江苏大学-常微分方程-3-7 - 一阶线性方程与常数变易法
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常微分方程的常数变易法及其应用[摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential EquationAbstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationKeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient一、关于常数变易法 []4常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的c 变换为函数()x c ,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。
二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用[]75.3，一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dxdy+= （1） 它所对应的齐次方程为y x P dxdy)(= （2） y x P dxdy)(=是变量分离方程，它的通解为 ⎰=dxx p ce y )( （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。
方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的c 恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，c 不再是常数，将是()x c 的待定函数，为此令()()P x dxy c x e ⎰= （4）两边积分得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ 将（4）．（5）代入（1），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx⎰⎰⎰+=+ （5）即()()()P x dx dc x Q x e dx-⎰= 两边积分得()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（6）这里c 是任意的常数，将()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e ⎰=得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰这就是方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数.解 将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++ （7）先求对应齐次方程01dy ny dx x -=+的通解，得 (1)n y c x =+ 令()(1)n y c x x =+ （8） 微分得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代入（8）中，即得原方程的通解(1)()n x y x e c =++ 这里c 是任意的常数例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （10） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （11） 令2()x c y y =，于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（10），得到()ln c y y c =-+ 从而原方程的通解为2(ln )x y c y =- 这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 初值问题为了求初值问题00()()()dyP x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 ⎰=xx d p e x c y 0)()(ττ （12）代入（1）化简得.0()()()xx p d c x Q x e ττ-⎰'=积分得⎰+⎰=-x x d p c ds es Q x c sx 00)()()(ττ代入（12）得到⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q ece y sx xx xx 000)()()()(ττττττ将初值条件0x x =、0y y =代入上式0y c =于是所求的初值问题为⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q eey y sx xx xx 0000)()()(0)(ττττττ或⎰⎰+⎰=x x d p d p ds e s Q ey y sxxx 00)()(0)(ττττ定理①一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解； ②若()y y x =是（2）的非零解，而()y y x =是（1）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数；③方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 ①设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使)()(2211x Q py dxdy x Q py dxdy +=+=两式相减有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解. ②因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论②成立.③因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论③成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]1我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；③可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+''+'' （1） 其对应的齐次方程为0=+'+''qy y p y （2） 下面对（2）的特征方程02=++q pr r （3）x有实根和复根加以考虑①若r 为（3）的一实根，则rx e y =是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为rx e x c y )(=通过求导可得()()()()rxrxrxrxrx ex c r e x c r e x c y e x rc e c y 22+'+''=''+'=' （4）将（4）和()rx e x c y =代入（1）化简得()()()()x f e x c p r x c rx -='++''2 这是关于)(x c '的一阶线性方程，其通解为()dx dx x f e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （5）②若r 为（3）的一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，则f 为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为()bx e x c y ax sin = ，与情形①的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（6）例1求six y y y =-'+''2的通解 解 相应的特征方程为022=-+r r 有解1=r ，故设非齐次方程的解为()x e x c y =对其求导得()()()()()xxxxx ex c e x c e x c y e x c e x c y +'+''=''+'='2代入原方程化简得()()x si e x c x c x n 3-='+'' 其通解为()⎰---+-=='x x x x ce e x co x si bxdx si e e x c 323s n 251n )( 所以()()231s n 3101c e c e x co x si x c x x +++-=-- 从而原方程的通解为()x x x e c e c x co x si e x c y 221s n 3101)(+++-==- 例2求x e y y y =+'+''44的通解 解 相应的特征方程为0442=++r r 有解4,2=-=p r 且，有公式（5），得其通解为()[]()⎰⎰+-+-⨯--=dx dx e e e e y x x x x ][424222dx c e e x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-13231= x x xe c xe c e 222191--++3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]2前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的 三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+'''详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊()x f 才能求解的缺陷，扩大了()x f 的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+''+'' 对应齐次微分方程的特征方程02=++q pr r ①若r 为实特征根，通解为dx dx e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （1） ②若r 为一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，通解为 ⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（2）三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+''' （3） 则对应的齐次方程为0=+'+''+'''sy y q y p y （5） 其对应的齐次方程023=+++s qr pr r （6）若r 为其一实根，λ为方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（根，则方程（3）的通解为① 当λ为实根时，()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ ② 当λ为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠bdx dx bx bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(sin n )(n 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设r 为特征方程一实根，则rx e y =是（4）的一解，这时可设（3）的解为(),rx e x c y =将其代入（3）中可得()()()()()()rx e x f x c s qr pr r x c q pr r x c p r x c -=++++'+++''++'''23223)(3)(因为r 为特征方程一根，所以 023=+++s qr pr r ，因此()()()()rx e x f x c q pr r x c p r x c -='+++''++'''23)(3)(2这是关于()x c '的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 ()()023322=+++++q pr r p r λλ 若其根为λ为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 ()()()[]⎰⎰-++++-='dx dx e x f e e e x c rx x p r x p r x 332)(λλλ 那么（3）的通解为()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ若其根为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠b 则由二阶方程通解公式（2）可得()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛='--dx dx bx si bx si e e x f bx si e x c ax rx ax2n n n 那么（3）的通解为dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 例1 求解方程ax e y y y y =+'+''+'''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为 0123=+++r r r 其根为i r i r r -==-=321,1,方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（，即0222=+-λλ， 其根为i i -=+=1,121λλ 所以取 11,1,===b a r 代入公式dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 则其通解为dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n 求解过程只需依次积分即可dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n ()dx dx x si c x co x si e bx si e e x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-21n s n 21n dx dx x si c dx x si x co e dx x si e x si e e x x x x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-212n 1n s 21n 121n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-dx c tx c c sx c x si e e x x 21o o 21n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰-xdx si e c xdx co e c dx e e x x x x n s 21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-312212n 2c s 241c x si c x co e c c e e x x xx x e c x si c c x co c c e -+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31221n 2s 241令33122211,2,2c C c c C c c C =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=那么方程的通解为x x e C x si C x co C e y -+++=321n s 41（为任意常数3,21,C C C ）.4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用[]8,6二阶变系数微分方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''()()()其对应的齐次方程在某区间上连续，如果其中x f x q x p ,,的通解为2211y c y c y +=那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解 设非齐次方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''具有形式()()2211~y x c y x c y += 的特解，其中()()x c x c 21,是两个待定函数，对y ~求导数得()()()()x c y x c y y x c y x c y 22112211~'+'+'+'=' 我们补充一个的条件()()02211='+'x c y x c y 这样()()2211~y x c y x c y '+'=' 因此()()()()22112211~y x c y x c y x c y x c y ''+''+''+''='' 将其代入()()()()x f y x q y x p x y =+'+''化简得()()x f c y x c y =''+''2211联立方程()()02211='+'x c y x c y 解得 ()()211221y y y y x f y x c '-'-=' ()()211212y y y y x f y x c '-'=' 积分并取得一个原函数 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'-=211221 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'=211212 则所求的特解为=y ~()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212所以方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''的通解为 2211y c y c y +=()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212例1 求方程x y xy ='-''1的通解解 方程x y xy ='-''1对应的齐次方程为 01='-''y xy 由y x y '=''1得dx xy d y 11='⋅' 积分得c x y ln ln ln +='即cx y ='，得其通解为21c x c y +=所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是12和x ，为了求非齐次方程的一个特解y ~，将21,c c 换成待定函数()()x c x c 21,，且()()x c x c 21,满足下列方程 ()()()()⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x x c x c x x c x c x 212120201 解得()211='x c ()2221x x c -=' ()x x c 211= ()3261x x c -= 于是原方程的一个特解为()()3221311~x x c x x c y =⋅+= 从而原方程的通解322131x c x c y ++=参考文献 [1] 邓春红.关于二、三阶线性微分方程通解求法[J].零陵学报.20XX,25(6):42-45.[2] 刘许成.三阶线性微分方程系数的常数化定理及应用[J].潍坊学报.20XX,3(2):39-40.[3] 常微分方程[M].北京：高等教育出版社，20XX.（4）：22-26.[4] 崔士襄.常数变易法来历的探讨[J].邯郸农业高等专科学校学报,1998,(1):40-41.[5] 俞岑源.关于一阶线性常微分方程常数变易法的一点注记[J].20XX,(3):13-14.[6] 田飞，王洪林.常数变易法的使用[J].河北工程技术高等专科学校学报，20XX,14-15[7] 张志典.用常数变易法求一阶非线性微分方程的解[J].焦作大学学报(综合版)，1996,(2):23-24.[8] 王辉，李政谦.巧用常数变易法解题[J].中学数学月刊，20XX,(4):53。
常微分方程课件--常数变易法
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E.Байду номын сангаасdt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
§1.4 线性方程与常数变易法
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 的连续函数 x 若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
若Q( x) 0, 则(1)称为一阶非齐线性方程
x(t ) x(t t ) x(t ) 20 3.08t 1000 t 4000000 20t
因此有 dx
dt 100 x 61.6, x(0) 0. 400000 2t
该方程有积分因子
(t ) exp(
100 dt ) (4000 0.02t )50 400000 2t
积分得
c( x) Q( x)e
p ( x ) dx
p ( x )dx
dx c
~
~
30 故(1)的通解为
ye
( Q( x)e
p ( x ) dx
dx c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
最新3-7-一阶线性方程与常数变易法汇总
