《物理场论》时变电磁场

第3节 电荷和电流的划分；感应、 极化和磁化
电荷的划分
自由电荷：能够被宏观分离并能在宏观范围内 运动的正电荷或负电荷。如：金属导体内的自由 电荷，电解质溶液中的正负离子。
极化电荷（束缚电荷）：不能被宏观分离也不 能在宏观范围内运动的正负等量电荷。
电流的划分
传导电流：在外电场作用下，自由电荷宏观运 动形成的电流。
说明：Maxwell方程组中7个方程是独立的 ， 本构方程中9个方程是独立的，共16个方程，16 个未知数，因此理论上可以求解。
Maxwell方程组的积分形式

B

l E dl S t dS


B

l H dl S (J t ) dS
r dr
圆环中感生电动势为
i
E dl
L
dB

dS
S dt
代入已知条件得
dB
i dt
ds kπr2
S
又 dR 1 2 πr hdr
则 dI kh rdr
2
计算得到圆环中电流：
dI kh rdr
2
圆盘中的感应电流为：
kh

a
I dI 2 0 rdr
矢量磁位 A 和标量电位 矢量电位和标量磁位 赫兹电位和赫兹磁位
矢量磁位和标量电位
对于只有电流、电荷源而无磁流、磁荷源的情
况，可以利用矢量磁位 A和标量电位 来研究：

根据

B

0
，定义一矢量位
A ，把
B



A
代
入 E 的旋度方程
E B ( A) (E A) 0
A


2
A

(

A



)


J
t 2
t
引入附加条件—洛伦兹规范
：
A



0
t
可得 A 形式的波动方程：
2 2
t 2

2
A


2A


J
t 2
矢量磁位和标量电位
2 2
第1节 法拉第电磁感应定律、准静 态场和电荷守恒定律
法拉第（Faraday）电磁感应定律
法 拉 第 （ Michael Faraday, 17911867），伟大的英国物理学家和化学 家。他创造性地提出场的思想，磁场 这一名称是法拉第最早引入的。他是 电磁理论的创始人之一，1831年发现 电磁感应定律，后又相继发现电解定 律，物质的抗磁性和顺磁性，以及光 的偏振面等。

E


B
t
E B ( A) t t
(E A) 0 t
令 E A E A
t
t
讨论：电场是由随时间变化的磁场和聚集电
荷产生，对于恒定磁场，A 不随时间变化，则
有
E


，与前面的讨论一致。

D t

0
E t

P t


H

J

D t

J

0
E t

P t
位移电流包括极化电流和变化的电场两部分
位移电流密度 揭示磁场可以由脱离电荷以外的电场的变化来 激发； 揭示电磁场可以相互激发和转化，预示电磁波 的存在，计算出真空中电磁波的速度：
c 1 （ 真空中的光速）
《物理场论》第2篇：电磁场
第3章 时变电磁场
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
第1节 法拉第电磁感应定律、准静态场和电荷守 恒定律 第2节 完备的Maxwell方程组 第3节 电荷和电流的划分；感应、极化和磁化 第4节 时变电磁场的位函数 第5节 时变电磁场的波动方程 第6节 时变电磁场的坡印亭定理 第7节 平面电磁波的传播
极化电流：在外电场作用下，电介质发生转向 极化或位移极化，形成极化电荷，其宏观效果等 价于在电介质中形成极化电流。
磁化电流：在外磁场作用下，磁介质产生磁化 现象，磁化的宏观效果等价于形成了磁化电流， 尽管分子内的电子与原子核均未宏观移动。
通常极化电流和磁化电流统称为诱导电流。
感应、极化和磁化 感应：在外电场作用下，介质中自由电荷的某 种宏观分布和宏观运动，用感应电荷和传导电流 表示。
麦克斯韦：1831~1879，英国 物理学家。经典电磁场理论 的奠基人，气体动力理论创 始人之一。1865年，提出了 有旋电场和位移电流的概念， 建立了经典电磁场理论，并 预言了以光速传播的电磁波 的存在。在气体动力理论方 面，他还提出了气体分子按 速率分布的统计规律。
第2节 完备的 Maxwell方程组
d dt
B dS
S
B dS S t


i
E dl
C

E dS
S



E


B
t
电磁感应定律的微分形式
感应电动势分为：
动生电动势：导体相对磁场运动引起。 感生电动势：磁场随时间变化引起。
电磁感应定律
B 0, B A,
电磁感应定律
当 穿 过 闭 合 回 路 所 围 面积的磁通量发生变化 时，回路中会产生感应 电动势，且感应电动势 正比于磁通量对时间变 化率的负值。
i

k
dΦ dt
国际单位制
i
Φ
伏特
韦伯 k 1
电磁感应定律
磁通量：m S B dS
感应电动势：
i
dm dt
00
全电流包括传导电流、位移电流和真空或气体 中自由电荷运动形成的运流电流。引入位移电流 以后，则全电流在任何情况下都是连续的。1888 年1月21日，赫兹证实了电磁波的存在！
Maxwell方程组的微分形式
E B t
H J D t

