matlab 代数方程求解
Matlab多项式运算与代数方程求解
上机要求
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将所有文件作为附件，通过 foxmail 以邮件形式发给
mhjs@system.mail 邮件主题为：机号-学号-姓名，其中机号为 两位数 三个字段之间用英文状态下的减号连接 每个 M 文件的第一行添加一条注解语句:
% 机号-学号-姓名
22
注意：f 不是方程！也不能使用符号表达式！
15
fzero 举例
例：求 f(x)=x3-3x+1 在区间 [-2, 0] 内的实根。
f=@(x) x^3-3*x+1; x0=fzero(f,[-2,0])
例：求 f(x)=sin(x) 在 10 附近的实根。
fzero(@sin,10)
用 fzero 求零点时可以先通过作图确定零点的大致范围
17
代数方程符号求解
solve 也可以用来解方程组 solve(f1,f2, ...,fN, v1,v2, ...,vN)
求由 f1 , f2 , ... , fN 确定的方程组关于 v1 , v2 , ... , vN 的解
x 2 y z 27 xz3 x 2 3 y 2 28
11
多项式运算中， 使用的是多项式
系数向量，
不涉及符号计算！
内容提要
多项式运算
多项式转化为符号表达式：poly2sym, sym2poly
四则运算：conv、deconv
导数与积分：ployder、polyint 求值与零点：polyval、polyvalm、roots、poly
代数方程求解
线性方程组数值求解：linsolve 非线性方程数值求解：fzero 非线性方程符号求解：solve
专题4 使用MATLAB求解线性方程组的不同方法
Z = null(A) 求出 Ax=0 的基础解系后，将基础解系的向量正交单位化，存储在 Z 中. MATLAB 源代码如下： A=[1 2 2 1；2 1 -2 -2；1 -1 -4 -3]
A= 12 2 1 2 1 -2 -2 1 -1 -4 -3
Rank(A) Ans= 2 A=sym(A) A= [1,2,2,1] [2,1,-2,-2] [1,-1,-4,-3] null(A) ans= [2, 5/3] [-2,-4/3] [1, 0] [0, 1]
运行结果为： rank_A =
2 rank_B =
2 S_H =
-2
1
1
0
0
2
0
1
S_P =
0
1.7500
0
-0.5000
则该线性方程组有无穷多解为：
2 1 0
x
k1
1 0
k2
0 2
7 0
/
4
,
k1
,Leabharlann k2R 0 1 1/ 2
nulla?r?求系数矩阵为a的齐次线性方程组ax0的基础解系结果为有理数bnulla求出ax0的基础解系后将基础解系的向量正交单位化存储在zmatlab源代码如下
专题 4 使用 MATLAB 求解线性方程组的方法
x1 2 x2 2x3 x4 0
【例
1】求齐次方程组
2 x1
end end
x1 2x2 2x3 3x4 2 【例 1.3】使用 Matlab 求解方程组 2x1 4x2 3x3 4x4 5
matlab求解微分代数方程
文章主题：探索数学求解软件Matlab在微分代数方程求解中的应用1. 引言微分代数方程（DAE）是描述物理系统中的相互依赖性和复杂性的数学模型。
解决这类方程对于现代科学和工程领域至关重要。
Matlab作为一种强大的数学计算软件，在微分代数方程求解中具有独特的优势。
本文将从简单到复杂的方式，探讨Matlab在DAE求解中的应用，并共享个人见解。
2. DAE的基本概念微分代数方程是描述包含未知函数及其导数或导数与未知函数的组合的方程。
通常的形式为F(x, x', t) = 0，其中x为未知函数，x'为其导数，t为自变量。
在实际应用中，这些方程往往伴随着初始条件和边界条件。
3. Matlab在解常微分方程（ODE）中的应用Matlab拥有丰富的ODE求解函数，如ode45、ode23等，可用于求解各种常微分方程。
这些函数可以自动选择适当的数值积分方法，并提供了方便的接口和参数设置，极大地简化了求解过程。
4. DAE求解方法的挑战与ODE相比，DAE的求解更具挑战性。
由于包含了代数变量和微分变量，常规的数值积分方法难以直接应用。
而且，方程的初始条件和边界条件也增加了求解的复杂性。
5. Matlab在DAE求解中的工具Matlab提供了一系列专门用于DAE求解的函数和工具包，如dare和ddesd等。
这些工具在模型建立、数值解法选择、收敛性分析等方面都具有独特的优势。
6. 案例分析：用Matlab求解电路模型的DAE以电路模型的DAE为例，通过Matlab可以快速建立系统的数学模型，并进行数值求解。
通过对参数的调节和模型的分析，可以更好地理解电路的动态特性，帮助优化设计和故障诊断。
7. 总结与展望通过本文的探讨，我们更深入地了解了Matlab在微分代数方程求解中的重要性和应用。
在未来，随着科学技术的发展，Matlab在此领域的功能和性能将得到进一步的提升，为工程科学领域提供更强大的支持。
个人观点：Matlab作为一种综合性的科学计算软件，对微分代数方程的求解起着至关重要的作用。
MATLAB解代数方程
例 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0， 迭代精度为10-6。 在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下： A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]; b=[9,7,6]'; x= [x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6) 0.9958
x= -66.5556 25.6667 -18.7778 26.5556
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一 个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。 MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格 式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使 之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵 R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
-1.7556 n= n1 =
4
1011
非线性方程数值求解
