c2s2_f静电场的唯一性定理
边值问题和唯一性定理(静电场)
静电场的边值问题
静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题
电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并 且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问 题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再 计算场中各点的电场强度和电位移矢量。 电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于 电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢 量的分布必然也具有对称性。在这种情况下， 可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后 再求电场强度。 已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情 况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体 上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出
实际中对于很多电磁场的问题通常并不 知道电荷分布，如静电场中导体表面的 感应电荷分布，介质极化后极化电荷的 分布等。对于此类的问题，必须通过求 解满足给定边界条件的电位微分方程 （泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函 数，进而再求场域中的电场强度。我们 把这种在给定边界条件下，求解泊松方 程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。
对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位 满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷 体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位 及电场。（同例2-4） 解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式
chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以 猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其 正确性 c)如果我们针对这类边值问题， 找到一个试探的解， 但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件， 包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的 边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系， 如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一 开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足 的微分方程） ， 然后根据边值关系， 来确定这些系 数。 2、有导体存在时的唯一性定理 对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量， 通常求解这类问题时不 可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。 因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以 根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两 类问题： 第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；
b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定， 则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完 备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化 成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：
关于静电场唯一性定理的讨论
关于静电场唯一性定理的讨论
静电场唯一性定理是物理学中一个重要的定理，它规定了一个静电场的特性，即在一个静电场中，任意一点的电场强度只能由一个确定的值确定。
它是由德国物理学家卡尔·冯·诺依曼提
出的，他在1914年的一篇论文中提出了这一定理。
该定理表明，在一个静电场中，任何一点的电场强度都可以由一个唯一的值来确定，这个唯一的值是由该点的电荷量和距离决定的。
这意味着，在一个静电场中，任何一点的电场强度都是可以由一个唯一的值来确定的，而不会受到其他因素的影响。
该定理在现代物理学中得到了广泛的应用，它可以用来解释电磁学中的许多现象，也可以用来描述物理系统中的电场分布。
此外，它还可以用来解释电磁辐射的传播机制，以及电路中的电流分布情况。
