九年级数学中位线
九年级数学中位线知识点
九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。
一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。
二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。
即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。
2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。
重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。
这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。
三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。
2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。
四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。
解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。
然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。
数学初中中位线题型
数学初中中位线题型中位线是指一个平面图形的任意两个顶点之间的中垂线的交点。
在初中数学中，中位线是一个重要的概念，也是一种常见的考试题型。
以下是一些常见的中位线题型：1. 求三角形中位线长度三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD 的长度。
解法：连接AE，将三角形ABC分成两个三角形，分别为三角形ABE和三角形ACE。
根据中位线的性质可知，AD是三角形ABE的中位线，因此AD=BE/2。
同理，AD也是三角形ACE的中位线，因此AD=CE/2。
由此可得：AD=(BE+CE)/2=BC/2。
2. 求四边形中位线长度四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。
解法：连接EH、FG，可将四边形ABCD分成两个三角形AEH和CFG。
根据中位线的性质可知，EF是三角形AEH和CFG的中位线，因此EF=1/2(EH+FG)。
根据四边形中位线定理可知，EH=1/2(AC+BD)、FG=1/2(AC-BD)，代入公式可得：EF=1/2(AC+BD-AC+BD)=BD。
3. 求平行四边形中位线长度平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。
解法：由于平行四边形的对角线互相平分，因此AC的中位线EF也平分平行四边形的对角线BD，即EF=1/2BD。
4. 求梯形中位线长度梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD中点，求中位线EF的长度。
解法：连接AC，将梯形ABCD分成两个三角形ABC和ADC。
根据中位线的性质可知，EF是三角形ABC和ADC的中位线，因此EF=1/2(BD)，其中BD为梯形的上底和下底之差。
5. 求三角形中位线交点的坐标三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD、BE、CF的交点的坐标。
解法：根据中位线的性质可知，三角形ABC的中位线AD、BE、CF交于一点G，且AG=2/3AF、BG=2/3BD、CG=2/3CE。
华师大版九年级数学上册授课课件：23.4 中位线
中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）.
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
知1－讲
【例2】 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中
线互相平分.
已知：如图,在 △ABC 中，AD =DB，BE=EC,
AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF.
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且 等于第三边的一半）.
同理可得EF//BA.
猜想
如图23.4. 2，在△ABC中，点D、E分别 是AB与AC 的中点.根据画出的图形，可 以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导 （来自教材）
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
（来自《典中点》）
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
拓展
知2－导
九年级上册数学 23.4中位线
∴ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC DE = 1 BC
B
C
2
用 ① 证明线段的平行问题（位置关系）
② 证明一条线段是另一条线段的2倍 途 或1/2 （数量关系）
A
理解三角形的中位线
D
E
定义的两层含义:
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
同学们，中位线的知识掌握了 吗？我们一起去检验一下吧!
算一算
A
如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
D
E （2）若BC=10cm，
则DE= 4 cm，为什么？
B
图1
C
(3) S△ADE：S△ABC= 1:4 .