单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函数，可以用来求单变量 非线性方程的根。该函数的调用格式为： z=fzero('fname',x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个 函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个 根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace• 指 定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示， 缺省时取trace=0。
例 用LU分解求解线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
用MATLAB做线性代数实验
【2】参数方程解的判别 【注意】 ：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用 Matlab 中 的函数：rank,rref,因为 Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应 该编写独立的过程加以讨论。 试就参数 s 的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：
sx y z 1 x sy z s 。 2 x y sz s
p1 ( x ) q( x ) p2 ( x ) r ( x ) , d (r ( x )) d ( p2 ( x ))
例如，求多项式 f ( x ) x 3 6 x 2 11 x 6 , g( x ) x 5 2 x 2 1 的最大公因式和最小公倍 式。 p=[1 -6 11 -6]; q=[1 0 0 -2 0 1]; [q1,r1]=deconv(q,p) [q2,r2]=deconv(p,r1(4:6)) %注意保证第一个分量不能为零 [q3,r3]=deconv(r1(4:6),r2(3:4))
x2 x3 2 x2 3 x 2
分解为最简分式之和的程序如下：
-0.5000 - 1.3229i -1.0000 r = [] 结果表示出来即是：
f ( x)
如果是在实数范围内分解：
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
用 MATLAB 做线性代数实验
1. 多项式运算
【1】表示方法与根 表示方法：降幂，向量形式. 例如， p( x ) 2 x x 3 x5 被表示为向量 p=[-1 0 1 0 2 0] 而不是 p=[0 2 0 1 0 -1] 或者 p=[2 1 -1]. 相关 MATLAB 函数 函数名 含义 %注意保证第一个分量不能为零
MATLAB线性方程组和代数方程数值求解
第10讲 线性方程组和代数方程数值求解 （第8章 MATLAB 方程数值求解）目的：一、 掌握矩阵的分解与线性方程组的解 二、 代数方程数值求解的方法。
—————————————————————————————————————— 一、掌握线性方程组和代数方程数值求解的方法。
（一）矩阵的分解 1、化简矩阵的计算工作量当方程组AX b =的系数矩阵为方阵且可逆时，方程组有唯一解。
1X A b −=，求1A −或者1A b −的方法是将()()1,~,rA E E A−或者()()1,~,rA b E A b −这两个方法都需要经过将矩阵A 化为单位矩阵E 这一过程，而将矩阵A 化为单位矩阵E 通常采用高斯消元法。
假设110a ≠利用11a 将红框内的元素化为0，在计算化简的过程中，蓝框内的元素也要一起同步计算。
重复这一过程，可以将A 从上往下化简为上三角矩阵：可以继续将这个矩阵从下往上化简为对角矩阵，在往上化简时，比如用nn b 化简红框元素，由于主对角线下元素是零，此时蓝框内的元素不会一起同步计算。
112233000000000000nn a b b b，（2）对比从上往下，和从下往上化简的过程可知，化简一般矩阵为单位矩阵的计算工作量远远大于将三角矩阵化简为单位矩阵的计算工作量。
2、方阵的LU 分解与方程组n A X b =的求解矩阵的LU 分解是指将矩阵A 分解为下三角矩阵L 与上三角矩阵U 的乘积，即A L U =⋅，方程组AX b =等同于LUX b =，解得11X U L b −−=，由于,L U 是三角矩阵，求逆时运算量比较小。
所以如果,L U 已知，用11X U L b −−=求解比用1X A b −=更加有效。
但如果,L U 未知，用11X U L b −−=求解方程组，还需要将A 分解为,L U ，如果求出的,L U 只用于求解一个方程组AX b =，显然并不比用1A −求解更有效。
matlab求解代数方程组解析
第三讲 Matlab 求解代数方程组理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1）一、直接法 1.高斯消元法：高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以111,k a a -加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩（2）其中(1)(1)1111,.k k aa b b ==再设(2)220,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2(2)22,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到：(1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2)22112(1)(1)(1)1,111,1()()n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=⎩（3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在()0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示：若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯消元法的过程可用矩阵表示为：121121.n n M M M Ax M M M b --=其中：(1)21(1)111(1)1(1)11111n a a M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (2)32(2)222(2)2(2)221111n a a M