彩虹连通图

引言

1.1 基本概念

在本节中，我们要收集的大部分术语和符号用于此专题。这里还没有给出，在需要时他们将被定义出来。

所有的图形在这本书中被认为是有限、简单和无向的。我们也遵循那些不在这里定义的[ 9 ]符号术语。在这我们分别用V（G）和E（G）表示顶点集，G的边集。用任何子集（G），用G [X]表示诱导的子图，并且设E[×]的边集为G [X]；同样，对E(G)的任意子集为F，让G [F]表示包含在F中的子图。然后我们表示

成，和，这是所有对于y的图的总和。

A 是图G定义的一个集合，作为G的一个完全子图，并且最大集合中不包含任何G的较大的集合。F对于集合S，|S|为S的势。一个连通图的边称为桥，它去除

将会断开该连通图。没有桥的图叫做无桥图。一条有n个顶点的路径表示为n P，其长度为N—1并且用表示。一个顶点的度是1 那么就叫做悬垂。我们称G

路径长度为悬垂k路径，如果一个末顶点度为1，而所有内顶点度为2。悬垂1长度的路径就是一个悬垂的势。我们用表示一个周期的顶点。对于n≥3，周

期为是通过加入一个新的顶点对于每个顶点。让是一个完全偶图（它的

大小可以分别表示成s、t两部分）。线图G是图(或）其顶点集V(L(G))=E(G)和两个对于相邻顶点当且仅当他它们在G中是相邻。图G

的迭代线图对于图形的线图L(G)，被表示成。一般而言，k-迭代线图

是线图。对于一个相交图集，其顶点可以映射到集，所以有

图中的两个顶点之间的边当且仅当对应的两个集合有一个非空交。区间图是

一个实线区间图的相交图。圆弧图是圆弧形的一个相交图。一个独立的三个顶点的x、y、z图G一个星状的三重(AT)，如果每一对中的顶点，有一个路径不包含任何相邻的第三路径。有自动测试系统的图形称为无图[25]。

图G如果存在权函数，一个阈值图：V(G)→R和真正的常数，那么要两个顶点 u，v∈V(G)相邻只有满足w(u)+w(v)≥t。二部图G(A，B)称为链图，如果一个顶点

可以令为那么。

让为一个组，并让a为的元素。我们使用（a）表示a生成的循环子群。元

素的数目(a)称为a的顺序，用a表示。一对元素a和b如果，那么它就是一个交换群。果每一对元素是交换的那么它就是一个阿贝尔群。凯利图对于

S来说就是顶点集相邻的两个顶点的x和y的如果，其中是

逆封闭。

一个 k-正规图G ，v是严格的正规图，并表示为如果有λ和

μ，每两个相邻顶点的整数λ共同的相邻点，每两个不相邻顶点有μ共用的相邻点。

设G是一个连通图。G中两个顶点u和v 之间的距离由d(u、v)表示，是他们之间的最短路径的长度。偏心距对于一个顶点v是G的半径为。一个顶点v和一个集合之间的距离为

。k步打开临近的一个集合为

。一组称为k步支配集G如果

所有G的顶点距离最多k步。此外，如果D诱导一个连接子图G，则称为连接k 步支配集G。G集合的最小连通k步主导的基数称为它的连接k步控制数，由

表示出来。我们称这个集合为一个二步强支配集k[55]，如果每个顶点，至少有k个邻点不占主导地位，占据优势。一个支配集D在G中被称为双向控制集，如果它的每个垂饰顶点的都包含在D中。此外，如果G[D]连接，我们称D连接为双向控制集。一个（连接)两步支配集D中的顶点图G称为(连接)双向两步支配