3-7-一阶线性方程与常数变易法2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equationand constant variation formula )[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习[考核目标]1.熟练运用常数变易公式;2. 知道«Skip Record If...»计算和一些三角函数恒等式;3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律;4. 知道溶液混合问题建模;5. 认识Bernoulli方程并会经过适当变换化为线性方程求解.6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order(non)homogeneous linear differential equation）(1) 称形如«Skip Record If...»的方程为一阶线性齐次方程，其中«Skip Record If...»连续；称形如«Skip Record If...»的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中«Skip Record If...»连续且«Skip Record If...»不恒为零.(2) 当«Skip Record If...»时，改写«Skip Record If...»为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，«Skip Record If...»通解(general solution)为«Skip Record If...»，此外y=0也是解. 综上，«Skip Record If...»的解为«Skip Record If...»为任意常数.(3) 常数变易法：如何求«Skip Record If...»的解呢？假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 «Skip Record If...»，则代入原方程来确定C(x)，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，此处C为任意常数, «Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»一个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为«Skip Record If...».2.一些实际应用例子（Applications ）例28. 电容器的充电和放电模型RC电路：假定开始电容C上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E对电容C开始充电，电池电压为E，电阻阻值为R，电容C两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容C两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=U C，电流I = «Skip Record If...», 电阻两端电压为R I=«Skip Record If...». 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.即有«Skip Record If...». 改写为 «Skip Record If...»，这是一个一阶线性非齐次方程.记«Skip Record If...», 由常数变易公式得到，«Skip Record If...»再注意到初始条件U(0)=0，«Skip Record If...»，因此，«Skip Record If...».例29. 考察如下RL电路图，设电源E的电压为«Skip Record If...»为常数，求电感线圈上电流I随时间的变化规律，设t=0时，I=0.解：设I(t)表示时刻t时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为«Skip Record If...». 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 «Skip Record If...». 改写为«Skip Record If...», 这是一个一阶线性非齐次方程.记«Skip Record If...», 由常数变易公式得到，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»令«Skip Record If...»，于是由«Skip Record If...»知，«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...».再注意到初始条件I(0)=0，«Skip Record If...»，因此，«Skip Record If...».练习23. (1) 求«Skip Record If...»； (2) 改写«Skip Record If...»为«Skip Record If...»，给出«Skip Record If...»所满足的条件. (3) 由 Euler 公式«Skip Record If...»和«Skip Record If...»推导出:«Skip Record If...»和«Skip Record If...»， «Skip Record If...».作业24. （1）如例28中RC电路图，设E=10V, R=100«Skip Record If...»,C=0.01 F, 开始时刻电容C上电压为零并在此刻合上开关1，问经过多长时间电容C两端电压为«Skip Record If...»?（2）如下RL电路图，设E, R, L均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度I(t)，假定I(0)=0.例30. 溶液混合问题：设容积为V（单位«Skip Record If...»）的密封容器装着某种溶液如下图，从A以速度r（单位«Skip Record If...»）流入浓度为«Skip Record If...»（常数）的相同溶液，经充分混合后在B以相同速度r流出容器, 假设时刻t=0时，容器溶液浓度为0，问容器中浓度随时间变化的规律.解：设时刻t时容器溶液浓度为C(t)，且C(0)=0，则由溶质出入平衡，也即流入等于流出，由微元法建立如下等式：«Skip Record If...»，即«Skip Record If...». (以下略)作业25. 假设伊利湖的存水量为«Skip Record If...»，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都是每年«Skip Record If...»，在t=0时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的5倍. 如果流出的水是完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖2倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数«Skip Record If...»）3. Bernoulli方程及其解法称形如«Skip Record If...»为Bernoulli方程.解法：当«Skip Record If...»时，改写原方程«Skip Record If...»,令«Skip Record If...»，这是一个一阶线性非齐次方程.例31求解方程«Skip Record If...».解：经过观察，原方程是一个Bernoulli方程, n=2.（1）当«Skip Record If...»时，改写原方程为«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...». 由常数变易公式得到，«Skip Record If...».返回原变量得到«Skip Record If...».(2) 当y=0时，容易验证«Skip Record If...»也是原方程的解.作业26. 求解方程（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».4.交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程例32.求解（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».解：(1) 这是一个一阶方程，非线性方程，不是Bernoulli方程.(a) 当«Skip Record If...»时，交换自变量和因变量而改写原方程为 «Skip Record If...». 这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， «Skip Record If...»，即 «Skip Record If...»为所求方程的通积分.(b) 当y=0时，已验证y=0也是原方程的一个解.(2) 结合Bernoulli方程来完成，留作练习.作业27. 求解方程（1）«Skip Record If...»；（2） «Skip Record If...».5. 一些一阶线性方程的理论（1）考虑方程«Skip Record If...»，其中p(x), q(x)都是以w>0为周期的连续函数. 用常数变易公式证明：（a) 若«Skip Record If...»，则方程任一非零解都以w为周期的周期函数充要条件是p(x)的平均值«Skip Record If...» (b) 若«Skip Record If...»不恒为零，则方程有唯一w周期解充要条件是«Skip Record If...», 试求出此解. （参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P36 习题5， 6）。
常微分方程 2.2 线性方程与常数变易法
dx 2 x y 2 dy y
即
dx 2 x y dy y
p ( y ) dy
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
故其通解为
x e
e
p ( y ) dy
( Q( y)e
dy c)
~
2 dy y
( ( y )e
2 dy y
dy c)
~
2019/4/6
常微分方程
电路的Kirchhoff第二定律:
2019/4/6
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零 . 常微分方程
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E. dt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
通解,这里为n常数
dy n x n y e ( x 1) 解: 将方程改写为 dx x 1 dy n 首先,求齐次方程 y 的通解 dx x 1 dy n dy n y 分离变量得 y x 1 dx 从 dx x 1
两边积分得
ln y n ln x 1 c1
§2.2 线性方程与常数变易法
2019/4/6
常微分方程
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
江苏大学-常微分方程-3-7 - 一阶线性方程与常数变易法