a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭高斯消元法的Matlab 程序： %顺序gauss 消去法,gauss 函数 function[A,u]=gauss(a,n) for k=1:n-1%消去过程 for i=k+1:n for j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能削去 if abs(a(k,k))>1e-6 %计算第k 步的增广矩阵 a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j); else%a(k,k)=0,顺序gauss 消去失败 disp (‘顺序gauss 消去失败‘)； pause; exit; end end end end%回代过程 x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回gauss 消去后的增广矩阵 A=triu(a); %返回方程组的解 u=x ;练习和分析与思考： 用高斯消元法解方程组：12345124512345124512452471523814476192536x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++=⎪⎪++++=⎨⎪+++=⎪+++=⎪⎩2.列主元素消元法在高斯消元法中进行到第k 步时，不论()k ik a 是否为0，都按列选择()||(,,)k ik a i k n = 中最大的一个，称为列主元，将列主元所在行与第k 行交换再按高斯消元法进行下去称为列主元素消元法。
MATLAB第五课 代数方程求解
习题：见109页1-10
x=
用solve命令解方程
>> x=solve('x+3=0') >> x=solve('x+3')
x=
x=
当你传递给solve函数x+3时，MATLAB假 设你传递的就是x+3=0 -3 -3 提问：如果你求解的方程有时候可能含有多个符 号，如ax+5=0，这个时候怎么求解？
提问：如果你在MATLAB中输入方程ax+5=0， MATLAB只认为求解x。 >> solve('a*x+5') ans = -5/a
>> doபைடு நூலகம்ble(s(1))
ans =
4.2588
>> double(s(2))
ans =
1.1164
>> ezplot(eq1,[-10 10])
x -5 x +4 x -5 x+6
10000 8000 6000 4000 2000 0 -10 -5 0 5 10
4
3
2
x
5
解： 5x+4y=3 X-6y=2
>> ezplot('x+3=0') ??? Error using ==> inlineevalError in inline expression ==> x+3=0??? Error: The expression to the left of the equals sign is not a valid target for an assignment.Error in ==> inline.feval at 34 INLINE_OUT_ = inlineeval(INLINE_INPUTS_, INLINE_OBJ_.inputExpr, INLINE_OBJ_.expr); Error in ==> specgraph\private\ezplotfeval at 54 z = feval(f,x(1));Error in ==> ezplot>ezplot1 at 448[y,f,loopflag] = ezplotfeval(f,x); Error in ==> ezplot at 148 [hp,cax] = ezplot1(cax,f{1},vars,labels,args{:});
Matlab 求代数方程的近似解
x*
即 x* ( x*)
( x*)
f ( x*) 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！
迭代法收敛性判断
如果存在 x* 的某个 邻域 =(x*- , x* + ), 使 定义： 得对 x0 开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 设 x* =(x*)，的某个邻域 内连续，且对 定理 1： x 都有 |’(x)|q< 1, 则对 x0 ，由迭 代 xk+1 = (xk) 得到的点列都收敛。
f 是符号表达式，也可以是字符串 默认变量由 findsym(f,1) 确定
>> syms x >> f=sin(x)+3*x^2; >> g=diff(f,x) >> g=diff('sin(x)+3*x^2','x')
Matlab 解方程函数
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用
inline、字符串、或 @，但不能是方程或符号表达式！
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
xk k 0
f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
迭代法的收敛性
收敛性分析
若 ，假设 (x) 连续，则 xk x * xk 收敛，即lim k
matlab微积分例题精选
matlab 微积分基本运算§1 解方程和方程组解1. 线性方程组求解对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵有三种情形：1)当n=m 且A 非奇异时,此方程为“恰定”方程组。
2)当 n > m 时,此方程为“超定”方程组。
3)当n<m 时,此方程为“欠定”方程组。
下面就三种情形的求解分别作一说明：(1) MATLAB 解恰定方程 A* X = B 的方法1)采用求逆运算解方程x=inv(A)*B2)采用左除运算解方程x=A\B例1 “求逆”法和“左除”法求下列方程组的解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x xx x x x x x x 在Matlab 编辑器中建立M 文件fanex1.m ：A=[5 6 0 0 01 5 6 0 00 1 5 6 00 0 1 5 60 0 0 1 5];B=[1 0 0 0 1]';R_A=rank(A) %求秩X1=A\B %用"左除"法解恰定方程所得的解X2=inv(A)*B %用"求逆"法解恰定方程所得的解运行后结果如下R_A =5X1 =2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188X2 =2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188两种方法所求方程组的解相同。
