特殊平行四边形复习
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线=S 形形形124．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、已知，△ABC 中，∠BAC=45°，以AB 为腰以点B 为直角顶点在△ABC 外部作等腰直角三角形ABD ，以AC 为斜边在△ABC 外部作等腰直角三角形ACE ，连结BE 、DC ，两条线段相交于点F ，试猜想∠EFC的度数并说明理由．【答案与解析】解法一：作DH//BE 交EA 延长线于H ，连接CH易证四边形BEHD 为平行四边形CEH EABCE=AE CEH=EAB=90HE=BD=AB CEH EAB SASCH=BE=DH CHE=ABECHD=90EFC=CDH=45⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴≅∴∠∠∴∠∴∠∠在△与△中△△（），解法二：作CG//BE 交AB 的延长线于G ，连接DG ，∵△ABC 与△ACE 都是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°.又∠AEC=90°，∴AB∥CE.∴四边形BECG 为平行四边形，∴CE=GB，又AE=EC ，∴GB=AE.在△BGD 与△AEB 中，DB=AB ，∠DBG=∠BAE=90°，GB=AE ，∴△B GD ≌△AE B (S A S )， ∴∠GDB=∠ABE，BE=DG.∵平行四边形BGCE,∴∠ABE=∠AGC，BE=GC,∴∠GDB =∠AGC, GC= DG.∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°.于是CDG △是等腰直角三角形，所以45EFC DCG ∠=∠= .【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解．类型二、菱形2、如图，平行四边形ABCD 中，AB⊥AC，AB ＝1，BC AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF 为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE 即可；（3）当EF⊥BD 时，四边形BEDF 为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，OA=AB ，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC 绕点O 顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明： 四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．在Rt△ABC中，2 AC==，∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∠EBD=∠EDB. 又∵∠EBD=∠FBD，∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF.同理，DF∥BE， ∴四边形BFDE是平行四边形. 又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形.3、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF=BF ；（2）在上述条件下，若AC=BD ，G 是BD 上一点，且BG ：GD=3：1，连接EG 、FG ，试判断四边形EBFG 的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO ，推出AB=BO ，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF 即可；（2）根据矩形性质和已知求出G 为OD 中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=BC ，12求出EG∥BC，EG=BC ，求出BF=EG ，BF∥EG，EG=GF ，得出平行四边形，根据菱形的判定12推出即可．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BD=2BO，∵BD=2AB，∴AB=BO，∵E 为OA 中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∵F 为BC 中点，∴EF=BF=CF，即EF=BF ；（2）四边形EBFG 是菱形，证明：连接CG ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC，AB=CD ，AD∥BC，BD=2BO=2OD ，∴BD=2AB=2CD，∴OC=CD，∵BG：GD=3：1，OB=OD ，∴G 为OD 中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB=90°，∵F 为BC 中点，∴GF=BC=AD ，1212∵E 为OA 中点，G 为OD 中点，∴EG∥AD，EG=AD ，12∴EG∥BC，EG=BC ，12∵F 为BC 中点，∴BF=BC ，EG=GF ，12即EG∥BF，EG=BF ，∴四边形EBFG 是平行四边形，∵EG=GF，∴平行四边形EBFG 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．类型三、矩形4、（2015春•青山区期中）如图1，已知AB ∥CD ，AB=CD ，∠A=∠D ．（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE ．①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= ，AF= ．【答案与解析】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵∠A=∠D ，∠A+∠D=180°，∴∠A=90°，∴四边形ABCD 为矩形，（2）解：①延长DA ，CE 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD ∥BC ，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB ，∵E 是AB 边的中点，∴AE=BE ，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，∵DF=1.6，F为AD中点，∴BC=3.2，∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∵∠DFC=2∠BCE，∴∠BCE=∠FCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠G，∴CF=FG=4.8；②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为：5；设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，∴DG=5+=，∴AD=DG=，∴AF=AD﹣DF=；故答案为：．．【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.举一反三：【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG 是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【答案】解：（1）四边形DEFG 是平行四边形．理由如下：∵D、G 分别是AB 、AC 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线；∴DG∥BC，且DG ＝BC ；12同理可证：EF∥BC，且EF ＝BC ；12∴DG∥EF，且DG ＝EF ；故四边形DEFG 是平行四边形；（2）O 在BC 边的高上且A 和垂足除外．理由如下：连接OA ；同（1）可证：DE∥OA∥FG；∵四边形DEFG 是矩形，∴DG⊥DE；∴OA⊥BC；即O 点在BC 边的高上且A 和垂足除外．5、在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4．过点A 作AE⊥AB 且AB=AE ，过点E 分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC=5，求四边形ABDE 的周长．【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF ，AC=EF ，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD 是矩形，求出四边形ABDE 的周长即可．【答案与解析】解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．∴∠B=∠2． ∵EF⊥AC，∴∠4=∠5=90°．∴∠3=∠4．在△ABC 和△EAF 中，∵，，342B AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△EAF（AAS ）．∴BC=AF，AC=EF ．∵BC=4，∴AF=4．∵FC=5，∴AC=EF=9．在Rt△ABC 中，.==．∵ED⊥BC，∴∠7=∠6=∠5=90°．∴四边形EFCD 是矩形．∴CD=EF=9，ED=FC=5．∴四边形ABDE 的周长．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键．举一反三：【变式】（2015•杭州模拟）如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC ⊥AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．【答案】解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ 为矩形．理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，∵AC=6，∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD 为平行四边形，BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ 为平形四边形，∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ 为矩形，（2）由（1）得BO=4，CQ=7，∵BC ⊥AC∴∠BCA=90°BC 2+CQ 2=BQ 2∴BQ=．类型四、正方形6、正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF ＝FM ；（2）当AE ＝1时，求EF的长．【答案与解析】解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM ，∠EDM＝90°，∴∠EDF＋∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF≌△DMF（SAS ），∴EF＝MF ；（2）设EF ＝MF ＝，x ∵AE＝CM ＝1，且BC ＝3，∴BM＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－，x ∵EB＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即，()22224x x +-=解得：，则EF ＝．52x =52【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ．（1）请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．【答案】解：(1)BG ＝DE ，BG⊥DE； 理由是：延长BG 交DE 于点H ， 因为BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCG＝∠DCE所以△BCG≌△DCE，所以BG ＝DE ，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠GBC＋∠DEC＝90°， 得∠BHE＝90°．所以BG⊥DE.(2)上述结论也存在．理由：设BG 交DE 于H ，BG 交DC 于K ，同理可证△BCG≌△DCE，得BG ＝ED ，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，可得∠DKH＋∠KDH＝90°，从而得∠KHD＝90°．所以BG⊥DE.。
特殊平行四边形知识点归纳
特殊平行四边形知识点归纳1.对角线：特殊平行四边形的对角线分别连接了两对相对顶点，它们相交于一个点，并且该交点将对角线分为两个相等的部分。
2.平行线性质：特殊平行四边形的两对边分别是平行的。
根据平行线的性质，可以推论出特殊平行四边形的一些重要性质，如对边相等和内角和为180度。
3.对角线性质：特殊平行四边形的对角线相等，即对角线BD=AC。
这个性质可以通过两个相似三角形的性质证明得出。
4.垂直线性质：特殊平行四边形的对角线相交于一个垂直点，即∠BOC=90度。
这个性质可以通过垂直线的性质证明得出。
5.邻补角性质：特殊平行四边形的邻补角（共享一条边且内角和为180度的两个角）之和为180度。
这个性质可以通过平行线的性质证明得出。
6.夹角性质：特殊平行四边形的夹角（相邻且共享一条边的两个内角）之和为180度。
这个性质也可以通过夹角的定义和平行线的性质证明得出。
7.对角线中点连线性质：特殊平行四边形的对角线的中点分别连接，即中点E和F相连，则EF平行于对边AB和CD，并且EF=AB=CD。
这个性质可以通过对角线中点连线构造等腰直角三角形的性质证明得出。
特殊平行四边形的这些性质和概念在几何学中有着广泛的应用。
例如，在解决平行四边形的面积、周长、角度和边长等问题时，可以利用这些性质来求解。
特殊平行四边形还与三角形、四边形和多边形等几何图形的关系密切相关，在几何证明和问题求解中起着重要的作用。
总之，特殊平行四边形是一个重要的几何概念，它具有一系列的重要性质和应用。
通过深入理解这些知识点，并善于运用它们来解决问题，可以提高我们的几何学思维能力和分析问题的能力。
第五章 特殊平行四边形总复习
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C＝90°,BC=16, DC=12,AD＝21.动点P从点D出发,沿射线DA的方向以 每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段 CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别 从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止 运动.设运动的时间为t（秒） （1）当t＝2时，求△BPQ的面积；
平行 四边形
矩形
1、定义：有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
C2
D
B1 C
B2
C1
如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个 等边三角形，即△ABD、△BCF、△ACE，请回答下 列问题，并说明理由.
