积分上限函数求导法则三
定积分的变上限求导法
定积分的变上限求导法定积分是微积分中的一个重要概念，在数学、物理、化学等学科中有广泛应用。
在实际中，我们经常会遇到定积分的变上限求导问题，本文将介绍定积分的变上限求导法。
一、定义首先，我们需要了解定积分的定义。
对于一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$x$的任意分割可以写成$a=x_0<x_1<x_2<...<x_n=b$区间$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$x_i$点处的函数值为$f(x_i)$，则$[x_{i-1},x_i]$的面积为$f(x_i)\times\Delta x_i$。
所以区间$[a,b]$的面积可以近似表示为$S_n=\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$当$x$的分割无限细时，即$\Delta x_i\to 0$，$n\to \infty$时，所求面积就是定积分，可以表示为：$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$其中，$a$和$b$分别是积分的下限和上限，$dx$是区间长度的微元，可以理解为$\Delta x$在$n\to \infty$时的极限。
二、变上限的求导法现在考虑定积分的变上限求导问题。
假设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，$c$是$[a,b]$内的一个定值，定义函数$F(x)=\int_c^xf(t)dt$，则$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。
证明：可知$\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=\dfrac{1}{h}\int_c^{x+h}f(t)dt-\dfrac{1}{h}\int_c^xf(t)dt=\dfrac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt$在$h\to 0$时，上式变为$F'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt=f(x)$因此$F(x)$在$[a,b]$上连续可导，并且有$F'(x)=f(x)$。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt=⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量在积分区间上变动。
t ],[x a （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a ，b ）上可积，而可积，则)(x f ],[b a )(x f )(x f 在上连续。
⎰=xa dt t f x F )()(],[b a 定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a ，b ）上可积。
)(x f ],[b a )(x f 定理3如果在上连续，则在上可导，而且有)(x f ],[b a ⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：)(x f 可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。
)(x f )(x f ' （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 <变上限积分改变上下限，变号。
>)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 <上限是复合函数的情况求导。
>)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 <上下限都是变的时候，用上限的减去)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰下限的。
积分上限函数求导法则三
x0
x0
d x f tdt d x f tdt d x f tdt
dx x
dx x0
dx x0
f xx f xx
4.例题
例1
求
d dx
1
x
sin
t
cos
t
dt
解 由法则1得
d dx
1
x
证
x
x
a
f
t
dt
a xb
x Fx C ( c 为常数).
令
x
a, a
a
a
f
t dt
0
，
a Fa C
C Fa
令
x
b,
b
b
a
f
t
dt
b
a
f
xdx
，
b Fb C
则
b
a
f
xdx
dx
dx x0
f tdt
f x
d dx
x0 x
f
t dt
f
x
2.法则2 若函数 f x在闭区间 a,b上连续， x0是 a,b上的某一定点，函数 x 可微， 且 xa,b，则有
d x
dx x0
f tdt
f xx
dx
(2)定理2 若函数 f x在 a,b上连续，则积
分上限函数x
x
a
f
t dt
是
f
x 在区间
a, b 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，
2020-2021-2高等数学期末复习资料
注：（1）发散级数加括号后可能收敛也可能发散。
（2）收敛级数去括号后可能收敛可能发散。
（3）发散级数去括号后仍然发散。
2.
p
级数
n1
1 np
（
p
1时收敛；
p
1 时发散）
3.
比较判别准则的极限形式:设 un
n1
和 vn
n1
是正项级数，且 lim un v n
n
l ，则
①若 l 为正数（ 0 l ），则级数 un 和 vn 敛散性相同；
x3
1 et2 dt
（6）lim x0
cos x
x2
x ln(1 t)dt
（7） lim 0 x0
x2
（8） lim x0
tan x2
0
sin 2tdt
x
x (1 cos t)dt
（10） lim 0 x0
x3
考点 2.求定积分（第一类换元积分法）
2x
t sin tdt
（9） lim x0
0
ln(1 x3)
考点 2.求幂级数的收敛域及和函数
知识点回顾：
1.幂级数 un x 收敛域的求解方法： n1
第一步：令 lim un1 u n
n
1或 lim n n
un
1 ，可求出 x (a,b)
第二步：端点处敛散性另行判定后，就可以确定收敛域，其中收敛半径为 R b a 。 2
2.（1）求和函数前，必须先求收敛域，即和函数的定义域。
x
S(x)
，先积分再求导。
练习题：
1. 求下列幂级数的收敛域
xn
（1）
n1 n!
