贝朗特悖论的解决

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贝特朗悖论之争的终极原因

贝特朗悖论之争的终极原因贝朗特1.贝特朗悖论的产生背景人们对概率的研究有着悠久的历史。

公元1494年意大利的帕奇欧里（paciuolo）提出了了关于“分赌金”的问题，这个问题直到16世纪才有巴斯卡（1623～1662）、费尔马（1601～1665，费马大定理的提出者）、惠更斯（荷兰数学家1629～1695）联合解决。

转眼到了1812年,法国数学家拉普拉斯撰写了《分析概率论》这一著作,概率的古典定义在书中被首次完整而系统地提出.作为对古典定义的补充和推广,在无限样本空间背景下的几何概率也得到了广泛的应用。

正当古典概率和几何概率在各自的研究领域内迅猛发展时,1899年,法国数学家贝特朗（nsephBertrand,l822-1900）提出一个“简单”的问题:在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率是多少？按照几何概率的定义进行计算,竟然可以求得3个不同的概率,这与概率的性质是背道而驰的.这就是著名的“贝特朗悖论”矛头直指几何概率概念本身.贝特朗悖论说明原来关于概率的定义带有很大的局限性,迫切需要一种公理化体系改造概率论.1933年,前苏联数学家科尔莫戈洛夫提出了概率的公理化体系,迅速获得举世的认可,使得古典概率和几何概率具有了更加严密的逻辑基础,像“贝特朗悖论”这类自相矛盾的问题也得到了合理的解释。

华罗庚说：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要”。

2.相关的概念古典概型2.1古典概型①定义如果一个随机试验所有可能出现的结果只有有限个,即基本事件总数是有限的,并且每个基本事件发生的可能性相同,那么称这样的随机试验为古典概型试验,简称古典概型.古典概型的特点:(i)有限性一试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (ii)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等.②概率计算公式P(A)=m/n=(事件A包含的基本事件数)/(基本事件总数)2.2几何概型①定义对于一个随机试验,将基本事件理解为从某个可度量的几何区域G内随机地取一点,该区城中每一个点被取到的机会都一样;而随机事件A的发生则理解为恰好取到区域G内的某个指定区域g中的点,则称这个随机试验为几何概型随机试验,简称几何概型③率计算公式P(A)=(g的度量)/(G的度量)g的度量为构成事件A的区域的长度、面积或体积,G的度量为试验的全部结果所构成的区域的长度、面积或体积.一切推理都必须从观察与实验中得来。

伯特兰模型

假定规则：
（1）消费者总是从价格低的卖方购买，而对价格高的企业的产品需求为零。（2）如果两个企业收取的价格相同，一半消费者从企业1处购买，另一半消费者从企业2处购买。
反应函数曲线
图1 企业1剩余需求曲线
如图1，对企业1来说，当设定的价格p1高于企业2所设定的价格p2时，企业1所面临的剩余需求就为零；当p1低于p2时，企业1所面临的剩余需求曲线就为市场总需求曲线；当p1=p2时，企业1所面临的剩余需求就为市场总需求的一半。
p2=p2*(p1)
p1=p1*(p2)
图3 伯兰特模型的均衡
假设企业1设定的价格高于边际成本，那么企业2就会选择一个很小的价格降低量，从而得到全部额市场份额，获得正的利润，随后企业1也会选择一个很小的价格降低量，获得一个正的利润，如此循环往复，市场价格不断下降，直到等于边际成本水平为止。因为在价格等于边际成本时，企业利润为零，再次降价将获得负的利润，企业不再有进行降价的动机。所以价格在p1N=p2N=MC水平上不再变动，达到了均衡状态。由于在伯兰特模型均衡处，价格等于边际成本，所以市场总产量就为完全竞争产量，每家企业生产完全竞争产量的一半，且企业利润为零。在行业内有多家成本相同的企业时的伯兰特模型与只有两家企业时结果是相同的，价格竞争使市场价格最终达到边际成本水平，伯特兰模型结果与行业内企业数量无关，只要这些企业的成本相同。
反应函数曲线
假设企业1预计企业2的定价高于垄断价格。那么企业1的最优定价就为按照垄断水平定价，此时企业1获得所有的需求，从而获得最大可能的利润即垄断利润，垄断价格也就是企业1的最优的定价了。假设企业1 预测企业2的定价低于垄断水平，但高于边际成本。此时根据假设，如果企业1设定与企业2相同的价格，它将得到一半的市场份额；如果低于企业2设定的价格，它将得到全部的市场份额，但由于价格越低，利润就越低，所以企业1设定的价格只要稍稍地低于企业2设定的价格即可。当企业1预测企业2的价格低于两企业相同的边际成本时，企业1的最优选择就是制定相当于边际成本水平的价格，此时企业1不生产，利润为零。