D
B 0
t 2

2
A


2
A


J
t 2
在时谐场 eit 条件下，方程变为：
2 2


2 A 2A J
此时洛仑兹规范为：

A

i
矢量磁位和标量电位
在洛伦兹规范条件下，对于时谐场无须从达
0
电流连续性方程
Jf
V
t
恒定条件下
Jf 0
准静态场
若在在静恒 电定(场磁t), J中场 ：J中(t)：，A通41常400Vt'V时R' RJd刻Vd'V的' 电荷和电流经过时
间r/c后才影响到P点的 和 A，即有滞后现象。
（Faraday电磁感应定律） （广义安培环路定律，全 电流定律）

SD dS V dV Q

SB dS 0

SJ

dS


t
V
dV
（高斯定律） （磁通连续性定律） （电流连续性方程）
注意：微分形式要求介质的连续性；积分形式
可以在介质不连续处成立。
Maxwell方程组的复数形式

位移电流密度 D t
这显然是错误的！
H J,


J



H J 0
t
t
为了对 H J 进行修正，Maxwell发挥天才设 想，引入 D（定义为位移电流密度），得到
t

H

J

D
t

D 0E P
极化：在外电场作用下，介质中极化电荷的某 种宏观分布和宏观运动，用极化电荷密度和极化 电流表示。
磁化：在外磁场作用下，介质呈现的磁性，是 由宏观磁化电流引起。
第4节 时变电磁场的位函数 位函数的定义和物理意义
时变场的辅助位函数本身不具有任何物理意义而仅是 数学运算上的辅助量； 由于电磁场的不可分割性，辅助电位函数和辅助磁位 函数之间是互相关联的。 3种辅助函数：
介质I、II均为一般介质
n (E2 E1) 0, n (H2 H1) 0
n (D2 D1) s , n (B2 B1) 0
介质I、II均为理想电介质
n (E2 E1) 0, n (H2 H1) 0
n (D2 D1) 0, n (B2 B1) 0


J



t
“电磁场的精华”
Maxwell 被 认 为 是 “ 一 贯 正 确 的 人 ” ， 玻 耳 兹 曼 (1844 ～ 1906) 引 述歌德的诗赞美Maxwell： “写出这些符号的是上帝吗？” “叹问这莫非是神谱写的如美妙 的诗句吗？”
电磁场的本构关系 自由空间：D 0E, B 0H, J 0, 0 静止的各向同性介质：D E, B H, J E 静止的各向异性介质：D E, B H, J E
t t
t
令 E A E A
t
t
代入 E 的散度方程和 H 的旋度方程
矢量磁位和标量电位
代入 E 的散度方程和 H 的旋度方程
E
(

A)

2


(
A)


t
t

H
( 1

A)
通常把随时间变化的源
(t )
和
J(t)产生的

和
A
称
为推迟位（推迟势）。
若P点的
ห้องสมุดไป่ตู้

和
A
与(t)和 J(t)的关系和静态场中的关
系完全一样，称为准静态场。
只有当场存在区域的尺寸远小于波长时，即f很 小时，准静态场的条件才能满足。
麦克斯韦（James Clerk Maxwell）

1

A

J


[ (

A)]



t
t
2


(

A)



t

2 A

2A
(

A


)


J
t 2
t
此为达朗贝尔（D’Alembert）方程组。
矢量磁位和标量电位
2


(
A)



t

2
电荷守恒定律
积分形式：I f

S J f

dS


q
t

t
V V dV
微分形式：

S Jf
dS


q



t t
V V dV

V J f dV

V
V
t
dV

V ( J f
V )dV
t
工程实际中，会遇到一种特殊形式的时变电磁 场：诸场量随时间做正弦或余弦形式的变化，即 随时间做简谐变化，这种形式的时变电磁场称为
时谐电磁场，其时间因子为eit ，得到Maxwell
方程组的复数形式：
E i H H J i E D
B 0
J i
电磁感应定律应用举例 涡流与电磁炉原理！
有一半径为a、高度为h的圆盘，电导率为。
把圆盘放在磁感应强度为B的磁场中, 其方向垂直
盘面。设磁场随时间变化，且dB/dt=k，k为一常
量。求盘内的感应电流。

r dr
h
a
h
B
r dr
已知
R,
h,
, B , dB
dt

k
求： I
r dr
h
解： 如图取一半径为 r ,宽度 为dr ,高度为h 的圆环。
n (D2 D1) S
（法向
D
的不连续量为边界面电荷密度）
n (B2 B1) 0
（法向
B
连续）
常用的边界条件 介质I为理想导体，介质II为一般介质
n E2 0, n H2 JS , n D2 S , n B2 0
边界条件
在不同介质的分界面处，由于介质参数发生突 变 ， Maxwell 方 程 组 的 微 分 形 式 失 去 意 义 ， 代 替 它的是以积分形式场方程导出的分界面处电磁场 各分量的连续条件（边界条件）为：
n (E2 E1) 0
（切向
E
连续）

n(H2 H1) JS （切向 H 的不连续量为边界面电流密度）
1 k a2h
4
r dr
h
r dr
电荷守恒定律
大量实验表明：孤立系统的电荷
总量保持不变。在任何时刻，系统
＋
中正负电荷的代数和保持不变，称
－
为电荷守恒定律。
电荷守恒定律意义： 孤立系统中产生或湮没某种符号的电荷，必有 等量异号的电荷伴随产生或湮没。 孤立系统总电荷量增加或减小，必有等量电荷 进入或离开该系统。