、连线的中垂线上，故点即为圆心，v2圆半径为a按照牛顿定律有f■m0mv联立①②式得B■0ea（）由（）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在点沿方向射出，且自边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在区域中。
因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中点的电子的速度方向与的延长线交角为■（不妨设0■）的情形。
该电子的运动轨迹qpA如右图所示。
图中，圆AP的圆心为O垂直于边，由③式知，圆弧AP的半径仍为a，在为原点、为轴，为J轴的坐标系中，点的坐标（x,y）为x■a sinI®y■■a■(z■a cos■)]■■a cos■⑤这意味着，在范围0■■■内，点形成以为圆心、a为半径的四分之一圆周AbC,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的，其面积为S■2（1〜2&a2）■野2a2I乙乙3（分）如图所示，质量为，电荷量为的电子从坐标原点处沿平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为。
关注：高考物理新题型(磁聚焦、磁扩散、磁漂移)
关注：高考物理新题型【补充例题1】（2013·黄冈模拟）地球周围存在磁场，由太空射来的带电粒子在此磁场的运动称为“磁漂移”，以下是描述的一种假设的磁漂移运动，一带正电的粒子(质量为m ，带电量为q)在x=0，y=0处沿y 方向以某一速度v 0运动，空间存在垂直于图中向外的匀强磁场，在y>0的区域中，磁感应强度为B 1，在y<0的区域中，磁感应强度为B 2，B 2>B 1，如图所示，若把粒子出发点x=0处作为第0次过x 轴。
求：(1)粒子第一次过x 轴时的坐标和所经历的时间。
(2)粒子第n 次过x 轴时的坐标和所经历的时间。
(3)第0次过z 轴至第n 次过x 轴的整个过程中，在x 轴方向的平均速度v 与v 0之比。
(4)若B 2：B 1=2：1，当n 很大时，v ：v 0趋于何值【补充例题2】（2012·临川一中4月模拟）有一种电荷聚焦装置的工作原理可简化为如下工作过程：如图(a )所示，平行金属板A 和B 间的距离为d ，现在A 、B 板上加上如图（b ）所示的方波形电压，t =0时A 板比B 板的电势高，电压的正向值为U 0，反向值也为U 0，现有由质量为m 的带正电且电荷量为q 的粒子组成的粒子束，从AB 的中点O 以平行于金属板方向OO ＇的速度v 0=dmT qU 30不断射入，所有粒子在AB 间的飞行时间均为T ，不计重力影响。
试求： （1）粒子打出电场时位置离O ＇点的距离范围（2）粒子射出电场时的速度大小及方向（3）在平行板的右侧某个区域设置一个有界匀强磁场，使得从电场中出来的粒子，经磁场偏转后，都能聚焦于某一个点，则此匀强磁场区域的最小面积是多大【针对练习1】磁聚焦被广泛的应用在电真空器件中，如图所示，在坐标中存在有界的匀强聚焦磁场，方向垂直坐标平面向外，磁场边界PQ直线与x轴平行，距x轴的距离为，边界POQ的曲线方程为。
且方程对称y轴，在坐标x轴上A处有一粒子源，向着不同方向射出大量质量均为m、电量均为q的带正电粒子，所有粒子的初速度大小相同均为v，粒子通过有界的匀强磁场后都会聚焦在x轴上的F点．已知A点坐标为（－a，0），F点坐标为（a，0）．不计粒子所受重力和相互作用求：（1）匀强磁场的磁感应强度；（2）粒子射入磁场时的速度方向与x轴的夹角为多大时，粒子在磁场中运动时间最长，最长对间为多少【借鉴例题3】图中坐标原点O（0，0）处有一粒子源，向y≥0一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电粒子，粒子的速率都是v，质量均是m，电荷量均是q。
磁聚焦模型及其应用
带电粒子在磁场中的运动一.磁聚焦模型例题1.如图所示，圆O1的坐标为(0﹑R)，半径为R的圆形区域内存在垂直向外的磁感应强度为B的匀强磁场，在坐标原点O处有一粒子源，可向的y>0区域各个方向发射质量为m电量为+q速度为v=qbR/m 的粒子，证明：粒子经过该磁场偏转后都能平行于x轴方向运动。
反过来，如果从右侧以平行x轴的速度射入题中的磁场中，粒子将向那个方向偏转？出射位置有何特点？模型：结论：1 . ；2. 。
例题2．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场。
在直线y＝a的上方和直线x＝2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。
一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当速度方向沿x轴正方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度B的大小；（2）粒子在第一象限内运动到最高点时的位置坐标；（3）若粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入第一象限，当速度方向沿x轴正方向的夹角=30°时，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t。