贝特朗悖论

贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。

这使人费解，军方将领也莫衷一是。

英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。

因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。

从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。

1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。

这被称为“假死说”。

但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。

如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。

为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。

1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。

这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。

这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。

这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。

由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。

为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。

1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。

他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。

因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。

1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。

一种是靠内部神经来指挥的。

另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。

这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。

他把这种相互转化叫做“拟态”。

他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。

灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。

概率论发展简史

概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。

16世纪意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷二个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。

17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡，P.de.费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合的方法研究了一些比较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”（即历史上有名的“得分问题”）“输光问题”等等，其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今成为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。

概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利。

他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，这个结果发表于他死后八年(1713)出版的遗著《推测术》。

1716年前后，A.棣莫弗用他导出的斯特林公式（即：）进一步证明了渐进地服从正态分布（德国数学家C.F.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，故亦称为高斯分布），这里，后来法国数学家P.S.拉普拉斯将棣莫弗的这一结果推广到一般的的情形，后世称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理，这是概率论中第二个基本极限定理的原始形式。

拉普拉斯对概率论的发展贡献很大，他在系统总结前人工作的基础上写出了《概率的分析理论》（1812年出版后又再版6次），在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。

拉普拉斯非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤感兴趣。

继拉普拉斯之后，概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数定律及棣莫弗—拉普拉斯极限定理，在这方面俄国数学家切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用自己创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数定律，次年又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机序列的中心极限定理。

1901年，A.M.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理，他利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。

数学史上的三次危机及如何化解

数学史上的三次危机及如何化解一、希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世纪）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即根号2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。

相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希伯斯抛入大海。

解决：1、伯内特解释了芝诺的“二分法”：即不可能在有限的时间内通过无限多个点，在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷。

亚里士多德批评芝诺在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触，须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义。

一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。

因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触。

另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。

因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的范围上进行的。

2、亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事，这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上。

因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法，认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的，因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。

3、亚里士多德认为芝诺的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的‘现在’组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。

亚里士多德认为，这个结论是因为把时间当作是由‘现在’组成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。

4、亚里士多德认为，这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间，事实上这两者是不相等的。

伯特兰悖论的解释

伯特兰悖论的解释伯特兰悖论是一个逻辑悖论，它由英国哲学家伯特兰·罗素在1901年提出。

伯特兰悖论的形式如下: “所有不包含自身的集合都必须包含自身.”这个悖论的本质在于，它似乎违反了常识和逻辑规则。

按照悖论的说法，如果一个集合不包含自身，那么它必须包含自身.但是，如果它真的包含自身，那么它是否还是不包含自身呢?这个悖论陷入了自指的陷阱，无法解决。

伯特兰悖论的应用非常广泛，它可以用于说明语言、思维、逻辑等问题，也可以用来考察人们对现实世界的理解和认知能力。

伯特兰悖论是一个关于概率论的传统解释所导致的悖论，由约瑟·伯特兰于1888年在他的著作《Calcul des probabilites》中提出。

这个悖论描述了在分析涉及无限大样本空间的概率问题时，如果对“每个事件发生的机会皆相同”的原则使用不够谨慎，可能会导致无法得到明确或肯定的结果。

伯特兰悖论的一个经典例子是“圆内接等边三角形的弦长比较问题”。

假设我们在一个圆内随机选择一条弦，那么这条弦的长度比圆内接等边三角形的边较长的概率是多少？伯特兰给出了三种不同的方法来解决这个问题，分别是“随机端点方法”、“随机半径方法”和“随机中点方法”。

