(完整版)导数与单调性习题

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导数与函数的单调性练习题

导数与函数的单调性练习题2.2.1 导数与函数的单调性基础巩固题：1.已知函数 $f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$ 在区间 $(-2,+\infty)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围。

解析：由题意可得 $f(x)$ 在 $(-2,+\infty)$ 上单调递增，因此$a>-\frac{1}{2}$。

又因为$f(x)$ 的定义域为$(-2,+\infty)$，所以 $a$ 的取值范围为 $a\geq -\frac{1}{2}$ 或 $a\leq -2$，即$a\geq -\frac{1}{2}$ 或 $a\leq -2$。

2.已知函数 $f(x)=x^2+2x+a\ln x$ 在区间 $(0,1)$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围。

解析：由题意可得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调，因此$f'(x)=2x+2+\frac{a}{x}$ 在 $(0,1)$ 上恒大于等于零或恒小于等于零。

化简可得 $a\geq -(2x^2+2x)$ 或 $a\leq -(2x^2+2x)$ 在$(0,1)$ 上恒成立。

记 $g(x)=-(2x^2+2x)$，则 $g(x)$ 在$(0,1)$ 上单调递增，且 $-4<g(x)<0$。

因此，$a\geq -4$ 或$a\leq -4$，即 $a\geq -4$ 或 $a\leq -4$。

3.已知函数$f(x)=\frac{x}{2x-9}$，求$f(x)$ 的单调区间。

解析：求导得 $f'(x)=\frac{9}{(2x-9)^2}$，$f'(x)>0$ 当且仅当 $x\frac{9}{2}$。

因此，$f(x)$ 在 $(-\infty,\frac{9}{2})$ 上单调递减，在 $(\frac{9}{2},+\infty)$ 上单调递增。

所以$f(x)$ 的单调区间为 $(-\infty,\frac{9}{2})$ 和$(\frac{9}{2},+\infty)$。

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1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。

函数单调性与导数练习题含有答案(1)

函数单调性与导数练习题高二一部数学组刘苏文 2017年4月15日一、选择题1.下列说法正确的是A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2xA.①②B.②③C.③④D.①③3.函数y =2)13(1-x 的导数是A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x4.函数y =sin 3(3x +4π)的导数为 (3x +4π)cos(3x +4π) (3x +4π)cos(3x +4π)(3x +4π) D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)5．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c >0 C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac <06．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)7.已知函数y ＝f (x )(x ∈R)上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)8.已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )9.已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<010 .f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a<b，则必有( )A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b)11.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)12.曲线y＝13x3＋x在点⎝⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )二、填空题13．函数f (x )＝x ＋9x的单调减区间为________．14．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为_______．15．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为_______．16．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．三、解答题17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a 、b 的值 (2)讨论函数f (x )的单调性．18.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.19.若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．20.已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=(1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； (2)求函数)(x f 的极值函数单调性与导数练习题答案1--5 DBCBD 6--10 DBCBC 11--12 CA13：（-3,0），（0,3） 14： 4x －y －3=0 15: 6π16: 1a ≥17：[解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．18.解：f ′(x )=3x 2+2ax +b .据题意，－1，3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根，由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231b a ∴a =－3,b =－9，∴f (x )=x 3－3x 2－9x +c ∵f (－1)=7,∴c =2，极小值f (3)=33－3×32－9×3+2=－25 ∴极小值为－25，a =－3,b =－9,c =2.19解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤． 20解：（1）X+Y －2=0。

高中数学 2-2导数与函数的单调性练习(一) 试题

某某省毫州市蒙城县坛城镇芮集高中数学 2-2导数与函数的单调性练习（一）1．若函数y ＝f(x)在R 上可导，且满足不等式xf ′(x)>－f(x)恒成立，且常数a ，b 满足a>b ，则下列不等式一定成立的是________．①af(b)>bf(a); ②af(a)>bf(b)； ③af(a)<bf(b); ④af(b)<bf(a)2．函数f(x)的定义域为(0，π2)，f ′(x)是它的导函数，且f(x)<f ′(x)tan x 恒成立，则下列结论正确的是________． ①3f(π4)>2f(π3); ②f(1)<2f(π6)sin 1； ③2f(π6)>f(π4); ④3f(π6)<f(π3)．3．函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f(3)，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<c<a4．若函数f(x)＝x2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值X 围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1，＋∞)C ．[0,3] D ．[3，＋∞)5．已知函数f(x)＝x2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值X 围是________．6．若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________． 7．已知函数f(x)＝ln x ＋k ex(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f(x)的单调区间．8．函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a ≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a 的取值X 围．9．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值X围；若不是，请说明理由．10．已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．11．已知函数f(x)＝ln x＋mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若A，B是函数f(x)图像上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，某某数m的取值X 围．1．答案 ②解析令F(x)＝xf(x)，则F ′(x)＝xf ′(x)＋f(x)，由xf ′(x)>－f(x)，得xf ′(x)＋f(x)>0 即F ′(x)>0，所以F(x)在R 上为递增函数．因为a>b ，所以af(a)>bf(b)．2．答案 ④解析 f(x)<f ′(x)tan x ⇔f(x)cos x<f ′(x)sin x ，构造函数g(x)＝f(x)sin x，则g ′(x)＝f ′(x)sin x －f(x)cos x sin2x，根据已知f(x)cos x<f ′(x)sin x ，5．答案 [－22，＋∞)解析依题意知，x>0，f ′(x)＝2x2＋mx ＋1x，令g(x)＝2x2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m 4≤0时，g(0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m 4>0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－22≤m<0，综上，m 的取值X 围是m ≥－2 2. 6．解析：∵f(x)＝13x3－32x2＋ax ＋4， ∴f′(x)＝x2－3x ＋a ，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4.7．解：(1)由题意得f′(x)＝1x －ln x －k ex 又f′(1)＝1－k e ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x －ln x －1ex.设h(x)＝1x －ln x －1(x>0)，则h′(x)＝－1x2－1x<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．8.解 (1)f ′(x)＝3ax2＋6x ＋3，f ′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．①若a ≥1，则f ′(x)≥0，且f ′(x)＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f(x)在R 上是增函数． ②由于a ≠0，故当a<1时，f ′(x)＝0有两个根x1＝－1＋1－a a ，x2＝－1－1－a a. 若0<a<1，则当x ∈(－∞，x2)或x ∈(x1，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；当x ∈(x2，x1)时，f ′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数；若a<0，则当x ∈(－∞，x1)或x ∈(x2，＋∞)时，f ′(x)<0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；当x ∈(x1，x2)时，f ′(x)>0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．(2)当a>0，x>0时，f ′(x)＝3ax2＋6x ＋3>0，故当a>0时，f(x)在区间(1,2)是增函数．当a<0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a<0. 综上，a 的取值X 围是[－54，0)∪(0，＋∞)．9．解：(1)当a ＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex ，∴f′(x)＝(－2x ＋2)ex ＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－2<x<2， ∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R 上单调递减，则f′(x)≤0对任意x ∈R 都成立．即[－x2＋(a －2)x ＋a]ex≤0对任意x ∈R 都成立．∵ex>0，∴x2－(a －2)x －a≥0对任意x ∈R 都成立．∴Δ＝(a －2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R 上单调递减．若函数f(x)在R 上单调递增，则f′(x)≥0对任意x ∈R 都成立，即[－x2＋(a －2)x ＋a]ex≥0对任意x ∈R 都成立．∵ex>0，∴x2－(a －2)x －a≤0对任意x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a2＋4>0，故函数f(x)不可能在R 上单调递增．综上可知函数f(x)不是R 上的单调函数．10．解：(1)f′(x)＝axln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(ax －1)ln a.∵a>1，∴当x ∈(0，＋∞)时， ln a>0，ax －1>0，∴f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f(x)＝ex ＋x2－x －4，∴f′(x)＝ex ＋2x －1，∴f′(0)＝0，当x>0时，ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数；同理，f(x)是(－∞，0)上的减函数．又f(0)＝－3<0，f(1)＝e －4<0，f(2)＝e2－2>0，当x>2时，f(x)>0，∴当x>0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，∴k ＝1满足条件；f(0)＝－3<0，f(－1)＝1e －2<0，f(－2)＝1e2＋2>0，当x<－2时，f(x)>0，∴当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，∴k ＝－2满足条件．综上所述，k ＝1或－2.11．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，。

(完整版)导数与函数的单调性练习题

2.2.1导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>21.2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立，所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.3．函数f (x )＝x ＋9x 的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数32x x y -=的单调增区间为，单调减区间为___________________答案：2(0,)3 ； 2(,0),(,)3-∞+∞ 解析： '22320,0,3y x x x x =-+===或 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.8.已知x ∈R,求证：e x ≥x +1．证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1．∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0．当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x 1的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是76=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即{{326,23,12 1.0,3.b c b c b c b c b c -+=-=-∴-+-+=-===-即解得故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令2210.x x --=即解得 .21,2121+=-=x x当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;解（1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2.当x=61时，g(x)max =121,∴b≥121. 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足)(x f '≥0即可.∵)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 的对称轴是x=31+a ,∴a 的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a 解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤38.13．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。

导数单调性练习题

导数单调性练习题导数单调性练习题数学作为一门抽象而又精确的学科，常常被人们认为是一种枯燥乏味的学科。

然而，当我们深入探索数学的奥妙时，会发现其中蕴含着无限的魅力和趣味。

导数单调性就是数学中一个非常重要且有趣的概念。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用导数单调性。

