08章b 理想流体的有旋和无旋流动
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第二大部分 理想流体的有旋流动
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量 第六节 速度环量 斯托克斯定理 第七节 汤姆逊定理 亥姆霍兹旋涡定理
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
在有旋流动流场的全部或局部区域中连续 地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于 是形成了一个用角速度 ( x, y, z, t ) 表示的涡 量场（或称角速度场）。 流线 流管 流束 流量 涡线 涡管 涡束 涡通量
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡线
涡线是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线上每 一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向 相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时 转动轴线。
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡管 涡束
在给定瞬时，在涡量场 中任取一不是涡线的封闭曲 线，通过封闭曲线上每一点 作涡线，这些涡线形成一个 管状表面，称为涡管。涡管 中充满着作旋转运动的流体， 称为涡束。
p p
u
2
r0 r
x
2 u0
r0
2
2 u0
p
压强分布
2
p0
pC
中心区 的压强
1 dp r dr
2
y u0 Γ0
速度分布 u
向心 力
压差 力
C
1 1 2 2 2 p r C u C 2 2 2 u0 2 定 C p u0 由 p0 p 2 1 2 2 p p u u0 2
2rb
涡束内部的速度分布为:
vr 0
p
v v r
(r rb ) （8-28）
1 2 ( x 2 y 2 ) C 2 1 2 r 2 C 2 1 2 v C 2
r 在与环流区交界处， rb , p pb , v vb rb ，代入上式，得积分 2 2 C pb vb p vb 常数：
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
vds
第六节 速度环量 斯托克斯定理
代入，得：
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即 封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围 面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋 系统。
第六节 速度环量 斯托克斯定理
为无穷远处的压强。将 v 代入上式得:
v 2
Γ 2 （8-27） p p p 2 2 2 8 r 由上式可知，在涡束外部的势流区内，随着环流半径的减小， 流速上升而压强降低；在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而 压强则是该区的最低值，即
vb
2 vb
2 pb p p 2 2 2 8 rb
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
汤姆孙（W. Thomson）定理：
正压性的理想流体在有势的质量力作用 下沿任何由流体质点所组成的封闭周线 的速度环量不随时间而变化。
dΓ v [d ( ) d dPF ] 0 dt 2
2
（8-25）
对于无粘的不可压缩流体和可压缩正压流体， 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行 产生、也是不能自行消灭的。
2 b
第三大部分 理想流体的平面流动
第九节 有势流动 速度势和流函数
第十、十一节 平面势流 第十二~十五节 圆柱绕流及库－儒公式
由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等， 1 v 其数值均为 2 。涡核区的压强比环流区的的低。 在涡束内部,半径愈小,压强愈低，沿径向存在较大的 压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越 强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就 具有这种流动特征，具有很大的破坏力。在工程实际 中有许多利用涡流流动特性装臵，如锅炉中的旋风燃 烧室、离心式除尘器、离心式超声波发生器、离心式 泵和风机、离心式分选机等。
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡通量
旋转角速度的值ω与垂直于角速度方 向的微元涡管横截面积dA的乘积的两倍 称为微元涡管的涡通量(也称涡管强度)。
dJ 2dA
有限截面涡管的涡通量
J 2 n dA
A
第六节 速度环量 斯托克斯定理
涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。
实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某 一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋 转范围越扩大。 可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速 度分布有密切关系。