1、如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度（）可以是(其中B0＝mv0/qL，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是0.5L的圆)补充：如图，ABCD是边长为a的正方形。
质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。
2025高考物理总复习“平移圆”“放缩圆”“旋转圆”“磁聚焦”和“磁发散”模型
垂直ab射入磁场,已知所有粒子均从圆弧边界射出,其中M、N是圆弧边界上的两
点,不计粒子间的相互作用和重力。则下列说法正确的是( D )
A.粒子带负电荷
B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率
C.从M点射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从N点
射出的粒子在磁场中运动的时间
2π
D.粒子在磁场中的最短运动时间为
界定
0
将一半径为R= 的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索粒子的临
方法 界条件,这种方法称为“旋转圆”法
考向一 “平移圆”模型
典题1 如图所示,边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD,带电粒子从A点沿
AB方向射入磁场,恰好从C点飞出磁场;若带电粒子以相同的速度从AD的
中点P垂直AD射入磁场,从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A
小为B1。空间中z轴正方向垂直于xOy平面向外,x轴上过D点(4d,0,0)放置一足够
大且垂直于x轴的粒子收集板PQ,PQ与yOz平面间有一沿x轴正方向的匀强电场,
电场强度大小为E。x轴上过C点(d,0,0)垂直于x轴的平面MN与PQ间存在沿x轴
负方向的匀强磁场,磁感应强度大小为B2。在xOy平面内的-2R≤x≤-R区域内,有大
定。综上所述,D正确,A、B、C错误。
考向三 “旋转圆”模型
典题3 (多选)(2024河南郑州模拟)如图所示,在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁
感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,在y轴上S处有一粒子源,它可向
右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子,
所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知 OP= 3 =
2025高考物理备考教案含答案解析 专题十五 磁场中的动态圆模型
第十一章 磁 场专题十五 磁场中的动态圆模型核心考点五年考情命题分析预测“平移圆”模型本专题内容为解决带电粒子在有界磁场中运动的模型归纳，单独考查的可能性不大，但在解决大量带电粒子在磁场中的运动问题时，会使解题更加方便快捷.预计2025年高考可能会通过与带电粒子在磁场中做圆周运动有关的现代科技，考查带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题.“旋转圆”模型“放缩圆”模型2020：全国ⅠT18 “磁聚焦”与 “磁发散”模型 2021：湖南T13题型1 “平移圆”模型适用条件同种带电粒子速度大小相等、方向相同，入射点不同但在同一直线上.粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则圆周运动半径r＝mv 0qB，如图所示（图中只画出了粒子带负电的情境）轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法 将半径为r ＝mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域（阴影部分）可能是（ C ）解析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A 点，最右端发射的粒子落在B点，故选C.题型2“旋转圆”模型适用条件同种带电粒子速度大小相等，方向不同.粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，圆周转向相同，圆心位置不同，轨迹不同.若粒子射入磁场时的速度为v0，则粒子做圆周运动的轨迹半径为R＝mv0qB，如图所示（图中只画出粒子带正电的情境）轨迹圆圆心共圆如图.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径R＝mv0qB的圆上界定方法将半径为R＝mv0qB的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法2.[2023四川德阳期末]如图所示，竖直平行线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度大小为B，MN上O处的粒子源能沿不同方向释放速度大小相等、方向均垂直磁场的带负电粒子，已知粒子的电荷量为q，质量为m.