直线与圆锥曲线交点共34页文档
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件北师大版选修21
课堂小结 对直线与圆锥曲线位置关系的进一步理解 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相 切.相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有一个 公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线 的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线 的对称轴平行时)或两个. (2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看来(几何问题代数化)是直 线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相 交；一组解时，若化为x或y的方程，二次项系数非零，判别式为零时必 相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
高中数第三章圆锥曲线与方程4.24.3圆锥曲 线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件
北师大版选修21
学习 目标
1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单应用. 2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.
栏目 索引
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自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点 的距离与它到一条定直线 的距离之比为定值e.
当 0<e<1 时，该圆锥曲线为椭圆；
4.3直线与圆锥曲线的交点
4.3直线与圆锥曲线的交点学习目标：1.会求直线与圆锥曲线的交点坐标，会求与弦有关的简单问题（相交弦长、中点弦所在直线方程）.2.若已知直线与圆锥曲线的交点个数会求参数的取值范围学习重点：掌握利用对应方程解决直线与圆锥曲线交点的问题的方法.学习难点：理解解析几何中利用代数的方法解决几何问题的方法.自主学习1.两曲线的交点两条曲线C1 :f(x,y)=0, C2:g(x,y)=0.条件:若点M(x0,y0)是曲线C1与C2的一个交点.结论:点M(x0 ,y0)满足方程f(x,y)=0,也满足方程g(x,y)=0,从而,曲线C1与C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来,该方程组的任意一组实数解都对应着这两条曲线的坐标.2.如何判断直线与圆锥曲线的交点个数？合作探究探究一直线与圆锥曲线的公共点的坐标问题例1:给定椭圆方程22154x y+=，斜率为1的直线过其焦点F2(1,0)，直线与椭圆相交于A,B两点，求A与B的坐标. 延伸探究：（1)求AB的长度，AB的中点坐标(2)已知椭圆方程22154x y+=,求以点P(1,1) 为中点的弦所在的直线方程.探究二直线与圆锥曲线的公共点的个数问题例2 若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.变式训练：（1）若题目改为没有公共点，求a的取值范围（2）若题目改为有两个公共点，求a的取值范围探究三直线与圆锥曲线恒有公共点问题例3不论k为何值,直线y=kx+b 与椭圆22194y x+=总有公共点,求b的取值范围？课堂小结本节课你收获了什么？知识方面：思想方面：课后自测1.过点(0,1)的直线m与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则满足条件的直线m共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条2.直线l:y=kx+1与椭圆C:2215x ym+=恒有公共点,则实数m的取值范围是( )A.(0，1)B.[1，+∞）C.(5,+∞)D.[1,5)(5,)+∞3.已知双曲线221x y-=及直线y=kx-1,若双曲线与直线有交点，求k的取值范围.。
直线与圆锥曲线的交点ppt课件
直线与抛物线位置关系 判断直线是否与抛物线的对称轴平行
平行
数形结合
不平行
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与双曲线的位置关系
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点Y个数
O
相交:两个交点
相切:一个交点
(C ) (A)1 (B)1 或 2 (C)2 (D)0
解析:因为点(0,-1)在椭圆 C: x2 + y 2 =1 的内部,而直线 l 过点(0,-1), 25 36
所以直线与椭圆相交,交点个数为 2,故选 C.
2.设斜率为 3 的直线过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|= 16 ,则 p 等于( C )
4
只有一个公共点的直线有__4_条.
变式3.（1）过点(-1,0)的直线l 与抛物线y2=6x有公共
点, 则直 线l 的斜率的范围是___________.
(2)过原点与双曲线
交于两点的直线
斜率的取值范围是__________________.
(3).若直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,则实数a的取值范围
X
相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
4.3直线与圆锥曲线的交点
答案： 答案：D
1．弦长问题 ． 利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形， k不 利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不 不存在的情形 存在时，可直接求交点坐标再求弦长． 存在时，可直接求交点坐标再求弦长．
2．中点弦问题 ． 遇到中点弦问题常用“根与系数关系 或 点差法 点差法”求 遇到中点弦问题常用 根与系数关系”或“点差法 求 根与系数关系 解．在椭圆 直线的斜率k= 直线的斜率 中，以P(x0，y0)为中点的弦所在 为中点的弦所在 ；在双曲线 中，以 ；在抛物线
二、圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线 相交于 两点， 设直线 与圆锥曲线C相交于 、B两点，A(x1，y1)， 与圆锥曲线 相交于A、 两点 ， B(x2，y2)，则弦长 ，则弦长|AB|＝ ＝ .