（2） nxn1 n1
定积分的直接积分法
2
x
|dx
解
3 |
1
2
x
|dx
2 (2
1
x)dx
3
2
(
x
2)dx
(2x
x2 2
)
|2
1
x2 (
2
2x) |32
2 5 ( 3) 2 5 22
同学练习2
1．
已知
f
(x)
2x , 3x2
1,
x0
，
x0
2
求 f (x)dx ． 1
例8(*)
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
同学练习2
1.
lim
x
0
1
1 t
t
dt
x
x
2.
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
定积分的直接积分法
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
知识回顾 Knowledge Review
y
p( x)
oa x
bx
定理6.1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数
px
x
a
f
t dt
在 a, b 可导，
且 p'x f x a x b
高数导数和积分大全
-1
1 6
区域
y y y2(x)
D {( x, y) | y1( x) y y2( x), a x b }
D
称为 X – 型区域
y y1( x)
oa
bx
定理
设 f ( x, y)在 X- 区域 D 上连续，y1( x ) ,
y2( x ) 在 [ a, b ] 连续，则
f ( x, y)d x d y
一、基本初等函数导数公式
(C) 0 (sin x) cos x (tan x) sec2 x (sec x) sec xtanx
(x ) x1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc xcotx
( a x ) a x ln a
(loga
1
xdx
2 (x2 1)dx
0
0
1
1 2
x2
|10
(1 3
x3
x)
|12
23 6
四、 定积分的换元法和 分部积分法
定理 （定积分的换元公式）
设函数 f (x)在区间 [ a , b ]上连续；函数 x (t)
在 [ , ] 上单值且有连续导数；当 t
时，有 (t) [a,b]，且 ( ) a, ( ) b
dy 1 du u
du sin v dv
dv ex dx
dy 1 ( sin v )ex 1 (sinex )ex
dx u
cos ex
练习：求下列函数的导数
1、y ex3 2、y 2x sin x 3、y ln tan x
2 4、y xex
5、y 2x 1 sin x
6、y 3x e x 7、y x2 x 3 8、y 5x4 3x2 1
关于积分上限函数的小结
关于积分上限函数积分上限函数（或变上限定积分）()()xa F x f t dt =⎰的自变量是上限变量x ，在求导时，是关于x 求导，但在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提。
1． 关于积分上限函数的理论定理1 如果)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上连续.定理2 如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xadt t f x F )()(在],[b a 上可导，且).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ 注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰2． 积分限函数的几种变式（1） 比如 ⎰-=xdt t f t x x F 0)()()((被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-xxxxdt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0)()()()(的形式，再对x 求导。
对积分上限函数求导换元法
对积分上限函数求导换元法1 换元法求导在微积分学中，换元法是一种用于求解积分和求导的技巧。
其中，求导换元法是指通过应用连锁法则来求解一些很难直接求导的函数。
1.1 基本思想求导换元法的基本思想是，将复杂的函数表示成一个较简单的函数的复合形式，然后应用链式法则来求解导数。
具体来说，我们假设函数$f(u)$在某个区间内可导，而另一个函数$y=g(x)$又在该区间内可导。
则，如果$f$是一个复合函数，满足$f(u)=f(g(x))$，那么，$f$的导数可以表示为：$$ \frac{df}{dx}=\frac{df}{du}\frac{du}{dx} $$此处，链式法则用于求解$f$的导数，其中$\frac{df}{du}$和$\frac{du}{dx}$分别表示$f$对$u$求导和$u$对$x$求导。
1.2 求解方法在实际的计算中，我们通常需要先找到一组合适的变量替换，使得原函数能够表示成一个容易求导的形式，然后再应用链式法则来求解导数。
比如，对于一个积分上限为$x$的积分，$$ F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt $$我们可以通过引入一个新的变量$u=g(x)$来简化它，即$$ F(x)=\int_{0}^{g(x)}f(t)dt $$接着，我们可以利用链式法则来求解$F$的导数：$$ \frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_{0}^{g(x)}f(t)dt=\fr ac{d}{dx}[F(g(x))] $$因此，我们只需要求出$F$关于$u$的导数$\frac{d}{du}F(u)$和$u$关于$x$的导数$\frac{du}{dx}$，就可以得到$F$关于$x$的导数。
1.3 例子接下来，我们将通过一个具体的例子来演示求导换元法的使用。
假设我们要求解函数$$ F(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{dt}{1+t^4} $$的导数。
这里，积分上限是函数$x$的平方根。
积分上限函数的求导及应用
积分上限函数的求导及应用本文介绍了积分上限函数的概念、性质，求导数的方法。
标签：积分上限函数;连续函数;可导课堂教学是教学各个环节中最重要的一环，它是给学生传授知识的重要手段之一。
课堂教学的目的，不仅在于给学生讲清书本上的内容，更重要的是培养学生分析问题、解决问题的能力。
因此，我们必须在深刻理解、钻研教材的基础上，全局考虑，根据认识规律去组织教材，提出问题，逐步分析和解决问题，从而培养提高学生的思维能力。