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形. （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEFD是矩形? （3）当△ABC满足什么条件时，四边形AEFD是菱形? （4）当△ABC满足什么条件时，以A、E、F、D为顶点 F 的四边形不存在？
G
A
F
D
B
E
C
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、 CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱 形，并说明理由。 AC＝BD 解：添加的条件是__________
A H D E G B F C
我想到：三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半.
A A1
D3
D2
C3
特殊的平行四边形专题复习
× 2、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ）
3、一组邻边相等的矩形是正方形。 （ ）
×√ 4、对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
5、菱形的对角线相等 。
（×）
6、矩形的对角线垂直。
× （ ）
1. 矩形、菱形、正方形的共同的性质是（ C ）
A. 对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
矩形
菱形
正方形
第二部分
矩形
定义：
有一个角是直角的平行四 边形叫矩形
菱形
定义： 有一组邻边相等的 平行四边形叫菱形
定义： 一组邻边相等的矩形叫 正方形
正方形
1、几种特殊平行四边形的性质：
项目 四边形
边
角
对角线
矩形
四个角 平行且相等
都是直角
互相平分且相等
菱形
平行 且四边相等
对角相等 邻角互补
互相垂直平分，且每 一条对角线平分一组 对角
正方形
平行 且四边相等
四个角 都是直角
互相垂直平分且相等， 每一条对角线平分一 组对角
2、几种特殊平行四边形的常用判定方法：
四边形
条件
矩形
1、定义：有一个角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形
菱形 正方形
1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形
面积是 ＿1＿2 .
C
如图,在正方形ABCD外作一个等边三 D 角形ABE,
A E
则∠AED=＿1＿5 °.
C
B
1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过
《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【知识网络】 知识点归纳要点一、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.类型一：菱形的性质1、如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_________cm.【变式】如图， 菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ． 32B ．33C ． 34D ． 3矩形 菱形正方形 性 质边对边平行且相等 对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·是矩形，且有一组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形FADEBC【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶2，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.3 B.2 C.1 D.232、如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．类型二：菱形的面积计算3、已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 22.已知菱形ABCD 的面积是212cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是__________cm ； 3.如图1， 菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 ．4. 如图2，已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、163B 、16C 、83D 、8图1 图2 图35. 如图3，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2． 类型三、菱形的判定4、已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证：四边形AFCE 是菱形．ADC EB5、在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．作业一1．下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2．如图1，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.163.如图2，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．5图1 图24.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°5．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 36．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD ⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：宽＝长矩形⨯S类型一：矩形的性质6、下列说法中正确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分 7、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为 。
第08讲特殊平行四边形单元整体分类总复习(原卷版)
第08讲特殊平行四边形章节分类总复习考点一矩形的判定与性质【知识点睛】❖矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形; ②有三个角是直角的四边形是矩形;③四个角都相等的四边形是矩形; ④对角线相等的平行四边形是矩形;⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形.❖矩形的性质①矩形的对边平行且相等; ②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等且互相平分; ④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
【类题训练】1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE 的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．30°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF．若AC＝10，则EF的长为（）A．B．3C．4D．53．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．2﹣2B．﹣1C．﹣1D．24．如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＝S2B．S1＞S2 C．S1＜S2D．3S1＝2S25．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）A．MB＝MO B．OM＝AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND6．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．47．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．268．如图，在▱ABCD中，下列条件①AC＝BD；②∠1+∠3＝90°；③OB＝AC；④∠1＝∠2，能判断▱ABCD是矩形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（）A．B．C．D．10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）A．（3，1）或（3，3）B．（3，）或（3，3）C．（3，）或（3，1）D．（3，）或（3，1）或（3，3）11．如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为．12．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是．13．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝°．14．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是．17．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝．18．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．19．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．问：（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝10，BD＝8，求△BCF的面积．考点二菱形的判定与性质【知识点睛】❖菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
专题03特殊平行四边形综合各市好题必刷(期中复习压轴满分)(原卷版)
阶段性复习压轴专题满分攻略专题03 特殊平行四边形综合各市好题必刷一．选择题（共18小题）1．（2022春•开福区校级期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．（2022•岳麓区校级开学）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于（）A．B．C．D．8 3．（2022•薛城区校级模拟）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD 于点M，且MC＝2，▱ABCD的周长是14，则DM等于（）A．1B．2C．3D．44．（2022春•姑苏区校级期中）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形5．（2022春•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC 的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．14 6．（2022•宝应县一模）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6 7．（2022春•广丰区校级期中）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（）A．28B．32C．18D．25 8．（2022秋•吉安县期中）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形9．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°10．（2022•睢阳区模拟）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°11．（2022春•玉林月考）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11 12．（2022春•任城区期末）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形13．（2021秋•东平县期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为（）A．B．2C．D．3 14．（2023•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（）A．CD＝4B．CD＝2C．OD＝2D．OD＝4 15．（2022•费县校级二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，＝48，则OH的长过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD为（）A．4B．8C．D．6 16．（2022•庆云县模拟）如图1，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是17．（2022春•铜官区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5 18．（2022春•梁溪区月考）如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC ⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3B．C．D．二．填空题（共19小题）19．（2022秋•济阳区月考）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF ∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是．20．（2022春•海淀区校级期中）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．21．（2022春•让胡路区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．22．（2022•南山区校级一模）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为．23．（2022春•满洲里市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．24．（2022•城关区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．25．（2022春•工业园区校级期中）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．26．（2021秋•朝阳区校级期末）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．27．（2022春•盐池县期末）如图，在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE ＝1，P是BD上的动点，则PE和P A的长度之和最小值为．28．（2021秋•绥棱县期末）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．29．（2022春•北京期中）如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB ＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．30．（2022春•梅江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN ⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．31．（2022秋•迎泽区校级月考）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN＝．32．（2021秋•泾阳县期末）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF ＝．33．（2022秋•南海区校级月考）如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB 的最小值等于．34．（2022春•鼓楼区期末）如图，在▱ABCD中，点D是定点，点A、C是直线l1和l2上两动点，l1∥l2，且点D到直线l1和l2的距离分别是1和4，则对角线BD长度的最小值是．35．（2022•薛城区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．36．（2022•肇东市校级三模）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是．37．（2022春•工业园区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．三．解答题（共14小题）38．（2022•滨城区校级一模）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．39．（2022•隆昌市校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．40．（2022春•衡山县期末）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O 作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．41．（2023•河北模拟）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC 中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE．（1）求证：△CDF≌△EBF；（2）求证：四边形AEBD是菱形；（3）若BC＝8，BE＝5，求BG的长．42．（2022•萧山区开学）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE ＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．43．（2022春•九龙坡区校级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．44．（2022春•双台子区期末）如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD 平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．45．（2022春•汶上县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．46．（2022春•天山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC 的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．47．（2022•龙华区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．48．（2022春•阳新县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．49．（2021秋•临沂期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．50．（2022秋•铁西区月考）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）求证：四边形DEFG是正方形；（2）求AE2+CE2的最小值．51．（2022•湘潭县校级模拟）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．。
特殊平行四边形复习课ppt课件
菱形的
四条边都相等.
