断裂力学作业

研究生课程考试答题册

学号056060343

姓名徐红炉

考试课目断裂力学

考试日期2006.9

西北工业大学研究生院

1． 分析1型裂纹尖端附近的应力应变场。

考虑在无限远处受双向拉伸应力作用的Ⅰ型裂纹问题。其Westergaard 应力函数的形式

选为：)(~

)(~~z Z yI z Z R I m I e I +=φ，该函数满足双协调方程，其相应的应力分量为

)()(22z Z yI z Z R y

I m I e I

x '-=∂∂=φσ （1a ）

)()(22z Z yI z Z R x

I m I e I

y '+=∂∂=φσ （1b ）

)(2z Z yR y

x I e I xy

'-=∂∂∂=φτ （1c ） 相应的应变分量)]()1()()1[(1)(1z Z I y z Z R E E I m I e y x x '

'+-'-'

='-'=

ννσνσε （2a ）

)]()1()()1[(1

)(1z Z I y z Z R E E I m I e x y y ''++'-'

='-'=ννσνσε （2b ）

G

z Z yR G I e xy

xy

)

('

-

==τγ （2c ） 先确定一个解析函数)(1z Z ,使得到的应力分量应满足问题的全部边界条件。将x 坐标轴取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则边界条件为： （1） y=0,x ∞→,σσσ==y x

（2） y=0,a x <,的裂纹自由面上，0=y σ，0=xy τ；而当a x >，随着a x →，

∞→σ。

因此选择函数2

2

2

)

/(1)(a

x x

x a x Z I -=

-=

σσ

，用z=x+iy 代替上式中的x ，从而有

2

2

)(a

z z

z Z I -=

σ （3）

满足上述边界条件。

为计算方便，将原点坐标从裂纹中心移至裂纹的右端点处，采用新坐标ξ，

a z a iy x iy a x -=-+=+-=)()(ξ，或写成a z +=ξ。（7）式用新坐标可写成 )

2()

()()

()(2

2a a a a a Z I ++=

-++=

ξξξσξξσξ （4）

令a

a f I 2)

()(++=

ξξσξ （5）

则)(1

)(ξξ

ξI I f Z ⋅=

考虑裂纹尖端的附近的应力场，即在0→ξ时，)(ξI f 为一实常数。 令π

ξξ2)(lim 0

I I K f =

→，则π

ξξξξξ2)(lim )(lim 0

I I I K f Z =

=⋅→→

)(2lim

ξπξξI I Z K ⋅=→，其中I K 就是Ⅰ型裂纹的裂纹尖端应力强度因子。

因此，在裂纹尖端处，在0→ξ的很小的范围内，解析函数)(ξI Z 可以写成

πξ

ξξ

ξξ2)(1

lim

)(0

I I I K f Z =

⋅=→ （6）

采用极坐标，将)sin (cos θθξθ

i r e r i +=⋅=，从而式（10）变为

)sin (cos 222)(2

θθπππξθ

θ

i r

K e

r

K e

r K Z I i

I i I I -=

=

⋅=

-

即，

θπξcos 2)(r K Z R I I e = （7a ）

θπξsin 2)(r

K Z I I

I m -=

（7b ）

由)23sin 23(cos 22)21(2)(23

23

θθπ

ξπξi r K K Z I I

I --=-='

--

有，2

3cos

22)(2

3

θ

πξ-

-

='

r

K Z R I I e （8a ） 2

3sin

22)(2

3θ

π

ξ-

=

'

r

K Z I I I m （8b ） 同理有2cos 22)(~

21

θπξr K Z R I I e = （9a ）

2

3sin

22)(2

3

θ

π

ξ-=

'

r

K Z I I I m （9b ） 且2

cos 2sin

2sin θ

θ

θr r y == （10） 将公式（7），（8）和（10）代入式（1），并将公式（9）代入（2）式，得到各个应力分量和

应变分量的表达式，即

)23sin 2sin 1(2cos 2θ

θθπσ-=

r

K I

x （11a ）

)23sin 2sin 1(2cos 2θ

θθπσ+=

r

K I

y （11b ）

3sin cos 222xy θθθ

τ=

（11c ）

]2

3sin

sin )1(cos )1[(2θ

θνθνπε'+-'-'=

r E K I x （12a ） ]2

3sin

sin )1(cos )1[(2θ

θνθνπε'++'-'=

r

E K I y （12b ） r

K I xy πθ

θγ2223cos

sin =

, （12c ）

其中：平面应力情况：E E ='，νν='

平面应变情况：)1/(2

ν-='E E ，ν

ν

ν-=

'1

2． 试求小范围屈服时塑性区的大小，并讨论在这种情况下如何对线弹性断裂力学准则进行

修正。

对于平面问题，由材料力学知识知，

2/1221]4)[(21)(21xy y x y x τσσσσσ+-++= (13a)

2/1222]4)[(2

1

)(21xy y x y x τσσσσσ+--+= (13b)

03=σ（平面应力）；)(213σσνσ+=（平面应变） (13c)

将公式（11）代入式（13）中，化简得到

)2sin 1(cos 21θ

θπσ+=

r

K I

（14a ）

)2sin 1(cos 22θ

θπσ-=

r

K I

(14b) 03=σ（平面应力）；2

cos

223θ

πν

σr

K I =（平面应变） (14c)

利用Mises 屈服准则，2

2132322212)()()(s σσσσσσσ=-+-+- （15）