下面就自己在积分上限函数教学中的一点体会作一介绍。
积分上限函数的概念、性质，不仅是微积分学基本理论（Newten—Leibniz 公式）的证明工具，也是学习概率数理统计的基础。
然而，学生对这一部分内容却感到十分棘手，难以理解和掌握。
为了使这一较难的问题能轻松愉快地解决，在讲授这部分内容时，首先自己讲授书本内容，然后引导学生思考，从而将问题转化，最后总结出易理解和掌握的结果。
积分上限的函数，我们主要讲清其概念及性质。
x∈[a，b]定义：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，对于任意的，f（x）在区间[a，x]上也连续。
所以函数f（x）在[a，x]上也可积。
定积分f（t）dt的值依赖上限x，因此它是定义在[a，b]上的x的函数，记φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]则φ（x）=f（t）dt称为积分上限的函数。
由上述定义知x∈[a，b]，且对于任意一个x，都有一个确定的f（t）dt与之对应，故f（t）dt是上限的一个函数，记作φ（x），即φ（x）=f（t）dt x∈[a，b]对于函数φ（x），学生们往往弄不清t的变化范围，课堂上借助几何图形（图1）说明并标明变量x、t的取值范围（图2），这样就较易了解掌握了。
<E：＼书＼排版＼中小企业管理与科技·上旬刊201601＼文件＼172-1.jpg>图1<E：＼书＼排版＼中小企业管理与科技·上旬刊201601＼文件＼172-2.jpg>图2函数φ（x）具有下列重要性质：定理1：设函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数φ（x）=f（t）dt在区间[a，b]上可导，并且它对上限的导数就等于被积函数在上限处的值，即φ′（x）=f（t）dt=f（x）或dφ（x）=f（x）dx为给出此定理的证明，首先应引导学生将问题转化，即=f（x），实际上原问题有两部分，一是“存在性”;二是“导数值”。
积分上限函数及其导数
13
只怕一日曝十日寒 与君共勉
N-L Formula
b
a
f
( x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分是 f(x) 的原函数 F(x)的微分在区间[a, b]上的无限积累
即：“积分是微分的无限积累”。 积累的结果
等于它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
贵有恒何必三更眠五更起，最无益
21
只怕一日曝十日寒 与君共勉
例10．下面计算是否有错？
31
1 x2
dx
x 1 1
贵有恒何必三更眠五更起，最无益 只怕一日曝十日寒 与君共勉
x
18
NOTATION
例6揭示了微积分基本定理的巨大威力．当法国
数学家Gilles de Roberval在１６３５年首次获
得正弦和余弦曲线下方的面积，这个问题在当时
是富有挑战性的，它需要非凡的智慧，但到１６
６０～１６７０年，当Barrow发现了微积分基本
2. 变限积分求导公式
3. N—L公式是计算定积分的基本公式
贵有恒何必三更眠五更起，最无益
24
只怕一日曝十日寒 与君共勉
EXERCISES:
1.求 值 ：
2.求 函 数f ( x)和 常 数a(a 0),使 下 式 成 立
积分上限函数的性质及应用
积分上限函数的性质及应用积分上限函数（即变上限的定积分）揭示了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学中的一个重要概念.积分上限函数具有很多的性质，既具有普通函数相似的特征，由于它的上限是变化的，因而又有许多与积分有关的特殊性质.本文首先总结归纳出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的具体应用.1 积分上限函数1.1 积分上限函数的定义)220](1[P设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，对任何[,]x a b ∈,()f x 在[,]a x 上也可积.于是，由()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰,定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限的定积分.1.2 积分上限函数的几何意义)350](2[P如果[,]x a b ∀∈，有函数()0f x ≥，对区间[,]a b 上任意x ，积分上限函数()F x 是区间[,]a x 上曲边梯形的面积，如下图的阴影部分.图1.11.3 积分上限函数的性质1.3.1积分上限函数的连续性)221](1[P若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续. 证 [,]x a b ∀∈,且[,]x x a b +∆∈，有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰因为f 在[,]a b 上可积，所以f 在[,]a b 上有界， 即存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∀∈，当0x ∆≥时，x M dt t f dt t f x F xx x xx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()( 当0x ∆<时，x M dt t f dt t f x F xx xxx x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()(所以0lim ()0x F x ∆→∆=, 即积分上限函数()F x 在点x 连续，而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上连续.1.3.2积分上限函数的可导性[1](221)P若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可导，且()()F x f x '=. 证 [,]x a b ∀∈，且[,]x x a b +∆∈，(0)x ∆≠有()()()()()()x xx x xaaxF x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰⎰⎰由积分第一中值定理，有()1()()x xx F x f t dt f x x x xθ+∆∆==+∆∆∆⎰ (01)θ≤≤ 因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，所以00()()lim lim ()()x x F x F x f x x f x xθ∆→∆→∆'==+∆=∆即()F x 在点x 可导. 