练习题1：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求f(x)的单调区间。

解答：首先，我们需要求出f'(x)。

对于f(x)=x^3-3x^2+2x-1，我们可以使用求导法则来求导。

根据求导法则，我们有：f'(x)=3x^2-6x+2接下来，我们需要找到f'(x)的零点，即求方程3x^2-6x+2=0的解。

通过求解这个方程，我们可以得到两个解：x=1和x=2/3。

然后，我们可以选取这些零点将实数轴分成三个区间：(-∞，2/3)，(2/3，1)，(1，∞)。

接下来，我们需要确定每个区间上f(x)的单调性。

对于区间(-∞，2/3)，我们可以选择一个任意的数值c<2/3，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(-∞，2/3)上是单调递减的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递增的。

对于区间(2/3，1)，我们可以选择一个任意的数值c∈(2/3，1)，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(2/3，1)上是单调递增的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递减的。

对于区间(1，∞)，我们可以选择一个任意的数值c>1，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(1，∞)上是单调递增的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递增的。

综上所述，函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的单调递增区间是(-∞，2/3)和(1，∞)，单调递减区间是(2/3，1)。

导数运算及函数单调性（有答案）

导数及函数单调性班级班级姓名姓名1．下列求导运算正确的是（．下列求导运算正确的是（）''22'2'3111.()1 B.(log )ln 2.(3)3log .(cos )2sin x x A x x x x x C e D x x x x+=+===-2．已知32'()32,(1)4, f x ax x f a =++-=若则的值等于（）19101613. B. C. D.3333A3．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（，则（）A ．f ’(x 0)>0 B ．f ’(x 0)<0 C ．f ’(x 0)=0 D ．f ’(x 0)不存在不存在4．下列函数中，在x =0处的导数不等于零的是处的导数不等于零的是（）A ．)1(x x y -=B ．xe x y -+= C ．y=l n （1－x 2） D．x e x y ×=2 5．若y =32x lg (1－co s2x )，则x y ¢为（）A ．4·9x [2ln 3lg (1－co s2x )+lge ·co t x ] B . 4·9x[2ln 3lg (1－co s2x )+lg 10·co t x ] C . 2·9x[ln 3·lg (1－co s2x )+lge ·co t x ] D . 以上皆非以上皆非6. （05湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4p的点中，坐标为整数的点的个数是数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 7．设()f x ¢是函数()f x 的导函数的导函数,,()y f x ¢=图象如下左图图象如下左图,,则()y f x =图象最有可能是图象最有可能是（））8．若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（的取值范围是（）A ．),31(+¥B ．)31,(-¥C ．),31[+¥D ．]31,(-¥9. 已知抛物线y 2=2px (p >0)与一个定点M (p ,p ),则抛物线上与M 点的距离最小的点为( ) A.(0,0) B.(2p,p ) C.(p p 2,2) D.(p p 332,2) 1010．函数．函数f(x)=x(x －1)(x －2)·…·(x －100)在0x =处的导数值（处的导数值（）A.0 B.2100 C.200 D.100！O 1 2 y xy=f /(x)O1 2 yxO 12 yxO1 2 yx O 12 yxA B C D 1111．若．若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim000--® =_________.12．设函数),,())()(()(是两两不等的常数c b a c x b x a x x f ---=，则)()(b f ba f a ¢+¢ =¢+)(c f c . .13．设P 点是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为a ，则角a 的取值范围是______________。

导数的单调性练习题

导数单调性练习题1．函数f(x)＝ax 3－x 在R 上为减函数.则( )A ．a≤0B ．a ＜1C ．a ＜0D ．a≤1 2．函数x x x f ln )(=.则（）（A ）在),0(∞上递增；（B ）在),0(∞上递减；（C （D3.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞ Ｄ.(0,2)4、设函数f (x )在定义域内可导.y ＝f (x )的图象如右图.则导函数f ′(x )的图象可能是( )5．设函数()y f x =的图像如左图.则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的（）、6、曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.19B.29C.13D.237、函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________8、函数y ＝x sin x ＋cos x .x ∈(－π.π)的单调增区间是________9、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x .若函数f (x )在(0,1)上单调.则实数a 的取值范围是________________本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

10.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是________________ 11、求下列函数的导数（1）y =2)13(1-x （2）y =sin 3(3x +4π)12、求曲线在点(1,1)处的切线方程？13.已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=求当2=a 时.求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程；(3ln 1)y x x =+1．A 【解析】试题分析：当0=a 时,x x f -=)( 在R 上为减函数,成立;当0≠a 时, )(x f 的导函数为13)(2-='ax x f ,根据题意可知, 013)(2≤-='ax x f 在R 上恒成立,所以0a <且0∆≤,可得0a <.综上可知0≤a .考点：导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立. 2．D 【解析】试题分析：因为函数x x x f ln )(=.所以()f x '=lnx+1, ()f x '>0,解得又()f x '<0,解得则函数的单调递减区间为故选D.考点：导数与函数的单调性.3．D 【解析】试题分析：由()y f x =图象知.函数先增.再减.再增.对应的导数值.应该是先大于零.再小于零.最后大于0.故选D. 考点：导数与函数的单调性. 4．D 【解析】由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立.因为1x >.的取值范围是[)1,+∞．【考点】利用导数判断函数的单调性． 5．B 【解析】试题分析：函数的定义域为),0(+∞.所以01≥-k 即1≥k .令0)(='x f ..由于函数在区间（k-1.k+1）内不是单调函数.答案选B.考点：函数的单调性与导数6．D ．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高中数学利用导数研究函数的单调性精选练习题