粒子间的相互作用及重力不计，其中沿θ＝60°射入的粒子，恰好垂直PQ射出，则（D）A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为√3aB.粒子的速率为aqBmC.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为πm3qBD.PQ边界上有粒子射出的长度为2√3a解析粒子沿θ＝60°射入时，恰好垂直PQ射出，则粒子在磁场中转过30°，如图甲所示，由几何关系有Rsin30°＝a，解得R＝2a，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m v 2R，则v＝2aqBm ，故AB错误.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为t＝30°360°T＝112×2πRv＝πR 6v ＝πm6qB，故C错误.如图乙所示，θ＝0°时，粒子从PQ上离开磁场的位置与B点的距离为√3a，当θ增大时，粒子从PQ上离开磁场的位置下移，直到粒子运动轨迹与PQ相切；θ继续增大，则粒子不能从PQ边界射出；粒子运动轨迹与PQ相切时，由半径R＝2a 可知，粒子转过的角度为60°，所以出射点在PQ上O点的水平线下方√3a处；所以PQ 边界上有粒子射出的长度为2√3a，故D正确.题型3“放缩圆”模型适用条件同种带电粒子速度方向相同，大小不同.粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径越大.带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直入射速度方向的直线PP'上界定方法以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件，这种方法称为“放缩圆”法3.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（C）A.3mv2ae B.mvaeC.3mv4aeD.3mv5ae解析 为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r ，轨迹圆圆心为M ，磁场的磁感应强度最小为B ，由几何关系有√r 2＋a 2＋r ＝3a ，解得r ＝43a ，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB ＝m v 2r，解得B ＝3mv 4ae，选项C 正确.题型4 “磁聚焦”与“磁发散”模型原理图像证明磁聚焦如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R ＝r ），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出图甲四边形OAO'B 为菱形，是特殊的平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO'（即竖直方向），可知从A 点入射的带电粒子必然经过B 点磁发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果带正电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行图乙所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是特殊的平行四边形，O 1A 、O 2B 、O 3C 均平行且等于PO ，即出射速度方向相同（均沿水平方向）4.如图所示，半径为R 的14圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场的左边垂直x 轴放置一线形粒子发射装置，能在0≤y ≤R 的区间内各处沿x 轴正方向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为m 、电荷量为q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转击中y 轴上的同一位置，则下列说法中正确的是（ D ）A.粒子都击中O 点处B.粒子的初速度为BqR2mC.粒子在磁场中运动的最长时间为πmqBD.粒子到达y 轴上的最大时间差为πm2qB －mqB解析 由题意，某时刻发出的粒子都击中y 轴上一点，由最高点射出的粒子只能击中（0，R ），可知击中的同一点就是（0，R ），A 错误；从最低点射入的粒子也击中（0，R ），由几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为R ，由洛伦兹力提供向心力得qvB ＝m v 2R，则速度v ＝BqR m，B 错误；偏转角最大的粒子在磁场中的运动时间最长，显然从最低点射入的粒子偏转角最大，为90°，故其在磁场中的运动时间最长，时间t ＝14T ＝14×2πm qB＝πm 2qB，C错误；从最高点直接射向（0，R ）的粒子到达y 轴的时间最短，则最长与最短的时间差为Δt ＝t －Rv ＝πm 2qB－mqB，D 正确.1.如图所示为边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD ，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C 点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，则从DC 边的M 点飞出磁场（M 点未画出）.