而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上可导.1.3.3积分上限函数的可积性若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可积.证 已知函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在区间[,]a b 上可积，所以由1.3.1可推出积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续，则()F x 在区间[,]a b 上可积.1.3.4积分上限函数的单调性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负（正），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上单调递增（减）.证 因为)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负，则()()0F x f x '=≥，所以)(x F 在区间[,]a b 上单调递增.同理可证另一种情况.特别地,若()f x 在[,]a b 上非负单调递增（减），则()F x 在[,]a b 上单调递增. 1.3.5积分上限函数的奇偶性[3](140)P若函数)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇（偶）函数时，则积分上限函数)(x F 为偶（奇）函数. 证 设)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇函数，即)()(x f x f -=-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--===⎰⎰⎰，所以)(x F 为偶函数.同理 当)(x f 在区间[,]a a -上连续且为偶函数，即)()(x f x f =-.()()xF x f t dt --=⎰，令t u -=()()()()()()xxxF x f u d u f u du f t dt F x -=--=-=-=-⎰⎰⎰所以)(x F 为奇函数.1.3.6积分上限函数的凹凸性[4](32)P若函数)(x f 在区间上[,]a b 单调递增（递减），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上是凸（凹）函数.证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上单调递增，取123,,[,]x x x a b ∈，且123x x x <<， 则123()()()f x f x f x <<.2121()()F x F x x x --2121()()x x aaf t dt f t dtx x -=-⎰⎰2121()x x f t dtx x =-⎰2()f x ≤≤3232()x x f t dtx x -⎰3232()()F x F x x x -=-所以()F x 在区间[,]a b 上是凸函数.同理可证明另一种情况.1.3.7积分上限函数的周期性[3](140)P若函数)(x f 在(,)-∞+∞上以T 为周期，对任意a b <, )(x f 在区间[,]a b 上可积，且()0Tf t dt =⎰,则积分上限函数()F x 也以T 为周期. 证 ()()x T a F x T f t dt ++=⎰()()()Tx TaTf t dt f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰0()0()x TaTf t dt f t dt +=++⎰⎰令t u T =+()()()()()xaF x T f u T d u T f u T d u T +=+++++⎰⎰()00()xaf u T du f u T du=+++⎰⎰00()()xaf u du f u du =+⎰⎰()()xaf t dt F x ==⎰所以()F x 是一个以T 为周期的函数.1.3.8积分上限函数的有界性若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界. 证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，所以由积分上限函数的可积性可知 函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，即函数)(x f 在区间[,]a b 上有界. 所以存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∈ 则()F x ()xaf t dt ≤⎰()()xaf t dt M b a ≤≤-⎰,所以积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上有界.2 积分上限函数的应用给出积分上限函数在证明积分等式、不等式的问题中应用. 2.1 利用积分上限函数证明积分等式在证明积分等式时，根据题设条件设积分上限函数为()F x ，由拉格朗日中值定理的推论：如果在某个区间上恒有()0F x '=，则在该区间上()F x 恒等于一个常数，即可证明某些关于积分的等式.例1 若()f x 在区间[,]a b 上连续,则()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.证 设()()xaF x f t dt =⎰,则()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰()()()bb aaf a b x dx f a b x d a b x +-=-+-+-⎰⎰()b aF a b x =-+-()()F a b b F a b a =-+-++-()()F b F a =-于是命题得证.例2 设()f x 是连续函数，证明0[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.证 方法一 令00()[()]()()x ux F x f t dt du x u f u du =--⎰⎰⎰()()()()()0xxF x f t dt f u du x f x xf x '=--+=⎰⎰()F x C ≡（C 为常数），因为(0)0F =，所以()0F x ≡， 即[()]()()x uxf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.