1．过原点的直线l与双曲线 ．过原点的直线 与双曲线 线l 的斜率的取值范围是
有两个交点， 有两个交点，则直 ( )
易证. （1）联立方程消元利用 ）联立方程消元利用Δ>0易证 易证 （2）结合条件分析出 ） 易求. 易求
1．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线 ： ．已知直线 ＝ ＋ 与抛物线C： 与抛物线 y2＝8x相交于 、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2 相交于A、 两点 为 的焦点 两点， 的焦点． 相交于 ＝ |FB|，则k＝ ， ＝ ( )
等
∴ 答案： 答案：4a
= 4a.
5．若直线mx＋ny＝4和圆 ：x2＋y2＝4没有公共点，则过 ．若直线 ＋ ＝ 和圆 和圆O： 没有公共点， 没有公共点 点(m，n)的直线与椭圆 ， 的直线与椭圆 ________． ． 解析：由已知可得 点在椭圆内， 解析：由已知可得m2＋n2<4，又(m，n)点在椭圆内，故必 ， ， 点在椭圆内 个交点． 有2个交点． 个交点 答案： 答案：2 的交点个数为
高中数学 同步教学 直线与圆锥曲线的交点
[练一练]
2．已知动点 P(x，y)满足|3x－54y－1|＝13· x－12＋y－52，则动点 P 的轨迹是(
(2)设 P(x，y)到 l 的距离为 d，由|PF|＝5，得 d＝4. 即156－x＝4，解得 x＝356或 x＝－45. 由于|x|≥4，故 x＝－45不合题意，舍去． 由 x＝356得 y＝±65 14. ∴点 P 的坐标为356，±6 514.
探究二 直线与圆锥曲线的公共点问题 [典例 2] 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭 圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
的交点，就是求方程组fgxx00，，yy00＝＝00 的实数解．
三、方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有 几个不同交点 ；方程组没有实数解，两条 曲线就 无交点 ．
[想一想] 1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点 时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
一、圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到 一个定点 的距离与它到 一条定直线 的距离之比为定值 e. 当 0<e<1 时，圆锥曲线是 椭圆 ；当 e>1 时，圆锥曲线是 双曲线 ；当 e＝1 时，圆 锥曲线是 抛物线 ．
二、曲线的交点
由曲线方程的定义可知，对于曲线 C1：f(x，y)＝0 和曲线 C2：g(x，y)＝0，由于 M(x0， y0)是 C1 与 C2 的一个交点⇔ f(x0，y0)＝0 且 g(x0，y0)＝0 ，椭圆 C 的方程联立， y＝2x＋m ①
4.3直线与圆锥曲线的交点
直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法:
判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时,通常将直线 l 的方程
Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 r 的方程 F(x,y)=0.消去 y(也可
以消去
x)得到一个关于变量
x(或变量
y)的方程,即
������������
时,若 r 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平线的对称轴的位置关系是平行.
2.直线与双曲线有一个公共点时,应注意区分是交点还是切点;直线与 双曲线有两个公共点时,应注意是在一支上有两个交点,还是在两支上各有 一个交点.主要是运用数形结合,判断直线的斜率 k 存在与否及找出 k 与渐
+ ������������ + ������ = ������(������,������) = 0,
0,消去
y 得 ax2+bx+c=0.
(1)当 a≠0 时,则有 Δ>0,直线 l 与曲线 r 相交;Δ=0,直线 l 与曲线 r 相
切;Δ<0,直线 l 与曲线 r 相离.
(2)当 a=0 时,即得到一个一次方程,则 l 与 r 相交,且只有一个交点,此
思考 3 如何解决弦长问题?
提示:连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,设弦 AB 两端 点的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为 k,则|AB|= 1 + ������2|x1-x2|=
1 + ������2· (������1 + ������2)2-4������1������2 = 1 + ���1���2|y1-y2|.
新高考 核心考点与题型 圆锥曲线 第4讲 直线与圆锥曲线相交 - 解析
第4讲 直线与圆锥曲线相交基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得： ()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。
所以要分情况进行讨论 当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 圆锥曲线 4.1 直线与圆锥曲线的交点
物线方程y2=x,消去y,整理得k2x2+(8k-1)x+16=0,Δ=(8k-1)2-64k2=-16k+1=0,
1
解得k= 16
1
,即直线方程为y= 16
x+4,综上可得,过点(0,4)且与抛物线y2=x有
且只有一个交点的直线共有3条.
2
1
k= .