利用导数研究函数的单调性精选题24道一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k -C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >--7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是．11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为．13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是．14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f--（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是．15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为．17．函数212yxln x=-的单调递减区间为．18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为．19．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解为．三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．利用导数研究函数的单调性精选题24道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题） 1．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()A ．(-∞，1)(0-⋃，1) B ．(1-，0)(1⋃，)+∞C ．(-∞，1)(1--⋃，0)D ．(0，1)(1⋃，)+∞【分析】由已知当0x >时总有()()0x f x f x '-<成立，可判断函数()()f xg x x=为减函数，由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，可证明()g x 为(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，根据函数()g x 在(0,)+∞上的单调性和奇偶性，模拟()g x 的图象，而不等式()0f x >等价于()0x g x ⋅>，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设()()f x g x x =，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 2．若函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是() A ．[1-，1] B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【分析】求出()f x 的导数，由题意可得()0f x '…恒成立，设c o s (11)t x t=-剟，即有25430ta t -+…，对t 讨论，分0t=，01t <…，10t -<…，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数1()s in 2s in 3f x x x a x=-+的导数为2()1c o s 2c o s 3f x x a x'=-+，由题意可得()0f x '…恒成立，即为21c o s 2c o s 03x a x -+…，即有254c o s c o s 033x a x -+…，设co s (11)t x t =-剟，即有25430ta t -+…，当0t =时，不等式显然成立；当01t <…时，534a t t-…，由54tt-在(0，1]递增，可得1t =时，取得最大值1-，可得31a -…，即13a -…；当10t -<…时，534a t t-…，由54tt-在[1-，0)递增，可得1t=-时，取得最小值1，可得31a …，即13a …．综上可得a 的范围是1[3-，1]3．另解：设co s (11)tx t =-剟，即有25430ta t -+…，由题意可得5430a -+…，且5430a --…，解得a 的范围是1[3-，1]3．故选：C ．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 3．函数32()f x a x b x c x d=+++的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．0a >，0b <，0c >，0d >B ．0a >，0b <，0c <，0d >C ．0a<，0b<，0c<，0d>D ．0a>，0b>，0c>，0d<【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：(0)0f d =>，排除D ，当x→+∞时，y →+∞，0a ∴>，排除C ，函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则()0f x '=有两个不同的正实根，则12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a>，b ∴<，0c>，方法22:()32f x a x b x c'=++，由图象知当当1x x <时函数递增，当12x x x <<时函数递减，则()f x '对应的图象开口向上，则0a>，且12203b x x a+=->且123c x x a=>，(0)a >，b ∴<，0c>，方法3:(0)0f d =>，排除D ，函数的导数2()32f x a x b x c'=++，则(0)0f c '=>，排除B ，C ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及(0)f 的符号是解决本题的关键．4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x x f x =．若2(log 5.1)ag =-，0.8(2)bg =，cg=（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．ab c<，()(0)0f x f >=，且()0f x '>，()()g x xf x ∴=，则()()()0g x f x xf x '=+'>，()g x ∴在(0,)+∞单调递增，且()()g x x f x =偶函数，22(lo g 5.1)(lo g 5.1)a g g ∴=-=，则22lo g 5.13<<，0.8122<<，由()g x 在(0,)+∞单调递增，则0.82(2)(lo g 5.1)g g g<<（3），b a c∴<<，故选：C ．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题． 5．若函数21()f x xa x x=++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是()A ．[1-，0]B ．[1-，)+∞C ．[0，3]D ．[3，)+∞【分析】由函数21()f x xa x x=++在1(2，)+∞上是增函数，可得21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，进而可转化为212a xx-…在1(2，)+∞上恒成立，构造函数求出212xx-在1(2，)+∞上的最值，可得a 的取值范围．【解答】解：21()f x x a x x=++在1(2，)+∞上是增函数，故21()20f x x a x'=+-…在1(2，)+∞上恒成立，即212a x x-…在1(2，)+∞上恒成立，令21()2h x x x=-，则32()2h x x'=--，当1(2x ∈，)+∞时，()0h x '<，则()h x 为减函数．1()()32h x h ∴<=3a ∴…．故选：D ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．6．若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是( )A ．11()f k k- C ．11()11f k k <-- D ．1()11k f k k >-- 【分析】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x->>，用11x k =-代入可判断出11()11f k k >--，即可判断答案．【解答】解；()(0)(0)limx f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11xk =-时，11()1111k f k k k k +>⨯=---，即11()1111k f k k k >-=---故11()11f k k >--，所以11()11f k k <--，一定出错，另解：设()()1g x f x kx =-+，(0)0g =，且()()0g x f x k '='->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C错．故选：C ．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题． 7．已知21()s in ()42f x xx π=++，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是()A ．B ．C ．D ．【分析】先化简2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B ，D ．再根据导函数的导函数小于0的x 的范围，确定导函数在(3π-，)3π上单调递减，从而排除C ，即可得出正确答案．【解答】解：由2211()s in ()c o s 424f x xx xxπ=++=+，1()s in 2f x x x ∴'=-，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ．又1()c o s 2f x x''=-，当33x ππ-<<时，1c o s 2x>，()0f x ∴''<，故函数()yf x ='在区间(3π-，)3π上单调递减，故排除C ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．二．填空题（共12小题）8．已知函数31()2xxf x x x ee=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+…．则实数a 的取值范围是 [1-，1]2．【分析】求出()f x 的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得()f x 在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得()f x 为奇函数，原不等式即为221a a-…，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数31()2xxf x x x ee=-+-的导数为： 211()3220xxxxf x x e ee'=-++-+=…，可得()f x 在R 上递增；又331()()()220xxxxf x f x x x e ex x ee--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则2(1)(2)0f a f a -+…，即有2(2)(1)f a f a --… 由((1))(1)f a f a --=--，2(2)(1)f a f a -…，即有221a a -…，解得112a-剟，故答案为：[1-，1]2．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 9．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为(1,)-+∞ ．【分析】构建函数()()(24)F x f x x =-+，由(1)2f -=得出(1)F -的值，求出()F x 的导函数，根据()2f x '>，得到()F x 在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到()F x 大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设()()(24)F x f x x =-+，则(1)(1)(24)220F f -=---+=-=，又对任意x R∈，()2f x '>，所以()()20F x f x '='->，即()F x 在R 上单调递增，则()0F x >的解集为(1,)-+∞，即()24f x x >+的解集为(1,)-+∞．故答案为：(1,)-+∞【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题． 10．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)f -=，当0x>时，()()0x f x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1) ．【分析】构造函数()()f x g x x=，利用()g x 的导数判断函数()g x 的单调性与奇偶性，画出函数()g x 的大致图象，结合图形求出不等式()0f x >的解集．【解答】解：设()()f xg x x=，则()g x 的导数为：2()()()x f x f x g x x'-'=，当0x >时总有()()xf x f x '<成立，即当0x>时，()g x '恒小于0， ∴当0x>时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()()f x f x f xg x g x xxx---====--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数又(1)(1)01f g --==-，∴函数()g x 的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式()0()0f x xg x >⇔⋅>⇔0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，01x ⇔<<或1x <-．()0f x ∴>成立的x 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，1)．故答案为：(-∞，1)(0-⋃，1)．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目． 11．已知函数3(21)34,(),a x a x tf x x x x t-+-⎧=⎨->⎩…，无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调．则a 的取值范围是 12a …．【分析】首先分析3()f x x x=-，其单调区间．然后根据无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调，判断()(21)34f x a x a =-+-的单调性，求出a 的取值范围即可．【解答】解：对于函数3()f x x x=-，2()31f x x '=-x t>当2310x ->时，即3x>或3x<-此时3()f x x x=-，为增函数当2310x -<时，33x -<<x t>，3()f x x x∴=-，一定存在单调递增区间要使无论t 取何值，函数()f x 在区间(,)-∞+∞总是不单调()(21)34f x a x a ∴=-+-不能为增函数210a ∴-…∴12a …故答案为：12a …．【点评】本题考查函数单调性的判定与应用，3次函数与1次函数的单调性的判断，属于中档题． 12．已知()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，()f x '是()f x 的导函数，且满足()2()0x f x f x '->，若()f x 是偶函数，f（1）1=，则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞ ．【分析】构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，依题意可知它是偶函数且在(0,)+∞上单调递增，于是2()f x x>等价转化为()g x g>（1），即(||)(|1|)||1g x g x >⇒>，从而可得答案．【解答】解：令2()()(0)f xg x x x=≠，则243()2()()2()()x f x x f x x f x f x g x xx'-'-'==，因为足()2()0x f x f x '->，所以，当0x>时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．又()f x 是偶函数，故2()()(0)f xg x x x=≠也是偶函数，而f（1）1=，故g （1）2(1)1f f==（1）1=，因此，2()f x x>⇔2()1f x x>，即()g x g >（1），即(||)(|1|)g x g >所以，||1x >，解得：1x >或1x<-．则不等式2()f x x>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，故答案为：(-∞，1)(1-⋃，)+∞．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数2()()(0)f xg x x x=≠，并判断它为偶函数且在(0,)+∞上单调递增是关键，考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题． 13．函数()(3)xf x x e=-的单调递增区间是(2,)+∞ ．