(2)MATLAB 解超定方程AX=B 的方法对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵， n > m ，如果A 列满秩，则此方程是没有精确解的。
然而在实际工程应用中，求得其最小二乘解也是有意义的。
基本解法有：1)采用求伪逆运算解方程x=pinv(A)*B说明：此解为最小二乘解x=inv(A ’*A)*A*B,这里pinv(A) =inv(A ’*A)*A.2)采用左除运算解方程x=A\B例2 “求伪逆”法和“左除”法求下列方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+12214212212121x x x x x x命令如下：>> a=[1 2;2 4;2 2];>> b=[1,1,1]';>> xc=a\b %用左除运算解方程运行得结果:xc =0.40000.1000>> xd=pinv(a)*b %用求伪逆运算解方程运行得结果:xd =0.40000.1000>> a*xc-b %xc 是否满足方程ax=b运行得结果:ans =-0.40000.20000.0000可见xc 并不是方程的精确解。
代数方程组的MATLAB求解
【分析】对于这样一个比较复杂的函数，我们不好判断它的零点的范围，只有先画出图形观察。 执行如下语句，得到函数图形如图所示。
图
函数图形
由图可知，题述函数共有5个根，下面利用鼠标取点函数ginput选取迭代初始值，然后利用fsolve 函数求解
谢谢大家！
Gauss消去法 Gauss消去法是求解线性方程组较为有效的方法，它主要包括两个操作：消元和迭代。顺 序Gauss消去法是指按行原先的位置进行消元的Gauss消去法。下面介绍顺序Gauss消去法的一 般步骤。为叙述方便，将线性方程组 写成增广矩阵的形式
其中
3.矩阵分解法及其MATLAB实现
求解线性方程组除了消去法，还有矩阵分解方法。 所谓矩阵分解方法，就是将矩阵 A 分解成两个或多个简单矩阵的乘积，由于分解后的矩阵 具有某种特殊性，因此便于方程组的求解。
，而其余
2.消去法及其MATLAB实现
上三角形方程组的求解
称形如 的方程组为上三角形方程组
，写成矩阵形式为
其中
称 U为上三角矩阵。若
即
则上三角方程组有唯一解，且可从上式的最后一个方程解出 代入倒数第二个方程 可得 一般地，设已求得 ，则由上述方程组的第i个方程可得 上述求解方程组的过程称为回代过程。
第10章 代数方程组的MATLAB求解
编者
Outline
10.1 10.2 10.3
线性方程组的求解 多项式方程组的准解析解法 超越方程组的求解
10.1 超越方程组的求解
1.克莱姆（Cramer）法则及其MATLAB实现
对于恰定线性方程组
若其系数行列式
,
则上述线性方程组有唯一解
其中 是把D 中第j 列元素 对应地换成常数项 各列保持不变所得到的行列式，这就是克莱姆（Cramer）法则。 MATLAB中没有提供实现克莱姆法则的函数，这需要我们自行编写相应的函数文件
第六讲：Matlab多项式与代数方程求解器
多项式除法运算： [k,r] = deconv(p,q)
其中 k 返回的是多项式 p 除以 q 的商，r 是余式。 [k,r]=deconv(p,q) <==> p=conv(q,k)+r
计算两多项式的乘除法 p=[2 -5 6 -1 9]; poly2sym(p) d=[3 -90 -18]; poly2sym(d) pd=conv(p,d) poly2sym(pd) p1=deconv(pd,d)
[r,p,k]=residue(b,a)
[bb,aa]=residue(r,p,k)
因式分解和展开
MATLAB提供了对符号表达式、符号矩阵等 进行因式分解、同类项合并和展开等操作。
因式分解的主要函数有：factor、 collet、expand
多项式的简化
简化的主要函数有：
pretty(s)%将代数式s转化为手写形式。
多项式的值
矩阵多项式求值
Y=polyvalm(p,X)
与代数多项式求值不同之处： 采用的是普通矩阵运算； X 必须是方阵 polyvalm(p,A) = 2*A*A*A - A*A + 3*eye(size(A)) polyval(P,A) = 2*A.*A.*A - A.*A + 3*ones(size(A))
Matlab 多项式运算
与代数方程求解器
Matlab 多项式运算
Matlab 中多项式的表示方法
在 Matlab 中，n 次多项式是用一个长度为 n+1的向量来 表示，缺少的幂次项系数为 0。
p( x) an x n an1x n1 a1x a0 在 Matlab中表示为向量： [an , an1 , , a1 , a0 ]
matlab解代数方程组
在MATLAB中，你可以使用`syms`来定义符号变量，并使用`solve`函数来解代数方程组。
以下是一个基本的示例：
```matlab
导入符号计算工具箱
syms x y;
定义方程组
eq1 = x^2 + y^2 - 1; x^2 + y^2 = 1
eq2 = x*y - 2; x*y = 2
解方程组
sol = solve([eq1, eq2], [x, y], dict);
显示解
disp(sol);
```
在这个示例中，我们定义了一个包含两个变量的符号系统，然后定义了两个方程。
我们使用`solve`函数来找到满足这两个方程的`x`和`y`的值。
结果将以字典的形式返回。
注意，你的方程组可能包含更多的变量或者更复杂的方程，但是基本的步骤是相同的。
你只需要将你的方程放入`solve`函数的输入中，并指定你希望得到的变量。
matlab代数方程近似解
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
字符串表示的方程、符号表达式； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。
上机作业
1.根据二分法的步骤编写程序bisec.m求
相关概念
线性方程 与 非线性方程
f ( x) 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方 程；否则称之为非线性方程。
本节主要讨论非线性方程的数值求解
对分法
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。
适用范围
(4) 令 x1 (a1 b1 ) / 2, 若 | f ( x1 ) | ，则停止计算， 输出结果 x x1； 若 f (a1 ) f ( x1 ) 0，令 a2 a1, b2 x1; 否则令 a2 x1, b2 b1；
... ...
