两角和与差的三角函数公式的证明
两角和与差的正弦公式
两角和与差的正弦公式在三角函数中，两角和与差的正弦公式是一组用于计算两个角度的和或差的正弦值的公式。
这两个公式是基于三角函数的相加和相减规则衍生出来的。
在本文中，我们将详细介绍两角和与差的正弦公式，并提供一些实际情景下使用这些公式的示例。
首先，我们来看两角和的正弦公式。
假设有两个角A和B，则它们的正弦和公式可以表示为：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个公式可以通过以下的推导来证明。
根据三角函数的和差公式，我们有：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB同样地，我们可以推导出两角差的正弦公式。
假设有两个角A和B，则它们的正弦差公式可以表示为：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB这个公式可以通过以下的推导来证明。
根据三角函数的和差公式，我们有：sin(A - B) = sinAcos(-B) + cosAsin(-B)由于cos(-B) = cosB和sin(-B) = -sinB，我们可以将上式简化为：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB现在，让我们通过一些实际情景的示例来演示这些公式的用途。
示例1：角度相加假设你正在走进一个圆形迷宫，迷宫的第一步是向前走30度，然后向右转45度。
你想知道这两个角度相加后，你面对的方向。
可以使用两角和的正弦公式来计算这个方向的正弦值，如下所示：sin(30 + 45) = sin30cos45 + cos30sin45根据正弦函数的数值，我们可以计算出：sin(30 + 45) = 0.5 * 0.707 + 0.866 * 0.707因此，我们可以得出：sin(30 + 45) = 0.354 + 0.612 = 0.966这意味着，你面对的方向的正弦值为0.966示例2：角度相减假设你正在拍摄一个汽车广告，希望通过两个镜头的角度来展示汽车的速度感。
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果，也进一步体验了数学的博大精深.。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
＝ × ＋ × ＝ ＝ .∵0<β< ，所以β＝ .
变式3．(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；
(2)已知α，β均为锐角，sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β.
解析：(1)tan ＝ ＝ ＝－1.
∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，由上式知α＋β＝ .
课堂练习：
练习1：cos(450+300)=
练习2：cos200cos700-sin200sin700=
练习3： 练习4：
1．下列式子中，正确的个数为()
①sin ＝sinα－sinβ；②cos ＝cosα－cosβ；
③sin ＝sinαcosβ－cosαsinβ；④cos ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin ＝sin 30°＝ .
(2)原式＝sinxcos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝3sinxcos －cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝ sinx－ cosx
＝－ × ＋ × ＝－ ，故得－sin ＝－ ，即sin ＝ .
变式2．化简求值：
(1)sin 75°；(2)sin 15°；
(3)若α，β均为锐角，sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，求cosβ.
解析：(1)原式＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
课题
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到 ，由公式C(α+β).，可以推出：
两角和与差的三角函数公式的证明
两角与与差的三角函数公式的证明数学三角函数两角和与差单位圆托勒密定理利用单位圆方法证明sin（α+β）= …与cos（α+β）= …，是进一步证明大部分三角函数公式的基础。
1、sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：如图中所示，容易看出：sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB；sinβ=CD；cosβ=OD 则：平面几何的证明方法：如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示（非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不可言！）附：如何证明托勒密定理？见托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的与等于两条对角线的乘积。
原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之与。
从这个定理可以推出正弦、余弦的与差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．（具体的推导方法详见数学目录下的博文，来自网友的提供！）思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两条线段DE与BE。
第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。
证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；在ΔABE与ΔACD中，∵∠BAE=∠DAC；∠ABE=∠ACD；∴△ABE∽△ACD；∴AB·DC=BE·AC①∵∠BAE=∠DAC；∴∠DAE=∠CAB；在ΔADE与ΔACB中，∵∠ADE=∠ACB；∠DAE=∠CAB；∴△ADE∽△ACB；∴AD·BC=DE·AC②∴①+②得：AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。
两角和与差的正切公式推导
两角和与差的正切公式推导
正切公式是理解数学中一对三角形的最重要的公式之一，它可以简化解决三角形问题的难度。
在数学中，三角函数的正切函数被广泛用于求解三角形的大小关系，其代表的是一个三角形的一边与另一边所表示的角度的比值，可用数学符号表示为：
tanα = 斜边/对边。
正切函数可以用来解决垂直角、对边角、负对边角、反向角度、两角和、两角差等问题。
解决两角和和两角差的正切公式推导可以根据不同情况分别进行，以下是两角和的推导：
假设现在有一个三角形α，其中α和β分别表示它的两个内角，表示如下：
α + β = γ
其中，α和γ的正切为tanα和tanγ；β和γ的正切为tanβ和tanγ。
将α + β = γ代入上面的公式，即有：
tanα + tanβ = tanγ
这就是求解两角和的正切公式。
再来看看两角差的推导：
假设有三角形α，它的内角α和β分别表示如下：
α - β = γ
正切函数表示为：tanα、tanβ和tanγ。
将α - β = γ代入上面的公式即可得到：
tanα - tanβ = tanγ
这就是求解两角差的正切公式。
以上就是正切公式两角和与差的推导，可以简单的总结一下：
两角和的正切公式：tanα + tanβ = tanγ
二角差的正切公式：tanα - tanβ = tanγ
正切公式可以求出三角形的各个角度之间的大小关系，在学习推导这些公式后，我们可以根据它们来解决三角形的问题，更加方便快捷。
两角和与差的三角函数推导
两角和与差的三角函数推导两角和与差的三角函数是高中数学中的重要内容，它涉及到三角函数的加法定理和减法定理。
通过推导这些定理，我们可以更深入地理解三角函数之间的关系，从而更好地解决相关的数学问题。
本文将详细推导两角和与差的三角函数，帮助读者更好地掌握这一知识点。
首先，我们来推导两角和的三角函数。
设有两个角A和B，它们的三角函数分别为sinA、cosA、tanA和sinB、cosB、tanB。
现在我们要求角A＋B的三角函数值。
根据三角函数的定义，我们有：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这就是两角和的三角函数的推导公式。
通过这些公式，我们可以计算出任意两个角的和的三角函数值，从而解决相关的数学问题。
接下来，我们来推导两角差的三角函数。