2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equationand constant variation formula )[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练运用常数变易公式;2. 知道⎰dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dxdy=的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如q(x)y p(x)dxdy+=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写y p(x)dxdy=为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===⎰⎰⎰，其中⎰dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dxdy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~,e C ~y =⎰±=，此外y=0也是解. 综上，y p(x)dxdy =的解为C ,e C y p(x)dx⎰=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求q(x)y p(x)dxdy+=的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ⎰=p(x)dxeC(x)y ，则代入原方程来确定C(x)，q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dxdy p(x)dxp(x)dx p(x)dx +⎰=⎰+⎰=， 即q(x)e(x)' C p(x)dx=⎰，C q(x)dx eC(x) q(x), e(x)' C p(x)dx-p(x)dx+⎰=⎰=⎰-，此处C 为任意常数,⎰⎰q(x)dx ep(x)dx-为函数q(x)ep(x)dx-⎰一个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为⎰⎰⎰⎰+⎰=+⎰⋅⎰=q(x)dx eeCeC)q(x)dx e(ey(x)p(x)dx-p(x)dxp(x)dxp(x)dx-p(x)dx.2. 一些实际应用例子（Applications ） 例28. 电容器的充电和放电模型RC 电路：假定开始电容C 上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E 对电容C 开始充电，电池电压为E ，电阻阻值为R ，电容C 两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容C 两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t 时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=U C ，电流I =dtdU C dt dQ =, 电阻两端电压为R I=dt dUR . 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.即有0dt dU RC U E =--. 改写为 RC EU RC 1dt dU +⋅-=，这是一个一阶线性非齐次方程. 记RCE q(t) ,RC 1p(t)=-=, 由常数变易公式得到， C~e E )C ~(Ee e )C ~dt RCE e (e )C ~q(t)dt e(eU(t)RC tRC t RC t RC t RC t p(t)dtp(t)dt----+=+=+=+⎰⎰=⎰⎰再注意到初始条件U(0)=0，-E C ~0,C ~e Ee U(0)00==+=，因此，RC tEe E U(t)--=.例29. 考察如下RL 电路图，设电源E 的电压为0 U sin wt,U E m m >=为常数，求电感线圈上电流I 随时间的变化规律，设t=0时，I=0.解：设I(t)表示时刻t 时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为dtdI L . 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 0dtdIL I R E =--. 改写为sin wt U L1L I R dt dIm +-=, 这是一个一阶线性非齐次方程. 记wt sin L Uq(t) ,L R p(t)m =-=, 由常数变易公式得到，)C ~dt sin wt LU e (e )C ~q(t)dt e(eI(t)m L RtL Rt p(t)dtp(t)dt⎰⎰+=+⎰⎰=--.b a bt cos b bt sin a e bt))isin bt (cos e b a ib)(a Im()e ib a 1Im()dt e Im(dt )Im(e e dt bt sin e 22at a 22ib)t(a ib)t (a ibt at at +-=+⋅+-=+===++⎰⎰⎰22t LR m LRtm m LRt w (R/L) wt)cos w sin wt L R(e LU dt sin wt e LUdt sin wt L U e+-==⎰⎰令2222w(R/L)w φsin ,w(R/L)R/L φ cos +-=+=，于是由B sin A cos B cos A sin B)sin(A +=+知，22t LR mm LRt w (R/L)φ)sin(wt e L U dt sin wt L U e++=⎰，于是L Rt22m e C ~w (R/L)φ)sin(wt LU I(t)-+++=.再注意到初始条件I(0)=0，22m0022m w(R/L)φsin L U C ~0,C ~e e w (R/L)φsin LU I(0)+-==++=，因此，t LR 22m22mew(R/L)sin(φL Uw (R/L)φ)sin(wt LUI(t)-+-++=).练习23. (1) 求dt bt cos e at ⎰； (2) 改写 t cos b sin t a +为θ)sin(t ba 122++，给出θ所满足的条件. (3) 由 Euler 公式b sin i b cos e ib+=和R b a, ,e e e b)i(a b i a i ∈=⋅+推导出:b asin sin b cos a cos b)cos(a b,sin a cos b cos a sin b)sin(a -=++=+和b))sin(a b)(sin(a 21b cos a sin -++=， b))cos(a b)(cos(a 21b cos a cos -++=. 作业24. （1） 如例28中RC 电路图，设E=10V , R=100Ω, C=0.01 F, 开始时刻电容C 上电压为零并在此刻合上开关1，问经过多长时间电容C 两端电压为V 5U 1=?（2）如下RL 电路图，设E, R, L 均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度I(t)，假定I(0)=0.例30. 溶液混合问题：设容积为V （单位3m ）的密封容器装着某种溶液如下图，从A 以速度r （单位/s m 3）流入浓度为0C e >（常数）的相同溶液，经充分混合后在B 以相同速度r 流出容器, 假设时刻t=0时，容器溶液浓度为0，问容器中浓度随时间变化的规律.解：设时刻t 时容器溶液浓度为C(t)，则C(0)=0，且由溶质出入平衡，也即流入减去流出等于容器内溶质变化量，由微元法建立如下等式：V C(t))Δt)(C(t C(t)Δt r C Δt r e -+≈-，即e C VrC V r dt dC +-=. (以下略) 作业25. 假设伊利湖的存水量为34m 1048⨯，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都是每年34m 1035⨯，在t=0时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的5倍. 如果流出的水是完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖2倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数0C e >） 3. Bernoulli 方程及其解法称形如R n ,y q(x)y p(x)dxdyn ∈+=为Bernoulli 方程. 解法：当0y ≠时，改写原方程1n , n)q(x)(1y p(x) n)(1dxdy y n)-(1n -1n -≠-+-=, 令n)q(x)(1n)p(x)u (1dx du ,y u n1-+-==-，这是一个一阶线性非齐次方程. 例31 求解方程2y x xy6dx dy -=. 解：经过观察，原方程是一个Bernoulli 方程, n=2. （1）当0y ≠时，改写原方程为 x 2)(1y x62)(1dx dy 2)y-(1212---=--，令21y u -=，则 x u x6dx du +-=. 由常数变易公式得到， 6276-dx x6dx x6x C8x C)dx x (x )C xdx e(eu(x)+=+=+⎰⎰=⎰⎰-.返回原变量得到62x C8x y 1+=.(2) 当y=0时，容易验证0y =也是原方程的解. 作业26. 求解方程（1）33y x y x dxdy=+； （2）1y(1) ,y xy 'y x 22==-. 4. 交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程 例32. 求解（1）2y 2x y dx dy -=； （2）33yx xy 1dx dy -=. 解：(1) 这是一个一阶方程，非线性方程，不是Bernoulli 方程.(a) 当0y ≠时，交换自变量和因变量而改写原方程为 y x y2y y 2x dy dx 2-=-=. 这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， C)y)dy (e(ex dy y2dy y2+-⎰⎰=⎰-，即 |)y |ln (C y C)y)dy (y1(y x 222-=+-=⎰为所求方程的通积分. (b) 当y=0时，已验证y=0也是原方程的一个解. (2) 结合Bernoulli 方程来完成，留作练习.作业27. 求解方程（1）3y x y dx dy +=； （2） y2y x dx dy 22+=.5. 一些一阶线性方程的理论 （1）考虑方程q(x)y p(x)dxdy=+，其中p(x), q(x)都是以w>0为周期的连续函数. 用常数变易公式证明：（a) 若0q(x)≡，则方程任一非零解都以w 为周期的周期函数充要条件是p(x)的平均值.0p(x)dx w 1(x)p w==⎰ (b) 若q(x)不恒为零，则方程有唯一w 周期解充要条件是0p(x)dx w1(x)p w0≠=⎰, 试求出此解. （参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P36 习题5， 6）。
解一类一阶统一微分方程的常数变易法
解一类一阶统一微分方程的常数变易法
一阶统一微分方程的常数变易法是一种求解一阶统一微分方程的重要方法，它的基本思想是将一阶统一微分方程的解表示为某种形式的积分，然后利用积分的求解方法求解。
具体而言，将一阶统一微分方程化为某种形式的积分，然后利用积分的求解方法，即将积分分解为若干个常数变易积分，每个常数变易积分的积分常数都可以由积分的终点值求得，最终得到一阶统一微分方程的解。