设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t 1，从P 点运动到M 点所用的时间为t2.带电粒子重力不计，则t 1∶t 2为（ C ）A.2∶1B.2∶3C.3∶2D.1∶2解析 画出粒子从A 点射入磁场到从C 点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R ＝L ，从C 点射出的粒子运动时间为t1＝T4；由P 点运动到M 点所用时间为t2，圆心角为θ，cos θ＝R 2R ＝12，则θ＝60°，故t2＝T6，所以t 1t 2＝T 4T 6＝32，C 正确.2.[2021全国乙]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m 、电荷量为q （q ＞0）的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v 1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v 2，离开磁场时速度方向偏转60°.不计重力，则v1v 2为（ B ）A.12B.√33C.√32D.√3解析 设圆形磁场区域的半径为R ，粒子的运动轨迹如图所示，沿直径MON 方向以速度v1射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转90°，则其轨迹半径为r1＝R ，由洛伦兹力提供向心力得qv1B ＝m v 12r 1，解得v1＝qBR m；沿直径MON 方向以速度v2射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转60°，由几何关系得tan30°＝Rr 2，可得其轨迹半径为r2＝√3R ，由洛伦兹力提供向心力得qv2B ＝m v 22r 2，解得v2＝√3qBR m ，则v 1v 2＝1√3＝√33，B 正确. 3.[多选]如图所示，空间中存在一半径为R 、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场，MN 是一竖直放置的足够长的感光板.大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P 以速率v 沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子.粒子质量为m ，电荷量为q ，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力.关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（ ACD ）A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越短B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越长C.若粒子速度大小均为v ＝qBR m，出射后均可垂直打在MN 上D.若粒子速度大小均为v ＝qBR m，则粒子在磁场中的运动时间一定小于πm qB解析 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，轨迹对应的圆心角越小，由t ＝θ2πT ＝θmqB 可知，运动时间越短，故A 正确，B 错误.粒子速度大小均为v ＝qBR m时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径r ＝mv qB＝R ，根据几何关系可知，入射点P 、O 、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO 平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN 垂直，出射后均可垂直打在MN 上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t ＜12T ＝πmqB ，故C 、D 正确.4.[2023豫北名校联考/多选]如图所示，直角三角形ABC 区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，∠A ＝30°，AB ＝L .在A 点有一个粒子源，可以沿AB 方向发射速度大小不同的带正电的粒子.已知粒子的比荷均为k ，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的是（ CD ）A.随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变短B.随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏转角变大C.从AC 边射出的粒子的最大速度为2√33kLBD.从AC 边射出的粒子在磁场中的运动时间为π3kB解析5.[多选]如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点.