这三种方法得出的结论分别是：1/3、1/2 和 1/4。

这就是伯特兰悖论的体现，对于同一个问题，采用不同的随机方法得出的结果竟然不一致。

导致伯特兰悖论的原因在于，当问题涉及到无限大的样本空间时，传统概率论中的“无差别原则”可能会失效。

在伯特兰悖论的例子中，由于圆周上的点有无穷多个，因此在随机选择弦的过程中，不同的随机方法会导致不同的结果。

为了解决这个问题，我们需要对概率论的传统解释进行修正，例如引入测度论等更严格的数学工具来处理无限大的样本空间。

这样，我们才能在处理涉及无限大的概率问题时，得到明确且一致的结果。

悖论及其解决方案

悖论及其解决方案悖论及其解决方案1、一连串悖论的出现罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。

但是，罗素悖论并不是头一个悖论。

老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。

罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。

这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。

即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。

这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。

头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。

这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。

可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。

这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。

这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。

有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。

布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。

罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。

法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。

这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。

不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。

布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念，这个概念是康托尔1883年引进来的，但—直没有受到什么重视。

1887年8月，在布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达马在第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。

关于贝特朗悖论

关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗（Joseph Bertrand）提出“贝特朗悖论”至今，已经过了一个多世纪。

在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦,求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案。

人们往往这样来解释：得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。

这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。

三个结果都正确！——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。

显然这样的解释是不正确的。

上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的，但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。

找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心：第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。