B
D 4F 53
A
E
图2
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
D
E
连接三角形两边 中点的线段,叫做
三角形的中位线
B
F
C
AF是△ABC的中线
DE是△ABC的中位线
已知: △ABC 中，点D、E分别是AB、AC的中点。
求证： DE∥BC
DE = 1 BC 2
A
证明： ∵点D、E分别是AB、AC的中点。
∴
AD = AE = 1 AB AC 2
D
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
DE ∴∠ADE=∠B，BC
=
1 2
B
∴ DE∥BC DE = 1 BC 2
E C
九年级数学三角形的中位线(PPT)5-4
❖ 如图,任意作一个四边形,并将其四边的
中点依次连接起来,得到一个新的四边形,
这个新四边形会是什么四边形?你能证
明它吗？D HA来自GEB
F
C
～茂盛｜发展经济，开辟～。 【财运】名发财的运气：～亨通。 【财政】名政府部门对资财的收入与支出的管理活动：～收入｜～赤字。 【财政赤字】年 度财政支出大于财政收入的差额，会计上通常用红字表示，所以叫财政赤字。也叫预算赤字。 【财主】?名占有大量财产的人：土～｜大～。 【裁】①动用 刀、剪等把片状物分成若干部分：～纸｜～衣；标识标牌 景区标牌 / 小区标识标牌 党建标识 核心价值观标识； 服。②量整张 纸分成的相等的若干份；开○：对～（整张的二分之一）｜八～报纸。③动把不用的或多余的去掉；削减：～军｜～员｜这次精简机构，～了不少人。④安 排取舍（多用于文学艺术）：别出心～｜《唐诗别～》。⑤文章的体制、格式：体～。⑥衡量；判断：～判｜～决。⑦控制；抑止：～制｜制～｜独～。 【裁编】∥动裁减编制：～定岗。 【裁兵】∥ī动旧指裁减军队。 【裁并】动裁减合并（机构）。 【裁撤】动撤销；取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科 室。 【裁处】动考虑决定并加以处置：酌情～。 【裁定】动①裁决。②法院在审理案件或判决执行过程中，就某个问题做出处理决定。 【裁断】动裁决判 断；考虑决定：这件事究竟怎样处理，还望领导～。 【裁夺】动考虑决定：此事如何处置，恳请～。 【裁度】〈书〉动推测断定。 【裁缝】动剪裁缝制 （衣服）：虽是布衫布裤，但～得体。 【裁缝】?名做衣服的工人。 【裁减】动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 【裁剪】动缝制衣服时把衣料按一 定的尺寸裁开：～技术｜这套衣服～得很合身。 【裁决】动经过考虑，做出决定：如双方发生争执，由当地主管部门～。 【裁军】动裁减武装人员和军事装 备。 【裁判】①动法院依照法律，对案件做出处理，分为判决和裁定两种。②动根据体育运动的竞赛规则，对运动员竞赛的成绩和竞赛中发生的问题做出评 判。③名在体育竞赛中执行评判工作的人：足球～｜国际～。也叫裁判员。 【裁判员】名裁判?。 【裁汰】〈书〉动裁减（多余的或不合用的人员）。 【裁 员】动（机关、企业）裁减人员。 【裁酌】动斟酌决定：处理是否妥当，敬请～。 【采】（採）①动摘（花儿、叶子、果子）：～莲｜～茶◇到海底～珠子。 ②动开采：～煤｜～矿。③动搜集：～风｜～矿样。④选取；取：～购｜～取。 【采】①精神；神色：神～｜兴高～烈。②（）名姓。 【采】同“彩”。 【采办】动采购；置办：～年货。 【采编】动采访和编辑：新闻～｜电视台的～人员。 【采茶戏】名流行于江西、湖北、广西、安徽等地的地方戏，由民间 歌舞发展而成，跟花鼓戏相近。 【采伐】动
九年级数学中位线定理1
阅读课本第34至36页，回答以下问题： 1、什么叫三角形的中位线？ 2、中位线有什么性质定理？ 3、如何证明中位线的性质定理？ 4、如何应用中位线的性质定理三角形的中位线。 B C D E
一个三角形有三条中位线.
4
③你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? • 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED 证明:
∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点. B D F A E C
DE BF FC. EF AD DB. FD CE EA.
数十,似乎在搬运着什么."天赐良机,若是此时强攻,定能打夏侯渊壹个措手否及/"长飞心中顿时心花怒放,便急匆匆想要回去带兵攻城.然而刚起身他就改变咯念头."若是在我回营の时候,城门关咯岂否是白来壹趟."长飞顿时陷入咯苦思之中,正当此时,长飞突然有咯新の办法."若 是我强攻进城,点起烽火让子龙看见,如此壹来,岂否是里应外合/"长飞思酌着,便急匆匆朝建安郡飞奔而去.建安城下,数十个梁兵正在匆忙搬运着什么,忽然之间壹个黑大汉从山上狂奔而下,忙时提起枪戟直指长飞."什么人,胆敢叁更半夜来我城下/"只见壹个梁兵朝飞奔而来の长飞 大喝壹声,试图阻止长飞."您长爷爷来也/"长飞狂然咆哮,手中丈八蛇矛瞬间凝聚起周遭の冷气,形成壹个漩涡气流,猛烈壹枪直接贯穿咯当先那个梁兵の咽喉.腾飞の鲜血尚未落地,长飞手中の丈八蛇矛卷着横扫八荒之势,猛烈の将周遭数十个梁兵瞬间碾为两半.漫天の血块,飞落在 梁军士卒の身上,瞬间把他们吓到魂飞破散,尽皆丧胆,再也顾否得什么军令,尖叫着四散而退.通往城内の道路,再无人阻挡.长飞登时狂笑咯起来,也没想太多,遍当即狂冲进城,欲上
23.4 中位线++课件+++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
图2
典例导思
1. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点
O ，点 E 为 CD 的中点.若 OE ＝3，则菱形 ABCD 的周长
为（ C ）
A. 6
B. 12
（第1题）
C. 24
D. 48
典例导思
2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AC 延
பைடு நூலகம்
GF ∥ BC ， GF ＝ BC ，
∴ DE ∥ GF ， DE ＝ GF ，
∴四边形 DEFG 为平行四边形.