§26 静电场边值问题 唯一性定理
2
2
x 2
2
y 2
0
（阴影区域）
( xb,0 yb及yb,0xb) U0
图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 x2 y2 a2 ,x0, y0
x
0 ( x0,b ya)
y
0 ( y 0,b xa )
图 2.6.5 体电荷分布的球形域电场
积分得通解
1(r)
r2 6 0
C1
1 r
C2
2 (r)
C3 r
C4
边界条件
1 ra 2 ra
1 r0 有 限 值
0
1
r
ra
0
2
r
ra
2 r 0 参考点电位
解得 电位：
C1 0 C4 0
对场域求体积分,并利用高斯散度定理
(uu)dV uu dS (u)2dV
V
s
V
S为体积V的边界面,即S S0 S,S S1 S2 Sn , 由于在无穷远S0处电位为零,因此有
图2.6.6 证明唯一性定理用图
uu dS uu dS (u)2 dV
C3
a2 2 0
,
C2
a3 3 0
1(r)
6 0
(3a 2
r2)
2 (r)
a3 3 0 r
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r )
1
1
r
er
r 3 0
er
静电场边值问题唯一性定理
场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。
静电唯一性定理
静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。
这就是静电唯一性定理。
下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。
在由边界面s 包围的求解区域V 内，若：1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数s n ϕ∂∂， 则V 内的电势唯一确定。
以上的表述就是静电唯一性定理。
下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。
证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(x )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数s n ϕ∂∂)。
即： 2212,ρρϕϕεε∇=-∇=- 并有12s s s ϕϕϕ==或12ss s n n n ϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂ 式中s ϕ和sn ϕ∂∂为给定的边界条件。
令φ = φ1 – φ2，则在区域V 内各点： 2212()0φϕϕ∇=∇-= (2-2-1)及在边界s 上各点：120s s s φϕϕ=-= (2-2-2)或120s s sn n n ϕϕφ∂∂∂=-=∂∂∂ (2-2-3) 利用公式22d d ()d V V sV V φφφφφ∇+∇=∇⎰⎰⎰s 将式(2-2-1)带入上式得：2d ()d d V ss V s n φφφφφ∇=∇∂=∂⎰⎰⎰s (2-2-4)若在边界s 上各点无论是给定了电势或给定了电势法向偏导数均有：2d 0V V φ∇=⎰ (2-2-5)因|∇φ|2 ≥ 0，满足上式的条件只能是在求解区域V 内各点∇φ = 0。
因此，φ1 - φ2= 常数如果在边界上（或部分边界上）给定了电势φ|s ，则因φ1|s = φ2|s ，此常数为零；若全部边界条件给出的不是电势，而是(∂φ/∂n )|s ，此常数不一定为零。
但由式E = -∇φ，区域V 内的电场唯一确定，一个常数并不改变电场的基本特性，通常为了方便，此常数可选择为零。
关于静电场的唯一性定理
关于静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理被称为静电学中的一颗明珠。
说说静电场唯一性定理的重大意义。
静电场的唯一性定理是以库仑定律为基础推导出来的一个极为重要和有用的定理，它是静电学中极有品位和令人赞叹的定理。
静电场的唯一性定理有许多种表述。
其中一种常见的表述是：若区域V 内给定电介质分布和自由电荷分布()r ρ ，在V 的边界面S 上给定电位S ϕ或者电位的法向空间变化率Sn ϕ∂∂，若区域内有导体存在，如果还给定各导体的电位或者各导体所带的自由电量，则V 内的静电场就唯一地确定了。
静电场的唯一性定理表明，一定的空间区域外界的电荷对该区域内静电场的影响，完全体现在该区域的边界面上。
只要一定的空间区域内的电介质的分布和自由电荷的分布给定了，同时该区域边界面上的电位或者电位沿边界面的法线方向的空间变化率的分布给定了，那么不论外界的电荷分布怎样改变，该区域内的静电场都是唯一确定的。
因此，静电场的唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度以及设计静电场指明了方向。
（镜像法就是建立在唯一性定理的基础之上的。
）更重要的是它具有十分重要的实用价值。
无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、边值关系和给定的边界条件，则该解就是唯一的正确解。
因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足泊松方程、边值关系和边界条件。
满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
如果有人精于设计和求解静电场，那么他已经是一个有名望的专家学者了，并且享有丰厚的报酬。