【分析】先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．【解答】解：()(2)xf x x e'=-，令()0f x '>，解得：2x >，()f x ∴在(2,)+∞递增，故答案为：(2,)+∞．【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题． 14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R∈有2()()f x f x x-+=，且在(0,)+∞上()f x x'>．若(2)f a f --（a ）22a-…，则实数a 的取值范围是(-∞，1] ．【分析】令21()()2g x f x x=-，由()()g x g x -+=，可得函数()g x 为奇函数．利用导数可得函数()g x 在R 上是增函数，(2)f a f--（a ）22a-…，即(2)g a g-…（a ），可得2a a-…，由此解得a 的范围．【解答】解：令21()()2g x f x x=-，2211()()()()022g x g x f x xf x x-+=--+-=，∴函数()g x 为奇函数．(0,)x ∈+∞时，()()0g x f x x '='->，故函数()g x 在(0,)+∞上是增函数，故函数()g x 在(,0)-∞上也是增函数，由(0)0f =，可得()g x 在R 上是增函数． (2)f a f--（a ）22a-…，等价于2(2)(2)2a f a f---…（a ）22a-，即(2)g a g-…（a ），2a a∴-…，解得1a …，故答案为：(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 15．已知三次函数32()()32a b f x x xc xd a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为3 ．【分析】由题意得2()f x a x b x c'=++在R 上恒大于或等于0，得0a>，△240ba c =-…，将此代入a b c b a++-，将式子进行放缩，以b a为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．【解答】解：由题意2()0f x a x b x c '=++…在R 上恒成立，则0a>，△240ba c =-…．∴222222111()441b b a a b ba b c aa b a c aa b b aa b aa b aa++++++++==----…令(1)b tt a=>，222111(2)1(13)194(16)31414141t ta b c t t t b at t t t +++++-+===-++-----厖．（当且仅当4t =，即4bc a==时取“=” )故答案为：3【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题． 16．已知函数21()22f x m xln x x=+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为[1，)+∞ ．【分析】函数21()22f x m xl nx x =+-在定义域(0)x >内是增函数⇔2121()20f x m x mxx x'=+-⇔-厖对于任意0x>．⇔221()m a xm xx-…．利用导数即可得出．【解答】解：函数21()22f x m x l n xx =+-在定义域(0)x >内是增函数，∴1()20f x m x x'=+-…，化为221m xx-…．令221()g x xx=-，233222(1)()x g x xxx-'=-+=-，解()g x '>，得01x <<；解()0g x '<，得1x >．因此当1x =时，()g x 取得最大值，g （1）1=．1m ∴…．故答案为[1，)+∞．【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键． 17．函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1] ．【分析】根据题意，先求函数212yxln x=-的定义域，进而求得其导数，即211xy x x x-'=-=，令其导数小于等于0，可得210x x -…，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数212yxln x=-，易得其定义域为{|0}x x>，211x y x xx-'=-=，令210x x-…，又由0x>，则221010x x x-⇔-剟，且0x>；解可得01x <…，即函数212yxln x=-的单调递减区间为(0，1]，故答案为(0，1]【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域． 18．已知函数321()242f x x xx =+-+，则函数的单调减区间为2[1,]3- ．【分析】对函数进行求导即可求出单调区间．【解答】解：31()242f x x x x =+-+2()32(32)(1)f x x x x x ∴'=+-=-+令2()0,13f x x '-剟?．∴函数的单调减区间为2[1,]3-．【点评】此题较为容易，考查了导数与函数的单调性问题，注意区间端点的取值就可以了． 19．设定义域为R的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式1()(21)x ef x f x -<-的解为(1,)+∞ ．【分析】令()()xf xg x e=，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：令()()xf xg x e=，则()()()xf x f xg x e'-'=>，故()g x 在R 递增，不等式1()(21)x e f x f x -<-，即21()(21)xx f x f x ee--<，故()(21)g x g x <-，故21xx <-，解得：1x >，故答案为：(1,)+∞【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．三．解答题（共5小题） 20．已知函数1()f x x a ln xx=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数22211()1a xa x f x xxx-+'=--+=-，设2()1g x x a x =-+，当0a …时，()0g x >恒成立，即()0f x '<恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，当0a>时，判别式△24a =-，①当02a <…时，△0…，即()0g x …，即()0f x '…恒成立，此时函数()f x 在(0,)+∞上是减函数， ②当2a>时，x ，()f x '，()f x 的变化如下表：综上当2a …时，()f x 在(0,)+∞上是减函数，当2a>时，在(02和2，)+∞上是减函数，则22上是增函数．（2）由（1）知2a>，不妨设12x x <，则121x x <<<，121x x =，则1221122112121()()()(1)()2()()f x f x x x a ln x ln x x x a ln x ln x x x -=-++-=-+-，则12121212()()()2f x f x a ln x ln x x x x x --=-+--，则问题转为证明12121ln x ln x x x -<-即可，即证明1212ln x ln x x x ->-，则111111ln x lnx x x ->-，即11111ln x ln x x x +>-，即证11112ln x x x >-在(0,1)上恒成立，设1()2h x ln x x x=-+，(01)x <<，其中h （1）0=，求导得222222121(1)()10x x x h x xxxx-+-'=--=-=-<，则()h x 在(0,1)上单调递减，()h x h∴>（1），即120ln xx x-+>，故12ln x x x>-，则1212()()2f x f x a x x -<--成立．（2）另解：注意到11()()f x a ln x f x x x=--=-，即1()()0f x f x +=，不妨设12x x <，由韦达定理得121x x =，122x x a +=>，得121x x <<<，121x x =，可得221()()0f x f x +=，即12()()0f x f x +=，要证1212()()2f x f x a x x -<--，只要证2212()()2f x f x a x x --<--，即证22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >，构造函数()2a h x a ln x a x x=-+，(1)x >，22(1)()a x h x x--'=…，()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，()h x h∴<（1）0=，20a a ln x a x x∴-+<成立，即22220a a ln x a x x -+<，2(1)x >成立．即1212()()2f x f x a x x -<--成立．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 21．设函数2()(1)xf x x e=-⋅．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x a x +…，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）化简()(1)(1)xf x x x e=-+．()1f x a x +…，下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)xg x e x '=->>，推出结论；③当0a …时，推出结果，然后得到a 的取值范围．法二：0x …时，2()(1)10xg x e x a x =-++…恒成立，推出()g x '，求解[()]g x ''，当(0)10g a '=-…时，判断函数的单调性，判断满足题意，当(0)10g a '=-<时，推出()(0)0g m g <=，不合题意，得到结果．【解答】解：（1）因为2()(1)xf x x e=-，x R∈，所以2()(12)xf x x x e'=--，令()0f x '=可知1x=-±当1x<--1x>-+()0f x '<，当11x --<<-+时()0f x '>，所以()f x在(,1-∞--，(1-+)+∞上单调递减，在(1--，1-+上单调递增；（2）由题可知()(1)(1)xf x x x e=-+．下面对a 的范围进行讨论：①当1a …时，设函数()(1)xh x x e=-，则()0(0)xh x x e x '=-<>，因此()h x 在[0，)+∞上单调递减，又因为(0)1h =，所以()1h x …，所以()(1)()11f x x h x x a x =+++剟；②当01a <<时，设函数()1xg x e x =--，则()10(0)x g x e x '=->>，所以()g x 在[0，)+∞上单调递增，又(0)1010g =--=，所以1x e x +…．因为当01x <<时2()(1)(1)f x x x >-+，所以22(1)(1)1(1)x x a x x a x x -+--=---，取0(0,1)2x =，则2000(1)(1)10x x a x -+--=，所以00()1f x a x >+，矛盾；③当0a …时，取0(0,1)2x =，则20000()(1)(1)11f x x x a x >-+=+…，矛盾；综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞．（2）法二：0x …时，2()(1)10x g x e x a x =-++…恒成立，2()(21)x g x e x x a'=+-+，2[()](41)0(0)xg x e x x x ''=++>…，()g x '在0x …时单调递增，当(0)10g a '=-…时，0x>时()0g x '>恒成立，()g x 单调递增，则0x …时，()(0)0g x g =…，符合题意，当(0)10g a '=-<时，(||)0g a '>，于是存在0m>使得()g m '=，当0x m<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，有()(0)0g x g <=，不合题意，所以1a …．综上所述，a 的取值范围是[1，)+∞．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 22．已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出()f x 的导数，讨论当0a …时，2e a<-时，2e a=-时，02e a -<<，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由2()(2)(1)x f x x e a x =-+-，可得()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a '=-+-=-+，①当0a …时，由()0f x '>，可得1x>；由()0f x '<，可得1x<，即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增（如右上图）； ②当0a <时，（如右下图），由20xe a +=，可得(2)x ln a =-，由(2)1ln a -=，解得2e a=-，若2e a =-，则()0f x '…恒成立，即有()f x 在R 上递增；若2e a <-时，由()0f x '>，可得1x<或(2)x ln a >-；由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<-．即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增；在(1，(2))ln a -递减；若02e a -<<，由()0f x '>，可得(2)xln a <-或1x>；由()0f x '<，可得(2)1ln a x -<<．即有()f x 在(-∞，(2))ln a -，(1,)+∞递增；在((2)ln a -，1)递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当0a>时，()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增，且f（1）0e =-<，x→+∞，()f x →+∞；当x→-∞时()0f x >或找到一个1x <使得()0f x >对于0a>恒成立，()f x 有两个零点；②当0a =时，()(2)xf x x e=-，所以()f x 只有一个零点2x=；③当0a <时，若2e a<-时，()f x 在(1，(2))ln a -递减，在(,1)-∞，((2)ln a -，)+∞递增，又当1x …时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点；当2e a -…时，在(-∞，(2))ln a -单调增，在(1,)+∞单调增，在((2)ln a -，1)单调减，只有((2))f ln a -等于0才有两个零点，而当1x …时，()0f x <，所以只有一个零点不符题意．综上可得，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(0,)+∞．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题． 24．已知函数()1f x x a ln x=--．（1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<，求m 的最小值．【分析】（1）通过对函数()1(0)f x x a ln x x =-->求导，分0a …、0a>两种情况考虑导函数()f x '与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知1ln x x -…，进而取特殊值可知11(1)22kkln +<，*k N∈．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知2111(1)(1)(1)222ne ++⋯+<，另一方面可知2111(1)(1)(1)2222n++⋯+>，从而当3n …时，2111(1)(1)(1)(2222n++⋯+∈，)e ，比较可得结论．【解答】解：（1）因为函数()1f x x a ln x=--，0x>，所以()1a x a f x x x-'=-=，且f（1）0=．所以当0a …时()0f x '>恒成立，此时()yf x =在(0,)+∞上单调递增，故当01x <<时，()f x f <（1）0=，这与()0f x …矛盾；当0a>时令()0f x '=，解得x a=，所以()y f x =在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，即()m in f x f=（a ），若1a≠，则f （a ）f<（1）0=，从而与()0f x …矛盾；所以1a =；（2）由（1）可知当1a =时()10f x x ln x =--…，即1ln x x -…，所以(1)ln xx +…当且仅当0x=时取等号，所以11(1)22kkln +<，*k N∈．221111111(1)(1)(1)112222222nnnln ln ln ++++⋯++<++⋯+=-<，即2111(1)(1)(1)222ne++⋯+<；因为m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm++⋯+<成立，当3n=时，23111135(1)(1)(1)222264+++=>，所以m 的最小值为3．【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．。