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
旋涡的基本性质： 1、亥姆霍兹第一定理： 在同一瞬间涡管各 截面上的涡通量都相同。
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
亥姆霍兹第一定理说明涡管不可能在 流体中终止。
涡管的存在 自成封闭的管圈 起于边界、终于边界
吸烟者吐出的环形烟圈 水中的漩涡 龙卷风
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
涡通量 （涡管强度） （旋涡强度）
速度环量 斯托克斯定理 汤姆孙定理
亥姆霍兹三定理
第八节 平面涡流
（１） 强迫涡旋
简称强迫涡，流体绕固定轴匀角速旋
转，形成强迫涡。 显然强迫涡的速度分布与固体旋转一
样，
。这是一种有旋运动，强迫涡又
称飞轮涡旋，在旋转机械内最常见。 求解强迫涡的压力场，可用静力学中 讲过的非惯性系中流体相对平衡理论。其 压力分布关系为： 。
y
y v x vx dy y
dy
vy
v y
D
dy
dг
C
x y vx vx vx dx dy x y
dx
v y
dy
vy
A
vx
vy
v y
dx
B
1)微元封闭区域：o
x v x vx dx x
dx
v y v y v y 1 vx 1 dx) (v y dx dy)]dy d [vx (vx dx)]dx [(v y 2 x x y 2 x v y 1 vx vx vx 1 dx)]dy [(vx dy) (vx dx dy)]dx [v y (v y 2 x 2 x x y v y vx ( )dxdy 2n dA dJ x y
2 0
r
外围区的流动
流速分布
r0 u u0 r
y y x x u x u r0u0 2 , u y u r0u0 2 r r r r
u y
y Γ0
C
u x 外围区是无旋流动 z 0 x y
绕任一 r r0 的圆周（任意 包住 r r0 的封闭曲线也可） 的速度环量都等于Γ0
2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）： 正压性的理想流体在有势的质量力作 用下，涡管永远保持为由相同流体质点组 成的涡管。
K
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
3、亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）： 在有势的质量力作用下，正压性的理想流 体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保 持定值。
Ω
如何描述旋涡的强弱
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
流场中原来有漩涡和速度环量的， 永远有漩涡和保持原有的环量；原来 没有漩涡和速度环量的，就永远没有 漩涡和环量．
涡线.rm 示牌随风摇摆.mov 液体和气体的旋转.mov 启动涡.mpg
开尔文（1824～1907）William Thomson Lord Kelvin 是英国著名的物理学家，他的原名叫威廉· 汤姆孙。 他从小热爱数学，小时候就随其父亲在格拉斯哥大 学旁听数学课，表现出天资聪明。后来他考入了剑 桥大学，于1845年毕业，由于成绩突出获史密斯奖 章。第二年他回到自己的母校格拉斯哥大学，并应 聘为该校的教授，在这里任教五十三年。他是伦敦 皇家学会会员，法国科学院院士，并担任过五年皇 家学会会长。由于他在科学和工程上的成就，被封 为开尔文勋爵。从被封后他就改名叫开尔文。后来 他的很多科学成就和发表的论文，都是以开尔文的 名字提出和命名。
2
得涡核区的压强分布为 ：
p p 1 2 1 v vb 2 p 2 r 2 2 rb 2 2 2
（8-29）
由上式可知涡管中心的压强最低，其大小 2 为 pc p vb ，涡核区边缘至涡核中心的压强差为
pb p c 1 vb 2 p pb 。 2
时，速度增加，压力减小。
第八节 平面涡流
•
兰肯涡 平面组合涡：中心区是 强迫涡；外围区是自由涡。 中心区是以涡心为圆心 的圆，其中的速度与离涡 心的距离成正比，涡量为 常数。外围部分的流速则 与离涡心的距离成反比， 流动有势，涡量为零。 y u0 Γ0
C
u r0 r x
兰肯涡是比较接近实际的 平面旋涡模型，其中心部分 的流体象刚体一样旋转，需 有外力不断推动，中心部分 也可用圆柱形刚体的转动来 代替。外围部分流体的运动 在开始时是由中心部分的转 动通过粘性的作用形成的， 在流动稳定以后，则无须再 加入能量，粘性也就不再起 作用。
2 u0
r0
pC
2
2 u0
p
2
p0
假设在理想不可压缩的重力流体中，有一像刚体一样以等角 速度 绕自身轴旋转的无限长铅垂直涡束，其涡通量为J。涡束 周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴等速圆周运动，由斯托克斯 定理知， J。由于直线涡束无限长，该问题可作一个平面问题 研究。可以证明涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区，其半径 为 rb ；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
y u0 Γ0
C
u r0 r
x
•
兰肯涡
中心区的流动
速度分布
u x y, u y x
u x z 2 x y
Γ 0 2r0 u0
u0 r0
y源自文库Γ0