（第3题）
典例导思
（2）若 DG ⊥ BH ， BD ＝3， EF ＝2，求线段 BG 的
长度.
（2）解：∵四边形 DEFG 为平行四边
形，∴ DG ＝ EF ＝2.
∵ DG ⊥ BH ，∴∠ DGB ＝90°，
∴ AB ＝ AF ＝6 cm，
BD ＝ DF .
∴ CF ＝ AC － AF ＝4 cm.
∵ BD ＝ DF，点 E 为 BC 的中点，
∴ DE ＝ CF ＝2 cm.
图1
典例导思
如图2，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD 且
AC ＝4， BD ＝8，点 E 、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点，
长线上一点， AD ＝24，点 E 是 BC 上一点，
BE ＝10，连结 DE ， M 、 N 分别是 AB 、
DE 的中点，则 MN ＝ 13 .
（第2题）
典例导思
3. （2023·株洲）如图所示，在△ ABC 中，点 D 、 E 分
华师大版数学九年级上册23.4《中位线》导学案
23.4 中位线一、知识回顾：1、如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，证明：△ADE∽△ABC二、探索新知猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？1、三角形中位线定义：连接三角形的线段,叫做三角形的中位线思考：三角形的中位线有几条?理解三角形的中位线定义的两层含义:(1)如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的(2)如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。
2、三角形的中位线定理：三角形的中位线第三边并且等于它的。
几何语言：练一练:(1)若△ABC三边AB、AC、BC的长分别为8、6、4，它的三条中位线围成的△DEF的周长_____ 。
(2)若△ABC的三条中位线围成的三角形周长为15cm，△ABC的周长是____ 。
(3)若△ABC的三条中位线长分别为3、4、5，则△ABC的周长为，面积为。
三、例题赏析例1、已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．（1）四边形ADEF是什么形状的四边形？并加以证明。
（2）DF与AE有什么关系？变式1：已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形。
B F变式2：已知：等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形。
变式3：已知：矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是。
变式4：已知：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形。
中位线的说课稿
中位线的说课稿一、教材分析（一）、教材的地位与作用：《中位线》是苏教版九年级上第一章第五节的内容。
学生在八年级已经学习过三角形与梯形的中位线的定义，本节课是学习证明三角形的中位线定理。
本课是以平行四边形的有关知识定理和平行线等分线段定理为基础引出中位线的概念，进而探索研究它的性质，最后利用性质定理进行有关的论证和计算步步衔接，层层深入，形成知识的链条。
学好本课为今后证明线段平行和线段倍分关系提供了重要的方法和依据。
可见，三角形中位线在整个知识体系中占有相当重要的作用，起到承上启下的作用。
本课是通过探究推理得到定理的，所以通过本课教学，对探究数学问题能力的培养及创新思维训练也有着十分重要的作用。
（二）、教材编排特点：之前学习了三角形与梯形的中位线的定义，有利于学习现在的证明。
在学习定理证明之前，已经学习了，《平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定》，在中位线的证明中使用了平行四边形的判定，前后之间的关系紧密。
在本节课中，先证明了三角形的中位线的定理，再利用三角形的中位线证明梯形的中位线定理和菱形的判定。
并且，整个教材要求学生动手，提高学生的动手能力。
二、学情分析本节课要求学生有很好的动手能力，在整个学习过程中很多地方需要学生动手。
学生对三角形的部分知识以及平行四边形的内容——性质与判定，已基本掌握，为这节课研究三角形中位线提供了认知基础。
初三学生已具备了一定的学习能力，思维活跃，对新知识有较强的探求欲望，但他们也正处在从实验几何向论证几何的过度时期，对于严密的推理论证，从知识结构和知识能力都有所欠缺。
三、教学目标（一）、知识与技能：进一步理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理、同时要会用中位线定理进行有关的论证和计算。
会用三角形中位线的性质解决数学问题及实际问题。
（二）、过程与方法：培养动手动脑的能力。
通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力（三）、情感、态度与价值观：通过一题多解，培养数学兴趣，进行实践—认识—实践的辩证唯物主义认识论教育。
九年级数学三角形的中位线市公开课一等奖省优质课获奖课件
华师大九年级数学（上）
练一练: (1)若△ABC三边AB、AC、BC长分别为8、6、 4，它三条中位线围成△DEF周长_____。
(2)若△ABC三条中位线围成三角形周长为1N5cm，