集，如果(1)每个顶点包括D和(2)中的每个顶点在至少有两个临点在

里。注意，如果δ(G)≥2，然后在G中每(连接)支配集是一个(连接)双向

控制集。

设F图的是G的一个子图。在G中耳型是一个非平凡路径， F，其目的是在

F里，但其内部没有顶点。一个嵌套序列图的序列为，我们可以

得到。一个2-连通图G的耳朵分解是一个嵌套序列

在2-连接的子图里：(1)是一个周期；(2)，其中

是里的一个耳朵，1≤i≤k；(3)。

如果在H中每一对顶点之间的距离是一样的，那么G中的H图称为等距。在G

里最大等长周期可被表示。如果它不包含周期长度大于3的图，就叫做弦图。在G里的chordality图是一个包含最大周期的长度。请注意，每等长周期

性都是封闭的，因此在G是最大的 chordality。对于k≤α(G)，我们使用来表示最小度数的总和，接管所有的在G中的独立集合的顶点，其中在

G中α(G)是的最大独立集元素的数量。

1.2动机和事例

连接是最基本的图论的话题之一，无论在组合和算法的理念。许多优雅和强大的结论是图论连接的结果。还有很多方面要加强连接的概念，例如要求的哈密尔顿性，k连接，实行直径范围，要求边缘不相交的生成树的存在，等等。一种有趣的方法来定量加强连接要求，彩虹连接，首次引入查特兰等。[15]在2006年，重申如下：

这个新概念来自资源联合部之间的信息政府机构。美国国土安全署的创建在2003年回应中发现的弱点机密的安全传输在2001年9月11日之后，恐怖袭击的信息，Ericksen [38] 下列意见：这些致命攻击的一个意外后果实现执法和情报机构无法沟通彼此通过正常渠道从无线电系统数据库。利用技术是独立的en ti tie和禁止共享访问，意义那不可能人员和爱格ts之间交叉检查信息不同的组织。而信息需要保护，因为它涉及国家安全，还必须允许访问相应的缔约方之间的过程。这通过分配之间的信息传输路径可以解决两个问题可能有其他机构中介的机构，同时要求大高昂的数字密码和防火墙入侵者，然而小足以管理(即，足以让每对一个或多个路径机构没有密码重复)。一个直接的问题是：是什么密码或防火墙需要的最低数量，允许一个或多个安全沿每个路径的每两个机构之间的路径的密码是不同的？这种情况的图论模型。我们是一个非平凡连接图上进行边缘的coloring c：E(G)→{1，2，···，n}，n∈n，定义在哪里相邻边可能是彩色的相同路径如果没有两个边是彩虹这是颜色相同的。如果每一个边缘色图G彩虹连接由彩虹路径连接两个不同的顶点。下边缘色彩 G彩虹连接的称为彩虹色。显然，如果一个图是彩虹连接，它必须连接。相反，每个连接图一个微不足道的边缘色彩，使其连接的彩虹，即通过色彩边缘用不同的颜色。因此，我们定义彩虹连接的连接graph G，具体由钢筋混凝土(G)所需的最小颜色数的顺序使七彩虹连接[15]。彩虹的色彩使用(G)颜色称为最小的彩虹色。所以上面提到的问题可以建模利用计算彩虹连接数的值。显然，彩虹连接数可以视为一种新的色指数。对基本主题的介绍，我们的读者参考。11[19]。读者一项调查也可以看到[81]

除了关于彩虹色彩的自然组合措施cl的安全传输的应用愚弄机构之间的信息，彩虹连接数也可以是出于其有趣的解释在网络领域[12]。假设G代表的网络(例如一个细胞网络)。我们希望在管道的任何两个顶点之间路由消息要求每个链接上的顶点之间的路由(即每个边缘路径)分配一个不同的渠道(如，不同的频率)。显然，我们希望不同渠道的数量降至最低，我们利用我们的网络。这个数字正是钢筋混凝土(G)。

让c彩虹连通图的着色G。任何两个顶点 v G彩虹u−v测地在G是一个彩虹u−v路径长度d(u、v)。一图G强烈如果存在一个彩虹，彩虹连接u−v测地线每对不同的顶点的u和v G。在这种情况下，着色c调用 G强的彩虹色。同样，我们定义强彩虹连接。

实例：

fig1.1彩虹3着色和强大彩虹4色彼得森图