但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。

这样，圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。

有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。

而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。

20数学界大逆袭：揭秘第三次数学危机如何神奇解决

数学界大逆袭：揭秘第三次数学危机如何神奇解决在数学的历史长河中，曾经爆发过三次著名的数学危机，它们如同数学界的“黑洞”，吞噬着数学家们的智慧和勇气。

今天，我们将重点讲述这三次危机中的最后一次——第三次数学危机，以及它是如何被解决的。

相信我，这将是一段比任何数学公式都要精彩的探秘之旅！一、危机的导火索第三次数学危机，也被称为“罗素悖论引发的危机”。

它的导火索源于英国哲学家、逻辑学家伯特兰·罗素在1901年提出的一个著名悖论。

这个悖论针对的是当时如日中天的集合论，特别是由德国数学家康托尔提出的“所有集合的集合”这一概念。

罗素构建了一个非常有趣的悖论：假设存在一个由“所有不包含自身的集合”组成的集合R。

那么，R是否包含自身呢？如果R包含自身，那么根据定义，它就不应该被包含在内；如果R不包含自身，那么它符合“所有不包含自身的集合”的定义，应该被包含在内。

这个悖论如同一个无法解开的魔法结，让数学家们陷入了深深的困惑。

二、危机的蔓延罗素悖论的提出，如同在数学界投下了一颗原子弹。

它动摇了集合论的基础，使得许多原本被认为是严谨的数学推理都变得可疑。

更糟糕的是，这个悖论似乎无法用现有的数学工具来解决。

数学家们开始怀疑，他们辛辛苦苦建立起来的数学大厦是否建立在沙滩上？三、拯救数学的英雄就在数学界陷入一片混乱之际，一位名叫库尔特·哥德尔的德国数学家站了出来。

他决定用自己的智慧来解决这个看似无解的悖论。

哥德尔采用了一种全新的方法——形式化方法。

他试图将数学建立在更加严谨的逻辑基础上，从而避免罗素悖论这类问题的出现。

经过艰苦的努力，哥德尔在1931年取得了突破性进展。

他提出了著名的“不完备性定理”，这个定理指出：任何包含算术的形式系统，如果是一致的（即无矛盾的），则必定是不完备的（即存在无法证明也无法证伪的命题）。

这一发现震惊了数学界，因为它意味着数学家们不可能构建出一个既完备又一致的形式化数学系统。

贝特朗悖论新说

之外的点是否均匀分布.所以袁为了针对传统的三
种解法的不够野均匀冶性袁文中提出了两大类更加
野均匀冶的解法思路以及相应的解法过程.
2 新模型的准备工作
在介绍文中的两种解法前袁在此先介绍一下文
中两种解法将会用到的一些假设和模型.
2.1 野r类点冶模型
为了让每点都是等
可能的被取到袁文中假
设每点被取到的概率为
第 35 卷第 11 期 2019 年 11 月
赤峰学院学报渊自然科学版冤 JournalofC hifengU niversity渊 N aturalScienceE dition冤
V ol.35 N o.11 N ov.2019
贝特朗悖论新说
陈召召袁陈城袁杨静
渊安徽理工大学袁安徽淮南 232001冤
蓸蔀蓸蔀 =F兹 2仔-arccosRx -F兹 arccosRx
因 arccos(x/R ),2仔-arccos(x/R )沂[0,2仔]从而得
蓸蔀蓸蔀 fX=F忆X(x)=-f兹 2仔-arccosRx
- 1/R 姨1-(x/R )2
蓸蔀 =-f兹(arccosRx
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-
1/R 姨1-(x/R )2
. All 文Ri中g将ht问s题R简e化 se一rv下e袁d.在单位圆中任取一条
弦袁弦长长于(也可等于)姨 3 的概率为多少钥 [1] 由于取弦的确切方式并没有交代袁导致了按照
不同取弦方式会有不同的解法袁目前有三种公认的解法袁分别对应了不同的取弦方式. 1.1 解法一
按照弦的中点必定在某条直径上袁然后取一条直径袁并认为弦的中点在直径上均匀分布袁按照几何概型袁概率为 1/2. 1.2 解法二

世界十个著名悖论

十个著名悖论的最终解答（一）电车难题（The Trolley Problem）近期突然遭遇思维瓶颈，很多工作都无法进展。

见到坛子上一篇文章：《十个著名的思想实验(转载)》，遂打算给予最终解答。

也算是思维训练，说不定对解决本人当前的困境有帮助。

作者秉承“把讲理进行到底”的精神，拒绝皈依任何哲学流派和思想潮流，但这并不表示作者对这些流派和潮流不了解。

作者不欣赏常识的观点，并且反对任何超自然的前提。

引用：一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。

一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。

幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。

但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。

考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？解读：电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。

功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。

从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。

但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。

然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。

总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。

许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。

引用完毕。

Das曰：人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。

不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。

如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。

贝朗特悖论的解决

理学院School of Science课程设计报告学生姓名：李凡学生学号：200701121所在班级：07数学1所在专业：数学与应用数学指导教师：樊嵘实习场所：青岛理工大学实习时间：第六学期课程设计成绩总评学习态度报告质量使用SAS统计模拟方法解决Bertrand’s paradoxBertand’s paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内内接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。

第一种解法如下：由于弦交圆于两点。

我们先固定弦的一个端点。

以此端点作一个等边三角形(如图)。

显然，只有穿过此三角形内的弦才符合要求。

而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。

并且，不论固定的那1/3。

第二种解法如下：由于弦长只和圆心到它的距离有关。

所以固定圆内一条半径。

当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。

并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。

所以结果为1/2。

第三种解法如下；弦被其中点唯一确定（除了圆心）。

当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。

此小圆面积为大圆的1/4。

所以结果为1/4。

三种看似都有道理的解法却得到了不同的答案，所以被称为悖论。

在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。

解法一假定端点在圆上均匀分布。

解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。

解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。

先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察的是圆内的随机弦问题。

我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。

从这个思路，我们可以使用SAS进行统计模拟，确定问题的答案。

具体思路如下：1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离，记录d 1000个数据，数据集为cs，其中的变量只有一个x。