常数变易法求解一阶统一微分方程的优点在于，它不仅能够求解一阶统一微分方程的解，而且简单易行，求解步骤简单，可以有效地解决一阶统一微分方程的求解问题。
江苏大学-常微分方程-3-14 -一阶隐方程及其解法
2.4 一阶隐方程及其解法(First order implicit differential equation and itssolving methods )[教学内容] 1. 认识一阶隐方程及其类型; 2.介绍等时摆和速降线方程; 3. 介绍求导法求隐方程; 4. 介绍参数法求隐方程;5. 介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程. [教学重难点] 重点是会知道何时选用求导法，何时选用参数法，难点是参数法中如何引入合适的参数[教学方法] 自学1、5；讲授2、3、4 课堂练习 [考核目标]1. 认识一阶隐方程及其类型;2. 会用求导法求解变量x 或y 可以表出情形下的一阶隐方程;3. 会引入合适参数，并用参数法求解一阶隐方程;4. 会在求导法和参数法进行适当选择简单的解法;5. 会求解简单的函数方程和积分方程.1. 认识一阶隐方程形式及其两大类型（1）0)y' y, F(x,=，其中(x)'y y' y(x),y ==. （2）第一大类：由隐方程可以解出)y' f(x,y =或)'y g(y,x =. 例如，.P63 例题1; P64 例题2.（3）第二大类：隐方程很难解出x 或y ，但是隐方程中只含有两个量，即0)y' F(x,=或0)y' F(y,=. 例如，(constant) 0,k y ]1)dxdy [(2>=+(这是速降线方程），0y 0,k ,yk 2-g y k 2dx dy >>=)（这是等时摆轨道方程）; 1)dx dy (y 22=+; 1)dx dy 3(x 22=-. 教材P67例题4.2.求导法求解一阶隐方程 （1）(a) 令 ,dxdyp =再求导得到 x p,满足的方程，或得到y p,满足的方程. (b) 将x(p)x =代入原方程得到参数形式通解C)y(p,y C),x(p,x ==，其中C 为任意常数;或将p=p(x)代入原方程后，得到方程的通解y=y(x, C).例39. 求解2x dx dy x )dx dy (y 22+-=.解：(1) 这是y 可由x 和p 表出的形式的隐方程，2x p x p y 22+-=，其中dx dy p =. 两边关于x 求导得到，x dxdpx p dx dp 2p p dx dy +--==. 整理得到，x 2p dx dp x)-(2p -=, 也即0)1dxdp(x)-(2p =-⋅.(a) 若0x 2p =-，则2p x =，将其代入原方程得到322322p 3p 24p 2p p y -=+-=.于是得到原方程的一个特解322p 3p y 2p,x -==. (b) 若01dxdp=-，则C x p +=，于是将C x p +=代入原方程. 因此，方程的通解为22C x C 2x y ++=. (参见教材P65图（2.6)了解特解和通解曲线族联系和初值问题解的存在不唯一性现象 ) 作业32. 求解克莱罗方程dxdyp f (p),p x y =+=，其中0(p)' f ≠. 作业33. 求解09x y'2y )(y'x 2=+-. 例40. 求解0y dxdy2x )dx dy (3=-+. 解：(1) 由原方程解出dx dyp ,p p x 2y 3=+=. 对上述等式两边关于变量x 求导得到， dxdp 3p 2p dx dp x 2p dx dy 2++==. 整理得到，2x)(3p pdx dp 2+-=. 这不是可分离变量型、不是齐次方程、不是线性方程. 思考能否化为可分离变量型？齐次方程、线性方程！(a) 当0p ≠时，3p x p2p -2x)(3p dp dx 2--=+=，由线性方程的常数变易公式得到，2432dpp 2dpp 2p 3/4p C C)dp 3p (p 1C)3p)dp (e(ex -=+-=+-⎰⎰=⎰⎰-. (b) 当0p =时，将p=0代入原方程得到，0y =也是方程的一个解.(2) 再由3p p x 2y +=和24p 3/4p C x -=，得到原方程的参数形式的通解为p/2p 2C y ,p 3/4p C x 424-=-=. 解法二：(1) 当0p ≠时，解出dxdyp ,2p p y x 3=-=. 运用求导法，两边对y 求导得到，232p dy dp )p (y )p dy dp 3p (121p 1dy dx ---==，整理得到，dydp y)(-2p p 3-=，改写原方程为 22p y p 1dp dy --=，由常数变易公式得到，)p 42(C p 1C))dp 2p (e(e y 42dp p1dp p 1-=+-⎰⎰=⎰-将上式代入原方程得到，24332p3/2p C 2p p 2p p C x -=--=. 于是，所求方程的参数形式通解为 242p 3/2p C x -=, )p 42(C p 1y 4-=. (2) 当p=0时，代入原方程可得，y=0也是方程一个解.3. 参数法求解一阶隐方程（1）考察0)y' F(x,=，比如求解1)(y'y 22=+. 解：令sin t dx dy t,cos y ==，于是(a) 当0dx dy ≠1 t)sin t/(sin dxdy/dt dy dt dx -=-==，解得C t x +-=，于是所求参数形式通解为C t x +-=, y=cos t.(b) 当0dxdy=时，代入原方程得到，1y ±=. 易验证可知，1y ±=也是方程的解. 例40. 教材P67例题4. 教材P69例题5. 如何寻找合适的参数形式 ？作业34. 教材P69 习题1 (3)(4)(5)(6).4. 化积分方程或函数方程为微分方程来求解例41. （1）已知函数x(t)在R 上有定义且(0)'x 存在，且具有性质x(t)x(s)1x(s)x(t)s)x(t -+=+，求出函数x(t).（2） 已知函数f(x)满足0 x 1,f(t)dt f(x)x≠=⎰，求出函数f(x).（3） 求满足⎰+=xxy(t)dt e y 的解函数y(t).（4） 设y(t)在R 上连续且(0)'y 存在，满足性质R s t, y(s),y(t)s)y(t ∈∀⋅=+，求出函数y(t) .解：（1）由x(t)的性质知，0x(0)1x(0)x(0)0)x(02=--=+.现推导x(t)满足的微分方程：Δtx(t)x(t)x(Δ1x(Δx(t)lim Δt x(t)Δt)x(t lim (t)x'0Δt 0Δt --+=-+=→→t)t)，整理得到))(1)(0(')('2t x x t x +=，这里用到x(t)在x=0处可导必连续，即0x(0)x(Δlim 0Δt ==→t).求解上述微分方程C)tan(t x C,t )0('arctan x ,dt )0('x 1dx2+=+==+⎰⎰x x ，注意到0x (0)=，即C=0. 因此，所求的解为 t).(0)tan(x'x =（2）由⎰xf(t)dt 连续和⎰=xf(t)dt1f(x)知，函数f(x)连续，因而⎰xf(t)dt 可导.对原方程两边关于x 求导得到，0f(x) f(x)f(t)dt (x)f'x=+⎰，结合0 x 1,f(t)dt f(x)x≠=⎰得到，0f(x) f(x)f(x)1(x)' f =+. 因而 1/2-2332C)2x (f (x) C,x f 21,dx f -df ,f dx df +=+==-=-⎰⎰. 再由原积分方程知，1](2C)2C)[(2x 2C)(2x 1,f(t)dt f(x)1/21/21/2-x=-++=⎰，即C=0.因此，所求方程的解为-1/22x)(f(x)=.5. 一个比较繁琐例题.例如 求解1)dxdy 3(x 22=-. 解法一：现令tan t dxdy3 t,sec x ==，于是下面只需定出y 和t 关系即可 ⎰==⋅⋅=⋅=dt 3t t tan sec y ,3 t sec t tan tant sect dx dy dt dx dx dy dt dy 22. ⎰⎰⎰+====1)dt t t(tan sec 31- t tan t sec 31tdt sec 31- t tan t sec 31dt 3 t t tan sec y 232C |2t tan 12ttan1|ln 321 t tan t sec 321y +-+-=.原方程参数形式的特解为 t sec =x , C |2t tan 12ttan1|ln 321 t tan t sec 321y +-+-=. 解法二：解得dxdy p ,3p 1x 2=+±=，对上式两边关于y 求导得到，dydp3p 13p p 1dy dx 2+±==，于是223p 13p dp dy +±=， C )3p 1p 3(ln 613p 1p 321y 22++++±= .原方程参数形式的特解为,3p 1x 2+±=C )3p 1p 3(ln 613p 1p 321y 22++++±= .。
线性方程与常数变易法
于是，令
P ( x ) dx y c ( x )e
(2.20)
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
两边微分得到：
dy dc( x) e dx dx
P ( x ) dx
c ( x ) P ( x )e
P ( x ) dx
整理：
dc( x) e dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
~ c
P ( x ) dx P ( x ) dx ye ( Q( x)e dx c )
注意：1、常数变易法的本质实际上是一种变 量变换方法，通过变换（2.20）将原方程变为 可分离变量方程。 2、常数变易方法的特点强调求解过程。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
所以，主要讨论非齐次线性方程(2.19)通解的求法。通
过分析，不难看出，(2.3)是(2.19)的特殊情形，两者既
有联系又有差别。因此，可以设想它们的解之间也应
该有某种联系而又有区别。于是，试图从方程(2.3)的
通解(2.4)的形式去求出方程(2.19)的通解。显然，如果 (2.4)中C恒保持为常数，它必不可能是(2.19)的通解。 故，可以假想，在(2.4)中，将常数C看成x的待定函数 C(x)，使它满足方程(2.19)，从而求出C(x)。
问题中出现的微分方程是多种多样的，如果能够找到 适当地变量代换，把有关的微分方程化为上述规范方 程之一，那么原来的微分方程的通解也就容易求出来 了，这是初等积分法中最常用的方法。当然如何确定 变量代换，是比较困难，且无通法可循。一般而言， 主要根据每一个方程的特点去寻找，这就要靠在实践 中多总结经验，才能够逐步达到熟能生巧的地步。
《常微分方程》第7章 一阶线性偏微分方程ppt课件
2021-5-10
7
xi' fi (t, x1,, xn ) i 1,2,, n
设微分方程组有 n 个首次积分
1(t, x1, x2 ,, xn ) c1,,n(t, x1, x2 ,, xn ) cn
如果在某区域内它们的Jacobi行列式
1
x1
1
x2
1
xn
D(1,,n )
D(x1,, xn )
经适当组合化为一个可积分的微分方程. 这个方程的未知函数可能是方程组中
几个未知函数组合形式. 积分可以得到未知函数组合形式的解， 该方程为一个原方程组的首次积分.