高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)

高中数学函数的单一性与导数测试题（附答案）选修 2-21.3.1 函数的单一性与导数一、选择题1．设 f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx＋d(a0)，则 f(x) 为 R 上增函数的充要条件是 ()A ．b2－ 4ac0 B．b0， c0C．b＝0，c D ． b2－ 3ac0[答案] D[ 分析 ]∵a0，f(x)为增函数，f(x) ＝3ax2＋ 2bx＋ c0 恒建立，＝(2b)2－ 43ac＝ 4b2－ 12ac0， b2－3ac0.2．(2009 广东文， 8)函数 f(x) ＝ (x－ 3)ex 的单一递加区间是() A ．(－， 2) B． (0,3)C．(1,4) D ． (2，＋ )[答案] D[ 分析 ]考察导数的简单应用．f(x) ＝(x－ 3)ex＋ (x－ 3)(ex) ＝ (x－ 2)ex，令 f(x)0 ，解得 x2，应选 D.3．已知函数y＝ f(x)(xR) 上任一点 (x0， f(x0)) 处的切线斜率k ＝(x0 －2)(x0 ＋ 1)2，则该函数的单一递减区间为 ()A ．[－1，＋ ) B．(－， 2]C．(－，－ 1)和 (1,2) D ． [2，＋ )[答案]B[ 分析 ]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单一减区间为 (－， 2] ．4．已知函数y＝xf(x) 的图象如图 (1)所示 (此中 f(x) 是函数 f(x)的导函数 )，下边四个图象中，y＝ f(x) 的图象大概是 ()[答案] C[ 分析 ]当01时xf(x)0f(x)0 ，故 y＝f(x) 在 (0,1)上为减函数当 x1 时 xf(x)0 ，f(x)0 ，故 y＝ f(x) 在(1，＋ )上为增函数，所以否认 A、B、D 应选 C.5．函数 y＝xsinx ＋ cosx， x(－)的单一增区间是()A. －，－ 2 和 0，2B.－ 2， 0 和 0，2C.－，－ 2，D.－ 2，0 和[答案]A[ 分析 ] y＝xcosx，当－ x2 时，cosx0， y＝xcosx0 ，当 02 时， cosx0，y＝ xcosx0.6．以下命题建立的是 ()A ．若 f(x) 在 (a，b)内是增函数，则对任何 x(a，b)，都有 f(x)0B．若在 (a， b)内对任何x 都有 f(x)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上是增函数C．若 f(x) 在 (a， b)内是单一函数，则f(x) 必存在D ．若 f(x) 在 (a， b)上都存在，则f(x) 必为单一函数[答案]B[ 分析 ]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0 ，故 A 错； f(x)在(a，b)内是单一函数与 f(x) 能否存在无必定联系，故 C 错；f(x) ＝2 在 (a， b)上的导数为f(x) ＝ 0 存在，但f(x) 无单一性，故D错．7． (2019 福建理， 11)已知对随意实数 x ，有 f( － x) ＝－ f(x) ，g(－x) ＝ g(x) ，且 x0 时， f(x)0 ，g(x)0 ，则 x0 时 () A ．f(x)0 ，g(x) B ． f(x)0 ， g(x)0C．f(x)0 ，g(x) D ． f(x)0 ， g(x)0[答案 ]B[分析 ]f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，奇 (偶 )函数在对于原点对称的两个区间上单一性同样(反 )，x0 时， f(x)0 ，g(x)0. 8． f(x) 是定义在 (0，＋ )上的非负可导函数，且知足xf(x) ＋f(x)0 ，对随意正数 a、 b，若 ab，则必有 ()A ．af(a)f(b)B ． bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D ．bf(a)af(b)[答案 ]C[分析 ]∵xf(x) ＋ f(x)0 ，且 x0 ，f(x)0 ，f(x) －f(x)x ，即 f(x) 在(0，＋ )上是减函数，又 0＜ a＜ b， af(b)bf(a) ．9．对于 R 上可导的随意函数f(x) ，若知足 (x －1)f(x)0 ，则必有()A ．f(0) ＋ f(2)2f(1)B ． f(0) ＋ f(2)2f(1)C．f(0) ＋ f(2)2f(1) D ． f(0) ＋ f(2)2f(1)[答案] C[ 分析 ]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单一递加，在(－，1] 上单一递减或f(x) 恒为常数，故 f(0) ＋ f(2)2f(1) ．故应选 C.10．(2019 江西理， 12)如图，一个正五角星薄片( 其对称轴与水面垂直 )匀速地升出水面，记t时辰五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0) ＝0)，则导函数y＝ S(t)的图像大概为[答案]A[ 分析 ]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，此中恰露出一个角时变化不连续，应选 A.二、填空题11．已知 y ＝13x3 ＋ bx2＋ (b＋ 2)x＋ 3 在 R 上不是单一增函数，则 b 的范围为 ________．[ 答案 ] b－1 或 b2[ 分析 ]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒建立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意 b＜－ 1 或 b＞2.12．已知函数f(x) ＝ax－ lnx ，若 f(x) ＞ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，实数 a 的取值范围为 ________．[ 答案 ] a1[ 分析 ]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒建立．设 g(x) ＝ 1＋ lnxx ，则 g(x) ＝－ lnxx2 ＜ 0(x＞ 1)，g(x) ＝ 1＋ lnxx 在区间 (1，＋ )内单一递减，g(x) ＜ g(1)，∵g(1)＝ 1，1＋ lnxx ＜ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，a1.13．函数 y＝ln(x2 － x－2)的单一递减区间为__________．[答案 ] (－，－ 1)[ 分析 ]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令 f(x) ＝ x2－x － 2， f(x) ＝ 2x－10，得 x12 ，函数 y＝ ln(x2 －x－ 2)的单一减区间为 (－，－ 1)．14．若函数y＝ x3 － ax2＋ 4 在 (0,2)内单一递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．[答案 ] [3，＋ )[ 分析 ] y＝3x2 － 2ax，由题意知3x2－ 2ax0 在区间 (0,2) 内恒建立，即 a32x 在区间 (0,2)上恒建立， a3.三、解答题15．设函数 f(x) ＝x3－ 3ax2＋ 3bx 的图象与直线12x ＋y－ 1＝0 相切于点 (1，－ 11)．(1)求 a、 b 的值；(2)议论函数f(x) 的单一性．[ 分析 ] (1)求导得 f(x) ＝ 3x2－6ax＋3b.因为 f(x) 的图象与直线12x＋y － 1＝0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11，f(1) ＝－ 12，即 1－ 3a＋3b＝－ 113－6a＋3b＝－ 12，解得 a＝ 1，b＝－ 3.(2)由 a＝ 1， b＝－ 3 得f(x) ＝3x2－ 6ax＋3b＝ 3(x2－ 2x－ 3)＝3(x ＋1)(x － 3)．令 f(x)0 ，解得 x －1 或 x3；又令 f(x)0 ，解得－ 13.所以当 x(－，－ 1)时， f(x) 是增函数；当x(3 ，＋)时，f(x) 也是增函数；当 x( － 1,3)时， f(x) 是减函数．16．求证：方程x－ 12sinx＝ 0 只有一个根x＝ 0.[ 证明 ]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则 f(x) ＝ 1－12cosx＞ 0，f(x) 在(－，＋ )上是单一递加函数．而当 x＝ 0 时， f(x) ＝ 0，方程 x－ 12sinx ＝0 有独一的根x＝ 0.17．已知函数y＝ ax 与 y＝－ bx 在(0，＋ )上都是减函数，试确立函数 y＝ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 剖析 ] 可先由函数 y＝ax 与 y＝－ bx 的单一性确立 a、b 的取值范围，再依据 a、 b 的取值范围去确立 y＝ ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 分析 ]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由 y＝ ax3＋bx2＋ 5 得 y＝ 3ax2＋ 2bx.令 y＞ 0，得 3ax2＋ 2bx＞0，－ 2b3a＜ x＜ 0.当 x－ 2b3a， 0 时，函数为增函数．令 y＜ 0，即 3ax2＋ 2bx＜0，x＜－ 2b3a，或 x＞ 0.在－，－ 2b3a，(0，＋ )上时，函数为减函数．18． (2019 新课标全国文，21)设函数 f(x) ＝x(ex － 1)－ ax2.(1)若 a＝ 12，求 f(x) 的单一区间；(2)若当 x0 时 f(x)0 ，求 a 的取值范围．[ 分析 ] (1)a＝12 时， f(x) ＝x(ex － 1)－12x2，f(x) ＝ex－ 1＋ xex－ x＝ (ex－ 1)(x ＋ 1)．当 x( －，－ 1)时， f(x)0 ；当 x(－ 1,0)时， f(x)0 ；当 x(0 ，＋ )时， f(x)0.故 f(x) 在 (－，－ 1]， [0，＋ )上单一递加，在[ －1,0] 上单一递减．(2)f(x) ＝ x(ex － 1－ ax)．令 g(x) ＝ ex－ 1－ ax，则 g(x) ＝ex－ a.若 a1，则当 x(0，＋ )时， g(x)0 ， g(x) 为增函数，而 g(0)＝ 0，进而当 x0 时 g(x)0 ，即 f(x)0.教师范读的是阅读教课中不行缺乏的部分，我常采纳范读，让少儿学习、模拟。

高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)