C
涡量处处为常数
u y
绕 r r0 的速度环量 用涡通量计算得到 同样的结果
u0
u r0 x
u0 Γ 0 r 2 2r0 u 0 r0
u0 u
r0
r
x
Γ 2r u 2r0 u0 Γ 0
y
外围 区的 压强
外围区流动恒定无旋， 可用欧拉积分确定压强的 径向分布
速度分布
u0 u
Γ0
C
2 2 u0 r r0 时 p0 p 2
中心区流动恒定有旋， 只能用伯努利积分，但得 不到压强的径向分布。须 直接由理想流体运动方程 出发求解。
在环流区内，速度分布为:
Γ 2r
vr 0
v v
r rb
（8-26）
在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为 的点和无穷远处的伯努里方程:
r
在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为 的点和无穷远处的伯努里方程: v 2
p 2 p
r
式中的
v 即为 v ， p
斯托克斯（G. G. Stokes）定理
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周 线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束 的涡通量之和。
k J 2 n dA
A
斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单 连通区域、空间曲面。
vy
v y
当封闭周线内有涡束 时，则沿封闭周线的 速度环量等于该封闭 周线内所有涡束的涡 通量之和。
单连通区域
区域内任一条封闭周线都能连续地 收缩成一点而不越出流体的边界。这种 区域称为单连通区域。否则，称为多连 通区域。
对多连通域：
ABK内B’A’K外 可使用斯托克斯定 理
外 内 2 n dA
A
通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的 外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环 量总和之差。
r0
r
x
2 u0
r0
2
2 u0
p
1 p p 2 r 2 2 r02 2
压强分布
2
p0
pC
y
中心区 1 p p 2 r 2 2 r02 的压强
速度分布 u0 u
2
Γ0
C
抛物线分布，涡心处最低
r0
x
r
pC p 2 r02
中心区速度越快，压 强越高，速度越慢，压 强越低。与无旋区有本 质的不同。 压强分布
等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，
自由面是旋转抛物面，如图。
（２） 自由涡旋
简称自由涡，其流线也是同心圆。但
速度变化关系式为： 即与半径成反比。 。（C为常数），
虽然流线是圆，但它是无旋运动，流
体微团并未旋转。 根据伯努利定理，沿流线，在自由涡
中，各条流线H均相等。所以流场中的压
力分布关系式为： 因而在自由涡中，当我们向中心移动
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量 第六节 速度环量 斯托克斯定理 第七节 汤姆逊定理 亥姆霍兹旋涡定理
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
在有旋流动流场的全部或局部区域中连续 地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于 是形成了一个用角速度 ( x, y, z, t ) 表示的涡 量场（或称角速度场）。 流线 流管 流束 流量 涡线 涡管 涡束 涡通量
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡线
涡线是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线上每 一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向 相重合，所以涡线也就是沿曲线各流体微团的瞬时 转动轴线。
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡管 涡束
在给定瞬时，在涡量场 中任取一不是涡线的封闭曲 线，通过封闭曲线上每一点 作涡线，这些涡线形成一个 管状表面，称为涡管。涡管 中充满着作旋转运动的流体， 称为涡束。
p p
u
2
r0 r
x
2 u0
r0
2
2 u0
p
压强分布
2
p0
pC
中心区 的压强
1 dp r dr
2
y u0 Γ0
速度分布 u
向心 力
压差 力
C
1 1 2 2 2 p r C u C 2 2 2 u0 2 定 C p u0 由 p0 p 2 1 2 2 p p u u0 2
2rb
涡束内部的速度分布为:
vr 0
p
v v r
(r rb ) （8-28）
1 2 ( x 2 y 2 ) C 2 1 2 r 2 C 2 1 2 v C 2
r 在与环流区交界处， rb , p pb , v vb rb ，代入上式，得积分 2 2 C pb vb p vb 常数：
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
vds
第六节 速度环量 斯托克斯定理
代入，得：
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即 封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围 面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋 系统。