方法二 记 10()()()()()xx xg x x u f u du x f u du uf u du =-=-⎰⎰⎰20()[()]xug x f t dt du =⎰⎰则由 10()()()()()xx g x f u du xf x xf x f u du '=+-=⎰⎰， 20()()xg x f u du '=⎰由此得到 12()()g x g x ''=，所以12()()g x g x C -≡，（C 为常数）12(0)(0)0g g ==，所以12()()g x g x =即[()]()()xu xf t dt du x u f u du =-⎰⎰⎰.例3 设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则[,]x a b ∃∈，证明 ()()xbaxf t dt f t dt =⎰⎰.证 令()()()ybayF y f t dt f t dt =-⎰⎰.由函数)(x f 在区间[,]a b 上可积，可知()F y 区间[,]a b 上连续，且()(),()()b baaF a f t dt F b f t dt =-=⎰⎰.若()0baf t dt ≠⎰，则()()0F a F b <，由零点定理可知[,]x a b ∃∈,使得()()()0x b axF x f t dt f t dt =-=⎰⎰或()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰.若()0baf t dt =⎰，则取x a =或x b =，有()().x baxf t dt f t dt =⎰⎰于是命题得证.例4 设()f x 是连续函数，证明 232001()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.证 构造辅助函数232001()()()2a a F a x f x dx xf x dx =-⎰⎰.由积分上限函数的导数定理及复合函数求导法则得32221()()()202F a a f a a f a a '=-⋅=，所以()F a C ≡（C 为常数）,又因为(0)0F =,所以()0F a =, 故2321()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰.例5在区间(0,1)上连续，证明 ⎰⎰⎰⎰=1311])([61)()()(dt t f dz z f dy y f dx x f x y x .证 令0()()xF x f t dt =⎰，则()()F x f x '=. 原等式左端11(){()[()()]}x f x f y F y F x dy dx =-⎰⎰12101(){[()()]}2x f x F y F x dx=-⎰1201()[(1)()]2f x F F x dx =-⎰ 3101[(1)()]6F F x =-=3)]1([61F==⎰13])([61dt t f 右端 故所证等式成立.2.2 利用积分上限函数证明积分不等式在证明积分不等式时，根据题意构造积分上限函数，可适时选择常数变易法、辅助函数法等方法去解决问题.例1 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且单调增加，求证()()2bbaa ab xf x dx f x dx +≥⎰⎰. 证明 构造辅助函数()F x ()xa t f t dt =⎰()2xaa x f t dt +-⎰，则()0F a =，对任意[,]x ab ∈，()F x 关于x 求导，有()F x '=1()()()22x a a xxf x f t dt f x +--⎰ 1()()22x a x a f x f t dt-=-⎰ 1[()()]2xaf x f t dt =-⎰ 因为()f x 单调递增，所以()0F x '≥.()F x 在区间[,]a b 上连续并且单调递增，则()()F b F a ≥0=,所以命题得证.例2设()f x 在区间],[b a 上单调增并且连续，证明 ()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.证 构造辅助函数()()()2()x xaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰则 ()F x '=()xa f t dt ⎰+()()2()a x f x xf x +-()()()xaf t dt x a f x =--⎰()()()()0x a f x x a f x ≤---=由此可知,()F x 在区间[,]a b 上单调递减，所以()()F b F a ≤0=，即()a b +()2()bbaaf x dx xf x dx ≤⎰⎰.例3 设()f x 在区间[,]a b 上正值连续,证明⎰badxx f )(1()badx f x ≥⎰2()b a -. 证 构造辅助函数()F x =2()()()xxaadtf t dt x a f t --⎰⎰则()F x '=1()()xaf x dt f t ⎰+1()2()()xaf t dt x a f x --⎰ ()()[]2()()()xaf x f t dt x a f t f x =+--⎰ 因为()()2()()f x f t f t f x +≥, ()2()2()0F x x a x a '≥---= 所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增，而()0F a =，()0F x ≥ )(a x ≥，则()0F b ≥,即⎰badxx f )(≥⎰dx x f ba)(12)(a b -. 例4 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调递减，证明 对任意(0,1]a ∈，均有()af x dx ⎰1()a f x dx ≥⎰.证 方法1 设x at =,等式左端化为:11()()()af x dx a f at dt a f ax dx ==⎰⎰⎰因为()f x 单调递减,01a <≤,所以()()f ax f x ≥,于是11()()()af x dx a f ax dx a f x dx =≥⎰⎰⎰.方法21()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰等价于1()()1af x dx f x dx a≥⎰⎰ (0)a >设0()()xf x dx F x x=⎰,(01)x <≤,则02()()()x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰.