江苏大学-常微分方程-3-7 - 一阶线性方程与常数变易法

2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equation

and constant variation formula )

[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.

[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.

[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]

1. 熟练运用常数变易公式;

2. 知道

⎰

dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学

一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.

1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dx

dy

=的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如

q(x)y p(x)dx

dy

+=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写

y p(x)dx

dy

=为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===⎰⎰⎰，其中⎰dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dx

dy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~

,e C ~y =⎰±=，此外y=0也是解. 综上，

y p(x)dx

dy =的解为C ,e C y p(x)dx

⎰=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求

q(x)y p(x)dx

dy

+=的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ⎰=p(x)dx

e

C(x)y ，则代入原方程来确定C(x)，

q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dx

dy p(x)dx

p(x)dx p(x)dx +⎰=⎰+⎰=， 即q(x)e

(x)' C p(x)dx

=⎰，C q(x)dx e

C(x) q(x), e

(x)' C p(x)dx

-p(x)dx

+⎰

=⎰

=⎰-，此处C 为

任意常数,

⎰

⎰

q(x)dx e

p(x)dx

-为函数q(x)e

p(x)dx

-⎰

一个原函数.

综上，一阶线性非齐次方程的通解为

⎰

⎰⎰

⎰+⎰=+⎰

⋅⎰=q(x)dx e

e

Ce

C)q(x)dx e

(e

y(x)p(x)dx

-p(x)dx

p(x)dx

p(x)dx

-p(x)dx

.

2. 一些实际应用例子（Applications ） 例28. 电容器的充电和放电模型

RC 电路：假定开始电容C 上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E 对电容C 开始充电，电池电压为E ，电阻阻值为R ，电容C 两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容C 两端电压随时间变化的规律.

解：设U(t)表示在时刻t 时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=U C ，电流I =

dt

dU C dt dQ =, 电阻两端电压为R I=dt dU

R . 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.

即有0dt dU RC U E =--. 改写为 RC E

U RC 1dt dU +⋅-=，这是一个一阶线性非齐次方程. 记RC

E q(t) ,RC 1p(t)=-=, 由常数变易公式得到， C

~

e E )C ~(Ee e )C ~dt RC

E e (e )C ~q(t)dt e

(e

U(t)RC t

RC t RC t RC t RC t p(t)dt

p(t)dt

----+=+=+=+⎰

⎰=⎰⎰再注意到初始条件U(0)=0，-E C ~

0,C ~e Ee U(0)0

0==+=，因此，RC t

Ee E U(t)--=.

例29. 考察如下RL 电路图，设电源E 的电压为0 U sin wt,U E m m >=为常数，求电感线圈上电流I 随时间的变化规律，设t=0时，I=0.

解：设I(t)表示时刻t 时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为dt

dI L . 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 0dt

dI

L I R E =--. 改写为sin wt U L

1L I R dt dI

m +-=, 这是一个一阶线性非齐次方程. 记wt sin L U

q(t) ,L R p(t)m =-=, 由常数变易公式得到，

)C ~

dt sin wt L

U e (e )C ~q(t)dt e

(e

I(t)m L Rt

L Rt p(t)dt

p(t)dt

⎰⎰+=+⎰

⎰=--

.

b a bt cos b bt sin a e bt))isin bt (cos e b a ib)(a Im()e ib a 1Im()dt e Im(dt )Im(e e dt bt sin e 2

2at a 2

2ib)t

(a ib)t (a ibt at at +-=+⋅+-=+===++⎰⎰⎰2

2t L

R m L

Rt

m m L

Rt w (R/L) wt)cos w sin wt L R

(

e L

U dt sin wt e L

U

dt sin wt L U e

+-=

=⎰

⎰

令2

2

2

2

w

(R/L)w φsin ,w

(R/L)R/L φ cos +-=

+=

，

于是由B sin A cos B cos A sin B)sin(A +=+知，

2

2t L

R m

m L

Rt w (R/L)φ)sin(wt e L U dt sin wt L U e

++=⎰，于是L Rt

2

2m e C ~w (R/L)φ)sin(wt L

U I(t)-

+++=.

再注意到初始条件I(0)=0，

2

2

m

002

2m w

(R/L)φsin L U C ~

0,C ~e e w (R/L)φsin L

U I(0)+-==++=

，因此，

t L

R 2

2

m

2

2m

e

w

(R/L)sin(φL U

w (R/L)φ)sin(wt L

U

I(t)-

+-++=).

练习23. (1) 求

dt bt cos e at ⎰

； (2) 改写 t cos b sin t a +为

θ)sin(t b

a 12

2

++，给出θ所

满足的条件. (3) 由 Euler 公式b sin i b cos e ib

+=和R b a, ,e e e b)

i(a b i a i ∈=⋅+推导出:

b asin sin b cos a cos b)cos(a b,sin a cos b cos a sin b)sin(a -=++=+和