同样地，设有两个角A和B，它们的三角函数分别为sinA、cosA、tanA和sinB、cosB、tanB。
现在我们要求角A－B的三角函数值。
根据三角函数的定义，我们有：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这就是两角差的三角函数的推导公式。
通过这些公式，我们可以计算出任意两个角的差的三角函数值，从而解决相关的数学问题。
通过以上推导过程，我们可以看到两角和与差的三角函数与加法和减法定理有着密切的联系。
这些定理不仅在数学理论中具有重要意义，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
比如在物理学、工程学以及其他领域中，都会涉及到利用两角和与差的三角函数来解决实际问题。
总之，通过推导两角和与差的三角函数，我们可以更深入地理解三角函数之间的关系，从而更好地应用它们解决相关的数学问题。
两角差的余弦公式推导五种方法
两角差的余弦公式推导五种方法弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.。
两角和差的正弦余弦正切公式
两角和差的正弦余弦正切公式两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。
它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。
这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。
1.两角和差的正弦公式sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。
为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。
2.两角和差的余弦公式cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。
可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。
3.两角和差的正切公式tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))其中A和B为任意两个角。
这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。
使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。
这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。
例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。
以下是一些常见的应用示例：1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。
例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。
根据两角和差的正弦公式，我们可以有：sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)如果我们已经知道了cos(A)和sin(B)的值，就可以计算出sin(A+B)的值。
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形取得的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往取得了广大教师的关注. 关于不同版本的教材采纳的方式往往不同，认真体会各类不同的两角和与差的余弦公式的推导方式，关于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有专门大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方式归纳如下：方式一：应用三角函数线推导差角公式的方式设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，那么∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，那个地址要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，而且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方式简单明了，构思巧妙，容易明白得. 但这种推导方式关于如何能够取得解题思路，存在必然的困难. 此种证明方式的另一个问题是公式是在均为锐角的情形下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推行问题.方式二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方式设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边别离交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，那么P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方式巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一路，利用单位圆上与角有关的四个点，成立起等式关系，通过将等式的化简、变形就能够够取得符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方式中，推导思路的产生是一个难点，另外关于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情形，还需要加以说明、说明.方式三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方式设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构思都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，因此构造出和角和差角是必需实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数成立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式成立起等式关系容易显现，因此此种方式是推导两角和与差的余弦的比较容易明白得的一种方式. 但此种方式必需是在学习完余弦定理的前提下才能利用，因此此种方式在必修四中又无法利用. 另外也一样需要考虑三点在一条直线上的情形.方式四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方式设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一路，极点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，那么有S△OAC=S△OAB+S△OBC..依照三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.依照此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方式通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一路，表现了数形结合的特点. 缺点是公式仍是在两个角为锐角的情形下进行的证明，因此一样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，那么＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式不管是构造两个角的差，仍是取得每一个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的概念和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分表现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的进程能够看出，不同的推导方式表现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。
015两角和与差的三角函数及二倍角公式