因为()f x 连续,利用积分中值定理2()()()f x x f x F x x ξ⋅-⋅'=()()f x f xξ-= (0)x ξ<< 因为()f x 在[0,1]上单调递减，所以当x <<ξ0时,)()(ξf x f <,从而当10≤<x 时()0F x '≤，故()F x 在[0,1]上单调递减，于是对任意(0,1)a ∈，有()(1)F a F >，特别地当1a =时,原不等式中的等号成立，所以1001()()af x dx f x dx a≥⎰⎰， 即1()()af x dx a f x dx ≥⎰⎰.例5已知当b x a ≤≤时，()0,()0f x f x '''>>，证明()()()[()()]2bab ab a f a f x dx f a f b --<<+⎰. 证 ⑴令()()()()xaF x f t dt x a f a =--⎰()a x b ≤≤，则()()()F x f x f a '=-当b x a ≤≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间[,]a b 上单调递增,即 ()()f x f a ≥. 当且仅当a x =时，()0F x '=，所以()F x 在区间[,]a b 上单调递增, 即 ()()0F b F a >=，则 ()()()ba b a f a f x dx -<⎰.⑵令()()[()()]2xax aG x f t dt f a f x -=-+⎰ ()a x b ≤≤，则 1()()[()()]()22x aG x f x f a f x f x -''=-+-()()()22f x f a x af x --'=-因为()f x 在],[x a )(b x a ≤<上满足拉格朗日中值定理，所以(,)a x ξ∃∈，得()()()()f x f a x a f ξ'-=-()[()()]2x aG x f f x ξ-'''=- ()a x ξ<< 当a x b ≤≤时，()0f x ''>,()f x '在[,]a b 上单调递增，则()()f f x ξ''< 故()0G x '< ()a x b <≤，所以可知,()G x 在a x =处连续.因为()G x 在[,]a b 上单调减,()()0G b G a -<. 则 ()[()()]02bab af x dx f a f b ---<⎰, 所以()[()()]2bab af x dx f a f b -<+⎰，结合⑴原不等式得证. 例6 证明 若函数()f x 与()g x 在区间[,]a b 可积，则[][]222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰（施瓦茨不等式）证 构造辅助函数222()[()][()](()())xx xaaaF x f t dt g t dt f t g t dt =-⎰⎰⎰2222()()()()()2()()()()xxxaaaF x f x g t dt g x f t dt f x g x f t g t dt '=⋅+⋅-⎰⎰⎰2222[()()2()()()()()()]xaf xg t f x g x f t g t f t g x dt =-⋅+⎰2[()()()()]0xaf xg t f t g x dt =-≥⎰从而()F x 在区间[,]a b 上单调递增，故有()()0F b F a ≥= 则222(()())[()][()]bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰.例7 设()f x 在[0,1]上连续可微，且满足(0)0f =，0()1f x '<≤,证明11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.证 作辅助函数230()(())()xxF x f t dt f t dt =-⎰⎰ [0,1]x ∈.由于(0)0F =，32()2()()()()[2()()]xxF x f x f t dt f x f x f t dt f x '=-=-⎰⎰ .令20()2()()xG x f t dt f x =-⎰，[0,1]x ∈.由于()f x 在区间[0,1]上连续可微，(0)0f =，0()1f x '<≤,所以()f x 单调递增. 故()0f x >,(0,1]x ∈.(0)0G =,则()2()2()()2()[1()]0G x f x f x f x f x f x '''=-=-≥,故()(0)0G x G ≥=，[0,1]x ∈.当(0,1)x ∈时，()0F x '≥，()F x 单调递增.特别当1123(1)(())()(0)0F f x dx f x dx F =-≥=⎰⎰,即得证11230(())()f x dx f x dx ≥⎰⎰.例8 设()f x 在区间[,]a b 上有连续的导数，且()0F a =，证明2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰证 2221()()[()]()2x x a a F x x a f t dt f t dt '=--⎰⎰22221()()[()]()[()]()2x a F x x a f x x a f t dt f x '''=-+--⎰ 22221()[()]()1[()]2x x a a x a f x f x dx f t dt''=--+⋅⎰⎰ 22221()[()]()(())2x a x a f x f x f t dt ''≥--+⎰（施瓦茨不等式）22221()[()]()()2x a f x f x f x '=--+ 221()[()]02x a f x '=-≥ 得出()F x 为单调递增函数，当a x >∀时，()()0F x F a ≥=特别地2221()()[()]()02b b a a F b b a f x dx f x dx '=--≥⎰⎰得证2221()()[()]2bb aa f x dxb a f x dx '≤-⎰⎰.例9设函数()f x 在区间[,]a b 上连续并可微，且()0f a =，证明不等式22()[()]baM b a f x dx '≤-⎰，其中max ()a x bM f x ≤≤=证 由施瓦茨不等式可知 222(()())()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰因为22()[()]1[()]xxx aaax a f x dx dx f x dx ''-=⎰⎰⎰22[()]()xaf x dx f x '≥=⎰ ([,])x a b ∀∈引入辅助函数2()()[()]xaF x x a f x dx '=-⎰,222()1[()][()]()xxx aaaF x dx f x dx f x dx f x ''=≥=⎰⎰⎰ ([,])x a b ∈所以22()()[()]()ba Fb b a f x dx f x '=-≥⎰.11 故由题设[,]x a b ∀∈，所以22()[()]b a M b a f x dx '≤-⎰.。
