高考数学一轮复习 2-4二次函数与幂函数 理

答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
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3. 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为________．
解析 因为 3－aa＋6＝ 18－3a－a2
＝ －a＋322＋841，由于－6≤a≤3，
所以当 a＝－32时， 3－aa＋6有最大值92.
答案
9 2
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【训练 1】 (1)已知幂函数 f(x)＝(t2－t＋1)·x
(t∈N)是偶函数，
则实数 t 的值为________．
(2)(2014·潍坊模拟)当 0＜x＜1 时，函数 f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，
h(x)＝x－2 的大小关系是________． 解析 (1)因为函数为幂函数，所以 t2－t＋1＝1，即 t2－t＝0，
的取值范围是________．
• 解析 由于二次函数的图象开口向上，对
称轴为x＝a，若使其在区间(2,3)内是单调函
数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即
a≤2或a≥3.
• 答案 (－∞，2]∪[3，＋∞)
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考点一 幂函数的图象和性质 【例 1】 (1)(2014·无锡质检)已知点 33， 3在幂函数 f(x)的图象
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2．(2015·湛江二模)若关于 x 的方程 x2＋mx＋14＝0 有两个不相等的 实数根，则实数 m 的取值范围是________． 解析 因为关于 x 的方程 x2＋mx＋14＝0 有两个不相等的实数 根，所以 Δ＝m2－4×14×1＞0，即 m2＞1，解得 m＜－1 或 m ＞1.
图象
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• 续表
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域 单调性
4ac4－a b2，＋∞
在 x∈－∞，－2ba上单调 递 在减x∈；－2ba，＋∞ 上单 调递增
－∞，4ac4－a b2
在 x∈－∞，－2ba上 单调递增；
在 x∈－2ba，＋∞上 单调递减
对称性
函数的图象关于 x＝－2ba对称
所以 t＝0 或 t＝1.当 t＝0 时，函数为 f(x)＝x 为奇函数，不满足
条件．当 t＝1 时，f(x)＝x 为偶函数，所以 t＝1.
(2)如图所示为函数 f(x)，g(x)，h(x)在
(0,1)上的图象，由此可知，h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案 (1)1 (2)h(x)＞g(x)＞f(x)
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4．已知幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点2， 22，则 f(4)＝________.
解析 ∵f(2)＝2α＝ 22，∴α＝－12，即 f(x)＝x ，
∴f(4)＝4 ＝12.
答案
1 2
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• 5．(2014·苏州调研)已知二次函数y＝x2－ 2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a
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• 考点二 二次函数的图象及应用
• 【例2】 (1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋ bx＋c的图象可能是________(填序号)．
• (2) 已 知 函 数 f(x) ＝ x2－ 2(a ＋ 2)x ＋ a2，
g(x) ＝ － x2 ＋ 2(a － 2)x － a2 ＋ 8. 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(max{p ， q} 表 示 p ， q 中 的 较 大 值 ，
•①
一 ax2＋b般x＋c(a≠0式)
：wk.baidu.com
＝
．
f(x)
• ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
• ③ 零 点 式 ： f(x) ＝ a(x － x1)(x － x2)(a≠0)．
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• (2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
答案 (1)x－1 (2)0.9 ＜1＜1.1
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•规律方法 (1)幂函数解析式一定要设为y＝ xα(α为常数)的形式．(2)可以借助幂函数的图
象理解函数的对称性、单调性．(3)在比较幂值
的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的
函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个 幂函数的图象和性质是解题的关键．
min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的
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• 2.幂函数
• (1)幂函数的定义
• 一般地，形y＝如xα
的函数称
为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
• (2)常见的5种幂函数的图象
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• (3)常见的5种幂函数的性质
函数 特征 y
＝
x 性质
定义 域
R
y＝x2 R
y＝ y＝x x3
上，则 f(x)＝________. (2)1.1 ，0.9 ，1 的大小关系为________．
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解析 (1)设 f(x)＝xα，由已知得 33α＝ 3，解得 α＝－1，因此 f(x)＝x－1. (2)把 1 看作 1 ，幂函数 y＝x 在(0，＋∞)上是增函数． ∵0＜0.9＜1＜1.1，∴0.9 ＜1 ＜1.1 . 即 0.9 ＜1＜1.1 .
• 第4讲 二次函数与幂函数
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考试要求 1.二次函数的图象与性质及应用，B 级要求；2.幂函数 的概念，函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x 的图象与性质， A 级要求．
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•知 识 梳 理
• 1．二次函数
• (1)二次函数解析式的三种形式
[0，＋∞)
[0，＋∞)
R
y＝x－1
{x{且|yx|y∈≠y∈0R}R，， 且x≠0}
值域 R [0，＋∞) R
奇偶 性
奇
偶
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非奇非 偶
奇
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诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) (2)幂函数的图象不经过第四象限．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(× ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定 是4ac4－a b2.(× )