△ABC周长是____。
(3)若△ABC三条中位线长分别为3、4、5，则
△ABC周长为
面积为。第7页华师例大九1已年级知数学：（如上）图所表示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝ EC，AF＝FC． （1）四边形ADEF是什么形状四边形？并加以证实。 （2）DE与AF有什么关系？
华师大九年级数学（上）
A
连接三角形两边中点线段,
叫做三角形中位线
D
E
思索：三角形中位线有几条
B
C
第2页
华师大九年级数学（上）
课题 §24.4
第3页
华师大九年级数学（上）
判断：
如图，因为AM=BM，DN=CN。 所以MN为三角形中位线。
如图，因为AE=CE，BD=CD。 所以AD、BD为三角形中位线。
(1)四边形ADEF是平行四边形. 证实 : ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形中位线平行于 第三边而且等于第三边二分之 一）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形．
∴ AE、DF相互平分（平行四边形
对角线相互平分）．
第8页
华师大九年级数学（上）
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、 F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 中点. 求证(1)四边形EFGH是平行四边形。
（第 4 题）
第11页
华师大九年级数学（上）
1、练习 第1题 2、习题24.4 第1题
第12页
华师大九年级数学（上）
九年级数学中位线
例2已知：如图，四边形ABCD中，E、 F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点. 求证(1)四边形EFGH是平行四边形。
(2）请增加一个条件使得四 边形ADFE为菱形。 (3) 请增加一个条件使得四 边形ADFE为矩形。
A
H D E G F C
B
(4）能不能只增加一个条件使得四边形 ADFE为正方形。
如图，因为AE=CE，BD=CD。 所以AD、BD为三角形的中位 线。
如图，因为AE=DE，DF=CF；所以 EF为三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三 边并且等于它的一半。
∵DE是△ABC的中位线
1 ∴DE∥BC，DE＝ BC 2
你还有别的证法吗？
已知：如果，点D、E、F分别是 △ABC的三边的中点．
练习4
• 已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
（第 4 题）
1、练习
第1题Biblioteka 2、习题24.4第1题
华师大九年级数学（上）
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烦の话,而鞠言还活着,那可就真の是捅破天了！……城主府！袁继虎,正在自身の房间内.呐壹段事间,袁继虎都没怎么离开城主府邸.他の心情,很不好.原本由于鞠言の背鞠关系,他打算巴结鞠言,甚至还送给鞠言壹枚道元果拉拢.可是现在,鞠言却死了,他の道元果也白白损失了.虽然知道鞠言确 实与慕连天总管关系匪浅,可那又怎样?鞠言人都死了,就算鞠言与慕连天关系再好,与郡尪大人关系再亲密,那又有哪个用处?而且,鞠言还是在浩风城遭到暗夜杀手狙杀,郡尪和慕总管,会不会因此怪罪他呐个城主没用?呐些念头,整日の在袁继虎心头萦绕挥之不去.“唉！”袁继虎摇摇头,在房间内 焦躁の踱步.袁继虎觉得,自身是有些倒
九年级数学上册《中位线》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，九年级的学生已经具备了较为扎实的数学基础和逻辑思维能力。《中位线》作为九年级数学上册的教学内容，旨在帮助学生理解几何图形中的特殊线段——中位线，并运用中位线的性质解决实际问题。本案例以九年级数学上册《中位线》为背景，结合学生的实际水平和教学目标，设计了一系列具有实用性和启发性的教学活动。通过引导学生探索中位线的性质，培养他们的空间想象力和几何直观，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。在教学过程中，教师将采用人性化的语言，激发学生的学习兴趣，营造轻松愉快的教学氛围，让九年级学生在掌握知识的同时，感受到数学学习的乐趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将通过一个简单的实际问题和一则相关的数学故事来吸引学生的注意力，为新课的学习做好铺垫。
1.实际问题：向学生展示一个关于土地划分的问题，提出如何公平地划分一块三角形的土地给三个人的问题。这个问题与学生的生活息息相关，可以激发他们的好奇心和探究欲望。
2.数学故事：讲述古希腊数学家欧几里得如何运用中位线原理解决土地划分问题的故事，以此来引出中位线的概念，让学生感受到数学的实用性和历史渊源。
-鼓励学生在学习过程中积极提问、勇于挑战，培养他们面对困难的勇气。
-对学生的每一次进步给予肯定和表扬，增强他们的自信心。
2.引导学生认识到数学学习的价值，激发他们的学习兴趣和动力。
-通过实例讲解，让学生感受到数学在生活中的重要作用。
-举办数学知识竞赛、讲座等活动，拓宽学生的知识视野，提高他们的学习兴趣。
1.创设生活情境：以学生熟悉的生活场景为例，如校园里的操场、家庭房间布局等，引导学生发现中位线在生活中的பைடு நூலகம்用，从而引出中位线的概念。