一个带正电的粒子（重力忽略不计）从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形区域内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向（如图中虚线所示）且以各种不同的速率射入正方形区域内，那么下列说法正确的是（ AD ）A.该带电粒子不可能从正方形的某个顶点射出磁场B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为32t 0C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为32t 0D.若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定为53t 0解析 带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场，则知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T ＝2t0.如图所示，随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，不可能从四个顶点射出，故A 正确；由几何关系可知粒子从ab 边射出时经历的时间小于半个周期t0，从bc 边射出时经历的时间小于23T ，从cd 边射出时轨迹所对的圆心角都是300°，经历的时间为5T6＝5t 03，故B 、C 错误，D 正确.6.如图所示，在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里.P 为屏上的一个小孔，PC 与MN 垂直.一群质量为m 、带电荷量为－q 的粒子（不计重力），以相同的速率v 从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B 垂直的平面内，且散开在与PC 夹角为θ的范围内.则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为（ D ）A.2mvqB B.2mvcosθqBC.2mv （1－sinθ）qBD.2mv （1－cosθ）qB解析 当粒子初速度方向与MN 垂直时，粒子打中屏MN 上被粒子打中的区域的最右端，到P 点的距离x1＝2r ＝2mvqB ；当粒子初速度方向与PC 夹角为θ时，粒子打中屏MN 上被粒子打中的区域的最左端，到P 点的距离x2＝2rcos θ＝2mvcosθqB，故在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为x1－x2＝2mv （1－cosθ）qB，D 正确.7.[选项图形化/多选]如图所示，纸面内有宽为L 、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m ，电荷量为－q ，速率为v 0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的（其中B 0＝mv0qL ，A 、C 、D 选项中曲线均为半径为L 的14圆弧，B 选项中曲线为半径为L2的圆）（ AB ）A B C D8.如图所示，正方形区域abcd 内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，ab ＝l ，Oa ＝0.4l ，大量带正电的粒子从O 点沿与ab 边成37°角的方向以不同的初速度v 0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用.已知带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，磁场的磁感应强度大小为B ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间；（2）若带电粒子从ad 边离开磁场，求v 0的取值范围.答案 （1）143πm 90qB（2）qBl 4m＜v 0≤5qBl 9m解析 （1）粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示有qBv 0＝mv 02R，又T ＝2πR v 0，解得T ＝2πm Bq又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t ＝360°－74°360°T ＝143πm 90qB（2）粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v 01，轨迹半径为R 1，由几何关系可得R 1＋R 1sin37°＝0.4l又qBv 01＝mv 012R 1，解得v 01＝qBl4m粒子运动轨迹与cd 边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v 02，轨迹半径为R 2，由几何关系可得R 2＋R 2cos37°＝l又qBv 02＝mv 022R 2，解得v 02＝5qBl 9m综上可得qBl 4m＜v 0≤5qBl 9m.9.[与数学知识联系紧密/2024湖北武汉部分学校调研/多选]如图所示，在xOy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B ＝0.5T 的有界匀强磁场（未画出），磁场右边界满足曲线方程x 22＋y 24＝1（其中x ≥0，y ≥0，单位：m ），M 点的坐标为（12m ，√32m ）.