悖论产生的原因和解决方案

悖论产生的原因和解决方案悖论是指在一种推理中出现了自相矛盾的情况，常常是逻辑上或者是语义上的矛盾。

悖论产生的原因可以归结为逻辑与语义的复杂性，人类思维的局限性以及人类语言的限制等。

而解决悖论的方案则需要综合运用逻辑学、语义学以及认知科学等多个学科的方法。

首先，悖论产生的原因之一是逻辑与语义的复杂性。

逻辑与语义是理解和推理的基础，但是它们在一些情况下可能变得异常复杂，超出了人类思维能力的限制。

例如，哥德尔不完备定理指出，在一个足够强大的形式系统中，总会存在无法通过推理证明的命题。

这种复杂性导致了一些悖论的出现，如“这句话是假的”这个著名的说谎悖论。

解决这类悖论的方案之一是采用更为复杂的逻辑体系，如模态逻辑或非典型逻辑。

这些逻辑体系能够处理更为复杂的逻辑与语义情境，从而有效地解决悖论问题。

其次，悖论产生的原因还包括人类思维的局限性。

人类的认知能力存在一定的限度，我们有时候会在复杂的思维过程中犯错或忽略一些重要的信息。

例如，英国哲学家伯特兰·罗素提出的罗素悖论，即“一个集合不能包含自身”这一悖论，可以追溯到人类思维对集合这一概念的理解出现了错误。

为了解决这类由于人类思维局限性而产生的悖论，我们可以借助于计算机等工具，利用计算机的高速计算和存储能力，来模拟和分析复杂的推理过程，从而避免人类思维的误判。

另外，我们还可以通过增加人类的认识水平和扩展思维边界来提高解决悖论的能力，例如通过学习哲学和逻辑学等相关学科来提升自己的思维能力和分析能力。

此外，人类语言的限制也是悖论产生的原因之一、语言是人类思维的重要工具，但是语言在表达复杂概念和思维过程时存在一定的局限性。

例如，著名的“巴伯悖论”是指一个说话者声称自己在说谎，这就导致了语句的自相矛盾。

解决这类悖论的方案之一是采用更为精确和明确的语言，例如形式逻辑和数理逻辑等。

这些语言体系可以提供更加准确和规范的表达方式，从而避免悖论的产生。

综上所述，悖论产生的原因包括逻辑与语义的复杂性、人类思维的局限性以及人类语言的限制等。

三次数学危机

数学史上的三次危机的产生与消除时间:2012-07-20 13:28来源:未知作者:admin 点击: 420 次摘要：在数学发展的过程中, 人的认识是不断深化的. 在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性。

当一种“反常”现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时，我们就说数学发生了危机。

在历史上，数学曾发生过三次危机，这三次危机，从产生到消除，经历的时间各不相同，都极大地推动了数学的发展，成为数学史上的佳话。

关键词：数学危机、无理数、微积分、集合论、分子集第一次数学危机——无理数的发现第一次数学危机产生于公元前五世纪。

那时，古希腊的毕达哥拉斯学派发现：正方形边与对角线是不可通约的，现在称之为“比达哥拉斯悖论”。

公元前五世纪,，古希腊毕达哥拉斯学派的门人希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边和斜边不可公度，即以直角边边长为单位, 度量其对角线长（设为x），其结果不能用整数的比表示。

因为由勾股定理得：x^2=2, 可以证明，对任何正整数p，q，( q，p) =1, 都有x≠q/p。

事实上，若x=q/p，则q^2/p^2=2, 即q^2=2p^2。

故设q为偶数，令q=2n( n∈Z+) ，则( 2n) ^2=2p^2,，所以p^2=2n^2，故p也为偶数，这与( p，q) =1矛盾。

第一次数学危机持续了两千多年。

十九世纪，数学家哈密顿(Hamilton) 、梅雷(Melay) 、戴德金(Dedekind) 、海涅(Heine) 、波雷尔(Borel) 、康托尔(Cantor) 和维尔斯特拉斯(Weietstrass) 等正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类———实数，并建立了完整的实数理论。

无理数的一个完全令人满意的理论直到1872年才提出，当时戴德金（J．W．Dedekind1831-1916）出版了著名的论文《连续性与无理数》。

这里的技术细节与我们无关。

无差别原则相关悖论多解的本质意义--以酒水悖论、贝特朗悖论为例

无差别原则相关悖论多解的本质意义--以酒水悖论、贝特朗悖
论为例
赵曼
【期刊名称】《重庆理工大学学报》
【年(卷),期】2018(000)003
【摘要】酒水悖论和贝特朗悖论是与无差别原则相关的悖论。

就无差别原则如何应用于悖论的每个算法的问题进行剖析,探讨无差别原则使用的合理性,以及悖论产生多解的本质原因与意义。

在指出酒水悖论的错误在于运用无差别原则时前后没有统一基准后给予正确解答,阐述贝特朗悖论5个解的含义,指出其中3个经典解是在不同思路下正确地运用了无差别原则,其多解的本质原因并非是无差别原则的误用或滥用,而是确定前提和转化问题时出现分歧。