因此，虽然静电学是电磁场理论中相对比较简单的一门学问，请同学也不要小看它。
一个外行人，有谁会相信上述有名望的专家学者的工作基础就是高中生都明白的库仑定律呢？大理大学工程学院教授罗凌霄2020年3月20日。
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。
它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。
在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。
静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。
他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。
根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。
结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。
当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。
除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。
由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。
总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。
通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。
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静电场的唯一性定理_工程电磁场_[共5页]
![静电场的唯一性定理_工程电磁场_[共5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/c5edc5c8fc4ffe473268ab5b.png)
（2-8-12） （2-8-13）
讨论的是同一个体系，必有： ∇ ⋅ D ' = ∇ ⋅ D '' = ρ
则式（2-8-13）第一项为零，得 ∇ ⋅ Z (r) = −(E '− E '') ⋅ (D '− D '')
对上式两边积分
∫∫∫ ∇ ⋅ Z(r)dV = −∫∫∫ (E '− E '') ⋅ (D '− D '')dV
分布在有限区域的无界电场问题，在无限远处（ r → ∞ ）应有
lim[rϕ] = 有限值
r→∞
（2-8-9）
这表明 rϕ 在无限远处是有界的，即电位 ϕ 在无限远处取值为零 ϕ r→∞ = 0 。 当场域中存在多种介质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边
界条件。
2.8.3 静电场的唯一性定理
（2-8-10）
构造如下的函数：
Z (r) = (ϕ '− ϕ '')(D '− D '')
（2-8-11）
在给定边界所包围的体积内对上式进行体积分，并利用散度定理得
∫∫∫ ∇ ⋅ Z(r)dV= ∫∫∫ ∇ ⋅[(ϕ '− ϕ '')(D '− D '')]dV
V
V
利用矢量恒等式 ∇ ⋅ (ϕ A) = ∇ϕ ⋅ A + ϕ∇ ⋅ A ，则 ∇ ⋅ Z (r=) (ϕ '− ϕ '')(∇ ⋅ D '− ∇ ⋅ D '') +(∇ϕ '− ∇ϕ '') ⋅ (D '− D '')
关于静电场中唯一性定理的证明
关于静电场中唯一性定理的证明
静电场中唯一性定理：满足静电场的**Maxwell方程组的唯一解，取决于指定的边界条件而不受初始条件的约束。
为了证明该定理，我们首先考虑Maxwell方程组：
$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
可以看出，这套方程是由边界条件决定的，其解也是由边界条件决定的。
为证明唯一性定理，我们使用变分法从而得出以下**Euler-Lagrange方程组：
$\frac{\partial L}{\partial \vec{E}}-\frac{\partial}{\partial
\vec{x}}\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial\vec{E}}{\partial
x})}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial\frac{\partial
\vec{E}}{\partial t}}=0$
其中，$L$表示Lagrange函数，它是由Maxwell方程组构成的。
由此，我们可以得出雅可比方程：
这组方程有两个基本性质，一是称为“唯一性原理”，一是称为“不变性定理”。
不变性定理：对于给定的满足Maxwell方程组的特定边界条件，解不会随着时间变化而变化。
这两个定理说明，解是唯一的，而且不受初始条件的限制，而只受边界条件的约束。
因此，以上证明了静电场中唯一性定理。
静电场边值问题的唯一性定理共21页文档
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
静电场边值问题的唯一性定 理
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
静电场中的唯一性定理