高中数学函数的单一性与导数综合测试题(含答案 )选修 2-2 1.3.1 函数的单一性与导数一、选择题1．设 f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx＋d(a0)，则 f(x) 为 R 上增函数的充要条件是 ()A ．b2－ 4ac0 B．b0， c0C．b＝0，c D ． b2－ 3ac0[答案] D[ 分析 ]∵a0，f(x)为增函数，f(x) ＝3ax2＋ 2bx＋ c0 恒建立，＝(2b)2－ 43ac＝ 4b2－ 12ac0， b2－3ac0.2．(2009 广东文， 8)函数 f(x) ＝ (x－ 3)ex 的单一递加区间是() A ．(－， 2) B． (0,3)C．(1,4) D ． (2，＋ )[答案] D[ 分析 ]考察导数的简单应用．f(x) ＝(x－ 3)ex＋ (x－ 3)(ex) ＝ (x－ 2)ex，令 f(x)0 ，解得 x2，应选 D.3．已知函数y＝ f(x)(xR) 上任一点 (x0， f(x0)) 处的切线斜率k ＝(x0 －2)(x0 ＋ 1)2，则该函数的单一递减区间为 ()A ．[－1，＋ ) B．(－， 2]C．(－，－ 1)和 (1,2) D ． [2，＋ )[答案]B[ 分析 ]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单一减区间为 (－， 2] ．4．已知函数y＝xf(x) 的图象如图 (1)所示 (此中 f(x) 是函数 f(x)的导函数 )，下边四个图象中，y＝ f(x) 的图象大概是 ()[答案] C[ 分析 ]当01时xf(x)0f(x)0 ，故 y＝f(x) 在 (0,1)上为减函数当 x1 时 xf(x)0 ，f(x)0 ，故 y＝ f(x) 在(1，＋ )上为增函数，所以否认 A、B、D 应选 C.5．函数 y＝xsinx ＋ cosx， x(－)的单一增区间是()A. －，－ 2 和 0，2B.－ 2， 0 和 0，2C.－，－ 2，D.－ 2，0 和[答案]A[ 分析 ] y＝xcosx，当－ x2 时，cosx0， y＝xcosx0 ，当 02 时， cosx0，y＝ xcosx0.6．以下命题建立的是 ()A ．若 f(x) 在 (a，b)内是增函数，则对任何 x(a，b)，都有 f(x)0B．若在 (a， b)内对任何x 都有 f(x)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上是增函数C．若 f(x) 在 (a， b)内是单一函数，则f(x) 必存在D ．若 f(x) 在 (a， b)上都存在，则f(x) 必为单一函数[答案]B[ 分析 ]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0 ，故 A 错； f(x)在(a，b)内是单一函数与 f(x) 能否存在无必定联系，故 C 错；f(x) ＝2 在 (a， b)上的导数为f(x) ＝ 0 存在，但f(x) 无单一性，故D错．7． (2019 福建理， 11)已知对随意实数 x ，有 f( － x) ＝－ f(x) ，g(－x) ＝ g(x) ，且 x0 时， f(x)0 ，g(x)0 ，则 x0 时 () A ．f(x)0 ，g(x) B ． f(x)0 ， g(x)0C．f(x)0 ，g(x) D ． f(x)0 ， g(x)0[答案 ]B[分析 ]f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，奇 (偶 )函数在对于原点对称的两个区间上单一性同样(反 )，x0 时， f(x)0 ，g(x)0. 8． f(x) 是定义在 (0，＋ )上的非负可导函数，且知足xf(x) ＋f(x)0 ，对随意正数 a、 b，若 ab，则必有 ()A ．af(a)f(b)B ． bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D ．bf(a)af(b)[答案 ]C[分析 ]∵xf(x) ＋ f(x)0 ，且 x0 ，f(x)0 ，f(x) －f(x)x ，即 f(x) 在(0，＋ )上是减函数，又 0＜ a＜ b， af(b)bf(a) ．9．对于 R 上可导的随意函数f(x) ，若知足 (x －1)f(x)0 ，则必有()A ．f(0) ＋ f(2)2f(1)B ． f(0) ＋ f(2)2f(1)C．f(0) ＋ f(2)2f(1) D ． f(0) ＋ f(2)2f(1)[答案] C[ 分析 ]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单一递加，在(－，1] 上单一递减或f(x) 恒为常数，故 f(0) ＋ f(2)2f(1) ．故应选 C.10．(2019 江西理， 12)如图，一个正五角星薄片( 其对称轴与水面垂直 )匀速地升出水面，记t时辰五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0) ＝0)，则导函数y＝ S(t)的图像大概为[答案]A[ 分析 ]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，此中恰露出一个角时变化不连续，应选 A.二、填空题11．已知 y ＝13x3 ＋ bx2＋ (b＋ 2)x＋ 3 在 R 上不是单一增函数，则 b 的范围为 ________．[ 答案 ] b－1 或 b2[ 分析 ]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒建立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意 b＜－ 1 或 b＞2.12．已知函数f(x) ＝ax－ lnx ，若 f(x) ＞ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，实数 a 的取值范围为 ________．[ 答案 ] a1[ 分析 ]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒建立．设 g(x) ＝ 1＋ lnxx ，则 g(x) ＝－ lnxx2 ＜ 0(x＞ 1)，g(x) ＝ 1＋ lnxx 在区间 (1，＋ )内单一递减，g(x) ＜ g(1)，∵g(1)＝ 1，1＋ lnxx ＜ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，a1.13．函数 y＝ln(x2 － x－2)的单一递减区间为__________．[答案 ] (－，－ 1)[ 分析 ]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令 f(x) ＝ x2－x － 2， f(x) ＝ 2x－10，得 x12 ，函数 y＝ ln(x2 －x－ 2)的单一减区间为 (－，－ 1)．14．若函数y＝ x3 － ax2＋ 4 在 (0,2)内单一递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．[答案 ] [3，＋ )[ 分析 ] y＝3x2 － 2ax，由题意知3x2－ 2ax0 在区间 (0,2) 内恒建立，即 a32x 在区间 (0,2)上恒建立， a3.三、解答题15．设函数 f(x) ＝x3－ 3ax2＋ 3bx 的图象与直线12x ＋y－ 1＝0 相切于点 (1，－ 11)．(1)求 a、 b 的值；(2)议论函数f(x) 的单一性．[ 分析 ] (1)求导得 f(x) ＝ 3x2－6ax＋3b.因为 f(x) 的图象与直线12x＋y － 1＝0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11，f(1) ＝－ 12，即 1－ 3a＋3b＝－ 113－6a＋3b＝－ 12，解得 a＝ 1，b＝－ 3.(2)由 a＝ 1， b＝－ 3 得f(x) ＝3x2－ 6ax＋3b＝ 3(x2－ 2x－ 3)＝3(x ＋1)(x － 3)．令 f(x)0 ，解得 x －1 或 x3；又令 f(x)0 ，解得－ 13.所以当 x(－，－ 1)时， f(x) 是增函数；当x(3 ，＋)时，f(x) 也是增函数；当 x( － 1,3)时， f(x) 是减函数．16．求证：方程x－ 12sinx＝ 0 只有一个根x＝ 0.[ 证明 ]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则 f(x) ＝ 1－12cosx＞ 0，f(x) 在(－，＋ )上是单一递加函数．而当 x＝ 0 时， f(x) ＝ 0，方程 x－ 12sinx ＝0 有独一的根x＝ 0.17．已知函数y＝ ax 与 y＝－ bx 在(0，＋ )上都是减函数，试确立函数 y＝ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 剖析 ] 可先由函数 y＝ax 与 y＝－ bx 的单一性确立 a、b 的取值范围，再依据 a、 b 的取值范围去确立 y＝ ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 分析 ]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由 y＝ ax3＋bx2＋ 5 得 y＝ 3ax2＋ 2bx.令 y＞ 0，得 3ax2＋ 2bx＞0，－ 2b3a＜ x＜ 0.当 x－ 2b3a， 0 时，函数为增函数．令 y＜ 0，即 3ax2＋ 2bx＜0，x＜－ 2b3a，或 x＞ 0.在－，－ 2b3a，(0，＋ )上时，函数为减函数．18． (2019 新课标全国文，21)设函数 f(x) ＝x(ex － 1)－ ax2.(1)若 a＝ 12，求 f(x) 的单一区间；(2)若当 x0 时 f(x)0 ，求 a 的取值范围．[ 分析 ] (1)a＝12 时， f(x) ＝x(ex － 1)－12x2，f(x) ＝ex－ 1＋ xex－ x＝ (ex－ 1)(x ＋ 1)．当 x( －，－ 1)时， f(x)0 ；当 x(－ 1,0)时， f(x)0 ；当 x(0 ，＋ )时， f(x)0.故 f(x) 在 (－，－ 1]， [0，＋ )上单一递加，在[ －1,0] 上单一递减．(2)f(x) ＝ x(ex － 1－ ax)．令 g(x) ＝ ex－ 1－ ax，则 g(x) ＝ex－ a.“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。