从O 点沿x 轴正方向以不同速率射出大量质量m ＝1×10－6kg 、电荷量q ＝＋2×10－4C 的同种粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，已知所有粒子均不从磁场右边界射出.下列说法正确的是（ BD ）A.所有粒子在磁场中运动的时间不同B.粒子的最大速率为100m/sC.磁场中有粒子出现的区域面积为π3m 2D.某粒子从O 点运动到M 点的过程，动量改变量大小为1×10－4kg·m/s解析 由题意可知所有的粒子应从y 轴上沿x 轴负方向离开磁场，则所有粒子在磁场中的运动时间均为T2＝πm qB，又所有粒子的质量和电荷量均相同，所以所有粒子在磁场中的运动时间相同，A 错误；当粒子在磁场中的运动轨迹与磁场右边界相切时，粒子的运动轨迹半径最大，速率最大，又粒子的最大轨迹圆方程为x 2＋（y －r m ）2＝r m 2，磁场右边界的曲线方程为x 22＋y 24＝1，则联立所得方程的判别式Δ＝0，解得r m ＝1m ，根据粒子在磁场中运动时有qv m B ＝m v m 2r m，可得v m ＝qBr m m＝100m/s ，B 正确；根据题意可知磁场中有粒子出现的区域面积为粒子在磁场中运动的最大轨迹圆面积的12，即S ＝12πr m 2＝π2m 2，C 错误；作出粒子运动过程中经过M 点的轨迹如图所示，则由几何关系有r 2＝（12m ）2＋（√32m－r ）2，解得r ＝√33m ，则粒子的速率为v ＝qBr m＝100√33m/s ，根据图中的几何关系可知粒子在M 点时速度方向与y 轴正方向的夹角满足cosθ＝12√33＝√32，即θ＝30°，则粒子从O 点运动到M 点的过程，速度改变量的大小为Δv ＝2v sin30°+90°2＝√3v ＝100m/s ，所以此过程动量改变量的大小为Δp ＝m Δv ＝1×10－4kg·m/s ，D 正确.。
中学物理“磁聚焦”问题的归类分析
理论研究2013-04物理中磁聚焦现象指带电粒子束经过一定特征磁场的作用后会聚于一点。
磁聚焦现象在现代科技中有广泛的应用。
近年来，“磁聚焦”类问题作为难度较大的一个热点，频繁出现在各级中学物理竞赛和高考命题中，以考查学生灵活运用电磁学知识和数学知识分析解决实际问题的能力。
本文对其进行归类分析。
一、加轴向磁场对粒子束进行聚焦如图1，所示，从A 点发射一束带电粒子（电量为q ，质量为m ），各粒子速度在轴向磁场B 方向的分量都相等为v ，垂直B 方向分量不等。
则每个粒子在B 方向做匀速直线运动、垂直B 方向作匀速圆周运动，轨迹为螺旋线，螺距h =Tv =2πmv/qB 。
由于粒子圆周运动周期与速度无关、半径与垂直分速度有关，因此各粒子沿半径不同的螺旋线运动，但各螺旋线有相同的螺距h ，即从入射点A 开始，每隔h 距离粒子聚焦一次。
例1.如图2，圆筒形真实管中有两隔板A 和A′，其中心有小孔，相距L 。
区域Ⅰ中有水平方向匀强电场，区域Ⅱ中有水平方向的匀强磁场。
由阴极发出的电子由电场加速后穿过小孔A 成发散电子束进入区域Ⅱ，设所有电子穿过小孔时的水平分速度都为v 。
调节区域Ⅱ中的磁场，使之能使电子穿过A′小孔的最小值B ，并作图2（b ）所示的变化。
（1）求有电子速穿过A′时交变磁场周期T 的最小值T 0；（2）设T =2T 0，哪些时间内有电子束穿过A′。
LAA′ⅠⅡⅢBB B tB t（a ）（b ）（c ）图2分析与解：题中将区域Ⅱ中的磁场调节到能使电子束穿过A′的最小值，就是使电子在磁场中经过一个螺距后到达A′。
故运动时间T/=L/v ，交变磁场周期的最小值T 0=2T′=2L/v 。
如果T =2T 0，那么每一次改变磁场方向后，前T 0/2穿过A 的电子将能穿过A′，即图2（c ）中时间轴上打斜线部分时间内，有电子穿过A′孔。
二、加对称区域磁场对粒子束进行聚焦二维平面内，如何实现从某点射出的粒子束会聚于平面内的另一点。
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一类平面磁聚焦模型在高考和竞赛中的应用周红卫(宁波万里国际学校315040)带电粒子在磁场(或复合场)中的运动是高考的常考题型，在各省市的高考中都处于主角的位置。
在诸多的带电粒子在磁场中的运动问题中，有一类平行运动的等速粒子的平面磁聚焦问题很受青睐，在竞赛中也得到了体现。
现对此进行一个举例分析。
模型的建立：如图1几何图形，若干个等半径的圆可以交于一点，这些圆的圆心自身也落在一个同样大小的圆上。
假设我们以此交点为原点建立一个坐标系，做每个圆最顶端的切线，这些切线互相平行，这些切点刚好落在同样大小的另一个圆上。
我们可以依此图形为基础，构造一个物理上的带电粒子运动模型：假设一束互相平行的带电粒子平行于x轴射来，刚好从各圆的切点处进入一个匀强磁场，由于其圆周运动的半径相同，各粒子将按照切点以右的圆周运动，最后将汇聚于原点O 。
反之，假设从原点处向x 轴以上各个方向发射速度相等的同中粒子，且刚好运动到水平方向时失去磁场，那么这些粒子将平行于x 轴向x 轴负向运动。
在此基础上构造的物理模型在高考和竞赛中频频出现，以下几例为证。
一突出对粒子运动径迹的考察例1(09年海南卷)如图2，ABCD 是边长为a 的正方形。