第六节 速度环量 斯托克斯定理
为无穷远处的压强。将 v 代入上式得:
v 2
Γ 2 （8-27） p p p 2 2 2 8 r 由上式可知，在涡束外部的势流区内，随着环流半径的减小， 流速上升而压强降低；在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而 压强则是该区的最低值，即
vb
2 vb
2 pb p p 2 2 2 8 rb
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
汤姆孙（W. Thomson）定理：
正压性的理想流体在有势的质量力作用 下沿任何由流体质点所组成的封闭周线 的速度环量不随时间而变化。
dΓ v [d ( ) d dPF ] 0 dt 2
2
（8-25）
对于无粘的不可压缩流体和可压缩正压流体， 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行 产生、也是不能自行消灭的。
2 b
第三大部分 理想流体的平面流动
第九节 有势流动 速度势和流函数
第十、十一节 平面势流 第十二~十五节 圆柱绕流及库－儒公式
由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等， 1 v 其数值均为 2 。涡核区的压强比环流区的的低。 在涡束内部,半径愈小,压强愈低，沿径向存在较大的 压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越 强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就 具有这种流动特征，具有很大的破坏力。在工程实际 中有许多利用涡流流动特性装臵，如锅炉中的旋风燃 烧室、离心式除尘器、离心式超声波发生器、离心式 泵和风机、离心式分选机等。
第五节 涡线 涡管 涡束 涡通量
涡通量
旋转角速度的值ω与垂直于角速度方 向的微元涡管横截面积dA的乘积的两倍 称为微元涡管的涡通量(也称涡管强度)。
dJ 2dA
有限截面涡管的涡通量
J 2 n dA
A
第六节 速度环量 斯托克斯定理
涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。
实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某 一核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋 转范围越扩大。 可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速 度分布有密切关系。
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
旋涡的基本性质： 1、亥姆霍兹第一定理： 在同一瞬间涡管各 截面上的涡通量都相同。
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
亥姆霍兹第一定理说明涡管不可能在 流体中终止。
涡管的存在 自成封闭的管圈 起于边界、终于边界
吸烟者吐出的环形烟圈 水中的漩涡 龙卷风
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
涡通量 （涡管强度） （旋涡强度）
速度环量 斯托克斯定理 汤姆孙定理
亥姆霍兹三定理
第八节 平面涡流
（１） 强迫涡旋
简称强迫涡，流体绕固定轴匀角速旋
转，形成强迫涡。 显然强迫涡的速度分布与固体旋转一
样，
。这是一种有旋运动，强迫涡又
称飞轮涡旋，在旋转机械内最常见。 求解强迫涡的压力场，可用静力学中 讲过的非惯性系中流体相对平衡理论。其 压力分布关系为： 。
y
y v x vx dy y
dy
vy
v y
D
dy
dг
C
x y vx vx vx dx dy x y
dx
v y
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A
vx
vy
v y
dx
B
1)微元封闭区域：o
x v x vx dx x
dx
v y v y v y 1 vx 1 dx) (v y dx dy)]dy d [vx (vx dx)]dx [(v y 2 x x y 2 x v y 1 vx vx vx 1 dx)]dy [(vx dy) (vx dx dy)]dx [v y (v y 2 x 2 x x y v y vx ( )dxdy 2n dA dJ x y
2 0
r
外围区的流动
流速分布
r0 u u0 r
y y x x u x u r0u0 2 , u y u r0u0 2 r r r r
u y
y Γ0
C
u x 外围区是无旋流动 z 0 x y
绕任一 r r0 的圆周（任意 包住 r r0 的封闭曲线也可） 的速度环量都等于Γ0
2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）： 正压性的理想流体在有势的质量力作 用下，涡管永远保持为由相同流体质点组 成的涡管。
K
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
3、亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）： 在有势的质量力作用下，正压性的理想流 体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保 持定值。
Ω
如何描述旋涡的强弱