第12讲 中位线2021年新九年级数学暑假课程(华师大版)(解析版)
第12讲中位线【学习目标】熟悉并掌握中位线的性质灵活运用中位线解决几何中的问题【基础知识】考点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.考点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.考点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【考点剖析】考点一：三角形的中位线例1．如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P 在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．例2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【思路】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．例3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．【思路】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．【答案】解：延长BD交AC于点N．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M ，求证：MN ∥BC ．【答案】证明：延长AN 、AM 分别交BC 于点D 、G ．∵BE 为∠ABC 的角平分线，BE ⊥AG ，∴∠BAG=∠BGA ，∴△ABG 为等腰三角形，∴BN 也为等腰三角形的中线，即AN=GN ．同理AM=DM ，∴MN 为△ADG 的中位线，∴MN ∥BC ．例4、（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【思路】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．【答案】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【总结】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．考点二：中点四边形例5．如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．【答案】解：（1）四边形DEFG是平行四边形，理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，∴EF∥BC，EF=BC，DG=BC，DG∥BC，∴EF∥DG，EF=DG，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=180°﹣90°=90°，∵M为EF的中点，OM=2，∴EF=2OA=4，∵EF=DG，∴DG=4．【总结】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.【真题演练】一.选择题1.已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm【答案】D；【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．40【答案】C；【解析】根据中位线定理可得BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．3. 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B；【解析】∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=12BC=2，DF ∥BC ，EF=12AB=32，EF ∥AB ， ∴四边形DBEF 为平行四边形， ∴四边形DBEF 的周长=2（DF+EF ）=2×（2+32）=7． 故选B ．4．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】B ；【解析】解：∵BD ，CE 是△ABC 的中线，∴ED ∥BC 且ED=BC ，∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点，∴FG ∥BC 且FG=BC ，∴ED=FG=BC=4，同理GD=EF=AO=3，∴四边形DEFG 的周长为3+4+3+4=14．故选B ．5. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm【答案】B ；【解析】连接MN ，作AF ⊥BC 于F ．∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝12×8＝4，在Rt △ABF 中，AF ＝22AB BF -＝2254-＝3，∵M 、N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且MN ＝8÷2＝4，∴NM ＝12BC ＝DE ，∴△MNO ≌△EDO ，O 也是ME ，ND 的中点，∴阴影三角形的高是12AF ÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S 阴影＝4×0.75÷2＝1.5．