2
1
k= 时,方程①只有一个解,从而方程组(*)只有一个解.这时,
2
于是,当 k=-1,或
直线 l 与抛物线只有一个公共点.
2°由 Δ>0,即 2k
1
+k-1<0,解得-1<k< .
2
2
1
于是,当-1<k< ,且 k≠0 时,方程①有两个不相等的解,从而方程组(*)有两个解.
2
这时,直线 l 与抛物线有两个公共点.
+1 2
时,得 y -y-1=0.
+1
①若 =0,即
+1
②若
= -1,
a=-1,则直线方程为-y-1=0,得
= -1;
≠0,即 a≠-1,
由 Δ=0,得
4(+1)
1+
=0,解得
4
a=- .
5
这时直线与抛物线相切,只有一个公共点.
4
综上可知,当a=0,-1, -5 时,直线y=(a+1)x-1与y2=ax恰有一个公共点.
2
7,5)与双曲线 7
−
2
=1
有且只有一个公共点的直线有几条,分
直线与圆锥曲线的交点知识讲解
直线与圆锥曲线的交点课题直线与圆锥曲线的交点设计：宁勇强审核：包科领导： 2020年6月2日学习目标：理解曲线交点的概念，会通过联立方程求解的办法求曲线的交点，会用设而不求的方法解决有关直线与圆锥曲线交点的综合问题。
导读曲线的公共点分交点和切点两种，都可以通过联立方程求解的方法求出公共点，但更多的时候交点是不必求出的，只要把由交点引起的问题予以解决即可，这就需要解析几何中一种非常重要的处理办法：设而不求。
（1）曲线0(=,xg的交点问题，可以通过讨论方程组的)yf与0)(=,xy解来解决。
也就是说两条曲线的交点问题与完全等价。
（2）交点问题一般有“定性、定量、定点”三个层次。
“定性”讨论有没有公共点，“定量”讨论有几个公共点，“定点”要求出公共点的坐标。
第三层次的问题求出方程组的解即可，第二层次的问题只要判断出方程组的解的个数即可，而第一层次的问题只需知道方程组有解与否。
（3）交点问题其实就是位置关系问题。
直线与圆的位置关系有，，三种，由几何条件确定，结论是：。
如果用代数方法确定，首先联立直线与圆的方程，接着消元得一元二次方程，判别式为△，则结论是： .直线与椭圆的位置关系可类似这里的第二种方程讨论。
另外，画图是讨论位置关系的一种非常有效的方法。
（4）如果问题只是与交点有关，那么可以只设出交点的坐标，通过整体代入解决问题而不具体求点的坐标，这种方法在解析几何中称“设而不求”。
它往往需要中收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除点坐标、韦达定理和弦长公式、斜率公式等来配合。
常用的方法有“k 参数法”（也可称之为设代法）和“点差法”。
（5）曲线上两点间的线段称为弦。
弦长当然可用两点的距离公式来求。
斜率为k 的弦可用如下公式求弦长：｜AB ｜＝||11||1212212y y kx x k -+=-+， 其中 21221214)(||x x x x x x -+=-， 21221214)(||y y y y y y -+=-.自学检测：1.直线0=-y x 与曲线2222=+y x 的交点坐标是 ，所得弦长为 .2.过P(0，2)的直线与曲线12+=x y 有 个交点.3.已知过P(0，2)的直线l 与曲线2222=+y x 相切，则l 的方程为 .4.过点（-1，1）与曲线x y 42=有一个公共点的直线有 条。
直线与圆锥曲线的交点
3.4.3 直线与圆锥曲线交点【学习目标】1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系；2.掌握求解有关直线与圆锥曲线的问题的方法。
【重点难点】直线与圆锥曲线相交的弦长与中点弦问题。
【自主探究】直线与圆锥曲线的位置关系有哪几种？如何判断？【合作探究】探究1. 直线与圆锥曲线的交点个数问题例1.已知直线l ：2y x m =+，椭圆C ：12422=+y x ，试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不同的公共点？ （2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？探究2. 直线与圆锥曲线恒有公共点问题例2.若直线1y kx =+和椭圆22125x y m +=恒有公共点，求实数m 的取值范围。
探究3. 弦长问题例3.斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = 。
探究4.中点弦问题例4.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +92y =1所截得的线段的中点，求l 的方程？【应用探究】1.抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条3.已知双曲线C ：1422=-y x ，过点P （0，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条4.已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ） ()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 3625.已知双曲线1322=-y x ，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为____________。
【延伸探究】6.求过点（0，2）的直线被椭圆2222=+y x 所截弦的中点的轨迹方程。