质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为0v 的初速度沿纸面垂直于BC 变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。
解析（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。
令圆弧AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁0f ev B ，场的作用力大小为A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 Y X 0 V 图1 A B A C B D C 图2 图3方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧AEC 的圆心在CB 边或其延长线上。
依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a ，按照牛顿定律有202v f m =联立两式得0mv B ea= （2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中。
因而，圆弧AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长线交角为θ（不妨设02πθ≤<）的情形。
该电子的运动轨迹qpA 如图3所示。
图中，圆弧AP 的圆心为O ，pq 垂直于BC 边，由ea mv B 0=知，圆弧AP 的半径仍为a ，在以A 为原点、AB 为x 轴，AD 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(,)x y 为消去参数θ得222)(a a y x =-+ 这意味着，在范围02πθ≤≤内，p 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周¼AFC ，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周¼AEC 和¼AFC 所围成的，其面积为2221122()422S a a a ππ-=-= 点评这是一个典型的利用磁场进行平行运动带电粒子磁聚焦的考题，看起来在考磁场的最小面积问题，但实质上在考核粒子的运动径迹。
从知识和能力的角度看，对于面对陌生题目的考生而言，综合考查了学生对于带电粒子在磁场中运动的综合分析能力，这类题目也是几乎所有高考题目的选择对象。
但对于平时对平行运动带电粒子磁聚焦问题有过深入分析和研究，对带电粒子的运动做过分类研究的学生而言，他们就属于“有备而来”，遇到类似题目会有“游刃有余，一切尽在掌控中”的自信和豪情。
二突出对粒子运动“汇聚点”的考察例2（09年浙江卷）如图4所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上。
在xOy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆内还有与xOy 平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正方向发射出一束具有相同质量m 、电荷量q（q>0）和初速度v 的带电微粒。
发射时，这束带电微粒分布在0<y<2R 的区间内。
已知重力加速度大小为g 。
（1）从A 点射出的带电微粒平行于x 轴从C 点进入有磁场区域，并从坐标原点O 沿y 轴负方向离开，求点场强度和磁感应强度的大小和方向。
（2）请指出这束带电微粒与x 轴相交的区域，并说明理由。
（3）略.解析本题考查带电粒子在复合场中的运动。
带电粒子平行于x 轴从C 点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。
设电场强度大小为E ，由qE mg =，可得q mg E =，方向沿y 轴正方向。
带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。
且易得r=R ，如图5所示，设磁感应强度大小为B 。
由R mv qvB 2= 得qR mv B =，方向垂直于纸面向外。
（2）这束带电微粒都通过坐标原点。
方法一：从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q 点，如图6所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图b 的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点。
方法二：从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动。
如图b 示，过P 点与O ′点的连线与y 轴的夹角为θ，其圆心Q 的坐标为（-Rsin θ，Rcos θ）,圆周运动轨迹方程为得x =0，y=0；或x=-Rsin θ，y=R(1+cos θ)点评对于（2）的回答，很多学生当时觉得不好处理，最后经过一番思考和推理才形成了以上结果。
需知道考场上的时间是多么珍贵，长期对一个也许并不明白的的问题进行思考时，所带来的情绪影响更大。