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例 4 求解方程组 dx y, dy x
dt
dt
解 将两个方程相加得 d (x y) x y
dt
以 x y 作为一个未知函数，对上式积分得
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小结：寻找首次积分的方法（技巧性强）
为了求得首次积分，通常把如下方程组
xi' fi (t, x1,, xn ) i 1,2,, n
写成对称形式 d x 1 = d x 2 = ... = d x n = d t
f1
f2
fn
1
方法1 (积分因子法)利用比例性质化分母为零，分子 为某一函数的全微分形式。（教材P350）
2u x 2
x2
2u y 2
1
于是偏微分方程 u x
2u xy
3u y3
f
(x, y)便可简单
记为L[u] f 或Lu f .
算子L若满足:L[au bv] aL[u] bL[v] 其中，a,b为常数；u, v为函数，则称L为线性算子。
微分方程 常数变易法
微分方程常数变易法常数变易法也称为常数变异法，是微分方程求解方法之一。
它适用于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性非齐次方程。
该方法的基本思想是，假设方程的解可以写为y = u(x)v(x)，其中u(x)是待定的函数，v(x)是已知的函数。
将y代入原方程，得到一个关于u(x)和v(x)的方程，通过选取适当的v(x)和求解u(x)，即可得到原方程的解。
具体步骤如下：1. 将原方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2. 根据已知条件选取v(x)。
选择v(x)的基本原则是希望求解出u(x)后方程能够变为一个易于求解的方程。
通常可以选择v(x) = exp(∫P(x)dx)。
3. 计算v'(x)。
根据已知条件，v(x) = exp(∫P(x)dx)，则v'(x) =P(x)v(x)。
4. 代入原方程，得到u(x)v'(x) + u'(x)v(x) + P(x)u(x)v(x) = Q(x)。
5. 合并同类项，化简上述方程为u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = Q(x)，然后整理为u'(x)v(x) = Q(x) - u(x)v'(x)。
6. 对上述方程进行分离变量，得到u'(x)/[Q(x) - u(x)v'(x)] =1/v(x)dx。
7. 对上述方程进行积分，得到∫[Q(x) - u(x)v'(x)]/v(x)dx = ∫du(x)。
8. 解上述积分方程，求得u(x)。
9. 将u(x)代入v(x) = exp(∫P(x)dx)中，得到v(x)。
10. 最终的解为y = u(x)v(x)。
需要注意的是，常数变易法求解非齐次方程时，需要先求出对应的齐次方程的解。
然后将齐次方程的解与非齐次方程的特解相加，即可得到非齐次方程的通解。
微积分常数变易法公式
微积分常数变易法公式微积分中的常数变易法公式，那可是一个相当有趣且重要的知识点！咱先来说说啥是常数变易法。
比如说，咱们遇到一个一阶线性非齐次微分方程：y' + P(x)y = Q(x) 。
通常情况下，咱们会先去求对应的齐次方程 y' + P(x)y = 0 的通解，这一步相对还比较简单。
然后呢，咱们就假设非齐次方程的解是 y = u(x)·y_h(x) ，这里的 y_h(x) 就是齐次方程的通解，而u(x) 就是咱们要变易的那个“常数”，其实它是个函数啦。
我记得之前给学生讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这咋感觉像变魔术一样，突然就弄出个新函数来？”我笑着跟他说：“这可不是魔术，这是数学的智慧！”然后我就给他举了个生活中的例子。
想象一下，你每天坐公交车去学校，车费是固定的，这就好比齐次方程的解。
但突然有一天，公交公司搞活动，周末坐车半价，这时候你的车费就变了，不再是固定的了，这个变化就像是我们这里的u(x) 。
咱们接着说常数变易法的公式推导。
通过一系列的计算和处理，最终可以得到u(x) 的表达式，从而求出非齐次方程的通解。
这个过程中，涉及到积分运算，可不能马虎。
在实际应用中，常数变易法可太有用啦！比如说在物理学中研究电路问题，电流和电压的关系就可以用这样的微分方程来描述。
还有在经济学中，分析市场的供需变化，也能用到这个方法。
有一次，我在给学生布置作业的时候，专门出了一道用常数变易法求解的题目。
结果收上来一看，有的同学思路清晰，步骤完整，解得那叫一个漂亮；可有的同学啊，完全没搞懂，公式都用错了。
我就一个一个地给他们讲解，看着他们恍然大悟的表情，我心里也特别有成就感。
总之，常数变易法公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，就一定能掌握它。
就像咱们学走路一样，一开始可能摇摇晃晃，但只要坚持不懈，总会走得稳稳当当！希望同学们在学习微积分的道路上，都能勇敢地面对这些挑战，用智慧和努力去攻克一个又一个的难题！。
一阶线性常微分方程组常数变易公式
一阶线性常微分方程组常数变易公式
一阶线性常微分方程组常数变易公式是一种基本的微分方程组
解法。
它可以帮助我们更快速地求解一些复杂的微分方程组。
这种方法可以有效地解决一些具有复杂依赖的系统的问题，尤其对于模型中的变量较多的情况。
一阶线性常微分方程组常数变易解法(简称CME)的基本思想是，把所有的系数项的常量值抽离出来，各自转化为独立的变量，这样就可以便捷地根据相关的约束条件改变这些变量而得到不同结果。
而CME的公式能够有效地求解多元变量的系统。
在CME中，我们可以把原有的多项式拆分成N个系数项，然后把N个系数项的常量值分别抽取出来，形成N个可变变量，最终获得一个可求解的方程组，并且可用约束条件将可变变量限定在有效范围内。
CME的优点很明显，它使得模型中的复杂性处理变的非常容易。
在模型参数化的情况下，可以快速地对非线性系统进行梯度调整，从而获得更好的结果，而不用担心参数过度调整会导致模型失控。
同时，CME也可以帮助消除不可控因素，从而让模型可以更加稳定地运行。
此外，CME的另一个优点就是可以为实际的现实环境提供更加清晰的模型，从而可以对现实环境中存在的问题进行更加深入的分析和探索，从而为其解决提供更加有力的依据。
总的来说，一阶线性常微分方程组常数变易公式是一种非常有效的解决复杂系统问题的工具，它不仅可以提高模型调整的效率，而且可以让更加准确地从实际环境中挖掘出有价值的信息，从而帮助更好
地解决实际问题。
因此，一阶线性常微分方程组常数变易公式的应用越来越广泛，在多种科学研究和管理的实践中，它都能够起到显著的作用。
常微分方程(常数变异法)
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求 一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：
（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解
（2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性
方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C 改为待定函数 C(x即) 可).