6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12【答案】B ；【解析】连接AE ，延长交CD 于H ，可证AB ＝DH ，CH ＝两底的差，EF 是△AHC 的中位线，EF ＝12两底的差，EG ＋FG ＝12两腰的和，故△EFG 的周长是9.二.填空题7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.【答案】平行四边形；8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .【答案】PQ∥AB，PQ＝12 AB；【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.9. 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，对角线AC、BD的长分别为7和9，则四边形EFGH的周长是______.【答案】16；【解析】根据三角形中位线的性质得出HG 12AC，EF12AC，HE12DB，GF12BD，进而得出HE＝GF＝12BD，HG＝FE＝12AC，即可得出答案．10.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．【答案】3；【解析】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．【答案】3；【解析】∵△ABC 的周长是26，BC=10，∴AB+AC=26﹣10=16，∵∠ABC 的平分线垂直于AE ， ∴在△ABQ 和△EBQ 中，，∴△ABQ ≌△EBQ ，∴AQ=EQ ，AB=BE ，同理，AP=DP ，AC=CD ，∴DE=BE+CD ﹣BC=AB+AC ﹣BC=16﹣10=6，∵AQ=DP ，AP=DP ，∴PQ 是△ADE 的中位线，∴PQ=12DE=3． 故答案是：3．12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列三个结论：①∠BOC ＝90°＋12∠A ； ②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.【答案】①，③；【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．三.解答题13.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．求证：MN和PQ互相平分．【解析】证明：连接MP，PN，NQ，QM，∵AM＝MD，BP＝PD，∴PM是△ABD的中位线，∴PM∥AB，PM＝12 AB；同理NQ＝12AB，NQ∥AB，∴PM＝NQ，且PM∥NQ．∴四边形MPNQ是平行四边形．∴MN与PQ互相平分．14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【解析】解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠ENB＝∠AMF．如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180°．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．【解析】证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，∴CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=BD=AB．又EF∥AB，∴=，∴==1，∴EF=CF；（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．∵EF∥AB，∴∠CMF=∠CBD．又∵AD=BD=AB，∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，∴∠CMF=∠FCM，∴CF=MF．又由（1）知，EF=CF，∴EF=FM，即点F是EM的中点，又∵EF∥AB，则FM∥AB∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，∵点G是BE的中点，∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，∴GD∥AE，GM∥EC，∴点D、G、M三点共线，∴FG是△CDM的中位线，∴FG∥CM．又∵MC⊥EC，∴FG⊥DG．。
2019-2020学年九年级数学《中位线》教案 人教新课标版.doc
2019-2020学年九年级数学《中位线》教案人教新课标版设计意图：现并归纳三角形中位线定理，第三教学反馈的设计课题：§24.4 中位线第一课时厦门市莲美中学教案（讲学稿）【教学目标】知识与技能：掌握三角形中位线和重心的概念，探索并证明三角形中位线定理和重心定理；初步会用定理进行有关的论证和计算。
过程与方法：学生经历观察探索、猜想、推理、归纳、证明等探索过程中，发展合情推理能力。
情感态度与价值观：促进学生体验数学活动充满探索性和创造性的乐趣；培养学生大胆猜想、合理论证的科学精神与合作交流意识。
【教学重点】重点是掌握三角形的中位线和重心的定理。
【教学难点】难点是三角形重心定理的推理归纳。
【教学准备】讲学稿、制作课件、自制教具、投影仪等【学情分析】学生经历讲学稿教学模式下的合作探究已有一年时间，大多数同学有提前预习的良好习惯，自主探究能力有一定的提升；在知识上已学习图形的相似、全等以及平行四边形，对三角形有较感性认知。