考研——积分上限的函数（变上限积分、变限积分）知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分、变限积分）知识点全⾯总结考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =?形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，⽤课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，⽽)(x f 可积，则?=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，⽽且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='? ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质⽐原来的函数改进了⼀步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
⽽我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚⾄不⼀定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的⼀个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；⽽求定积分是求⼀个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从⽽使微分学和积分学统⼀成为⼀个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=? <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c '=? <上限是复合函数的情况求导。
积分上限函数求导例题
积分上限函数求导例题积分上限函数求导例题引言在微积分学中，求导是一个重要的概念和技巧。
对于一些特殊的函数形式，求导可能需要一些额外的考虑和技巧。
本文将针对积分上限函数进行求导的例题进行详细讲解，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。
积分上限函数的定义积分上限函数是指一个函数的定义形式为一个积分上限作为函数的参数。
数学表达式为：F (x )=∫f xa(t )dt 如何求解积分上限函数的导数对于积分上限函数求导，我们需要借助基本求导公式和牛顿莱布尼兹公式来进行计算。
基本求导规则1. 对于常数项，其导数为0。
2. 对于x n ， 其导数为n ⋅x n−1。
3. 对于e x ， 其导数为e x 。
4.对于ln(x)，其导数为1。
x积分上限函数的导数计算方法根据牛顿莱布尼兹公式，积分上限函数的导数可以通过在积分上限处求导得到。
换句话说，我们只需要将积分上限作为常数对函数进行求导即可。
具体步骤如下： 1. 将积分上限中除了自变量x之外的部分视为常数。
2. 使用基本求导规则对函数进行求导。
3. 最后，将积分上限中的常数部分与求导结果相乘即可得到积分上限函数的导数。
例题讲解接下来，我们通过几个具体的例题来加深理解。
例题1$ F(x) = _0^{3x} t^2 dt $解答过程： 1. 将积分上限中的3视为常数，将t2视为函数部分。
2. 根据基本求导规则，t2的导数为2t。
3. 将常数3与导数2t相乘，得到积分上限函数的导数为6x。
例题2$ F(x) = _{1}{x2} (t) dt $解答过程： 1. 将积分上限中的x2视为常数，将sin(t)视为函数部分。
2. 根据基本求导规则，sin(t)的导数为cos(t)。
3. 将常数x2与导数cos(t)相乘，得到积分上限函数的导数为2xcos(x2)。
例题3$ F(x) = _{1}{e x} dt $解答过程： 1. 将积分上限中的e x视为常数，将1t视为函数部分。
复杂积分上限函数求导
复杂积分上限函数求导复杂积分上限函数求导是微积分中的一个重要概念。
在这篇文章中，我们将探讨这个概念的含义和应用，并详细说明如何求解复杂积分上限函数的导数。
让我们来了解一下什么是复杂积分上限函数。
在微积分中，积分是求函数曲线下面积的一种方法。
复杂积分上限函数是指在积分的上限中包含一个函数。
这意味着积分的上限不再是一个固定的数值，而是一个关于自变量的函数。
为了更好地理解复杂积分上限函数的求导过程，让我们通过一个简单的例子来说明。
假设我们要求解以下函数的导数：∫[a(x)]^2 dx其中，a(x)是一个关于自变量x的函数。
为了求解这个函数的导数，我们需要使用链式法则。
首先，我们将上限函数a(x)看作一个整体，令u=a(x)，那么积分可以被重新表示为：∫u^2 dx接下来，我们对u求导，得到du/dx。
然后，我们将du/dx与dx 相乘，得到du。
因此，积分可以进一步简化为：∫u^2 du现在，我们可以使用求导公式来求解这个积分。
根据求导公式，对于幂函数，我们可以将指数减1，并将结果乘以原指数。
因此，积分可以进一步简化为：(u^3)/3我们将u替换回原来的自变量x，得到最终的导数表达式：(a(x)^3)/3通过这个例子，我们可以看到，求解复杂积分上限函数的导数需要使用链式法则和幂函数求导公式。
这个过程需要将积分的上限函数视为一个整体，并将其进行适当的简化和代换。
除了这个简单的例子，复杂积分上限函数的求导还可以涉及更多的数学概念和技巧。
例如，我们可能需要使用分部积分法或换元法来化简积分，从而得到更简洁的导数表达式。
此外，我们还可以将复杂积分上限函数的导数与其他微积分概念相结合，如导数的连续性和导数的几何意义，来进一步理解和应用这个概念。
总结起来，复杂积分上限函数求导是微积分中的一个重要概念。
通过使用链式法则和幂函数求导公式，我们可以求解复杂积分上限函数的导数。
这个过程需要将积分的上限函数视为一个整体，并进行适当的简化和代换。
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(2)定理2 若函数 f x在 a,b上连续，则积
分上限函数x
x
a
f
t dt
是
f
x 在区间
a, b 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，
另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，
从而可能用原函数来计算定积分.