Matlab程序见 bisec.m
f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) 2! ( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
令： P ( x ) 0
P( x)
( f '( x0 ) 0)
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
(1) 令 x0 (a b) / 2，计算 f ( x0 )； (2) 若 | f ( x0 ) | ，则 x0 就是我们所要的近似根，
停止计算， 输出结果 x x0；
用Matlab解代数方程
一般的代数方程函数solve用于求解一般代数方程的根，假定S为符号表达式，命令solve (S)求解表达式等于0的根,也可以再输入一个参数指定未知数。
例：syms a b c xS=a*x^2+b*x+c;solve(S)ans=[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]b=solve(S,b)b =-(a*x^2+c)/x线性方程组线性方程组的求解问题可以表述为：给定两个矩阵A和B，求解满足方程AX=B或XA=B的矩阵X。
方程AX=B的解用X=A\B或X=inv (A)*B表示；方程XA=B 的解用X=B/A或X=B*inv (A)表示。
不过斜杠和反斜杠运算符计算更准确，占用内存更小，算得更快。
线性微分方程函数dsolve用于线性常微分方程（组）的符号求解。
在方程中用大写字母D表示一次微分,D2，D3分别表示二阶、三阶微分，符号D2y相当于y关于t的二阶导数。
函数dsolve的输出方式格式说明y=dsolve(‘Dyt=y0*y’) 一个方程，一个输出参数[u,v]=dsolve(‘Du=v’,’Dv=u’) 两个方程，两个输出参数S=dsolve(‘Df=g’,’Dg=h’,’Dh=-2*f ‘)方程组的解以S.fS.g S.h结构数组的形式输出例1 求 21u dtdu += 的通解.解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')结果：u = tg(t-c)例2 求微分方程的特解.ïîïíì===++15)0(',0)0(029422y y y dxdydx y d 解输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为: y =3e -2x sin （5x ）例3 求微分方程组的通解.ïïïîïïïíì+-=+-=+-=z y x dtdz zy x dtdyz y x dt dx244354332解输入命令：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；x=simple(x) % 将x 化简y=simple(y)z=simple(z)结果为：x = (c 1-c 2+c 3+c 2e -3t -c 3e -3t )e 2ty = -c 1e -4t +c 2e -4t +c 2e -3t -c 3e -3t +(c 1-c 2+c 3)e 2t z = (-c 1e -4t +c 2e -4t +c 1-c 2+c 3)e 2t非线性微分方程注意:1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.例4 ïîïíì===---0)0(';2)0(0)1(1000222x x x dtdx x dt x d 解: 令y 1=x ，y 2=y 1’则微分方程变为一阶微分方程组：ïîïíì==--==0)0(,2)0()1(1000''211221221y y y y y y y y 1、建立m-文件vdp1000.m 如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);2、取t 0=0，t f =3000，输入命令：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-')3、结果如图50010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52例5 解微分方程组.ïïîïïíì===-=-==1)0(,1)0(,0)0(51.0'''321213312321y y y y y y y y y y y y 解1、建立m-文件rigid.m 如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t 0=0，t f =12，输入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、结果如图24681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y 1的图形为实线，y 2的图形为“*”线，y 3的图形为“+”线.例6 Lorenz 模型的状态ïîïíì-+-=+-=+-=)()()()()()()()()()()()(322133223221t x t x t x t x t xt x t x t xt x t x t x t x r s s b &&& 若令3/8,28,10===b r s 且初值为e ===)0(,0)0()0(321x x x ，e 为一个小常数，假设1010-=e。
线性代数方程组数值解法及MATLAB实现综述
线性代数方程组数值解法及MATLAB 实现综述廖淑芳 20122090 数计学院 12计算机科学与技术1班（职教本科） 一、分析课题随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
其数值计算中线性代数方程的求解问题就广泛应用于各种工程技术方面。
因此在各种数据处理中，线性代数方程组的求解是最常见的问题之一。
关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类：直接法和迭代法。
直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
迭代法包括Jacobi 法SOR 法、SSOR 法等多种方法。