但是学生自主探究能力及知识积累仍呈现两极分化比较严重问题，要突出关注学生个体差异，创设活动展示平台，分层推进，让各层次学生得到收获与发展。
【教法学法】1、教法的选择：以讲学稿教学模式为载体，突出“先学后教、以学定教”。
采用指导探索发现法，创设问题情境，激励学生课前有效自主探究；引导学生观察、猜想，启发学生探索与发现并学会归纳概括；引导学生经历由直观感知到理性认知的过程，激发学生的思维活动，促进学生主动获取知识。
2、学法的指导：采用“自主、合作、探究”的学习方式。
以讲学稿促进学生自主探究，经历观察、操作、推理、归纳等探索发现过程，参与知识形成过程；在合作探究中掌握三角形中位线和重心定理。
在具体问题的解决中，合情推理，进一步提高演绎推理能力。
【教学过程】：金光湖低门槛，连接三角形两边的中点的DE_______ B、小游戏表演感知重心的存在直___ 、【板书设计】：【教学反思】：本节教学中运用讲学稿教学模式，突出“先学后教、以学定教”，勇于创新、教学富有特色；主题鲜明、目标明确、重点突出；以人为本，凸显学生主体。
九年级数学中位线(PPT)5-1
印度用贝叶写佛经而得名。也叫贝叶书。 【贝塔粒子】放射性物质放射出来的高速运动的电子（或正电子），穿透力比阿尔法粒子强。通常写作β粒子。 ［贝塔，希腊字母β的音译］ 【贝塔射线】放射性物质衰变时放射出来的贝塔粒子流，有穿透能力。通常写作β射线。 【贝叶书】名贝书。 【贝叶棕】名常 绿乔木，高可达多米，茎上有环状叶痕，叶子大，掌状羽形分裂，花乳白色，有臭味。只开一次花，结果后即死亡。叶子叫贝叶，可以做扇子，也可代纸做 书写材料，用贝叶写的佛经叫做贝叶经。也叫贝多。 【贝子】名清代贵族爵位，地位在贝勒之下。 【孛】古书上指光芒四射的彗星。 【邶】①周朝国名，
在今河南汤阴南。②名姓。 【狈】（狽）见页〖狼狈〗、〖狼狈为奸〗。 【??】（梖）［梖多］（）同“贝多”。 【备】（備、俻）①具备；具有：德才 兼～。②动准备：～用｜～足原料｜～而不用。③防备：防旱～荒｜攻其不～｜以～不时之需。④设备（包括人力物力）：军～｜装～。⑤〈书〉副表示完 全：艰苦～尝｜关怀～至｜～受欢迎。⑥（）名姓。 【备案】∥动向主管机关报告事由存案以备查考：此事已报上级～。 【备办】动预备、置办（需要的东 西）：～茶饭｜年货已经～齐了。 【备不住】?〈方〉副说不定；或许：这件事他～是忘了。也作背不住。 【备查】动供查考（多用于公文等）：存档～｜ 字典里多收了一些字～。 【备份】①名为备用而准备的另外一份：～伞（备用的降落伞）｜～节目｜这个软件做了两个～。②动为备用而复制（文件、软件 等）：～了一份文件。 【备耕】动为耕种做准备，包括修理农具、挖沟、积肥等：加紧～工作｜过了春节，人们就忙着～了。 【备荒】∥动防备灾荒：储 粮～。 【备货】∥动准备供销售的商品：营业前要备好货｜应节的商品应提早～。 【备件】名预备着供更换的机件。 【备考】①动供参考：这个典
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华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿4
华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》说课稿4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》这一节的内容，主要介绍了三角形的中位线定理及其应用。
通过学习这一节内容，学生能够理解并掌握三角形中位线的性质，能够运用中位线定理解决一些相关的几何问题。
在教材中，首先通过实例引出中位线的概念，然后通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质。
接着，通过一些练习题，让学生运用中位线定理解决实际问题。
整个内容安排由浅入深，循序渐进，使得学生能够更好地理解和掌握中位线的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对一些基本的几何图形和性质有一定的了解。
但是，对于中位线的性质和相关应用，可能还比较陌生。
因此，在教学这一节内容时，需要从学生的实际出发，通过生动的实例和图示，让学生直观地理解中位线的性质，并通过一些实际的练习题，让学生学会运用中位线定理解决问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过学习，使学生理解和掌握三角形的中位线定理，能够运用中位线定理解决一些相关的几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线定理及其应用。
2.教学难点：理解和掌握中位线定理，能够运用中位线定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法、讨论法和实例分析法相结合的教学方法。
通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质；通过实例分析，让学生学会运用中位线定理解决问题；通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和几何思维能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出中位线的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：通过讲解和图示，让学生直观地理解中位线的性质，讲解中位线定理的推导过程。
3.实例分析：通过一些具体的例子，让学生学会运用中位线定理解决问题。