理清这两个悖论产生多解的本质原因有助于巩固无差别原则作为逻辑解释确定初始概率基本原则的基础。

【总页数】8页(P20-26)
【作者】赵曼
【作者单位】中国社会科学院研究生院;澳大利亚国立大学
【正文语种】中文
【中图分类】O144.2
【相关文献】
1.无差别原则相关悖论多解的本质意义——以酒水悖论、贝特朗悖论为例 [J], 赵曼
2.芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论“三胞胎”悬案的解决：概念与逻辑、无穷观、与“无穷”相关的数量形式及其处理理论和技术 [J], 欧阳耿
3.无差别原则相关悖论多解的本质意义——以酒水悖论、贝特朗悖论为例 [J], 赵曼;;
4.贝特朗悖论新说 [J], 陈召召; 陈城; 杨静
5.试验机制无差别原则及其条件——关于无差别悖论的一种解决 [J], 陈晓平
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贝朗特悖论

贝朗特悖论贝特朗悖论是法国学者贝特朗于1899年针对几何概念提出的，悖论是：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？”几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。

然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身：悖论分析解法一：由于对称性，可预先指定弦的方向。

作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。

所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

此时假定弦的中心在直径上均匀分布。

解法二：由于对称性，可预先固定弦的一端。

仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。

所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。

此时假定端点在圆周上均匀分布。

解法三：弦被其中点位置唯一确定。

只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。

中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

此时假定弦长被其中心唯一确定。

这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。

同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下：其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。

解法一中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1.解法二中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2.解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3.可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。

悖论及其解决方案(3)

悖论及其解决方案(3)1908年，策梅罗采用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。

他的著名论文《关于集合论基础的研究》是这样开始的：“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础；因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。

但是在当前，这门学科的存在本身似乎受到某种矛盾或者悖论的威胁，而这些矛盾和悖论似乎是从它的根本原理导出来的。

而且一直到现在，还没有找到适当的解决办法。

面对着罗素关于‘所有不包含以自己为元素的集合的集合’的悖论，事实上，它今天似乎不能再容许任何逻辑上可以定义的概念’集合’或’类’为其外延。

康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象做为一个总体。

肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它，而不引起任何疑虑。

在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。

也就是从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学科的基础所要求的。

这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。

同时，又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。

”在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。

在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。

他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理、初等集合公理、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理。

实际上策梅罗的公理系统Z把集合限制得使之不要太大，从而回避了比如说所有“对象”，所有序数等等，从而消除罗素悖论产生的条件。

策梅罗不把集合只简单看成一些集团或集体，它是满足七条公理的条件的“对象”，这样排除了某些不适当的“集合”。

特别是产生悖论的原因是定义集合的所谓内函公理组，如今已换成弱得多的分离公理组。

解释伯特兰德悖论

解释伯特兰德悖论
伯特兰德悖论（Bertrand Paradox）是概率论中的一个悖论，由法国数学家约瑟夫·伯特兰德（Joseph Bertrand）在1889年提出。