其实这里是不需要说明理由的，那么如果我们已经知道了空间一束平行带电粒子经过和自己轨道半径等大的圆形磁场区域后会聚焦在一个点，那么由（1）x Cy v Covy图5 P x y o R Q P O ′ 图6 y x 图4就马上可以知道，这些带电粒子最后全部会聚于原点，下来的解答只是按照几何原理进行结果的描述的一个数学“技术”工作了。
三突出对磁场自身设定的开放性考察例3(28届全国物理竞赛预赛卷)图7中坐标原点O(0,0）处有一带电粒子源，向y ≥0一侧沿Oxy 平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是v ，质量均为m ，电荷量均为q ．有人设计了一方向垂直于Oxy 平面，磁感应强度的大小为B 的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x 轴正方向运动．试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图．解析：根据以上的磁聚焦模型研究，很快构造出可能存在的第一种运动模型：磁场方向垂直于xy面向外，磁场的区域半径和带电粒子的轨道半径大小相同，则磁场的边界线为如图8示的半圆，此种情况以上的研究已经很明确了，磁场区域的边界线的方程为x 2+(y —R)2=R 20x ≥0y ≥（1) 或222222()mv m v x y qB q B +-=0x ≥0y ≥（2） 要求带电粒子水平射出，所以只对右边界做出约束即可，因为磁场的上、左、下侧对问题的解决没有任何影响，所以不用考虑起边界问题。
如果磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直xy 平面向里，且无边界．考察从粒子源发出的速率为v 、方向与x 轴夹角为θ的粒子，在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O ，且与速度方向相切，若圆轨道的半径为R ，有2v qvB m R =（1）得mv R qB=(2)圆轨道的圆心O ’在过坐标原点O 与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R ，如图9所示．通过圆心O ’作平行于y 轴的直线与圆轨道交于P 点，粒子运动到P 点时其速度方向恰好是沿x 轴正方向，故P 点就在磁场区域的边界上．对于不同人射方向的粒子，对应的P 点的位置不同，所有这些P 点的连线就是所求磁场区域的边界线．P 点的坐标为x ＝—Rsin θ(3)y ＝一R+Rcos θ(4)图7 图8 图9这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得x 2+(y+R)2=R 2(5)由（2）、（5）式得222222()mv m v x y qB q B ++=(6) 这是半径为R 圆心O ’’的坐标为（0，一R)的圆，作为题所要求的磁场区域的边界线，应是如图10所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为222222()mv m v x y qB q B ++=0x ≤0y ≤(7) 点评作为竞赛题，从知识的熟练运用和综合能力的考察上来说，要求要高于一般的高考题目。
要能够顺利解出本题，首先要确定的是粒子的运动轨迹，而粒子的轨迹所在区域必须有偏转磁场的存在。
题目中粒子发出于同一点（原点），要求出磁场时和轴平行，很好的符合了以上的平面磁聚焦模型，第一时间第一反应马上会构造出以上解答中的第一中情况。
作为一个竞赛题目，在磁场方向不确定的情况下，需要细心、严密、周全，经过磁场的反向研究很容易顺藤摸瓜找到第二种情况。
25．（22分）如图所示，在坐标系xOy 所在平面内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标O 1（a ,0），圆内分布有垂直xOy 平面的匀强磁场。
在坐标原点O 处有一个放射源，放射源开口的张角为90°，x 轴为它的角平分线。
带电粒子可以从放射源开口处在纸面内朝各个方向射出，其速率v 、质量m 、电荷量+q 均相同。
其中沿x 轴正方向射出的粒子恰好从O 1点的正上方的P 点射出。
不计带电粒子的重力，且不计带电粒子间的相互作用。
（1）求圆形区域内磁感应强度的大小和方向；（2）a ．判断沿什么方向射入磁场的带电粒子运动的时间最长，并求最长时间；b ．若在y ≥a 的区域内加一沿y 轴负方向的匀强电场，放射源射出的所有带电粒子运动过程中将在某一点会聚，若在该点放一回收器可将放射源射出的带电粒子全部收回，分析并说明回收器所放的位置。
25．（22分） 解答：（1）设圆形磁场区域内的磁感应强度为B ，带电粒子在磁场所受的洛伦兹力提供向心力：2v qvB m R =其中R =a 则：mv B qa = 由左手定则判断磁场方向垂直于xOy 平面向里（6分）（2）沿与x 轴45°向下射出的带电粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图，根据几何关系粒子离开磁场时速度方向沿y轴正方向，∠OO 3Q =135o 。
设该带电粒子在磁场中运动的时间为t ，根据圆周运动周期公式得：图10 a ΕBP2πR T v= 所以：3π4a t v =（8分） （3）设某带电粒子从放射源射出，速度方向与x 轴的夹角为α，做速度v 的垂线，截取OO 4=a ，以O 4为圆心a 为半径做圆交磁场边界于M 点。