1. 一组邻边相等的平行四边形
对角相等.
是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形
是菱形.
菱形两条对角线互相 3.四条边都相等的四边形是菱形.
垂直；且每条对角线
平分一组对角.
跟踪训练：
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作 DP∥OC，且 DP=OC，连结CP
试判断四边形CODP的形状．
二、知识梳理 (正方形)
性质
判定
边
四条边都相等.
有一组邻边相等的矩形 是正方形.
角
四个角都是直角.
有一个角是直角的菱形 是正方形.
两条对角线相等且互相
对角线 垂直平分.每条对角线
平分一组对角.
①对角线相等的菱形是 正方形.
②对角线互相垂直的矩 形是正方形.
跟踪训练：
如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且 AE=BF=CM=DN，四边形EFMN是什么图形?证明你的结论.
矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等
对角线相等的平行四边形 是矩形
有三个角是直角的四边形是矩 形
跟踪训练：
Hale Waihona Puke 如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别 是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN
交于P，CN与DQ交于M.
A
D
求证：四边形MNPQ是矩形．
N
P
M
中考链接：
结论：四边形CODP是菱形
证明： ∵ DP∥OC， DP=OC， ∴ 四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形 ， ∴CO=DO． ∴四边形CODP是菱形 ．
特殊平行四边形综合复习
教学内容：第十二章复习平行四边形综合复习【本章重点】1．几种特殊四边形的特征边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分轴对称矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称中心对称菱形对边平行四边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称中心对称正方形对边平行四边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称中心对称等腰梯形两底平行两腰相等同一底上的两个角相等两条对角线相等轴对称平行四边形：(1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等；(3)一组对边平行且相等；(4)两条对角线互相平分；(5)两组对角分别相等．矩形：(1)有三个角都是直角；(2)是平行四边形，并且有一个角是直角；(3)是平行四边形，并且两条对角线相等．菱形：(1)四条边相等；(2)是平行四边形，并且一组邻边相等；(3)是平行四边形，并且两条对角线互相垂直．正方形：(1)是矩形，并且有一组邻边相等；(2)是菱形，并且有一个角是直角．等腰梯形：(1)是梯形，并且同一底上的两个角相等；(2)是梯形，并且两条对角线相等．【解题思想】1．转化思想(1)边形问题化归为三角形问题来处理．(2)梯形问题化归为三角形、平行四边形问题来处理．2．代数一计算法通过计算来解决几何问题的方法就是代数法．如：列方程等．3．运用变化思想即运用平移、旋转、对称等变换来构造图形解决几何问题的方法．【经典例题精讲】一、有关图形判定问题此类问题仍是根据定义或识别方法来证明是什么图形，只要牢记识别方法，并能灵活运用即可．例1如图12-1，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的，试说明四边形EFGH是正方形．二、有关平行四边形、梯形特征问题平行四边形、梯形特征主要作用：证角相等、线段相等、直线平行、直线垂直、线段互相平分等．例2如图12-2，正方形ABCD中，EF⊥GH，试说明EF＝GH．三、有关旋转变换、平移变换、对称变换的问题例3已知如图12-3，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE＝CF＋AE．四、实际问题例4 如图12-4，是由电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的正方形面积为1，求这个矩形色块图的面积．【历届中考题目】一、填空题1．如果梯形的两底之比为2︰5，中位线长14cm，那么较大的底长为________cm．cm．2．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是________23．已知中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是________．4．平行四边形ABCD的周长为28cm，AC和BD交于O，△OAB的周长比△OBC的周长大4cm，则AB＝________cm，BC＝________cm．5．如果四边形ABCD满足条件________，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直．6．如图12-5，中，AC、BD相交于O，过点O作BC平行线交CD于点E，若OE＝3cm，则AD＝________cm．7．已知菱形ABCD的两条对角线AC＝8 cm，BD＝6 cm，那么对角线交点到任一边的距离等于________cm．8．如图12-6，中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠ABC＝75°，则∠EAF的度数是________．9．在△ABC中，AD⊥BC于D，E、F分别是AB、AC的中点，连结DE、EF、FD，当△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形(填写一个你认为恰当的条件即可)．10．菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________，面积为________．11．(2003·河南省C 卷)如图12-7，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，CD ＝BC ，E 是BA 、CD 延长线的交点，∠E ＝40°，则∠ACD ＝________度．12．菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，AE ＝DE ，则∠EBF ＝________．13．(2001·江苏盐城市·20)如图12-8，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 交于O ，则图中面积相等的三角形有________．14．如图12-9，梯形ABCD 的中位线EF 长为a ，高为h ，则图中阴形部分的面积是________．15．要证明一个四边形是菱形可先证明这个四边形是________形，再证这个四边形为________形． 16．如图12-10，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，则∠D ＝________．二、选择题17．下列命题中，正确命题是( )．A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形 18．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是( )． A ．10与16 B ．12与16 C ．20与22 D ．10与40 19．不能判定ABCD 为平行四边形的题设是( )． A ．AB ＝CD ，AD ＝BC B ．AB 平行且等于CD C ．AB ＝CD ，AD ∥BC D ．AB ∥CD ，AD ∥BC 20．下列命题中真命题是( )．A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形C ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 21．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )． A ．四条边相等 B ．对角线垂直且互相平分 C ．对角线相等 D ．对角线平分一组对角22．梯形的面积为2cm 60，中位线长20cm ，则梯形的高是( )． A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm23．已知矩形的对角线长为10cm，那么顺次连结矩形四边中点所得的四边形周长为( )．A．40 cm B．10 cmC．5 cm D．20 cm三、解答题24．如图12-11，的对角线相交于点O，直线EF经过O点与AB、CD分别相交于E、F，AM⊥EF于M，CN⊥EF于N，试说明AM＝CN．25．已知，如图12-12，AD∥BC，BD⊥EF，且AF＝CE，试说明，四边形ABCD是平行四边形．26．如图12-13，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，试说明重叠部分ABCD为菱形．27．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BE⊥DC，DC＝BC，试说明AB＝BE．28．(2003·江西省)有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，如图12-14，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．(1)试说明AF＝EC；(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C．①当x︰b为何值时，直线E′E经过原矩形的一个顶点？②在直线E′E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE′，直线B E′与EF是否平行？你若认为平行，请给予说明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？。
特殊的平行四边形 复习优质课件
(1)四边形ABCD
是平行四边形
B
30°
30° D
吗？说出你的
结论和理由．
C
如图1
活动三 例题讲解
(2)如图，将Rt△BCD沿射线BD方向平移 到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平 行四边形吗？说出你的结论和理由．
A
B
30°
B1
D
30°
D1
C C1
活动三 例题讲解
(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程 中，当点B的移动距离为___33___时，四 边形ABC1D1为矩形A ，请说明理由；
活动二 知识归纳
（2）特殊平行四边形的性质
边
角
对角线 对称性
具有平行四
矩 形 边形的一般
性质
四个角都 是直角
两条对角 线相等
是轴对称图 形，有2条 对称轴
菱形
四条边 都相等
具有平行四 边形的一般 性质
互相垂直，每 条对角线平分 一组对角
是轴对称图 形，有2条 对称轴
具有矩形和菱形的所有性质 四条边
正方形
1、有一组邻边相等的矩形是正方形 2、有一个角是直角的菱形是正方形
活动三 例题讲解
例1 如图，在矩形ABCD中，对角线BD的 垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交 于点N，连接BM，DN． （1）求证：四边形BMDN是菱形； （2）若AB=4，AD=8，求MD的长．
活动三 例题讲解
例2 将两块全等的含30°角的三角尺如图1 摆放在一起，设较短直角边为1．
B
30°
B1
1
D
30°
D1
C C1
活动三 例题讲解
(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程 中，当点B的移动距离为____3 __时，四 边形ABC1D1为菱形A ，请说明理由；