该悖论探讨了如何选择一个随机选择的线段与一个固定的圆相交的概率。

具体来说，考虑一个半径为1的圆和一个包含该圆的正方形。

从正方形上随机选择一条线段，并问这条线段与圆相交的概率是多少。

伯特兰德提出了三种不同的方法来选择这条线段：
1. 随机选择正方形上的一个点，并通过这个点绘制直线。

2. 随机选择正方形上的一个边，并选择这个边上的一个点来绘制直线。

3. 随机选择正方形上的一个角，并选择两条以该角为顶点的边之间的一条作为直线的位置。

令人惊讶的是，根据这三种方法得到的结果并不相同。

伯特兰德指出，第一种方法下，线段与圆相交的概率是1/4；而第二种方法下，线段与圆相交的概率是1/3；第三种方法下，线段与圆相交的概率是1/2。

这个结果显示了在不同的
随机选择方法下，相同的事件可能具有不同的概率。

伯特兰德悖论揭示了概率问题中的一些复杂性和困惑，提醒我们在处理概率时要仔细定义事件和随机选择的方式，以避免类似的矛盾和悖论出现。

集合悖论产生的原因和解决方案

集合悖论产生的原因和解决方案集合悖论是数学中的一个重要问题，它源于对集合的定义和性质的思考。

在20世纪初期，数学家们发现了一系列的集合悖论，其中最为著名的是罗素悖论。

这些悖论的出现，揭示了集合论的一些困境，也引发了对集合论基础的重新思考和修正。

集合悖论产生的原因主要在于对集合的定义和性质的矛盾。

集合是数学中非常基础的概念，它是由若干个确定的元素组成的整体。

在数学中，我们可以用描述性的方式定义一个集合，比如“包含所有能被3整除的自然数的集合”。

然而，集合论要求对集合的定义必须是准确且不含矛盾的，这就引出了一些问题。

一个典型的例子就是罗素悖论。

罗素悖论是由英国数学家伯特兰·罗素于1901年提出的。

他考虑了一个集合，该集合包含了所有不包含自身的集合。

形式化地描述就是：设R是一个集合，x是任意一个集合，若x∈R，则x不包含自身。

然后他提出了一个问题：是否R∈R？如果R∈R，则根据集合的定义，R不包含自身，与假设矛盾。

而如果R∉R，则根据集合的定义，R包含所有不包含自身的集合，又与假设矛盾。

这就形成了悖论。

罗素悖论揭示了集合论的一些困境，引发了对集合论基础的重新思考和修正。

为了解决这个问题，数学家们提出了一些解决方案。

一种解决罗素悖论的方法是限制集合的形式，即限定集合不能包含自身。

这种方法被称为限制公理化集合论。

在这种修正后的集合论中，罗素悖论不再存在，集合的定义和性质也更为严格和准确。

另一种解决罗素悖论的方法是引入集合层级的概念。

在这种修正后的集合论中，集合可以分为不同的层级，每个层级的集合只能包含比自己层级低的集合。

这样一来，罗素悖论中的集合R就可以被看作是一个高层级的集合，它可以包含所有低于它层级的集合，但不能包含自身。

这种修正后的集合论被称为层级公理化集合论。

除了上述两种主要的解决方案，还有一些其他的修正集合论的尝试，如类型论、新公理化集合论等。

这些修正都试图通过对集合的定义和性质进行更严格的限制和界定，以消除集合悖论和其他相关问题。

解释伯特兰德悖论 -回复

解释伯特兰德悖论-回复标题：伯特兰德悖论的深度解析[解释伯特兰德悖论]伯特兰德悖论，又称为"选美悖论"或"多数人原则悖论"，是由法国经济学家让·查尔斯·伯特兰德于1887年提出的一个决策理论问题。

这个悖论主要涉及在不确定的情况下，个体如何做出最优选择的问题。

虽然它最初是在经济学中被提出的，但其应用范围已经扩展到了包括政治学、社会学、心理学和计算机科学等多个领域。

一、伯特兰德悖论的提出伯特兰德悖论起源于对消费者行为的研究。

假设有一个市场，其中有N个消费者和M种商品，每种商品都有一个价格，每个消费者都愿意为他最喜欢的商品支付一定的价格。

在这种情况下，如果每个消费者都根据自己的喜好和预算来选择商品，那么市场的结果将会是什么？二、伯特兰德悖论的核心思想伯特兰德悖论的核心思想是“多数人的选择不一定是最优的选择”。

具体来说，假设每个人都认为大多数人会选择的商品是最好的，然后自己也去选择这种商品，那么最后的结果可能会出现一种“大众偏好”的现象，即所有人都选择了同一种商品，而这种商品并不一定是每个人心中最好的选择。

三、伯特兰德悖论的应用伯特兰德悖论在现实生活中有很多应用。

例如，在选举中，如果每个选民都试图预测大多数人的选择，并据此投票，那么最后的结果可能并不是大多数人的真正意愿。

同样，在投资市场上，如果投资者都按照大众的预期来买卖股票，那么最终可能会导致市场过度反应或者反应不足。

四、伯特兰德悖论的解决方案对于伯特兰德悖论，目前并没有一个统一的解决方案。

一些研究者建议使用随机化的方法来避免这种情况，比如在选举中引入随机因素，或者在投资决策中加入噪声。

另一些研究者则建议通过提供更多的信息和教育，帮助人们做出更加理性的决策。

总结：伯特兰德悖论是一个关于个人决策和社会结果之间关系的有趣问题。

尽管我们还没有找到一个完美的解决方案，但是通过对这个问题的研究，我们可以更好地理解人类的行为和决策过程，从而帮助我们在现实生活中做出更好的决策。