页眉内容两角和与差的三角函数及二倍角公式、三角恒等式证明1．两角和的余弦公式的推导方法：2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβcos(α±β)＝ ;tan(α±β)＝ .3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++ 4．常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα- α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π 5.二倍角公式sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ .6．公式的变用：1＋cos2α＝ ；1－cos2α＝ ．7．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．8．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．9．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．基础过关10．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．11．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．12．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题．13．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．14．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明．⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22的值.变式训练1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ） A.71 B.7 C.－ 71 D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21B.21 C.－23 D.23 例2. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．典型例题变式训练2：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π， 求cos （α+β）.例3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.例4．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2α·cos2β.变式训练4：化简：（1）2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π+6cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π; (2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπα4sin 4tan 21cos 222.1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式,往往得到了广大教师的关注。
对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法,对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β,则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1,垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，。
说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解。
但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难。
此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题。
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，则有|P1P2 ｜= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和,它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2（cosα，sinα）、P3(cos(α+β）,sin(α+β）)、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点,另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明。
三角函数两角和与差公式
三角函数两角和与差公式三角函数两角和与差公式_高中数学学好数学的关键是公式的掌握，数学能让我们思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。
还能使我们的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。
下面是小编为大家整理的三角函数两角和与差公式，希望能帮助到大家!三角函数两角和与差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)高三数学学习方法1、变介绍方法为选择方法高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复习的关键。
“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。
选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。
2、变全面覆盖为重点讲练第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。
要做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。
3、变以量为主为以质取胜高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。
只有重质减量，才能有利于学生更好的掌握知识，减少练习量，不是指不做或是少做，而是要在精选上下功夫，要做到非重点的就少做甚至是不做。
4、变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举虽然影响学生的数学成绩的因素很多，但是学习兴趣和爱好与成绩绝对是相辅相成的。
所以一味的强调“补弱”是不科学的，要因人而异，因成绩而异。
一般，成绩居中上游的学生，应以“扬长”为主，居下游的学生，应以补弱为主。
处理好扬长、补弱的关系，才是正确的做法。
高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
两角和差正余弦公式的证明
（方法1）如图所示，在直角坐标系妨中作单位圆O ,并作角起，"和一“，使 角优的始边为。
T ，交［0于点A ，终边交L "于点B ;角0始边为（旳，终边交两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。
法进行探讨。
F 面我们就它们的推导证明方 由角d , 0的三角函数值表示 的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公 式的功能。
换言之，要推导两角和差的正余弦公式 ，就是希望能得到一个等式或方程 将CLIS （（T t 小或GMa F ”）与（I , P 的三角函数联系起来。
根据诱导公式，由角0的三角函数可以得到 0的三角函数。
因此，由和角公式容 易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。
又因为 即原角的余弦等于其余角的正弦 据此，可以实现正弦公式和余弦 公式的相互推导。
因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。
（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 SlH 和 α±0 ，而且角的终边与单位圆的交点坐标可 以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系 “呦I 列与CE ，E 的三角 函数值的等式。
1.和角余弦公式角 "始边为（ZL ,终边交[0于点。