【单元复习】第一章 特殊平行四边形(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(原卷版)
【单元复习】第一章特殊平行四边形知识精讲第一章特殊平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
特殊的平行四边形专题（题型详细分类）要点
特殊的平⾏四边形专题（题型详细分类）要点特殊的平⾏四边形讲义知识点归纳矩形，菱形和正⽅形之间的联系如下表所⽰：四边形分类专题汇总专题⼀：特殊四边形的判定矩形菱形正⽅形性质边对边平⾏且相等对边平⾏，四边相等对边平⾏，四边相等⾓四个⾓都是直⾓对⾓相等四个⾓都是直⾓对⾓线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对⾓线平分⼀组对⾓互相垂直平分且相等,每条对⾓线平分⼀组对⾓判定 ·有三个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且有⼀个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且两条对⾓线相等. ·四边相等的四边形；·是平⾏四边形且有⼀组邻边相等；·是平⾏四边形且两条对⾓线互相垂直。
·是矩形，且有⼀组邻边相等； ·是菱形，且有⼀个⾓是直⾓。
对称性既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________2.矩形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________3.菱形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________4.正⽅形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________5.等腰梯形的判定⽅法：（1）______________ （2）______________ （3）______________【练⼀练】⼀．选择题1．能够判定四边形ABCD是平⾏四边形的题设是（）．A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平⾏四边形的为（）．A．相邻的⾓互补 B．两组对⾓分别相等C．⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等 D．对⾓线交点是两对⾓线中点3.下列条件中，能判定四边形是平⾏四边形的条件是( )A.⼀组对边平⾏，另⼀组对边相等B.⼀组对边平⾏，⼀组对⾓相等C.⼀组对边平⾏，⼀组邻⾓互补D.⼀组对边相等，⼀组邻⾓相等4．如下左图所⽰，四边形ABCD的对⾓线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平⾏四边形;B．若AC=BD，则ABCD是平⾏四边形;C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平⾏四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平⾏四边形5．不能判定四边形ABCD是平⾏四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC6.四边形ABCD的对⾓线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD7.四边形ABCD的对⾓线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8.在四边形ABCD中，O是对⾓线的交点，下列条件能判定这个四边形是正⽅形的是（）A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB、AD∥BC，∠A＝∠CC、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC9.在下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对⾓线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对⾓线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形Ｄ．两条对⾓线互相垂直且相等的四边形是正⽅形10.在下列命题中，正确的是（）11.如图，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，下列结论中不正确的是（） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形C ．当∠ABC=900时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正⽅形12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（） A ．四边形AEDF 是平⾏四边形B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正⽅形的条件是（）。
九年级数学特殊的平行四边形中考总复习
《特殊的平行四边形》专题复习学习目标：1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定在几何问题中的综合运用。
2.连平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线，能得到特殊三角形（直角三角形和等腰三角形）、全等三角形，要用心体会方程思想（直角三角形）和分类讨论思想（等腰三角形）在解决问题中的作用．知识梳理：一．矩形、菱形、正方形的性质与判定．二．矩形、菱形、正方形与平行四边形的关系．（小组讨论）注意：以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，推出特殊的四边形：矩形、菱形、正方形。
他们之间既有联系又有区别。
（1）矩形的性质与判定．注意：从矩形的图形中可以分解出：直角三角形、等腰三角形、对角线的夹角是60°时有等边三角形。
（2）矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （3）菱形的性质与判定．注意：从菱形的图形中可以分解出：直角三角形、等腰三角形或等边三角形。
（4）菱形的面积1.运用平行四边形的面积公式： ．2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.（5）正方形的性质与判定．注意：从正方形的图形中可以分解出：等腰直角三角形。
例1.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上任一点（不与A ，C 重合），连接BP ，DP ，过P 作PE ∥CD 交AD 于E ，过P 作PF ∥AD 交CD 于F ，连接EF ．（1）求证：△ABP ≌△ADP ；（2）若BP=EF ，求证：四边形EPFD 是矩形．S =⨯平行四形底高12ABCD S AC BD =⋅菱形跟踪练习.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．例2.如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．跟踪练习.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O 的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．巩固提高：准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．总结中考这类题做题方法与注意事项：专项训练：1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB 上，EF⊥AB，OG∥EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△FAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．4. 如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．6. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．7. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，求ABCD的面积？9. 如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．10. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF ⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．13. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）若菱形ABCD的周长是4，tanα=，求四边形OBEC的面积．14. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.15.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，16.延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．。
中考数学《特殊平行四边形》专题复习课件(共32张PPT)
你的结论。
7.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的 矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG 沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E， 求折痕CG所在直线的解析式。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
⑵当x为何值时，⊿PBC的周长最 小，并求出此时y的值
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
一、四边形的分类及转化
两组对边平行 平行四边形
任意四边形
一组对边平行
梯形
另一组对边不平行
矩形
菱 形
正方形
等腰梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目 四边形
对边
角
对角线
对称性
对角相等
平行且相等
平行四边形
邻角互补
四个角
矩形 平行且相等 都是直角
平行
对角相等
北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形复习课件(共64张PPT)
特殊平行四边形
章末复习
第一章 特殊平行四边形
章末复习
知识框架
归纳整合
素养提升
中考链接
第一章 特殊平行四边形
知识框架
菱形
正方形
矩形
菱形、矩形、正
方形之间的关系
特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
知识框架
定义
有一组邻边相等的平行
四边形叫作菱形
四条边相等
性质
对角线互相垂直
菱形
对称性
既是轴对称图形, 又是中心对称图形
第一章 特殊平行四边形
归纳整合
相关题1-2
如图1-Z-4, 在菱形ABCD中, 对角线AC, BD相
交于 点O, 过点D作对角线BD的 垂线交BA的
延长线于点E. (1)求证：四边形ACDE是 平行
四边形；(2) 若 AC = 8 ,
△ADE的周长.
BD = 6 ,
求
第一章 特殊平行四边形
归纳整合
分析
①
√
∵正方形ABCD的边长为6, CE=2DE, ∴DE=2, CE=4.
又∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置,
∴AF=AD=AB=6, ∠AFE=∠D=∠B=90°, 又AG=AG,故Rt△ABG和Rt△AFG
全等, ∴BG=GF
②
√
设 BG=x, 则GF=x, CG=BC-BG=6-x, 在Rt△CGE中, GE=x+2, EC=4,
过点H作PQ∥EF, 分别交AB, CD于点P, Q, 得到四边形MNQP, 此
时, 他猜想四边形MNQP是菱形, 请在图1-Z-2的框中补全他的证明
思路．
第一章 特殊平行四边形
特殊的平行四边形16个必考点全梳理
考点梳理：特殊的平行四边形16个必考点全梳理(精编Word)一、菱形的性质(求角的度数)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．1.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=33°，则∠OBC的度数为()A.33°B.57°C.59°D.66°2.在菱形ABCD中，若∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF，则∠AEC+∠AFC度数等于3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF=27°，则∠DAB的度数为．4.如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF=120°，则∠C的度数为．二、菱形的性质(等面积法)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ⊥AB 于点E ，若AC =8cm ，BD =6cm ，则DE =()A.53 cmB.25 cmC.245 cmD.485cm 6.如图，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线BD =8，过BD 的中点O 作AD 的垂线，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，则DF 的长度为()A.125B.245C.85 5D.813 57.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ．PF ⊥AB 于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE +PF 的值为()A.4B.245C.6D.4858.如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为8，延长AB 至E ，BF 平分∠CBE ，点G 是BF 上任意一点，则△ACG 的面积为()A.63B.12C.20D.24三、菱形的性质(求点的坐标)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9.如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，则点C 的坐标为()A.(2，2)B.(2，4)C.(4，2)D.(4，4)10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点A (3，3)，C (-1，-1)，对角线BD 交AC 于点M ，交x 轴于点N ，若BN =2ND ，则点B 的坐标是()A.(-32 ，72 )B.(-2 ，22 )C.(4，-2)D.(-2，4)11.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23 )，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为() A.(-2，-23 )或(23 ，-2) B.(2，23 ) C.(-2，23 )D.(-2，-23 )或(2，23 )12.如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，则点C 的坐标是．四、菱形的性质(最值问题)13.如图，菱形ABCD 的的边长为6，∠ABC =60°，对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧)，若EF =2，则AE +CF 的最小值为()A.210B.42C.6D.814.如图，菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC=60°，点E 、F 在对角线BD 上运动，且EF =2，连接AE 、AF ，则△AEF 周长的最小值是() A.4 B.4+3 C.2+23 D.615.如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，E 、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE =DF ，则AE +AF 的最小值为．16.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF +ED 的最小值是．五、菱形的判定与性质(计算与证明)17.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若∠DAC=60°，AC=2，求四边形AFCE的面积．18.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．19.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若∠BDE=15°，∠C=45°，DE=2，求CF的长．20.如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．(1)求证：△ABN≌△CDM；(2)求证：四边形CDMN为菱形；(3)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求NC的长．六、矩形的性质掌握矩形的性质是解决此类问题的关键，矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.21.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，连结BM 、DN ．若AB =4，AD =8，则MD 的长为()A.3B.4C.5D.622.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ．若BE =EO ，则AD 的长是()A.62B.23C.32D.2523.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若DF ⊥AC ，∠ADF ：∠FDC =3：2，则∠BDF =()A.18°B.36°C.27°D.54°24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，∠ACB =52°，AM 平分∠BAC ，交BC 于点M ，过点B 作BF ⊥AM ．垂足为点F ，则∠DBF 的度数为()A.43°B.34°C.33°D.19°七、矩形的性质(最值问题)25.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是()A.2B.4C.2D.22 26.如图，在矩形ABCD 中，AD =2AB =4，点E 是AD 的中点，点M 是BE 上一动点，取CM 的中点为N ，则AN 的最小值是．27.学习新知：如图1、图2，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP 2+CP 2=BP 2+DP 2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC 中，CA =4，CB =6，D 是△ABC 内一点，且CD =2，∠ADB =90°，则AB 的最小值为．28.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A '处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA '，CA ’，则△CGA '的周长的最小值为．八、矩形的判定与性质(计算与证明)矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.29.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AD=5，BE=3，求线段OE的长．30.如图，在△ABC中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：四边形CEAF是矩形；(2)若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，求四边形ABCF的面积．31.如图，已知△OAB中，OA=OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC=AO，OD=BO，连接AD、DC、CB．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．32.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO=BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB=1，求△OEC的面积．九、直角三角形斜边上的中线应用掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．33.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAC=45°，∠BAC=30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为()A.10°B.12°C.15°D.18°34.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE⊥AB，垂足为E，连结OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC=α，则()A.∠EOF=32 αB.∠EOF=2αC.∠EOF=180°-αD.∠EOF=180°-2α35.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为()A.19°B.33°C.34°D.43°36.如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF=6，BC=10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为．十、正方形的性质掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．37.如图，正方形ABCD 中，AB =2 ，点E 是对角线AC 上一点，EF ⊥AB 于点F ，连结DE ，当∠ADE =22.5°时，EF 的长是()A.1B.22 -2C.2 -1D.1438.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE =DF =1，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为()A.2B.2.5C.3D.3.539.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE ⊥CF 于点G ．若BC =4，AF =1，则CE 的长为()A.3B.125C.195D.16540.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE =25 ，且∠ECF =45°，则CF 的长为()A.4103 B.5103 C.210 D.7103 十一、正方形的性质(最值问题)41.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME ⊥BC 于E ，MF ⊥CD 于F ，则EF 的最小值为()A.32B.62C.3D.242.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE =CF ，连接BF 、DE ，则BF +DE 的最小值为()A.12B.20C.48D.8043.如图，平面内三点A 、B 、C ，AB =4，AC =3，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是()A.5B.7C.72D.722 44.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 是边AB 上的动点，且AM =BN ，连接MD 交对角线AC 于点E ，连接BE 交CN 于点F ，若AB =3，则AF 长度的最小值为．