静电场中的唯一性定理作者：张清郑赣鸿戴振翔等来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2014年第13期张清，郑赣鸿，戴振翔，马永青（安徽大学物理与材料科学学院，安徽合肥 230039）摘要：唯一性定理是解决静电磁场问题的重要理论依据，应用构造恰当函数的技巧和一些数学运算，从给定的边界条件出发，本文给出了静电场唯一性定理的证明，最后给出了唯一性定理关于静电场实际问题的应用举例.关键词：电动力学；唯一性定定理；边界条件中图分类号：O441.1 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2014）07-0021-02静电场中的唯一性定理是电动力学中的重要定理，在郭硕鸿的《电动力学》已经给出非常清晰的证明.但是还是有必要对静电场的唯一性定理给出一个统一的系统证明，为解决静场问题提供理论依据.本文从边界条件出发，论证了唯一性定理的内在逻辑的合理性，最后给出实例，深化了对唯一性定理的认识.1 静电场边界条件对于介质表面，用下标i和j表示界面两侧，n表示界面法线方向的单位矢量，从i侧指向j侧.?滓0表示自由电荷面密度.则：综合以上两种情形，在给定的边界条件下，满足泊松方程及边值关系的电场唯一确定.3 结论从静场的角度论证电动力学中的唯一性定理已完成.在时变电场中论证唯一性定理和在运动的参考系下即相对论情形下论证电磁张量的特定给定的边界条件下的唯一性定理是今后进一步的研究工作.参考文献：〔1〕蔡圣善，朱耘.经典电动力学[M].上海：复旦大学出版社，1985.120-210.〔2〕赵凯华，陈熙谋.电磁学上册[M].北京：高等教育出版社，1985.213-219.〔3〕胡友秋，程福臻.电磁学与电动力学上册[M].北京：科学出版社，2008.30-85.〔4〕张玉民，戚伯云.电磁学[M].北京：科学出版社2007.213-241.〔5〕郭硕鸿.电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008.37-90.〔6〕林璇英，张之翔.电动力学题解[M].北京：科学出版社，2007.99-263.〔7〕梁昌洪，褚庆昕.运动边界的电磁场边界条件[J].物理学报，2002,51(10)：2201-2204(10).〔8〕雷银照，徐纪安.时变电磁场唯一性定理的完整表述[J].电工技术报，2000,15(1)：16-20.〔9〕胡森.静磁场矢势A的唯一性定理及其证明[J].湖北第二师范学院学报，2008,25(2)：31-32.〔10〕张福恒.静电唯一性定理的意义与应用[J].海南师范大学学报，2008,21(2)：161-166.〔11〕张国文，王福谦.在电磁学中讲授静电场的唯一性定理[J].长治学院学报，2005,22(2)：45-47.〔12〕邵建军.论电磁势的唯一性（非动力物理效应）与相对论[J].湖北教育学院学报，2002,19(2)：22-26.。
静电场的唯一性定理及其应用(精)
11
第二种情形：设封闭导体壳的内 表面为S2，对于壳内区域而言它是 一个边界面。首先，S2是一个等位 面。其次，如在壳内紧贴S2作一高 斯面S，则有
S n dS q1
（电位移矢量 D 的通量为q1）
以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅 决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯 一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可 以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外 电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。
平行双电轴法
26
A DnA A DnA
14
q
q
E
§2-2 平 行 双 电 轴 法
一、平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行 平面场，在垂直于电轴的各个平 面上，场有完全相同的分布图形 设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴 所带有的电荷线密度分别为 ,
E
由高斯定理可得两电轴分别产 生的电场强度表达式为
2
2
平行双电轴法
18
可知： 1) 若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作
出以x0为圆心R0为半径的等位圆。
2) 若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等 位圆圆心所在处x0的等位圆。 3) 若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在 的位置，亦即推求出距离D
平行双电，给定各导 体表面的电荷量，此时由边值问 题所解得的电位函数，仅相差一 无关紧要的常数，而电位的梯度 E是唯一的。
3、若给定某些导体表面的电 位值，及其它导体表面(导体 表面为等位面)的电荷量，此 时由边值问题所解得的电位函 数为唯一。
静电场的唯一性定理
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ (a=1, b=-1) 对应
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要
论证分三步：引理——叠加原理——证明
极大
几个引理
极小
引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则
若有极小，同样证明
引理二：若所有导体的电势 即意味着空间