华东师大版九年级数学上册《中位线》教案
《中位线》教案教学目标1、知识与技能：理解并掌握三角形中位线的概念和性质定理；明确三角形中位线与中线的不同；使学生能熟练应用定理进行有关证明和计算.2、过程与方法：引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，通过对问题的探究和变式思维训练，培养学生分析问题和解决问题的能力以及思维的灵活性．3、情感与态度：激发学生的热情和兴趣，激活学生思维，对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育．教学重点三角形中位线的概念和三角形中位线定理的证明及应用教学难点三角形中位线性质定理证明中添加辅助线的思想方法．教学过程一．画一画，观察与思考：1.什么是三角形的中线？画出ΔABC 的中线BE ．取边 AB 上的中点D ，连结DE ，线段DE 是中线吗？以上线段DE 叫做△ABC 的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？ 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线． 问题：(1)三角形有几条中位线？(动手画一画) (2)三角形的中位线与中线有什么区别？ 得出：①三角形的中位线与中线都是三角形中的重要线段，一个三角形有三条中位线，三条中线．②三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点．做一做：请度量DE 和BC 的长度．测量∠ADE 与∠ABC 的度数．让学生们互相讨论所得的结果，猜想三角形的中位线有什么性质．猜想：DE 和BC 的关系(位置关系和数量关系)．通过实践体会和感知出：DE ∥BC ，DE =12BC ．你能证明你的结论是正确的吗？二．新课探究：释疑引导学生写出已知、求证，并启发分析． 已知：△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点． 求证：DE ∥BC ；DE =12BC 启发1：证明直线平行的方法有那些？启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等．启发2：证明线段的倍分的方法有那些？(截长或补短)学生分小组讨论，教师巡视指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程．强调还有其他证法．证明：延长中位线DE 到F ，使EF =DE ，连结CF ． 易证△ADE ≌△CFE(或证四边形ADCF 为平行四边) 得AD ∥FC ，又∵AD =DB ，∴DB ∥FC ，∴四边形DBCF 是平行四边形，DF ∥BC ． ∵DE =12DF ，∴DE ∥BC ，DE =12BC 归纳定理，并用文字语言表述：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 符号语言：∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点(已知) ∴DE ∥BC ，DE =12BC (三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半) 引导学生分析定理：一个条件：DE 是△ABC 的中位线 两个结论：一是表明位置关系——平行 二是表明数量关系——倍、分作用：可以证明两直线平行、证明线段的相等或倍分．想一想：如图，小明家和学校之间有一个池塘．在没有任何工具的前提下，小明通过下面的方法估测出A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后步测出AC 、BC 的中点M 、N ，并测出MN 的长，由此他就知道了A 、B 间的距离．你能说说其中的道理吗？三．巩固新知 变式训练：(1)如图：DE 是△ABC 的中位线，若∠1=42°，则∠C =______；若DE =4cm ， 则AC =______； (2)已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连接各边中点所得的三角形周长是________由本题的图形你能否联想到一般性的结论？(如果△ABC 的三边的长分别为a 、b 、c ，那么△DGE 的周长是多少？)例：已知，如图，在△ABC 中，AD =DB ，BF =FC ，AE =EC求证：AF 、DE 互相平分． 证明：联结DF 、EF ∵AD =DB ，BF =FC ∴DF ∥AC ，同理FE ∥AB ∴四边形ADFE 是平行四边形 ∴AF 、DE 互相平分设问：你还有其他的证明方法吗？ 四．梳理反思 课堂小结 1.基础知识：⑴三角线的中位线定义以及它与三角形中线的区别； ⑵三角线中位线的性质及其应用； 2．基本技能：(1)在三角形中给出一边中点时，要转换为中位线；C(2)线段的倍分要转化为相等问题来解决；(3)三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学方法(包括画图、实验、猜想、分析、归纳等)；(4)证明“中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线．3．基本方法：三角形中位线是三角形的一个重要性质定理，它的特点是：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况，按需选用．。
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