二、积分上限函数求导法则
1.法则1 若 f x在 a,b上连续， x0 是 a,b上的某一定点，则 x a,b， 有
sin
t
ห้องสมุดไป่ตู้
cos
t
dt
sin
x
cos
x
例2
求
d dx
x2
0
tan
tdt
解 由法则2得
d dx
x2
0
tan
tdt
tan
x2
x2
2x
tan
x2
例3 求 x3 1 dt
x2 1 t4
解 由法则3得
d x3
dx x2
1 dt 1 t4
1 x3 1 x3 4
证
令
u
u
x0
f
t dt
，u
x ，
d x
dx x0
f
t dt
du
dx x0
f
t dt
du
du x0
f
tdt du
dt
f
u u
f xx
3.法则3 若函数 f x在区间 a,b上连续， xa,，b xa,b， 且x 与 x
数值.
(3)为方便起见，记 Fb Fa Fxba ，
b
a
f
xdx
F x ba
F b
F a
3.例题
例5
求
1 x2
0
1dx
解
1 x2
0
1dx
1 3
x3
1
x0
1 3
1
0
4 3
例6 求 －11dx
都可微，则有
d x
dx x
f tdt
f x x
f xx
证 x0 a,b
x f t dt x0 f t dt x f t dt
x
x
x0
x f t dt x f t dt
1 x2 1 x2 4
3x2 2x 1 x12 1 x8
1et2 dt
例4 求 lim cosx
x x0
2
解 这是一个“0”型未定式，可利用洛必达法
0
则计算，分子为
1et2 dt＝－ e dt cosx t2
cos x
1
由法则2得
d e dt cosx t2 ecosx2 cos x ecos2 x sin x
第二节 微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式
一、积分上限函数及其导数
1.积分上限函数 设 f t 在区间 a,b上连续，
且x
a,
b
，则
x
a
f
t dt 存在，如积分上限
x
在 a,b上任意变动，那么对于每一取定的 x值，
x
均有唯一的数a
F b
F a
.
2.说明 (1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数
f x在积分区间 a,b上必须连续，若不满足
条件，不能使用公式.
(2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之
b
间的关系，a
f
x
dx
是它的任一原函数在a,
b
上的增量，也是函数
x
a
f
t
dt
在
x b 处的函
dx
dx x0
f tdt
f x
d dx
x0 x
f
t dt
f
x
2.法则2 若函数 f x在闭区间 a,b上连续， x0是 a,b上的某一定点，函数 x 可微， 且 xa,b，则有
d x
dx x0
f tdt
f xx
－2 x
解
f
t
dt
x
与之对应，所以a
f
t dt
是一个定义在a,b上的关于 x 的函数，记为
x
x
a
f
t dt
a x b
称 x为积分上限函数.
2.积分上限函数的几何意义 积分上限函数
x在几何上表示为右端线可以变动的曲边
梯形的面积 图5－6 .
y
( x)
o a x x x b x
dx 1
因此
lim
1et2 dt
cos x
lim
ecos2
x
sin
x
1
x x0
2
x0
2x
2e
三、微积分基本公式
1.定理3 若函数 F x是连续函数 f x在区 间 a,b上的一个原函数，则
b
a
f
x
dx
F
b
F
a
该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿－莱布
尼茨公式.
x0
x0
d x f tdt d x f tdt d x f tdt
dx x
dx x0
dx x0
f xx f xx
4.例题
例1
求
d dx
1
x
sin
t
cos
t
dt
解 由法则1得
d dx
1
x
3.性质
(1)定理1 若 f x 在a,b上连续，则积分
上限函数x
x
a
f
t dt
在 a, b 上具有导
数，且它的导数 x f x a x b.
证
x
x
xx
a
f
t dt
＝x x x 图5－6
xx
a
f
t dt
x
a
f
t dt
x
a
f
t dt
xx
x
f
t dt
x
a
f
t dt
xx
x
f
t dt
f
x
x, x x
lim lim f lim f f x
x x0
x0
x
即： dx x f x
证
x
x
a
f
t
dt
a xb
x Fx C ( c 为常数).
令
x
a, a
a
a
f
t dt
0
，
a Fa C
C Fa
令
x
b,
b
b
a
f
t
dt
b
a
f
xdx
，
b Fb C
则
b
a
f
xdx