为0，则导体以外空间的电
电势有极大值， 违背引理一
若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
引理二 ( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解。该类问 题称为称为静电场的边值问题。
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是指：在相同的静电场中，对任意一点，总的电场强度和电场的方向唯一确定，其相应的力场强度和力场方向也唯一确定。
一、定理内容
1、静电场唯一性定理指出：在同一个静电场中，总的电场强度以及它的方向，是唯一确定的。
2、电场强度和方向唯一确定，则相应的力场方向及强度也唯一确定。
3、对于任何一点，在同一个静电场中，电场强度和力场强度（方向）都是唯一确定的，而不用管附近是否有其它电荷存在。
二、定理的严谨性
静电场唯一性定理可以从两个层面上来说明它的严谨性：
1、在相同静电场中，总电场强度和电场方向是唯一确定的，这样在相同的静电场中，不管电荷位置以及大小如何变化，都会得到相同的电场结果。
2、只要电荷总量不变，就可以确定电场强度，而不用考虑附近有没有
其它电荷的存在，所以，电场的强度和方向都是唯一确定的。
三、定理的应用
1、用来研究静电场：静电场唯一性定理是用来研究电场的重要定理，
可以用来评估复杂的电场结构，也可以用来求解各类电力学问题，如：电场及电动势分布，电容电感等问题。
2、在分析电场结构时有重要作用：静电场唯一性定理在分析电场结构
时有重要作用，它可以把电场潜力和电场强度根据电荷分布范围与数量，用一种抽象的模型来简化整个计算过程，以达到某种理想的数值
结果。
3、研究电场特性时也有用：静电场唯一性定理也用在研究电场特性时，由于电场强度和方向都是唯一确定的，所以，在研究电场物理学时，
可以从多种不同的角度出发，以简化分析，缩小计算空间，这样可以
得出更加准确的结果。
第二章第二节 唯一性定理
ϕi ' = ϕ j '
∂ϕ j ' ∂ϕ i ' εi =εj ∂n ∂n
ϕi ' ' = ϕ j ' '
∂ϕ j ' ' ∂ϕ i ' ' εi =εj ∂n ∂n
Vj
因此，在介质分界面上， 因此，在介质分界面上，ϕ也满足
Vi
ϕi = ϕ j
∂ϕ j ∂ϕ i εi =εj ∂n ∂n
——（2.5）
运用唯一性定理讨论几个问题
例一： 例一：有一个中性的导体球壳 A，在此球壳内放 置一带电体 M，其荷电为 Q。证明： 1) 球壳外的电场只与 Q有关， 与 M在球壳内的位置无关； 2) 球壳 A的外表面上的电荷为 均匀分布，与 M在球壳内的 位置无关。
S
M
证明： 证明： 所研究的区域为球壳外的区域， 其界面为 S∞ 和 S 。 边界 S∞ 上的电势为零； 而对于界面S，由于感应使得 S的内表面的电量为 -Q，则界面 S上的总电量为 +Q，这一结论不 论M在球壳内何处，只要在球壳 内即成立。
∫
Si
ϕ∇ϕ ⋅ dS = −ϕ i ∫ ∇ϕ ⋅ dS
Si
V V’
=0
而对于外边界面 S，根据（2.13） 外边界面 可知，
i
Si
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
S
n S
对于区域 V 的外表面 S
ϕ S = 0 或者 ∂ϕ ∂n S = 0 ——（2.13）
V
因此，对 V’ 的整个界面
V’
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
2 i Vi i
Vj
但是被积函数始终满足
Vi
静电场唯一性定理
王向斌 静电场唯一性定理的部分内容表述
若真空区域所有边界面的条件确定了,则该真空区域的静电场 就唯一确定了. 根据此定理,不论真空区域以外(含边界)的电荷分布如何变化, 只要边界条件维持不变,则真空区域电场维持不变. (但是区域 以外的电场可能会发生变化.) 换言之,不论真空区域以外的实 际点荷分布如何,我们可以在真空区域之外构造一种简单的电 荷分布,只要它能够满足给定的真空区域边界面条件,我们就可 以按这种人为构造的电荷分布计算真空区域内的电场. (但不能 用此法计算真空区域以外的电场.) 根据此定理,只要找到一个电势函数, 能满足区域真空条件和 边界条件的要求,则真空区域内的电场可由该函数算出. (真空区域以外的电场不可以.)
思考题: 上述封闭面S在引理和定理中,是否必需是导体面? 还是任何满足面上电势要求的数学面都可以? 思考题: 在哪里用到或者隐含用到了势函数满足区域真空条件?
应用
静电屏蔽,电像法, 其他计算问题 思考题: 电像法中,像电荷为什么必需在真空区域以外? 思考题: 课本的电像法例题中,利用了唯一性定理.究竟是怎样与 唯一性定理的边界条件一一对应的? 即,接地的无限大金属板以及 题中的点电荷应该理解成唯一性定理的哪一个边界面?
引理2: 引理1中,若封闭面S是带电量为0的等势面,结论依然成立.
唯一性定理的部分内容的证明
条件: 静电场情况; 封闭面S, 该面电势函数确定;S面内部最多有3类区域: 真空区域, 电势确定的的导体区域,和带电量确定的导体区域.
依据唯一性定理, 上述真空区域的电场唯一确定. 思路: 真空区域若有两个势函数,函数1和函数2都满足边界条件 和区域真空条件, 把这两个势函数之差看成第三个势函数,由于 每个势函数边界条件都一样, 第三个势函数的边界条件必然是 引理1中的边界条件,因而第三个势函数在真空区域是等势区域, 此即说明函数1和函数2在真空区域最多只相差一个常数,因此给 出相同的电场. 思考题: 为什么两个电势函数之差这样一个数学函数一定可以 看成一个电势函数?
