导数与不等式证明

导数与不等式证明

作差证明不等式

1. （优质试题湖南，最值、作差构造函数） 已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若，求证：≤≤x ． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，+∞),，

由 得：，∴x ＞0,∴f (x )的单调递减区间

为(0，+∞).

(2)证明：由(1)得x ∈(－1，0)时，， 当x ∈(0，+∞)时，，且

∴x ＞－1时，f (x )≤f (0)，∴≤0，≤x 令

，则

，

∴－1＜x ＜0时，，x ＞0时，，且 ∴x ＞－1时，g (x )≥g (0)，即≥0

∴≥

，∴x ＞－1时，

≤≤x ．

2. （优质试题湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）

已知定义在正实数集上的函数

，x x x f -+=)1ln()()(x f 1->x 11

1+-x )1ln(+x 1

111)(+-=-+=

'x x

x x f 0)(<'x f ⎪⎩⎪⎨⎧

-><+-

1

01x x x 0)(>'x f 0)(<'x f (0)0f '=x x -+)1ln()1ln(+x 111

)1ln()(-++

+=x x x g 2

2)1()1(111)(+=+-+=

'x x

x x x g 0)(<'x g 0)(>'x g 0)0(='g 11

1

)1ln(-+++x x )

1ln(+x 1

11+-

x 1

11+-

x )1ln(+x 2

1()22

f x x ax =

+

，其中．设两曲线，有公

共点，且在该点处的切线相同． ⑴用表示，并求的最大值； ⑵求证：当时，．

解：⑴设与在公共点处的切线相

同．

，，由题意，．

即由得：，或（舍

去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，；

当，即

时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为． ⑵设， 则． 2()3ln g x a x b =+0a >()y f x =()y g x =a b b 0x >()()f x g x ≥()y f x =()(0)y g x x =>0

()x y ，()2f x x a '=+∵23()a g x x

'=0

()()f x g x =0

()()f x g x ''=22

000200123ln 2

32x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

，，

20032a x a x +=0

x

a =03x a =-2222215

23ln 3ln 22

b a a a a a a a =

+-=-2

25()3ln (0)2

h t t t t t =->()2(13ln )h t t t '=-(13ln )0t t ->13

0t e <<()0h t '>(13ln )0t t -<13

t e

>()0h t '<()h t 1

3

(0)e ，13

()e

∞,+()h t (0)+，

∞123

33()2

h e e =2

21()()()23ln (0)2

F x f x g x x ax a x b x =-=

+-->()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x

-+=+-=>

故在为减函数，在为增函数， 于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，．

3. （优质试题全国II 理21，字母替换，构造函数） 设函数

有两个极值点，且

⑴求的取值范围，并讨论的单调性； ⑵证明：.

解: ⑴

令，其对称轴为。

由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，

其充要条件为，得 当时，在内为增函数； 当时，在内为减函数；

当时，在内为增函数；

()F x (0)a ，()a +，∞()F x (0)+，

∞000()()()()0F a F x f x g x ==-=0x >()()0f x g x -≥0x >()()f x g x ≥()()2ln 1f x x a x =++12x x 、12x x

4

f x ->

()2222(1)11a x x a

f x x x x x

++'=+=>-++2()22g x x x a =++1

2x =-

1

2

x x 、()0g x =1-480(1)0

a g a ∆=->⎧⎨-=>⎩1

02a <<1

(1,)x x ∈-()0,()f x f x '>∴1

(1,)x -1

2

(,)x x x ∈()0,()f x f x '<∴1

2

(,)x x 2,

()

x x

∈+∞()0,()f x f x '>∴2,

()x

+∞

⑵由⑴知， 由得，

设，

则

当时，在单调递增； 当时，，在单调递减。

所以， 故．

21

(0)0,02

g a x =>∴-

<<22

2

2()220g x x x a =++=222(2)a x x =-+2()()()2222222222ln 1(2)ln 1f x x a x x x x x ∴=++=-++2()()22

1(22)ln 1()2h x x x x x x =-++>-()()()22(21)ln 122(21)ln 1h x x x x x x x '=-++-=-++1(,0)2

x ∈-()0,()h x h x '>∴1

[,0)2-(0,)x ∈+∞()0h x '<()h x (0,)+∞()1112ln 2

(,0),()224

x h x h -∈->-=当时()2212ln 2

()4

f x h x -=>