高考数学复习：导数单调性问题练习与答案

高考数学复习：导数单调性问题一、解答题1．（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.2．（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数()2ln f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调增区间.3．（2021·北京101中学高二期中）己知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明()324f x a≤--；（3）若不等式()0f x >恰有两个整数解，求实数a 的取值范围.4．（2021·北京牛栏山一中高二期中）已知函数()e xf x ax =-()R a ∈.（1）如果曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设23()12g x x ax =-+-，求证：当[0,1]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立.5．（2021·北京清华附中高二期中）已知：函数()xe f x x a=-（0a ≠）．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()y f x =的单调区间；（3）函数()f x 在区间[0,1]上满足()1f x ，求a 的取值范围．6．（2021·北京市丰台第八中学）已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2.（Ⅰ）求,a b 的值（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间（Ⅲ）若函数()y f x k =-在区间-2⎡⎣上有三个零点，写出k 的取值范围（无需解答过程）7．（2021·北京市丰台第八中学）已知函数()()()22ln 24a f x a x x a x a R =-+--∈.（Ⅰ）当曲线()f x 在3x =时的切线与直线41y x =-+平行时，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当函数()f x 在区间()1,4单调递增时，求实数a 的取值范围.8．（2021·北京五十五中高二期中）已知函数()313f x x ax a a R =-+∈，（1）当a =1时，求曲线()y f x =在点(0，1)处的切线方程；（2）当a =1时，求函数()y f x =的单调区间：（3）若函数()f x 有三个零点，求a 的取值范围.9．（2021·北京市一零一实验学校）已知函数()21mx f x x n-=+是奇函数，且()322f =（1）求实数,m n 的值（2）设函数()()1g x f x =+，函数()y g x =在点()()1,2P t g t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的单调区间及最值.10．（2021·北京丰台·高二期中）已知函数()ln ()af x x a R x=+∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）求出函数()f x 零点的个数．11．（2021·北京市延庆区教育科学研究中心高二期末）已知函数()x f x e ax =+.（a R ∈）（1）若0a <，求函数()f x 的单调区间；（2）若3a =，证明：当0x >时，()231f x x x >++恒成立.12．（2021·北京丰台·高二期中）已知函数1()ln f x x x=+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间1[,]e e上的最大值和最小值．13．（2021·北京海淀·高二期中）已知函数())ln .f x x a =-∈R （1）当2a =时，求函数的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围．14．（2021·北京房山·高二期中）已知函数321()313f x x x x =--+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 的极值.15．（2021·北京房山·高二期中）已知函数()ln (R)f x x ax a =+∈.（1）当a =1时，求曲线()y f x =在x =1处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在0x ，使得()00f x >，求a 的取值范围.16．（2021·北京日坛中学高二期中）已知函数()()ln .x f x e x a =-（1）若函数()y f x =在[]1,e 存在单调减区间，求实数a 的取值范围;（2）若1a >,求证:函数()f x 存在极小值;（3）若对任意的实数[]1,+x ∈∞,()1f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．17．（2021·北京日坛中学高二期中）已知函数()22,R.x f x xe ax ax a =++∈（1）若=1a ,求()f x 在点()()00f ，处的切线方程;（2）求函数()f x 的单调区间;18．（2021·北京日坛中学高二期中）已知函数()()2ln 12x f x a x a x =+-+，求其单调区间.19．（2021·北京密云·）已知函数()1xf x ae x =-+，()23g x x ax =-+，a R ∈．（1）证明：函数()f x 在()()0,0f 处的切线恒过定点；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）证明：对任意实数b ，当1a =时，都有()()()()1cos 0bx f x g x +-≥．20．（2021·北京丰台·）已知函数()e x f x ax =-．（1）讨论f （x ）的单调区间；（2）对(0,)x ∀∈+∞，都有f （x ）＞0恒成立，求a 的取值范围．21．（2021·北京西城·高二期末）已知函数2()(31)e x f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[2,0]-上的最大值和最小值．22．（2021·北京平谷·高二期末）已知函数2()3ln =-+f x x x x ．（1）求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间，并判断函数()f x 的零点个数．23．（2021·西城·北京育才学校高二期中）已知函数()ln ()f x ax x a R =-∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()0f x 恒成立，求a 的取值范围．24．（2021·西城·北京育才学校高二期中）已知函数()321252f x x x x =--+（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间和减区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈-时，求函数()y f x =的最值和最值点.25．（2021·北京东直门中学高二期中）已知函数()()1ln f x x x ax a =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线倾斜角为4π，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）请直接写出()f x 的零点个数．26．（2021·北京朝阳区·高二期末）设函数()1x f x e kx =--，0x ≥，k ∈R （1）求()f x 的单调递增区间；（2）当1k =，12a ≤时，求证：2()f x ax ≥.27．（2021·北京石景山·高二期末）已知函数32()22f x x ax =-+.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0<<3a 时，求()f x 在区间[0,1]上的最大值及最小值.28．（2021·北京市清华志清中学高二期末）已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．29．（2021·北京朝阳·高二期末）已知函数()ln .f x x x =（1）求曲线()y f x =在点（e ，()f e ）的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.30．（2021·北京清华附中）已知函数()()ln 1f x x a x =--，()x g x e =.（1）过原点作曲线()y g x =的切线1l ，求切线1l 的方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）过原点作曲线()()()0,1y f x x =∈的切线2l ，若切线2l 的斜率与1l 的斜率互为倒数，求证：211e e a e e--<<.31．（2015·北京高二期末（文））已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3]，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.32．（2020·北京）已知函数()39f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间与极值.33．（2020·北京西城区·）已知函数3()3f x x x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.34．（2020·北京西城区·）已知函数()ln f x x ax a =+-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当1a >时，函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1.35．（2020·北京海淀·101中学高二期末）已知函数2()af x x x=+（0x ≠，常数a ∈R ）.（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.36．（2020·首都师范大学附属中学高二期末）已知a ∈R ，函数()2()()xf x x ax e x =+∈R .（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1,1-上单调递减，求a 的取值范围.37．（2020·北京海淀·人大附中）已知函数3()395f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.38．（2020·北京朝阳·高二期末）已知函数1()ln =+f x a x x，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值；（3）若()y f x =在1x =时取得极值，设1()()g x f x x=-，当120x x <<时，试比较21()()2g x g x -与2121x x x x -+大小，并说明理由.39．（2020·北京高二期末）已知函数()2123ln 2f x x x x =--.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.40．（2015·北京房山·高二期中（文））已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.41．（2020·北京高二期末）已知函数()ln x e mf x m x x x=++.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围.42．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）.（1）当0a =时，求()f x 过原点的切线方程；（2）讨论()f x 的单调区间和极值；（3）若[]0,1x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.43．（2017·北京海淀区·）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值．（1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[]1,2x ∈，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围．44．（2019·北京西城区·高二期末）已知函数321()3f x x x bx =-+，且(2)3f '=-.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间.45．（2020·北京平谷·高二期末）定义首项为1，且公比为正数的等比数列为"M —数列”（Ⅰ）已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，满足294711,28a a a a +=⋅=，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，若n b 是n S 和1的等差中项，证明：数列{}n b 是"M －数列"；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若存在"M —数列”{}n c ，对于任意正整数k ，都有1k k a c +≤成立．求此时数列{}n c 公比q 的最小值．46．（2020·北京高二期末）已知函数f (x )＝2x 3﹣3ax 2﹣1，a ∈R .（1）当a ＝1时，求f (x )在区间[﹣1，1]上的最值；（2）讨论f (x )的单调性；（3）若f (x )有3个零点，求a 的取值范围.（只需写出结论）47．（2020·北京高二期末）已知函数f (x )＝x ﹣lnx .（1）求定义域及单调区间；（2）求f (x )的极值48．（2011·北京高二期中（文））已知函数()ln f x x =，()ag x x=(0a >)，设()()()F x f x g x =+.（1）求函数()F x 的单调区间；（2）若以函数()y F x =，(0,3]x ∈的图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值.49．（2020·北京延庆区·高二期末）已知函数()1xx f x e -=.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当(),0x ∈-∞时，()21212f x x x <-+-；（Ⅲ）当0x <时，若曲线()y f x =在曲线241y ax ax =-+-的下方，求实数a 的取值范围.50．（2020·北京通州区·高二期末）已知函数21()22f x x mx lnx =--，m R ∈.（1）若1m =，求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（2）求()f x 的极值点.51．（2020·北京通州区·高二期末）已知函数4()(22)ln 2f x ax a x x=-+-+，34()2x g x e x x=--.（1）若1a ≤，讨论()f x 的单调性；（2）若32a =-，求证：()()f x g x <.52．（2020·北京理工大学附属中学通州校区）已知函数32()(,)f x x ax bx a b =++∈R 的图象过点(1,2)P ，且在点P 处的切线斜率为8．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）求函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值与最小值．53．（2021·北京一七一中高二期中）已知函数3()31f x x x =-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).54．（2020·北京市陈经纶中学高二期中）已知函数()x f x e =，点(,0)A a 为一定点，直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，记AMN ∆的面积为()S t ．（Ⅰ）当0a =时，求函数()S t 的单调区间;（Ⅱ）当2a >时，若0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，求实数a 的取值范围．55．（2020·北京市陈经纶中学高二期中）已知函数()2()23x f x x ax a e =+--，其中a ∈R ，2.71828e = 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当[0,1]x ∈时，若函数()f x 的图象恒在直线y e =的上方，求实数a 的取值范围．56．（2020·北京实验学校（海淀））已知函数3()33f x x x =-++.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[]0,2上的最大值和最小值.57．（2021·北京密云·高二期末）已知函数321()32()3f x x x x x R =---∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()f x 零点的个数，并说明理由.58．（2019·北京市八一中学）已知函数()()22xf x x x e =-.（1）求该函数的单调增区间；（2）当2x >-时，()f x a ≥总成立，求常数a 的最大值.59．（2018·北京北师大实验中学高二期末（文））已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++∈.（1）若0a =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a >时，讨论函数()()211ln 2f x ax a x x =-++的单调区间.60．（2018·北京师大附中高二期末（理））已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a R =-++∈.（1）若0a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.61．（2020·北京清华附中高二期末）已知函数f （x ）=lnx ﹣x +1.（1）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程：（2）若非零实数a 使得f （x ）≥ax 12-ax 212a -对x ∈[1，+∞）恒成立，求a 的取值范围.62．（2020·中央民族大学附属中学高二期末）函数()()211ln 2f x x a x x x =+--，（1）若()f x 在定义城内为单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当3a =时，关于x 的方程()0f x b +=在区间(]1,e 上有且只有一实数根，求b 的取值范围.63．（2019·北京朝阳·高二期末）已知函数2()e (e)x f x a x ax =+--，(0)a ≤．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：当0a <时，函数()f x 在区间()0,1内存在唯一零点．64．（2019·北京朝阳·高二期末）设函数321()(1)41()3f x ax a x x a =-+++∈R．（Ⅰ）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．65．（2021·北京人大附中高二期末）已知函数()ln xf x x=.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明对一切()0,x ∈+∞，都有22ln xx x x e e <-成立.66．（2019·北京丰台区·）已知函数()()21()1x f x e x a x a R ⎡⎤⎣⎦=-++∈.(I)若1a =-时，求曲线() y f x =在()(0)0f ，处的切线方程;(II)求函数()f x 的单调区间.67．（2021·北京师范大学实验二龙路中学高二期中）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．68．（2019·北京市十一学校高二期中）已知函数()()212ln 22f x a x x x x =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．69．（2021·首都师范大学附属中学高二期中）已知函数()32f x x ax bx =++的图象与直线15280x y --=相切于点()2,2．(Ⅰ)求,a b 的值；(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间．参考答案1．（1）()f x 有极小值(0)0f =，无极大值；（2）(],e 2-∞-2．（1）0x y -=（2）2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭3．（1）若0a ，()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0a <，()f x 在1(0,2a-上单调递增，在1(,)2a-+∞上单调递减．（2）证明见解析；（3）13ln 3(,]315+--4．（1）2y x =；（2）当0a ≤时，f （x ）的单调递减区间为(,)-∞+∞，无单调增区间；当0a >时，f （x ）的单调递增区间为(,ln )a -∞，单调递减区间为(ln ,)a +∞；（3）证明见解析.5．（1）21y x =--；（2）递减区间为(,)a -∞，(,1)a a +；递增区间为(1,)a ++∞；（3）[1,0)-.6．（Ⅰ）1,3a b =-=；（Ⅱ）单调增区间为()1,1-；减区间为()(),1,1,-∞-+∞；（Ⅲ）[)0,2k ∈7．（Ⅰ）3a =；（Ⅱ）答案见详解；（Ⅲ）8a ≥8．（1）10x y +-=，（3）()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上递增，在(1,1)-上递减，（3）9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．（1）0n =，1m =；（2）()S t 在1[,2)2上递减，(2,)+∞上递增；且最小值为0.10．（Ⅰ）当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；（Ⅱ）0a ≤或1a e =，()f x 有1个零点；1a e >，()f x 有0个零点；10a e<<，()f x 有2个零点．11．（1）在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增；（2）证明见解析.12．（1）()f x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增；（2）最大值1e -；()f x 最小值1．13．（1）单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞；（2）2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．14．（1）增区间：()(),1,3,-∞-+∞，减区间：()1,3-.（2）极大值83，极小值8-.15．（1）210x y --=；（2）0a ≥时，()f x 在()0,∞+单增；0a <，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单减；（3）1a e >-.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

导数求单调性(试卷+答案)