静电场的唯一性定理
静电场若干关系
电场的若干关系
U 2 0
当 0
U 2 0
E U
（1）
Laplace equation
静电场若干关系
对静电场E
Ò
Eds
2Udv
如果
E F
则有
E F E • gradΒιβλιοθήκη 静电场若干关系 Green函数
当E为一数函数之梯度
E grad
由Gauss定理有
grad 2 •
静电场边界条件的唯一性定理
魏国华
0710261
南开大学物理学院
2008年6月
静电场边界条件的唯一性定理
所谓唯一性定理，就是在一个空间内，导体的 带电量或者电势给定以后，空间电场分布恒定、 唯一。边界条件可以是各导体电势，各导体电 量或部分导体电量与部分导体电势之混合，这 样根据高斯公式，泊松方程、拉普拉斯方程可 证明空间电场分布。
Ò grad • ds (2 • )dv
s
v
Ò grad • ds (2 • )dv
s
v
静电场边界条件定理1
因此
(2 2)dv
v
( grad grad) • ds s
静电场边界条件定理1
定理一： 有函数U满足（1）且满足空间边界面S上
所确定的U值，则该函数唯一。 证：若有U1，U2都 满足，则在S面上，
y
A
r a 1•
r
OO c
b
B•
x
一球接地，半径a,球外距球心b 处有电荷e，求球外电势之分布
唯一性定理之应用2
易知电势分布关于OB对称，如图，
只需求X-Y面,再将y 2变y 2 z 2即可
设C c,0 是(b, 0)的像点，其关系
关于静电场中唯一性定理的证明
关于静电场中唯一性定理的证明
漆新民
【期刊名称】《物理与工程》
【年(卷),期】1993(000)001
【摘要】静电场中唯一性定理的证明一般都采用反证法,但出发点有所不同.有的利用格林公式,但大多数证明是首先人为构造一个函数,然后作面积分或体积分来证明.本文对唯一性定理的证明虽仍采用反证法,但从计算电势的差值解Φ=Φ′—Φ″所描述的静电场的能量 W_e 出发作推证,给出了较清晰的物理概念和较明确的物理意义,有利于教学.
【总页数】3页(P23-25)
【作者】漆新民
【作者单位】江汉石油学院
【正文语种】中文
【中图分类】O4
【相关文献】
1.静电场中的唯一性定理 [J], 张清;郑赣鸿;戴振翔;马永青
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狄 条
诺 条
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件：
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件： ★ 是否仅对单一的均匀介质成立？
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件： ★ 是否仅对单一的均匀介质成立？ 区域V 中可以包含多 多个 分区，每个分区中可充满着均匀的介质。
第二节
静电场的唯一性定理
★ 哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据； ★ 对于提出尝试解，如果满足唯一性定理所要求的条件，确定其为该问题的唯一 正确的解； ★ 静电场求解方法的基础。
静 荷 的
§ 2.1
唯一性定理的表述
【 唯 一 性 定 理 】 设区域V 内给定自由电荷分布ρ(x)，在V 的边界S 上给定 (i) 电势ϕ|S
★ 哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据； ★ 对于提出尝试解，如果满足唯一性定理所要求的条件，确定其为该问题的唯一 正确的解； ★ 静电场求解方法的基础。
静 荷 的
第二节
静电场的唯一性定理
★ 哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据； ★ 对于提出尝试解，如果满足唯一性定理所要求的条件，确定其为该问题的唯一 正确的解； ★ 静电场求解方法的基础。
§ 2.3
唯一性定理的证明
【 已 知 】 设给定区域V 中可以分为若干个区域Vi ，每一均匀区域的电容率为εi ， 且V 内有给定的电荷分布ρ(x)。电势ϕ在均匀区域Vi 内满足泊松方程 ∇2 ϕ = − 在两区域Vi 和Vj 的分界面上满足边值关系 ϕi = ϕj 且 εi ( ∂ϕ ∂ϕ )i = εj ( )j ∂n ∂n ρ εi