十二、正方形的判定与性质(计算与证明)45.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)求AG+AE的值；(3)若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．46.已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．(1)求证：四边形ABCD是正方形．(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．47.如图，已知四边形ABCD 为正方形，AB =42 ，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE 、过点E 作EF ⊥DE ．交BC 点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．(1)求证：矩形DEFG 是正方形；(2)探究：CE +CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．48.四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG(1)如图，求证：矩形DEFG 是正方形；(2)若AB =22 ，CE =2，求CG 的长；(3)当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．十三、中点四边形49.如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是()A.当∠ABC=90°时，四边形MNPQ为正方形B.当AC=BD时，四边形MNPQ为菱形C.当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形D.四边形MNPQ一定为平行四边形50.已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)①当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形．51.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是线段BC、AD、OB、OD的中点，连接EH、HF、FG、GE．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)当EF和BD满足条件时，四边形GEHF是矩形；(3)当EF和BD满足条件时，四边形GEHF是菱形．52.如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．十四、四边形的判定(动点问题)53.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②若AM=6，求证：四边形AMDN是菱形．54.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．(1)试说明EO=FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；(3)若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．55.如图，▱ABCD 中，AB =2cm ，AC =5cm ，S ▱ABCD =8cm 2，E 点从B 点出发，以1cm 每秒的速度，在AB 延长线上向右运动，同时，点F 从D 点出发，以同样的速度在CD 延长线上向左运动，运动时间为t 秒．(1)在运动过程中，四边形AECF 的形状是；(2)t =时，四边形AECF 是矩形；(3)求当t 等于多少时，四边形AECF 是菱形．56.如图，平行四边形ABCD 中，AD =9cm ，CD =32 cm ，∠B =45°，点M 、N 分别以A 、C 为起点，1cm /秒的速度沿AD 、CB 边运动，设点M 、N 运动的时间为t 秒(0≤t ≤6)(1)求BC 边上高AE 的长度；(2)连接AN 、CM ，当t 为何值时，四边形AMCN 为菱形；(3)作MP ⊥BC 于P ，NQ ⊥AD 于Q ，当t 为何值时，四边形MPNQ 为正方形．十五、四边形综合(多结论选择题)57.如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是()①△FPD是等腰直角三角形；②AP=EF=PC；③AD=PD；④∠PFE=∠BAP．A.①②B.①④C.①②④D.①③④58.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD =3；其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个59.如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN=BM；②EM∥FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个60.如图，正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF=FH；②∠HAE=45°；③BD=2FG；④△CEH 的周长为8．其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个十六、边形综合(旋转问题)61.在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE=EF，过D作DG⊥EF于点H，交AB边于点G．(1)如图1，求证：DE=DG；(2)如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H为DG中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段(不包括EG)．62.如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF=m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG=DF．(1)求证：△ABG≌△ADF；(2)求证：AG⊥AF；(3)当EF=BE+DF时：①求m的值；②若F是CD的中点，求BE的长．63.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．(可利用(2)得到的结论)64.如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．的值(写出结论，不需要证明)；(1)探究PG与PC的位置关系及PGPC(2)如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且的值，写出你的猜想并加以证明；∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及PGPC(3)如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题(2)中的其他条件不变．你在(2)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．考点梳理：特殊的平行四边形16个必考点全梳理(精编Word )一、菱形的性质(求角的度数)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．1.如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM =CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ．若∠DAC =33°，则∠OBC 的度数为()A.33°B.57°C.59°D.66°【分析】根据菱形的性质以及AM =CN ，利用ASA 可得△AMO ≌△CNO ，可得AO =CO ，然后可得BO ⊥AC ，继而可求得∠OBC 的度数．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC ，∴∠MAO =∠NCO ，∠AMO =∠CNO ，在△AMO 和△CNO 中，∠MAO =∠NCO AM =CN ∠AMO =CNO，∴△AMO ≌△CNO (ASA )，∴AO =CO ，∵AB =BC ，∴BO ⊥AC ，∴∠BOC =90°，∵∠DAC =33°，∴∠BCA =∠DAC =33°，∴∠OBC =90°-33°=57°，选B ．【小结】考查菱形性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．2.在菱形ABCD 中，若∠B =60°，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且BE =AF ，则∠AEC +∠AFC 度数等于【分析】菱形的四边相等，对角线平分每一组对角，因为∠B =60°，连接AC ，AC 和菱形的边长相等，可证明△ACE ≌△CDF ，可得到一个角为60°的等腰三角形从而可证明EFC 是等边三角形，进而利用四边形的内角和为360°即可得出答案．【解析】连接AC ，∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴AC =AB =BC =CD =AD ，∵BE =AF ，∴AE =DF ，∵∠B =60°，AC 是对角线，∴∠BAC =60°，∴∠BAC =∠D =60°，∴△ACE ≌△CDF ，∴EC =FC ．∠ACE =∠DCF ，∵∠DCF +∠ACF =60°，∴∠ACE +∠ACF =60°，∴△ECF 是等边三角形．故可得出∠ECF =60°，又∠EAF=120°，∴∠AEC +∠AFC =360°-(60°+120°)=180°【小结】本题考查了菱形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及等边三角形的判定，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，难度一般．3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF=27°，则∠DAB的度数为．【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．【解析】连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°【小结】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．4.如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC，分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF= 120°，则∠C的度数为．【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD=∠CBD，进而利用三角形的内角和解答即可．【解析】设∠CBD=x，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=x，∴∠ADB=∠CBD=x，∵AH⊥BC，AD∥BC，∴∠DAH=∠AHB=90°，∵F为ED的中点．∴AF=FD，∴∠FAD=∠ADB=x，∵∠BAF=120°，∴∠BAD=120°+x，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，可得：2x+120°+x=180°，解得：x=20°，∴∠BAD=120°+x=140°∵四边形ABCD为菱形，∴∠C=∠BAD=140°．【小结】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD∥BC，∠ABD=∠CBD解答．二、菱形的性质(等面积法)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DE ⊥AB 于点E ，若AC =8cm ，BD =6cm ，则DE =()A.53 cmB.25 cmC.245 cmD.485cm 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC =8cm ，BD =6cm ，∴S 菱形ABCD =12 AC •BD =12×6×8=24，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA =OC =12 AC =4cm ，OB =OD =3cm ，∴在直角三角形AOB 中，AB =OB 2+OA 2 =32+42 =5cm ，∴DH =S 菱形ABCD AB=245 cm ．选C ．【小结】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．