（3）将所设解代入非齐次线性方程,解出 C(x) 并写出非齐次线性方程的通解.
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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的最高阶数定义为该微分方程的阶数．
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线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.
在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数 全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程
微分方程的解：如果将函数 y y(x) 代入微分方程后 能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解
②
o
x
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
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一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
已知函数
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
所求通解: ln (1 ex y ) y C ( C 为任意常数 )
一阶线性方程与常数变易法习题及解答
§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y xx ⎰=-dx x x e y 212(c dx e dx x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x + 是原方程的解.6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xy x x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.22212111()()222ln 112.(ln 2)424ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x xy dy x y y dx x xdy x y dx x xy zdz x z dx x xx P x Q x x xz e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-⎰⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1424ln 1:()1,424x dx c x x c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。
其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。
在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。
这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。
这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。
举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。
二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。
对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。
因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。
可化为常数变易形式的一阶微分方程
可化为常数变易形式的一阶微分方程微分方程在数学的各个领域都占有着重要的地位，尤其在物理、化学、经济等应用领域中更是不可缺少的工具。
常见的一阶微分方程一般可以使用分离变量法、同解法等方法求解。
但对于可化为常数变易形式的一阶微分方程，我们可以使用特殊的方法来求解。
本文将详细介绍可化为常数变易形式的一阶微分方程及其求解方法。
一、可化为常数变易形式的一阶微分方程首先，我们来看可化为常数变易形式的一阶微分方程的定义。
所谓可化为常数变易形式，指的是一阶微分方程可以转化为如下形式：$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(ax+by+c)$$其中，$a$、$b$、$c$为常数，$f(u)$为某个函数。
具体而言，假设我们有如下一阶微分方程：$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{ax+by+c}{dx+ey+ f}\right)$$其中，$a$、$b$、$c$、$d$、$e$、$f$均为常数。
如果可以将方程化为如下形式：$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(ax+by+c)$$则称其为可化为常数变易形式的一阶微分方程。
二、可化为常数变易形式的一阶微分方程求解方法那么，如何求解可化为常数变易形式的一阶微分方程呢？下面，我们将介绍一种求解方法。
首先，我们令$u=ax+by+c$，并对其求导得：$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a+b\frac{\mathrm{d}y}{\mat hrm{d}x}$$由于我们需要将原方程化为$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(u)$的形式，所以需要将$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$表示为$u$的函数。
通过简单的代换，我们有：$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{b}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x}-\frac{a}{b}$$将以上两式代入可化为常数变易形式的一阶微分方程中，得到：$$\frac{1}{b}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-\frac{a}{b}=f(u)$$化简后得到：$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-af(u)=b$$这是一个一阶齐次线性微分方程，我们可以使用常见的方法求解。
江苏大学常微分方程教案-5页文档资料
1.1 引 言[教学内容] 1. 介绍方程0a 0,c x b x a 2≠=++基本问题; 2.介绍代数方程组22ij )(a A ,b x A ⨯== 基本问题; 3. 引入物理、生态中微分方程模型及其关心的问题; 4. 介绍本课程基本问题及其内容安排和考核目标.[教学重难点] 重点是知道微分方程基本问题，难点是如何根据实际问题建微分方程模型.[教学方法] 自学1、2、讲授3、4，课堂练习[考核目标]1. 会求解一元二次方程; 会求出一元三次方程所有有理根;2. 会求出线性齐次代数方程组基本解系;3. 会用微元法和导数的物理和几何意义建立微分方程模型.1. 代数方程的相关准备:例1. (1) 求解0652=++x x ，264552⋅-±-=x , 解得3,221-=-=x x . 例2. 考察0βx 2=+，假设参数β可以变动，则0β<时，方程有两个实根，0β>时，方程没有实根，0β=时，方程恰有一个实根，因此0β=是一个分支点，参数β由正变动到零再到负数时，方程根的个数发生了变化；而1β=就不是一个分支点。
例3. 如何不通过求解0βx αx 2=+⋅+，其中R βα,∈来获得解的实根个数及其符号？ 设21λ,λ为方程两个根，则0βx αx )λ(x )λ(x 221=+⋅+=-⋅-，于是得到βλλa,λλ2121=⋅-=+，再结合4βαΔ2-=符号.即可作业：1. 在βα,平面上画出不同β)(α,点下，方程0βx αx 2=+⋅+根分布.例4. 求解 -6+11 x-6 x 2+x 3 = 0 , 根据《高等代数》P32定理12, 进行如下试解. 3x 系数为1，常系数为-6,于是有理根候选点为3,2,1±±±，经代入验证得到， (x-3) (x-2) (x-1) 0.例5. 求解 -2+x 2+x 3 0 , 如果能找到一个有理根，则可转化为一元二次方程。