二、研究课题-线性代数方程组数值解法 一、 直接法 1、 Gauss 消元法通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A 对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。
1.1消元过程1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。
11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M M L (1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()000000nn n n n nn n a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L L M M M OM M L 步骤如下：第一步：1111,2,,i a i i n a -⨯+=L 第行第行 11121121222212n nn n nn n a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭L L M M O M M L111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n nn nn n a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LL M M O M M L第二步：(2)2(2)222,3,,i a i i n a -⨯+=L 第行第行111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200nnn nn n a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M M L11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333(3)(3)(3)300000n n nn nn n a a a a b a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL LM M M O M M L 类似的做下去，我们有：第k 步：()()k ,1,,k ikk kka i i k n a -⨯+=+L 第行第行。
matlab计算ax=0的基础解系
一、背景介绍在数学和工程学中，我们经常会面对线性代数方程组的求解问题。
其中，当我们遇到方程组的解空间非常庞大或是无穷多解时，我们就需要找到方程的基础解系来描述解空间的性质。
在实际应用中，Matlab 是一个非常强大的数学计算软件，它提供了丰富的工具和函数来进行线性代数方程组的求解和分析。
二、什么是基础解系基础解系是指线性代数方程组Ax=0的解空间中的一组基。
它的性质决定了解空间的维数和特征，对于理解和求解方程组的特解和通解非常重要。
在Matlab中，我们可以通过一系列的操作和函数来求解方程组的基础解系。
三、如何在Matlab中计算基础解系1. 定义矩阵A我们需要在Matlab中定义一个矩阵A，表示线性代数方程组Ax=0中的系数矩阵。
2. 调用null函数接下来，我们可以使用Matlab中的null函数来求解方程组的基础解系。
null函数可以计算出矩阵A的零空间，也就是方程组的解空间。
3. 判断解的维数通过null函数求解出的基础解系矩阵，我们可以判断解空间的维数。
在Matlab中，我们可以通过rank函数来计算矩阵的秩，从而确定解空间的维数。
4. 整理基础解系我们可以对求解出的基础解系矩阵进行整理和分析，得到方程组解空间的特征和性质。
四、实例分析让我们通过一个简单的实例来演示在Matlab中计算基础解系的过程。
假设我们有一个3x3的系数矩阵A：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]我们可以通过Matlab中的null函数来求解方程组Ax=0的基础解系：null(A)通过该函数我们可以得到一个基础解系矩阵B：B = [1 -2 1; 0 0 0]通过观察B矩阵，我们可以判断方程组Ax=0的解空间的维数为1。
这意味着方程组存在一个基础解系，解空间由一维向量张成。
五、总结在Matlab中计算线性代数方程组Ax=0的基础解系是一个非常重要且常见的问题。
通过使用Matlab提供的null函数、rank函数等工具，我们可以轻松地求解出方程组的解空间特征和性质。
【MATLAB】实验五：数值微积分与方程数值求解
实验五 数值微积分与方程数值求解一、实验目的1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。
2. 掌握代数方程数值求解的方法。
3. 掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容要求：命令手工 ( )输入1. 求函数在指定点的数值导数。
232()123,1,2,3026x x x f x x x x x==2. 用数值方法求定积分。
(1) 210I π=⎰的近似值。
(2) 2220ln(1)1x I dt xπ+=+⎰3. 分别用三种不同的数值方法解线性方程组。
6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩4. 求非齐次线性方程组的通解。
1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解：先建立M 函数文件,然后命令窗口中写命令。
121/119/112/115/111/1110/11100010X k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中12,k k 为任意常数。
5. 求代数方程的数值解。
(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ans =1289/6826. 求函数在指定区间的极值。
(1) 3cos log ()xx x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
（以下选作题，是微分方程的数值解）7. 求微分方程的数值解。