6.如图，在菱形ABCD 中，AB =5，对角线BD =8，过BD 的中点O 作AD 的垂线，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，则DF 的长度为()A.125B.245C.85 5D.813 5【解析】连接AC ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，O 是BD 的中点，∴OD =OB =12BD =4，AD =AB =5，AC ⊥BD ，∴OA =52-42 =3，∵OE ⊥AD ，∴△AOD 的面积=12 AD ×OE =12OA ×OD ，∴OE =OA ×OD AD=3×45 =125 ，同理：OF =125 ，∴EF =OE +OF =245 ，∵DE =OD 2-OE 2 =42-(125 )2 =165 ，EF ⊥AD ，∴DF =DE 2+EF 2 =(165 )2+(245)2 =813 5 ；选D7.如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ．PF ⊥AB 于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE +PF 的值为()A.4B.245C.6D.485【分析】连结BP ，如图，根据菱形的性质得BA =BC =5，S △ABC =12S 菱形ABCD =12，然后利用三角形面积公式，由S △ABC =S △PAB +S △PBC ，得到12 ×5×PE +12×5×PF =12，再整理即可得到PE +PF 的值．【解析】连结BP ，如图，∵四边形ABCD 为菱形，菱形ABCD 的周长为20，∴BA =BC =5，S △ABC =12 S 菱形ABCD=12，∵S △ABC =S △PAB +S △PBC ，∴12 ×5×PE +12×5×PF =12，∴PE +PF =245，选B ．【小结】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．8.如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为8，延长AB 至E ，BF 平分∠CBE ，点G 是BF 上任意一点，则△ACG 的面积为()A.63B.12C.20D.24【分析】连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质和勾股定理求出OB =3，得出△ABC 的面积=12，依据∠ACB =∠CBF ，得出AC ∥BF ，进而得出△ACG 的面积=△ABC 的面积=12．【解析】如图所示，连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB =12 ∠BCD ，AB =5，OA =12AC =4，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠BCD =∠CBE ，OB =AB 2-OA 2 =52-42 =3，∴△ABC 的面积=12 AC ×OB =12×8×3=12，∵BF 平分∠CBE ，∴∠CBF =12∠CBE ，∴∠ACB =∠CBF ，∴AC ∥BF ，∴△ACG 面积=△ABC 面积=12，三、菱形的性质(求点的坐标)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．9.如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，则点C 的坐标为()A.(2，2)B.(2，4)C.(4，2)D.(4，4)【分析】连接AC 、BD 交于点E ，由菱形的性质得出AC ⊥BD ，AE =CE =12 AC ，BE =DE =12BD ，由点B 的坐标和点D 的坐标得出OD =2，求出DE =4，AC =4，即可得出点C 的坐标．【解析】连接AC 、BD 交于点E ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AE =CE =12AC ，BE =DE =12BD ，∵点B 的坐标为(8，2)，点D 的坐标为(0，2)，∴OD =2，BD =8，∴AE =OD =2，DE =4，∴AC =4，∴点C 的坐标为：(4，4)；选D ．【小结】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点A (3，3)，C (-1，-1)，对角线BD 交AC 于点M ，交x 轴于点N ，若BN =2ND ，则点B 的坐标是()A.(-32 ，72 )B.(-2 ，22 )C.(4，-2)D.(-2，4)【分析】先求出BD 的解析式，设点B (a ，-a +2)，则点D (2-a ，a )，由等腰直角三角形的性质和BN =2ND ，可得2 (-a +2)=2×2 ×(-a )，即可求解．【解析】∵点A (3，3)，C (-1，-1)，∴直线AC 为y =x ，M (1，1)，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴设直线BD 为y =-x +b ，∵点M 在直线BD 上，∴1=-1+b ，∴b =2，∴直线BD 为y =-x +2，设点B (a ，-a +2)，则点D (2-a ，a )，∵BN =2ND ，∴2 (-a +2)=2×2 ×(-a )，∴a =-2，∴点B (-2，4)，选D ．11.如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为()A.(-2，-23 )或(23 ，-2)B.(2，23 )C.(-2，23 )D.(-2，-23 )或(2，23 )【解析】∵菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为(2，23 )，∴AO =22+(23 )2 =4，OB =4，∴菱形的边长为4，△AOB 是等边三角形，分两种情况讨论：如图所示，当点A 在x 轴正半轴上时，过C 作CD ⊥AO 于D ，则OD =12 CO =2，CD =23 ，∴点C 的坐标为(-2，-23 )；如图所示，当点A 在x 轴负半轴上时，过C 作CD ⊥AO 于D ，则OD =12 CO =2，CD =23 ，∴点C 的坐标为(2，23 )；综上所述，点C 的对应点的坐标为(-2，-23 )或(2，23 )，选D ．12.如图，在菱形OABC 中，点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，则点C 的坐标是．【解析】作AD ⊥x 轴于D ，BF ⊥x 轴于F ，AE ⊥BF 于E ，BG ⊥y 轴于H ，CG ⊥BH 于G ，CM ⊥Y 轴于M ，如图所示：四边形BHOF 是矩形，四边形ADFE 是矩形，四边形GHMC 是矩形，∠ADO =∠AEB =∠C GB =∠CMO =90°，∵点A 的坐标是(2，1)，点B 的横坐标是3，∴OD =2，EF =AD =1，BH=3，∴AE =1，∴AE =AD ，∵四边形OABC 是菱形，∴OA =AB =BC =OC ，在Rt △ABE 和Rt △AOD 中，AB =OA AE =AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOD (HL )，∴BE =OD =2，∴BF =3=BH ，同理可证：△CBG ≌△AOD ，∴CG =AD =1，BG =OD =2，∴HM =1，OM =3-1=2，∴C (1，2)；四、菱形的性质(最值问题)13.如图，菱形ABCD 的的边长为6，∠ABC =60°，对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧)，若EF =2，则AE +CF 的最小值为()A.210B.42C.6D.8【解析】如图，连接AC ，作AM ⊥AC ，使得AM =EF =2，连接CM 交BD于F ，∵AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，∴BD ⊥AC ，∵AM ⊥AC ，∴AM ∥BD ，∴AM ∥EF ，∵AM =EF ，AM ∥EF ，∴四边形AEFM 是平行四边形，∴AE =FM ，∴AE +CF =FM +FC =CM ，根据两点之间线段最短可知，此时AE +FC 最短，∵四边形ABCD 是菱形，AB =6，∠ABC =60°，∴BC =AB ，∴△ABC 是等边三角形，∴AC =AB =6，在Rt △CAM 中，CM =AM 2+AC 2 =22+62 =210 ，∴AE +CF 的最小值为210 ．选A ．14.如图，菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC =60°，点E 、F 在对角线BD 上运动，且EF =2，连接AE 、AF ，则△AEF 周长的最小值是()A.4B.4+3C.2+23D.6【解析】作AH ∥BD ，使得AH =EF =2，连接CH 交BD 于F ，则AE +AF的值最小，即△AEF 的周长最小．∵AH =EF ，AH ∥EF ，∴四边形EFHA 是平行四边形，∴EA =FH ，∵FA =FC ，∴AE +AF =FH +CF =CH ，∵菱形ABCD 的边长为23 ，∠ABC =60°，∴AC =AB =23 ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AH ∥DB ，∴AC ⊥AH ，∴∠CAH =90°，在Rt △CAH 中，CH =AC 2+AH 2 =(23 )2+22 =4，∴AE +AF 的最小值4，∴△AEF 的周长的最小值=4+2=6，选D ．15.如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，E 、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE =DF ，则AE +AF 的最小值为．【解析】如图，BC 的下方作∠CBT =30°，在BT 上截取BT ，使得BT =AD ，连接ET ，AT ．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴∠ADC =∠ABC =60°，∠ADF =12∠ADC =30°，∵AD =BT ，∠ADF =∠TB E =30°，DF =BE ，∴△ADF ≌△TB E (SAS )，∴AF =ET ，∵∠ABT =∠ABC +∠CBT =60°+30°=90°，AB =AD =BT =2，∴AT =AB 2+BT 2 =22+22 =22 ，∴AE +AF =AE +ET ，∵AE +ET ≥AT ，∴AE +AF ≥22 ，∴AE +AF 的最小值为22，【小结】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．16.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠B =60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF +ED 的最小值是．【分析】作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，点H 关于AG 的对称点为F ，此时EF +ED 最小=DH ，先证明△ADC 是等边三角形，在RT △DCH 中利用勾股定理即可解决问题．【解析】如图作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD =CD =BC =6，∵∠B =60°，∴∠ADC =∠B =60°，∴△ADC 是等边三角形，∵AG 是中线，∴∠GAD =∠GAC∴点F 关于AG 的对称点H 在AC 上，此时EF +ED 最小=DH ．在RT △DHC 中，∵∠DHC =90°，DC =6，∠CDH =12 ∠ADC =30°，∴CH =12 DC =3，DH =CD 2-CH 2 =62-32 =33 ，∴EF +DE 的最小值=DH =33 ，故答案为33 ．五、菱形的判定与性质(计算与证明)17.如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是AD 上一点，连接EO 并延长，交BC 于点F ．连接AF ，CE ，EF 平分∠AEC ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形；(2)若∠DAC =60°，AC =2，求四边形AFCE的面积．【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AO =CO ，∴∠AEF =∠CFE ，在△AOE 和△COF 中，∠AEF =∠CFE ∠AOE =∠COF AO =CO，∴△AOE ≌△COF (AAS )，∴OF =OE ，∵AO =CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形；∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CE =CF ，∴四边形AFCE 是菱形；(2)由(1)得：四边形AFCE 是菱形，∴AC ⊥EF ，AO =CO =12 AC =1，∴∠AOE =90°，∵∠DAC =60°，∴∠AEO =30°，∴OE =3 AO =3 ，∴EF =2OE =23 ，∴四边形AFCE 的面积=12 AC ×EF =12×2×23 =23 ．