积分上限函数求导法则三

都可微，则有
d x
dx x
f tdt

f x x
f xx
证 x0 a,b
x f t dt x0 f t dt x f t dt
x
x
x0
x f t dt x f t dt
证
令
u
u
x0
f
t dt
，u
x ，
d x
dx x0
f
t dt

du
dx x0
f
t dt

du
du x0
f
tdt du
dt

f
u u
f xx
3.法则3 若函数 f x在区间 a,b上连续， xa,，b xa,b， 且x 与 x
－2 x
解
3.性质
(1)定理1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数x
x
a
f
t dt
在 a, b 上具有导
数，且它的导数 x f x a x b.
证
x

x

xx
a
f
t dt
＝x x x 图5－6

xx
第二节 微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式
一、积分上限函数及其导数
1.积分上限函数 设 f t 在区间 a,b上连续，
且x

a,
b
，则
x
a
f
t dt 存在，如积分上限
x
在 a,b上任意变动，那么对于每一取定的 x值，
x
均有唯一的数a
a
f
t dt

x
a
f
t dt

x
a
f
t dt

xx
x
f
t dt

x
a
f
t dt

xx
x
f
t dt

f
x
x, x x
lim lim f lim f f x
x x0
x0
x
即： dx x f x
x0
x0

d x f tdt d x f tdt d x f tdt
dx x
dx x0
dx x0
f xx f xx
4.例题
例1
求
d dx
1
x
sin
t

cos
t
dt
解 由法则1得
d dx
1
x
数值.
(3)为方便起见，记 Fb Fa Fxba ，

b
a
f
xdx

F x ba

F b
F a
3.例题
例5
求
1 x2
0
1dx
解
1 x2
0
1dx

1 3
x3

1
x0


1 3
1

0

4 3
例6 求 －11dx
dx
dx x0
f tdt

f x
d dx
x0 x
f
t dt


f
x
2.法则2 若函数 f x在闭区间 a,b上连续， x0是 a,b上的某一定点，函数 x 可微， 且 xa,b，则有
d x
dx x0
f tdt

f xx
证


x


x
a
f
t
dt
a xb
x Fx C ( c 为常数).
令
x

a, a

a
a
f
t dt

0
，
a Fa C
C Fa
令
x

b,
b

b
a
f
t
dt

b
a
f
xdx
，
b Fb C
则
b
a
f
xdx
sin
t

cos
t
dt

sin
x

cos
x
例2
求
d dx
x2
0
tan
tdt
解 由法则2得
d dx
x2
0
tan
tdt

tan
x2

x2


2x
tan
x2
例3 求 x3 1 dt
x2 1 t4
解 由法则3得
d x3
dx x2
1 dt 1 t4
1 x3 1 x3 4
f
t
dt
x
与之对应，所以a
f
t dt
是一个定义在a,b上的关于 x 的函数，记为
x

x
a
f
t dt
a x b
称 x为积分上限函数.
2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数
x在几何上表示为右端线可以变动的曲边
梯形的面积 图5－6 .
y
( x)
o a x x x b x

F b

F a
.
2.说明 (1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数
f x在积分区间 a,b上必须连续，若不满足
条件，不能使用公式.
(2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之
b
间的关系，a
f

x
dx
是它的任一原函数在a,
b
上的增量，也是函数
x
a
f
t
dt
在
x b 处的函
dx百度文库1
因此
lim
1et2 dt
cos x

lim
ecos2
x
sin
x

1
x x0
2
x0
2x
2e
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
b
a
f

x
dx

F
b

F
a

该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿－莱布
尼茨公式.
1 x2 1 x2 4
3x2 2x 1 x12 1 x8
1et2 dt
例4 求 lim cosx
x x0
2
解 这是一个“0”型未定式，可利用洛必达法
0
则计算，分子为
1et2 dt＝－ e dt cosx t2
cos x
1
由法则2得
d e dt cosx t2 ecosx2 cos x ecos2 x sin x
dx
(2)定理2 若函数 f x在 a,b上连续，则积
分上限函数x
x
a
f
t dt
是
f
x 在区间
a, b 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，
另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，
从而可能用原函数来计算定积分.
二、积分上限函数求导法则
1.法则1 若 f x在 a,b上连续， x0 是 a,b上的某一定点，则 x a,b， 有