3.3.1单调性1．若函数)(3x x a y -=的递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33,33，则a 的取值范围是________ ． 2．函数)0(ln )(>-=a ax x x f 的单调增区间是________ ．3．函数)0,0()(>>+=b a x bax x f 的单调减区间是__________ ． 4．若函数12)(223+-+-=m m px x x f 的单调减区间为)0,2(-，则p 的集合为__________．5．若)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x ,∈时，0)(>'x f ，又0)(<a f ，则下列结论正确的是________．①[]b a x f ,)(在上单调递增，且0)(>b f ②)(x f 在[]b a ,上单调递增，且0)(+'x f x f x 恒成立，且常数b a ,满足b a >，则下列不等式一定成立的是________．①)()(b bf a af > ②)()(a bf b af > ③)()(b bf a af < ④)()(a bf b af <7．如果函数x x x f ln 2)(2-=在定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________ ．8．若函数d cx bx x x f +++=23)(的单调减区间为[]2,1-，则=b _______，=c ________.9．若函数52)(223-+-=m mx x x f 的单调减区间是)0,9(-，则=m ________.10．已知函数))()(23()(2R a a x x x f ∈++=．(1)若函数)(x f 有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围； (2)若0)1(=-'f ，求函数)(x f 的单调区间．11．已知函数)(x f 与)(x g 均为闭区间[]b a , 上的可导函数，且)()(),()(a g a f x g x f ='>'，证明：当[]b a x ,∈时，)()(x g x f ≥．12．已知0≥a ，函数xe ax x xf )2()(2-=.设)(x f 在区间[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围．13. 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．答案1 解析：∵y ＝a (x 3－x )的递减区间为(－33，33)， ∴y ′＝a (3x 2－1)在区间(－33，33)上，y ′<0恒成立．又∵在(－33，33)上，3x 2－1<0且a ≠0，∴a >0. 答案：a >02 解析：∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x－a >0，∴x <1a.又f (x )有意义，x >0，∴0<x <1a.答案：(0，1a)3 解析：∵f (x )＝ax ＋b x， ∴f ′(x )＝a －b x2， ∵f ′(x )<0，∴x 2<b a，∴－b a <x <b a . 又x ≠0，∴－b a <x <0或0<x <ba .答案：(－b a ，0)和(0，ba)4解析：∵f (x )＝x 3－px 2＋2m 2－m ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－2px .∵f (x )在(－2,0)上是减函数，∴f ′(x )＝3x 2－2px <0，2p 3<x <0，∴2p3＝－2， ∴p ＝－3，∴p 的集合是{p |p ＝－3}．答案：{p |p ＝－3}5 解析：由于f ′(x )>0，所以函数是增函数，f (b )>f (a )，但由f (a )<0，无法判断f (b )的符号．答案：④ 6 解析：设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，由条件知g (x )是R 上的增函数，所以g (a )>g (b )，即af (a )>bf (b )．答案：①7 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(12，＋∞)；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间(0，12)．由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<12<k ＋1，解得－12<k <32.又(k －1，k＋1)为函数f (x )定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上所述，1≤k <32.答案：1≤k <328 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，所以根据题意知3x 2＋2bx ＋c ≤0的解集是[－1,2]，所以－1,2是一元二次方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，所以－1＋2＝－2b 3，(－1)×2＝c 3，所以b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69 解析：因为f ′(x )＝3x 2－2mx ＝3x (x －23m )，所以根据题意知m <0，x (x －23m )<0的解集是(23m,0)，所以23m ＝－9，即m ＝－272.答案：－27210 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋32x ＋32a ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋32.(1)∵函数f (x )有与x 轴平行的切线，∴f ′(x )＝0有实数解，则Δ＝4a 2－4×3×32≥0，a 2≥92，所以a 的取值范围是(－∞，－322]∪[322，＋∞)．(2)∵f ′(－1)＝0，∴3－2a ＋32＝0，a ＝94，∴f ′(x )＝3x 2＋92x ＋32＝3(x ＋12)(x ＋1)．由f ′(x )>0得x <－1或x >－12；由f ′(x )<0得－1<x <－12.∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和(－12，＋∞)；单调递减区间是(－1，－12)．11 证明：构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，由已知可得F (x )在[a ，b ]上可导，且F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )>0，∴F (x )在[a ，b ]上是单调递增的．∴对任意x ∈[a ，b ]有F (x )≥F (a )． ∵f (a )＝g (a )，∴F (x )＝f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )＝0， ∴f (x )≥g (x )．12 解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2，其中x 1<x 2.当∵1212由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数需x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为[34，＋∞)．当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x 在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增（2）2313--，且23a>解得： 2≥a。

导数讨论含参单调性习题(含详解答案)

m(x + n}f(x) - lnx T g(x) = --------- m > 0)1 •设函数x T .(1)当m= l|时，函数¥訂(刈与¥ =創刈在"1处的切线互相垂直，求n的值；(2)若函数¥“仪卜創对在定义域内不单调，求m-n的取值范围；2a 3K xf(T 他M f(—) < 0(3)是否存在正实数使得x 2a 对任意正实数K恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.2•已知函数fW = (^ + l)lnx-ax + 3f aG R,g(x)是f闵的导函数，*为自然对数的底数.(1)讨论：的单调性；(2)当白X时，证明：寓(3)当白X时，判断函数f凶零点的个数，并说明理由.bf(«) = + ) + blnx3.已知函数x(其中，忆b€R).(1)当b = Y时，若f")在其定义域内为单调函数，求臼的取值范围；(2)当：：八」时，是否存在实数H,使得当’■ ■时，不等式卜心■冷恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由(其中电是自然对数的底数，“ 2一7182旷).4 •已知函数gW = x2 + ln(x + a)|,其中臼为常数.(1)讨论函数•的单调性；S(Xj) +g(x?) x t +x z(2)若或叮存在两个极值点叫*刈，求证：无论实数臼取什么值都有 2 £ 2 .5 .已知函数肛"油盧2)(玄为常数)是实数集"上的奇函数，函数屮“用刈卡商帥是区间Il上的减函数.(1)求的值；(2)若恥；-「：在卜G 及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；Irx ?=x -2e* + m(3)讨论关于丸的方程f⑷的根的个数.6 •已知函数f x ax ln x, F x e x ax，其中x 0, a 0.(1)若f x和F x在区间0,ln3上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；(2) 若a最小值.1,二，且函数g x eax 1 xe 2 ax f x的最小值为M，求M的7.已知函数 f (x) e x m In x .(1)如x1是函数f(x)的极值点，求实数m的值并讨论的单调性 f (x)；(2) 若x x。

导数与函数的单调性(word解析版)

导数与函数的单调性(word解析版) x在区间[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，则函数f(x)在区间[0,2]上的单调递增区间为（）.A。

[0,1] B。

[1,2] C。

[0,2] D。

[0,1]∪[1,2]答案】B解析】根据题意，f(x)在[0,2]上可导，且f(0)=0，f(2)=2，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f'(x)=1+cosx，当x∈[0,2]时，cosx的取值范围是[-1,1]，因此f'(x)的取值范围是[0,2].因此函数f(x)在[0,2]上单调递增，单调递增区间为[1,2]，故选B选项.方法技巧归纳】1.求导数f'(x)，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.2.对于多项式函数一般不超过三次的情况，可以直接利用导数求解其单调性和极值.3.对于含参数的函数，可以先求导数，然后根据参数的取值范围来判断函数的单调性和极值.变式1】【2018江苏高考】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为常数，且f(x)在[0,1]上单调递增，则（）.A。

a>0，b>0，c>0 B。

a>0，b0 C。

a0，c>0 D。

a0答案】C解析】根据题意，f(x)在[0,1]上单调递增，因此可以利用导数求解其单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+2ax+b，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.由于f(x)在[0,1]上单调递增，因此f'(x)在[0,1]上恒大于等于0.又因为f'(x)是一个二次函数，因此其开口向上，当x∈[0,1]时，f'(x)的最小值为0，即当x=0时，f'(x)取到最小值，此时有f'(0)=b.由于f'(x)在[0,1]上恒大于等于0，因此b≥0.又因为f(x)为单调递增函数，因此其二次项系数a>0.又因为f(x)在[0,1]上单调递增，因此f(1)>f(0)，即1+a+b+c>0，因此c>-(1+a+b).综上所述，可得a0，c>0，故选C选项.变式2】【2018山东高考】设函数f(x)=x3+3x2+3x+k，其中k为常数，则f(x)在区间（-∞，0）上单调递（增/减）；在区间（0，+∞）上单调递（增/减）.答案】单调递减，单调递增解析】根据题意，可以利用导数求解函数f(x)的单调性.首先求导数f'(x)，得到f'(x)=3x2+6x，然后根据f'(x)的符号来判断函数f(x)的单调性.当x∈(-∞，0)时，f'(x)的取值范围是[0，+∞)，因此f(x)在(-∞，0)上单调递减；当x∈(0，+∞)时，f'(x)的取值范围是(-∞，0]，因此f(x)在(0，+∞)上单调递增，故选单调递减，单调递增.讨论函数$f(x)=1-x^2e^x$的单调性。

导数单调性练习题

导数单调性练习题题目一：已知函数f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5，求f(x)在定义域上的单调递增区间。

解答一：为了确定函数f(x)在定义域上的单调性，首先需要求出函数f(x)的导数f'(x)。

对于多项式函数来说，求导公式简单而直观。

根据求导的法则，我们可以得到：f'(x) = 3x^2 + 6x - 9接下来，我们需要找出f'(x)的零点，即解方程3x^2 + 6x - 9 = 0。

通过使用配方法或者求根公式，我们可以得到两个解：x1 = (-6 + √60) / 6 ≈ 0.577x2 = (-6 - √60) / 6 ≈ -2.910现在我们可以绘制f'(x)的数轴图，并根据x1和x2的值划分数轴上的区间。

数轴图如下所示：-3 0.577 0------------------------ + +在每个区间内，我们可以选择一个测试点来代入f'(x)的表达式，判断这个区间上的f'(x)的正负情况。

选择合适的测试点后，我们可以用简单的计算获得f'(x)在每个区间上的值。

例如，我们选择-4作为测试点，代入f'(x)的表达式后，可以得到f'(-4) = 39。

这个结果告诉我们在x < -3的区间上，f'(x)为正。

同样地，我们可以选择1作为测试点，代入后得到f'(1) = 0，表明在-3 < x <0.577的区间上，f'(x)为负。

最后，选择2作为测试点，代入后得到f'(2) = 15，表明在x > 0.577的区间上，f'(x)为正。

综上所述，f'(x)在定义域上的正负情况为：负正正。

根据导数的定义，我们可以知道在f(x)的定义域上，f(x)在x < -3和x > 0.577的区间上为单调递增。

题目二：已知函数g(x) = -2x^3 + 6x^2 - 5x，求g(x)在定义域上的单调递减区间。