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
流场中原来有漩涡和速度环量的， 永远有漩涡和保持原有的环量；原来 没有漩涡和速度环量的，就永远没有 漩涡和环量．
涡线.rm 示牌随风摇摆.mov 液体和气体的旋转.mov 启动涡.mpg
开尔文（1824～1907）William Thomson Lord Kelvin 是英国著名的物理学家，他的原名叫威廉· 汤姆孙。 他从小热爱数学，小时候就随其父亲在格拉斯哥大 学旁听数学课，表现出天资聪明。后来他考入了剑 桥大学，于1845年毕业，由于成绩突出获史密斯奖 章。第二年他回到自己的母校格拉斯哥大学，并应 聘为该校的教授，在这里任教五十三年。他是伦敦 皇家学会会员，法国科学院院士，并担任过五年皇 家学会会长。由于他在科学和工程上的成就，被封 为开尔文勋爵。从被封后他就改名叫开尔文。后来 他的很多科学成就和发表的论文，都是以开尔文的 名字提出和命名。
2
得涡核区的压强分布为 ：
p p 1 2 1 v vb 2 p 2 r 2 2 rb 2 2 2
（8-29）
由上式可知涡管中心的压强最低，其大小 2 为 pc p vb ，涡核区边缘至涡核中心的压强差为
pb p c 1 vb 2 p pb 。 2
时，速度增加，压力减小。
第八节 平面涡流
•
兰肯涡 平面组合涡：中心区是 强迫涡；外围区是自由涡。 中心区是以涡心为圆心 的圆，其中的速度与离涡 心的距离成正比，涡量为 常数。外围部分的流速则 与离涡心的距离成反比， 流动有势，涡量为零。 y u0 Γ0
C
u r0 r x
兰肯涡是比较接近实际的 平面旋涡模型，其中心部分 的流体象刚体一样旋转，需 有外力不断推动，中心部分 也可用圆柱形刚体的转动来 代替。外围部分流体的运动 在开始时是由中心部分的转 动通过粘性的作用形成的， 在流动稳定以后，则无须再 加入能量，粘性也就不再起 作用。
2 u0
r0
pC
2
2 u0
p
2
p0
假设在理想不可压缩的重力流体中，有一像刚体一样以等角 速度 绕自身轴旋转的无限长铅垂直涡束，其涡通量为J。涡束 周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴等速圆周运动，由斯托克斯 定理知， J。由于直线涡束无限长，该问题可作一个平面问题 研究。可以证明涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区，其半径 为 rb ；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。
y u0 Γ0
C
u r0 r
x
•
兰肯涡
中心区的流动
速度分布
u x y, u y x
u x z 2 x y
Γ 0 2r0 u0
u0 r0
y源自文库Γ0
C
涡量处处为常数
u y
绕 r r0 的速度环量 用涡通量计算得到 同样的结果
u0
u r0 x
u0 Γ 0 r 2 2r0 u 0 r0
u0 u
r0
r
x
Γ 2r u 2r0 u0 Γ 0
y
外围 区的 压强
外围区流动恒定无旋， 可用欧拉积分确定压强的 径向分布
速度分布
u0 u
Γ0
C
2 2 u0 r r0 时 p0 p 2
中心区流动恒定有旋， 只能用伯努利积分，但得 不到压强的径向分布。须 直接由理想流体运动方程 出发求解。
在环流区内，速度分布为:
Γ 2r
vr 0
v v
r rb
（8-26）
在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为 的点和无穷远处的伯努里方程:
r
在环流区内，压强分布由伯努里方程式导出。环流区内半径为 的点和无穷远处的伯努里方程: v 2
p 2 p
r
式中的
v 即为 v ， p
斯托克斯（G. G. Stokes）定理
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周 线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束 的涡通量之和。
k J 2 n dA
A
斯托克斯定理适用于微元涡束、有限单 连通区域、空间曲面。
vy
v y
当封闭周线内有涡束 时，则沿封闭周线的 速度环量等于该封闭 周线内所有涡束的涡 通量之和。
单连通区域
区域内任一条封闭周线都能连续地 收缩成一点而不越出流体的边界。这种 区域称为单连通区域。否则，称为多连 通区域。
对多连通域：
ABK内B’A’K外 可使用斯托克斯定 理
外 内 2 n dA
A
通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的 外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环 量总和之差。
r0
r
x
2 u0
r0
2
2 u0
p
1 p p 2 r 2 2 r02 2
压强分布
2
p0
pC
y
中心区 1 p p 2 r 2 2 r02 的压强
速度分布 u0 u
2
Γ0
C
抛物线分布，涡心处最低
r0
x
r
pC p 2 r02
中心区速度越快，压 强越高，速度越慢，压 强越低。与无旋区有本 质的不同。 压强分布
等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，
自由面是旋转抛物面，如图。
（２） 自由涡旋
简称自由涡，其流线也是同心圆。但
速度变化关系式为： 即与半径成反比。 。（C为常数），
虽然流线是圆，但它是无旋运动，流
体微团并未旋转。 根据伯努利定理，沿流线，在自由涡
中，各条流线H均相等。所以流场中的压
力分布关系式为： 因而在自由涡中，当我们向中心移动