18.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点M 、N ．(1)求证：四边形BNDM 是菱形；(2)若BD =24，MN =10，求菱形BNDM的周长．(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DMO =∠BNO ，∵MN 是对角线BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在△MOD 和△NOB 中，∠DMO =∠BNO ∠MOD =∠NOB OD =OB，∴△MOD ≌△NOB (AAS )，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴四边形BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴四边形BNDM 是菱形；(2)∵四边形BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12 BD =12，OM =12 MN =5，在Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2 =52+122 =13，∴菱形BNDM 的周长=4BM =4×13=52．19.如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于E ，F ，G ，连接DE ，DF ．(1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若∠BDE =15°，∠C =45°，DE =2，求CF的长．【解析】(1)∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∵EF 垂直平分BD ，∴BE =DE ，BF =DF ，∵∠EBD =∠EDB ，∠FBD =∠FDB ，∴∠EBD =∠BDF ，∠EDB =∠DBF ，∴BE ∥DF ，DE ∥BF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，且BE =DE ，∴四边形BEDF 是菱形；(2)过点D 作DH ⊥BC 于点H ，∵四边形BEDF 是菱形，∴BF =DF =DE =2，∴∠FBD =∠FDB =∠BDE =15°，∴∠DFH =30°，且DH ⊥BC ，∴DH =12 DF =1，FH =3 DH 3 ，∵∠C =45°，DH ⊥BC ，∴∠C =∠CDH =45°，∴DH =CH =1，∴FC =FH +CH =3 +1．20.如图，在▱ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∠AND =90°，连接CM 交DN 于点O ．(1)求证：△ABN ≌△CDM ；(2)求证：四边形CDMN 为菱形；(3)过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE =1，∠1=∠2，求NC 的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠B =∠CDM ，∵M 、N 分别是AD ，BC 的中点，∴BN =DM ，∵在△ABN 和△CDM 中，AB =CD ∠B =∠CDM BN =DM，∴△ABN ≌△CDM (SAS )；(2)证明：∵M 是AD 的中点，∠AND =90°，∴NM =AM =MD ，∵BN =NC =AM =DM ，∴NC =MN =DM ，∵NC ∥DM ，NC =DM ，∴四边形CDMN 是平行四边形，又∵MN =DM ，∴四边形CDMN 是菱形．(3)∵M 是AD 的中点，∠AND =90°，∴MN =MD =12AD ，∴∠1=∠MND ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠CND ，∵∠1=∠2，∴∠MND =∠CND =∠2，∴PN =PC ，∵CE ⊥MN ，∴∠CEN =90°，∠END +∠CNP +∠2=180°-∠CEN =90°，又∵∠END =∠CNP =∠2，∴∠2=∠PNE =30°，∵PE =1，∴PN =2PE =2，∴CE =PC +PE =3，∴NC =23．六、矩形的性质掌握矩形的性质是解决此类问题的关键，矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.21.如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，连结BM 、DN ．若AB =4，AD =8，则MD 的长为()A.3B.4C.5D.6【分析】根据线段垂直平分线的的性质，求出DM =BM ，在Rt △A MB 中，根据勾股定理得出BM 2=AM 2+AB 2，即可列方程求解．【解析】∵对角线BD 的垂直平分线MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，∴MB =MD ，设MD 长为x ，则MB =DM =x ，在Rt △A MB 中，BM 2=AM 2+AB 2,即x 2=(8-x )2+42，解得：x =5，∴MD 长为5．选C ．【小结】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．22.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ．若BE =EO ，则AD 的长是()A.62B.23C.32D.25【分析】由矩形的性质可得OB =OD =OA =OC ，AC =BD ，由线段垂直平分线的性质可得OA =AB =OB ，可证△OAB 是等边三角形，可得∠ABD =60°，由直角三角形的性质可求解．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，OA =OC ，AC =BD ，∴OA =OB ，∵BE =EO ，AE ⊥BD ，∴AB =AO ，∴OA =AB =OB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠ABD =60°，∴∠ADE =90°-∠ABD =30°，∴AD =3 AB =23 ，选B ．【小结】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=()A.18°B.36°C.27°D.54°【分析】根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．【解析】设∠ADF=3x，∠FDC=2x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴2x+3x=90°，∴x=18°，即∠FDC=2x=36°，∵DF⊥AC，∴∠DMC=90°，∴∠DCO=90°-36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，∴OD=OC，∴∠BDC=∠DCO=54°，∴∠BDF=∠BDC-∠FDC=54°-36°=18°，选A．【小结】本题考查了矩形性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质等知识；求出∠BDC和∠CDF的度数是解题的关键．24.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB=52°，AM平分∠BAC，交BC于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为()A.43°B.34°C.33°D.19°【分析】由矩形的性质得∠ABC=90°，AE=BE，求出∠ABD=∠BAC=38°，由角平分线定义得出∠BAM=∠CAM=12 ∠BAC=19°，则∠ABF=90°-∠BAM=71°，由∠DBF=∠ABF-∠ABD即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AE=BE，∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-52°=38°，∴∠ABD=∠BAC=38°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠CAM=12 ∠BAC=12 ×38°=19°，∵BF⊥AM，∴∠ABF=90°-∠BAM=90°-19°=71°，∴∠DBF=∠ABF-∠ABD=71°-38°=33°，选C．【小结】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的性质和角平分线定义是解题的关键．。
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2．如图7，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于【 】
A． 10B． C． 6D． 5
3．如图8，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？探究可能出现的情况，求最大值．
6.如图11，在△AFC中，AF=AC，B是CF的中点，AH平分∠CAE，
作CD⊥AH于D．
（1）证明：四边形ABCD是矩形．
（2）请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形，并证明你的结论．
四、拓展提高
1．如图12，正方形 ABCD 中，M 为线段BC上一点，N 为线段CD上一点，
且∠MAN=45°，求证BM+DN=MN．
教学重点、难点
重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系
难点：几何综合分析方法
教学过程：
一、知识回顾：
1．（1）如图1矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明为什么？说明理由．
（3）如图3如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由
2.归纳：请同学们用图表形式表示出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系。（小组合作，一组一个图即可）
二、例题精讲：
例1、如图4，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
4．如图9，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE=．
5．如图10，四边形ABCD的各边的中点，所构成的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。
（1）当四边形ABCD是矩形时，则四边形EFGH为____________；
（2）当四边形ABCD是菱形时，则四边形EFGH为____________；
五、课后思考：
1．如图13，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）△MNK的面积能否等于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
八年级第十八章《特殊的平行四边形》复习
教学目标：
1、知识掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，三角形中位线的性质和应用、直角三角形斜边上的中线的性质；
2、系统掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系；
3、通过训练，提升学生几何分析能力。
学情分析：
我校属于农村中学，学生基础薄弱，没能养成良好学习习惯，但是部分学生喜欢数学，在平时的日常教学中很难得到训练和提高，为此，学校开展社团活动-数学思维训练班，本节课针对训练班的同学，这部分同学在学校里数学处于中上水平，每周都在思维训练班中训练，所以本节课主要是提升同学们几何综合分析能力为主。
(2)若AB=4，AD=8，求MD的长．
例2、如图5，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点 ；正方形 的顶点 与点 重合， 交BC于点E， 交CD于点F.
（1）求证：OE＝OF．
（2）若正方形ABCD 的面积是4,求四边形OECF的面积.
三、巩固提高
1．如图6，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是【 】