2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组A卷)

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

初赛试卷（小高组A卷）

一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确

的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）

1．（10分）算式×的结果中含有（）个数字0．A．2017B．2016C．2015D．2014 2．（10分）已知A，B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距A地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速度是每秒（）米．

A．2B．2C．3D．3

3．（10分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七位数最大是

（）

A．9981733B．9884737C．9978137D．9871773 4．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．

A．1152B．864C．576D．288

5．（10分）在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB=6，CD=14，∠AEC是直角，CE=CB，则AE2等于（）

A．84B．80C．75D．64

6．（10分）从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（）

A．109B．110C．111D．112

二、填空题（每小题10分，共40分）

7．（10分）两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．8．（10分）如图，O，P，M是线段AB上的三个点，AO=AB，BP=AB，M是AB的中点，且OM=2，那么PM 长为．

9．（10分）设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．（10分）有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，用该纸片剪

出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出个同样的等腰梯形．

2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

初赛试卷（小高组A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确

的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）

1．（10分）算式×的结果中含有（）个数字0．A．2017B．2016C．2015D．2014

【分析】把变形为﹣1，然后根据乘法的分配律拆分，再进一步解答即可．

【解答】解：×

=（﹣1）×

=×﹣

=﹣

个位0减9不够减，需要连续退位，个位数得1，所以数字0的个数是：2016﹣1=2015（个）

故选：C．

【点评】本题考查了数字问题，难点是把算式变形出含数字“0”的形式；本题也可以从最简单的算式入手，找规律，然后根据规律再回到问题中解答．

2．（10分）已知A，B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，相向而行，在距A地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速度是每秒（）米．

A．2B．2C．3D．3

【分析】本题是典型的利用正反比例解行程问题．首先根据不变量判断正反比．两次相遇过程中两人的时间相同路程比等于速度比．两次过程中甲的速度没变．通分比较乙的．即可解决问题．

【解答】解：第一次相遇过程中甲乙两人的路程之比为140：（300﹣140）=7：8，时间相同路程比就是速度比．

第二次相遇过程中的路程比是（300﹣180）：180=2：3，速度比也是2：3．

在两次相遇问题中甲的速度是保持不变的，通分得，第一次速度比：7：8=14：16．第二次速度比2：3=14：21．

速度从16份增加到21份速度增加每秒1米，即1÷（21﹣16）=．

乙原来的速度是16×=3.2米/秒．

故选：D．

【点评】本题的关键是找到在两次相遇过程中的不变量，甲的速度是不变的时间，判断是正比，再将速度通分到甲的份数相同，乙的前后进行比较即可求解问题解决．

3．（10分）在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七位数最大是

（）

A．9981733B．9884737C．9978137D．9871773

【分析】首先根据最大的3位数是11或是13的倍数开始．然后每次向后边推一位数字找出最大的倍数即可．

【解答】解：在7位数中，首先分析前三位数字，最大的11的倍数是990，最大13的倍数是988，因为0不能做首位．所以7位数中不能含有数字0，11倍数的第二大数字是979小于988．所以前三位数字是988．

第4位根据如果是11的倍数数字就是880．如果是13的倍数就是884．最大是884．

第5位根据如果是11的倍数数字就是847，如果是13的倍数就是845．最大是847．

第6位根据如果是11的倍数数字就是473，如果是13的倍数在470﹣479没有13的倍数．所以是473

第7位根据如果是11的倍数是737，如果是13的倍数没有符合的数字．

所以这个7位数是9884737．

故选：B．

【点评】本题考察是整除特性的理解，突破口是开始的三位数字988，然后根据整除找到最大的满足条件的数字即可．

4．（10分）将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．

A．1152B．864C．576D．288

【分析】首先求出1，2，3，4，5，6，7的和是28，判断出8的两边各数之和都是14；然后分4种情况：（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时；（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时；（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时；（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时；求出每种情况下各有多少种不同的排法，即可求出共有多少种不同的排法．

【解答】解：1+2+3+4+5+6+7=28

8的两边各数之和是：28÷2=14

（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时，

不同的排法一共有：

（3×2×1）×（4×3×2×1）×2

=6×24×2

=288（种）

（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时，

不同的排法一共有288种．

（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时，

不同的排法一共有288种．