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2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equationand constant variation formula )[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练运用常数变易公式;2. 知道⎰dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dxdy=的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如q(x)y p(x)dxdy+=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写y p(x)dxdy=为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===⎰⎰⎰，其中⎰dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dxdy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~,e C ~y =⎰±=，此外y=0也是解. 综上，y p(x)dxdy =的解为C ,e C y p(x)dx⎰=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求q(x)y p(x)dxdy+=的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ⎰=p(x)dxeC(x)y ，则代入原方程来确定C(x)，q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dxdy p(x)dxp(x)dx p(x)dx +⎰=⎰+⎰=， 即q(x)e(x)' C p(x)dx=⎰，C q(x)dx eC(x) q(x), e(x)' C p(x)dx-p(x)dx+⎰=⎰=⎰-，此处C 为任意常数,⎰⎰q(x)dx ep(x)dx-为函数q(x)ep(x)dx-⎰一个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为⎰⎰⎰⎰+⎰=+⎰⋅⎰=q(x)dx eeCeC)q(x)dx e(ey(x)p(x)dx-p(x)dxp(x)dxp(x)dx-p(x)dx.2. 一些实际应用例子（Applications ） 例28. 电容器的充电和放电模型RC 电路：假定开始电容C 上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E 对电容C 开始充电，电池电压为E ，电阻阻值为R ，电容C 两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容C 两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t 时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=U C ，电流I =dtdU C dt dQ =, 电阻两端电压为R I=dt dUR . 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.即有0dt dU RC U E =--. 改写为 RC EU RC 1dt dU +⋅-=，这是一个一阶线性非齐次方程. 记RCE q(t) ,RC 1p(t)=-=, 由常数变易公式得到， C~e E )C ~(Ee e )C ~dt RCE e (e )C ~q(t)dt e(eU(t)RC tRC t RC t RC t RC t p(t)dtp(t)dt----+=+=+=+⎰⎰=⎰⎰再注意到初始条件U(0)=0，-E C ~0,C ~e Ee U(0)00==+=，因此，RC tEe E U(t)--=.例29. 考察如下RL 电路图，设电源E 的电压为0 U sin wt,U E m m >=为常数，求电感线圈上电流I 随时间的变化规律，设t=0时，I=0.解：设I(t)表示时刻t 时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为dtdI L . 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 0dtdIL I R E =--. 改写为sin wt U L1L I R dt dIm +-=, 这是一个一阶线性非齐次方程. 记wt sin L Uq(t) ,L R p(t)m =-=, 由常数变易公式得到，)C ~dt sin wt LU e (e )C ~q(t)dt e(eI(t)m L RtL Rt p(t)dtp(t)dt⎰⎰+=+⎰⎰=--.b a bt cos b bt sin a e bt))isin bt (cos e b a ib)(a Im()e ib a 1Im()dt e Im(dt )Im(e e dt bt sin e 22at a 22ib)t(a ib)t (a ibt at at +-=+⋅+-=+===++⎰⎰⎰22t LR m LRtm m LRt w (R/L) wt)cos w sin wt L R(e LU dt sin wt e LUdt sin wt L U e+-==⎰⎰令2222w(R/L)w φsin ,w(R/L)R/L φ cos +-=+=，于是由B sin A cos B cos A sin B)sin(A +=+知，22t LR mm LRt w (R/L)φ)sin(wt e L U dt sin wt L U e++=⎰，于是L Rt22m e C ~w (R/L)φ)sin(wt LU I(t)-+++=.再注意到初始条件I(0)=0，22m0022m w(R/L)φsin L U C ~0,C ~e e w (R/L)φsin LU I(0)+-==++=，因此，t LR 22m22mew(R/L)sin(φL Uw (R/L)φ)sin(wt LUI(t)-+-++=).练习23. (1) 求dt bt cos e at ⎰； (2) 改写 t cos b sin t a +为θ)sin(t ba 122++，给出θ所满足的条件. (3) 由 Euler 公式b sin i b cos e ib+=和R b a, ,e e e b)i(a b i a i ∈=⋅+推导出:b asin sin b cos a cos b)cos(a b,sin a cos b cos a sin b)sin(a -=++=+和b))sin(a b)(sin(a 21b cos a sin -++=， b))cos(a b)(cos(a 21b cos a cos -++=. 作业24. （1） 如例28中RC 电路图，设E=10V , R=100Ω, C=0.01 F, 开始时刻电容C 上电压为零并在此刻合上开关1，问经过多长时间电容C 两端电压为V 5U 1=?（2）如下RL 电路图，设E, R, L 均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度I(t)，假定I(0)=0.例30. 溶液混合问题：设容积为V （单位3m ）的密封容器装着某种溶液如下图，从A 以速度r （单位/s m 3）流入浓度为0C e >（常数）的相同溶液，经充分混合后在B 以相同速度r 流出容器, 假设时刻t=0时，容器溶液浓度为0，问容器中浓度随时间变化的规律.解：设时刻t 时容器溶液浓度为C(t)，则C(0)=0，且由溶质出入平衡，也即流入减去流出等于容器内溶质变化量，由微元法建立如下等式：V C(t))Δt)(C(t C(t)Δt r C Δt r e -+≈-，即e C VrC V r dt dC +-=. (以下略) 作业25. 假设伊利湖的存水量为34m 1048⨯，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都是每年34m 1035⨯，在t=0时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的5倍. 如果流出的水是完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖2倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数0C e >） 3. Bernoulli 方程及其解法称形如R n ,y q(x)y p(x)dxdyn ∈+=为Bernoulli 方程. 解法：当0y ≠时，改写原方程1n , n)q(x)(1y p(x) n)(1dxdy y n)-(1n -1n -≠-+-=, 令n)q(x)(1n)p(x)u (1dx du ,y u n1-+-==-，这是一个一阶线性非齐次方程. 例31 求解方程2y x xy6dx dy -=. 解：经过观察，原方程是一个Bernoulli 方程, n=2. （1）当0y ≠时，改写原方程为 x 2)(1y x62)(1dx dy 2)y-(1212---=--，令21y u -=，则 x u x6dx du +-=. 由常数变易公式得到， 6276-dx x6dx x6x C8x C)dx x (x )C xdx e(eu(x)+=+=+⎰⎰=⎰⎰-.返回原变量得到62x C8x y 1+=.(2) 当y=0时，容易验证0y =也是原方程的解. 作业26. 求解方程（1）33y x y x dxdy=+； （2）1y(1) ,y xy 'y x 22==-. 4. 交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程 例32. 求解（1）2y 2x y dx dy -=； （2）33yx xy 1dx dy -=. 解：(1) 这是一个一阶方程，非线性方程，不是Bernoulli 方程.(a) 当0y ≠时，交换自变量和因变量而改写原方程为 y x y2y y 2x dy dx 2-=-=. 这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， C)y)dy (e(ex dy y2dy y2+-⎰⎰=⎰-，即 |)y |ln (C y C)y)dy (y1(y x 222-=+-=⎰为所求方程的通积分. (b) 当y=0时，已验证y=0也是原方程的一个解. (2) 结合Bernoulli 方程来完成，留作练习.作业27. 求解方程（1）3y x y dx dy +=； （2） y2y x dx dy 22+=.5. 一些一阶线性方程的理论 （1）考虑方程q(x)y p(x)dxdy=+，其中p(x), q(x)都是以w>0为周期的连续函数. 用常数变易公式证明：（a) 若0q(x)≡，则方程任一非零解都以w 为周期的周期函数充要条件是p(x)的平均值.0p(x)dx w 1(x)p w==⎰ (b) 若q(x)不恒为零，则方程有唯一w 周期解充要条件是0p(x)dx w1(x)p w0≠=⎰, 试求出此解. （参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P36 习题5， 6）。