贝朗特悖论的解决

理学院

School of Science

课程设计报告

学生：凡

学生学号：200701121

所在班级：07数学1

所在专业：数学与应用数学

指导教师：樊嵘

实习场所：理工大学

实习时间：第六学期

课程设计成绩

总评

学习态度报告质量

使用SAS统计模拟方法解决Bertrand’s paradox

Bertand’s paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆任作一弦，其长度超过圆接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。

第一种解法如下：

由于弦交圆于两点。我们先固定弦的一个端点。以此端点作一个等边三角形(如图)。显然，只有穿过此三角形的弦才符合要求。而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。并且，不论固定的那个

1/3。

第二种解法如下：

由于弦长只和圆心到它的距离有关。所以固定圆一条半径。当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。所以结果为1/2。

第三种解法如下；

弦被其中点唯一确定（除了圆心）。当且仅当其中点在半径为1/2的圆时才满足条件。此小圆面积为大圆的1/4。所以结果为1/4。

所以被称为悖论。

在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。

解法一假定端点在圆上均匀分布。

解法二假定半径在圆均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。

解法三假定弦的中点在圆均匀分布。

先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察

的是圆的随机弦问题。我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。从这个思路，我们可以使用SAS 进行统计模拟，确定问题的答案。具体思路如下：

1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从

圆上随机取两点，计算距离，记录d 1000个数据，数据集为cs ，其中的变量只有一个x 。对此数据进行分析，得到其方差与均值，可以求出概率。

2.为了得到弦长的分布，我们进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离并记录。如此得到数据集为strx ，其中的变量有三个，分别记录两点的角度参数x ，y 与两点之间距离d 。

3.从圆进行推广，得到椭圆随机弦长的分布，思路同上。

4.从得到的结果进行理论分析。

数据的得到与数据集的建立：

使用matlab 编程可以得到模拟需要的数据，在SAS 中建立各数据集的程序如下：

cs 数据集：

strx 数据集：

strx1数据集：

对数据的分析与结果解读：

对于cs数据集中的数据，我们根据林德贝格-勒维中心极限定理，记xn为第n次试验中，满足弦长平方大于3的弦的个数，则不管xn的分布如何，只要n充分大，就可以用正态分布去逼近。于是我们先对数据进行正态性检验，使用Solutions-Analysis-Guided Data Analysis，对数据进行分析，得到下面的结果：

图1

图2

从图2中可以看到数据的均值为333.89，标准偏差为14.7。其中Q1，与Q3分别为四分之一和四分之三分位。P：normal=0.25025为正态性检验的概率值。图1为数据直方图与正态曲线，图3为正态概率检验图，从两个图可以看出来，数据是服从正态分布的。且可以估计其期望为334次，于是可以得到结论，圆随机弦长度大于圆接正三角形边长长度的概率为334/1000=1/3。

对于strx数据集中的数据，我们的目的是得到弦长的分布，即绘制其密度函数曲线和分布函数的曲线。首先是对弦长数据的一个基本分析如下：

从图中可以看到，弦长的均值为1.29，标准差为0.625，众数为1.35，对数据进行kurtosis和T检验得到的值分别为-1.14和63.12，故可知道弦长的分布不是特殊的分布。下面绘制其条样图：

然后绘制它的分布函数，并与正态分布的进行对比：

得到的结果如下：

可以看出来，分布函数有一定的规律，大部分的值集中在0.5到1.5这个区间中。

数据集strx1，即弦长在椭圆中的分布情况，处理方法与圆中类似，得到的结果如下：（a=2，b=1）

从中可以看出，椭圆的情况与圆的弦长分布类似，而且还有向正态分布逼近的趋势。

回到原始问题

从上面的分析我们知道，通过随机弦最原始的定义，使用随机模拟的方法，我们得到了随机弦超过圆接正三角形边长的概率为1/3,与使用的第一解法得到的结论一样。在我们的实验中，是随机取的圆上的两个点，而第一种方法固定了一点，另一点在圆上随机移动，故得到的结论会一样。而第二种方法与第三种方法，我认为错误的地方在于没有抓住随机弦的本质，而是试图通过弦的中点来定位弦，而很容易知道，在圆心上对应于无数条弦，即弦与圆的点不是一一对应的，第二种解法和第三种解法的假设前提就是错误的。而对应于第二个答案的题目应改为，在直径上任取一点，过这点且与该直径垂直的弦的弦长大于根号3的概率是多少？对应于第三个答案的题目应改为，在圆任取一点（不包括圆心），以该点为中心的弦长大于根号3的概率为多少？至此随机弦悖论便不存在，结论是唯一的。