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件： ★ 是否仅对单一的均匀介质成立？ 区域V 中可以包含多 多个 分区，每个分区中可充满着均匀的介质。 ★ 何谓均 均匀介质？是否所有的均匀介质均能满足唯一性定理？ 宏观介电性质不随空间变化的介质可称之为均匀介质；不一定非得是线性的介 质，但铁电介质是不满足的。 ★ 给定什么样的边界条件能唯一确定电场？是否还有类似的边界条件？ 上述条件均要求为闭 闭合边界；混合边界条件也满足要求。
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件： ★ 是否仅对单一的均匀介质成立？ 区域V 中可以包含多 多个 分区，每个分区中可充满着均匀的介质。 ★ 何谓均 均匀介质？是否所有的均匀介质均能满足唯一性定理？ 宏观介电性质不随空间变化的介质可称之为均匀介质；不一定非得是线性的介 质，但铁电介质是不满足的。 ★ 给定什么样的边界条件能唯一确定电场？是否还有类似的边界条件？
在区域V 的闭 闭合边界S 上给定ϕ|S 或 ∂ϕ | 。 ∂n S 【 求 证 】 满足上述条件的电势分布ϕ是唯一的。
§ 2.3
唯一性定理的证明
【 已 知 】 设给定区域V 中可以分为若干个区域Vi ，每一均匀区域的电容率为εi ， 且V 内有给定的电荷分布ρ(x)。电势ϕ在均匀区域Vi 内满足泊松方程 ∇2 ϕ = − 在两区域Vi 和Vj 的分界面上满足边值关系 ϕi = ϕj 且 εi ( ∂ϕ ∂ϕ )i = εj ( )j ∂n ∂n ρ εi
∇2 ϕ = 0
唯一性定理的证明（续一）
ρ ρ 则由∇2 ϕ = − ε 、∇2 ϕ = − ε ，得每个均匀区Vi 内： i i
∇2 ϕ = 0 ★ 在两均匀区界面上有： ϕi = ϕj εi ( ∂ϕ ∂ϕ )i = εj ( ห้องสมุดไป่ตู้j ∂n ∂n
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件： ★ 是否仅对单一的均匀介质成立？ 区域V 中可以包含多 多个 分区，每个分区中可充满着均匀的介质。 ★ 何谓均 均匀介质？是否所有的均匀介质均能满足唯一性定理？ 宏观介电性质不随空间变化的介质可称之为均匀介质；不一定非得是线性的介 质，但铁电介质是不满足的。 ★ 给定什么样的边界条件能唯一确定电场？是否还有类似的边界条件？ 上述条件均要求为闭 闭合边界；混合边界条件也满足要求。 ★ Neumann边界条件采用的是电势法 法向导数。试问用切向分量行不行？ 不行。直观想象：导体围成的空间，电势切向分量均为零；电势分布需要给定 面电荷；
§ 2.3
唯一性定理的证明
§ 2.3
唯一性定理的证明
【 已 知 】 设给定区域V 中可以分为若干个区域Vi ，每一均匀区域的电容率为εi ， 且V 内有给定的电荷分布ρ(x)。电势ϕ在均匀区域Vi 内满足泊松方程 ∇2 ϕ = − ρ εi
§ 2.3
唯一性定理的证明
【 已 知 】 设给定区域V 中可以分为若干个区域Vi ，每一均匀区域的电容率为εi ， 且V 内有给定的电荷分布ρ(x)。电势ϕ在均匀区域Vi 内满足泊松方程 ∇2 ϕ = − 在两区域Vi 和Vj 的分界面上满足边值关系 ϕi = ϕj ρ εi
在区域V 的闭 闭合边界S 上给定ϕ|S 或 ∂ϕ | 。 ∂n S 【 求 证 】 满足上述条件的电势分布ϕ是唯一的。 【 证 明 】 设有两组不同的解ϕ 和ϕ 满足唯一性定理的条件，令
§ 2.3
唯一性定理的证明
【 已 知 】 设给定区域V 中可以分为若干个区域Vi ，每一均匀区域的电容率为εi ， 且V 内有给定的电荷分布ρ(x)。电势ϕ在均匀区域Vi 内满足泊松方程 ∇2 ϕ = − 在两区域Vi 和Vj 的分界面上满足边值关系 ϕi = ϕj 且 εi ( ∂ϕ ∂ϕ )i = εj ( )j ∂n ∂n ρ εi
§ 2.3
唯一性定理的证明