x 在[1.0e-9,20]2250(0)0'(0)0xd y dy y dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩解：M 文件：运行结果：8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线。
Matlab方程的求解
Matlab方程的求解Matlab是一个广泛使用的数学编程环境，它提供了许多强大的数值计算功能，包括求解各种数学方程。
以下是一些关于如何在Matlab中求解方程的基本步骤。
步骤1：启动Matlab首先，你需要打开Matlab。
你可以在Windows、macOS或Linux等操作系统上安装和使用Matlab。
步骤2：创建方程在Matlab中求解方程的第一步是创建方程。
例如，如果你想求解以下线性方程：2x + 3y = 104x - y = 14你可以在Matlab中输入这些方程如下：eq1 = 2x + 3y == 10;eq2 = 4*x - y == 14;步骤3：使用solve函数求解方程接下来，你可以使用Matlab中的solve函数来求解这些方程。
solve函数可以找到使方程为零的变量值。
你可以输入以下命令来求解上述方程：sol = solve([eq1, eq2], [x, y]);在这个例子中，sol是一个包含解的对象，x和y是未知数，eq1和eq2是包含已知数的方程列表。
这个命令会找到满足这两个方程的x和y的值。
步骤4：显示解你可以使用以下命令来查看解：disp(sol)这将显示包含解的对象sol的属性。
例如，它可能会显示以下内容：x = 1.0000 + 2.0000i y = 3.0000 + 2.0000i这表明x的值为1+2i，y的值为3+2i。
如果你需要的是实数解，可以通过以下方法获得：x_real = real(sol.x); y_real = real(sol.y);disp([x_real, y_real])以上就是在Matlab中求解方程的基本步骤。
需要注意的是，对于一些更复杂的方程或者非线性方程，可能需要使用其他的Matlab函数或者额外的工具箱来求解。
在处理复杂的数学问题时，Matlab的文档和帮助功能可以提供更多的信息和帮助。
Matlab第九讲--求代数方程的近似根(解)
1 1 1 1 | xk | ( bk ak ) ( bk 1 ak 1 )= = k 1 ( b a ) 2 2 2 2
以课本p84中x^3-3x+1=0为例，来考察上 面的几种求根方法
（1）二分法 erfenfa.m （2）普通迭代法 jiandandiedaifa.m （3）收敛发散判断 diedaifashoulianxing.m （4）松弛迭代法 songchidiedaifa.m （5）Altken迭代法 Altkendiedaifa.m （6）牛顿迭代法 niudundiedaifa.m
牛顿法迭代公式
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭 代点充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点
对重根收敛速度较慢（线性收敛）
对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗 糙近似，然后再用牛顿法求解。
数学实验
求代数方程的近似根(解)
问题背景和实验目的
解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是 众多应用领域中不可避免的问题之一。 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如 果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可 以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对 分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解。
>> p=[2,-1,0,3]; >> q=[2,1]; >> k=conv(p,q);
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k=polyder(p,q): p*q 的导数；
[k,d]=polyder(p,q): p/q 的导数，k 是分子，d 是分母
3 2 p ( x ) 2 x x 3， q( x) 2 x 1 ， 例：已知 求 p' , ( p q)' , ( p / q)'
3 2 p 2 x x 3 例： 1 p2 2 x 1 p1 p2 2 x 3 x 2 2 x 4
[2, 1, 0, 3] [ 0, 0, [ 2, 1] [2, 1, 2, 4]
多项式四则运算
多项式乘法运算： k = conv(p,q)
例：计算多项式 2 x 3 x 2 3 和 2 x 1 的乘积
X
Matlab 符号方程求解器
solve s=solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解； s=solve(f)：求方程关于默认自变量的解。
f 可以是用字符串表示的方程，或符号表达式； 若 f 中不含等号，则表示解方程 f=0。 例：解方程 x^3-3*x+1=0 >> syms x; f=x^3-3*x+1; >> s=solve(f,x) >> s=solve('x^3-3*x+1','x') >> s=solve('x^3-3*x+1=0','x')
注：若 x 是向量或矩阵，则采用数组运算 (点运算)！ 例：已知 p( x) 2 x 3 x 2 3，分别取 x=2 和一个 22 矩阵， 求 p(x) 在 x 处的值 >> p=[2,-1,0,3]; >> x=2; y=polyval(p,x) >> x=[-1, 2;-2,1]; y=polyval(p,x)
>> p=[2,-1,0,3]; >> q=[2,1]; >> k=conv(p,q);
多项式除法运算： [k,r] = deconv(p,q)
其中 k 返回的是多项式 p 除以 q 的商，r 是余式。 [k,r]=deconv(p,q) <==> p=conv(q,k)+r
多项式的求导
polyder
多项式的零点
x=roots(p)：若 p 是 n 次多项式，则输出是 p=0 的 n 个根组成的 n 维向量。