从而点A, B, C和D的坐标分别为XiL(IO, B(C(K亿dace) ,C(攻α+E f⅛a(cc+∕5) ,Q伽霸-dn∕J) O由两点间距离公式得Q =(CDS(α+∕J)-l)3+≡Λ2(tt+∕5 = 2-2cαs(α+/!)；BD I =(C os∕l-OTsα)2+(-⅛ι∕J-anα)2= 2-2(CDSaelK/J-si∩csh∕J) O 注意到& 跖，因此c□sσtos^ SinaEin0 o注记：这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。
三角函数两角和与差,以及万能公式的推导
向量法：取直角坐标系，作单位圆取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A取一点B，连接OB，与X轴的夹角为BOA与OB的夹角即为A-BA（cosA,sinA),B(cosB,sinB)OA=(cosA,sinA)OB=(cosB,sinB)OA*OB=|OA||OB|cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB|OA|=|OB|=1cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4.则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2,∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立在公式Cα+β中，用-β替代β.cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.普高教材<<数学4>>(必修)125___126页有两角差的余弦公式推导.照抄给你.如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A, B,则向量OA=(cosα,sinα),向量OB=(cosβ,sinβ),由向量数量积的坐标表示,有向量OA*向量OB=(cosα,sinα)*(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ(1)如果α-β∈[0,π],那公向量OA与向量OB的夹角就是α-β,由向量数量积的定义,有向量OA*向量OB=｜向量OA｜*｜向量OB｜cos(α-β)=cos(α-β)于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(2)当α-β不∈[0,π],设向量OA与向量OB的夹角为θ,则向量OA*向量OB=｜向量OA｜*｜向量OB｜cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ另一方面.由图可知α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以cos(α-β)=cosθ也有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ所以,对于任意角α,β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ由两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,得两角和的余弦cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,得两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,两角差的正弦公式推导,则可由余弦公式及诱导公式很快得出; sin(α-β)=cos{π/2-(α-β)]=cos{(π/2-α)+β)]=cos(π/2-α)cosβ-sin(π/2-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ两角和的正弦公式推导sin(α+β)=sin[α-(-β)]=sinαcos(-β)-cosαsi n(-β)sinαcosβ+cosαsinβ作单位圆，做向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),俩向量夹角cos(a-b)=(cosacosb+sibasinb)/|a|*|b|=cosacosb+sibasinb.由梯形面积，得1/2 *1*1*sin(a+b)+1/2 *sina*cosa+1/2 sinbcosb=1/2 *(sina+sinb)*(cosa+cosb),sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,将b换成-b,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb万能公式的推导：。
两角和与差的三角函数公式的证明
两角和与差的三角函数公式的证明.doc两角和与差的三角函数公式证明（1）正弦余弦定理将△ABC投影到x轴，得出△ABC的正弦余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA（2）正弦余弦反比定理正弦余弦反比定理：sinA/a=sinB/b=sinC/c（3）根据正弦余弦定理、正弦余弦反比定理，可以得出：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA即：a^2=(b*sinA)*(b*sinA)+(c*sinA)*(c*sinA)-2bc*cosA由正弦余弦反比定理可知：b*sinA=c*sinB即：a^2=(c*sinA)*(c*sinB)+(c*sinA)*(c*sinB)-2bc*cosA化简得：a^2=2c^2*sinA*sinB-2bc*cosA（4）根据正弦余弦定理、正弦余弦反比定理，可以得出：b^2=a^2+c^2-2ac*cosB即：b^2=(a*sinB)*(a*sinB)+(c*sinB)*(c*sinB)-2ac*cosB由正弦余弦反比定理可知：a*sinB=c*sinC即：b^2=(c*sinB)*(c*sinC)+(c*sinB)*(c*sinC)-2ac*cosB化简得：b^2=2c^2*sinB*sinC-2ac*cosB（5）两角和与差的三角函数公式将（3）式和（4）式相加得：a^2+b^2=2c^2*[sinA*sinB+sinB*sinC]-2(bc*cosA+ac*cosB)根据正弦余弦反比定理，有：a*sinA=b*sinB=c*sinC即：a^2+b^2=2c^2*[sinA*sinB+sinB*sinC]-2c^2*[cosA+cosB]化简得：a^2+b^2=2c^2*[sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB)]即：sin(A+B+C)=sinA+sinB+sinC-cosA-cosB又因为：sin(A-B-C)=sinA-sinB-sinC+cosA-cosB所以，两角和与差的三角函数公式为：sin(A+B+C)=sin(A-B-C)=sinA+sinB+sinC-cosA-cosB。
两角和差的正弦公式推导过程
两角和差的正弦公式推导过程要推导两角和差的正弦公式，我们可以先从三角函数的加法公式出发。
首先，我们先来回顾一下三角函数的加法公式：对于任意两个角α和β，我们有以下公式成立：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ (1)cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ (2)tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) (3)在这个推导过程里，我们主要关注sin函数的加法公式。
我们的目标是推导出两角和的正弦公式，即sin(α + β)。
我们从三角函数的加法公式出发，将公式(1)稍作改变。
我们知道sin(π/2 - α) = cosα （余角公式）。
那么我们可以将公式(1)改写为：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ= cos(π/2 - α)cosβ + sin(π/2 - α)sinβ (4)下一步，我们利用余角公式将公式(4)继续改写。
根据余角公式，我们有：cos(π/2 - α) = sinαsin(π/2 - α) = cosα将这两个等式代入公式(4)中，我们得到：sin(α + β) = cos(π/2 - α)cosβ + sin(π/2 - α)sinβ= sinαcosβ + cosαsinβ这就是两角和的正弦公式，我们可以使用这个公式来计算两个角的正弦和。
至此，我们完成了两角和的正弦公式的推导过程。
总结一下：1. 从三角函数的加法公式出发，我们以sin函数为例，进行推导。
2. 利用余角公式将sin函数改写为cos函数。
3. 将变形后的sin函数代入加法公式，得到两角和的正弦公式。
两角和的正弦公式在三角函数的应用中非常重要，可以用来计算复杂的三角函数表达式，以及求解三角方程等。