【 已 知 】 设给定区域V 中可以分为若干个区域Vi ，每一均匀区域的电容率为εi ， 且V 内有给定的电荷分布ρ(x)。电势ϕ在均匀区域Vi 内满足泊松方程 ∇2 ϕ = − 在两区域Vi 和Vj 的分界面上满足边值关系 ϕi = ϕj 且 εi ( ∂ϕ ∂ϕ )i = εj ( )j ∂n ∂n ρ εi
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件： ★ 是否仅对单一的均匀介质成立？ 区域V 中可以包含多 多个 分区，每个分区中可充满着均匀的介质。 ★ 何谓均 均匀介质？是否所有的均匀介质均能满足唯一性定理？ 宏观介电性质不随空间变化的介质可称之为均匀介质；不一定非得是线性的介 质，但铁电介质是不满足的。 ★ 给定什么样的边界条件能唯一确定电场？是否还有类似的边界条件？ 上述条件均要求为闭 闭合边界；混合边界条件也满足要求。 ★ Neumann边界条件采用的是电势法 法向导数。试问用切向分量行不行？
在区域V 的闭 闭合边界S 上给定ϕ|S 或 ∂ϕ | 。 ∂n S 【 求 证 】 满足上述条件的电势分布ϕ是唯一的。 【 证 明 】 设有两组不同的解ϕ 和ϕ 满足唯一性定理的条件，令 ϕ=ϕ −ϕ
唯一性定理的证明（续一）
唯一性定理的证明（续一）
ρ ρ 则由∇2 ϕ = − ε 、∇2 ϕ = − ε ，得每个均匀区Vi 内： i i
静 荷 的
§ 2.1
唯一性定理的表述
第二节
静电场的唯一性定理
★ 哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据； ★ 对于提出尝试解，如果满足唯一性定理所要求的条件，确定其为该问题的唯一 正确的解； ★ 静电场求解方法的基础。
静 荷 的
§ 2.1
唯一性定理的表述
【 唯 一 性 定 理 】 设区域V 内给定自由电荷分布ρ(x)，在V 的边界S 上给定
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件： ★ 是否仅对单一的均匀介质成立？ 区域V 中可以包含多 多个 分区，每个分区中可充满着均匀的介质。 ★ 何谓均 均匀介质？是否所有的均匀介质均能满足唯一性定理？
§ 2.2
关于唯一性定理的讨论
唯一性定理的适用条件： ★ 是否仅对单一的均匀介质成立？ 区域V 中可以包含多 多个 分区，每个分区中可充满着均匀的介质。 ★ 何谓均 均匀介质？是否所有的均匀介质均能满足唯一性定理？ 宏观介电性质不随空间变化的介质可称之为均匀介质；不一定非得是线性的介 质，但铁电介质是不满足的。
第二节
静电场的唯一性定理
第二节
静电场的唯一性定理
★ 哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据；
第二节
静电场的唯一性定理
★ 哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据； ★ 对于提出尝试解，如果满足唯一性定理所要求的条件，确定其为该问题的唯一 正确的解；
第二节
静电场的唯一性定理
狄 条
第二节
静电场的唯一性定理
★ 哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据； ★ 对于提出尝试解，如果满足唯一性定理所要求的条件，确定其为该问题的唯一 正确的解； ★ 静电场求解方法的基础。
静 荷 的
§ 2.1
唯一性定理的表述
【 唯 一 性 定 理 】 设区域V 内给定自由电荷分布ρ(x)，在V 的边界S 上给定 (i) 电势ϕ|S 或 | (ii) 电势的法向导数 ∂ϕ ∂n S
狄 条
第二节
静电场的唯一性定理
★ 哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据； ★ 对于提出尝试解，如果满足唯一性定理所要求的条件，确定其为该问题的唯一 正确的解； ★ 静电场求解方法的基础。
静 荷 的
§ 2.1
唯一性定理的表述
【 唯 一 性 定 理 】 设区域V 内给定自由电荷分布ρ(x)，在V 的边界S 上给定 (i) 电势ϕ|S 或 | (ii) 电势的法向导数 ∂ϕ ∂n S 则V 内的电场唯一地确定。
在区域V 的闭 闭合边界S 上给定ϕ|S 或 ∂ϕ | 。 ∂n S