3 2 例：已知 p( x) 2 x x 3，求 p(x) 的零点。
>> p=[2,-1,0,3]; >> x=roots(p) 若已知多项式的全部零点，则可用 poly 函数给出该多项式 p=ploy(x)
例： 2 x 3 x 2 3
[2, 1, 0, 3]
注：系数中的零不能省！
多项式显示: poly2sym(p,’x’)
多项式四则运算
多项式加减运算
Matlab 没有提供专门进行多项式加减运算的函数，事实 上，多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算 对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量进行 加减运算； 如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系 数不足的高次项用 0 补足，然后进行加减运算。
>> k1=polyder([2,-1,0,3]); >> k2=polyder([2,-1,0,3],[2,1]); >> [k2,d]=polyder([2,-1,0,3],[2,1]);
多项式的值
计算多项式在给定点的值
代数多项式求值
y = polyval(p,x): 计算多项式 p 在 x 点的值
>> [x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3', ... 'x^2+3*y^2=28','x','y','z') 输出变量的顺序要书写正确！
solve 在得不到解析解时，会给出数值解。
x 2 y z 27 例：解方程组 x z 3 x 5 3 y 2 28
p( x) ( x x1 )( x x2 )( x xn )
多项式运算小结
poly2sym(p,’x’) k = conv(p,q) [k,r] = deconv(p,q) k = polyder(p) [k,d] = polyder(p,q) [k,d] = polyder(p,q) y = polyval(p,x) Y = polyvalm(p,X) x = roots(p)
Matlab 符号方程求解器
solve 也可以用来解方程组 solve( f1 , f2 , ... , fN , v1 , v2 , ... , vN)
求解由 f1 , f2 , ... , fN 确定的方程组关于 v1 , v2 , ... , vN 的解
x 2 y z 27 例：解方程组 x z 3 x 2 3 y 2 28
>> [x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3', ... 'x^5+3*y^2=28','x','y','z')
求解方程函数小结
roots(p)：多项式的所有零点，p 是多项式系数向量。 fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用
inline、字符串、或 @，但不能是方程或符号表达式！
非线性方程的根
Matlab 非线性方程的数值求解 fzero(f,x0)：求方程 f=0 在 x0 附近的根。
方程可能有多个根，但 fzero 只给出距离 x0 最近的一个 x0 是一个标量，不能缺省 fzero 先找出一个包含 x0 的区间，使得 f 在这个区间 两个端点上的函数值异号，然后再在这个区间内寻找方程 f=0 的根；如果找不到这样的区间，则返回 NaN。 由于 fzero 是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因 此它无法确定函数曲线仅触及横轴但不穿越的零点，如 |sin(x)| 的所有零点。
多项式运算中， 使用的是多项式
系数向量，
不涉及符号计算！
线性方程组求解
线性方程组求解 linsolve(A,b)：解线性方程组 Ax b
x 2y z 2 例：解方程组 xz3 x 3y 8
>> A=[1 2 –1; 1 0 1; 1 3 0]; >> b=[2;3;8]; >> x=linsolve(A,b) b是列向量！
例： >> fzero('sin(x)',10)
>> fzero(@sin,10) >> fzero('x^3-3*x+1',1) >> fzero('x^3-3*x+1',[1,2]) >> fzero('x^3-3*x+1',[-2,0]) >> f=inline('x^3-3*x+1'); >> fzero(f,[-2,0]) >> fzero('x^3-3*x+1=0',1)
linsolve(A,b)：解线性方程组。 solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用
字符串表示的方程、符号表达式或符号方程； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。
多项式的值
矩阵多项式求值
Y=polyvalm(p,X)
采用的是普通矩阵运算 X 必须是方阵
3 2 例：已知 p( x) 2 x x 3，则
polyvalm(p,A) = 2*A*A*A - A*A + 3*eye(size(A)) polyval(P,A) = 2*A.*A.*A - A.*A + 3*ones(size(A)) >> p=[2,-1,0,3]; >> x=[-1, 2;-2,1];polyval(p,x) >> polyvalm(p,x)
非线性方程的根
fzero 的另外一种调用方式
fzero(f,[a,b])
求方程 f=0 在 [a,b] 区间内的根。 方程在 [a,b] 内可能有多个根，但 fzero 只给出一个
参数 f 可通过以下方式给出：
fzero('x^3-3*x+1',2); f=inline('x^3-3*x+1'); fzero(f,2) fzero(@(x)x^3-3*x+1,2); f 不是方程！也不能使用符号表达式！
Matlab 多项式运算
与代数方程求解器
Matlab 多项式运算
Matlab 中多项式的表示方法
在 Matlab 中，n 次多项式是用一个长度为 n+1的向量来 表示，缺少的幂次项系数为 0。
p( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 在 Matlab中表示为向量： [an , an1 , , a1 , a0 ]